2019-2020学年重庆市南开中学高一(上)期中数学试卷 727(解析版)
2019-2020学年重庆市南开中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|−2≤x <1}，B ={x|0<x ≤2}，则A ∩B =( )A. {x|−2≤x ≤2}B. {x|−2≤x <0}C. {x|0<x <1}D. {x|1<x ≤2}2. 用分数指数幂表示√a √a √a 3，正确的是( )A. a 43B. a 34C. a 112D. a −14 3. 下列函数中既是偶函数又在[0,+∞)上是增函数的是( )A. y =x 3B. y =|x |+1C. y =−x 2+1D. y =2x +14. 函数f(x)=√xx−2的定义域为( ) A. [2,+∞) B. (2,+∞) C. [0,+∞) D. [0,2)∪(2,+∞)5. 小超上完体育课需从操场返回教室上文化课，已知她先从操场走到教学楼楼下的水龙头处洗了一会儿手，此时听到上课预备铃已经打响，于是她马上跑步回到教室上课．如图是小超下体育课后走的路程y(m)关于时间x(min)的函数图象，那么符合情况的大致图象是( )A.B.C.D.6. 函数y =|x|−√x +1的值域是( ) ．A. [0,+∞)B. (0,1]C. [−1,1]D. [−1,+∞)7. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，g(x)是定义在R 上的奇函数，且g(x)=f(x −1)，则f(2017)+f(2019)的值为( ) A. −1 B. 1 C. 0 D. 28. 已知函数y =log a (8−ax)(其中a >0,a ≠1)在区间[1,4]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,12)C. (12,1)D. (1,2)9. 函数g(x)=2x +3，f(x)=g(2x −1)，则f(x +1)=( )A. 2x +1B. 4x +5C. 4x −5D. 4x +1 10. 下列函数f(x)中，满足“对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0”的是( )A. f(x)=e xB. f(x)=(x −1)2C. f(x)=12xD. f(x)=︳x +1︳11. 若函数f(x)={a(x −1)+1,x <−1a −x,x ≥−1(a >0，且a ≠1)是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,13) B. (13,1) C. (0,13] D. [13,1) 12. 满足M ∪{0,1}={0,1}的集合M 的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数f(x)=√1+x2且f (n)(x)=f[f[f ⋯f(x)]]⏟ n 个，求f (80)(1)=__________． 14. 已知f(x +7)是定义在R 上的奇函数，当x <7时，f(x)=−x 2，则当x >7时，f(x)=__________． 15. 已知函数f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)，如果f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)，那么f (x 1+x 22)=________．16. 已知f(x)={x,x ≥0,x 2,x <0,，则关于x 的不等式f(x 2)>f(3−2x)的解集是_______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|x 2+2x −3=0,x ∈R}，B ={x|x 2−(a +1)x +a =0,x ∈R}．(1)当a =2时，求A ∩C R B ；(2)若A ∪B =A ，求实数a 的取值集合．18. 已知函数f(x)=√(1−a 2)x 2+3(1−a)x +6.(1)若a =2, 求f(x)的定义域．(2)若f(x)的值域为[0,+∞), 求实数a 的取值范围． 19. 已知函数f(x)=3x+1,x ∈[0,5]，求函数的最大值和最小值．20.设定义在(0,+∞)上的函数f(x)，对于任意正实数a、b，都有f(a⋅b)=f(a)+f(b)−1，f(2)=0，且当x>1时，f(x)<1．)的值；(1)求f(1)及f(12(2)求证：f(x)在(0,+∞)上是减函数．21.(1)求不等式a2x−1>a x+2(a>0，且a≠1)中x的取值范围(用集合表示)．(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=√x+1，求函数f(x)的解析式．22.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(2x)=x2−2x．(I)求函数y=f(x)的解析式；(II)若关于x的方程f(x)=3a+2在(1,4)上有实根，求实数a的取值范围．5−a-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵A ={x|−2≤x <1}，B ={x|0<x ≤2}， ∴A ∩B ={x|0<x <1}． 故选：C ．由A 与B ，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.答案：B解析：【分析】本题考查了根式和分数指数幂的互化，属于基础题．把根式由内到外用分数指数幂表示即可，熟悉掌握根式与分数指数幂的互化是解题的关键． 【解答】解：√a √a √a 3=√a √a 323=√a ·a 12=√a 32=a 34． 故选B ． 3.答案：B解析：A 项函数为奇函数；B ，C 项函数为偶函数；D 项函数为非奇非偶函数；C 项函数在[0,+∞)上是减函数；故选B ． 4.答案：D解析：【分析】本题考查函数定义域与值域，属于基础题． 根据函数式有意义，列出不等式组求解可得． 【解答】解：要使函数f(x)=√xx−2有意义，必须{x ≥0x −2≠0, 解得x ≥0且x ≠2， ∴函数f(x)=√xx−2的定义域为[0,2)∪(2,+∞)．故选D ．5.答案：A解析：【分析】本题主要考查了从图象中读取信息的能力．解决此类识图题，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势，属于基础题．由于开始从操场走到教学楼楼下的水龙头处，接着停下洗了一会儿手，后来加快速度跑步回到教室上课，所以开始行驶路程y 是增大的，接着不变，后来速度加快，所以路程y 变化也加快变大，由此即可作出选择． 【解答】解：根据题意可得开始行驶路程y 是增大的，接着不变，后来速度加快，所以路程y 变化也加快变大，故A 符合题意． 故选A ． 6.答案：D解析：解：由题意，设t =√x +1， x ≥0，t ≥1，y =t 2−t −1=(t −12)2−54 ∈[−1,+∞)；−1≤x <0，1>t ≥0，y =1−t 2−t =−(t +12)2+54∈(−1,1]，∴函数的值域是[−1,+∞)． 故答案为[−1,+∞)．换元，分类讨论，可得函数的值域．本题考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 7.答案：C解析：由题意，得g(−x)=f(−x −1)，又∵f(x)是定义在R 上的偶函数，g(x)是定义在R 上的奇函数，∴g(−x)=−g(x)，f(−x)=f(x)，∴f(x −1)=−f(x +1)，即f(x −1)+f(x +1)=0，∴f(2017)+f(2019)=f(2018−1)+f(2018+1)=0． 8.答案：D解析：解：函数y =log a (8−ax)(其中a >0，a ≠1)在区间[1,4]上单调递减，当a >1时，由函数t =8−ax 在区间[1,4]上单调递减且y >0，故8−4a >0，求得1<a <2． 当0<a <1时，由函数t =8−ax 在区间[1,4]上单调递减，可得函数y =log a (8−ax)在区间[1,4]上单调递增，这不符合条件．综上，实数a 的取值范围为(1,2)， 故选：D ．分类讨论a 的范围，根据真数的符号以及单调性，求出a 的范围．本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于中档题． 9.答案：B解析：【分析】本题考查代入法，求函数的解析式，属于基础题．先根据复合函数的性质，求解出f(x)的解析式，将f(x)中的x 替换成x +1即可得答案． 【解答】由题意可得f(x)=g(2x −1)=2(2x −1)+3=4x +1，得f(x +1)=4x +5．故选B．10.答案：C<0，解析：解：若满足f(x1)−f(x2)x1−x2则函数是减函数，对于A：f(x)=e x在(0,+∞)上是增函数，不合题意；对于B：f(x)=(x−1)2在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，不合题意；(x>0)图象在第一象限，递减，符合题意；对于C：f(x)=12x对于D：f(x)=|x+1|=x+1是增函数，不合题意；故选：C．由题意得只需满足在(0,+∞)上，函数是减函数即可．本题考查了函数的单调性问题，考查了基本函数的性质，是一道基础题．11.答案：D解析：【解答】解：∵a>0，∴当x<−1时，函数f(x)为增函数，∵函数在R上的单调函数，∴函数为单调递增函数，)x，为增函数，则当x≥−1时，f(x)=(1a>1，即0<a<1，则1a同时a≥−2a+1，即3a≥1，即a≥1，3≤a<1，综上13故选：D．【分析】根据分段函数单调性的关系进行求解即可．本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质是解决本题的关键．12.答案：D解析：解：∵M∪{0,1}={0,1}，∴M⊆{0,1}，即M=⌀，或M={0}或M={1}或M={0,1}，即M的个数为4个，故选：D．根据集合的并集关系转化为集合M⊆{0,1}，进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据条件转化为子集关系是解决本题的关键．13.答案：19解析：【分析】本题主要考查了函数解析式求值和归纳法归纳通项公式，属于基础题． 根据条件求得f (1)=√2f(f (1))=√3f (f(f (1)))=√4，然后归纳出通项公式即可求值．【解答】解：∵f(x)=√1+x 2=√x 2+1，∴f (1)=√2f(f (1))=√3f (f(f (1)))=√4，∴可归纳出f (n)(x)=f[f[f ⋯f(x)]]⏟ n 个=√n+1， 故f (80)(1)=√80+1=√81=19， 故答案为19．14.答案：−(x −14)2解析：【分析】本题考查了与奇函数有关函数性质的问题，考查对奇偶性质的理解． 【解答】∵f(x +7)是定义在R 上的奇函数，∴f(x +7)=−f(−x +7)，∴f(x)=−f(−x +14)， ∴当x >7时，−x +14<7，故f(x)=−f(−x +14)=−(−x +14)2=−(x −14)2， 故答案为−(x −14)2．15.答案：4ac−b 24a解析： 【分析】本题考点是二次函数的图象与性质，主要是考查二次函数的对称性．本题是二次函数的对称问题，由二次函数的性质知道，f(x 1)=f(x 2)(其中x 1≠x 2)，则x 1，x 2到对称轴的距离相等，故可得f (x 1+x 22)=f (−b2a )，由此找到突破口．【解答】解：由f(x 1)=f(x 2)，得ax 12+bx 1+c =ax 22+bx 2+c ， 即a(x 1−x 2)(x 1+x 2)+b(x 1−x 2)=0． 因为x 1≠x 2，a ≠0， 所以x 1+x 2=−ba ， f (x 1+x 22)=f (−b 2a )=a (−b2a )2+b ·(−b2a )+c =4ac−b 24a．故答案为4ac−b 24a．16.答案：(−∞,−3)∪(1,3)解析：【分析】本题考查分段函数的图像与性质，解决问题的关键是先利用f(x)，将f(x 2)化为x 2，再分“3−2x ≥0”及“3−2x <0”进行讨论，可将原不等式进一步化为一元二次不等式，即得x 的范围． 解析：解：∵f(x)={x,x ≥0,x 2,x <0,，由x 2≥0，得f(x 2)=x 2，从而原不等式f(x 2)>f(3−2x)化为x 2>f(3−2x)．①当3−2x ≥0时，原不等式进一步化为x 2>3−2x ，得x >1，或x <−3，1<x ≤32，或x <−3． ②当3−2x <0时，原不等式进一步化为x 2>(3−2x)2，得1<x <3，∴32<x <3． 综合①、②得原不等式的解集为(−∞,−3)∪(1,3)． 故答案为(−∞,−3)∪(1,3)．17.答案：解：(1)A ={ x|(x −1)(x +3)=0 }={−3,1}，当a =2时，∵B ={1,2}，则C R B ={x|x ≠1且x ≠2}，∴A ∩C R B ={−3}. (2)∵A ∪B =A ，∴B ⊆A ．因为方程x 2−(a +1)x +a =0的两根为1和a ， 当a =1时∴B ={1}，符合A ∪B =A ，当a ≠1时∴B ={1,a}，再由A ={−3,1}，故有a =1或a =−3， ∴实数a 的取值集合为{−3,1}．解析： 分别化简集合，再求交集补集运算，及∵A ∪B =A ，∴B ⊆A ， 本题考查集合运算及子集关系，考查转化与化归思想，属基础题目， 18.答案：解：(1)当a =2,f(x)=√−3x 2−3x +6=√−3(x 2+x −2)=√−3(x +2)(x −1)． ∴−3(x +2)(x −1)≥0即−2≤x ≤1 ∴f(x)的定义域为[−2,1].(2)∵因为f(x)的值域为∴y =(1−a 2)x 2+3(1−a)+6取一切非负实数，∴{1−a 2>09(1−a )2−24(1−a 2)≥0，得−1<a ≤−511， 当1−a 2=0，得a =±1，当a =1时，f(x)=√6，不符合题意，当a =−1时，f(x)=√6x +6，值域为[0,+∞)，符合题意， 所以a ∈[−1,−511]．解析：本题考查了函数的定义域和值域，考查了考生的理解，计算，转化能力． (1)当a =2,f(x)=√−3(x +2)(x −1)，根据定义域解答即可得．(2)由f(x)的值域为 可得y =(1−a 2)x 2+3(1−a)+6取一切非负实数，然后1−a 2>0和1−a 2=0解答即可得．19.答案：解：函数f(x)=3x+1,x ∈[0,5]，可得f(x)在[0,5]为减函数， f(x)的最大值为f(0)=3； 最小值为f(5)=12．解析：由反比例函数性质，可得f(x)在[0,5]为减函数，计算可得函数的最值．本题考查函数的最值的求法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，属于基础题． 20.答案：解：(1)令a =b =1得f(1)=f(1)+f(1)−1，得f(1)=1， ∵f(2)=0，∴f(2×12)=f(2)+f(12)−1=f(1)，则0+f(12)−1=1，得f(12)=2(2)证明：设0<x 1<x 2，可得x2x 1>1，可得f(x2x 1)<1，由f(x 2)=f(x 1⋅x 2x 1)=f(x 1)+f(x 2x 1)−1<f(x 1)， 可得函数f(x)在(0,+∞)上是减函数．解析：(1)令a =b =1，a =2，b =12，即可求得f(1)及f(12)的值；(2)当x >1时，f(x)<1，根据函数单调性的定义讨论函数的单调性； 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及结合函数单调性的定义进行转化是解决本题的关键． 21.答案：解：(1)不等式a 2x−1>a x+2(a >0，且a ≠1)， ∵当a >1时，2x −1>x +2，即x >3． 当0<a <1时，2x −1<x +2，即x <3．故不等式a 2x−1>a x+2(a >0，且a ≠1)的解集： 当a >1时，{x|x >3}， 当0<a <1时，{x|x <3}(2)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，f(−x)=−f(x)，f(0)=0； 当x >0时，f(x)=√x +1， 当x <0时，则−x >0， 故得f(−x)=√−x +1，∵f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)，即−f(x)=√−x +1， ∴f(x)=−√−x −1，∵f(x)是奇函数，∴f(0)=0，∴f(x)={√x +1,(x >0)0,(x =0)−√−x −1,(x <0)解析：(1)根据指数函数的性质，求底数a 进行讨论，求解不等式．(2)函数f(x)是定义在R 上的奇函数，f(−x)=−f(x)，当x >0时，f(x)=√x +1，可求函数f(x)的解析式．本题考查了指数函数的性质，求底数a进行讨论求解不等式的问题和分段函数解析式的求法．属于基础题．22.答案：解：(1)令t=2x，则x=log2t，则f(t)=(log2t)2−2log2t，即f(x)=(log2x)2−2log2x；(2)x∈(1,4)，则log2x∈(0,2)，f(x)的值域为[−1,0),若关于x的方程f(x)=3a+25−a在(1,4)上有实根，则−1≤3a+25−a<0，解得a∈[−72,−23)．解析：本题主要考查了求函数解析式，求参数的取值范围，属于基础题．(1)用换元法，令t=2x，则x=log2t，代入即可求得解析式；(2)先求得f(x)的值域为[−1,0)，则−1≤3a+25−a<0，解得a的范围．。
