初三_一元二次方程的补充解法——“十字相乘法

解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
2 -7y
5 ╳ 4y
=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3
2 x -7y
1
2
5 x +4y ╳ -3 =[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3] =（2x -7y+1）（5x +4y -3） 说明:在本题中先把 10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y） （5x +4y）-（x -25y）- 3 用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3].
推论Ⅰ.设一元二次方程 x2 bx c 0 的 c c1 c2 ， 若 b 满足 b c1 c2 ，则原方程可用十字相乘法化为 (x c1)( x c2 ) 0 。
※推论Ⅱ. 设 ax2 bxy cy 2 0(a 0) 的 a mn ， c pq ， 若 b 满足 b mq np ，则原方程可用十字相乘法化为 (mx py)(nx qy) 0 。
解：因为 1 -2
1╳ 6
所以 m²+4m-12=（m-2）（m+6）
2、解方程 x²-8x+15=0
分析：把 x²-8x+15 看成关于 x 的一个二次三项式，则 15 可分成 1×15，3×5。
解： 因为 1 -3
1 ╳ -5
所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0
所以 x1=3 x2=5
练习：
算量不大，不容易出错。
1
4、十字相乘法的缺陷： ①有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不适用于每一道题。 ②十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
例题：
1、把 m²+4m-12 分解因式
ห้องสมุดไป่ตู้
分析：本题中常数项-12 可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1 当-12
分成-2×6 时，才符合本题
说明：用十字相乖法分解二次三项式 x2 Px q ，式中的 p 、 q 通常是整数，要找的 a 、 b 两数也通常是在整数中去找．由于把 p 拆成两个整数之和可以有无数种情形，而把 q 分解 成两个整数之积只有有限几种可能，故应先把 q 分解成两个整数之积，然后检验哪两个整数 之和得 p ．
练习题（因式分解）： （1） x2 5x 6 ___ __ __ ____.
一般地，∵ (x a)(x b) x2 (a b)x ab ，∴ x2 (a b)x ab (x a)(x b) ．
这就是说，对于二次三项式
x2
Px
q
，若能找到两个数
a
、
b
，使
a a
b p, b q,
则就有 x2 Px q x2 (a b)x ab (x a)(x b) ．
（2） 对于二次三项 ax2 bx c 【 a1a2 x 2 a1c2 a2c1 x c1c2 】（a、b、c 都是整数，
且 a 0 ）的因式分解：
一般地，∵ a1x c1 a2 x c2 = a1a2 x 2 a1c2 a2c1 x c1c2 ， ∴ a1a2 x 2 a1c2 a2c1 x c1c2 = a1x c1 a2 x c2 ．
通过练习巩固 a 、 b 的符号法则．
2 把下列各式分解因式：
⑴ (x y)2 4(x y) 5 ； ⑵ a4 2a3 3a2 ．
⑶ 2x2 10xy 12y2 ；
⑷ (x2 2x)2 2(x2 2x) 3 ．
§观察“现象”
（1）现有一元二次方程： x2 2x 3 0
它的二次项系数为 1，一次项系数为－2，常数项为－3。
LYR(2010—10-01) 一元二次方程的补充解法——“十字相乘法”
学习目标 1. 理解十字相乘法的概念和意义； 2. 会用十字相乘法把形如 x2＋px＋q 的二次三项式分解因式；
§什么是十字相乘法？
x2 px q
x2 (a b)x ab (x + a )(x + b)
pq
十字相乘法，就是把一个二次三项式化为两个因式相乘的形式，是一元二次方程解法之
三、巩固与提高：
1. 把下列各式分解因式（填空）：
⑴ x2 4x 12 (x )(x ) ．⑵ x2 2x 63 (x )(x ) ．
⑶ x2 8x 15 (x )(x ) ．⑷ x2 12x 32 (x )(x ) ．
强调：由常数 q 分解成的两数，当和等于一次项系数 p 时，这两数才是要找的 a 、 b ．
=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 2 -（7y – 1） 5 ╳ 4y - 3
=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] =（2x -7y +1）（5x +4y -3） 说明：在本题中先把 28y²-25y+3 用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把 10x ²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为：[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]
如对于二次三项式
x2
3x
2
，其中
p
3
，
q
2
，能找到两个数1
、
2
，使
1 1
2 2
p, q,
故
有 x2 3x 2 (x 1)(x 2) ．
2. 用以上新方法分解二次三项式 x2 Px q 时，如何寻找 a 、 b 两数？ 例１ 把下列各式分解因式： ⑴ x2 5x 6 ；⑵ x2 5x 6 ；⑶ x2 5x 6 ；⑷ x2 5x 6 ． 用以上新方法来分解二次三项式 x2 Px q ，式中的 p 、 q 通常是整数，要找的 a 、b 两 数也通常是在整数中去找．由于把 p 拆成两个整数之和可以有无数种情形，而把 q 分解成两 个整数之积只有有限几种可能，故应先把 q 分解成两个整数之积，然后检验哪两个整数之和 得 p． 如：⑴ ∵ 6 1 6 (1) (6) 23 (2) (3) ，且其中 2 3 5 ，
