黑龙江省哈尔滨市第九中学2020-2021学年高一上学期期末数学试卷

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨九中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|1﹣x＞0}，则如图阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2} 2．对于①sinθ＞0，②sinθ＜0，③cosθ＞0，④cosθ＜0，⑤tanθ＞0，⑥tanθ＜0，则θ为第二象限角的充要条件是（）A．①③B．③⑤C．①⑥D．②④3．若a＞b，则下列结论正确的是（）A．ln（a﹣b）＞0B．2a＞2b C．|a|＞|b|D．4．若a＝e0.5，b＝ln2，c＝log20.2，则有（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 5．将函数y＝sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B．C．D．6．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t（单位：天）与病情爆发系数f（t）之间，满足函数模型：f（t）＝，当f（t）＝0.1时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t 约为（）（参考数据：e1.1≈3）A．38B．40C．45D．477．已知cos（α﹣）+sinα＝，则sin（α+）的值是（）A．B．C．D．8．设函数f（x）＝x+2，g（x）＝x2﹣x﹣1．用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，则M（x）的最小值是（）A．1B．3C．0D．二、多选题（共4小题）.9．下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝tan xC．f（x）＝D．f（x）＝3x﹣3﹣x10．下列选项中，与sin（﹣）的值相等的是（）A．2sin15°sin75°B．cos18°cos42°﹣sin18°sin42°C．2cos215°﹣1D．11．已知函数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x＝对称，则（）A．f（0）＝B．函数f（x）的图象关于（，0）中心对称C．函数f（x）在（，）上单调递增D．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为12．已知f（x）＝，（常数k≠0），则（）A．当k＞0时，f（x）在R上单调递减B．当时，f（x）没有最小值C．当k＝﹣1时，f（x）的值域为（0，+∞）D．当k＝﹣3时，∀x1≥1，∃x2＜1，有f（x1）+f（x2）＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上。

13．函数f（x）＝的定义域是．14．已知a＞0，b＞0，且a+4b＝1，则的最小值为．15．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[0，2π））的部分图象如图所示，则f（2020）＝．16．已知函数，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则a的最小值是，的最大值是．四、解答题：本题共6小题，满分70分（17题10分，18题至22题12分）。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知角α的终边上一点P（m，），且cosα＝﹣．（Ⅰ）计算m及tanα；（Ⅱ）求的值．18．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x3+x2．（1）求f（x）的解析式，并补全f（x）的图象；（2）求使不等式f（m）﹣f（1﹣2m）＞0成立的实数m的取值范围．19．（12分）已知tan（α﹣β）＝﹣7，cosα＝﹣，其中α∈（0，π），β∈（0，π）．（1）求tanβ的值；（2）求α+β的值．20．（12分）已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里/小时）（0≤v≤3）的以下数据：v0123Q00.7 1.6 3.3为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q＝av3+bv2+cv，Q＝0.5v+a，Q＝k log a v+b．（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．21．（12分）已知函数f（x）＝4sin（x﹣）cos x+．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[，]时，求f（x）的最值及取到最值时x的值；（3）若函数g（x）＝f（x）﹣m在[0，]上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并求tan（x1+x2）的值．22．（12分）已知函数f（x）＝是定义域上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣2．（1）求函数f（x）的解析式，判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明；（2）令h（x）＝ln[f（x）﹣x+a]，设a＞0，若对任意b∈[，1]，当x1，x2∈[b，b+1]时，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤ln4，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．设全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|1﹣x＞0}，则如图阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}【分析】先求出集合A，B，图阴影部分表示的集合为：A∩∁U B，利用集合的基本运算即可求出结果．解：A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1﹣x＞0}＝{x|x＜1}，图阴影部分表示的集合为：A∩∁U B＝{x|0＜x＜2}∩{x|x≥1}＝{x|1≤x＜2}，故选：D．2．对于①sinθ＞0，②sinθ＜0，③cosθ＞0，④cosθ＜0，⑤tanθ＞0，⑥tanθ＜0，则θ为第二象限角的充要条件是（）A．①③B．③⑤C．①⑥D．②④【分析】利用三角函数值在各个象限的符号即可判断出结论．