重庆市南开中学2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
2020学年重庆市南开中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={–1，1，2}，集合B={x|x∈A且2–x∉A}，则B=A. {–1}B. {2}C. {–1，2}D. {1，2}【答案】C【解析】【分析】根据元素与集合的关系直接进行判断.【详解】集合B＝{x|x∈A且2﹣x∉A}，集合A＝{﹣1，1，2}，当x＝﹣1时，可得2﹣（﹣1）＝3∉A；当x＝1时，可得2﹣1＝1∈A；当x＝2时，可得2﹣2＝0∉A；∴B＝{﹣1，2}；故选：C．【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．2.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据根号下的式子非负，分母不等于0，列出不等关系，解得函数的定义域即可．【详解】由题意得：，解得：1＜x≤3，故选：D．【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式及分式的性质，是一道基础题．3.下列各组的两个函数为相等函数的是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】A中，f(x)＝的定义域为{x|x≥1}，g(x)＝的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，它们的定义域不相同；B中，f(x)＝()2的定义域为，g(x)＝2x－5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数．C中，f(x)＝与g(x)＝的对应关系不同，不相等．D中，f(x)＝＝x(x>0)与g(x)＝＝t(t>0)的定义域与对应关系都相同，它们相等,故选D.4.已知函数，且，则A. B. C. 2 D. 1【答案】B【解析】【分析】根据题意，先由换元法求出函数的解析式，结合函数的解析式可得若f（a）＝5，即4a+3＝5，解可得a的值，即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x﹣1）＝2x﹣1，令t x﹣1，则x＝2（t+1），则f（t）＝4（t+1）﹣1＝4t+3，若f（a）＝5，即4a+3＝5，解可得a；故选：B．【点睛】本题考查函数的解析式的求法及函数值的运算，属于基础题．5.函数的图象为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分离常数，结合反比例函数的图象可得答案；【详解】函数y；可得x，∵0，∴y又x＝3时，y＝0结合反比例函数的图象，可得x时，函数图象单调性递减；故选：C．【点睛】本题考查了函数图象变换及函数图像的识别，是基础题．6.已知函数是R上的奇函数，当时，，则A. B. 0 C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（）的值，又由函数的奇偶性可得f（）＝﹣f（），进而可得答案．【详解】根据题意，当x＞0时，f（x）＝4﹣x+x，则f（）1，又由函数为奇函数，则f（）＝﹣f（）＝﹣1；故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数的求值，属于基础题．7.函数，的值域为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可令，根据x的范围，可求出，并求出x＝t2﹣1，原函数变成y＝2（t2﹣1）﹣3t，配方即可求出该函数的最值，从而得出f（x）的值域．【详解】令；∵；∴；∴x＝t2﹣1；∴；∴时，f（x）取最小值；t＝2时，f（x）取最大值0,但是取不到；∴f（x）的值域为：．故选：C．【点睛】考查函数值域的概念及求法，换元法求函数的值域以及配方求二次函数值域的方法．8.已知是奇函数且在R上的单调递减，若方程只有一个实数解，则实数m的值是A. B. C. D.【答案】B【分析】由已知函数的奇偶性与单调性把方程f（x2+1）+f（m﹣x）＝0只有一个实数解转化为方程x2﹣x+m+1＝0只有一个实数解，再由判别式等于0求得m值．【详解】∵f（x）是奇函数，∴由f（x2+1）+f（m﹣x）＝0，得f（x2+1）＝﹣f（m﹣x）＝f（x﹣m），又f（x）在R上的单调递减，∴x2+1＝x﹣m，即x2﹣x+m+1＝0．则△＝（﹣1）2﹣4（m+1）＝0，解得m．故选：B．【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，是基础题．9.已知开口向上的二次函数对任意都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．【详解】由题意函数的对称轴是x，图象开口向上，若f（x）在区间（a，2a﹣1）上单调递减，则只需2a﹣1，解得：a，而a＜2a﹣1，解得：a＞1，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．10.已知是定义在上的偶函数，若对任意的，都满足，则不等式的解集为A. B. C. D.【解析】【分析】根据题意，由函数为偶函数可得f（x+1）﹣f（2x﹣1）＜0⇒f（|x+1|）＜f（|2x﹣1|），进而分析可得在[0，+∞）上为增函数，据此可得|x+1|＜|2x﹣1|，解可得x的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，则f（x+1）﹣f（2x﹣1）＜0⇒f（|x+1|）＜f（|2x﹣1|），若f（x）对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都满足0，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（|x+1|）＜f（|2x﹣1|）⇒|x+1|＜|2x﹣1|，变形可得：（x+1）2＜（2x﹣1）2，解可得：x＜0或x＞2，即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）；故选：C．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．11.已知函数，若存在实数x，使得与均不是正数，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】存在实数x，f（x）与g（x）的值均不是正数，所以对m分类讨论，即m＝0、m＜0、m＞0 讨论f（x）与g（x）的值的正负，求出满足题意的m的值．【详解】分3类讨论①m＝0 时，对于任意x,g（x）＝0 而f（x）＝2（x+1）2+2值恒正，不满足题意．②m＜0 时，对于x0 时，g（x）0 成立，只需考虑x0时f（x）的情况，由于函数f（x）＝2x2+（4﹣m）x+4﹣m，对称轴为.当m＜0 时，对称轴在y轴左侧，故只需满足f（0）＜0即可，即m＞4，不满足题意．③当m＞0 时，g（x）0 在x0 时成立，只需考虑x0时f（x）的情况，若存在实数x使得f（x）不是正数，则,即m≥4.此时对称轴，所以只需，解得m≥4..综上所述m取值范围为m≥4．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．12.已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的最大值为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】画出函数f（x）的图象，对b，a分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．【详解】函数f（x），如图所示，①当b＝0时，[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0化为[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，因此其整数解为2，又f（2）＝﹣4+2＝﹣2，∴﹣a＜﹣2＜0，﹣a≥f（3）＝﹣6，则6≥a＞2，a≤0不必考虑．②当b≠0时，对于[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0，△＝a2+4b2＞0，解得：f（x），只考虑a＞0，则0，由于f（x）＝0时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，1），舍去．综上可得：a的最大值为6．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则______【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式计算f（），再次代入函数的解析式计算可得答案．【详解】根据题意，f（x），则f（），则f（）；故答案为：【点睛】本题考查分段函数的求值，关键掌握函数的解析式，属于基础题．14.函数的单调减区间为______．【答案】【解析】【分析】根据所给函数式，讨论去掉绝对值，得到一个分段函数，利用二次函数的单调性即可得到减区间．【详解】当x＞2时，f（x）＝x2﹣2x，当x≤2时，f（x）＝﹣x2+2x，故函数f（x）．f（x）＝x2﹣2x的对称轴为：x＝1，开口向上，x＞2时是增函数；f（x）＝﹣x2+2x，开口向下，对称轴为x＝1，则x＜1时函数是增函数，1＜x＜2时函数是减函数．即有函数的单调减区间是[1，2]．故答案为：[1，2]．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是去掉绝对值，把函数化成基本初等函数，再通过函数的性质或者图象得到结果．15.设函数是定义在R上的奇函数，，若在单调递减，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，分析可得在区间（0，2）或（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0；在（2，+∞）或（﹣2，0）上，f（x）＜0，又由原不等式等价于或，分析可得不等式的解集，即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）单调递减，又由f（﹣2）＝0，则f（2）＝﹣f（﹣2）＝0，则在区间（0，2）上，f（x）＞0，则（2，+∞）上，f（x）＜0，又由f（x）为R上的奇函数，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0，则（﹣2，0）上，f （x）＜0，则在区间（0，2）或（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0；在（2，+∞）或（﹣2，0）上，f（x）＜0，（x+1）f（x﹣1）＞0⇒或，解可得：1＜x＜3，即x的取值范围为（1，3）；故答案为：（1，3）．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意将原不等式转化为关于x的不等式，属于基础题．16.已知函数对任意的实数x，y都满足且，则的值为______．【答案】【解析】【分析】可令x＝y＝0，计算可得f（0）＝1，再令x＝y＝1，求得f（2）；令x＝0，y＝1，求得f（﹣1），再令x＝y＝﹣1，求得f（﹣2），即可得到所求和．【详解】对任意的实数x，y都满足f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y）且f（1），令x＝y＝0，可得f（0）+f（0）＝2f（0）f（0），可得f（0）＝0或f（0）＝1，若f（0）＝0，可令y＝0，则f（x）+f（x）＝2f（x）f（0）＝0，即f（x）＝0，这与f（1）矛盾，则f（0）＝0不成立，则f（0）＝1，令x＝y＝1，可得f（2）+f（0）＝2f（1）f（1），可得f（2）＝21，令x＝0，y＝1可得f（1）+f（﹣1）＝2f（0）f（1），即有f（﹣1）＝2×1，令x＝y＝﹣1可得f（﹣2）+f（0）＝2f（﹣1）f（﹣1），即有f（﹣2）＝21，则f（2）+f（﹣2）＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求法，注意运用赋值法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，，，其中．设全集为R，求；若，求实数m的取值范围．【答案】(1);(2) 实数m的取值范围是.【解析】【分析】（1）求解集合A、B，根据补集，交集的定义求解A∩（∁R B）；（2）根据并集的定义A∪B∪C＝R，即可实数m的取值范围．【详解】由集合或，（1）由条件可得，.由（1）可知或，由，即或，解得：解得实数m的取值范围是．【点睛】本题考查了交、并、补集及其运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．18.；设，化简：；若，求的值．【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】根据指数幂的性质求出代数式的值即可．利用根式与分数指数幂互化进行化简即可.由已知先计算，再平方计算，代入计算即可.【详解】原式；原式；若，则，，故．【点睛】本题考查了指数幂的运算及根式与分数指数幂互化，考查转化思想，是一道常规题．19.已知函数是定义在上的奇函数，且．求的解析式；求函数的值域．【答案】(1);(2) 值域为.【解析】【分析】（1）根据奇函数得f（0）＝0，解得b＝0；根据f（），解得a＝2；（2）利用一元二次方程有解，判别式大于等于0解得．【详解】由已知得，即，，再由，得，解得，，，，当时，；当时，一元二次方程对x有解，所以，解得且，综上所述：所求函数的值域为【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，考查了分式型函数求值域的方法，属中档题．20.已知集合，，．若，求实数a的取值集合；若，求实数a的取值范围．【答案】(1) 实数a的取值集合为；（2）实数a的取值范围为.【解析】【分析】（1）由B＝{1，2}，A∩B≠∅，得1∈A或2∈A，得关于a的方程，求得a；（2）由C＝（﹣3，2）与A⊆C，分类讨论A＝∅与A≠∅两种情况下满足条件的不等式组，从而求出a的取值范围．【详解】（1）根据题意得到若，则，，此时，，，此时，实数a的取值集合为；，设，若，则，，，，，，，，综上可知，实数a的取值范围为．【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，需注意不要漏掉空集，难度中档．21.定义在上的函数满足对所有的正数x、y都成立，且当，．求的值判断并证明函数在上的单调性若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由f（xy）＝f（x）+f（y），取x＝1，y＝1得f（1）＝0；（2）设x1＞x2＞0则f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（），又当x＞1，f（x）＜0，得f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）由f（2）＝﹣1，f（xy）＝f（x）+f（y），f（kx）﹣f（x2﹣kx+1）≥1得f（2kx）≥f （x2﹣kx+1），又f（x）在（0，+∞）上单调递减，得到关于k的不等式组，解之得实数k的取值范围．【详解】（1）∵f（xy）＝f（x）+f（y），取x＝1，y＝1得：f（1）＝f（1）+f（1）；∴f（1）＝0；（2）设x1＞x2＞0则f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（），∵x1＞x2＞0；∴；又x＞1时，f（x）＜0；∴；∴f（x1）﹣f（x2）＜0；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）∵f（2）＝﹣1，f（xy）＝f（x）+f（y）；由f（kx）﹣f（x2﹣kx+1）≥1得f（2kx）≥f（x2﹣kx+1）又f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴∴，∴∴0＜k．【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性及恒成立问题，考查了用定义法证明单调性及不等式恒成立问题，运用了转化思想，属于难题．22.已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，其中min{p，q}=（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）（ⅰ）．（ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（Ⅱ）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值．试题解析：（Ⅰ）由于，故当时，，当时，．所以，使得等式成立的的取值范围为．（Ⅱ）（ⅰ）设函数，，则，，所以，由的定义知，即（ⅱ）当时，，当时，．所以，．【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（Ⅱ）根据的取值范围求出的最大值，进而可得．。
