材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定的概念 §9-2 两端铰支细长杆的临界压力 §9-3 其他支座条件下细长杆的临界压力 §9-4 欧拉公式的适用范围 经验公式 §9-5 压杆的稳定校核 §9-6 提高压杆稳定的措施 §9-7 纵横弯曲的概念
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定的概念
Pcr
2 EI
l 2
a 1.3a
1.6a
可知
Pc1rPcr2Pcr3
(1)
(2)
(3)
(l)1 2a
（1）杆承受的压力最小，最先失稳；
(l)2 1.3a
（3）杆承受的压力最大，最稳定。
(l)30 .71 .6 a1 .1a2
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
例9-3-2：已知：图示压杆EI,且杆在B支承处不能转动
2
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材料力学 第九章 压杆稳定
00siδnsk2ilnskinlkslin2kδlco2ks2lcoks2l
要想压杆在2微弯状态下
平要衡想只压有杆在微弯状态下 平衡只有
cos k l 0 2
kln(n1,3,5)
22
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
kln(n1,3,5)
22
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。钢的许用应力为[]=196MPa。按强度条件计 算得钢板尺所能承受的轴向压力为
[P] = A[] = 3.92 KN
实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可见， 钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，而 是与 受压时变弯 有关。
4 一端固定另端自由
P cr
Fcr
2 EI
2l 2
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
表7-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆
临界力的欧拉公式
支承情况
临界力的欧拉公式
两端绞支 一端固定另绞支端
两端固定 一端固定另端自由
F l cr
2E I
2
F
cr
2E I
(0.7l )2
F
cr
2EI
(0 .5l ) 2
直线平衡形态，
压杆在原来直线形态下的
F
平衡是 不稳定平衡。
(a)
F F cr
F F cr
(b)
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
§9-2两端铰支细长压杆的临界压力
两端球形绞支，长为 L的 等截面细长 中心受压直杆。
材料力学第九节
材料力学
第九章 压杆稳定
x F
cr
A
F cr
y
δ
F M(x) y cr
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
一、稳定平衡与不稳定平衡的概念 当 F小于某一临界值Fcr，撤去横向力后，杆
的轴线将恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线 形态下的平衡是稳定平衡。
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
当 F增大到一定的临界值
F
Fcr，撤去横向力后，杆的 轴线将保持弯曲的平衡形 Q 态，而不再恢复其原来的
2 l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
Fcr
2 EI
l 2
为长度系数 l 为相当长度
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 1 若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I
应取最小的形心主惯性矩。
材料力学第九节
求：临界压力
F
解： lA B0 .5 a 0 .5 a
c
lB C 0 .7 0 .5 a 0 .3a5
a\2
B
FcrAB(0.25E aI)2
FcB rC
2EI
0.35a2
A
故取
Fcr
2EI
0.5a 2
a
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材料力学 第九章 压杆稳定
其最小解为 n = 1 的解
F cr 2 k E I
F kl
cr l
EI
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
即得
kl Fcr l
EI
Fcr
2EI
l2
这就是两端绞支等截面细长中心
受压直杆临界力的计算公式
（欧拉公式）
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
F
cr
2E I (2l)2
长度系数 = 1 = 0.7 = 0.5 =2
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
欧拉公式 的统一形式
Fcr
2 EI
l 2
为压杆的长度系数; l 为相当长度。
讨论：
（1）相当长度 l 的物理意义
1 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当
长度 l 。
材料力学 第九章 压杆稳定
