课时跟踪检测(四十七) 圆的方程

课时跟踪检测(四十七) 圆的方程

一、选择题

1．(2015·北京西城期末)若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( )

A ．(－1,1)

B ．(－3，3)

C ．(－2，2)

D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22

，22

2．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的和是( )

A ．30

B ．18

C ．10 2

D ．52

3．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0

A ．原点在圆上

B ．原点在圆外

C ．原点在圆内

D ．不确定

4．已知圆C 1：(x －2)2

＋(y －3)2

＝1，圆C 2：(x －3)2

＋(y －4)2

＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )

A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2

D.17

5．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

6．(2014·北京高考)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )

A．7 B．6

C．5 D．4

二、填空题

7．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为____________________________________________________________________ __.

8．(2015·绍兴模拟)点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋2kx＋2y＋k2＝0上的点的距离的最小值是________．

9．若圆C：x2－2mx＋y2－2my＋2＝0与x轴有公共点，则m的取值范围是________．

10．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．

三、解答题

11．已知圆的方程是x 2

＋y 2

－2ax ＋2(a －2)y ＋2＝0，其中a ≠1，且a ∈R . (1)求证：a 取不为1的实数时，上述圆过定点； (2)求圆心的轨迹方程．

12. 已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.

(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．

答 案

1．选C ∵(0,0)在(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则有(0－m )2＋(0＋m )2<4， 解得－2

2．选C 由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为32，则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为|2＋2－14|2＋32＝82，最小距

离为|2＋2－14|2

－32＝22，故最大距离与最小距离的和为10 2.

3．选 B 将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为00，即0＋a

2

＋0＋1

2

>2a ，

所以原点在圆外．

4．选A 圆C 1，C 2的图象如图所示． 设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，连接

C 1′C 2，与x 轴交于点P ，连接PC 1，可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C 1′C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为52－4，故选A.

5．选A 设M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝4上任一点，PM 中点为Q (x ，y )，

则⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝x 0＋42，y ＝y 0

－22，∴⎩⎨

⎧

x 0＝2x －4，

y 0＝2y ＋2.

代入圆的方程得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.

6．选B 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝1

2

|AB |＝m .要求

m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.

7．解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为

2π

3

，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23

，即r 2＝4

3，

|a |＝

33，即a ＝±3

3

， 故圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.

答案：x 2＋⎝

⎛⎭⎪⎫y ±332＝4

3

8．解析：圆的方程化为标准式为 (x ＋k )2＋(y ＋1)2＝1.

∴圆心C (－k ，－1)，半径r ＝1. 易知点P (1,2)在圆外． ∴点P 到圆心C 的距离为： |PC |＝

k ＋1

2

＋32＝k ＋1

2

＋9≥3.

∴|PC |min ＝3.

∴点P 和圆C 上点的最小距离

d min ＝|PC |min －r ＝3－1＝2. 答案：2

9．解析：圆C 的标准方程为