课时跟踪检测(五十八) 圆锥曲线的综合问题
2021年高考数学一轮复习 8.9圆锥曲线的综合问题课时跟踪训练 文
2021年高考数学一轮复习 8.9圆锥曲线的综合问题课时跟踪训练 文一、选择题1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( ) A ．1 B ．1或3 C ．0D ．1或0解析：由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1.答案：D2．已知椭圆C 的方程是x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3 解析：根据已知条件c ＝16－m 2，则点16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m2＝1(m >0)上，所以16－m 216＋16－m22m 2＝1.从而解得m ＝2 2. 答案：B3．(xx·合肥第二次模拟)过椭圆C ：x 25＋y 2＝1的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B两点，交y 轴于点M ，若MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，则λ1＋λ2＝( )A ．10B ．5C ．－5D ．－10解析：特殊地，当直线l 斜率为0时，为x 轴，则A 、B 、M 坐标分别为(5，0)、(－5，0)、(0,0).MA →＝(5，0)，AF →＝(2－5，0)，MB →＝(－5，0)，BF →＝(2＋5，0)．∴λ1＝－(25＋5)，λ2＝25－5，∴λ1＋λ2＝－10，选D. 答案：D4．P 是双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设双曲线的两个焦点分别是F 1(－5,0)与F 2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，易知(|PM |－|PN |)max ＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2×3＋3＝9，故选D.答案：D5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．只有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为A ，B 两点到直线x ＝－2的距离之和等于5，所以x 1＋2＋x 2＋2＝5.所以x 1＋x 2＝1.由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝3.而抛物线的焦点弦的最小值(当弦AB ⊥x 轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的直线．答案：D6．F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2 B.7 C.13 D.15 解析：画出图形，由双曲线的定义得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，又∵△ABF 2为等边三角形，∴|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，|BF 2|＝|BA |＝4a ，|BF 1|＝6a ，△BF 1F 2中|F 1F 2|＝2c ，∠F 1BF 2＝60°.∴由余弦定理可得4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×12，离心率e ＝c a ＝7，故选B.答案：B 二、填空题7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．解析：因为一条切线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， 所以椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1， 设点P 1，12，连接OP (图略)，则OP ⊥AB ， 因为k OP ＝12，所以k AB ＝－2.又因为直线AB 过点(1,0)， 所以直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0. 因为点(0，b )在直线AB 上， 所以b ＝2.又因为c ＝1，所以a 2＝5， 故椭圆方程是x 25＋y 24＝1.答案：x 25＋y 24＝18．已知点F1，F2分别是双曲线x2 a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围为________．解析：据题意由双曲线的对称性可得若△ABF2为锐角三角形，只需∠BF2F1<45°即可，故在Rt△BF2F1中，tan∠BF2F1＝b2a2c＝b22ac<tan45°＝1，整理可得c2－a2<2ac，两侧同除以a2，e2－1<2e，解不等式结合e>1，可得离心率的取值范围是(1,1＋2)．答案：(1,1＋2)9．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为__________．解析：设P(x P，y P)(y P>0，由抛物线定义知，x P＋2＝42，∴x P＝32，y P＝42×32＝26，因此S△POF＝12×26×2＝2 3.答案：2 3三、解答题10．(xx·绵阳市第三次诊断)已知直线y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，O、F分别为C的顶点和焦点，若OA→＝λFB→(λ∈R)，求k的值．解：如图，直线y＝k(x＋1)过点F′(－1,0)，F(1,0)，所以O为F′F的中点．由OA→＝λFB→知OA∥FB，所以A为F′B的中点，设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2， 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22－48，y 22，代入y 2＝4x ，得y 2＝22，B (2,22)，∴k ＝222－－1＝223. 11．(xx·东城区检测)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上且过点P 3，12，离心率是32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 过点E (－1,0)且与椭圆C 交于A ，B 两点，若|EA |＝2|EB |，求直线l 的方程．解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，3a 2＋14b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由已知，若直线l 的斜率不存在，则过点E (－1,0)的直线l 的方程为x ＝－1，此时令A －1，32，B －1，－32， 显然|EA |＝2|EB |不成立．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k x ＋1，整理得(4k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋4k 2－4＝0.由Δ＝(8k 2)2－4(4k 2＋1)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 故x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋1，①x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.②因为|EA |＝2|EB |，即x 1＋2x 2＝－3.③①②③联立解得k ＝±156. 所以直线l 的方程为15x ＋6y ＋15＝0和15x －6y ＋15＝0. 12．(xx·焦作一模)已知椭圆的离心率e ＝22，左、右焦点分别为F 1、F 2，定点P (2，3)，点F 2在线段PF 1的中垂线上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线F 2M ，F 2N 的倾斜角满足α＋β＝π，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．解：(1)由椭圆C 的离心率e ＝22，得c a ＝22，其中c ＝a 2－b 2， 椭圆C 的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 又点F 2在线段PF 1的中垂线上，∴|F 1F 2|＝|PF 2|，∴(2c )2＝(3)2＋(2－c )2. 解得c ＝1，a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1，且kF 2M ＝kx 1＋mx 1－1，kF 2N＝kx 2＋mx 2－1. 由已知α＋β＝π，得kF 2M ＋kF 2N ＝0， 即kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋mx 2－1＝0， 化简，得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0， ∴2k ·2m 2－22k 2＋1－4km m －k 2k 2＋1－2m ＝0，整理得m ＝－2k .∴直线MN 的方程为y ＝k (x －2)，因此直线MN 过定点，该定点的坐标为(2,0)．23308 5B0C 嬌38404 9604 阄T30367 769F 皟28135 6DE7 淧B34917 8865 补285816FA5 澥27411 6B13 欓34832 8810 蠐 V32238 7DEE 緮h39020 986C 顬。
圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案
