随机过程习题答案
随机过程部分习题答案
习题2
2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，
求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。
解 因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，
b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=
所以),(~)(2
t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为
),(,21);(2
22)(+∞-∞∈=
--
x e
t
t x f t b x π，),0(+∞∈t
均值函数 b t X E t m X ==)]([)(
相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][2
2
b btV bsV stV E +++= 2
b st +=
2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt
e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的
一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。 解 对于任意0>t ，Yt
e
t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分
布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t
Y ≤-=≤=≤=-
)ln (1}ln {1}ln {t
x
F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-
≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度
xt
t x f t x f Y 1
)ln ();(-
=，0>t 均值函数 ?
∞
+--===0
)(][)]([)(dy y f e e E t X E t m yt t
Y X
相关函数
?+∞
+-+---====0
)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X
2.3 若从0=t 开始每隔2
1
秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程 ??
?=时刻抛得反面
时刻抛得正面t t t t t X ,
2),cos()(π
试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),2
1(x F x F 和； （2）)(t X 的二维分布函数),;1,2
1
(21x x F ；
（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(2
2
X X t σσ。 解 （1）21=
t 时，)2
1
(X 的分布列为 )2
1(X 0 1
P
2
1
2
1 一维分布函数 ????
???≥<≤<=1
,
110,
2
10,0),21(x x x x F 1=t 时，)1(X 的分布列为
)1(X
-1
2
P
2
1
2
1 一维分布函数 ????
???≥<≤--<=2
,
121,
211,0),1(x x x x F （2）由于)1()21
(X X 与相互独立，所以))1(),2
1((X X 的分布列为
)1(X
)2/1(X
-1 2
0 41
41 1
4
1
4
1
二维分布函数 ????
????
?≥≥<≤-≥≥<≤<≤-<≤-<<=2
,1,121,12,10,
212
1,10,
4
110,0),;1,21(212121212121x x x x x x x x x x x x F 或或
（3）t t t t t m X +=?+=
)cos(21
221)cos(21)(ππ 2
1
)1(=X m
22
2222])cos(2
1[)2(21)(cos 21)]([)]([)(t t t t t EX t X E t X +-+=-=ππσ
)cos()(cos 412)(cos 212
222t t t t t t πππ---+=
)cos()(cos 412
2t t t t ππ-+=
2])cos(21
[t t -=π
4
9)1(2
=X σ
2.4 设有随机过程)sin()cos()(t B t A t X ωω+=，其中ω为常数，B A ,是相互独立且服从正态分布),0(2
σN 的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。 解 因B A ,独立，),0(~2
σN A ，),0(~2
σN B 所以，2
][][,0][][σ====B D A D B E A E 均值 )]sin()cos([)]([)(t B t A E t X E t m X ωω+== 0][)sin(][)cos(=+=B E t A E t ωω 相关函数
[]))sin()cos())(sin()cos(()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++== []
1221212212sin cos sin cos sin sin cos cos t t AB t t AB t t B t t A E ωωωωωωωω+++= ][sin sin ][cos cos 221221B E t t A E t t ωωωω+= )sin sin cos (cos 21212t t t t ωωωωσ+= )(cos 212t t -=ωσ
2.5 已知随机过程)(t X 的均值函数)(t m X 和协方差函数)(),
,(21t t t B X ?为普通函数，令
)()()(t t X t Y ?+=，求随机过程)(t Y 均值和协方差函数。
解 均值 )()()()]([)]()([)]([)(t t m t t X E t t X E t Y E t m X Y ???+=+=+== 协方差 )()(),(),(212121t m t m t t R t t C Y Y Y Y -= )()()]()([2121t m t m t Y t Y E Y Y -=
[])]()()][()([)()()(()((22112211t t m t t m t t X t t X E X X ????++-++= )()()]()([2121t m t m t X t X E X X -= 其它项都约掉了 )()(),(2121t m t m t t R X X X -= ),(21t t C X =