2 若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别 计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对 中性轴的惯性矩。
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
例9-3-1： 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受 的压力最大， 哪一根的最小？
P P
P 因为 又
l1 l2 l3
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
yA sik n xB co ks x
边界条件：
xo y 0
x l 2
得
y
B=0
A
sin kl
2
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
yA sik n xB co ks x
B=0 ， 边界条件：
A
sin
kl
2
xl y 0
0sinklsinkl2coks2l
其中 I 为压杆横截面的 最小形心主惯性矩。
令 Fcr k 2 EI
则有二阶常系数线性微分方程
y
Pcr
M (x)P cy r
m
m
yB
y"k2 y0
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
y"k2y 0 其通解为 Fcr k 2
EI yA sik n xB co ks x
A，B，k 三个待定常数由该挠 曲线的三个边界条件确定。
§9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力
1 两端绞支
Fcr
2EI
l2
2 一端固定另端绞支
C为拐点
Fcr
2EI
0.7l 2
Pc
r
A
l
0.7l
C
B
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
3 两端固定
C，D为拐点
Pc
r
AD
l
2EI
C
Fcr 0.5l 2
B
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材料力学 第九章 压杆稳定
v
m
m
B
yB
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
压杆任一 x 截面沿 y 方向的 位移为 y = f (x) 该截面的弯矩为
F M(x) y cr
杆的挠曲线近似微分方程为
F
m
F E Iy"M (x) y y B cr
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
E" IM yx F cy r
§9-1 压杆稳定的概念 §9-2 两端铰支细长杆的临界压力 §9-3 其他支座条件下细长杆的临界压力 §9-4 欧拉公式的适用范围 经验公式 §9-5 压杆的稳定校核 §9-6 提高压杆稳定的措施 §9-7 纵横弯曲的概念
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定的概念
Pcr
2 EI
l 2
a 1.3a
1.6a
可知
Pc1rPcr2Pcr3
(1)
(2)
(3)
(l)1 2a
（1）杆承受的压力最小，最先失稳；
(l)2 1.3a
（3）杆承受的压力最大，最稳定。
(l)30 .71 .6 a1 .1a2
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
例9-3-2：已知：图示压杆EI,且杆在B支承处不能转动
2
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材料力学 第九章 压杆稳定
00siδnsk2ilnskinlkslin2kδlco2ks2lcoks2l
要想压杆在2微弯状态下
平要衡想只压有杆在微弯状态下 平衡只有
cos k l 0 2
kln(n1,3,5)
22
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kln(n1,3,5)
22
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例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。钢的许用应力为[]=196MPa。按强度条件计 算得钢板尺所能承受的轴向压力为
[P] = A[] = 3.92 KN
实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可见， 钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，而 是与 受压时变弯 有关。
4 一端固定另端自由
P cr
Fcr
2 EI
2l 2
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
表7-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆
临界力的欧拉公式
支承情况
临界力的欧拉公式
两端绞支 一端固定另绞支端
两端固定 一端固定另端自由
F l cr
2E I
2
F
cr
2E I
(0.7l )2
F
cr
2EI
(0 .5l ) 2
直线平衡形态，
压杆在原来直线形态下的
F
平衡是 不稳定平衡。
(a)
F F cr
F F cr
(b)