1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB的交点为Q 。
（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112||||PC PD PQ +=.2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ （1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.3. 如图，椭圆134:221=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。
6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=(1)求点P 的轨迹方程； (2)若2·1cos PM PN MPN-∠＝,求点P 的坐标.7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线1222=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3MON π∠=，双曲线的焦距为4。
高中数学同步课时跟踪检测《圆锥曲线的综合问题》
课时跟踪检测(五十七) 圆锥曲线的综合问题1．已知双曲线x 2－y23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1P A ,·2P F ,的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．02．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条3．(2012·南昌联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作与x 轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M 、N (均在第一象限内)，若FM ―→,＝4MN ―→,，则双曲线的离心率为( )A.54 B.53 C.35D.454．已知椭圆x 225＋y 216＝1的焦点是F 1，F 2，如果椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，则下面结论正确的是( )A ．P 点有两个B ．P 点有四个C ．P 点不一定存在D ．P 点一定不存在5．(2013·营口模拟)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________．6．(2013·长沙月考)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．7．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．8．(2012·黄冈质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使得|AC |＝|BC |？并说明理由．9．(2012·江西模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线y ＝x ＋6与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切，F 1，F 2为其左，右焦点，P 为椭圆C 上任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心为I ，且IG ∥F 1F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线过定点C ⎝⎛⎭⎫16，0，求实数k 的取值范围．1．(2012·长春模拟)已知点A (－1,0)，B (1,0)，动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB ＝2θ，|A M |,·|B M |,cos 2θ＝3，过点B 的直线交曲线C 于P ，Q 两点．(1)求|A M |,＋|B M |,的值，并写出曲线C 的方程； (2)求△APQ 的面积的最大值．2．(2012·郑州模拟)已知圆C 的圆心为C (m,0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e ＞12的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D ，B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．[答 题 栏]答 案课时跟踪检测(五十七)A 级1．选A 设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，由双曲线方程得y 2＝3(x 2－1)．1P A ,·2P F ,＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋y 2－x －2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝⎛⎭⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，1P A ,·2P F ,取得最小值－2.2．选B 设该抛物线焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．3．选B 由题意知F (c,0)，则易得M ，N 的纵坐标分别为b 2a ，bca ，由F M ,＝4M N ,得b 2a ＝4·⎝⎛⎭⎫bc a －b 2a ，即b c ＝45.又c 2＝a 2＋b 2，则e ＝c a ＝53. 4．选D 设椭圆的基本量为a ，b ，c ，则a ＝5，b ＝4，c ＝3.以F 1F 2为直径构造圆，可知圆的半径r ＝c ＝3＜4＝b ，即圆与椭圆不可能有交点．5．解析：当P 在原点处时，|PF 1|＋|PF 2|取得最小值2；当P 在椭圆上时，|PF 1|＋|PF 2|取得最大值22，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为[2,2 2 ]．答案：[2,2 2 ]6．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x 22＋y 2＝1，得3x 2＝2，∴x ＝±63，∴A ⎝⎛⎭⎫63，63，B ⎝⎛⎭⎫－63，－63， ∴|AB |＝433. 设点C (2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·|sin(θ－φ) |≤32，∴S △ABC ＝12|AB |·d ≤12×433×32＝ 2.答案： 27．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2， 解得b ＝22. 8．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22a ＋c ＝2＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1,0)，∴0≤m ≤1. 假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1.设AB 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1.∵|AC |＝|BC |，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1，∴k2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k ＝－1，即(1－2m )k 2＝m . ∴当0≤m ＜12时，k ＝±m 1－2m，即存在满足题意的直线l ；当12≤m ≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l . 9．解：(1)设P (x 0，y 0)，x 0≠±a ，则G ⎝⎛⎭⎫x 03，y 03. 又设I (x I ，y I )，∵IG ∥F 1F 2， ∴y I ＝y 03，∵|F 1F 2|＝2c ，∴S △F 1PF 2＝12·|F 1F 2|·|y 0|＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·|y 03|，∴2c ·3＝2a ＋2c ，∴e ＝c a ＝12，又由题意知b ＝|6|1＋1，∴b ＝3，∴a ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由题意知Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，即m 2＜4k 2＋3，又x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，则y 1＋y 2＝6m3＋4k2， ∴线段AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.又线段AB 的垂直平分线l ′的方程为y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －16， 点P 在直线l ′上，∴3m3＋4k2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2－16，∴4k 2＋6km ＋3＝0，∴m ＝－16k (4k 2＋3)，∴(4k 2＋3)236k 2＜4k 2＋3，∴k 2＞332，解得k ＞68或k ＜－68， ∴k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－68∪⎝⎛⎭⎫68，＋∞. B 级1．解：(1)设M (x ，y )，在△MAB 中，|A B |,＝2，∠AMB ＝2θ，根据余弦定理得|A M |,2＋|B M |,2－2|A M |,·|B M |,cos 2θ＝|AB |,2＝4，即(|A M |,＋|B M |,)2－2|A M |,·|B M |, (1＋cos 2θ)＝4，所以(|A M |,＋|B M |,)2－4|A M |,·|B M |·cos 2θ＝4.