解：θ为第二象限角的充要条件是：①sinθ＞0，④cosθ＜0，⑥tanθ＜0，故选：C．3．若a＞b，则下列结论正确的是（）A．ln（a﹣b）＞0B．2a＞2b C．|a|＞|b|D．【分析】直接利用不等式的性质的应用判断A、B、C、D的结论．解：由于a＞b，所以a﹣b＞0，对于A：当a﹣b＞1时，选项A才成立，故A错误；对于B：由于a＞b，所以2a＞2b，故B正确；对于C：当a＞b＞0时，选项C才成立，故C错误；对于D：当a＝0，b＝﹣2时，选项D错误．故选：B．4．若a＝e0.5，b＝ln2，c＝log20.2，则有（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出．解：∵a＝e0.5＞1，b＝ln2∈（0，1），c＝log20.2＜0，∴a＞b＞c．故选：A．5．将函数y＝sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的图象的平移法则，依据原函数横坐标伸长到原来的2倍可得到新的函数的解析式，进而通过左加右减的法则，依据图象向左平移个单位得到y＝sin[（x+）﹣]，整理后答案可得．解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y＝sin（x﹣），再将所得的图象向左平移个单位，得函数y＝sin[（x+）﹣]，即y＝sin（x﹣），故选：C．6．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t（单位：天）与病情爆发系数f（t）之间，满足函数模型：f（t）＝，当f（t）＝0.1时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t 约为（）（参考数据：e1.1≈3）A．38B．40C．45D．47【分析】根据函数模型：f（t）＝，取f（t）＝0.1，求解t值得结论．解：由题意，＝0.1，即1+e﹣0.22（t﹣50）＝10，得e﹣0.22（t﹣50）＝9，而e﹣0.22（t﹣50）＝e1.1×（﹣0.2）（t﹣50）＝（e1.1）﹣0.2（t﹣50），又e1.1≈3，∴3﹣0.2（t﹣50）＝9，即﹣0.2（t﹣50）＝2，得t﹣50＝﹣10，即t＝40．故选：B．7．已知cos（α﹣）+sinα＝，则sin（α+）的值是（）A．B．C．D．【分析】从表现形式上看不出条件和结论之间的关系，在这种情况下只有把式子左边分解再合并，约分整理，得到和要求结论只差π的角的三角函数，通过用诱导公式，得出结论．解：∵，∴，∴．故选：C．8．设函数f（x）＝x+2，g（x）＝x2﹣x﹣1．用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，则M（x）的最小值是（）A．1B．3C．0D．【分析】先通过比较求出函数的解析式，再各段求出最小值即可．解：令x2﹣x﹣1≥x+2，解得x≥3或x≤﹣1，则M（x）＝，当x≥3或x≤﹣1时，M（x）min＝M（﹣1）＝1，当﹣1＜x＜3时，函数没有最小值，综上：函数的最小值为1，故选：A．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝tan xC．f（x）＝D．f（x）＝3x﹣3﹣x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝＝，不是奇函数，不符合题意，对于B，f（x）＝tan x，是正切函数，不是增函数，不符合题意，对于C，f（x）＝，在定义域上既是奇函数又是增函数，符合题意，对于D，f（x）＝3x﹣3﹣x，其定义域为R，有f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，且在R上为增函数，符合题意，故选：CD．10．下列选项中，与sin（﹣）的值相等的是（）A．2sin15°sin75°B．cos18°cos42°﹣sin18°sin42°C．2cos215°﹣1D．【分析】求出sin（﹣π）的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D．解：sin（﹣）＝sin（﹣2π+）＝sin＝．对于A，2sin15°sin75°＝2sin15°cos15°＝sin30°＝；对于B，cos18°cos42°﹣sin18°sin42°＝cos（18°+42°）＝cos60°＝；对于C，2cos215o﹣1＝cos30°＝；对于D，因为tan45°＝＝1，可得＝．∴与sin（﹣）的值相等的是ABD．故选：ABD．11．已知函数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x＝对称，则（）A．f（0）＝B．函数f（x）的图象关于（，0）中心对称C．函数f（x）在（，）上单调递增D．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．解：∵函数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x＝对称，∴3×+φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝﹣，函数f（x）＝sin（3x﹣）．故有f（0）＝﹣，故A错误；令x＝，求得f（x）＝0，可得函数f（x）的图象关于（，0）中心对称，故B正确；当x∈（，），3x﹣∈（0，），函数f（x）没有单调性，故C错误；若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则f（x1）和f（x2）中，一个最大，另一个最小，|x1﹣x2|的最小值•＝，故D正确，故选：BD．12．已知f（x）＝，（常数k≠0），则（）A．当k＞0时，f（x）在R上单调递减B．当时，f（x）没有最小值C．当k＝﹣1时，f（x）的值域为（0，+∞）D．当k＝﹣3时，∀x1≥1，∃x2＜1，有f（x1）+f（x2）＝0【分析】针对各个选项，根据给的条件以及函数的性质判断是否正确．解：选项A：当k＞0时，当x≥1时，函数单调递减，但是f（1）＝2k+2＞2＞1，而当x趋近于1时，﹣x+2趋近于1，所以函数在R上不单调，A错误，选项B：当k＞﹣时，当x＜1时，函数显然没有最小值，则①当﹣＜k＜0时，此时x≥1时，＞＝1，即函数此时没有最小值，②当k＞0时，＞2，此时函数仍然没有最小值，综上，当k＞﹣时，函数没有最小值，B正确，选项C：当k＝﹣1时，当x≥1时，f（x）＝﹣+1∈[0，1），当x＜1时，f（x）＝﹣x+2＞1，所以此时函数的值域为（0，1）∪（1，+∞），C错误，选项D：k＝﹣3时，f（x）＝，当x≥1时，f（x）＝﹣﹣1∈[﹣4，﹣1），当x＜1时，f（x）＝﹣x+2∈（1，+∞），显然有（1，4]⊆（1，+∞），则对任意x1≥1，∃x2＜1，有f（x1）+f（x2）＝0，D正确，故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上。