2.6 设随机过程)sin()(Θ+=t A t X ω，其中ω,A 是常数，Θ在),(ππ+-上服从均匀分布，令 )()(2
t X t Y =，求),(τ+t t R Y 和),(τ+t t R XY 。 解 )]()([)]()([),(2
2
τττ+=+=+t X t X E t Y t Y E t t R Y
[]
)
(sin )(sin 2222Θ++Θ+=ωτωωt A t A E []))222cos(1))(22cos(1(4
2Θ++-Θ+-=ωτωωt t E A [])222cos()22cos()222cos()22cos(14
2Θ++-Θ+-Θ++Θ++=ωτωωωτωωt t t t E A 而 0)22sin(41)22cos(21)]22[cos(=+=+=
Θ+--
?πππ
π
θωπ
θθωπωt d t t E 同理 []0)222cos(=Θ++ωτωt E 利用三角积化和差公式
[])222cos()22cos(Θ++Θ+ωτωωt t E
[])424cos()2cos(21
Θ+++=
ωτωτωt E ωτ2cos 2
1
=
所以，]2cos 2
1
1[4),(2ωττ+=+A t t R Y )]()([)]()([),(2τττ+=+=+t X t X E t Y t X E t t R XY )](sin )sin([22Θ++Θ+=ωτωωt A t A E
))]222cos(1)([sin(23
Θ++-Θ+=ωτωωt t E A )]222cos()sin()[sin(23Θ++Θ+-Θ+=ωτωωωt t t E A )]323sin()2sin()sin(2[4
3Θ++-Θ++-Θ+=ωτωωτωωt t t E A 而 0)sin(1
)]sin(2[=+=
Θ+?-
θθωπ
ωπ
πd t t E 同理 0)]323[sin(,0)]2[sin(=Θ++=Θ++ωτωωτωt E t E
所以，0),(=+τt t R XY
2.7 设随机过程2
)(Zt Yt X t X ++=，其中Z Y X ,,是相互独立的随机变量，且具有均值为零，方差为1，求随机过程)(t X 的协方差函数。 解 根据题意，1,0222
=========EZ DZ EY DY EX
DX EZ EY EX
0][)]([)(22=++=++==EZ t tEY EX Zt Yt X E t X E t m X
)]()()][()([),(221121t m t X t m t X E t t C X X X --=
)])([()]()([2
2221121Zt Yt X Zt Yt X E t X t X E ++++==
因Z Y X ,,相互独立，均值为零，所以上面交叉乘积项数学期望为零
2221212222122121t t t t EZ t t EY t t EX ++=++=
2.8 设)(t X 为实随机过程，x 为任意实数，令 ??
?>≤=x
t X x
t X t Y )(,0)(,1)(
证明随机过程)(t Y 的均值函数和相关函数分别为)(t X 的一维和二维分布函数。
证明 })({0})({1)]([)(x t X P x t X P t Y E t m Y >?+≤?== );(})({t x F x t X P X =≤=
))(),((21t Y t Y 的取值为)0,0(),1,0(),0,1(),1,1(
})(,)({11)]()([),(22112121x t X x t X P t Y t Y E t t R Y ≤≤??== })(,)({012211x t X x t X P >≤??+ })(,)({102211x t X x t X P ≤>??+ })(,)({002211x t X x t X P >>??+ ),;,(})(,)({21212211t t x x F x t X x t X P X =≤≤=
2.9 设)(t f 是一个周期为T 的周期函数，随机变量Y 在（0，T ）上均匀分布，令
)()(Y t f t X -=，求证随机过程)(t X 满足
?+=+T
dt t f t f T t X t X E 0
)()(1)]()([ττ
证明 Y 的密度函数为 ?????∈=其它
,
0),0(,
1)(T y T
y f Y
)]()([)]()([Y t f Y t f E t X t X E -+-=+ττ ?
∞
+∞
--+-=dy y f y t f y t f Y )()()(τ
?-+-=
T
dy y t f y t f T 0)()(1τ ?-+-=-T
t t du u f u f T u y t )()(1τ
?-+=t
T t du u f u f T )()(1τ
?+=T
du u f u f T 0
)()(1τ 2.13 设}0),({≥t t X 是正交增量过程，V X ,0)0(=是标准正态随机变量，若对任意的0≥t ，V t X 与)(相互独立，令V t X t Y +=)()(，求随机过程}0),({≥t t Y 的协方差函数。 解 因)(t X 是正交增量过程，)1,0(~N V ，所以1][,0][,0)]([===V D V E t X E ，
有 0][)]([])([)]([=+=+==V E t X E V t X E t Y E m Y
)]()()][()([),(221121t m t Y t m t Y E t t C Y Y Y --= )])()()([()]()([2121V t X V t X E t Y t Y E ++== ])([])([][)]()([21221V t X E V t X E V E t X t X E +++=
（因V t X 与)(独立，0][,0)]([==V E t X E ）
][)]()([221V E t X t X E +=1)],[min(212
+=t t X σ （利用正交增量过程的结论）
习题4
4.1 设质点在区间[0，4]的整数点做随机游动，到达0点或4点后以概率1停留在原处，在
其它整数点分别以概率3
1
向左、向右移动一格或停留在原处，求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。 解 转移概率如图
一步概率转移矩阵为
?????????? ??=10
00
3131310003131310
0031313100001P 二步转移概率矩阵为
?????????? ??=10
00
31313100031313100031313100001P (2)
?????????? ??10
31313100031313100031313100001?????????