因为|A M |,·|B M |,cos 2θ＝3，所以(|A M |,＋|B M |,)2－4×3＝4，所以|A M |,＋|B M |,＝4.又|A M |,＋|B M |,＝4＞2＝|A B |,，因此点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(点M 在x 轴上也符合题意)，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3. 所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 24＋y 23＝1，消去x ， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.①显然方程①的判别式Δ＝36m 2＋36(3m 2＋4)＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则△APQ 的面积S △APQ ＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝48×3m 2＋3(3m 2＋4)2. 令t ＝3m 2＋3，则t ≥3，(y 1－y 2)2＝48t ＋1t＋2， 由于函数φ(t )＝t ＋1t在[3，＋∞)上是增函数，所以t ＋1t ≥103，当且仅当t ＝3m 2＋3＝3，即m ＝0时取等号，所以(y 1－y 2)2≤48103＋2＝9，即|y 1－y 2|的最大值为3，所以△APQ 的面积的最大值为3，此时直线PQ 的方程为x ＝1. 2．解：(1)由已知可设圆C 的方程为(x －m )2＋y 2＝5(m ＜3)， 将点A 的坐标代入圆C 的方程中，得(3－m )2＋1＝5， 即(3－m )2＝4，解得m ＝1，或m ＝5. ∴m ＜3，∴m ＝1.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切，依题意设直线PF 1的斜率为k ，则直线PF 1的方程为y ＝k (x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0，若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.∴4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112或k ＝12.当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为－4，∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0)． ∴由椭圆的定义得：2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(3＋4)2＋12＋(3－4)2＋12＝52＋2＝6 2.∴a ＝32，即a 2＝18，∴e ＝432＝223＞12，满足题意．故直线PF 1能与圆C 相切．直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，把直线PF 1的方程代入椭圆E 的方程并化简得，13y 2－16y －2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝1613，y 1y 2＝－213，故S △DBF 2＝4|y 1－y 2|＝4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝241013.。
圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
课时跟踪检测(五十六) 圆锥曲线与圆、向量的综合
课时跟踪检测(五十六) 圆锥曲线与圆、向量的综合1.已知椭圆方程为x 24＋y 2＝1，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2. (1)求椭圆上动点P 与圆心C 距离的最小值；(2)如图，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且与圆C 相切于点M ，若满足M 为线段AB 中点的直线l 有4条，求半径r 的取值范围．解：(1)设P (x ，y )，|PC |＝(x －1)2＋y 2＝ 34x 2－2x ＋2 ＝ 34⎝⎛⎭⎫x －432＋23，由－2≤x ≤2可知， 当x ＝43时，|PC |min ＝63. (2)当直线AB 斜率不存在且与圆C 相切时，M 在x 轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0), 由⎩⎨⎧ x 214＋y 21＝1，x 224＋y 22＝1，两式相减，整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－14·x 1＋x 2y 1＋y 2， 则k AB ＝－x 04y 0. 又k MC ＝y 0x 0－1，k MC ·k AB ＝－1， 则k MC ·k AB ＝－x 04y 0·y 0x 0－1＝－1，解得x 0＝43， 由M 在椭圆内部，则x 204＋y 20＜1，解得y 20＜59， 所以r 2＝(x 0－1)2＋y 20＝19＋y 20，所以19＜r 2＜23， 解得13＜r ＜63. 所以半径r 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，63. 2．已知抛物线C ：x 2＝2y ，P 是C 的准线l 上的动点，过P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)当P 点在y 轴上时，求切线PA ，PB 的方程；(2)设圆M 是△PAB 的外接圆，当圆M 的面积最小时，求圆M 的方程．解：(1)抛物线C ：x 2＝2y ，准线l 的方程y ＝－12， ∵P 点在y 轴上，∴P ⎝⎛⎭⎫0，－12， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜0，x 2＞0，由y ＝12x 2，求导y ′＝x ，∴k PA ＝y 1＋12x 1＝x 212＋12x 1＝x 1， 解得x 1＝－1，∴切线PA 的方程为y ＋12＝－(x －0)，即2x ＋2y ＋1＝0，同理可得切线PB 的方程为2x －2y －1＝0.(2)如图，设点P ⎝⎛⎭⎫t ，－12， 设过点P 与抛物线C ：x 2＝2y 相切的直线方程为y ＋12＝k (x －t )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k (x －t )，x 2＝2y⇒x 2－2kx ＋2kt ＋1＝0，Δ＝4k 2－4(2kt ＋1)＝0⇒4k 2－8kt －4＝0，∴k 1k 2＝－1，即切线PA ，PB 互相垂直．即△PAB 是直角三角形，△PAB 的外接圆直径为弦AB . 当圆M 的面积最小时，即是AB 最短时，|AB |min ＝2p ＝2，此时AB 垂直y 轴，△PAB的外接圆圆心为⎝⎛⎭⎫0，12， 圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1. 3．(2018·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM ―→＝λ，QN ―→＝μQO ―→，求证：1λ＋1μ为定值．解：(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)，所以2p ＝4，即p ＝2.故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0.设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2. 直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)． 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2. 同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM ―→＝λQO ―→，QN ―→＝μQO ―→，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N .所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2. 所以1λ＋1μ为定值．4．已知点E 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点F 2，与y 轴相交于A ，B 两点，且△ABE 是边长为2的正三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知圆：x 2＋y 2＝185，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M ，N 两点，试判断|PM |·|PN |是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．解：(1)由题意可知EF 2⊥x 轴，则E ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ， 又△ABE 是边长为2的正三角形， 则⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝3，b 2a ＝|AE |＝2，解得a 2＝9，b 2＝6， 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1. (2)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x ＝ 185， 由(1)知，M ⎝⎛⎭⎫185， 185，N ⎝⎛⎭⎫ 185，－ 185， OM ―→＝⎝⎛⎭⎫ 185， 185，ON ―→＝⎝⎛⎭⎫ 185，－ 185， ∴OM ―→·ON ―→＝0，∴OM ⊥ON ，此时|PM |·|PN |＝|OP |2＝r 2＝185. 