2019全国中考试题分类汇编 相似

2019全国中考试题分类汇编 相似一．选择题（共43小题）1．（2019•鞍山）如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点C ，D ，E 在同一条直线上，顶点B ，C ，G在同一条直线上．O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH ．以下四个结论：①GH ⊥BE ；②△EHM ∽△FHG ；③BC CG =√2−1；④S △HOM S △HOG =2−√2，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 2．（2019•营口）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB =23，则S △ADES 四边形DBCE 的值是（ ） A ．45 B ．1 C ．23 D ．493．（2019•盘锦）如图，点P （8，6）在△ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的12，得到△A ′B ′C ′，点P 在A ′C ′上的对应点P ′的坐标为（ ） A ．（4，3） B ．（3，4） C ．（5，3） D ．（4，4）4．（2019•青海）如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1、l 2与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则DF 的长为（ ）A ．3.6 B ．4.8 C ．5 D ．5.25．（2019•西藏）如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB 、AC 边上的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比是（ ）A ．1：4B ．1：3C ．1：2D ．2：16．（2019•雅安）若a ：b ＝3：4，且a +b ＝14，则2a ﹣b 的值是（ ）A ．4 B ．2C ．20D ．14 7．（2019•沈阳）已知△ABC ∽△A 'B 'C '，AD 和A 'D '是它们的对应中线，若AD ＝10，A 'D '＝6，则△ABC 与△A 'B 'C '的周长比是（ ）A ．3：5 B ．9：25C ．5：3D ．25：98．（2019•雅安）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（）A．B．C．D．9．（2019•新疆）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则以下结论中：①S△ABM＝4S△FDM；②PN=2√6515；③tan∠EAF=34；④△PMN∽△DPE，正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④10．（2019•内江）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．911．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE=13CD，CF=13CB，则S△CEF＝（）A．√32B．√33C．√34D．√3912．（2019•铜仁市）如图，正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，延长EF交BC于G，FH⊥BC，垂足为H，连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB=43；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．513．（2019•赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（）A．1B．2C．3D．414．（2019•海南）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4．点P 是边AC 上一动点，过点P作PQ ∥AB 交BC 于点Q ，D 为线段PQ 的中点，当BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为（ ）A ．813B ．1513C ．2513D ．321315．（2019•东营）如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，过点O 作射线OM 、ON 分别交BC 、CD 于点E 、F ，且∠EOF ＝90°，OC 、EF 交于点G ．给出下列结论：①△COE ≌△DOF ；②△OGE ∽△FGC ；③四边形CEOF 的面积为正方形ABCD 面积的14；④DF 2+BE 2＝OG •OC ．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．③④16．（2019•鸡西）如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，过点A 作边BC 的垂线AF 交DC 的延长线于点E ，点F 是垂足，连接BE 、DF ，DF 交AC 于点O ．则下列结论：①四边形ABEC 是正方形；②CO ：BE ＝1：3；③DE =√2BC ；④S 四边形OCEF ＝S △AOD ，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．（2019•广西）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为点B 、D ，点E 为线段OB 上的一个动点，连接OD ，CE ，DE ，已知AB ＝2√5，BC ＝2，当CE +DE 的值最小时，则CE DE 的值为（ ）A ．910 B ．23 C ．√53 D ．2√5518．（2019•常德）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ）A ．20 B ．22 C ．24 D ．2619．（2019•贵港）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，∠ACD ＝∠B ，若AD ＝2BD ，BC ＝6，则线段CD 的长为（ ）A ．