? ??=10
949292910919293929109192929
400001 4.2 独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为p ，对于2≥n ，令
32,1,0或=n X ，这些值分别对应于第n-1次和第n 次抛掷的结果为（正，正），（正，反），
（反，正），（反，反），求马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的一步和二步转移概率矩阵。 解 对应状态为 正，正）(0?，?1（正，反），?2（反，正），?3（反，反）
p P p ==}{(00（正，正）正，正），q P p ==}{(01（正，正）正，反） 0}{(20==（正，正）反，正）P p （不可能事件） 0}{(30==（正，正）反，反）P p （不可能事件）
同理可得下面概率
0}{(10==（正，反）正，正）P p ，0}{(11==（正，反）正，反）P p p P p ==}{(12（正，反）反，正），q P p ==}{(13（正，反）反，反） p P p ==}{(20（反，正）正，正），q P p ==}{(21（反，正）正，反） 0}{(22==（反，正）反，正）P p ，0}{(23==（反，正）反，反）P p 0}{(30==（反，反）正，正）P p ，0}{(31==（反，反）正，反）P p p P p ==}{(32（反，反）反，正），q P p ==}{(33（反，反）反，反）
一步转移概率矩阵为
????
???
?
?=q p q p q p q p
00000000
P 二步转移概率矩阵为
???
???
?
?
?=q p q p q p q p 0
0000000P (2)
??????? ?
?q p q p q p q p
0000000
??
??
??
?
??=2222
2
2
22q pq pq
p q pq pq p q pq pq
p
q pq pq p 4.4设}1,{≥n X n 为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为 4,3,2,1,4
1
}{0==
==i i X P p i
??????????
? ??=41414141834181414141414141414141P 试证 }414{}41,14{12102<<=≠<<==X X P X X X P
解 根据条件概率的定义及马尔可夫链的有限维分布的结论定理4.3，有
}
41,1{}
4,41,1{}41,14{10210102<<==<<==
<<==X X P X X X P X X X P
}
3,1{}2,1{}
4,3,1{}4,2,1{1010210210==+=====+====
X X P X X P X X X P X X X P
1654
141414183414141414113
112134
13124121=?+???+??=
++=
p p p p p p p p p p 同理有
}414{12<<=X X P }
41{}
4,41{121<<=<<=
X P X X P
}
3{}2{}
4,3{}4,2{112121====+===
X p X P X X P X X p
43
433323213142432322212134
43434333342323413124424243232422224121p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ++++++++++++++=
4
14141414141414141418141414141418
34141834141834141834141414141418141414141414141?+?+?+?+?+?+?+???+??+??+??+??+??+??+??=6019
151********
8327128121287=??=++
=
所以，}414{}41,14{12102<<=≠<<==X X P X X X P 4.5 设}),({T t t X ∈为随机过程，且
),(,),(),(2211n n t X X t X X t X X ===
为独立同分布随机变量序列，令
2,,)(,011110≥=+===-n X cY Y X t Y Y Y n n n
试证：}0,{≥n Y n 是马尔可夫链。
证明 只要证明}0,{≥n Y n 满足无后效性，即
}{},,,0{1111011n n n n n n n n i Y i Y P i Y i Y Y i Y P =======++++ 即可。
根据题意，1--=n n n CY X Y ，由此知n Y 是),,,(21n X X X 的函数，因为
,,,,21n X X X 是相互独立的随机变量，所以，对任意的n ，1+n X 与 ,,,,,210n Y Y Y Y 相互独立。从而
},,,0{11011n n n n i Y i Y Y i Y P ====++
},,,0{11011n n n n n n i Y i Y Y Ci i CY Y P ===+=+=++ （因n n i Y =） },,,0{11011n n n n n i Y i Y Y Ci i X P ===+==++
}{11n n n Ci i X P +==++ （因1+n X 与 ,,,,,210n Y Y Y Y 独立，条件概率等于无条件概率）
}{11n n n n n i Y i Ci X P ==-=++ }{11n n n n i Y i Y P ===++
4.6 已知随机游动的转移概率矩阵为
???
?
?
??=5.005.05.05.0005.05.0P
求三步转移概率矩阵)
3(P
及当初始分布为
1}3{,0}2{}1{000======X P X P X P 时，经三步转移后处于状态3的概率。 解 ?????
??=5.005.05.05.0005.05.0P
(2)
????? ??5.005.05.05.0005.05.0????
?
??=25.025.05.05.025.025.025.05.025.0 ????? ??=25.025.05.05.025.025.025.05.025.0P )
3(????? ??5.005.05.05.0005.05.0????
?
??=25.0375.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0
()()25.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0100)3(P T =???
?