当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y ＝kx ＋m .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则|m |k 2＋1＝ 185， 即5m 2＝18(k 2＋1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 29＋y 26＝1，得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－18＝0， 得Δ＞0，x 1＋x 2＝－6km2＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－182＋3k 2. ∵OM ―→＝(x 1，y 1)，ON ―→＝(x 2，y 2)，∴OM ―→·ON ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)·3m 2－182＋3k 2＋km ·－6km 2＋3k 2＋m 2＝5m 2－18k 2－182＋3k 2＝18k 2＋18－18k 2－182＋3k 2＝0， ∴OM ⊥ON ，∴|PM |·|PN |＝|OP |2＝r 2＝185. 综上所述，|PM |·|PN |＝185为定值． 5．(2020·潮州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，A (2，0)是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且AC ―→·BC ―→＝0，|OC ―→－OB ―→|＝2|AB ―→＋BC ―→|.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P ，Q 为椭圆上不重合的两点且异于A ，B ，若∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ ―→＝λAB ―→？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．解：(1)∵AC ―→·BC ―→＝0，∴∠ACB ＝90°，∵|OC ―→－OB ―→|＝2|AB ―→＋BC ―→|，即|BC ―→|＝2|AC ―→|，∴△AOC 是等腰直角三角形，∵A (2,0)，∴C (1,1)，∵点C 在椭圆上，∴1a 2＋1b 2＝1， 又a ＝2，∴b 2＝43， ∴所求椭圆方程为x 24＋3y 24＝1. (2)对于椭圆上两点P ，Q ，∵∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴，∴PC 与CQ 所在直线关于x ＝1对称，k PC ＝k ，则k CQ ＝－k ，∵C (1,1)，∴PC 的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，①QC 的直线方程为y ＝－k (x －1)＋1，②将①代入x 24＋3y 24＝1，得(1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0，③ ∵C (1,1)在椭圆上，∴x ＝1是方程③的一个根，∴x P ＝3k 2－6k －11＋3k 2， 以－k 替换k ，得到x Q ＝3k 2＋6k －13k 2＋1. ∴k PQ ＝k (x P ＋x Q )－2k x P －x Q＝13， ∵∠ACB ＝90°，A (2,0)，C (1,1)，弦BC 过椭圆的中心O ，∴A (2,0)，B (－1，－1)，∴k AB ＝13， ∴k PQ ＝k AB ，∴PQ ∥AB ，∴存在实数λ，使得PQ ―→＝λAB ―→，|PQ ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋3k 22＝1609k 2＋1k2＋6≤2303，当9k 2＝1k 2时，即k ＝±33时取等号，又|AB ―→|＝10，λmax ＝230310＝233， ∴λ取得最大值时的PQ 的长为2303.。
新高考一轮复习人教版 圆锥曲线的综合问题 作业1
9.5 圆锥曲线的综合问题一、选择题1.(2021浙江,9,4分)已知a,b ∈R,ab>0,函数f(x)=ax 2+b(x ∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列,则平面上点(s,t)的轨迹是( ) A.直线和圆 B.直线和椭圆 C.直线和双曲线 D.直线和抛物线 答案 C 由题意知f(s)=as 2+b,f(s-t)=a(s-t)2+b=(as 2+b)+at(t-2s),f(s+t)=a(s+t)2+b=(as 2+b)+at(t+2s), ∵f(s -t),f(s),f(s+t)成等比数列,∴f(s -t)·f(s+t)=f 2(s)⇒[(as 2+b)+at(t-2s)][(as 2+b)+at(t+2s)]=(as 2+b)2⇒at(as 2+b)(t-2s+t+2s)+a 2t 2(t 2-4s 2)=0⇒2at 2(as 2+b)+a 2t 2(t 2-4s 2)=0,(*) ①当t=0时,s ∈R,故(s,t)的轨迹为一条直线; ②当t ≠0时,(*)式可化为2as 2+2b+at 2-4as 2=0, 即2as 2-at 2=2b,因为ab>0,所以s 2-t22=b a>0,故(s,t)的轨迹为双曲线,故选C.二、解答题2.(2022届广西开学考,22)设双曲线x 23-y 2=1的右焦点为F,过F 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点.(1)若直线AB 与x 轴不垂直,求直线的斜率的取值范围; (2)求AB 中点的轨迹方程.解析 (1)由题知F(2,0),设直线AB 的方程为y=k(x-2),代入方程x 23-y 2=1,得(3k 2-1)x 2-12k 2x+12k 2+3=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{x 1+x 2=12k 23k 2-1>0,x 1x 2=12k 2+33k 2-1>0,Δ=144k 4-4(3k 2-1)(12k 2+3)=12k 2+12>0, 所以k ∈(-∞,-√33)∪(√33,+∞).(2)设AB 中点坐标为(x 0,y 0),若直线AB 的斜率存在,x 0=x 1+x 22=6k 23k 2-1,y 0=y 1+y 22=k(x 0-2)=2k 3k 2-1,消去k 得,(x 0-1)2-3y 02=1,此时x 0=6k 2-2+23k 2-1=2+23k 2-1>2,所以AB 中点的轨迹方程为(x-1)2-3y 2=1(x>2);若直线AB 的斜率不存在,则x 0=2,y 0=0,满足(x-1)2-3y 2=1.综上,AB 中点的轨迹方程为(x-1)2-3y 2=1(x ≥2).3.(2022届山西怀仁一中期中,21)已知点A(-2,0),B(2,0),设动点P 满足直线PA 与PB 的斜率之积为-34,记动点P 的轨迹为曲线E. (1)求曲线E 的方程;(2)若动直线l 经过点(1,0),且与曲线E 交于C,D(不同于A,B)两点,问:直线AC 与BD 的斜率之比是不是定值?若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.解析 (1)设P(x,y),由题意可得k PA ·k PB =-34,所以y x+2·y x -2=-34(x ≠±2),所以曲线E 的方程为x 24+y 23=1(x ≠±2). (2)由题意知,可设直线l:x=my+1,C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),由{x =my +1,x 24+y 23=1(x ≠±2),可得(3m 2+4)y 2+6my-9=0,则y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4,因为直线AC 的斜率k 1=y 1x 1+2,直线BD 的斜率k 2=y 2x 2-2,且my 1y 2=32(y 1+y 2),所以k 1k 2=y 1(x 2-2)y 2(x 1+2)=y 1(my 2-1)y 2(my 1+3)=my 1y 2-y 1my 1y 2+3y 2=32(y 1+y 2)-y 132(y 1+y 2)+3y2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=13,所以直线AC 和BD 的斜率之比为定值13. 4.(2021四省八校调研,20)已知圆锥曲线E:√(x -1)2+y 2+√(x +1)2+y 2=4,经过点Q(-4,4)的直线l 与E 有唯一公共点P,定点R(-1,0). (1)求曲线E 的标准方程;(2)设直线PR,QR 的斜率分别为k 1,k 2,求k 1k 2的值.解析 (1)由√(x -1)2+y 2+√(x +1)2+y 2=4可得,点(x,y)到定点(-1,0),(1,0)的距离的和为4.由椭圆的定义可知动点(x,y)的轨迹即圆锥曲线E 是以(-1,0),(1,0)为左、右焦点,2a=4为长轴长的椭圆(此处必须由定义说明圆锥曲线的类型),则其长半轴长a=2,则短半轴长b=√22-12=√3,故曲线E 的标准方程为x 24+y 23=1. (2)由题意得过点Q(-4,4)的直线l 的斜率存在,设为k,则直线l 的方程为y-4=k(x+4),即y=kx+4+4k, 代入x 24+y 23=1,整理,得(3+4k 2)x 2+32(k+1)kx+64k 2+128k+52=0(※).∵l 与E 仅有一个公共点,∴Δ=1024(k+1)2k 2-4(3+4k 2)(64k 2+128k+52)=0,即12k 2+32k+13=0.解得k=-12或k=-136.(k 的值有两个,需分两种情况求解)设P(x 0,y 0),当k=-12时,方程(※)为x 2-2x+1=0,得x 0=1,∴y 0=32,∴k 1=34,又k 2=-43,∴k 1k 2=-1.