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§9-2两端铰支细长压杆的临界压力
两端球形绞支，长为 L的 等截面细长 中心受压直杆。
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材料力学
第九章 压杆稳定
x F
cr
A
F cr
y
δ
F M(x) y cr
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材料力学 第九章 压杆稳定
一、稳定平衡与不稳定平衡的概念 当 F小于某一临界值Fcr，撤去横向力后，杆
的轴线将恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线 形态下的平衡是稳定平衡。
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
当 F增大到一定的临界值
F
Fcr，撤去横向力后，杆的 轴线将保持弯曲的平衡形 Q 态，而不再恢复其原来的
2 l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度
材料力学第九节
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Fcr
2 EI
l 2
为长度系数 l 为相当长度
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 1 若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I
应取最小的形心主惯性矩。
材料力学第九节
求：临界压力
F
解： lA B0 .5 a 0 .5 a
c
lB C 0 .7 0 .5 a 0 .3a5
a\2
B
FcrAB(0.25E aI)2
FcB rC
2EI
0.35a2
A
故取
Fcr
2EI
0.5a 2
a
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其最小解为 n = 1 的解
F cr 2 k E I
F kl
cr l
EI
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
即得
kl Fcr l
EI
Fcr
2EI
l2
这就是两端绞支等截面细长中心
受压直杆临界力的计算公式
（欧拉公式）
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
F
cr
2E I (2l)2
长度系数 = 1 = 0.7 = 0.5 =2
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材料力学 第九章 压杆稳定
欧拉公式 的统一形式
Fcr
2 EI
l 2
为压杆的长度系数; l 为相当长度。
讨论：
（1）相当长度 l 的物理意义
1 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当
长度 l 。
材料力学 第九章 压杆稳定
2 若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别 计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对 中性轴的惯性矩。
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
例9-3-1： 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受 的压力最大， 哪一根的最小？
P P
P 因为 又
l1 l2 l3
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
yA sik n xB co ks x
边界条件：
xo y 0
x l 2
得
y
B=0
A
sin kl
2
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
yA sik n xB co ks x
B=0 ， 边界条件：
A
sin
kl
2
xl y 0
0sinklsinkl2coks2l
其中 I 为压杆横截面的 最小形心主惯性矩。
令 Fcr k 2 EI
则有二阶常系数线性微分方程
y
Pcr
M (x)P cy r
m
m
yB
y"k2 y0
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
y"k2y 0 其通解为 Fcr k 2
EI yA sik n xB co ks x
A，B，k 三个待定常数由该挠 曲线的三个边界条件确定。
§9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力
1 两端绞支
Fcr
2EI
l2
2 一端固定另端绞支
C为拐点
Fcr
2EI
0.7l 2
Pc
r
A
l
0.7l
C
B
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
3 两端固定
C，D为拐点
Pc
r
AD
l
2EI
C
Fcr 0.5l 2
B
材料力学第九节
材料力学 第九章 压杆稳定
v
m
m
B
yB
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材料力学 第九章 压杆稳定
压杆任一 x 截面沿 y 方向的 位移为 y = f (x) 该截面的弯矩为
F M(x) y cr
杆的挠曲线近似微分方程为
F
m