2019-2020学年重庆市南开中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年重庆市南开中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}|12A x x =-<，(){}|ln 2B x y x ==-，则A B =（ ）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．()1,2-D ．∅【答案】C【解析】首先根据绝对值不等式的解法以及对数的定义域求出集合A 、B ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】因为1221231x x x -<⇒-<--<⇒<<则A {}13x x =-<<，(){}{}|ln 22B x y x x x ==-=<， 所以A B =()1,2-，故选：C 【点睛】本题考查了根据绝对值不等式的解法、对数的定义域以及集合的交运算，属于基础题. 2．函数2sin cos 3y x x =+的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】利用二倍角公式将函数化为sin 23y x =+，再由公式2T πω=即可求解.【详解】函数2sin cos 3sin 23y x x x =+=+，所以222T πππω===， 故选：B 【点睛】本题考查了正弦的二倍角公式以及周期公式，需熟记公式，属于基础题. 3．函数2()ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ） A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e,)+∞【答案】B【解析】试题分析：()()()()()10,20,30230f f f f f <<>∴<，所以函数2()ln f x x x=-的零点所在的区间是(2,3) 【考点】函数零点存在性定理4．扇形的周长是4，面积为1，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】设扇形的弧长为l ，半径为r ，扇形的圆心角的弧度数是α，则24r l +=，①112S lr ==扇形 ，②解①②得：1r =，2l =∴扇形的圆心角的弧度数2lrα== 故选C5．锐角α满足2sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．23B ．23-C ．D 【答案】D【解析】根据同角三角函数的关系求出cos 3πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，由623πππαα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，利用诱导公式即可求解. 【详解】由锐角α满足2sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos 33πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以sin si 2os 3c n 36πππααπα⎛⎫⎛⎫---= ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎪ ⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：D【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系、诱导公式，需熟记公式，属于基础题.6．若1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2log a x =，2a b =，12ac ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数a ，b，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >>【答案】A【解析】首先利用对数函数的单调性求出a 的取值范围，再利用指数函数的单调性求出b ，c 的范围，进而可判断出大小.【详解】2log y x =在定义域内为增函数，且1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10a ∴-<<，2x y =为增函数，112b ∴<<，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，12c ∴<< ，所以c b a >>. 故选：A 【点睛】本题主要考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题. 7．sin 53sin 23cos30cos 23︒︒-︒︒=（ ）A ．1B ．12C D 【答案】B【解析】利用两角和的正弦公式将()sin53sin 3023=+展开化简即可求解. 【详解】()sin 3sin 23cos30sin503sin 23cos30cos 23co 23s 23-+︒︒︒-︒︒︒︒=sin sin 2330c c os 23os30cos30sin 30cos 23sin 2312+︒︒=︒-︒==，故选：B【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，需熟记公式，属于基础题. 8．在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解. 【详解】 函数，与，答案A 没有幂函数图像， 答案B.中，中，不符合， 答案C 中，中，不符合，答案D 中，中，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.9．声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2/W m ）满足()1210lg110xf x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB .那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ） A ．410倍B ．610倍C ．810倍D ．1010倍【答案】C【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ，根据题意得出()1140f x =，()260f x =，就算出1x 和2x 的值，可计算出12x x 的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ， 由题意可得()111210lg140110x f x -=⨯=⨯，解得2110x =， ()221210lg60110x f x -=⨯=⨯，解得6210x -=， 所以28162101010x x -==， 因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数模型的应用，同时也涉及到对数式与指数式的互化，考查计算能力，属于基础题.10．为了得到函数sin(2)6y x π=+的图象，可以将函数cos2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向左平移3π个单位【答案】A【解析】sin(2)cos(2)cos(2)cos(2)62633y x x x x πππππ=+=--=-=-，设x x ϕ→+ ，cos 2()cos(22)y x x ϕϕ=+=+ ，令2,36ππϕϕ=-=-，把函数cos2y x =的图象向左平移6π个单位得到函数sin(2)6y x π=+的图象.选C.11．函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()00f ≠.若对任意实数x ，y 都有()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝⎭⎝+⎪⎭，则()2020f =（ ）A ．B ．-1C ．0D ．1【答案】D【解析】将x 用1x +替换，y 用x 替换，可得()()111222x x x x f x f x f f +++-⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得()()10f x f x ++=，进而可得()()2f x f x +=，可求出函数的周期2T =，再令0x =，可求出()0f ，由()()20200f f =即可求解.【详解】将x 用1x +替换，y 用x 替换，由对任意实数x ，y 都有()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎝⎭⎝+⎪⎭，可得()()111211222222x x x x x f x f x f f ff +++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()()10f x f x ++=，即()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，所以函数的周期2T =， 令0x =，则()()()()00200f f f f +=⨯，因为()00f ≠， 所以()01f =，所以()()()20201010001f f T f =+==， 故选：D 【点睛】本题考查抽象函数及其应用，利用函数的周期性定义求出函数的周期，解决抽象函数的问题一般应用赋值法，此题属于中档题.12．函数()sin 2cos2f x a x b x =+（,a b ∈R 且0ab ≠）满足()06f f x x π⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭.则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．2,63k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k Z ∈B ．,63k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈C ．,36k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭， k Z ∈D ．5,36k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k Z ∈ 【答案】A【解析】由()06f f x x π⎛⎫+--= ⎪⎝⎭可得,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个中心对称点，代入解析式可得a ，再由()2f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭可得0b <，再利用辅助角公式结合正弦函数的单调区间即可求解. 【详解】函数()sin 2cos2f x a x b x =+且()06f f x x π⎛⎫+--= ⎪⎝⎭可得,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个中心对称点， sin cos 01266f a b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得a =，()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭， sin cos sin 2cos2a b a b ππππ∴+>+，0b ∴<()sin 2cos 22sin 26f x x b x b x π⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭，所以()3222262k x k k ππππ+≤+≤π+∈Z ， 解得()263k x k k πππ+≤≤π+∈Z所以函数的单调递增区间为2,63k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k Z ∈. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的对称中心点、单调区间以及辅助角公式，需熟记三角函数的性质，属于中档题.二、填空题 13．如果，那么等于_______.【答案】【解析】由可得，从而可得结果.【详解】 因为，，所以，故答案为.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 14．幂函数()222533m m y m m x +-=-+在()0,∞+单调递减，则实数m 的值为_________. 【答案】1【解析】利用幂函数的定义以及幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得22331250m m m m ⎧-+=⎨+-<⎩，解得1m =，故答案为：1 【点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质，需熟记定义与性质，属于基础题. 15．若()sin cos f x x x =-在[],a a -上的最大值为1，则实数a =_________. 【答案】2π【解析】利用辅助角公式化()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，根据函数的最值以及单调性可得()1f a =，代入即可求解.【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，函数在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，因为函数在[],a a -上的最大值为1， 所以()14f a a π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得44a ππ-=，所以π2a =故答案为：2π 【点睛】本题考查了三角函数的辅助角公式、三角函数的性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题.16．已知函数()()()12log 1,1121,13x x f x f x x ⎧+-<<⎪=⎨⎪-+<<⎩，若方程()()20f x af x -=有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为_________. 【答案】()1,2【解析】由已知中函数()()()12log 1,1121,13x x f x f x x ⎧+-<<⎪=⎨⎪-+<<⎩，若关于x 的方程()()2f x af x =恰有四个不同的实数解，根据函数()f x 的图像得到恰有三个不同的实数根，进而得到实数a 的取值范围. 【详解】函数()()()12log 1,1121,13x x f x f x x ⎧+-<<⎪=⎨⎪-+<<⎩的图像如下：关于x 的方程()()20fx af x -=，转化为()0f x =，或()f x a =，若方程()()20fx af x -=有四个不同的实数解，则()f x a =恰有三个不同的实数解， 由图可知：12a <<， 故答案为：()1,2 【点睛】本题考查了对数函数的综合问题，考查方程的根、函数的值域，考查了数形结合的思想以及学生分析解决问题的能力，属于中档题.三、解答题17．