? ??=
所以，25.0)3(3=p
4.7 已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下
（1）?????
??==6.02.02.02.07.01.01.01.08.0P ),4.0,2.0,4.0()0(P T
（2）??
?
?
?
?
?
?
?==6.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07
.0P ),3.0,3.0,2.0,2.0()0(P T
求下一、二个月的销售状态。
解 （1）()()32.026.042.06.02.02.02.07.01.01.01.08.00.40.20.4P )0(P )1(P T
T =????? ??==
????? ??=6.02.02.02.07.01.01.01.08.0P 2）
（????? ??6.02.02.02.07.01.01.01.08.0????
?
??=0.420.280.30.270.540.190.160.170.67
()()286.0288.00.4260.420.280.30.270.540.190.160.170.670.40.20.4P )0(P )2(P 2T T =?????
??==）
（
（2）()??
?
?
?
?
?
?
?==6.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07
.03.03.02.02.0P )0(P )1(P T
T
()28.03.02.022
.0=
??
?
??
??
??=6.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07
.0P 2）
（??????? ??6.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07
.0??
?
?
?
?
?
??=
0.420.270.150.160.260.430.15
0.160.170.270.4
0.160.160.170.15
0.52
==）
（2T T P )0(P )2(P ??????
? ??0.420.270.150.160.26
0.430.150.160.170.270.40.160.160.170.150.52)3.0,3.0,2.0,2.0( ()0.270.298
0.20.232
=
4.8 季节 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 销售状态 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 季节 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 销售状态
1 1
2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
以频率估计概率，求（1）销售状态的初始分布，（2）三步转移概率矩阵及三步转移后的销
售状态的分布。
解 状态1的个数为15个，状态2的个数为9个 （1）所以，销售状态的初始分布为 ??
?
??=2492415)0(P T
()275.0625.0=
（2）求一步转移概率
状态11→共有7个，状态21→共有7个， 状态12→共有7个，状态22→共有2个， 所以，21147,2
11471211==
==
p p ，9
2
,9
72221=
=p p 一步转移概率矩阵为
?????
? ??=9297212
1P ， ??????
??=92972121P (2)
?????? ??929
72121?????
? ??=?????? ???+??+??+??+?=16271162913613362392922197979221979221212197212121 三步转移概率矩阵为
?????
?
????????
??=92972121162711629136133623P (3)???? ??=?????
?
??=??????
????+??+?+??+=38.062.04.06.0291611032916
18136482596483899162271324919162771324919362672239367
137223 三步转移后的销售状态分布为
()()0.390.610.380.620.40.60.3750.625P )0(P )3(P 3T T =???
? ??==）
（
4.9 设老鼠在如图所示的迷宫中作随机游动，当它处在某个方格中有k 条通道时，
以概率k
1
随机通过任一通道，求老鼠作随机游动的状态空间、转移概率矩阵。
解 状态空间为 }9,,3,2,1{ =I 转移概率矩阵为
????????????????
? ?
?010
310310310210210000100
010000
1
02102100
021******* 习题6
6.1 设有随机过程)cos()(Θ+=t t X ω，其中0>ω为常数，Θ是在区间)2,0(π上服从均匀分布的随机变量，问)(t X 是否为平稳过程。
解 )][cos(
)]([Θ+=t E t X E ω021
)
cos(20
=+=?
π
θπ
θωd t )]cos()[cos()]()([),(Θ++Θ+=+=+ωτωωττt t E t X t X E t t R X
?+++=π
θπ
θωτωθω20
21
)
cos()cos(d t t ?
+++=π
θθωτωωτπ
20
)]22cos([cos 41d t
ωτcos 2
1
=
， 与t 无关 ∞<==2
1)0()(2
X R t X E
所以)(t X 是平稳过程。
6.2设有随机过程)cos()(t A t X π=，其中A 是均值为零、方差为2
σ的正态随机变量，求： （1）)4
1
()1(X X 和的概率密度； （2）)(t X 是否为平稳过程。
解 （1）因正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量，对任意t ，)(t X 服从正态分布。
A X A X 2
2
)41(,)1(=-=，
2][)]1([,0][)]1([σ==-==-=DA A D X D A E X E
2
21]22[)]41([,0]22[)]41([2
σ=====DA A D X D A E X E
所以)1(X 的概率密度为
2
2221);1(σσ
πx e
x f -
=
， +∞<<∞-x
)4
1
(X 的概率密度为 2
2
1
);4
1(σπ
x e
x f -
=
， +∞<<∞-x
（2）)]cos()cos([),(πτππτ+=+t A t A E t t R X
)cos()cos(][)cos()cos(22πτπωσπτπω+=+=t t A E t t ，与t 有关
所以，)(t X 不是平稳过程。
6.3 设有随机过程)cos(
)(Θ+=t A t X ω，其中A 是服从瑞利分布的随机变量，其概率密度为 ??
