向量自回归模型(VAR)-Eviews实现资料
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Eviews中VAR模型的操作、脉冲响应分析和方差分解的实现
数据准备
在Eviews中导入需要分析的时间 序列数据，并进行必要的预处理 ，如缺失值处理、平稳性检验等 。
模型设定
根据研究目的和数据特征，选择 合适的VAR模型阶数（滞后阶数 ），并设定模型的约束条件（如 外生变量、季节性等）。
参数估计
运用最小二乘法（OLS）或极大 似然法（ML）等估计方法对VAR 模型进行参数估计，得到模型的 系数矩阵和截距项。
3. 在弹出的对话框中，设置 冲击的滞后期数（即观察冲 击影响的期数），并选择要 分析的变量。
4. 点击“OK”按钮， Eviews将生成脉冲响应结果 。
脉冲响应结果的解读
脉冲响应图
通常以图形形式展示脉冲响应结果，横轴表示滞后期数，纵轴表示内生变量对冲击的响应程度。通过脉冲响应图可以 直观地观察变量之间的动态影响关系。
Eviews中VAR模型的实现步骤
模型诊断
对估计得到的VAR模型进行诊断检验，包括残差自相关检验、异方差性检验等，以确保模 型的合理性。
脉冲响应分析
在Eviews中利用脉冲响应函数（Impulse Response Function，IRF）分析VAR模型中各 变量对冲击的反应程度和持续时间。通过设置冲击大小和滞后期数，可以得到不同变量之 间的动态影响关系图。
在Eviews中选择 "Quick"->"Estimate Equation"，在弹出的 对话框中选择VAR模型 ，并设定滞后阶数。
变量选择
根据研究目的选择合适 的变量，并将其添加到 模型中。
模型估计
点击"OK"按钮，Eviews 将自动进行VAR模型的 估计，并显示估计结果 。
脉冲响应分析与方差分解
Eviews中向量自回归模型VAR解读PPT课件
一、向量自回归（VAR）模型定义
• VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设y1t，y2t之间存在关系，如果分别建立两 个自回归模型
• y1t = f (y1,t-1, y1,t-2, …) • y2t = f (y2,t-1, y2,t-2, …) • 则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。
• （4）VAR模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。比如一个 VAR模型含有三个变量，最大滞后期k = 3，则有k N 2 = 3 32 = 27个参数需要估计。当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。
• （5）无约束VAR模型的应用之一是预测。由于在VAR模型中每个方程 的右侧都不含有当期变量，这种模型用于样本外一期预测的优点是不必 对解释变量在预测期内的取值做任何预测。
• 在残差序列数据组窗口中点击View键，选择Covariances功能
第25页/共28页
上一排数值为方差或协方差，下一排为相 关系数。
第26页/共28页
五、VAR、协整与VEC模型
第27页/共28页
感谢您的欣赏！
第28页/共28页
• （6.3）u中t ，(u1t , u2t ,uNt )' 第3页/共28页
11, j
j
21, j
N1, j
12, j 22, j
N 2, j
1N, j
2N,
j
,
j
1,2,, k
NN
,
j
对单一方程而言，每个方程的随机误差项独立不相关（时间序列上前 后不相关），但对模型而言，不同方程的随机误差项存在相关性。
第12页/共28页
特征根数值
• VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设y1t，y2t之间存在关系，如果分别建立两 个自回归模型
• y1t = f (y1,t-1, y1,t-2, …) • y2t = f (y2,t-1, y2,t-2, …) • 则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。
• （4）VAR模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。比如一个 VAR模型含有三个变量，最大滞后期k = 3，则有k N 2 = 3 32 = 27个参数需要估计。当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。
• （5）无约束VAR模型的应用之一是预测。由于在VAR模型中每个方程 的右侧都不含有当期变量，这种模型用于样本外一期预测的优点是不必 对解释变量在预测期内的取值做任何预测。
• 在残差序列数据组窗口中点击View键，选择Covariances功能
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上一排数值为方差或协方差，下一排为相 关系数。
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五、VAR、协整与VEC模型