当k=-136时,方程(※)为49x 2+182x+169=0,得x 0=-137,∴y 0=-914,∴k 1=34,又k 2=-43,∴k 1k 2=-1.综上所述,k 1k 2的值为-1.5.(2022届甘肃名校月考,21)已知F 1,F 2分别是椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,|F 1F 2|=6,当P 在E 上且PF 1垂直于x 轴时,|PF 2|=7|PF 1|. (1)求E 的标准方程;(2)A 为E 的左顶点,B 为E 的上顶点,M 是E 上第四象限内一点,AM 与y 轴交于点C,BM 与x 轴交于点D.求证:四边形ABDC 的面积是定值.解析 (1)由题意知|PF 1|=b2a ,|PF 2|+|PF 1|=2a,|PF 2|=7|PF 1|,则8|PF 1|=2a,所以a=2b,又c=3,a 2=b 2+c 2,∴a=2√3,b=√3, ∴E 的标准方程是x 212+y 23=1.(2)证明:由题意知A(-2√3,0),B(0,√3),设M(m,n),C(0,t),D(s,0),因为A,C,M 三点共线,所以设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,解得t=2√3n m+2√3,又B,D,M 三点共线,所以设BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,解得s=-√3m n -√3. 易知,|AD|=s+2√3,|BC|=√3-t,m 212+n 23=1,所以|AD|·|BC|=√3s-2√3t-st+6=-n -√3-m+2√3+(n -√3)(m+2√3)+6=-√3m √3n+36(m+2√3)(n -√3)+(n -√3)(m+2√3)+6=√3)(n √3)(n -√3)(m+2√3)+6=12.所以四边形ABDC 的面积为12|AD|·|BC|=6.故四边形ABDC 的面积是定值.6.(2022届长春外国语学校期中,21)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线l:x-y+√2=0与以原点为圆心,以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆C 的方程;(2)设M 是椭圆的上顶点,过点M 分别作直线MA,MB 交椭圆于A,B 两点,设两直线的斜率分别为k 1,k 2,且k 1+k 2=4,证明:直线AB 过定点,并求出该定点.解析 (1)易知,等轴双曲线的离心率为√2,故椭圆C 的离心率e=√22.∵e 2=c 2a 2=a 2-b 2a2=12,∴a 2=2b 2.由x-y+√2=0与圆x 2+y 2=b 2相切,得√2√2=b,故b=1,∴a 2=2.∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)已知M(0,1).当直线AB 的斜率不存在时,设方程为x=x 0(x 0≠0),A(x 0,y 0),B(x 0,-y 0).由k 1+k 2=4,得y 0-1x 0+-y 0-1x 0=4,即x 0=-12.此时直线AB 的方程为x=-12.当直线AB 的斜率存在时,设AB 的方程为y=kx+m,依题意知m ≠±1.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由{y =kx +m,x 22+y 2=1得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m 2-2=0.则x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-21+2k 2.由k 1+k 2=4,得y 1-1x 1+y 2-1x 2=4,∴kx 1+m -1x 1+kx 2+m -1x 2=4,即2k+(m-1)x 1+x2x 1x 2=4, ∴k -km m+1=2,∴k=2(m+1),∴m=k 2-1.故直线AB 的方程为y=kx+k 2-1,即y=k (x +12)-1.∴直线AB 过定点(-12,-1).综上,直线AB 过定点(-12,-1).7.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,20)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的长轴长与短轴长之比为2,过点P(0,2√5)且斜率为1的直线与椭圆E 相切. (1)求椭圆E 的方程;(2)过点T(2,0)的直线l 与椭圆E 交于A,B 两点,与直线x=8交于H 点,若HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AT ⃗⃗⃗⃗⃗ ,HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2BT ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明:λ1+λ2为定值.解析 (1)由题意知,a b =2,a=2b,切线方程为y=x+2√5.设椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1,联立得{y =x +2√5,x 24b 2+y 2b 2=1,整理得5x 2+16√5x+80-4b 2=0,则Δ=0,即(16√5)2-20(80-4b 2)=0,则b 2=4,∴椭圆方程为x 216+y 24=1.(2)由题意知,直线l 的斜率一定存在.当直线l 的斜率为零时,易得λ1+λ2=0;当直线l 的斜率不为零时,设直线l:x=ty+2(t ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{x =ty +2,x 2+4y 2=16,得(t 2+4)y 2+4ty-12=0,则y 1+y 2=-4t t 2+4,y 1y 2=-12t 2+4,直线l:x=ty+2,令x=8,则y=6t ,即H 8,6t .∵HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-8,y 1-6t ),AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x 1,-y 1),HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AT ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x 1-8=λ1(2-x 1),y 1-6t =-λ1y 1,∴1-6ty 1=-λ1,同理可得,1-6ty 2=-λ2,∴-λ1-λ2=1-6ty 1+1-6ty 2=2-6(y 1+y 2)ty 1y 2=2--24t t 2+4·t 2+4-12t=0.综上,λ1+λ2=0.8.(2021皖南八校第三次联考,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F 的直线l 与椭圆交于A,B两点,当直线l ⊥x 轴时,|AB|=√2,tan ∠AOB=2√2. (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l'⊥l,直线l'与直线l 、x 轴、y 轴分别交于M 、P 、Q,当点M 为线段AB 中点时,求PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围.解析 (1)由题意可知F(-c,0).当直线l ⊥x 轴时,|AB|=2b 2a =√2,tan ∠AOB=2tan ∠AOF1-tan 2∠AOF =2√2,解得tan ∠AOF=√22或-√2,∵∠AOF ∈(0,π2),∴tan∠AOF=√22=|AF||FO|=b 2a c,得b=c=1,a=√2,故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),依题意直线l 的斜率一定存在且不为零,设l:y=k(x+1),由{y =k(x +1),x 22+y 2=1,消去y 得(2k 2+1)x 2+4k 2x+2k 2-2=0,则x 1+x 2=-4k 22k 2+1,则y 1+y 2=k(x 1+x 2+2)=2k 2k 2+1.故M (-2k 22k 2+1,k2k 2+1),直线l':y-k 2k 2+1=-1k (x +2k 22k 2+1),令y=0,则P (-k22k 2+1,0),∵PM⊥MF,OQ ⊥PO,∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2|PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(-k 22k 2+1--2k 22k 2+1)2+(0-k 2k 2+1)2(-k 22k 2+1)2=k 2+1k 2=1+1k 2,∵k 2∈(0,+∞),∴1+1k2∈(1,+∞), ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈(1,+∞). 9.(2022届四川内江六中月考,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 2且与x 轴垂直的直线与椭圆C 交于A,B 两点,△AOB 的面积为2√2,点P 为椭圆C 的下顶点,|PF 2|=√2|OP|. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)经过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线l 交椭圆C 于M,N 两点,求|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围.