???≤>-=0,00
},2exp{)(22
2x x x x x f σ
σ
Θ是在)2,0(π上服从均匀分布且与A 相互独立的随机变量，ω为常数，问)(t X 是否为平
稳过程。
解 先求出瑞利分布A 的数学期望和2A 的数学期望，
??∞+∞
+---=-?=022
222220
)2(}2ex p{}2ex p{σ
σσσx d x x dx x x
x EA
?
∞+--=0
2
2
}2ex p{σx xd
?∞+∞+-+--=022
022}2ex p{}2ex p{dx x x x σ
σ ?
?∞+∞
--
∞+∞-=-=
dx e
dx x
x 2
222
22
212
2}2exp{21σσ
πσ
πσ
σπσπ2
22==
??
∞+∞
+-=-?=0222222
2
2220
2
2
)2(}2ex p{22}2ex p{σσσσσσx d x x dx x x
x EA 20
2
2
2
222σσ
σ==
?
∞
+-dy ye x y y 令
)][cos()]cos([)]([Θ+?=Θ+=t E EA t A E t X E ωω 021
)
cos(2
20
=+?=
?π
θπ
θωσπ
d t )]cos()cos([)]()([),(Θ++Θ+=+=+ωτωωττt A t A E t X t X E t t R X )]cos()[cos(2Θ++Θ+?=ωτωωt A t E EA
)]22cos()[cos(21
22Θ+++?=ωτωωτσt E
?+++=πθπ
θωτωτωσ20221)]22cos()[cos(d t
)cos(2ωτσ= 与t 无关
∞<==22
)0()(σX R t X E
所以，)(t X 是平稳过程。
6.4设有随机过程)()(Θ+=t f t X ，其中)(x f 是周期为T 的实值连续函数，Θ是在（0，T ）上服从均匀分布的随机变量，证明)(t X 是平稳过程并求相关函数)(τX R 。 解 ???==++=
+T T t t T
dy y f T
dy y f T y t d T t f t X E 00)(1)(11)
()]([θθθ令，为常数 ?+++=+=+T X d T
t f t f t X t X E t t R 01
)()()]()([),(θθτθττ
??+=+=+T
T t t dy y f y f T dy y f y f T 0
)()(1)()(1ττ， 与t 无关 ∞<==?T X dy y f T R t X E 0
22
)(1)0()(
所以，)(t X 是平稳过程。
?+=T
X dy y f y f T R 0
)()(1)(ττ
6.5 设)()(t Y t X 和是平稳过程，且相互独立，求)()()(t Y t X t Z =的相关函数，)(t Z 是否为平稳过程。
解 因)()(t Y t X 和是平稳过程，它们的均值是常数、相关函数与t 无关是τ的函数，又相互独立。
所以，Y X m m t Y E t X E t Y t X E t Z E ===)]([)]([)]()([)]([ 是常数
)]()()()([),(τττ++=+t Y t X t Y t X E t t R Z )]()()()([ττ+?+=t Y t Y t X t X E
)]()([)()([ττ+?+=t Y t Y E t X t X E
)()(ττY X R R = 与t 无关
∞<==)0()0()0()(2
Y X Z R R R t Z E
所以，)(t Z 是平稳过程。
6.13 设正态随机过程具有均值为零，相关函数为2
6)(τ
τ-
=e
R X ，求给定t 时的随机变量
)3(),2(),1(),(+++t X t X t X t X 的协方差矩阵。
解 因)(t X 是正态过程，且均值为零，相关函数2
6)(τ
τ-
=e
R X 与t 无关，所以)(t X 是平稳
过程，则对任意给定的t ，))3(),2(),1(),((+++t X t X t X t X 服从正态分布，
),())(),((ττ+=+t t C t X t X Cov X
2
2
6)(),(τ
ττ-
==-+=e
R m t t R X X X ，3,2,1,0=τ
所以，6)0(),(==X X R t t C ，21
6)1()1,(-==+e
R t t C X X ， 16)2()2,(-==+e R t t C X X ，2
36)3()3,(-
==+e
R t t C X X
同理 ),1())(),1((ττ++=++t t C t X t X Cov X
2
1
26)1(),1(--
=-=-++=τττe
R m t t R X X
X ，3,2,1,0=τ
所以，
2
16),1(-=+e t t C X ，6)1,1(=++t t C X ，2
16)2,1(-
=++e
t t C X ，1
6)3,1(-=++e t t C X
2
2
6),2())(),2((--
=++=++τττe
t t C t X t X Cov X ，3,2,1,0=τ
1
6),2(-=+e t t C X ，
2
16)1,2(-
=++e t t C X ，
6)2,2(=++t t C X ，2
1
6)3,2(-=++e t t C X
2
3
6),3())(),3((--
=++=++τττe
t t C t X t X Cov X ，3,2,1,0=τ
2
3
6),3(-=+e
t t C X ，1
6)1,3(-=++e t t C X ，2
16)2,3(-=++e t t C X ，
6)3,3(=++t t C X 所以协方差矩阵为
?