2√3B ．3√2C ．2√6D ．520．（2019•玉林）如图，AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有（ ）A ．3对B ．5对C ．6对D ．8对21．（2019•哈尔滨）如图，在▱ABCD 中，点E 在对角线BD 上，EM ∥AD ，交AB 于点M ，EN ∥AB ，交AD 于点N ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．AM BM =NE DE B ．AM AB =AN AD C ．BC ME =BE BD D ．BD BE =BC EM22．（2019•邵阳）如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是（ ）A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′ B ．点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上C ．AO ：AA ′＝1：2D ．AB ∥A ′B ′ 23．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm 的直角三角形木板（Rt △ACB ）上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC ＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（ ）A ．100cm 2B ．150cm 2C ．170cm 2D ．200cm 224．（2019•贺州）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，若AD ＝2，AB ＝3，DE＝4，则BC 等于（ ）A ．5 B ．6 C ．7 D ．825．（2019•眉山）如图，在菱形ABCD 中，已知AB ＝4，∠ABC ＝60°，∠EAF ＝60°，点E 在CB 的延长线上，点F 在DC 的延长线上，有下列结论：①BE ＝CF ；②∠EAB ＝∠CEF ；③△ABE ∽△EFC ；④若∠BAE ＝15°，则点F 到BC 的距离为2√3−2． 则其中正确结论的个数是（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个26．（2019•天门）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交BA 的延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是⊙O 的切线；②CO ⊥DB ；③△EDA ∽△EBD ；④ED •BC ＝BO •BE ．其中正确结论的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个27．（2019•广东）如图，正方形ABCD 的边长为4，延长CB 至E 使EB ＝2，以EB 为边在上方作正方形EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连接AM ，AF ，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB ，AM 交于点N 、K ：则下列结论：①△ANH ≌△GNF ；②∠AFN ＝∠HFG ；③FN ＝2NK ；④S △AFN ：S △ADM ＝1：4．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28．（2019•常州）若△ABC ～△A ′B 'C ′，相似比为1：2，则△ABC 与△A 'B ′C '的周长的比为（ ）A ．2：1B ．1：2C ．4：1D ．1：429．（2019•黔东南州）如图，在一斜边长30cm 的直角三角形木板（即Rt △ACB ）中截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC ＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（ ）A ．200cm 2 B ．170cm 2 C ．150cm 2D ．100cm 2 30．（2019•兰州）已知△ABC ∽△A 'B 'C '，AB ＝8，A 'B '＝6，则BC B′C′=A ．2 B ．43 C ．3 D ．16931．（2019•淄博）如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B ．若△ADC的面积为a ，则△ABD 的面积为（ ）A ．2a B ．52a C ．3a D ．72a 32．（2019•遂宁）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，连接DP 并延长交CB 的延长线于点H ，连接BD 交PC 于点Q ，下列结论：①∠BPD ＝135°；②△BDP ∽△HDB ；③DQ ：BQ ＝1：2；④S △BDP =√3−14．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④33．（2019•苏州）如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上的一点，且AD ＝AB ＝2，AD ⊥AB ．过点D 作DE⊥AD ，DE 交AC 于点E ．若DE ＝1，则△ABC 的面积为（ ）A ．4√2 B ．4 C ．2√5 D ．834．（2019•巴中）如图▱ABCD ，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使DE ：AD ＝1：3，连结EF 交DC 于点G ，则S △DEG ：S △CFG ＝（ ）A ．2：3B ．3：2C ．9：4D ．4：935．（2019•温州）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以BE 为边作正方形BEFG ，边EF 交CD 于点H ，在边BE 上取点M 使BM ＝BC ，作MN ∥BG 交CD 于点L ，交FG 于点N ，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2，现以点F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线段DH 于点P ，连结EP ，记△EPH 的面积为S 1，图中阴影部分的面积为S 2．