F E Iy"M (x) y y B cr
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材料力学 第九章 压杆稳定
E" IM yx F cy r
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精品课件-材料力学(张功学)-第9章
9－3）。图9－ 4(a)所示狭长矩形截面梁，当载荷F达到或超过一定数值时， 梁将突然发生翘曲；图9－4(b)所示承受径向外压的圆柱形薄 壳，当外压p达到或超过一定数值时，圆环形截面将突然变为 椭圆形。
第9章 压杆稳定 图9－3
第9章 压杆稳定 图9－4
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界载荷
第9章 压杆稳定 表9－1 几种常见细长压杆的长度因数及临界载荷
第9章 压杆稳定 例9－1 图9－10所示细长圆截面连杆，长度l=800 mm，
直径d=20mm，材料为Q235钢，其弹性模量E=200 GPa。试计 算该连杆的临界载荷。
图9－10
第9章 压杆稳定
解 该连杆为两端铰支细长压杆，μ=1。根据欧拉公式， 其临界载荷为
第9章 压杆稳定 图9－1
第9章 压杆稳定
对于轴向受压的细长弹性直杆也存在类似情况。图9－2所示两 端铰支的细长理想直杆，受力后处于直线平衡构形。在任意微 小侧向干扰下，压杆将产生微小弯曲（见图9－2 (a)）。外 界微小干扰去除后将出现两种不同情况：当轴向压力较小时， 压杆最终将恢复其直线平衡构形（见图9－2 (b)）；当轴向 压力较大时，压杆不仅不能恢复其直线平衡构形，而且将继续 弯曲，产生显著的弯曲变形（见图9－2(c)），甚至破坏。上 述情况表明：当轴向压力小于临界载荷Fcr时，压杆直线平衡 构形是稳定的；当轴向压力大于临界载荷Fcr时，压杆直线平 衡构形是不稳定的，在任意微小的外界扰动下，压杆的直线平 衡构形会突然转变为弯曲的平衡构形，这种过程称为屈曲或失 稳。在临界载荷Fcr作用下，压杆既可在直线构形下保持平衡， 也可在微弯构形下保持平衡。所以，当轴向压力达到或超过临 界载荷时，压杆直线平衡构形将会失稳。
界应力，并用σcr表示。根据式（9－6），细长压杆临界应力
第9章 压杆稳定 图9－3
第9章 压杆稳定 图9－4
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界载荷
第9章 压杆稳定 表9－1 几种常见细长压杆的长度因数及临界载荷
第9章 压杆稳定 例9－1 图9－10所示细长圆截面连杆，长度l=800 mm，
直径d=20mm，材料为Q235钢，其弹性模量E=200 GPa。试计 算该连杆的临界载荷。
图9－10
第9章 压杆稳定
解 该连杆为两端铰支细长压杆，μ=1。根据欧拉公式， 其临界载荷为
第9章 压杆稳定 图9－1
第9章 压杆稳定
对于轴向受压的细长弹性直杆也存在类似情况。图9－2所示两 端铰支的细长理想直杆，受力后处于直线平衡构形。在任意微 小侧向干扰下，压杆将产生微小弯曲（见图9－2 (a)）。外 界微小干扰去除后将出现两种不同情况：当轴向压力较小时， 压杆最终将恢复其直线平衡构形（见图9－2 (b)）；当轴向 压力较大时，压杆不仅不能恢复其直线平衡构形，而且将继续 弯曲，产生显著的弯曲变形（见图9－2(c)），甚至破坏。上 述情况表明：当轴向压力小于临界载荷Fcr时，压杆直线平衡 构形是稳定的；当轴向压力大于临界载荷Fcr时，压杆直线平 衡构形是不稳定的，在任意微小的外界扰动下，压杆的直线平 衡构形会突然转变为弯曲的平衡构形，这种过程称为屈曲或失 稳。在临界载荷Fcr作用下，压杆既可在直线构形下保持平衡， 也可在微弯构形下保持平衡。所以，当轴向压力达到或超过临 界载荷时，压杆直线平衡构形将会失稳。
界应力，并用σcr表示。根据式（9－6），细长压杆临界应力
材料力学(第四版)第九章
max
Pl M z max 4 43.3MPa Wz Wz
它比α=150时的斜弯曲最大正应力151.5Mpa小很多。可见， 当 Wy Wz 时，尽管荷载偏离y轴一个不大的角度,也会使梁的 正应显著增加,所以,在工程中应尽量避免发生斜弯曲.
例 ：矩形截面木檩条如图，跨长L=3.3m,受集度为 q=800N/m 的均布力作用， []=12MPa，容许挠度为：L/200 ，E=9GPa， q 试校核此梁的强度和刚度。
Mz My
z
中性轴
y
6.最大正应力及强度条件 在危险截面上作与中性轴平行且与截面只有一个交点的直 线，则这些交点距离中性轴最远。由斜弯曲正应力计算公式可 知，这些交点就是最大正应力作用点。 本例中的矩形截面悬臂梁的最大正应力发生在固定端截面 的a点（最大拉应力）和c点（最大压应力），强度条件为：
max
M z ,max y max Iz M y ,max Wy
M y ,max z max Iy
Mz My
M z ,max Wz
P y
z
中性轴
7.变形计算 斜弯曲的变形计算也可用叠加法。 Py引起的自由端的挠度 Py l 3 P cos l 3
fy 3EI z 3EI z
2.查型钢表得： No.32a工字钢的 Wz 692.2cm3
Wy 70.758cm3
A
C
B x Pz z
P a Py y l P
3.校核梁的正应力强度
max
M z max M y max 151.5MPa 160MPa Wz Wy
所以，梁的正应力强度足够。 附：本题中，若α=00，则梁发生平面弯曲，此时
Pl M z max 4 43.3MPa Wz Wz
它比α=150时的斜弯曲最大正应力151.5Mpa小很多。可见， 当 Wy Wz 时，尽管荷载偏离y轴一个不大的角度,也会使梁的 正应显著增加,所以,在工程中应尽量避免发生斜弯曲.