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）写出函数()f x 的最小正周期；（2）用五点作图法画出函数()f x 在一个周期内的图象 【答案】（1）T π=；（2）见解析【解析】（1）根据正弦型三角函数最小正周期公式2T ωπ=即可求解.（2）按“五点作图法”列表、描点、连线即可求解. 【详解】由函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2ω= .∴ 222T πππω===. （2）列表：作出函数的图像：【点睛】本题考查了正弦函数的最小正周期公式以及“五点作图法”，需掌握作图步骤，属于基础题.18．已知角α终边上有一点()1,P y ，且sin α= （1）求tan α的值；（2）求()()sin sin 2sin cos 2ππαααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭--的值.【答案】（1）tan 2α= （2）3【解析】（1）利用三角函数的定义求出2y =即可求解. （2）利用诱导公式即可求解. 【详解】（1）角α终边上有一点()1,P y，且sin 5α=，5=，解得2y =， 所以tan 21yα==. （2）()()sin sin sin cos tan 123sin cos 2sin cos tan 1ππααααααπαααα⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭===----【点睛】本题考查了三角函数的定义以及诱导公式，需熟记公式，属于基础题. 19．已知函数()1log 1a m f x x x +=-（0a >且1a ≠）是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）当()1,2x a ∈-时，函数()f x 的值域为()1,+∞，求实数a 的值. 【答案】（1）1m = （2）2a =+【解析】（1）利用函数为奇函数可得()()0f x f x +-=，结合函数表达式以及对数的运算性质即可求解.（2）根据区间的定义可得21a ->，再利用对数型复合函数的单调性可得()21f a -=，进而可求出a 的值.【详解】（1）由()()0f x f x +-=，得11log log 011a a mx mx x x +-++=---， ∴11111mx mx x x +-⋅=-+，可得22211m x x -=-，即()2210m x -=， ∴1m =±，经检验，1m =符合题意，故1m =. （2）由21a ->，得3a >，∴log a y t =单调递增， 令12111x t x x +==+--在()1,+∞上单调递减， ∴函数()y f x =在()1,2a -上单调递减，∴()21f a -=，解得2a =+【点睛】本题考查了函数的奇偶性应用、对数的运算以及对数型复合函数的单调性应用，属于中档题.20．已知函数())()cos cos 0f x x x x ωωωω=->(0)>ω的两条对称轴之间的最小距离为2π. （1）求函数()f x 的最大值；（2）若()310f α=，0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos2α的值.【答案】（1）12 （2 【解析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的公式将函数化为1sin 262x πω⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再由题意求出函数的周期，进而求出函数表达式即可求解. （2）由（1）求出3cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由2266ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭结合两角和与差的公式即可求解. 【详解】（1）())cos cos f x xx x ωωω=-2cos cos x x x ωωω=-1112cos 2sin 22262x x x πωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， ∵122222T ππω==⋅， ∴1ω=，()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ∴当2262x k πππ-=+，即3x k ππ=+，k Z ∈时，()f x 取得最大值12. （2）由题意，()13sin 26210f παα⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∴4sin 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,662πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴3cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴cos 2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭341552=⨯=【点睛】本题考查二倍角公式、两角和与差的逆应用以及正弦函数的性质，需熟记公式与性质，属于基础题.21．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()()()0011f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“旺点”.（1）求函数()23xf x x =+在R 上的“旺点”；（2）若函数()22log 1g ax x=+在()0,∞+上存在“旺点”，求正实数a 的取值范围.【答案】（1）031log 2x =- （2）)32⎡⎣ 【解析】（1）利用题中定义，列方程求解即可. （2）根据题意将问题转化为方程()22222log log log 1211a a ax x =++++在()0,∞+上有解，化简可得()222220a x ax a -++-=，讨论二次项系数使方程在()0,x ∈+∞上有解即可. 【详解】（1）由题意，有()00100213235x x x x +++=++，化简得0332x =，∴031log 2x =-为所求“旺点”. （2）方程()22222log log log 1211a a ax x =++++在()0,∞+上有解， 化简得()222220a x ax a -++-=，记()()22222h x a x ax a =-++-，()0,x ∈+∞，①当20a -=，即2a =时，()42h x x =+在()0,∞+上无根，故舍去； ②当20a ->，即2a >时，()h x 的对称轴为02ax a=<-，()0220h a =->，∴()0h x >对一切()0,x ∈+∞恒成立，故舍去； ③当20a -<，即02a <<时，()h x 的对称轴为02ax a=>-，故只需()()2442220a a a ∆=---≥，即2640a a --≤，解得32a ≤<；综上所述，正实数a 的取值范围为)32⎡-⎣. 【点睛】本题是一道函数的新定义题目，考查了方程的根以及含参数的一元二次方程的根，考查了学生对新定义题目的理解能力，属于中档题. 22．已知函数()()12x xf x e e -=-. （1）判断()f x 的奇偶性和单调性（不要求证明）；（2）若不等式()()()sin 23sin cos 230f m f m ααα-++++>⎡⎤⎣⎦对任意0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若()()cos sin ff θθθ<，其中0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求证：2sin 42sin 216sin 8θθθθθ++>.【答案】（1）奇函数，增函数 （2）1m >（3）证明见解析【解析】（1）利用函数的奇偶性定义以及指数函数的单调性即可判断.（2）利用函数的单调性将不等式转化为()()sin 23sin cos 230m m ααα-++++>，令sin cos 4t πααα⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，不等式进一步转化为 ()213230t m t m --+++>，解不等式由t 的范围即可求解.（3）利用函数的单调性可得cos sin θθθ<，再根据分析法结合二倍角公式以及万能公式即可证明. 【详解】（1）()f x 为R 上的奇函数和增函数.（2）()()()sin 23sin cos 230f m f m ααα-++++>⎡⎤⎣⎦()()()sin 23sin cos 23f m f m ααα⇔-++>-+⎡⎤⎣⎦()23f m =--()()sin 23sin cos 23m m ααα⇔-++>-- ()()sin 23sin cos 230m m ααα⇔-++++>.令sin cos 4t πααα⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则2sin 22sin cos 1t ααα==-. 原式()213230t m t m ⇔--+++>()()()23220120t m t m t m t ⇔-+++>⇔--->，∵20t -<，∴原式101t m m t ⇔--<⇔>-，∴1m >.（3）由()()sin sin f f θθθ<，得cos sin θθθ<，∵0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴20,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos20θ>， ∴2sin 42sin 216sin 8θθθθθ++>()22sin 2cos 22sin 2812sin 8cos 2θθθθθθθ⇔+>-=()sin 2tan 24*θθθ⇔+>而222tan 2tan sin 2tan 21tan 1tan θθθθθθ+=++-44tan 4tan 41tan θθθθ=>>-，∴()*成立，故原式得证. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义、指数函数的单调性、二倍角公式以及万能公式、分析法证明不等式，考查了转化、化归的解题思想，综合性比较强，知识跨度大，难度较高，属于难题.。
2019学年重庆市高一上学期期中数学试卷【含答案及解析】
2019学年重庆市高一上学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名____________ 班级_______________ 分数____________、选择题1.已知集合.「,那么'._■=（）A、；__B、_.一 -.:C、：…D2. 式子斗工存.一的值为（）_______A、 2 B 、3 C 、3. 下列函数为奇函数的是（）A、「 ----------------------------B、_ ：C、•「、 -------------------------------D、—r4. 已知「二二-I .，------ ，那么J是*的（）条件r —4A、充分不必要___________B、充要____________C、必要不充分__________D、既不充分也不必要5. 已知幂函数，.....1 在实数集「上单调，那么实数■1=（）A、一切实数B 、3 或-1 C 、-1 D 、36. 定义在实数集；■■上的函数二满足■■，若「—-I，:，那么点=消的值可以为（）A、5_________ B 、-5 ___________ C 、0 ____________ D 、-17. 对于任意的if，以下不等式一定不成立的是（）A、.:辱H -------------------------------------------B、］_C、_ ■. - ----------------------D、/"＞；:8. 以下关于函数； ------- 1 …的叙述正确的是（）r —1A、函数一在定义域内有最值B、函数i'：■- \在定义域内单调递增C、函数的图象关于点对称D、函数■,—的图象朝右平移3个单位再朝上平移2个单位即得函数•r9. 函数厂*:满足r、. f「，且当丫引时，.| : - _ ,则方程• | ；的所有实数根之和为（）A、2 B 、3 __________ C 、4 ____________ D 、110. 已知关于的方程…一、「、一、「- ——「-J有两个不等的实数根，那么［- ■--的取值范围是（）A、①炖］________________B、［0.1 ］ ____________C、（CU ］_____________D、（CU）f a X11. 已知函数= 一・2 在区间［1.+8）上单调递增，那么实数口的取值范围是（）A、（—L3）_________B、（-L3］ ____________C、［0-习______________D、［0J）12. 对于任意A € R，函数/（.!）= X- -2^-|.¥-1-«|-|.7--2|+4的值非负，则实数的最小值为（）11-5 C 、-3_________________ 、-2 7、填空题13. 将函数「二二― -I _的图象向上平移1个单位，再向右平移后得到函数的，那^2个单位加的表达式为__________________________________________ •14. 已知，那么实数口的最小值为 _______________________________________15. 函数「】•：.-.：* ---是实数集「上的偶函数，并且:的解为(-2.2)，贝V £的值为________________ •16. 函数二严，貞町二F —十+，若对于任意的[-L2都存在re[^.2fr+l]，使得g 二密⑴成立，则实数庄的取值范围是 __________________三、解答题( ( 9]17. 集合亍(1 )若集合，,只有一个元素，求实数的值；2 )若.，是-的真子集，求实数，的取值范围.T —18・函数■ I ■ ' - ■■■'''•r I r(1 )判断并证明函数的奇偶性;(2 )求不等式—-•—的解集s n19.如图，定义在||-：1 ：：上的函数的图象为折线段 ,(1 )求函数 的解析式；(2 )请用数形结合的方法求不等式门；住.［世」\.7门 的解集，不需要证明20.集合貝二<|^+严・3”+号=0.工丘尺｝，月二｛耳|「9、+严带+ 1 = 0“迂应｝，且 实数.：“ .；11 •C 1)证明：若I | L 八，则i.匚；(2 )是否存在实数一:；，，满足；-且；'.:?若存在，求出.的值，不存在说明理由•21.函数 > 1 ■ I ■I ' ■ ■11■■ •(1 )若函数的值域是一.• I ,求■的值；(2 )若汀込汽］化仝字辽・对于任意 心.9］ 恒成立，求■的取值范围(1)请写出函数--■- —I ：- 与函数J —-T*Y在一 「I 的单调区间(只写结论，不证明)； (2 )求函数 的最值；(3 )讨论方程. • 一 I■实根的个数•22. 上单调递减，在区间)上单调递增；函数.•已知函数 -—■ 1 .第4题【答案】参考答案及解析第1题【答案】 AI【解析】析；A/ = (v|l<^<51.ve.V}={2J^} \^U^={L23.4},故选盘第2题【答案】【解析】第3题【答案】【解析】试题分析；沖函数定义域为［T 」］,井且满足/(-x)=/(x),函数州駆甌 沖购定义I 或为/? ；,跚为非奇非偶国数j C 中函数定义域为［71］，并目满足 f(-x) = -f(x),国数为奇函断D 中酗定义域再何2。
天津市南开区南开中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
设 ，则 的最小值为______.
答案及解析：
18.
【分析】
把分子展开化为 ，再利用基本不等式求最值．
【详解】
，
当且仅当 ，即 时成立，
故所求的最小值为 ．
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
评卷人
得分
二、解答题本大题共5道小题。
19.
已知幂函数 的图象经过点 .
（1）求幂函数f(x)的解析式；
当 时， 不成立；
；
，
故 ，
故选：CD.
7.
（多选题）下列判断中哪些是不正确的（）
A. 是偶函数
B. 是奇函数
C. 是偶函数
D. 是非奇非偶函数
答案及解析：
7.
AD
【分析】
根据奇函数和偶函数的定义，判断每个选项函数的奇偶性即可．
【详解】A. 的定义域为 ，定义域不关于原点对称，
不是偶函数，
该判断错误；
23.
函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
答案及解析：
23.
（1）0；（2）见解析；（3）
16.
已知函数f(x)满足 ，则f(x)的解析式为________
答案及解析：
16.