x2
Px
q
，若能找到两个数
a
、
b
，使
a a
b p, b q,
则就有 x2 Px q x2 (a b)x ab (x a)(x b) ．
（掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常．数．项．分．解．成．两．个．数．的．积．，．且．其． 和．等．于．一．次．项．系．数．，．通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。）
§十字相乘法分解因式
教学目的 探索并掌握可化为 x2 (a b)x ab 型的二次三项式的因式分解方法，会分解可化为
x2 (a b)x ab 型的二次三项式．
教学重点 可化为 x2 (a b)x ab 型的二次三项式的因式分解．
教学过程 ∵ (x 1)(x 2) x2 3x 2 ，∴ x2 3x 2 (x 1)(x 2) ．
∴ x2 5x 6 (x 1)(x 6) ．
如何检验分解是否正确？ 请观察比较例１中的各题，你能发现把 q 分解成两个整数 a 、 b 之积时的符号规律吗？
3
⑴若 q ＞ 0 ，则 a 、 b 同号． 当 p ＞ 0 时 a 、 b 同为正，当 p ＜ 0 时 a 、 b 同为负．
⑵若 q ＜ 0 ，则 a 、 b 异号． 当 p ＞ 0 时 a 、 b 中的正数绝对值较大，当 p ＜ 0 时 a 、 b 中的负数绝对值较大．
∴ x2 5x 6 (x 2)(x 3) ． ⑵ ∵ 6 1 6 (1) (6) 23 (2) (3) ，且其中 (2) (3) 5 ，
∴ x2 5x 6 (x 2)(x 3) ． ⑶ ∵ 6 1 6 1 (6) 23 2 (3) ，且其中 1 6 5 ，
∴ x2 5x 6 (x 1)(x 6) ． ⑷ ∵ 6 1 6 1 (6) 23 2 (3) ，且其中1 (6) 5 ，
如对于二次三项式
x2
3x
2
，其中
p
3
，
q
2
，能找到两个数1
、
2
，使
1 1
2 2
p, q,
故
有 x2 3x 2 (x 1)(x 2) ．
例 1：因式分解 (1) x2 + 10x + 9 ； 解：1 1 （x + 1） 1 9 （x + 9） 1×9=9；1×9+1×1=10 ∴x2 + 10x + 9=（x + 1）（x + 9）
（2） x2 5x 6 ___ __ __ _____
（3） x2 5x 6 ___ __ __ ____
（4） x2 5x 6 ___ __ __ ____
提问：请观察以上练习中的各题，你能发现把 q 分解成两个整数 a 、 b 之积时的符号规 律吗？
⑴若 q ＞ 0 ，则 a 、 b 同号．当 p ＞ 0 时 a 、 b 同为正，当 p ＜ 0 时 a 、 b 同为负． ⑵若 q ＜ 0 ，则 a 、 b 异号．当 p ＞ 0 时 a 、 b 中的正数绝对值较大，当 p ＜ 0 时 a 、 b 中 的负数绝对值较大．
4
§知识归纳和例子讲解：
（1） 对于某些首项系数是 1 的二次三项式 x2 Px q 【 x2 (a b)x ab 】的因式分解： 一般地，∵ (x a)(x b) x2 (a b)x ab ，∴ x2 (a b)x ab (x a)(x b) ．
这就是说，对于二次三项式
因为它的系数满足1 11， 3 1 (3) ， 2 1 (3) 11
所以用十字相乘法可将原式化为
(x 1)(x 3) 0
（2）现有一元二次方程： 2x2 7x 6 0
它的二次项系数为 2，一次项系数为－7，常数项为 6。
因为它的系数满足 2 1 2 ， 6 (2) (3)
7 1 (3) 2 (2)
1·把 5x²+6x-8 分解因式
2·解方程 6x²-5x-25=0
例 3·把 14x²-67xy+18y²分解因式
分析：把 14x²-67xy+18y²看成是一个关于 x 的二次三项式,则 14 可分为 1×14,2×7, 18y²可分为
y.18y , 2y.9y , 3y.6y
解:
因为 2 -9y
一。
x2+px+q=（x+a）（x+b） 其中 q、p、a、b 之间的符号关系
“十字相乘当法q>”0 时：，十q字分左解边的相因乘数等a、于b二( 同次号项系)且数（，a，右b边符相号乘）等与于p 符常号数相项同，交叉相乘再相
加等于一次项当系q数<0。时， q 分解的因数 a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与 p 符号相同
(2)(2x)2 x–2 －3x3x–－101；0； 解：解1：1 –5－5 （x（–x －5）5）
1 1 2 2 （x（+x 2+）2） –5－*52 =×92；=19*；（1–×5（）－+15*）2=+1–×32= －3 ∴x∴2 x–2 －3x3x–－1010==（（x x–－5）5（）（x x+ +2）2）
所以用十字相乘法可将原式化为
(x 2)(2x 3) 0
（3）现有一元二次方程： 2x2 7xy 6 y 2 0 这个方程与上面方程的区别是多了一个未知数 y ， 同样地，用十字相乘法可将原式化为 (x 2y)(2x 3y) 0
§得出结论： 设一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的 a mn ， c pq ， 若 b 满足 b mq np ，则原方程可用十字相乘法化为 (mx p)(nx q) 0 。
十字相乘
法相对来说难
学一些,
但是一旦学会
了它,用
它来解题,会给
我们带来
很多方便。
1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相
乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用
7 ╳ -2y 所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)
例 4·把 10x²-27xy-28y²-x+25y-3 分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式 解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3） 4y -3 7y ╳ -1