例 ：矩形截面木檩条如图，跨长L=3.3m,受集度为 q=800N/m 的均布力作用， []=12MPa，容许挠度为：L/200 ，E=9GPa， q 试校核此梁的强度和刚度。
Mz My
z
中性轴
y
6.最大正应力及强度条件 在危险截面上作与中性轴平行且与截面只有一个交点的直 线，则这些交点距离中性轴最远。由斜弯曲正应力计算公式可 知，这些交点就是最大正应力作用点。 本例中的矩形截面悬臂梁的最大正应力发生在固定端截面 的a点（最大拉应力）和c点（最大压应力），强度条件为：
max
M z ,max y max Iz M y ,max Wy
M y ,max z max Iy
Mz My
M z ,max Wz
P y
z
中性轴
7.变形计算 斜弯曲的变形计算也可用叠加法。 Py引起的自由端的挠度 Py l 3 P cos l 3
fy 3EI z 3EI z
2.查型钢表得： No.32a工字钢的 Wz 692.2cm3
Wy 70.758cm3
A
C
B x Pz z
P a Py y l P
3.校核梁的正应力强度
max
M z max M y max 151.5MPa 160MPa Wz Wy
所以，梁的正应力强度足够。 附：本题中，若α=00，则梁发生平面弯曲，此时
材料力学答案第9章
通解为
w1 = A1sinkx1 + B1coskx1 +
w2 = A2 sinkx 2 + B2 coskx 2 +
当 x1 = 0，w1 = 0 → B1 = 0 当 x 2 = 0，w2 = 0 → B2 = 0 当 x1 = x2 = 或写成
l F ′ = − w2 ′ ，w1 = w2 = c ，w1 2 c
式中，
k12 =
以上二微分方程的通解为
F F 2 ，k 2 = EI 1 EI 2
w1 = A1sink1 x1 + B1cosk1 x1 + δ w2 = A2 sink 2 x 2 + B2 cosk 2 x 2 + δ
定未知常数的条件为
8
′=0 x1 = 0，w1 = 0，w1 x1 = l ′ = w2 ′ ，w1 = w2，w1 x2 = 0 x2 = l，w2 = δ
3
的扭力矩为
M B = Fϕa
而
ϕ=
注意到 T = M B ，于是得
Tl GI p
F=
即
GI p al
πGd 4 Fcr = = al 32al
由此得（题中给出 F= 42kN ）
GI p
d=
4
32alFcr = πG
4
32 × 0.500 × 0.300 × 42 ×103 m = 0.030m = 30mm π × 79 ×10 9
题 9-10 图 解：该细长压杆的微弯状态如图 9-10 所示。
按图中所取坐标，有
M ( x1 ) =
Fc F x1 − Fw1，M ( x 2 ) = c x 2 − Fw2 2 2
材料力学9资料
千斤顶如图所示，丝杠长度l=375mm，直径d=40mm，
材 料 的 E=200GPa ， p=200MPa ， s=235MPa ，
a=304MPa，b=1.12MPa，最大起重量F=80kN，规定
稳定安全系数 nst=3。试校核丝杠的稳定性。
i I d λ l 75
A4
i
F F
1
B = 0 sinkl=0 kl = n k = n/l
F k 2EI
n
2
EI
l
F cr
2 EI l2
―欧拉公式
w Asin x
l
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
1. 一端固定：
y
M F(a v)
F a
x
d 2w M F(a v)
dx 2 EI
EI
令： k 2 F EI
2E p
99.3
2
a s
b
61.6
Fcr