?????
? ??++++++++++++++++++++++++)3,3()2,3()1,3(),3()3,2()2,2()1,2(),2()3,1()2,1()1,1(),1()3,()2,()1,()
,(t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C X X X X X
X X X X
X X X X X X X
??
????
?
? ??
=
-
-------
--
--666666
66666666662
11
23212111
2
121
2
312
1e
e
e
e e
e e e e e e e 6.15 设随机过程)cos(
)(Φ+=t a t X ω和)sin()(Φ+=t b t Y ω是单独且联合平稳随机过程，其中ω,,b a 为常数，Φ是在),0(π上服从均匀分布的随机变量，求)(τXY R 和)(τYX R 。 解 )]sin()cos([)]()([)(Φ++Φ+=+=ωτωωττt b t a E t Y t X E R XY
)]22sin([sin 2
Φ+++=
ωτωωτt E ab
?+++=π?π?ωτωωτ01)]22sin([sin 2d t ab ωτsin 2
ab = 因 )()(ττ-=YX XY R R 所以 )sin(2
)sin(2)()(ωτωτττab
ab R R XY YX -=-=
-= 习题7
7.2 设平稳过程)(t X 的相关函数τ
τa X e R -=)(，求)(t X 的谱密度。
解 ??
+∞
∞
---+∞
∞
--==τττωωττ
ωτd e e
d e R S j a j X X )()(
??+∞
+-∞
--+=0)(0
)(τττωτ
ωd e d e
j a j a
∞++-∞
--+-
-=
)(0)(1
1
τ
ωτ
ωω
ω
j a j a e j a e j a
2
2211ωωω+=++-=
a a
j a j a
7.3 设有平稳过程)cos()(0Θ+=t a t X ω，其中0,ωa 为常数，Θ是在),(ππ-上服从均匀分布的随机变量，求)(t X 的谱密度。
解 Θ的概率密度为 ?????-∈=其它,
0)
,(,21
)(ππθπθf
)]cos()cos([)]()([)(000Θ++Θ+=+=τωωωττt a t a E t X t X E R X
θπ
θτωωθωπ
π
d t t a 21
)
cos()cos(0002?-+++= ?-
+++=π
πθθτωωτωπ
d t a )]22cos([cos 40
2
τω02cos 2a = ??∞
+∞--∞
+∞--==ττωττωωτωτ
d e a d e
R S j j X X 02
cos 2
)()(
?
∞
+∞
---+=τωττωτωd e e e a j j j ][4
002
?
∞
+∞
-+---+=ττωωτωωd e e a j j ][4
)()(200
)](2)(2[4
002ωωπδωωπδ++-=a 7.4 已知平稳过程的相关函数)3cos()cos(4)(πτπτττ
+=-e R X ，求谱密度)(ωX S 。
解 ??
+∞
∞
---+∞
∞
--+==
τπτπτττωωττ
ωτ
d e e
d e
R S j j X X )]3cos()cos(4[)()(
??
?+∞∞
--∞
+---∞---++++=τπτττωτωτπτπττωτπτπττd e d e e e e d e e e e j j j j j j j )3cos(][2][20
?
?∞+++--+-∞
-+---+++=0
)](1[)](1[0
)](1[)](1[][2][2τ
ττπωτπωτ
πωτ
πωd e e d e
e
j j j j
?+∞
∞--+τπτωτd e j )3cos(
])
(11
)(11[2])(11)(11[2πωπωπωπω+++-+++-+--=j j j j
)]3()3([πωδπωδπ++-+
])(11
)(11[
42
2πωπω+++-+=)]3()3([πωδπωδπ++-+
7.6 当平稳过程通过如图所示的系统时，证明输出)(t Y 的谱密度为
))cos(1)((2)(T S S X Y ωωω+=。
证明 []
))()(()()()]()([)(T t X t X T t X t X E t Y t Y E R Y -+++-+=+=ττττ
)]()()()()()()()([ττττ+-+-+++--++=t X T t X T t X t X T t X T t X t X t X E
)()()(2T R T R R X X X ++-+=τττ
??+∞
∞
--+∞
∞
--++-+==ττττττωωτωτd e T R T R R d e R S j X X X j Y Y )]()()(2[)()(
??+∞
∞
--+∞
∞
--++-+=ττττωωτωτ
d e T R d e
T R S j X j X X )()()(2
T j X T j X X e S e S S ωωωωω)()()(2++=-
]cos 1)[(2T S X ωω+=
7.7 已知平稳过程)(t X 的谱密度为????