若点A ，L ，G 在同一直线上，则S 1S 2的值为（ ）A ．√22 B ．√23 C ．√24 D ．√26 36．（2019•安徽）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝12，点D 在边BC 上，点E 在线段AD 上，EF ⊥AC 于点F ，EG ⊥EF 交AB 于点G ．若EF ＝EG ，则CD 的长为（ ）A ．3.6B ．4C ．4.8D ．537．（2019•凉山州）如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ：DC ＝1：2，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE ：EC ＝（ ）A ．1：2 B ．1：3 C ．1：4 D ．2：338．（2019•杭州）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB 和AC 上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），连接AM 交DE 于点N ，则（ ）A ．AD AN =AN AEB ．BD MN =MN CEC ．DN BM =NE MCD ．DN MC =NE BM39．（2019•连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ）A ．①处 B ．②处 C ．③处 D ．④处40．（2019•南充）如图，正方形MNCB 在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB 得到折痕AE ，再翻折纸片，使AB 与AD 重合，以下结论错误的是（ ）A ．AH 2＝10+2√5B ．CD BC =√5−12C ．BC 2＝CD •EH D ．sin ∠AHD =√5+15 41．（2019•重庆）如图，△ABO ∽△CDO ，若BO ＝6，DO ＝3，CD ＝2，则AB 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．542．（2019•德州）如图，正方形ABCD ，点F 在边AB 上，且AF ：FB ＝1：2，CE ⊥DF ，垂足为M ，且交AD 于点E ，AC 与DF 交于点N ，延长CB 至G ，使BG =12BC ，连接GM ．有如下结论：①DE ＝AF ；②AN =√24AB ；③∠ADF ＝∠GMF ；④S △ANF ：S四边形CNFB ＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③④43．（2019•红塔区三模）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC ＝3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）A ．3：4 B ．9：16C ．9：1D ．3：1二．填空题（共7小题）44．（2019•阜新）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AC 边上的一点，DE 垂直平分AB ，垂足为点E ．若AC ＝8，BC ＝6，则线段DE 的长度为 ．45．（2019•铁岭）如图，在△A 1C 1O 中，A 1C 1＝A 1O ＝2，∠A 1OC 1＝30°，过点A 1作A 1C 2⊥OC 1，垂足为点C 2，过点C 2作C 2A 2∥C 1A 1交OA 1于点A 2，得到△A 2C 2C 1；过点A 2作A 2C 3⊥OC 1，垂足为点C 3，过点C 3作C 3A 3∥C 1A 1交OA 1于点A 3，得到△A 3C 3C 2；过点A 3作A 3C 4⊥OC 1，垂足为点C 4，过点C 4作C 4A 4∥C 1A 1交OA 1于点A 4，得到△A 4C 4C 3；……按照上面的作法进行下去，则△A n +1C n +1∁n 的面积为 ．（用含正整数n 的代数式表示）46．（2019•抚顺）如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比35进行缩小，得到的直角三角形的面积是 ．47．（2019•青海）如图是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10cm ，已知AC 与BC 之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端向下压 cm ．48．（2019•西藏）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是边AB 上的一点，CD ⊥AB 于D ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为 ．49．（2019•遵义）如图，已知⊙O 的半径为1，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，延长BO 交AC 于点D ，连接OA ，OC ，若AD 2＝AB •DC ，则OD ＝ ．50．（2019•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，△ABC ，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3…△A n B n ∁n 都是等腰直角三角形，点B ，B 1，B 2，B 3…B n 都在x 轴上，点B 1与原点重合，点A ，C 1，C 2，C 3…∁n 都在直线l ：y =13x +43上，点C 在y 轴上，AB ∥A 1B 1∥A 2B 2∥…∥A n B n ∥y 轴，AC ∥A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n ∁n ∥x 轴，若点A 的横坐标为﹣1，则点∁n 的纵坐标是 ．一．填空题（共26小题）1．（2019•沈阳）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB ＝5，CF＝2，则线段EP的长是．2．