解析 (1)因为△OPF 2为直角三角形,所以b 2+c 2=|PF 2|2=(√2b)2,故b=c,又S △AOB =12·2b 2a ·c=b 2c a=2√2,所以b 2c=2√2a,又a 2=b 2+c 2,所以b 3=2√2·√b 2+c 2=4b,故b 2=4,所以a 2=b 2+c 2=4+4=8,故椭圆C 的标准方程为x 28+y 24=1. (2)由题意得F(1,0),M,N,F 三点共线,所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=||FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cosπ|=|FM|·|FN|.若直线l 斜率为零,则|FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FM|·|FN|=(a-1)(a+1)=7;若直线l 斜率不为零,设直线l 的方程为x=my+1,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则{x =my +1,x 28+y 24=1,消去x 得(m 2+2)y 2+2my-7=0,所以y 1+y 2=-2m m 2+2,y 1y 2=-7m 2+2,则|FM|=√(x 1-1)2+y 12=√(my 1+1-1)2+y 12=√m 2+1|y 1|,同理|FN|=√m 2+1·|y 2|,所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FM|·|FN|=(m 2+1)|y 1y 2|=(m 2+1)·7m 2+2=7(m 2+2)-7m 2+2=7-7m 2+2,因为m 2+2≥2,所以0<7m 2+2≤72,所以72≤7-7m 2+2<7.综上,|FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FM|·|FN|∈[72,7]. 10.(2022届黑龙江大庆月考,20)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,其离心率为12.椭圆E 的左、右顶点分别为A,B,且|AB|=4. (1)求椭圆E 的方程;(2)过F 1的直线与椭圆相交于C,D(不与顶点重合),过右顶点B 分别作直线BC,BD 与直线x=-4相交于N,M 两点,以MN 为直径的圆是否恒过某定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.解析 (1)由题意得,c a =12,|AB|=2a=4,∴a=2,c=1,b=√a 2-c 2=√3,∴椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)恒过定点(-7,0)和(-1,0).由(1)知F 1(-1,0),B(2,0),由题意得,直线CD 的斜率不为0,设直线CD 的方程为x=my-1,代入椭圆E 的方程x 24+y 23=1,整理得(3m 2+4)y 2-6my-9=0.设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),则y 1+y 2=6m 3m 2+4①,y 1y 2=-93m 2+4②.直线BC:y=y 1my 1-3(x-2),令x=-4,可得N -4,-6y 1my 1-3,同理M (-4,-6y 2my 2-3),∴以MN 为直径的圆的方程为(x+4)(x+4)+y+6y 1my 1-3(y +6y 2my 2-3)=0,即x 2+8x+16+y 2+6y 1my 1-3+6y 2my 2-3y+36y 1y 2(my 1-3)(my 2-3)=0③,由①②得y 1+y 2=-23my 1y 2,代入③得圆的方程为x 2+8x+7+y 2-6my=0.若圆过定点,则{y =0,x 2+8x +7=0,解得{x =-1,y =0或{x =-7,y =0,∴以MN 为直径的圆恒过点(-7,0)和(-1,0).12.(2022届湘豫名校联盟11月联考,20)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e=√63,其左,右焦点为F 1,F 2,P为椭圆E 上任意一点,P 点到原点O 的距离的最小值为1. (1)求椭圆E 的方程;(2)设直线l:y=kx+m 与椭圆E 交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,且x 12+x 22=3,是否存在这样的直线l 与圆x 2+y 2=1相切?如果存在,直线l 有几条?如果不存在,请说明理由. 解析 (1)由题意知,e=√63,所以b 2a2=1-e 2=13,即a 2=3b 2,易知|PO|2∈[b 2,a 2],所以b 2=1,故椭圆E 的标准方程为x 23+y 2=1. (2)联立{y =kx +m,x 2+3y 2=3,整理得(3k 2+1)x 2+6kmx+3m 2-3=0.所以x 1+x 2=-6km 3k 2+1,x 1·x 2=3m 2-33k 2+1. 因为x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1·x 2=3,所以化简得12k 2m 2-2(m 2-1)·(3k 2+1)=(3k 2+1)2,即2m 2·(3k 2-1)=(3k 2+1)·(3k 2-1),所以3k 2-1=0或3k 2+1=2m 2,又直线l:y=kx+m 与圆x 2+y 2=1相切,所以√1+k2=1,即k 2+1=m 2.当3k 2-1=0时,解得k 2=13,m 2=43,直线l 的方程为y=±√33x±2√33;当3k 2+1=2m 2时,解得k 2=1,m 2=2,直线l 的方程为y=±x±√2.综上所述,存在满足题设条件的直线,且直线l 有八条.13.(2022届江西月考,21)过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为θ(θ≠π2)的直线,交抛物线于A,B 两点,当θ=π3时,以FA 为直径的圆与y 轴相切于点T(0,√3).(1)求抛物线的方程;(2)试问在x 轴上是否存在异于F 点的定点P,使得|FA|·|PB|=|FB|·|PA|成立?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解析 (1)取FA 的中点C,过C 作CE ⊥x 轴于E,连接CT.因为以FA 为直径的圆与y 轴相切于点T(0,√3),所以CT ⊥y 轴于T,故|CE|=|OT|=√3,因为θ=π3,即∠CFE=π3,所以|CF|=2,|EF|=1,所以C 1+p 2,√3,所以A (2+p 2,2√3),故(2√3)2=2p ·(2+p 2),又p>0,所以p=2,故抛物线的方程为y 2=4x.(2)设P(x 0,0)(x 0≠1),且F(1,0),由题意可知直线FA 的斜率不为0,故设直线FA:x=my+1,联立{x =my +1,y 2=4x,整理得y 2-4my-4=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1y 2=-4.易知|FA||FB|=|y 1||y 2|,|PA||PB|=√10212√20222,因为|FA|·|PB|=|FB|·|PA|,即|FA||FB|=|PA||PB|,所以|y 1||y 2|=√(x 1-x 0)2+(y 1-0)2(x 2-x 0)2+(y 2-0)2,两边同时平方可得y 12y 22=y 12+(x 1-x 0)2y 22+(x 2-x 0)2,又因为y 12=4x 1,y 22=4x 2,所以y 12y 22=y 12+(y 124-x 0)2y 22+(y 224-x 0)2,化简整理可得(y 12-y 22)x 02=y 12y 22(y 12-y 22)16,所以x 02=y 12y 2216=(y 1y 2)216=1,所以x 0=±1,因为点P 异于点F,所以x 0=-1,故点P(-1,0).14.(2021山西太原二模,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,直线l:x=23与椭圆C 相交于D,E 两个不同点,直线DA 与直线DB 的斜率之积为-14,△ABD 的面积为4√23.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点P 是直线l:x=23的一个动点(不在x 轴上),直线AP 与椭圆C 的另一个交点为Q,过P 作BQ 的垂线,垂足为M,在x 轴上是否存在定点N,使得|MN|为定值?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由. 解析 (1)设D (23,y 0),由题意得{k DA ·k DB =y 023+a ·y 023-a =-14,12×2a ×|y 0|=4√23,49a 2+y 02b 2=1,∴{b 2=1,a 2=4, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)假设存在这样的点N,设直线PM 与x 轴相交于点T(x 0,0),由题意得TP ⊥BQ,由(1)得A(-2,0),B(2,0),设P (23,t),t ≠0,Q(x 1,y 1),由题意可设直线AP 的方程为x=my-2,由{x =my -2,x 24+y 2=1得(m 2+4)y 2-4my=0,∴y 1=4m m 2+4或y 1=0(舍去),x 1=2m 2-8m 2+4,∵23=mt-2,∴t=83m ,∵TP⊥BQ,∴TP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23-x 0)(x 1-2)+ty 1=0,∴x 0=23+ty 1x 1-2=23+83m ·4m m 2+4·m 2+4-16=0, ∴直线PM 过定点T(0,0), ∴存在定点N(1,0),使得|MN|=1.。
2018届高三数学文高考总复习课时跟踪检测 五十 圆锥曲
