理论力学12—动量矩定理

g A sin( t ) l
其中A和 为积分常数，取决于 初始条件。可见单摆的微幅摆 动为简谐运动。摆动的周期为
即
g sin 0 l
T 2
l g
这就是单摆的运动微分方程。 当 很小时摆作微摆动，sin ≈ ，于是上式变为
显然，周期只与 l 有关，而与 初始条件无关。
第12章 动量矩定理
几个有意义的实际问题
谁最先到 达顶点
？
几个有意义的实际问题
直升飞机如果 没有尾翼将发生 什么现象
？
几个有意义的实际问题
跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动
？
几个有意义的实际问题
跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动
？
动物高速奔跑的姿态分析
12 动量矩定理 •
LO的转向沿逆时针方向。
12.2 动量矩定理
12.2.1 质点的动量矩定理 设质点对固定点O的动 量矩为MO(mv)，作用力F对 同一点的矩为MO(F) ，如图 所示。 将动量矩对时间取一 次导数，得 z F MO(mv) mv
MO(F)
O x
Q
r
y
d d M O (mv ) (r mv ) dt dt dr d mv r (mv ) dt dt
• • 质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程
•
•
刚体对轴的转动惯量
质点系相对质心的动量矩定理
•
刚体平面运动微分方程
引言
•
由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一 简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力 系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。 • 由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分 解为随同基点的平动和相对基点的转动。 • 若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质 心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外 力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一 个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系 对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。 它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
由于SMO(F (e))＝0，且系统初始静止，所以LO＝0。
设重物A上升的速度为v，则人的绝对速度va的大小为
u
va u v LO mva r mvr 0 LO m(u v)r mvr 0 u u va v 2 2
v R
应用动量矩定理
mg
M ( e ) WR
JO W dv ( R) WR a R g dt
dLO (e ) M dt
WR 2 W (JO R2 ) g
P
v
W
a b
d c
例12-6 水流通过固定导流叶片进入叶轮， 入口和出口的流速分别为v1和v2，二者 与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角 分别为1和 2，水的体积流量为qV、密 度为 ，水流入口和出口处叶轮的半径 分别为r1和r2 ，叶轮水平放置。求水流 对叶轮的驱动力矩。
由于内力总是成对出现，因此上式右端的底二项
M
i1
n
O
( Fi ) 0
(i)
12.2.2 质点系的动量矩定理
上式左端为
d d n d d t M O (mi vi ) d t M O (mi vi ) d t LO i 1 i 1
于是得
n d (e) LO M O ( Fi ) dt i 1
n
质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于作用 于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。
12.2.2 质点系的动量矩定理
在应用质点系的动量矩定理时，取投影式
d (e) Lx M x ( Fi ) dt d (e) Ly M y ( Fi ) dt d (e) Lz M z ( Fi ) dt
质点对某固定 轴的动量矩对时间的 一阶导数等于质点所 受的力对同一轴的矩。
12.2.1 质点的动量矩定理
例12-2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l， 如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过 O 点的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。 解：以摆锤为研究对象，受力如图， 建立如图坐标。在任一瞬时，摆锤 的速度为v，摆的偏角为 ，则
M z nM z qV (v2 r2 cos 2 v1r1 cos1 )
例12-7 一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为 m 的重物A，另一端有一质量 为m的人以速度u 相对细绳向上爬。若滑轮半径为r，质量不计，并且开始时 FOy 系统静止，求人的速度。 FOx 解：以系统为研究对象，受力如图。 O
MR m2 gR2 sin a J m2 R 2
若M＞m2gR sin ，则 a＞0，小车的加速度沿轨道向上。
必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正 负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全 一致。
例12-4 水平杆AB长2a，可绕铅垂轴 z 转动，其两端各用铰链与长为l的杆AC 及BD相连，杆端各联结质量为m的小球C和D。起初两小球用细线相连，使 杆AC与BD均为铅垂，这系统绕 z 轴的角速度为0。如某时此细线拉断，杆 AC和BD各与铅垂线成 角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度 。
12.2.1 质点的动量矩定理
因为
d r d ( mv ) F , v dt dt
z F MO(m v) MO(F) O x 质点对某定点的动 量矩对时间的一阶导数， 等于作用力对同一点的矩。
Q
所以 d M O (mv ) v mv r F dt 又因为 v mv 0, r F M O ( F ) 所以
质点系对某固 定轴的动量矩对时间 的导数，等于作用于 质点系的外力对于同 一轴的矩的代数和。
12.2.3 动量矩守恒定理
1. 质点动量矩守恒定律 如果作用在质点上的力对某定点(或定轴)之矩恒等 于零，则质点对该点(或该轴)的动量矩保持不变。 2. 质点系动量矩守恒定律 当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于零时，质 点系对于该点(或该轴)的动量矩保持不变。
质点系对于某点的动量矩守恒
例12-3
高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，
绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓 轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为。设绳质量和各处摩擦不计，求小 车的加速度a。 解：以系统为研究对象，受力如图。 以顺时针为正，则
z
4 定轴转动刚体的动量矩