（2019•辽阳）如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为（﹣8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为．3．（2019•百色）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为．4．（2019•泸州）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为．5．（2019•通辽）已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为．6．（2019•呼和浩特）已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE=√2，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为．7．（2019•本溪）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，得到△A 1B 1O ，则点A 的对应点A 1的坐标为 ． 8．（2019•包头）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝3，D 为斜边AC 的中点，连接BD ，点F 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BE ⊥BD 交DF 延长线交于点E ，连接CE ，下列结论： ①若BF ＝CF ，则CE 2+AD 2＝DE 2；②若∠BDE ＝∠BAC ，AB ＝4，则CE =158；③△ABD 和△CBE 一定相似；④若∠A ＝30°，∠BCE ＝90°，则DE =√21．其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）9．（2019•随州）如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，E 为CD 边上一点（不与端点重合），将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF ．给出下列判断：①∠EAG ＝45°；②若DE =13a ，则AG ∥CF ；③若E 为CD 的中点，则△GFC 的面积为110a 2； ④若CF ＝FG ，则DE ＝（√2−1）a ；⑤BG •DE +AF •GE ＝a 2．其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）10．（2019•吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为 m ．11．（2019•烟台）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO 的顶点坐标分别为A （﹣2，﹣1），B （﹣2，﹣3），O （0，0），△A 1B 1O 1的顶点坐标分别为A 1（1，﹣1），B 1（1，﹣5），O 1（5，1），△ABO 与△A 1B 1O 1是以点P 为位似中心的位似图形，则P 点的坐标为 ．12．如图，以点O 为位似中心，将△OAB 放大后得到△OCD ，OA ＝2，AC ＝3，则AB CD = ．13．（2019•襄阳）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C ，点D 在AB 上，∠BAC ＝∠DEC ＝30°，AC 与DE 交于点F ，连接AE ，若BD ＝1，AD ＝5，则CF EF = ．14．（2019•淮安）如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB＝3，DE ＝2，BC ＝6，则EF ＝ ．15．（2019•郴州）若x+y x =32，则y x = ． 16．（2019•宜宾）如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点A 、C 、E 在同一直线上，AD 与BE 、BC分别交于点F 、M ，BE 与CD 交于点N ．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）． ①AM ＝BN ；②△ABF ≌△DNF ；③∠FMC +∠FNC ＝180°；④1MN =1AC +1CE17．（2019•苏州）如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm ，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为√2cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2（结果保留根号）．18．（2019•凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB ＝12，AE =14AB ，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 ．19．（2019•宜宾）如图，已知直角△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AC ＝4，BC ＝3，则AD ＝ ．20．（2019•岳阳）如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）①AM 平分∠CAB ；②AM 2＝AC •AB ；③若AB ＝4，∠APE ＝30°，则BM ̂的长为π3； ④若AC ＝3，BD ＝1，则有CM ＝DM =√3．21．（2019•南京）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，CD 平分∠ACB ．若AD ＝2，BD ＝3，则AC 的长 ．22．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以点C 为圆心作⊙C 与直线BD 相切，点P是⊙C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则AP AT 的最大值是 ．23．