课时跟踪检测 (五十) 圆锥曲线的综合问题一保高考，全练题型做到高考达标1．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B 设该抛物线焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3>2p ＝2．所以符合条件的直线有且只有两条．2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－153，153 B ．⎝⎛⎭⎫0，153 C ．⎝⎛⎭⎫－153，0 D ．⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0．设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)＞0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2＞0，x 1x 2＝－101－k 2＞0，解得－153＜k ＜－1．即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－153，－1． 3．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O为坐标原点，则OA ―→·OB ―→等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，∴OA ―→·OB ―→＝－13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA ―→·OB ―→＝－13．4．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与椭圆16x 2＋25y 2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则点A 的横坐标为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选D 16x 2＋25y 2＝400可化为x 225＋y 216＝1，则椭圆的左焦点为F (－3,0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2， 所以p2＝－3，即p ＝－6，即y 2＝－12x ，K (3,0)．设A (x ，y )，则由|AK |＝2|AF |得(x －3)2＋y 2＝2[(x ＋3)2＋y 2]，即x 2＋18x ＋9＋y 2＝0， 又y 2＝－12x ，所以x 2＋6x ＋9＝0，解得x ＝－3．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m的值为( )A ．32B ．52C ．2D ．3解析：选A 由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2， 所以抛物线的方程为y ＝2x 2．因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1＜x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1， 故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－14， y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上， 所以54＝－14＋m ，解得m ＝32．6．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是__________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减并化简得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)． 又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0． 答案：x ＋2y －8＝07．如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB ―→·DC ―→＝________．解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB ―→＝(1,0)，DC ―→＝(－1,0)，所以AB ―→·DC ―→＝－1．答案：－18．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________________．解析：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，则a 2－b 2＝4，所以可设椭圆方程为y 2b 2＋4＋x 2b2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋7，y 2b 2＋4＋x 2b2＝1， 得(10b 2＋4)y 2－14(b 2＋4)y －9b 4＋13b 2＋196＝0，设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由一元二次方程根与系数的关系得： y 1＋y 2＝14(b 2＋4)10b 2＋4＝2．解得：b 2＝8．所以a 2＝12． 则椭圆方程为x 28＋y 212＝1．答案：x 28＋y 212＝19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，AB ＝4．(1)求椭圆的方程； (2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程． 解：(1)由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4．又a 2＝b 2＋c 2， 解得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在时，由题意知|AB |＋|CD |＝7，不满足条件．②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时， 设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线CD 的方程为y ＝－1k (x －1)．将直线AB 方程代入椭圆方程中并整理， 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2．同理，|CD |＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋13＋4k 2＝12(k 2＋1)3k 2＋4．所以|AB |＋|CD |＝12(k 2＋1)3＋4k 2＋12(k 2＋1)3k 2＋4＝84(k 2＋1)2(3＋4k 2)(3k 2＋4)＝487，解得k ＝±1， 所以直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0．10．(2016·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)，△OAB 的面积为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：|AN |·|BM |为定值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)证明：由(1)知，A (2,0)，B (0,1)．设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4．当x 0≠0时， 直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)． 令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2．直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1．令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1．所以|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝4．当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4． 综上，|AN |·|BM |为定值．二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·海口调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点分别为A ，B ，其离心率e ＝12，点M 为椭圆上的一个动点，△MAB 面积的最大值是23．(1)求椭圆的方程；(2)若过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ，线段BD 的垂直平分线与y 轴交于点P ，当PB ―→·PD ―→＝0时，求点P 的坐标．解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，12×2ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆方程是x 24＋y 23＝1．(2)由(1)知B (2,0)，设直线BD 的方程为y ＝k (x －2)，D (x 1，y 1)， 把y ＝k (x －2)代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，所以2＋x 1＝16k 23＋4k 2⇒x 1＝8k 2－63＋4k 2，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2，所以BD 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2，－6k 3＋4k 2，则直线BD 的垂直平分线方程为y －－6k 3＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －8k 23＋4k 2，得P ⎝⎛⎭⎫0，2k3＋4k 2．