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感谢您的欣赏！
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• （6.3）u中t ，(u1t , u2t ,uNt )' 第3页/共28页
11, j
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N1, j
12, j 22, j
N 2, j
1N, j
2N,
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j
1,2,, k
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对单一方程而言，每个方程的随机误差项独立不相关（时间序列上前 后不相关），但对模型而言，不同方程的随机误差项存在相关性。
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特征根数值
EVIEWS软件的使用说明--向量自回归和误差修正模型
EVIEWS软件的使用说明--向量自回归和误差修正模型第二十章向量自回归和误差xx模型联立方程组的结构性方法是用经济理论来建立变量之间关系的模型。
但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明。
并且，内生变量既可以出现在等式的左端又可以出现在等式的右端使得估计和推断更加复杂。
为解决这些问题产生了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。
就是这一章讲述的向量自回归模型（Vector Auto regression, VAR）以及向量误差修正模型（VectorError Correction, VEC）的估计与分析。
同时给出一些检验几个非稳定变量之间协整关系的工具。
§20.1向量自回归理论向量自回归（VAR）常用于预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动对变量系统的动态影响。
VAR方法通过把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而回避了结构化模型的需要。
一个VAR(p)模型的数学形式是：(20.1)这里是一个维的内生变量，是一个维的外生变量。
和是要被估计的系数矩阵。
是扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关。
作为VAR的一个例子，假设工业产量（IP）和货币供应量（M1）联合地由一个双变量的VAR模型决定，并且让常数为唯一的外生变量。
内生变量滞后二阶的VAR(2)模型是：(20.2)其中，是要被估计的参数。
也可表示成：§20.2估计VAR模型及估计输出选择Quick/EstimateVAR…或者在命令窗口中键入var，并在出现对话框内添入适当的信息：1．选择说明类型：Unrestricted VAR（无约束向量自回归）或者VectorError Correction（向量误差修正）2．设置样本区间。
3．在适当编辑框中输入滞后信息。
这一信息应被成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。
4．在相应的编辑栏中输入适当的内生及外生变量。
向量自回归模型
移而发生突变。
诊断主要是对模型残差进行一系列检验， 如果诊断结果表明模型存在问题，需要
以判断模型是否充分拟合了数据，是否 对模型进行修正或重新设定，以确保模
存在异常值或违反模型假设的情况。常
型的准确性和可靠性。
见的诊断方法包括残差诊断、正态性检
验、异方差性检验等。
03
向量自回归模型的实现
向量自回归模型的编程语言实现
诊断与修正困难
向量自回归模型在诊断和修正模型中的问题时较为复杂，需要较高 的统计技巧和经验。
对数据要求高
向量自回归模型要求数据具有平稳性，对于非平稳数据需要进行差分 或其他处理，可能会影响模型的准确性和稳定性。
向量自回归模型的发展趋势与未来展望
改进估计方法
针对向量自回归模型参数过多的问题，未来研究可以探索更加有 效的参数估计方法，提高模型的泛化能力。
能够更好地捕捉时间序列数据的长期趋势和稳定性。
解释性强
02
向量自回归模型能够清晰地揭示多个变量之间的相互影响关系，
有助于理解经济现象之间的内在联系。
适用范围广
03
向量自回归模型适用于多种类型的数据，包括平稳和非平稳时
间序列数据。
向量自回归模型的缺点
参数过多
向量自回归模型需要估计的参数数量较多，容易产生过拟合问题， 导致模型泛化能力下降。
极端天气事件预测
通过向量自回归模型预测极端天气事件的发生， 如暴雨、洪涝、干旱等，有助于减轻灾害损失。
3
气候变化对生态系统的影响
利用向量自回归模型分析气候变化对生态系统的 影响，如植被分布、物种多样性和生态平衡等。
向量自回归模型在社会科学领域的应用
经济发展预测
通过分析历史经济发展数据，利用向量自回归模型预测未来经济 发展趋势，为政策制定提供依据。
诊断主要是对模型残差进行一系列检验， 如果诊断结果表明模型存在问题，需要
以判断模型是否充分拟合了数据，是否 对模型进行修正或重新设定，以确保模