（2019•凉山州）在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，且点E 将AD 分为2：3的两部分，连接BE 、AC 相交于F ，则S △AEF ：S △CBF 是 ．24．（2019•滨州）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论：①EO ⊥AC ；②S △AOD ＝4S △OCF ；③AC ：BD =√21：7；④FB 2＝OF •DF ．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）25．（2019•自贡）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD交AC 于点E ，DE ＝ ．26．（2019•滨州）在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为A （﹣2，4），B （﹣4，0），O （0，0）．以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到△CDO ，则点A 的对应点C 的坐标是 ．二．解答题（共24小题）27．（2019•恩施州）如图，在⊙O 中，AB 是直径，BC 是弦，BC ＝BD ，连接CD 交⊙O 于点E ，∠BCD＝∠DBE ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线．（2）过点E 作EF ⊥AB 于F ，交BC 于G ，已知DE ＝2√10，EG ＝3，求BG 的长．28．如图，在▱ABCD 中，AD ＝2AB ，以点A 为圆心、AB 的长为半径的⊙A 恰好经过BC 的中点E ，连接DE ，AE ，BD ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：DE 与⊙A 相切．（2）若AB ＝6，求BF 的长．29．（2019•鞍山）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是△ABC 内一点，连接AD ，BD ．在BD 左侧作Rt△BDE ，使∠BDE ＝90°，以AD 和DE 为邻边作▱ADEF ，连接CD ，DF ．（1）若AC ＝BC ，BD ＝DE ．①如图1，当B ，D ，F 三点共线时，CD 与DF 之间的数量关系为 ．②如图2，当B ，D ，F 三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．（2）若BC ＝2AC ，BD ＝2DE ，CD AC =45，且E ，C ，F 三点共线，求AF CE 的值．30．（2019•丹东）已知：在△ABC 外分别以AB ，AC 为边作△AEB 与△AFC ．（1）如图1，△AEB 与△AFC 分别是以AB ，AC 为斜边的等腰直角三角形，连接EF ．以EF 为直角边构造Rt △EFG ，且EF ＝FG ，连接BG ，CG ，EC ．求证：①△AEF ≌△CGF ．②四边形BGCE 是平行四边形．（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：如图2，在△ABC 外分别以AB ，AC 为斜边作Rt △AEB 与Rt △AFC ，并使∠F AC ＝∠EAB ＝30°，取BC 的中点D ，连接DE ，EF 后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出ED EF 的值及∠DEF 的度数．（3）小颖受到启发也做了探究：如图3，在△ABC 外分别以AB ，AC 为底边作等腰三角形AEB 和等腰三角形AFC ，并使∠CAF +∠EAB ＝90°，取BC 的中点D ，连接DE ，EF 后发现，当给定∠EAB ＝α时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AE ＝m ，AB ＝n ，请你帮助小颖用含m ，n 的代数式直接写出ED EF 的值，并用含α的代数式直接表示∠DEF 的度数．31．（2019•南通）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4．E ，F 分别在AD ，BC 上，点A 与点C 关于EF所在的直线对称，P 是边DC 上的一动点．（1）连接AF ，CE ，求证四边形AFCE 是菱形；（2）当△PEF 的周长最小时，求DP CP 的值；（3）连接BP 交EF 于点M ，当∠EMP ＝45°时，求CP 的长．32．（2019•莱芜区）如图，已知AB 是⊙O 的直径，CB ⊥AB ，D 为圆上一点，且AD ∥OC ，连接CD ，AC ，BD ，AC 与BD 交于点M ．（1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）若CD =√2AD ，求CM MA 的值．33．（2019•上海）已知：如图，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，D 是AO 延长线上一点，联结BD并延长交⊙O 于点E ，联结CD 并延长交⊙O 于点F ．（1）求证：BD ＝CD ；（2）如果AB 2＝AO •AD ，求证：四边形ABDC 是菱形．34．（2019•上海）如图1，AD 、BD 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 的平分线，过点A 作AE ⊥AD ，交BD 的延长线于点E ．（1）求证：∠E ═12∠C ；（2）如图2，如果AE ＝AB ，且BD ：DE ＝2：3，求cos ∠ABC 的值； （3）如果∠ABC 是锐角，且△ABC 与△ADE 相似，求∠ABC 的度数，并直接写出S △ADES △ABC 的值．35．（2019•雅安）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 经过O ，分别交AB 、CD 于点E 、F ，EF 的延长线交CB 的延长线于M ．（1）求证：OE ＝OF ；（2）若AD ＝4，AB ＝6，BM ＝1，求BE 的长．36．（2019•娄底）如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，过点B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ．（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线．（2）求证：CD •BE ＝AD •DE ．37．（2019•大连）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 、E 在BC 上，AD ＝AB ，AB ＝kBD （其中√22＜k ＜1）∠ABC ＝∠ACB +∠BAE ，∠EAC 的平分线与BC 相交于点F ，BG ⊥AF ，垂足为G ，探究线段BG 与AC 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAE 与∠DAC 相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG 与AC 的数量关系．”……老师：“保留原题条件，延长图1中的BG ，与AC 相交于点H （如图2），可以求出AH HC 的值．”（1）求证：∠BAE ＝∠DAC ；（2）探究线段BG 与AC 的数量关系（用含k 的代数式表示），并证明；（3）直接写出AH HC 的值（用含k 的代数式表示）．38．（2019•宁夏）如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点M ，Q 分别是边AB ，BC 上的动点（点M 不与A ，B 重合），且MQ ⊥BC ，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ ，设BQ 为x ．（1）试说明不论x 为何值时，总有△QBM ∽△ABC ；（2）是否存在一点Q ，使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由；（3）当x 为何值时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值．39．（2019•宁夏）如图在△ABC 中，AB ＝BC ，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，连接OD ．（1）求证：OD ∥BC ；（2）过点D 作⊙O 的切线，交BC 于点E ，若∠A ＝30°，求CD BE 的值．40．（2019•百色）如图，已知AC 、AD 是⊙O 的两条割线，AC 与⊙O 交于B 、C 两点，AD 过圆心O 且与⊙O 交于E 、D 两点，OB 平分∠AOC ．（1）求证：△ACD ∽△ABO ；（2）过点E 的切线交AC 于F ，若EF ∥OC ，OC ＝3，求EF 的值．[提示：（√2+1）（√2−1）＝1]41．（2019•梧州）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，AF 平分∠DAC ，分别交DC ，BC 的延长线于点E ，F ；连接DF ，过点A 作AH ∥DF ，分别交BD ，BF 于点G ，H ．（1）求DE 的长；（2）求证：∠1＝∠DFC ．42．（2019•包头）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ，∠BAD ＝90°，AC 交BD 于点E ，∠ABD ＝30°，AD =√3，求线段AC 和BE 的长．（注：√a+√b =√a−√b (√a+√b)(√a−√b)=√a−√b a−b） 43．（2019•张家界）如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点E ，使BE ＝AB ，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点F ，G ．（1）求证：BF ＝CF ；（2）若BC ＝6，DG ＝4，求FG 的长．44．（2019•烟台）如图，在矩形ABCD 中，CD ＝2，AD ＝4，点P 在BC 上，将△ABP 沿AP 折叠，点B恰好落在对角线AC 上的E 点，O 为AC 上一点，⊙O 经过点A ，P（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）在边CB 上截取CF ＝CE ，点F 是线段BC 的黄金分割点吗？请说明理由．45．（2019•包头）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝6，M 是对角线BD 上的一个动点（0＜DM ＜12BD ），连接AM ，过点M 作MN ⊥AM 交BC 于点N ．（1）如图①，求证：MA ＝MN ；（2）如图②，连接AN ，O 为AN 的中点，MO 的延长线交边AB 于点P ，当S △AMN S △BCD =1318时，求AN 和PM 的长；（3）如图③，过点N 作NH ⊥BD 于H ，当AM ＝2√5时，求△HMN 的面积．46．（2019•齐齐哈尔）综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD 对折，使边AB 与CD 重合，展开后得到折痕EF ．如图①：点M 为CF 上一点，将正方形纸片ABCD 沿直线DM 折叠，使点C 落在EF 上的点N 处，展开后连接DN ，MN ，AN ，如图②（一）填一填，做一做：（1）图②中，∠CMD ＝ ．线段NF ＝ （2）图②中，试判断△AND 的形状，并给出证明． 剪一剪、折一折：将图②中的△AND 剪下来，将其沿直线GH 折叠，使点A 落在点A ′处，分别得到图③、图④．（二）填一填（3）图③中阴影部分的周长为 ．（4）图③中，若∠A ′GN ＝80°，则∠A ′HD ＝ °．（5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有 对；（6）如图④点A ′落在边ND 上，若A′N A′D =m n ，则AG AH = （用含m ，n 的代数式表示）．47．（2019•河南）在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝α．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，BD CP 的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ． （2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出BD CP 的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时AD CP 的值．