?<≤=其它
,
02,
)(0
02ωωωωc S X ，求相关函数
)(τX R 。
解 ??
=
=
+∞
∞
-0
22cos 1
)(21
)(ωω
ωτ
ωωτπωωπ
τd c d e
S R j X X
]sin 2[sin sin 002
22
τωτωπτ
ωτ
πτ
ωω-=
=
c c
7.8 设有平稳过程)cos()(Φ+Θ=t a t X ，其中a 为常数，Φ是在)2,0(π上服从均匀分布的随机变量，Θ是分布密度满足)()(ωω-=f f 的随机变量，且ΦΘ与相互独立，求证)(t X 的谱密度为)()(2
ωπωf a S X =。
证明 设),(?ωf 是Θ和Φ的联合分布密度，因Θ和Φ相互独立，所以 )(21
),(ωπ
?ωf f =
， π?ω20,<<+∞<<∞- )]cos()cos([)]()([)(Φ+Θ+ΘΦ+Θ=+=τττt a t a E t X t X E R X
?
?
+∞∞-+∞
∞-+++=?ω?ω?ωτω?ωd d f t t a ),()cos()cos(2
??ωτω?ωωωππ
d t t d f a )cos()cos()(220
2+++=??
∞
+∞
-
??ωτωτωωωππ
d t d f a )]22cos()[cos(2
1
)(220
2+++=?
?∞
+∞
- ?
∞
+∞
-=ωωτωd f a )cos()(2
2
????
??+=??∞+∞-∞
+∞-ωωτωωωτωd f j d f a )sin()()cos()(22 ?
∞
+∞
-=ωωωτd e f a j )(2
2 （因)(ωf 为偶函数，?+∞
∞
-ωωτωd f )sin()(=0）
又 ?
+∞
∞
-=
ωωπ
τωτd e S R j X X )(21
)(
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-
随机过程试题带答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案： （1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用 （2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。 答案： （1） 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t) 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平）？050.=α解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值.052.2)27(025.0=t 由于，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语 052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平） 050.=α解：由极大似然估计得.2?==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计 }{k X P ==i p ? ,7,0,!2}{?2===-k k e k X P k =0?p 三、某公司在为期10年内的年利润表如下： 年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9 通过管线敷设技术，不仅可以解决有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 随机过程补充例题 例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。求甲输光的概率。 解 此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。 由题知，甲赢1元的概率为b p a b =+，输1元的概率为 a q a b =+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金， inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ 表示最终摸球次数。如果 inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。 设A =“第一局甲赢”，则()b p A a b = +，()a p A a b = +，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+ 01f =，0m n f += 解具有边界条件的差分方程 由特征方程 2()p q p q λλ+=+ （1）当q p ≠时，上述方程有解121,q p λλ==，所以差分方程的 通解为 212()n q f c c p =+ 代入边界条件得 1()11()n n n m q p f q p +-=- - （2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为 12n f c c n =+ 代入边界条件得 1n n f n m =- + 综合（1）（2）可得 1()11() 1n n m n q p p q q f p n p q n m +? -?- ≠?? -=?? ?-=? +? 若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为 () lim 1n jia n m q p q p p f p q →∞ ?>?==??≤? 由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时， 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解： 由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布， 且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解： 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=??? 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 《随机过程期末考试卷》 1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 ___________ 。 2?设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-：：vt<：：其中「为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。 3?强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为_ 的同一指数分布。 4?设「W n ,n 一1是与泊松过程：X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列，则W n服从分布。5?袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回， r 对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球，则这个随机过 e t, 如果t时取得白球 程的状态空间__________ 。 6 ?设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j)，n步转移矩阵P(n)=8(；))，二者之间的关系为。 7?设汉.，n -0?为马氏链，状态空间I，初始概率P i二P(X。二i)，绝对概率 P j(n)二P^X n二j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为_____________ 。 