【分析】
由已知可得f（ ） 2f（x） ，联立两式消去f（ ），解方程组可得．
【详解】∵
∴f（ ） 2f（x） ，
2019-2020学年重庆一中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年重庆一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={1,2，3，4，5，6，7}，集合A={1,3，5，6，7}，B={1,2，3，4，6，7}，则A∩(∁U B)=()A. {3,6}B. {5}C. {2,4}D. {2,5}2.函数y=a x–2+2(a>0,a≠1)的图象必过定点()．A. (1,2)B. (2,2)C. (2,3)D. (3,2)3.在0∘−360∘的范围内，与−510∘终边相同的角是()A. 330∘B. 210∘C. 150∘D. 30∘4.函数f(x)=x+1√x+1−ln(4−x2)的定义域是()A. [−1,2)B. (−2,2)C. (−1,2)D. (−2,−1)∪(−1,2)5.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a6.函数的零点所在区间是()A. (0,1)B. (2,3)C. (1,2)D. (3,+∞)7.已知函数则f(f(116))=()A. 19B. −19C. 9D. −98.函数f(x)=(21+e x−1)cosx的图象的大致形状是A. B.C. D.9.函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是()A. (−∞,−2)B. (−∞,1)C. (1,+∞)D. (4,+∞)10.关于x的方程(13)|x|+a−1=0有解，则a的取值范围是()A. 0≤a<1B. −1<a≤0C. a≥1D. a>011.已知函数f(x)=ln(√1+4x2−2x)+3，则f(lg2)+f(lg12)=()A. 0B. −3C. 3D. 612.指数函数y=f(x)的反函数的图象过点(2,−1)，则此指数函数为()A. y=(12)x B. y=2x C. y=3x D. y=10x二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数，且当x∈(0,+∞)时，f(x)是增函数，则f(x)=__________14.已知扇形周长为8，面积为4，则圆心角为______ 弧度．15.已知f(x)是定义R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x2−2x+3，则f(3)=______ ．16.函数f(x)=lg(x+2)+√2−2x的定义域为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.化简：0.25(127)−13+√(lg3)2−lg9+1−lg13+810.5log35．18.已知集合A={x|a−1≤x≤a+2}，B={x|3<x<5}，若A∩B=B，求实数a的取值范围．19.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，满足①不等式f(x)+2x>0的解集为{x|1<x<3}，②方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，试确定f(x)的解析式．20.函数f(x)=ax−b4−x2是定义在(−2,2)上的奇函数，且f(1)=13．(1)求f(x)的解析式；(2)判断并证明f(x)的单调性；(3)解不等式f(t−1)+f(t)<0．21.设函数f(x)=|2x+1|+|x−1|．(1)画出y=f(x)的图象；(2)当x∈[0,+∞)时，f(x)≤ax+b，求a+b的最小值．22.已知函数f(x)=xlnx+ax(a∈R).(Ⅰ)若函数f(x)在区间[e,e2]上为减函数，求a的取值范围；(Ⅱ)若对任意x∈(1,+∞)，f(x)>k(x−1)+ax−x恒成立，求正整数k的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集和补集的定义是解决本题的关键．根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵U={1,2，3，4，5，6，7}，集合A={1,3，5，6，7}，B={1,2，3，4，6，7}，∴∁U B={5}，则A∩(∁U B)={5}，故选：B．2.答案：C解析：解：可令x−2=0，解得x=2，y=a0+2=1+2=3，则函数y=a x−2+2(a>0,a≠1)的图象必过定点(2,3)．故选：C．由指数函数的图象恒过定点(0,1)，可令x−2=0，计算即可得到所求定点．本题考查指数函数的图象的特点，考查运算能力，属于基础题．3.答案：B解析：【分析】本题考查终边相同的角，属于基础题．直接利用终边相同的角的概念，把−510∘写成的形式，则答案可求．【解答】解：∵−510∘=−720∘+210∘=−2×360∘+210∘，∴在0∘−360∘的范围内，与−510∘终边相同的角是210∘．故选B．4.答案：C解析：【分析】本题考查函数的定义域及其求法，考查不等式的解法，是基础题．由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．【解答】解：要使函数有意义，则{x+1>0, 4−x2>0,解得−1<x<2，即f(x)的定义域是(−1,2)．故选C．5.答案：B解析：【分析】本题考查比较大小，考查指数函数及对数函数的性质，属于基础题．根据指数函数和对数函数的性质求解即可．【解答】解：因为a=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,0<c=0.20.3<0.20=1，所以a<c<b．故选B．6.答案：C解析：【分析】本题考查零点存在性定理，根据零点存在性定理进行判断即可，属于容易题．【解答】解：由题意，f(1)=1−2+0=−1<0，f(2)=√2−2+1>0，则f(1)f(2)<0，故由零点存在性定理可知，函数f(x)=x12−2+log2x的零点在(1,2)，故选C．解析：【分析】本题考查分段函数函数值的求法，根据函数解析式，f (f (116))=f (log 4116)=f(−2)，从而求得结果．【解答】解：f (f (116))=f (log 4116)=f(−2)=3−2=19．故选A ． 8.答案：B解析：【分析】本题考查函数的图象，考查已知函数解析式选择图象，因此可通过研究函数的性质，通过排除法选择正确的结论．【解答】解：x >0时，21+e x −1<0，但cos x 有正有负，因此f(x)有正有负，不可能全正或全负，故排除A ，C ，当0<x <1时，cosx >0，则f(x)<0，排除D ，只有B 正确．故选B ．9.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，难度中档．由x 2−2x −8>0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =x 2−2x −8，则y =lnt ，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．解：由x 2−2x −8>0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =x 2−2x −8，则y =lnt ，∵x ∈(−∞,−2)时，t =x 2−2x −8为减函数；x ∈(4,+∞)时，t =x 2−2x −8为增函数；y =lnt 为增函数，故函数f(x)=ln(x 2−2x −8)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D ．10.答案：A解析：【分析】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数的图象和性质，难度中档． 若关于x 的方程(13)|x|+a −1=0有解，则关于x 的方程(13)|x|−1=−a 有解，进而可得a 的取值范围．【解答】解：若关于x 的方程(13)|x|+a −1=0有解，则关于x 的方程(13)|x|−1=−a 有解，∵(13)|x|∈(0,1]， ∴(13)|x|−1=−a ∈(−1,0]，∴0≤a <1，故选A ．11.答案：D解析：【分析】本题考查函数奇偶性的判断及应用，首先构造函数g(x)=ln(√1+4x 2−2x)，判断其是奇函数，即可求解．【解答】解：令g(x)=ln(√1+4x 2−2x)，x ∈R ，∵g(−x)+g(x)=ln(√1+4x 2+2x)+ln(√1+4x 2−2x)=ln(1+4x 2−4x 2)=0，∴函数g(x)是奇函数，则f(x)+f(−x)=6，．故选D．12.答案：A解析：【分析】本题考查指数函数及反函数，属基础题．根据互为反函数的图象间的关系得：指数函数y=f(x)的图象过点(−1,2)，从而求得指数函数的底数即得．【解答】解：设f(x)=a x，∵指数函数y=f(x)的反函数的图象过点(2,−1)，∴指数函数y=f(x)的图象过点(−1,2)，∴a−1=2，∴a=12，此指数函数为y=(12)x．故选A．13.答案：x3解析：【分析】本题考查了幂函数的概念及其单调性，解答的关键是掌握幂函数定义及性质，属基础题．只有xα型的函数才是幂函数，又函数在(0,+∞)上为增函数，所以幂指数应大于0．【解答】解：函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，则{m 2−m−1=1m2+m−3>0，解得：m=2，故答案为x3.14.答案：2解析：【分析】本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，属于基础题型．根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α=l r 求出扇形圆心角的弧度数．【解答】解：设扇形的弧长为l ，半径为r ，则2r +l =8，…①∵S 扇形=12lr =4，…② 解①②得：r =2，l =4，∴扇形的圆心角的弧度数是：42=2．故答案为：2． 15.答案：−18解析：解：∵当x <0时，f(x)=x 2−2x +3，∴f(−3)=(−3)2−2×(−3)+3=18．∵f(x)是定义R 上的奇函数，∴f(3)=−f(−3)=−18．故答案为：−18．根据当x <0时，f(x)=x 2−2x +3，可得f(−3).利用f(x)是定义R 上的奇函数，可得f(3)=−f(−3)． 本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．16.答案：(−2,1]解析： 由{x +2>02−2x ≥0，解得：−2<x ≤1.∴函数f(x)=lg(x +2)+√2−2x 的定义域为(−2,1].故答案为：(−2,1]．17.答案：解：原式=√4(3−3)−13+√(lg3)2−2lg3+1−lg 13+(34)12log 35 =2+3+√(lg3−1)2+lg3+32log 35=5+1−lg3+lg3+3log 352=6+52=31．解析：根据指数运算法则和对数运算法则，把每一项分别化简求值即可得解本题考查指数运算与对数运算，须注意根数、分式与指数幂的互化．要求熟练掌握运算法则．属简单题18.答案：解：∵A ={x|a −1≤x ≤a +2}，B ={x|3<x <5}，由A ∩B =B ，得B ⊆A ，∴{a −1≤3a +2≥5，解得3≤a ≤4． ∴实数a 的取值范围是[3,4]．解析：本题考查了交集及其运算，关键是由集合间的关系列出正确的不等式组，是基础题． 由A ∩B =B ，得B ⊆A ，然后利用集合端点值间的关系列不等式组得答案．19.答案：解：因为f(x)+2x >0的解集为{x|1<x <3}，设f(x)+2x =a(x −1)(x −3)，且a <0，所以f(x)=a(x −1)(x −3)−2x =ax 2−(2+4a)x +3a ，由方程f(x)+6a =0有两个相等的实根，得ax 2−(2+4a)+9a =0有两相等实根，∴Δ=(2+4a)2−36a 2=0，解得a =1或a =−15，由于a <0，舍去a =1，∴f (x )=−15x 2−65x −35 ．解析：本题主要考查一元二次函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键.由方程f(x)+6a =0有两个相等的实根，结合不等式的解集，利用待定系数法进行求解即可求f(x)的解析式． 20.答案：解：(1)根据题意，函数f(x)=ax−b 4−x 2是定义在(−2,2)上的奇函数，则f(0)=−b 4=0，解可得b =0；又由f(1)=13，则有f(1)=a 3=13，解可得a =1； 则f(x)=x 4−x 2； (2)由(1)的结论，f(x)=x 4−x ，在区间(−2,2)上为增函数；证明：设−2<x 1<x 2<2，则f(x 1)−f(x 1)=(4−x 1x 2)(x 1−x 2)(4−x 12)(4−x 22)，又由−2<x 1<x 2<2，则(4−x 1x 2)>0，(x 1−x 2)<0，(4−x 12)>0，(4−x 22)>0，则f(x 1)−f(x 1)<0，则函数f(x)在(−2,2)上为增函数；(3)根据题意，f(t −1)+f(t)<0⇒f(t −1)<−f(t)⇒f(t −1)<f(−t)⇒{−1<t −1<1−1<t <1t −1<−t，解可得：−1<t <12，即不等式的解集为(−1,12).解析：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出函数的解析式．(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=−b 4=0，解可得b 的值， 又由f(1)=a 3=13，解可得a 的值，将a 、b 的值代入函数解析式即可得答案；(2)根据题意，设−2<x 1<x 2<2，由作差法分析可得结论；(3)由函数的奇偶性与单调性分析可得f(t −1)+f(t)<0⇒f(t −1)<−f(t)⇒f(t −1)<f(−t)⇒{−1<t −1<1−1<t <1t −1<−t，解可得t 的取值范围，即可得答案．21.答案：解：(1)当x ≤−12时，，当−12<x <1，f(x)=(2x +1)−(x −1)=x +2，当x ≥1时，f(x)=(2x +1)+(x −1)=3x ，的图像如图所示．(2)当x ∈[0,+∞)时，，当x =0时，f(0)=2≤0⋅a +b ，∴b ≥2，当x >0时，要使f(x)≤ax +b 恒成立，则函数f(x)的图象都在直线y =ax +b 的下方或在直线上，∵f(x)的图象与y 轴的交点的纵坐标为2，且各部分直线的斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f(x)≤ax+b在[0,+∞)上成立，即a+b的最小值为5．解析：本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键．(1)利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可．(2)将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可．22.答案：解：(Ⅰ)由f(x)=xlnx+ax，得：f′(x)=lnx+a+1≤0，即a≤−lnx−1在区间 [e,e2]上恒成立，又当x∈[e,e2]时， lnx∈[1,2]，∴−1−lnx∈[−3,−2].∴a≤−3；(Ⅱ)若对任意x∈(1,+∞)，f(x)>k(x−1)+ax−x恒成立，即x·lnx+ax>k(x−1)+ax−x恒成立，也就是k(x−1)<x⋅lnx+ax−ax+x恒成立，∵x∈(1,+∞)，∴x−1>0.则问题转化为k<xlnx+xx−1对任意x∈(1,+∞)恒成立，设函数ℎ(x)=xlnx+xx−1，则ℎ′(x)=x−lnx−2(x−1)2，再设m(x)=x−lnx−2，则m′(x)=1−1x.∵x∈(1,+∞)，∴m′(x)>0，则m(x)=x−lnx−2在(1,+∞)上为增函数，∵m(1)=1−ln1−2=−1，m(2)=2−ln2−2=−ln2，m(3)=3−ln3−2=1−ln3<0，m(4)=4−ln4−2=2−ln4>0.∴∃x0∈(3,4)，使m(x0)=x0−lnx0−2=0.∴当x∈(1,x0)时，m(x)<0，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)=xlnx+xx−1在(1,x0)上递减，x∈(x0,+∞)时，m(x)>0，ℎ′(x)>0，∴ℎ(x)=xlnx+xx−1在(x0,+∞)上递增，∴ℎ(x)的最小值为ℎ(x0)=x0lnx0+x0x0−1.∵m(x0)=x0−lnx0−2=0，∴lnx0+1=x0−1，代入函数ℎ(x)=xlnx+x得ℎ(x0)=x0，x−1∵x0∈(3,4)，且k<ℎ(x)对任意x∈(1,+∞)恒成立，∴k<ℎ(x)min=x0，∴k≤3．所以正整数k的最大值为3．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是难题．(Ⅰ)由f(x)=xlnx+ax，得：f′(x)=lnx+a+1≤0，分离参数转化为恒成立问题即可求解；(Ⅱ)分离参数k，问题转化为k<xlnx+x对任意x∈(1,+∞)恒成立，利用多次求导，通过单调性求出x−1函数最小值，从而得出k的范围．。