48．（2019•绥化）如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N（1）求证：MN＝MC；（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．49．（2019•湘西州）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点G，过点D 作EF∥AB，分别交CA、CB的延长线于点E、F，连接BD．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：BD2＝AC•BF．50．（2019•郴州）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF 上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．一．解答题（共26小题）1．（2019•广西）如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C 作CM ⊥DG 于点H ，分别交AD ，BF 于点M ，N ，求MN NH 的值．2．（2019•襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ ⊥AE于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF ⊥AE ．①求证：DQ ＝AE ；②推断：GF AE 的值为 ；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，BC AB =k （k 为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当k =23时，若tan ∠CGP =34，GF ＝2√10，求CP 的长．3．（2019•泸州）如图，AB 为⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，且PC 2＝PB •P A ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）已知PC ＝20，PB ＝10，点D 是AB̂的中点，DE ⊥AC ，垂足为E ，DE 交AB 于点F ，求EF 的长． 4．（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得AC ＝2m ，BD ＝2.1m ，如果小明眼睛距地面髙度BF ，DG 为1.6m ，试确定楼的高度OE ．5．（2019•眉山）如图1，在正方形ABCD 中，AE 平分∠CAB ，交BC 于点E ，过点C 作CF ⊥AE ，交AE的延长线于点G ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：BE ＝BF ；（2）如图2，连接BG 、BD ，求证：BG 平分∠DBF ； （3）如图3，连接DG 交AC 于点M ，求AE DM的值．6．（2019•福建）已知△ABC 和点A '，如图．（1）以点A '为一个顶点作△A 'B 'C '，使△A 'B 'C '∽△ABC ，且△A 'B 'C '的面积等于△ABC 面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D '、E '、F '分别是你所作的△A 'B 'C '三边A 'B '、B 'C '、C 'A '的中点，求证：△DEF ∽△D 'E 'F '． 7．（2019•山西）综合与实践 动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD 沿对角线AC 所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C 的直线折叠，使点B ，点D 都落在对角线AC 上．此时，点B 与点D 重合，记为点N ，且点E ，点N ，点F 三点在同一条直线上，折痕分别为CE ，CF ．如图2．第二步：再沿AC 所在的直线折叠，△ACE 与△ACF 重合，得到图3．第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C 与点F 重合，如图4，展开铺平，连接EF ，FG ，GM ，ME ．如图5，图中的虚线为折痕． 问题解决：（1）在图5中，∠BEC 的度数是 ，AE BE的值是 ．（2）在图5中，请判断四边形EMGF 的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形： ．8．（2019•常德）在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，作CM ⊥AB 交AB 于点M ，BN ⊥AC 交AC 于点N ． （1）在图1中，求证：△BMC ≌△CNB ；（2）在图2中的线段CB 上取一动点P ，过P 作PE ∥AB 交CM 于点E ，作PF ∥AC 交BN 于点F ，求证：PE +PF ＝BM ；（3）在图3中动点P 在线段CB 的延长线上，类似（2）过P 作PE ∥AB 交CM 的延长线于点E ，作PF ∥AC 交NB 的延长线于点F ，求证：AM •PF +OM •BN ＝AM •PE ．9．（2019•黄冈）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ，连接OE ．（1）求证：△DBE 是等腰三角形；（2）求证：△COE ∽△CAB ．10．（2019•淄博）如图1，正方形ABDE 和BCFG 的边AB ，BC 在同一条直线上，且AB ＝2BC ，取EF 的中点M ，连接MD ，MG ，MB ． （1）试证明DM ⊥MG ，并求MB MG的值．（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB ＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中MB MG的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．11．（2019•武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN 于D 、C 两点．