cr Α
(a
b )
π 4
d
2
277 kN
n
Fcr F
277 80
3.46
n st
3
安全
在图示铰接杆系ABC中，AB和BC皆为细长压杆，且截 面相同，材料一样。若因在ABC平面内失稳而破坏，并 规定0<</2，试确定F为最大值时的角。
F
cr
sin
A3 钢 ， E=200GPa,
s=240MPa。试求托架的
临界载荷Qcr 。
=1
Fcr
2 EI (l ) 2
387.6kN
AC 800 2 600 2 200 7mm
Fcr
200 7 800
材料力学各章节知识点
◆第一部分：辅导班授课思路（大工名师授课）材料力学相对知识点多而杂。
但各知识点相对独立，相应章节出大题多是“拼盘”式的组合，但要求对每个知识点深刻理解，搞懂搞透！！各章节知识点：材力一：第一章：了解，没什么重要知识点。
第二章：轴向拉伸压缩。
轴力，轴力图。
与后面超静定一起出题。
年年考。
正应力，切应力，低碳钢拉伸试验，弹性变形，塑性变形，变形四阶段，塑性指标，轴向拉伸应变，变形。
第三章：扭转。
比较简单，考扭转超静定。
圆轴扭转切应力，扭转角，最大切应力，扭转强度刚度验算。
第四章：弯曲应力。
重点！！！每年考2～3道大题。
详细见讲义和讲课。
弯矩剪力图，年年考，送分题，每年10分，考专业基本功。
梁的正应力，正应力强度验算。
梁的切应力，切应力强度验算。
第五章：梁弯曲位移挠度，转角，挠曲线大致形状，叠加法求梁的挠度，积分法求梁的挠度。
每年一题。
第六章：超静定问题。
出综合大题。
拉伸超静定，弯曲超静定，扭转超静定。
每年一题。
难度较大。
第七章：应力状态和强度理论。
重点！！！每年30分左右。
详细见讲义和讲课。
任意截面正应力，切应力。
主应力。
主平面。
应力圆。
应力应变关系，应变能，应变能密度。
四大强度理论。
双剪强度理论，莫尔强度理论。
第八章：组合变形。
年年考拉伸，弯曲，扭转组合变形。
难度大。
但深刻理解后，比较简单。
第九章：压杆稳定。
冲击荷载。
临界压力，临界压力图，稳定性计算。
材力二：第一章：5个问题1.两个公式，正应力，角2.两种材料。
重点3.弯曲中心。
4.约束扭转5.曲杆计算第二章：塑性。
重点详细见讲课内容。
第三章：能量法应变能，余能计算。
第四章：了解第五章：应变状态分析，重点.详细见讲课内容。
第六章：动荷载年年考第七章：不是重点，看看。
材料力学 第九章
)
D 3
Wp= 16 ( 1- 4 )
=d / D
41
§9–6圆轴扭转破坏与强度条件
一、扭转失效与扭转极限应力
低碳钢试件： 沿横截面断开。
铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。
42
在扭转实验中，塑性材料试件受扭时，首先屈服，在试 件表面出现横向与纵向的滑移线，继续增大扭转力偶， 试件沿横截面剪断；脆性试件没有变形很小，最后会在 与轴线成45o角的螺旋面发生断裂。
m2
m3
m1
m4
A T
– 4.78
B
C
– 9.56
n D
6.37
x
17
§9–3 切应力互等定理与剪切胡克定律
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验：
1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
18
2.实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。
3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
剪应变和扭转角之间的关系.
物性实验得到扭矩和扭转角之 间的线性关系.