存在异常值或违反模型假设的情况。常
型的准确性和可靠性。
见的诊断方法包括残差诊断、正态性检
验、异方差性检验等。
03
向量自回归模型的实现
向量自回归模型的编程语言实现
诊断与修正困难
向量自回归模型在诊断和修正模型中的问题时较为复杂，需要较高 的统计技巧和经验。
对数据要求高
向量自回归模型要求数据具有平稳性，对于非平稳数据需要进行差分 或其他处理，可能会影响模型的准确性和稳定性。
向量自回归模型的发展趋势与未来展望
改进估计方法
针对向量自回归模型参数过多的问题，未来研究可以探索更加有 效的参数估计方法，提高模型的泛化能力。
能够更好地捕捉时间序列数据的长期趋势和稳定性。
解释性强
02
向量自回归模型能够清晰地揭示多个变量之间的相互影响关系，
有助于理解经济现象之间的内在联系。
适用范围广
03
向量自回归模型适用于多种类型的数据，包括平稳和非平稳时
间序列数据。
向量自回归模型的缺点
参数过多
向量自回归模型需要估计的参数数量较多，容易产生过拟合问题， 导致模型泛化能力下降。
极端天气事件预测
通过向量自回归模型预测极端天气事件的发生， 如暴雨、洪涝、干旱等，有助于减轻灾害损失。
3
气候变化对生态系统的影响
利用向量自回归模型分析气候变化对生态系统的 影响，如植被分布、物种多样性和生态平衡等。
向量自回归模型在社会科学领域的应用
经济发展预测
通过分析历史经济发展数据，利用向量自回归模型预测未来经济 发展趋势，为政策制定提供依据。
eviews操作实例-向量自回归模型VAR和VEC
-4.3194
-5.4324 -5.7557
5% 临界值
-2.9202 -2.9202 -2.9202
模型形式 （C t p）
(c 0 3) (c 0 0) (c 0 0)
DW值
1.6551 1.9493 1.8996
结论
LGDPt ～I(1) LCt ～I( 1)
LIt～I(1)
注 C为位移项， t为趋势，p为滞后阶数。
yNt
的最大p阶滞后变量为解释变量的方程组模型，方程组模 型中共有N个方程。显然，VAR模型是由单变量AR模型推广到 多变量组成的“向量”自回归模型。
对于两个变量（N=2），Yt ( yt xt )T 时，VAR(2)模型为
2
Yt iYti Ut 1Yt1 2Yt2 Ut i 1
6
用矩阵表示：
xt
121 yt1
122xt1
221yt2
222xt2
u2t
显然，方程组左侧是两个第t期内生变量；右侧分 别是两个1阶和两个2阶滞后应变量做为解释变量，且 各方程最大滞后阶数相同,都是2。这些滞后变量与随 机误差项不相关（假设要求）。
7
由于仅有内生变量的滞后变量出现在等式的 右侧，故不存在同期相关问题，用“LS”法估计 参数，估计量具有一致和有效性。而随机扰动列 向量的自相关问题可由增加作为解释应变量的滞 后阶数来解决。
3
政策分析。但实际中，这种模型的效果并不令人满 意。
联立方程组模型的主要问题：
（1）这种模型是在经济理论指导下建立起来的结构模型 。遗憾的是经济理论并不未明确的给出变量之间的动态关 系。
（2）内生、外生变量的划分问题较为复杂； （3）模型的识别问题，当模型不可识别时,为达到可识别 的目的，常要将不同的工具变量加到各方程中，通常这种 工具变量的解释能力很弱； （4）若变量是非平稳的（通常如此），则会违反假设， 带来更严重的伪回归问题。
-5.4324 -5.7557
5% 临界值
-2.9202 -2.9202 -2.9202
模型形式 （C t p）
(c 0 3) (c 0 0) (c 0 0)
DW值
1.6551 1.9493 1.8996
结论
LGDPt ～I(1) LCt ～I( 1)
LIt～I(1)
注 C为位移项， t为趋势，p为滞后阶数。
yNt
的最大p阶滞后变量为解释变量的方程组模型，方程组模 型中共有N个方程。显然，VAR模型是由单变量AR模型推广到 多变量组成的“向量”自回归模型。
对于两个变量（N=2），Yt ( yt xt )T 时，VAR(2)模型为
2
Yt iYti Ut 1Yt1 2Yt2 Ut i 1
6
用矩阵表示：
xt
121 yt1
122xt1
221yt2
222xt2
u2t
显然，方程组左侧是两个第t期内生变量；右侧分 别是两个1阶和两个2阶滞后应变量做为解释变量，且 各方程最大滞后阶数相同,都是2。这些滞后变量与随 机误差项不相关（假设要求）。
7
由于仅有内生变量的滞后变量出现在等式的 右侧，故不存在同期相关问题，用“LS”法估计 参数，估计量具有一致和有效性。而随机扰动列 向量的自相关问题可由增加作为解释应变量的滞 后阶数来解决。
3
政策分析。但实际中，这种模型的效果并不令人满 意。
联立方程组模型的主要问题：
（1）这种模型是在经济理论指导下建立起来的结构模型 。遗憾的是经济理论并不未明确的给出变量之间的动态关 系。
（2）内生、外生变量的划分问题较为复杂； （3）模型的识别问题，当模型不可识别时,为达到可识别 的目的，常要将不同的工具变量加到各方程中，通常这种 工具变量的解释能力很弱； （4）若变量是非平稳的（通常如此），则会违反假设， 带来更严重的伪回归问题。
向量自回归模型,VAR资料
I 1 L 2 L I 0 1 2 I AL L 0 IL I 0 I I | I 1 L 2 L2 | 0 的全部根必须在单位圆以外.