2019-2020学年重庆市南开中学高一(上)第一次月考数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年重庆市南开中学高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|x 2−x −6=0}，则下列正确的是( )A. {−2}∈MB. 2∈MC. −3∈MD. 3∈M 2. 设集合A ={x|1≤x ≤4}，B ={x|m ≤x ≤m +2}，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围为( ) A. 1≤m ≤2B. 1<m <2C. 1≤m ≤4D. 1<m <4 3. 已知全集I ={0,1,2,3,4}，集合M ={1,2,3}，N ={0,3,4}，则(∁I M)∩N 等于 ( ) A. ｛0，4｝B. ｛3，4｝C. ｛1，2｝D. ⌀ 4. 已知f(x −3)=2x 2−3x +1，则f(1)=( ) A. 15B. 21C. 3D. 0 5. 函数f(x)=√3−x +lg(x +1)的定义域为( ) A. {x|−1≤x ≤3}B. {x|x ≤3且x ≠−1}C. {x|−1<x <3}D. {x|−1<x ≤3} 6. 函数y =x 2−2x +4在区间[−2,2]上的值域是( ) A. {y |1≤y ≤6}B. {y |3≤y ≤6}C. {y |4≤y ≤12}D. {y |3≤y ≤12} 7. 若f(x)=√x +1，则f(7)=( )A. 2B. 4C. 2√2D. 10 8. 已知函数f(x)={log 2x,x >0f(x +3),x ≤0，则f(−10)的值是( ) A. −2 B. −1 C. 0 D. 19. 已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调递增，则满足f(2x −1)<f(13)的x 取值范围是( )A. (13,23)B. [13,23)C. (12,23)D. [12,23) 10. 设x ≥4，则y =x 2+x−5x−2的最小值是( )A. 7B. 8C. 152D. 15 11. 若集合{1,a ，b a }={0，a 2，a +b}，则a 2015+b 2016的值为( )A. 0B. 1C. −1D. ±1 12. 设f(x)是奇函数，且当x >0时，f(x)=x(1+x)，则当x <0时，f(x)等于( )A. x(1+x)B. −x(1+x)C. x(1−x)D. −x(1−x) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知集合A ={x ︱(x −1)(x −a)≥0}，B ={x ｜x ≥a −1}，若A ∪B =R ，则实数a 的最大值为_____________．14. 已知方程x 2−px +15=0与x 2−5x +q =0的解集分别为M 和S ，且M ∩S ={3}，则p q =______ ．15. 函数f(x)=−x 2−2(a +1)x +3在区间(1,2)上是单调函数，则a 的取值范围是___________．16. 已知函数f(x)={log 13x,x >02x ,x ≤0，若f(log 2√22)+f[f(9)]= ______ ；若f(f(a))≤1，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设全集U =R ，集合A ={x|1≤2x <8}，B ={x|log 2x ≥1}．(Ⅰ)求∁U (A ∩B)；(Ⅱ)若集合C ={x|2x +a <0}，满足B ∩C =⌀，求实数a 的取值范围．18. 已知函数f(x)=√2x −2+lg(3−x)的定义域为A ，函数g(x)=−x 2+2x +1，x ∈[0,3]的值域为B ．(1)求集合A ，B ；(2)求(∁R A)∩B ．19. 已知函数y =f(x)是指数函数，且它的图象过点(2,4)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求f(0)，f(−2)，f(4)；(3)画出指数函数y =f(x)的图象，并根据图象解不等式f(2x)>f(−x +3)．20.若函数f(x)=a⋅3x−1−a为奇函数．3x−1(1)求a的值；(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并利用定义加以证明．21.经市场调研，某超市一种玩具在过去一个月(按30天)的销售量(件)与价格(元)均为时间x(天)的函数，且销售量近似满足g(x)=100−3x，价格近似满f(x)=30−|x−20|．(1)试写出该种玩具的日销售额y与时间x(0≤x≤30),x∈N)的函数关系式；(2)求该种玩具的日销售额y的最大值。
2019-2020学年重庆一中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年重庆一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,8)，则f(−12)的值等于()A. −18B. 18C. −8D. 82.函数y=log a(2x−1)−1(a>0，且a≠1)的图象过定点()A. (12,−1) B. (1,−1) C. (1,0) D. (12,0)3.已知集合A={x|−1<x−3≤2}，B={x|3≤x<4}，则∁A B=()A. (2,3)∪(4,5)B. (2,3]∪(4，5]C. (2,3)∪[4，5]D. (2,3]∪[4,5]4.已知函数f(x)=4x2−kx−8在[1,2]上具有单调性，则k的取值范围是()A. (−∞,8]∪[16,+∞)B. [8,16]C. (−∞,8)∪(16,+∞)D. [8,+∞)5.命题“∃x>0，使2x>3x”的否定是()A. ∀x>0，使2x≤3xB. ∃x>0，使2x≤3xC. ∀x≤0，使2x≤3xD. ∃x≤0，使2x≤3x6.法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过：“对数倍增了天文学家的寿命.”比如在下面的部分对数表中，16和256对应的幂指数分别为4和8，幂指数的和为12，而12对应的幂为4096，因此16×256=4096.根据此表，推算128×1024=()7.函数f(x)=2x−1+√x−2的最小值是()A. 3B. 4C. 5D. 68.若函数f(x)={a x,x≥1(4−a2)x+2,x<1且满足对任意的实数x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立，则实数a的取值范围是()A. (1,+∞)B. (1,8)C. (4,8)D. [4,8)9.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x，则f(−2)=()A. −2B. 2C. −1D. 以上都不是10.已知直线l1:mx+y−1=0，直线l2:(m−2)x+my−1=0，则“l1⊥l2”是“m=1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数且在[0,+∞)上是增函数，则不等式f (2x −1)<f (−3)的解集为( )A. (−∞,2)B. (−1,2)C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−1,+∞)12. 已知函数f(x)={−x 2+2x,x ≤0ln(x +1),x >0，若|f(x)|≥2ax ，则a 的取值范围是( )A. (−∞,0]B. [−2,1]C. [−2,0]D. [−1,0]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. f(x)=的定义域为______ ．14. 已知函数f(x)为奇函数，且当x ∈(−∞,0)时，f(x)=x(1−x)，则f(3)=______． 15. 函数f(x)=log 0.5(8+2x −x 2)的单调递增区间是______ ．16. 设函数f (x )=x 2+2x −a ，若对任意的x ∈[−3, 0]都有f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是__________；三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知A ={x|14≤2x ≤32}，B ={y|y =log 12x,164≤x ≤2}.(1)求A ∩B ；(2)若C ={x|1−m ≤x ≤1+m,m >0}，若C ⊆A ，求m 的取值范围．18. 计算下列各式：(1)(0.027)23+(27125)−13−(279)0.5；(2)lg25+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2．19.设二次函数f(x)满足：对任意x∈R，都有f(x+1)+f(x)=2x2−2x−3．(1)求f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)−a=0有两个实数根x1，x2，且满足：−1<x1<2<x2，求实数a的取值范围．(a x−3)(a>0且a≠1)．20.函数f(x)=log12(1)若a=2，求函数f(x)在(2,+∞)上的值域；(2)若函数f(x)在(−∞,−2)上单调递增，求a的取值范围．21.已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b是奇函数(a>0,b>0)．2x+1+a(1)求a，b值；(2)求函数f(x)的值域．22.已知定义在R上的函数f(x)=2x−1．2|x|(1)若f(x)=3，求x的值；2(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：设幂函数f(x)=xα(α∈R)，其图象经过点(2,8)，∴2α=8，解得α=3；∴f(x)=x3，∴f(−12)=(−12)3=−18．故选：A．根据幂函数f(x)的图象经过点(2,8)，求出函数的解析式，再计算f(−12)即可．本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数解析式求函数值的问题，是基础题目．2.答案：B解析：【分析】令对数函数的真数等于1，求得x、y的值，可得它的图象过定点的坐标．【解答】解：令2x−1=1，求得x=1，y=−1，函数y=log a(2x−1)−1(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,−1)，故选B．3.答案：C解析：解：A={x|2<x≤5}；∴∁A B={x|2<x<3，或4≤x≤5}=(2,3)∪[4，5]．故选：C．可解出集合A，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，以及补集的运算．4.答案：A解析：解：∵对称轴x=k8，若函数f(x)在[1,2]上单调，则k8≥2或k8≤1，解得：k≥16或k≤8，故选：A．先求出函数的对称轴，根据函数的单调性，得到不等式，解出即可．本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，是一道基础题．5.答案：A解析：解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x>0，使2x≤3x，故选：A．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础．6.答案：B解析：【分析】本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属于基础题．先通过阅读，理解题意后再进行简单的合情推理即可得解．【解答】解：由上表可知：128=27,1024=210，即128，1024对应的幂指数分别为7和10，幂指数和为17，而17对应的幂为131072，因此128×1024=131072．故选B．7.答案：A解析：【分析】本题考查求函数的最值，属于中档题．利用换元法转化为二次函数求最值．【解答】解：令t=√x−2,t∈[0,+∞)，则x=t2+2，所以y=2t2+t+3，在[0,+∞)单调递增，当t =0时，y 最小值是3． 故选A ．8.答案：D解析： 【分析】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，属于中档题． 若对任意的实数x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立，则函数f(x)={ a x ,x ⩾1(4−a 2)x +2,x <1在R 上单调递增，进而可得答案． 【解答】解：∵对任意的实数x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立，∴函数f(x)={ a x ,x ⩾1(4−a 2)x +2,x <1在R 上单调递增，∴{a >14−a 2>0a ≥4−a 2+2， 解得：a ∈[4,8)， 故选D ．9.答案：C解析：由于f(x)是定义在R 上的奇函数，因此f(−2)=−f(2)=−log 22=−1．10.答案：B解析：解：直线l 1：mx +y −1=0，直线l 2：(m −2)x +my −1=0，若“l 1⊥l 2”， 则m(m −2)+m =0， 解得m =0或m =1，故“l 1⊥l 2”是“m =1”的必要不充分条件， 故选：B ．利用两条直线相互垂直的充要条件求出m 的值，再根据充分必要条件的定义即可得出．本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：B解析：【分析】本题考查了抽象函数，函数的单调性与单调区间和函数的奇偶性．利用偶函数的定义可知，f(2x−1)=f(|2x−1|)，则不等式变为f(|2x−1|)<f(3)，利用f(x)在[0,+∞)上单调递增，即可得到|2x−1|<3，解不等式即可．【解答】解：由f(x)为偶函数，则f(2x−1)=f(|2x−1|)，由f(2x−1)<f(−3)得f(|2x−1|)<f(3)，由于f(x)在[0,+∞)上单调递增，故|2x−1|<3，则−3<2x−1<3，解得−1<x<2．即不等式的解集为(−1,2)．故选B．12.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键，作出函数f(x)和y=ax的图象，将方程问题转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数y=|f(x)|的图象如图：|f(x)|≥2ax，由图像可得，a≤0.若a=0，2ax=０，则||f(x)|≥2ax恒成立．若a<0，当x>0时，ln(x+1)>０，|f(x)|≥2ax恒成立；当x=0时，2ax=0，则|f(0)|=0，2ax=0，|f(x)|≥2ax成立；−1，即a≥−1．当x<0时，|f(x)|=x2−2x≥2ax，x−2≤2a，解得a≥x2综上可得，a的取值范围为［−1，0］．故选Ｄ．13.答案：{x|0<x <1}解析：解：函数f(x)=−log x 的定义域满足：{x >0−log 2x >0，解得：0<x <1．所以函数f(x)=−log 2x 的定义域为{x|0<x <1}．故答案为：{x|0<x <1}．根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 本题考查了定义域的求法和对数的计算．属于基础题．14.答案：12解析： 【分析】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．根据题意，由函数的解析式求出f(−3)的值，结合函数的奇偶性可得f(3)的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，当x ∈(−∞,0)时，f(x)=x(1−x)， 则f(−3)=(−3)×(1+3)=−12， 又由函数f(x)为奇函数， 则f(3)=−f(−3)=12． 故答案为12．15.答案：[1,4)解析：解：令t =8+2x −x 2=−(x +2)(x −4)>0，求得−2<x <4，故函数的定义域为(−2,4)， f(x)=log 0.5t ，故本题即求函数t 在定义域内的减区间．再根据二次函数的性质可得函数t =−(x −1)2+9在定义域(−2,4)上的减区间为[1,4)， 故答案为[1,4)．令t =8+2x −x 2>0，求得函数的定义域为(−2,4)，f(x)=log 0.5t ，故本题即求函数t 在定义域内的减区间．再根据二次函数的性质可得函数t =−(x −1)2+9在定义域(−2,4)上的减区间． 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．16.答案：a ≤−1解析：【分析】本题考查利用二次函数的性质及最值求解不等式恒成立问题，属于基础题目．求函数f(x)的最小值为f(−1)=1−2−a=−1−a≥0即可解答．【解答】解：因为对任意的x∈[−3,0]都有f(x)≥0恒成立，所以函数f(x)在[−3,0]上最小值大于等于0，因为函数f(x)的对称轴为x=−1，开口向上，所以函数f(x)的最小值为f(−1)=1−2−a=−1−a≥0，解得a≤−1．故答案为a≤−1．17.答案：解：(1)∵A={x|14≤2x≤32}={x|−2≤x≤5}，B={y|y=log12x,164≤x≤2}={x|−1≤x≤6}．