对于线性材料引入剪切模量
变形大小
(材料常数,需事先给定)
27
§9–4 圆轴扭转截面上的应力
①变形几何方面
扭转圆轴横截面应力
②物理关系方面 ③静力学方面
一、等直圆杆扭转实验观察：
1. 横截面变形后 仍为平面；
2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。
m2 1
m3 2 m1
3 m4
x
T1 m2 4.78kN m
n
T2 m2 m3 0 ,
材料力学9-知识归纳整理
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材料力学第九章
M Z y MZ IZ
y
弯曲正应力：
N Mz
N MZ y A IZ
P S
l 2
S
l 2
轴力：
NS
Pl 4
跨中截面是杆的危险截面：
M max
P
S
l 2
t
S
N A
b
M max W
l 2
与轴力对应的拉伸正应力
N S t A A Pl M max b W 4W
所以取 [P] 45.1 KN
[P] 171.3 KN
补充：圆形截面在两个相互垂直平面内的弯曲
双对称截面梁 在水平和垂直两纵向对称面内同时受 横向外力作用，分别在水平纵向对称面和垂直纵向 对称面内发生对称弯曲。 两相互垂直平面内的弯曲也称 斜弯曲。
垂直纵向对称面
梁在垂直纵对 称面 xy 面内发 生平面弯曲 。 Z轴为中性轴 z x 对称轴
C
RA
RB
A
B
1.6 m
1.6 m
1.2 m m 1.2
（2）用截面法分析内力 由于折杆本身和它所受的
力都是左右对称的，故只
需分析它的一半即可。
取 AC 杆研究。
10 KN
C
RA
RB
A
B
1.6 m
1.6 m
1.2 m m 1.2
由图示尺寸可求得
3 tg 4
AC 任一横截面 x 上 的内力。
例题：小型压力机的铸铁框架如图所示。已知材料的许用 拉应力 [t] =30MPa ，许用压应力 [C] =160MPa。试按立 柱的强度确定压力机的最大许可压力 P。
P P
y
弯曲正应力：
N Mz
N MZ y A IZ
P S
l 2
S
l 2
轴力：
NS
Pl 4
跨中截面是杆的危险截面：
M max
P
S
l 2
t
S
N A
b
M max W
l 2
与轴力对应的拉伸正应力
N S t A A Pl M max b W 4W
所以取 [P] 45.1 KN
[P] 171.3 KN
补充：圆形截面在两个相互垂直平面内的弯曲
双对称截面梁 在水平和垂直两纵向对称面内同时受 横向外力作用，分别在水平纵向对称面和垂直纵向 对称面内发生对称弯曲。 两相互垂直平面内的弯曲也称 斜弯曲。
垂直纵向对称面
梁在垂直纵对 称面 xy 面内发 生平面弯曲 。 Z轴为中性轴 z x 对称轴
C
RA
RB
A
B
1.6 m
1.6 m
1.2 m m 1.2
（2）用截面法分析内力 由于折杆本身和它所受的
力都是左右对称的，故只
需分析它的一半即可。
取 AC 杆研究。
10 KN
C
RA
RB
A
B
1.6 m
1.6 m
1.2 m m 1.2
由图示尺寸可求得
3 tg 4
AC 任一横截面 x 上 的内力。
例题：小型压力机的铸铁框架如图所示。已知材料的许用 拉应力 [t] =30MPa ，许用压应力 [C] =160MPa。试按立 柱的强度确定压力机的最大许可压力 P。
P P
材料力学第九章课件
m g
10kN C f
FAx
A
FAy
m
作折杆的受力图,折杆及 受力对称，只需分析一半 即杆AC 将FA分解, 得杆的轴力 FN、弯矩M (x)
B
FN FAx 3kN
FB
M(x) FAy x (4kN) x
§9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
最大弯矩在 C 处的m-m横截面，m-m 截面为 危险截面
Ft Fl t b A 4W
当
b
正应力沿截面高度的变化情 况还取决于b、t值的相对大 小。可能的分布还有：
=
t
当
b
＜
t
危险点处为单轴应力状态，故可将最大拉应力与 材料的许用应力相比较，以进行强度计算。
注意:当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时， 杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆 件的拉、压强度条件。
F2 F1
§9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形 心为 e (称为偏心距)的偏心拉力F为例，来说明.