云南大学发民研究院
18
5、VAR稳定性的EVIEW操作
• 求VAR模型特征根的EViews操作：在VAR 模型估计结果窗口点击View 选 Lag Structrure, AR Roots Table 功能，即可得 到VAR模型的全部特征根。若选Lag Structrure, AR Roots Graph 功能，即可 得到单位圆曲线以及VAR模型全部特征根 的位置图。
估计VAR的EVIEW操作
• 打开工作文件，点击Quick键, 选Estimate VAR功能。 作相应选项后，即可得到VAR的表格式输出方式。在 VAR模型估计结果窗口点击View 选 representation 功能可得到VAR的代数式输出结果。 • VAR模型静态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能。点击Solve。在出现的对话框的Solution option（求解选择）中选择Static solution（静态 解）。 • VAR模型动态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能（工作文件中如果已经有Model，则直接 双击Model）。点击Solve。在出现的对话框的 Solution option（求解选择）中选择Dynamic solution（动态解）。
云南大学发民研究院 11
2、VAR 模型
• Yt=+1Yt-1+ut为例 • 改写为：（I- 1L）Yt=+ut • VAR模型稳定的条件是特征方程|1-λ I|=0 的单位圆以内，特征方程|1-λ I|=0的根就 是1的特征值。
云南大学发民研究院
18
5、VAR稳定性的EVIEW操作
• 求VAR模型特征根的EViews操作：在VAR 模型估计结果窗口点击View 选 Lag Structrure, AR Roots Table 功能，即可得 到VAR模型的全部特征根。若选Lag Structrure, AR Roots Graph 功能，即可 得到单位圆曲线以及VAR模型全部特征根 的位置图。
估计VAR的EVIEW操作
• 打开工作文件，点击Quick键, 选Estimate VAR功能。 作相应选项后，即可得到VAR的表格式输出方式。在 VAR模型估计结果窗口点击View 选 representation 功能可得到VAR的代数式输出结果。 • VAR模型静态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能。点击Solve。在出现的对话框的Solution option（求解选择）中选择Static solution（静态 解）。 • VAR模型动态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能（工作文件中如果已经有Model，则直接 双击Model）。点击Solve。在出现的对话框的 Solution option（求解选择）中选择Dynamic solution（动态解）。
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2、VAR 模型
• Yt=+1Yt-1+ut为例 • 改写为：（I- 1L）Yt=+ut • VAR模型稳定的条件是特征方程|1-λ I|=0 的单位圆以内，特征方程|1-λ I|=0的根就 是1的特征值。
向量自回归(VAR)模型PPT课件
s1 t1
F (s 11
)
(Yt
)
F (s) 12
(Yt
1
)
F (s) 1p
(Yt (
p 1)
)
其中：i
F (i 11
)
,
F (i 11
)
表示F i
矩阵的左上角
的部分，而F i 是矩阵F的 i次幂。
只 要 VAR(p)模 型 为 平 稳 系 统 ， 就 确 保 了
1 z 0.6z
(z) n 1z 0.5z
0 10.7z
(1 z)(10.7z) 0.3z2 0
z2 0.75z 2.5 0
z1 5/ 4, z2 2
在上面给出的例子中，很明显第一个 等式的自回归系数是1(11 1 )，但是整个 VAR(1)系统是平稳的！所以，整个VAR模 型系统的平稳与否，千万不能单凭某一个 等式中的自回归系数判断，而是要考虑整 个系统的平稳性条件。这是因为，在只考 虑单个等式中的某个自回归系数时，却忽
8.2 VAR模型的估计与相关检验
8.2.1 VAR模型的估计方法
虽然VAR模型系统比一维模型看上去 复杂得多，但是用来估计VAR的方法却并 不一定很繁难。常见的估计方法包括最 大似然估计（Maximum Likelihood Estimator，MLE）和常见的最小二乘估 计（OLS）。在特定条件下，MLE与OLS估 计获得的系数是完全相同的。
8.1.5 VAR模型与VMA模型的转化
VMA过程，就是用向量形式表示的移 动平均过程，在这样的移动平均过程中， 随机扰动项以向量白噪音的形式出现。所 以，一个VMA(q)过程的定义为：
Eviews11章VAR模型和VEC模型讲课讲稿
பைடு நூலகம்1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