∴A∩B={x|−1≤x≤5}．(2)∵C={x|1−m≤x≤1+m,m>0}，C⊆A，∴{1+m≤51−m≥−2，解得m≤3．∴m的取值范围是{m|m≤3}．解析：(1)求出集合A，B，由此能求出A∩B．(2)由C={x|1−m≤x≤1+m,m>0}，C⊆A，列出不等式组，由此能求出m的取值范围．本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.答案：解：(1)原式=0.09+53−53=0.09；(2)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2+lg2⋅lg5+(lg5)2+lg2⋅lg5+(lg2)2=2+lg5⋅(lg2+lg5)+lg2⋅(lg5+lg2)=2+lg5+lg2=2+1=3．解析：考查分数指数幂和对数的运算，为基础题．(1)进行分数指数幂的运算即可；(2)进行对数式的运算即可．19.答案：解：(1)设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)，则f(x +1)+f(x)=2ax 2+(2a +2b)x +a +b +2c =2x 2−2x −3，所以{2a =22a +2b =−2a +b +2c =−3, 解得：a =1，b =−2，c =−1，从而f(x)=x 2−2x −1．(2)令g(x)=f(x)−a =x 2−2x −1−a =0，由于−1<x 1<2<x 2，所以{g(−1)>0g(2)<0, 解得−1<a <2．解析：本题考查二次函数的性质，函数的解析式的求法，考查计算能力，难度不大．(1)设出二次函数，利用函数的解析式，化简表达式，通过比较系数，求出函数的解析式；(2)利用二次函数根与系数的关系，列出不等式，求解a 的范围即可．20.答案：解：(1)令t =a x −3=2x −3，则它在(2,+∞)上是增函数，t >22−3=1，故函数f(x)=log 12(2x −3)=log 12t <log 121=0， 故f(x)的值域为(−∞,0)；(2)∵函数f(x)在(−∞,−2)上单调递增，根据复合函数的单调性法则，故t =a x −3在(−∞,−2)上单调递减且恒为正值，∴{0<a <1a −2−3≥0， 解得0<a ≤√33， 所以a 的取值范围是(0,√33]．解析：本题主要考查复合函数的单调性、对数函数、指数函数的性质，属于中档题．(1)令t =a x −3=2x −3，根据t 的范围，求得f(x)的值域．(2)根据复合函数的单调性法则，判断t=a x−3在(−∞,−2)上单调递减且恒为正值，从而求得a的范围．21.答案：解：(1)由a>0和奇函数的性质可得f(0)=0，∴−1+b2+a =0，解得b=1，∴f(x)=−2x+12x+1+a，再由f(−1)+f(1)=0可得121+a+−14+a=0，解得a=2；(2)由(1)可得f(x)=−2x+12+2=−(2x−1)2(2+1)=−(2x+1)+22(2x+1)=−12+12x+1，∵2x>0，∴2x+1>1，∴0<12x+1<1，∴−12<−12+12+1<12，∴函数的值域为(−12,1 2 )解析：(1)由f(0)=0可得b值，再由f(−1)+f(1)=0可得a值；(2)分类常数可得f(x)=−12+12x+1，由2x>0和不等式的性质可得函数的值域．本题考查函数的奇偶性和函数的值域，属基础题．22.答案：解：(1)当x<0时，f(x)=0，无解；当x≥0时，f(x)=2x−12x ，由2x−12x=32，得2·22x−3·2x−2=0，将上式看成关于2x的一元二次方程，解得2x=2或2x=−12，因为2x>0，所以x=1；(2)当t∈[1,2]时，2t(22t−122t )+m(2t−12t)≥0，即m(22t−1)≥−(24t−1)，因为22t−1>0，所以m≥−(22t+1)，因为t∈[1,2]，所以−(22t+1)∈[−17,−5]，故实数m的取值范围是[−5,+∞)．解析：本题考查函数的定义域与值域，考查不等式的恒成立问题，属中档题．(1)当x<0时，f(x)=0，无解；当x≥0时，f(x)=2x−12=32，得2·22x−3·2x−2=0，将上式看成关于2x的一元二次方程，解方程即可；(2)分离参数，研究不等式恒成立问题．。
重庆市南开中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题答案
重庆南开中学高2024级高一（上）期中考试数学试题本试卷分第 Ⅰ 卷(选择题)和第 Ⅱ 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第 Ⅰ 卷和第 Ⅱ 卷都答在答题卷上.第 Ⅰ 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上．1. 已知集合{}|5U x N x *=∈≤，{}0, 1, 2, 3A =，{}2, 3, 5B =，则()U A C B =（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}1, 2D ．{}2, 32. 命题“21, 10x x x ∀>++>”的否定为（ ）A ．21, 10x x x ∀≤++≤B ． 21, 10x x x ∃≤++≤C ．21, 10x x x ∀>++≤D ． 21, 10x x x ∃>++≤3. 已知集合{}|11A x x =-≤≤，{}|11B y y =-≤≤，则下列图象中，能表示从集合A 到集合B 的一个函数的为（ ）ABCD4. 设a R ∈，则“2a ≥”是“24a ≥”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不必要也不充分条件5. 已知函数()22f x x ax =++在区间(),3-∞-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a =B ．3a ≤C ．6a ≤D ．6a ≥6. 函数()f x x =- ） A ．(], 2-∞ B ．[)2, +∞ C ．()2, +∞ D ．(, 2)-∞7. 已知集合{}1, 2, 3A =，集合{}2, 3, 4, 5B =，集合C 满足A C ≠∅且C B ⊆，则满足条件的集合C 的个数为（ ） A ．8 B ．12C ．16D ．248. 已知定义在(8, 8)-上的奇函数()f x 在[0, 8)上单调递增，则关于x 的不等式0)()2(32>+-x f x x f 的解集为（ ）A ．()0, 1B ．(2, 0)(1, 4)-C ．(2, 0)(1, )-+∞D ．(2, 0)(1, 2)-二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知, , a b c R ∈，若a b >，0c >，则下列关系式中恒成立的有（ ）A ．22ac bc >B ．330a b ->C ． a b >D ．2211c ca b <++ 10. 下列四组函数中是相同函数的有（ ）A ．()1, f n n n N =+∈；()1, g x x x Z =-∈B ．x x f =)(；2)(x x g =C ． ()f x=2()g t =D ． ()f x =()g x =11. 设函数()243f x x x =-+，()2g x ax =-（a R ∈），则下列说法正确的有（ ）A ．函数y =的单调递减区间为(), 2-∞ B ．若函数()()y f x g x =+为偶函数，则4a =C ．若函数y =R ，则[2, 6]a ∈D ．[]10, 3x ∀∈，[]21, 2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则1a ≤12. 群论是代数学中一门很重要的理论，我们熟知的一元五次及以上的方程没有根式解就可以群论的知识证明，群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“”是G 上的一个代数运算，若满足：①,,,a b c G ∀∈有()()a b c a b c =；②e G ∃∈，使得a G ∀∈，有e a a e a ==； ③,a G b G ∀∈∃∈，使a b b a e ==，则称G 关于“”构成一个群，则下列说法正确的有（ ） A ．{1, 1}G =-关于数的乘法构成群 B ．有理数集关于数的乘法构成群 C ．{2|}G m m Z =∈关于数的加法构成群D ．|,}G m n Z =∈关于数的加法构成群第 Ⅱ 卷(非选择题 共90分)三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分. 各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了“永远跟党走”文艺汇演活动. 已知高一（1）班参演了两个节目，20名同学合唱了歌曲《没有共产党就没有新中国》，10名同学表演了诗朗诵《党的赞歌》. 其中，两个节目都参加的有5名同学. 则这个班表演节目的共有____________人.14. 已知29,3,()2,3x x a R f x x a x ⎧->⎪∈=⎨-+≤⎪⎩，若(()5,f f =，则a =____________.15. 设函数()4324211x x x x f x x x -+-+=++，若函数()f x 在R 上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=____________.16. 设函数()22f x x x a =++，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围为____________.四、解答题：本大题6个小题，共70分. 各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17. （10分）设全集U R =，集合{}240A x x x a =++=，{}220B x x bx =+-=. （1）若集合A 恰有一个元素，求实数a 的值； （2）若(){}2U C A B =，(){}3U C B A =-，求A B .18. （12分）集合103x A x x ⎧-⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}23B x x =-<，{}2,C x m x m m R =<<-∈. （1）求A B ；（2）现有三个条件：①B C C =，②B C =∅，③条件:p x C ∈，:q x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件. 在这三个条件中任选一个填到横线上，并解答本题. 选择多个条件作答时，按第一选择给分.已知 ，求实数m 的取值范围.19. （12分）已知定义在R 上的函数()f x 满足：22()()2f x f x x --=+. （1）求函数()f x 的表达式；（2）若函数()()()g x f x ax a R =-∈在区间[]1, 2-上最小值为1，求实数a 的值.20.（12分）2019年7月，教育部出台《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，正式提出“五育并举”的教育方针，要求各级各类学校开足开好劳动教育课. 为此，某中学在校内开辟了种植园区，供学生劳动使用. 为保障同学们种植的作物更好地成长，学校准备采购一批优质种子. 某商家在售的优质种子，原价每千克100元，为了促销，准备对购买量大的客户执行团购优惠活动. 购买量没达到20千克时，依然按原单价执行；购买量达到或超过20千克时，超出部分每多一千克，则购买的所有产品单价每千克降低1元. 比如购买21.5千克，则所有的21.5千克均按98.5元单价执行. 另外商家规定一次性最大购买量不超过60千克.（1）求购买该种子x 千克花费的总费用y （元）关于x 的函数；（2）学校采购该种子时，幸运的获得了一张900元代金券，在购买产品总量不少于20千克时，可用来一次性抵扣900元. 那么，在购买量不超过60千克且花掉代金券的前提下，采购该批种子每千克的平均花费在什么范围？21.（12分）设二次函数()f x 满足()13f =-，且关于x 的不等式()0f x <的解集为(0, 4).（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()10mf x x -+=在区间()0, 2上有解，求实数m 的取值范围．22.（12分）已知定义在(0, )+∞上的函数()f x 满足：①(3)0f =；②()()(), 0, 2x y f xy f x f y ∀>=++； ③当()0, 1x ∈时，()2f x <-. （1）求19f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）求证：函数()f x 在()0, +∞上单调递增；（3）若实数0>a ，()194fff a f ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭在10, 2a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，求a 的取值范围.重庆南开中学2021-2022年度（上）高2024级期中考试数学试题答案一、选择题（单选）13. 2514. 4 15. 216. ⎫+∞⎪⎪⎣⎭四、解答题17. 【答案】（1）4a = （2）{}3, 1, 2A B =--【解析】（1）()1card A = 1640a ∴∆=-= 解得：4a =（2）(){}{}22 2|20U C A B B x x bx =∴∈=+-= 42201b b ∴+-=⇒=-又(){}{}23 3|40U C B A A x x x a =-∴-∈=++= 91203a a ∴-+=⇒=即{}{}2|4301,3A x x x =++==-- {}{}2|201,2B x x x =--==-检验：(){}2U C A B = ，(){}3 U C B A =-{}3, 1, 2A B ∴=--18. 【答案】（1）{}|11AB x x =-<<（2）选①：[)1,m ∈-+∞；选②[)1,m ∈+∞；选③[)1,m ∈-+∞ 【解析】（1）()()101303x x x x -<⇔-+<+ 解得：()3,1x ∈- {}|31A x x ∴=-<<23323x x -<⇔-<-<解得：()1,5x ∈-{}|15B x x ∴=-<< {}|11A B x x ∴=-<<（2）选①：B C C = C B ∴⊆当C =∅即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅即21m m m <-⇒<时，1125m m m ≥-⎧⇒≥-⎨-≤⎩；∴综上：[)1,m ∈-+∞.选②：当C =∅即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅即21m m m <-⇒<时，21m -≤-或1m ≥，m ∈∅ 综上：[)1,m ∈+∞ 选③：由题：C B Ü.当C =∅即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅即21m m m <-⇒<时，1125m m m ≥-⎧⇒≥-⎨-≤⎩； ∴综上：[)1,m ∈-+∞.19. 【答案】（1）2()2f x x =+ （2）2a =±【解析】（1）将22()()2f x f x x --=+①中x 换成x -可得：22()()2f x f x x --=+②联立①②可解得：2()2f x x =+（2）由（1）可得：2()2g x x ax =-+，易知()g x 开口向上且关于2ax =对称 1 当1,2a≤-即2a ≤-时，()g x 在区间[1,2]-上单调递增 min ()(1)312g x g a a =-=+=⇒=-满足题意2 当12,2a -<<即24a -<<时，()g x 在[1,]2a -上单调递减，在[,2]2a上单调递增2min()()2122()24a a g x g a a ==-=⇒==-或舍3 当2,2a≥即4a ≥时，()g x 在区间[1,2]-上单调递减 min 5()(2)621[4,)2g x g a a ==-=⇒=∉+∞，舍去 综上：2a =±.20. 【答案】（1）2100,020120,2060x x y x x x ≤<⎧=⎨-+≤≤⎩（2）[45,60] 【解析】（1）当020x ≤<时，100y x =；当2060x ≤≤时，2[100(20)]120y x x x x =--=-+；2100,020120,2060x x y x x x ≤<⎧∴=⎨-+≤≤⎩.（2）设购买种子每千克的平均花费为()f x ，则由题可知2060x ≤≤；此时2120900900()120()x x f x x x x-+-==-+.当30x =时，900y x x =+取得最小值60；当60x =时，900y x x=+取得最大值75； ∴当2060x ≤≤时，900y x x=+的值域为[60,75]； 故()f x 值域为[45,60]，即购买种子每千克平均花费在[45,60]元. 21. 