F O1 A z (yF ,zF ) y F Mey = FzF O1 z Mez = FyF y z n O C (y ,z) n y
将偏心拉力 F 用静力等 效力系来代替。把 A 点处 的拉力 F向截面形心 O1 点 简化，得到轴向拉力 F 和 两个在纵对称面内的力偶 Mey、Mez。
§9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例1 一折杆由两根无缝钢管焊接而成，已知两钢管 的外径均为 140mm ，壁厚均为 10mm 。试求折杆危 险截面上的最大拉应力和最大压应力。
C FA
' FA
10kN
1.2m
解：求支反力,由平衡方程
材料力学演示文稿
轴力图，从左画，遇外力要跳动；力向左，往上
跳，力向右，往下跳；幅度等于外力值。
第二十页，共74页。
第二十一页，共74页。
上一页 下一页
解：建立坐标系如图示
取左侧x段为对象， 内力N(x)为
q(x)
Nx
x
则平衡方程：
第二节 横截面上的应力
1.变形规律试验及平面假设
上一页 下一页
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形情 况相同。
上一页 下一页
第三十七页，共74页。
二、低碳钢的拉伸试验
F
上一页 下一页
F -D l
Dl
虽然，同一种材料加工粗细、长短不同的试样，其F-Δl
图不同，即F-Δl图不能反映材料的性质。
第三十八页，共74页。
σ-ε图：
上一页 下一页
四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩阶段。
第三十九页，共74页。
oa,有残余变形或塑性变形（如o1o2）。
第四十一页，共74页。
3、强化阶段b′d
上一页 下一页
特征：冷作硬化，加载超过后卸载（如f点），再加载
直至断裂，比例极限提高（ s s ）塑性变
形减少了OO1。
p
p1
第四十二页，共74页。
4.缩颈阶段de
σ
上一页 下一页
d e
o ε
特征：试样某局部横向尺寸明显减小，直至断裂，断口 粗糙。此阶段试样完全丧失承载能力。
面AAB=10×103mm2，许用应力 杆其截面积AAB=600mm2，许用应力 试求B处可吊的最大许可载荷F。
；BC为钢 。
第五十六页，共74页。
上一页 下一页
解：(1)受力分析：取节点B为研究对象，受力如图b)
跳，力向右，往下跳；幅度等于外力值。
第二十页，共74页。
第二十一页，共74页。
上一页 下一页
解：建立坐标系如图示
取左侧x段为对象， 内力N(x)为
q(x)
Nx
x
则平衡方程：
第二节 横截面上的应力
1.变形规律试验及平面假设
上一页 下一页
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形情 况相同。
上一页 下一页
第三十七页，共74页。
二、低碳钢的拉伸试验
F
上一页 下一页
F -D l
Dl
虽然，同一种材料加工粗细、长短不同的试样，其F-Δl
图不同，即F-Δl图不能反映材料的性质。
第三十八页，共74页。
σ-ε图：
上一页 下一页
四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩阶段。
第三十九页，共74页。
oa,有残余变形或塑性变形（如o1o2）。
第四十一页，共74页。
3、强化阶段b′d
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特征：冷作硬化，加载超过后卸载（如f点），再加载
直至断裂，比例极限提高（ s s ）塑性变
形减少了OO1。
p
p1
第四十二页，共74页。
4.缩颈阶段de
σ
上一页 下一页
d e
o ε
特征：试样某局部横向尺寸明显减小，直至断裂，断口 粗糙。此阶段试样完全丧失承载能力。
面AAB=10×103mm2，许用应力 杆其截面积AAB=600mm2，许用应力 试求B处可吊的最大许可载荷F。
；BC为钢 。
第五十六页，共74页。
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解：(1)受力分析：取节点B为研究对象，受力如图b)