VAR模型中AR根的图
EViews统计分析基础教程
一、向量自回归（VAR）模型
3. VAR模型的建立 VAR模型的滞后结构检验 （2）Granger因果检验 Granger因果检验的 原假设是 H0：变量x不能Granger引起变量y 备择假设是 H1：变量x能Granger引起变量y
EViews统计分析基础教程
一、向量自回归（VAR）模型
4. VAR模型的检验 VAR模型的滞后结构检验 （1）AR根的图与表 如果VAR模型所有根模的倒数都小于1，即都在单位圆内， 则该模型是稳定的；如果VAR模型所有根模的倒数都大于1， 即都在单位圆外，则该模型是不稳定的。如果被估计的VAR 模型不稳定，则得到的结果有些是无效的。
EViews统计分析基础教程
一、向量自回归（VAR）模型
2.结构VAR模型（SVAR）
结构VAR是指在模型中加入了内生变量的当期值，即解释变 量中含有当期变量，这是与VAR模型的不同之处。 下面以两变量SVAR模型为例进行说明。
xt=b10 + b12zt +γ11xt-1 +γ12 zt-1 + μxt zt=b20 + b21xt +γ21xt-1 +γ22 zt-1 + μzt 这是滞后阶数p=1的SVAR模型。其中，xt和zt均是平稳随机 过程；随机误差项μxt和μzt是白噪声序列，并且它们之间不相 关。系数b12表示变量的zt的变化对变量xt的影响；γ21表示xt-1 的变化对zt的滞后影响。该模型同样可以用如下向量形式表 达，即
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
VAR模型中AR根的图
EViews统计分析基础教程
一、向量自回归（VAR）模型
3. VAR模型的建立 VAR模型的滞后结构检验 （2）Granger因果检验 Granger因果检验的 原假设是 H0：变量x不能Granger引起变量y 备择假设是 H1：变量x能Granger引起变量y
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一、向量自回归（VAR）模型
4. VAR模型的检验 VAR模型的滞后结构检验 （1）AR根的图与表 如果VAR模型所有根模的倒数都小于1，即都在单位圆内， 则该模型是稳定的；如果VAR模型所有根模的倒数都大于1， 即都在单位圆外，则该模型是不稳定的。如果被估计的VAR 模型不稳定，则得到的结果有些是无效的。
EViews统计分析基础教程
一、向量自回归（VAR）模型
2.结构VAR模型（SVAR）
结构VAR是指在模型中加入了内生变量的当期值，即解释变 量中含有当期变量，这是与VAR模型的不同之处。 下面以两变量SVAR模型为例进行说明。
xt=b10 + b12zt +γ11xt-1 +γ12 zt-1 + μxt zt=b20 + b21xt +γ21xt-1 +γ22 zt-1 + μzt 这是滞后阶数p=1的SVAR模型。其中，xt和zt均是平稳随机 过程；随机误差项μxt和μzt是白噪声序列，并且它们之间不相 关。系数b12表示变量的zt的变化对变量xt的影响；γ21表示xt-1 的变化对zt的滞后影响。该模型同样可以用如下向量形式表 达，即
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其中， ci , aij , bij 是要被估计的参数。也可表示成：
IPt M 1t
Байду номын сангаас
c1 c2
a11 a21
a12 a22
IPt 1 M 1t 1
b11 b21
b12 b22
IPt 2 M 1t 2
2
9.1.1 VAR模型的一般表示
VAR(p) 模型的数学表达式是
yt Φ1 yt1 Φp yt p Hxt εt
t 1, 2,,T (9.1.1)
其中：yt是 k 维内生变量列向量，xt 是d 维外生变量列向量，p
是滞后阶数，T是样本个数。kk 维矩阵1，…， p和kd维 矩阵H是待估计的系数矩阵。t 是 k 维扰动列向量，它们相互
第九章 向量自回归和误差修正模型
传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变 量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间 的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出 现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断 变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构 性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的 向量自回归模型(vector autoregression，VAR)和向量误差 修正模型(vector error correction model，VEC)就是非结 构化的多方程模型。
4
例如：作为VAR的一个例子，假设工业产量（IP）和货币供 应量（M1）联合地由一个双变量的VAR模型决定。内生变量 滞后二阶的VAR(2)模型是：