【答案】（1）2()4f x x x =- （2）1(,)4m ∈-+∞ 【解析】（1）由题可设()(0)(4)(0)f x a x x a =--≠，又(1)331f a a =-=-⇒=， 2()4f x x x ∴=-（2）由221()10(4)14x mf x x m x x x m x x--+=⇔-=-⇔=-在(0,2)x ∈上有解，① 当1x =时，0m =，符合题意； ② 当(0,1)(1,2)x ∈时，令1t x =-，则(1,0)(0,1)t ∈-，213232t m t t t t==----，设3() 2 ( (1,0)(0,1) )h t t t t =--∈-；()h t 在(1,0)-，(0,1)上单调递增，∴()h t 值域为(,4)(0,)-∞+∞. ∴1()y h t =值域为1(,0)(0,)4-+∞综上，当1(,)4m ∈-+∞时原方程有解. 22. 【答案】（1）6)91(-=f （2）证明见解析 （3）1≥a【解析】（1）取3==y x 得，22)3(2)9(=+=f f取1==y x 得，2)1(,2)1(2)1(-=+=f f f 取919==y x ，得，,22)91()9()1(-=++=f f f 6)91(-=f .（2）任取210x x <<，令212,x x y x x ==得：()()11222x f x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为210x x <<，所以2)(),1,0(2121-<∈x xf x x ,所以()()112220x f x f x f x ⎛⎫-=+< ⎪⎝⎭，故函数()f x 在()0, +∞上单调递增. （3）方法一：(9)2f =，所以()92ff f ff f ++=++=所以(14f x f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 由（2）知)(x f单调递增，则14x a <，（*） 定义域0,0>->x a x，此时14a 也为正 由题，在)21,0(+∈a x 上有定义，则1,21≥≤+a a a令t =222x ax a t -+=,)21,0(+∈a x ，则]4,0(,21222a x ax a a a ∈-≤+<，所以]2,(222a a x ax a t ∈-+=，]2,(a a t ∈（*）式可化为)41(22+<-t a a t 即02322<--a at t 在]2,(a a t ∈恒成立设a at t t g 232)(2--=，只需,0)2(0)(⎪⎩⎪⎨⎧<≤a g a g 解得321>a综上，1≥a .方法二：()194f a x a f⎛⎫- ⎪⎝⎭()14f a f⎫=+⎪⎭()14fff a f ⎫∴+<+⎪⎭(★)在1(0,)2a +恒成立即可， 由题，在)21,0(+∈a x 上有定义，则12a a +≤， 1a ∴≥， 下证：当1a ≥时，(★)式在区间1(0,)2a +上均成立 ()()222111210222a a a aa a +-+--∴-==≥，,a <≤又14a x -<，且)(x f 单调递增，()14fff a f ⎫∴+<+⎪⎭ ，即1a ≥时，(★)式成立.综上，1≥a。
2018-2019学年重庆市南开中学高一(上)期中数学试卷(精品解析)
2018-2019学年重庆市南开中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合1，，集合且，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：集合且，集合1，，当时，可得；当时，可得；当时，可得；；故选：C．根据元素与集合的关系进行判断本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．2. 函数的定义域为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意得：，解得：，故选：D．根据二次函数的性质得到函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．3. 下列各组的两个函数为相等函数的是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】解：A．的定义域为，的定义域为，或，定义域不同，两函数不相等；B.的定义域为的定义域为R，定义域不同，不相等；C.，解析式不同，不相等；D.的定义域为，的定义域为，定义域和解析式都相同，相等．故选：D．通过求函数的定义域，可看出选项A，B两选项函数的定义域不同，两函数不相等，而选项C的两函数解析式不同，也不相等，只能选D．考查函数的定义，判断两函数相等的方法：看定义域和解析式是否都相同．4. 已知函数，且，则A. B. C. 2 D. 1【答案】B【解析】解：根据题意，函数，令，则，则，若，即，解可得；故选：B．根据题意，先由换元法求出函数的解析式，结合函数的解析式可得若，即，解可得a的值，即可得答案．本题考查函数的解析式的计算，注意先求出函数的解析式，属于基础题．5. 函数的图象为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：函数；可得，，结合反比例函数的图象，可得时，函数图象单调性递减；故选：B．分离常数，结合反比例函数的图象可得答案；本题考查了函数图象变换，是基础题．6. 已知函数是R上的奇函数，当时，，则A. B. 0 C. 1 D.【答案】A【解析】解：根据题意，当时，，则，又由函数为奇函数，则；故选：A．根据题意，由函数的解析式可得的值，又由函数的奇偶性可得，进而可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数的求值，属于基础题．7. 函数，的值域为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：令；；；；；时，取最小值；时，取最大值0；的值域为：．故选：C．可令，根据x的范围，可求出，并求出，原函数变成，配方即可求出该函数的最值，从而得出的值域．考查函数值域的概念及求法，换元法求函数的值域，不等式的性质，以及配方求二次函数值域的方法．8. 已知是奇函数且在R上的单调递减，若方程只有一个实数解，则实数m的值是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：是奇函数，由，得，又在R上的单调递减，，即．则，解得．故选：B．由已知函数的奇偶性与单调性把方程只有一个实数解转化为方程只有一个实数解，再由判别式等于0求得m值．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，是基础题．9. 已知开口向上的二次函数对任意都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意函数的对称轴是，图象开口向上，若在区间上单调递减，则只需，解得：，故选：A．求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．10. 已知是定义在上的偶函数，若对任意的，都满足，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，是定义在上的偶函数，则，若对任意的，都满足，则函数在上为增函数，则，变形可得：，解可得：或，即不等式的解集为；故选：C．根据题意，由函数为偶函数可得，进而分析可得在上为增函数，据此可得，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．11. 已知函数，若存在实数x，使得与均不是正数，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：分3类讨论时，对于任意而值恒正，不满足题意．时，对于时，成立，只需考虑时的情况，由于函数，当时，故，不满足，时，由于对称轴在y轴左侧，故只需满足即可，即，不满足题意．当时，在时成立，，解得，，当时，，，存在满足条件，综上所述m取值范围为．故选：A．存在实数x，与的值均不是正数，所以对m分类讨论，即、、讨论与的值的正负，求出满足题意的m的值．本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．12. 已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的最大值为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】解：函数，如图所示，当时，化为，当时，，由于关于x的不等式恰有1个整数解，因此其整数解为2，又，，，则，不必考虑．当时，对于，，解得：，只考虑，则，由于时，不等式的解集中含有多于一个整数解例如，0，，舍去．综上可得：a的最大值为6．故选：C．画出函数的图象，对b，a分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知，则______【答案】【解析】解：根据题意，，则，则；故答案为：根据题意，由函数的解析式计算，再次代入函数的解析式计算可得答案．本题考查分段函数的求值，关键掌握函数的解析式，属于基础题．14. 函数的单调减区间为______．【答案】【解析】解：当时，，当时，，这样就得到一个分段函数．的对称轴为：，开口向上，时是增函数；，开口向下，对称轴为，则时函数是增函数，时函数是减函数．即有函数的单调减区间是．故答案为：．根据所给的带有绝对值的函数式，讨论去掉绝对值，得到一个分段函数，利用二次函数的单调性即可得到减区间．本题考查二次函数的性质，本题解题的关键是去掉绝对值，把函数化成基本初等函数，可以通过函数的性质或者图象得到结果．15. 设函数是定义在R上的奇函数，，若在单调递减，则不等式的解集为______．【答案】【解析】解：根据题意，函数是定义在R上的奇函数，且在单调递减，又由，则，则在区间上，，则上，，又由为R上的奇函数，则在区间上，，则上，，则在区间或上，；在或上，，或，解可得：，即x的取值范围为；故答案为：．根据题意，分析可得在区间或上，；在或上，，又由原不等式等价于或，分析可得不等式的解集，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意将原不等式转化为关于x的不等式，属于基础题．16. 已知函数对任意的实数x，y都满足且，则的值为______．【答案】【解析】解：对任意的实数x，y都满足且，令，可得，可得或，若，可令，则，即，这与矛盾，则不成立，则，令，可得，可得，令，可得，即有，令可得，即有，则．故答案为：．可令，计算可得，再令，求得；令，，求得，再令，求得，即可得到所求和．本题考查抽象函数的函数值的求法，注意运用赋值法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合，，，其中．设全集为R，求；若，求实数m的取值范围．【答案】解：由集合或，那么由C其中．或，由，即或，解得：故得实数m的取值范围是．【解析】求解集合A、B，根据补集，交集的定义求解；根据并集的定义，即可实数m的取值范围．本题考查了交、并、补集及其运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．18. 计算：．设，化简：；若，求的值．【答案】解：原式；原式；若，则，，故．【解析】根据指数幂的原式性质求出代数式的值即可．本题考查了指数幂的运算，考查转化思想，是一道常规题．19. 已知函数是定义在上的奇函数，且．求的解析式；求函数的值域．【答案】解由已知得，即，，再由，得，解得，，，，当时，；当时，一元二次方程对x有解，所以，解得且，综上所述：所求函数的值域为【解析】根据奇函数得，解得；根据，解得；利用一元二次方程有解，判别式大于等于0解得．本题考查了函数奇偶性的性质与判断属中档题．20. 已知集合，，．若，求实数a的取值集合；若，求实数a的取值范围．【答案】解：若，则，，此时，，，此时，实数a的取值集合为；，设，若，则，，，，，或，，综上可知，实数a的取值范围为．【解析】由，，得或，得关于a的方程，求得a；由与，分类讨论与两种情况下满足条件的不等式组，从而求出a的取值范围．本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，需注意不要漏掉空集，难度中档．21. 定义在上的函数满足对所有的正数x、y都成立，且当，．求的值判断并证明函数在上的单调性若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围【答案】解：，取，得：；；设则，；；又时，；；；；在上单调递减；，；由得又在上单调递减，．【解析】由，取，得；设则，又当，，得在上单调递减；由，，得，又在上单调递减，得关于k的不等式组，解之得实数k的取值范围．本题主要考查抽象函数的单调性及恒成立问题，是综合性题目，单调性的证明用定义法，恒成立问题用转化思想，属难题．22. 已知，函数，其中Ⅰ求使得等式成立的x的取值范围Ⅱ求的最小值求在上的最大值【答案】解：Ⅰ由，故时，；当时，，则等式成立的x的取值范围是；Ⅱ设，，则，．由，解得，负的舍去，由的定义可得，即；当时，；当时，．则．【解析】Ⅰ由，讨论时，，去掉绝对值，化简，判断符号，即可得到成立的x的取值范围；Ⅱ设，，求得和的最小值，再由新定义，可得的最小值；分别对当时，当时，讨论的最大值，即可得到在上的最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
2019-2020学年重庆市校高一上学期期中数学试题
2019-2020学年重庆市第一中学校高一上学期期中数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,4U =，集合{}{}1,3,4,2,4A B ==，则()⋂=U C A B （ ） A ．{}2 B ．{}2,4 C ．{}1,2,4D ．∅【答案】A【解析】根据补集和交集运算,即可求解. 【详解】全集{}1,2,3,4U =,集合{}{}1,3,4,2,4A B == 根据补集定义可得{}2U C A = 则(){}{}{}222,4U C A B ⋂=⋂= 故选:A 【点睛】本题考查了集合补集、交集的简单运算,属于基础题。
2．函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象必经过定点（ ）A ．()0,1-B ．()1,1-C ．()1,0-D ．()1,0【答案】D【解析】根据指数函数过定点()0,1,结合函数图像的平移变换,即可求得函数所过的定点. 【详解】因为指数函数()xf x a =（0a >且1a ≠）过定点()0,1指数函数()xf x a =向右平移一个单位,向下平移一个单位可得()11x f x a-=-所以所过定点平移后为()1,0 故选:D 【点睛】本题考查了函数过定点的求法,注意函数图像的平移过程,属于基础题. 3．在0~2π范围内，与角43π-终边相同的角是（ ）A ．23π B ．3π C ．6π D ．43π 【答案】A 【解析】根据与角43π-终边相同的角是 2k π+（43π-），k ∈z ，求出结果． 【详解】与角43π-终边相同的角是 2k π+（43π-），k ∈z ，令k ＝1，可得与角43π-终边相同的角是23π，故选：A ． 【点睛】本题考查终边相同的角的定义和表示方法，得到 与角43π-终边相同的角是 2k π+（43π-），k ∈z ，是解题的关键 4．函数()lg(2)f x x =++的定义域是（ ）A ．3(2,)2-B ．3(2,]2-C ．(2,)-+∞D ．3(,)2+∞【答案】A【解析】要使函数有意义，则需2x +＞0，且32x -＞0，即可得到定义域． 【详解】要使函数有意义，则需2x +＞0，且32x -＞0，即有x ＞-2且x ＜32， 则-2＜x ＜32， 即定义域为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的定义域的求法，注意对数真数大于0，偶次根式被开方式非负，分式分母不为0，属于基础题．5．已知 2.10.350.4,2,log 0.3a b c ===，则（ ） A ．c a b << B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】A【解析】根据中间值法,结合指数函数与对数函数的图像与性质,依次判断每个值的取值范围,即可比较大小. 【详解】根据指数与对数函数的图像与性质可知,2.10.4a =,所以01a <<0.32b =,所以1b >5log 0.3c =,所以0c <所以a b c 、、的大小关系为c a b << 故选:A 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数图像与性质的简单应用,利用中间值比较函数值的大小,属于基础题.6．函数()1ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．1 1?e ⎛⎫⎪⎝⎭， B ．()1?e ， C ．()2e e ， D ．()23e e ， 【答案】B【解析】根据函数零点的判断条件，即可得到结论． 【详解】∵()1ln f x x x=-，则函数()f x 在()0,∞+上单调递增， ∵()110f =-<，()110f e e=->，∴()()10f f e ⋅<，在区间()1,e 内函数()f x 存在零点，故选B ． 【点睛】本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键，属于基础题. 7．已知函数，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】首先计算出，再把的值带入计算即可。