ri Mi
Lz mz (mi vi ) mi vi ri mi ri 2
令 Jz＝Σmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯量, 于 是得
mi vi
Lz J z
即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转 动惯量与转动角速度的乘积。
g 0 l
12.2.2 质点系的动量矩定理
设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e)
和内力Fi 。由质点的动量矩定理有
(ຫໍສະໝຸດ Baidu)
d M O (mi vi ) MO ( Fi (e) ) MO ( Fi (i) ) dt
这样的方程共有n个，相加后得
n n d (e) (i) d t MO (mi vi ) MO (Fi ) MO (Fi ) i 1 i 1 i 1 n
q
O x
r
A
Q
12.1 质点和质点系的动量矩
类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O 的动量矩矢在 z 轴上的投影，等于对 z 的动量矩。
[MO(mv)]z＝Mz(mv)
在国际单位制中，动量矩的单位是 kg· 2/s。 m
12.1 质点和质点系的动量矩
2 质点系的动量矩
质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量 矩的矢量和。
12.1 质点和质点系的动量矩 1 质点的动量矩
质点Q的动量对于点O的矩， 定义为质点对于点O的动量矩， M (mv) O 是矢量。 z
A
mv Mz(mv)

Q
y
M O (mv ) r mv
质点动量 mv 在 oxy 平面内的 投影(mv)xy对于点O的矩，定义 为质点动量对于z轴的矩，简 称对于z轴的动量矩，是代数 量。
质点系的动量矩守恒
当 M O 0 时， LO 常矢量。
(e)
当 M z ( e ) 0 时， Lz 常量。
动量矩守恒吗
思考： 1 坐在转椅上(双脚离地)或摇篮内的小孩,是否可用双手将转 椅转动? 2 花样滑冰的运动员通过手臂的伸长和收拢改变旋转的速 度,说明此道理.
质点系动量矩守恒定理
重力 —— 由于水轮机水平放置，重 力对O轴之矩等于0； 相邻水流的压力 —— 忽略不计； 解：在 d t 时间间隔内，水流 ABCD段的水流运动到abcd时， 所受的力以及他们对O轴之矩： 叶轮的反作用力矩 —— 与水流 对叶轮的驱动力矩大小相等，方向 相反。
dLz Labcd LABCD
a b d c Mz
LCDcd LABab
LCDcd qV dt v2 r2 cos 2 LABab qV dt v1r1 cos 1
应用动量矩定理
dL z ( M z e) dt
M z qV (v2 r2 cos 2 v1r1 cos 1 )
12.1 质点和质点系的动量矩
例12-1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一 绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转 动惯量为J，半径为r，角速度为 ，重物A的 质量为m，并设绳与圆盘间无相对滑动，求系 统对轴O的动量矩。

O
r
A
mv
解：
LO L块 L盘 mvr J mr 2 J (mr 2 J )
d M O (mv ) M O ( F ) dt
m v
r y
12.2.1 质点的动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴 的动量矩的关系代入，得
d M x (mv ) M x ( F ) dt d M y (mv ) M y ( F ) dt d M z (mv ) M z ( F ) dt

N
FOy
LO J m2vR
M O ( F (e) ) M m2 g sin R
v
M
O
FOx m1g
d 由 LO mO ( Fi (e) ) ，有 dt

m2 g
d ( J m2vR) M m2 g sin R dt
v dv 因 , a ,于是解得 R dt
显然，此时的角速度＜ 0。
a


a
B
l
D
例12-5 均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴 的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转 动，已知重物重量为W。求重物下落的加速度。 解：取系统为研究对象
FOy

O FOx
W LO J O vR g JO W LO ( R )v R g
O
M z (mv ) mvl ml 2
l
N
y
M z ( F ) mgl sin
式中负号表示力矩的正负号恒与角坐标 的正负号相反。它表明力矩总是有使 摆锤回到平衡位置的趋势。
M
v
x
mg
由
此微分方程的解为
得
d M z (mv ) M z ( F ) dt d (ml 2 ) mgl sin dt
z
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的 重力和轴承处的反力，这些力对转轴之矩都等于零。 A 所以系统对转轴的动量矩守恒，即
a
Lz1 Lz 2 Lz1 2(ma0 )a 2ma 20
Lz 2 2m(a l sin )
2
l
C
0
a
B
l
D
z
A
l
C
2ma 20 2m(a l sin )2 a2 0 2 (a l sin )
LO=ΣMO(mv)
质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的动量 矩的代数和。
LO=ΣMz(mv)
质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的投影， 等于质点系对 该轴的动量矩。
[LO]z= Lz
12.1 质点和质点系的动量矩
3 平动刚体的动量矩 刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算 其动量矩。