IPt c1 a11IPt1 a12M1t1 b11IPt2 b12M1t2 1,t M1t c2 a2,1IPt1 a22M1t1 b21IPt2 b22M1t2 2,t
1
§9.1 向量自回归理论
向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型， VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内 生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回 归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回 归模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与 预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多 元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型，因此近年来 VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。
ln( m1)t
rrt
c2 ck
1
ln( m1) rrt 1
A(L) A0 A1L A2L2
A0 Ik
7
对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如
对 矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得 矩阵的
估计量为
其中：
Σˆ 1
T
εˆt εˆt
(9.1.7)
εˆt yt Φˆ1 yt1 Φˆ 2 yt2 Φˆ p yt p
10
利用VAR(p)模型对 ln(gdp) ， ln(m1) 和 rr，3个变量 之间的关系进行实证研究，其中实际GDP和实际M1以对数差 分的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数。
ln( gdp)t c1 ln( gdp) t1
ln( gdp) tp 1t
Φ1
y2 t1
yk t1
Φ
p
y2 t p
ykt p
H
x2t
xdt
2t
kt
(9.1.2)
t 1, 2,,T
即含有k个时间序列变量的VAR(p)模型由 k 个方程组 成。
方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等 价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的 yt 的滞后而被消除，所以扰动项序列不相关的假设并不 要求非常严格。
9
例9.1 我国货币政策效应实证分析的VAR模型 为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长 期影响和短期影响及其贡献度，根据我国1995年1季度～ 2007年4季度的季度数据，设居民消费价格指数为CPI_90 (1990年1季度=1)、居民消费价格指数增长率为CPI 、实 际GDP的对数ln(GDP/CPI_90) 为ln(gdp) 、实际M1的对 数ln(M1/CPI_90) 为ln(m1) 和实际利率rr (一年期存款利 率R-CPI ）。
1,t 2,t
5
一般称式(9.1.1)为非限制性向量自回归模型(unrestricted
VAR)。冲击向量 t 是白噪声向量，因为 t 没有结构性的含
义，被称为简化形式的冲击向量。
为了叙述方便，下面考虑的VAR模型都是不含常数项的 非限制向量自回归模型，用下式表示
当VAR的参数估计出来之后，由于 (L)A(L)=Ik，所 以也可以得到相应的VMA(∞)模型的参数估计。
8
由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边， 所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS) 能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰
动向量 t 有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的
yt Φ1 yt1 Φp yt p εt
或
Φ(L) yt εt
(9.1.5)
6
如果行列式det[(L)]的根都在单位圆外，则式(9.1.5)
满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均 (VMA(∞))形式
yt A(L)εt
其中
(9.1.6)
A(L) Φ(L)1
之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边
的变量相关，假设 是t 的协方差矩阵，是一个(kk)的正定矩
阵。式(9.1.1)可以展开表示为
3
y1t
y1 t1
y1t p
x1t 1t
y2t
ykt