（1）如图1，求证：AB 2＝4AD •BC ；（2）如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积．12．（2019•宿迁）如图①，在钝角△ABC 中，∠ABC ＝30°，AC ＝4，点D 为边AB 中点，点E 为边BC 中点，将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD 、CE ．求证：△BDA ∽△BEC ；（2）如图③，直线CE 、AD 交于点G ．在旋转过程中，∠AGC 的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将△BDE 从图①位置绕点B 逆时针方向旋转180°，求点G 的运动路程．13．（2019•武汉）在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC=n ，M 是BC 上一点，连接AM ．（1）如图1，若n ＝1，N 是AB 延长线上一点，CN 与AM 垂直，求证：BM ＝BN ． （2）过点B 作BP ⊥AM ，P 为垂足，连接CP 并延长交AB 于点Q ． ①如图2，若n ＝1，求证：CP PQ=BM BQ．②如图3，若M 是BC 的中点，直接写出tan ∠BPQ 的值．（用含n 的式子表示）14．（2019•南京）如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4．求作菱形DEFG ，使点D 在边AC 上，点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上． 小明的作法1．如图②，在边AC 上取一点D ，过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ． 2．以点D 为圆心，DG 长为半径画弧，交AB 于点E ．3．在EB 上截取EF ＝ED ，连接FG ，则四边形DEFG 为所求作的菱形． （1）证明小明所作的四边形DEFG 是菱形．（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D 的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD 的长的取值范围．15．（2019•乐山）在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过G 点的直线分别交AB 、AC 于点E 、F ．（1）如图1，当EF ∥BC 时，求证：BE AE+CF AF=1；（2）如图2，当EF 和BC 不平行，且点E 、F 分别在线段AB 、AC 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．16．（2019•泰安）在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，点P 是边AD 上一点．（1）若BP 平分∠ABD ，交AE 于点G ，PF ⊥BD 于点F ，如图①，证明四边形AGFP 是菱形； （2）若PE ⊥EC ，如图②，求证：AE •AB ＝DE •AP ； （3）在（2）的条件下，若AB ＝1，BC ＝2，求AP 的长．17．（2019•绍兴）如图，矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，MN ，EF 交于点P ，记k ＝MN ：EF ． （1）若a ：b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值． （2）若a ：b 的值为12，求k 的最大值和最小值．（3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE ＝60°，MP ＝EF ＝3PE 时，求a ：b 的值． 18．（2019•凉山州）如图，∠ABD ＝∠BCD ＝90°，DB 平分∠ADC ，过点B 作BM ∥CD 交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ． （1）求证：BD 2＝AD •CD ；（2）若CD ＝6，AD ＝8，求MN 的长．19．（2019•安徽）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 为△ABC 内部一点，且∠APB ＝∠BPC ＝135°．（1）求证：△P AB ∽△PBC ；（2）求证：P A ＝2PC ；（3）若点P 到三角形的边AB ，BC ，CA 的距离分别为h 1，h 2，h 3，求证h 12＝h 2•h 3．20．（2019•台州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是BA 延长线上的一点，连接PC 交AD 于点F ，AP ＝FD ． （1）求AF AP的值；（2）如图1，连接EC ，在线段EC 上取一点M ，使EM ＝EB ，连接MF ，求证：MF ＝PF ；（3）如图2，过点E 作EN ⊥CD 于点N ，在线段EN 上取一点Q ，使AQ ＝AP ，连接BQ ，BN ．将△AQB 绕点A 旋转，使点Q 旋转后的对应点Q '落在边AD 上．请判断点B 旋转后的对应点B '是否落在线段BN 上，并说明理由．21．（2019•巴中）△ABC 在边长为1的正方形网格中如图所示．①以点C 为位似中心，作出△ABC 的位似图形△A 1B 1C ，使其位似比为1：2．且△A 1B 1C 位于点C 的异侧，并表示出A 1的坐标．②作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后的图形△A 2B 2C ． ③在②的条件下求出点B 经过的路径长．22．（2019•成都）如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20，tan B =34，点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B ，C 重合）．以D 为顶点作∠ADE ＝∠B ，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF ⊥AD 交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）当DE ∥AB 时（如图2），求AE 的长；。