8 .设｛X(t),t 一0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则 P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______ t 9?更新方程K t二H t ? .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。10?记二-EX n,对一切a 一0,当t—一：时，M t+a -M t > ____________ 3.设］X n,n — 0?为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n—0,仁I 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意0 12 ≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ，则167)2(12 =P ，16 1}2,2,1{210= ===X X X P ???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ，则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2 通信原理期末考试试题及答案 一、填空题（总分24 ，共 12 小题，每空 1 分） 1、数字通信系统的有效性用传输频带利用率衡量，可靠性用差错率衡量。 2、模拟信号是指信号的参量可连续取值的信号，数字信号是指信号的参量可离 散取值的信号。 3、广义平均随机过程的数学期望、方差与时间无关，自相关函数只与时间间隔有 关。 4、一个均值为零方差为n2的窄带平稳高斯过程，其包络的一维分布服从瑞利分布， 相位的一维分布服从均匀分布。 5 、当无信号时，加性噪声是否存在？是乘性噪声是否存在？否。 6 、信道容量是指：信道传输信息的速率的最大值，香农公式可表示为： C B log 2 (1S ) 。 N 7、设调制信号为 f（t）载波为cos c t，则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 f (t) cos c t，频域表达式为1 [ F ( c ) F ( c )]。2 8、对最高频率为 f H的调制信号 m （t ）分别进行 AM 、DSB 、SSB 调制，相应已调 信号的带宽分别为2f H、2f H、 f H。 9、设系统带宽为W ，则该系统无码间干扰时最高传码率为2W波特。 10 、PSK 是用码元载波的相位来传输信息， DSP 是用前后码元载波的相位差来传 输信息，它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11 、在数字通信中，产生误码的因素有两个：一是由传输特性不良引起的码间串 扰，二是传输中叠加的加性噪声。 12 、非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时， A 律对数压缩特性采用13折线 近似，律对数压缩特性采用15折线近似。 二、简答题（总分18 ，共 4 小题） 1 、随参信道传输媒质的特点？（ 3 分） 答：对信号的衰耗随时间变化、传输的时延随时间变化、多径传播 2、简述脉冲编码调制的主要过程。(6 分) 抽样是把时间连续、幅值连续的信号变换为时间离散，幅值连续的脉冲信号；量化是 把时间离散、幅值连续的脉冲信号变换为幅值离散、时间离散的多电平脉冲信号；编 码是把幅值、时间均离散的多电平脉冲信号用一组数字序列表示。 3 、简单叙述眼图和系统性能之间的关系？（ 6 分） 最佳抽样时刻对应眼睛张开最大时刻；对定时误差的灵敏度有眼图斜边的斜率决定；图的阴影区的垂直高度，表示信号幅度畸变范围；图中央横轴位置对应判决门 限电平；抽样时刻上，上下阴影区的间隔距离之半为噪声容限。 4、简述低通抽样定理。（ 3 分） 一个频带限制在（ 0，f H）内的时间连续信号m(t) ，如果以T 1 2 f H的时间 间隔对它进行等间隔抽样，则m(t) 将被所得到的抽样值完全确定 2 、设信息序列为 100000000001100001 ，试编为 AMI 码和 HDB 3 码（第一个非零码编 为 +1 ），并画出相应波形。（6 分） 100000000001100001 AMI+10000000000-1+10000-1 HDB3 +1 0 0 0+V-B 0 0-V 0 0+1-1+B 0 0+V-1 +1 0 0 0+1-1 0 0-1 0 0+1-1+1 0 0+1-1 AMI HDB3 北京工业大学2007-2008学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试题 标准答案（仅供参考） 一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布 ),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下： 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？ 解：按题意，要检验的假设是 54:0=μH ，因2σ未知，故用-t 检验法，由05.0=α，查t 分布表得临界 值2622290250.)(.=t ，由样本值算得 382514654.,.==t x 因为26222. 1255804101145701312680122222222 9 2 2 .)()(==++++++++= -=∑ =i i i i np np f χ 查表得919160502 9.).(=χ 因为9191612552..<=χ, 所以接受0H ，认为X 服从 等概率分布. 三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米） 求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数. 346.9,857.16==y x 根据计算结果可得： （1） 回归方程：X Y 1845.0244.6+=∧ ?????? ???? ??? =??-?=-=====??-==?-=244.61845.01187142.6571??1845.0857.454906.83?906.8342.65118717.1186857.4541187 124442x b y a S S b S S xx xy xy xx 于是得 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1 ）是齐次马氏链。经过 次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 随机过程复习题(含答 案) 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为 ),,(4 12141， ???? ?? ?? ?????? ??? ?=434 10313131 043 411)(P ，则167)2(12=P ，16 1 }2,2,1{210= ===X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2期末随机过程试题及标准答案
(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案
随机过程习题答案
随机过程试题及答案
【免费下载】第一学期数理统计与随机过程研试题答案
最新随机过程习题及答案
随机过程补充例题
学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)
随机过程试题及解答
随机过程复习试题及答案
2017 2018期末随机过程试题及答案
随机过程复习题(含答案)
通信原理期末考试试题及答案-(1).doc
2007-2008第一学期数理统计与随机过程(研)试题(解答)
随机过程习题答案
随机过程复习题(含答案)演示教学