又PB ―→·PD ―→＝0，即⎝⎛⎭⎫2，－2k 3＋4k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－14k 3＋4k 2＝0， 化简得64k 4＋28k 2－36(3＋4k 2)2＝0⇒64k 4＋28k 2－36＝0， 解得k ＝±34．故P ⎝⎛⎭⎫0，27或⎝⎛⎭⎫0，－27． 2．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4．(1)求椭圆C 的方程．(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上得，1a 2＋94b 2＝1，① 依题设知a ＝2c ，则a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，② 将②代入①得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3． 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．(2)存在．理由如下： 由题意可设AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，③代入椭圆方程并整理得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4(k 2－3)4k 2＋3，④在方程③中令x ＝4，得M (4,3k )．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12．因为A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ， 即y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k ． 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1，⑤将④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k 24k 2＋3－24(k 2－3)4k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1．又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3．故存在常数λ＝2符合题意．。
圆锥曲线综合测试题(含答案)
圆锥曲线综合测试题一、选择题（每题5分）1、双曲线x 2－5y 2＝0的焦距为（ ） A.6 B.26 C.23 D.432、顶点在原点，且过点（－4,4）的抛物线的标准方程是（ ）A.y 2＝－4xB.x 2＝4yC. y 2＝－4x 或x 2＝4yD.y 2＝4x 或x 2＝－4y3、若椭圆19222=+m y x （m>0）的一个焦点坐标为（1,0），则m 的值为（ ） A.5 B.3 C.23 D.224、已知方程11122=--+ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A.－1<k<1 B.k>0 C.k ≥0 D.k>1或k<－15、已知双曲线15222=-y a x 的右焦点为（3,0）则该双曲线的离心率为（ ） A.14143 B.423 C.23 D.34 6、如果点P （2，y 0）在以点F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上，则PF=（ ）A.1B.2C.3D.47、双曲线12222=-b y a x 与椭圆12222=+by m x （a >0,m>b>0）的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形8、已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为21，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB=（ ）A.3B.6C.9D.129、已知双曲线12222=-by a x （a >0，b>0）的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，∆AOB 的面积为3，则p=（ ）A.1B.23 C.2 D.3 10、已知F 1，F 2为椭圆191622=+y x 的两个焦点，过点F 2的直线交椭圆与A ，B 两点，在∆A F 1B 中，若有两边之和等于10，则第三边的长度为（ ）A.6B.5C.4D.311、已知动圆P 过定点A （－3,0），并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是（ ）A.线段B.直线C.圆D.椭圆12、若直线mx ＋ny=4与圆O: x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为（ ）A.至多一个B.2C.1D.0二、填空题（每题5分）13、抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 到y 轴的距离为 。
2020高三数学一轮复习(人教版文)：课时作业58圆锥曲线的综合问题 ——定点、定值、探索性问题
(2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m>0)，
直线l：x＝ty＋m，联立xy＝ 2＝ty8＋x，m， 则y2－8ty－8m＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝8t，y1y2＝－8m， |AM|2＝(x1－m)2＋y21＝(t2＋1)y21， |BM|2＝(x2－m)2＋y22＝(t2＋1)y22， 所以|A1M|2＋|BM1 |2＝t2＋11y21＋t2＋11y22＝t2＋1 1·y21y＋21y22y22＝4m42t2＋t2＋m1，当m＝4 时，|AM1 |2＋|B1M|2＝116，为定值，所以M(4,0)。
当且仅当k＝± 22时，等号成立， 所以△PAB′面积的最大值是 22。
4．已知点A，B分别是椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的左、右顶点，F为
左焦点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP与过点B且垂直于x
轴的直线l交于点M，直线MN⊥BP于点N。
(1)求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定；
消去y，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0。
所以Δ＝16(4k2＋1－m2)>0，x1＋x2＝4－k28＋km1，x1x2＝44mk22＋－14。
因为点B在以线段MN为直径的圆上，
所以B→M·B→N＝0。
因为B→M·B→N＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋ x2)＋(m－1)2＝0，
3．(2019·豫南九校联考)已知点F1(－ 2 ，0)，圆F2：(x－ 2 )2＋y2＝ 16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N。
2020届高考数学一轮复习：课时作业58《圆锥曲线的综合问题》(含解析)
课时作业58 圆锥曲线的综合问题1．(2019·河北石家庄一模)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且A F →＝2 F B →，则该椭圆的离心率为( B )A.32 B ．23 C.22D ．33解析：由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立得⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b2＝1，y ＝x －c ，∴(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b2，y 1y 2＝－b4a 2＋b 2，又A F →＝2 F B →，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2，－2y 22＝－b4a 2＋b 2，∴12＝4c 2a 2＋b2，∴e ＝23，故选B.2．(2019·河北七校联考)如图，由抛物线y 2＝8x 与圆E ：(x －2)2＋y 2＝9的实线部分构成图形Ω，过点P (2,0)的直线始终与圆形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB |的取值范围为( D )A ．[2,3]B ．[3,4]C ．[4,5]D ．[5,6]解析：由题意可知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，圆(x －2)2＋y 2＝9的圆心为E (2,0)，因此点P ，F ，E 三点重合，所以|P A |＝3.设B (x 0，y 0)，则由抛物线的定义可知|PB |＝x 0＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，(x －2)2＋y 2＝9得(x －2)2＋8x ＝9， 整理得x 2＋4x －5＝0，解得x 1＝1，x 2＝－5(舍去)，设圆E 与抛物线交于C ，D 两点，所以x C ＝x D ＝1，因此0≤x 0≤1，又|AB |＝|AP |＋|BP |＝3＋x 0＋2＝x 0＋5，所以|AB |＝x 0＋5∈[5,6]，故选D.3．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A )A.433 B ．233 C ．3D ．2解析：解法一：设椭圆方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)，离心率为e 1，双曲线的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)，离心率为e 2，它们的焦距为2c ，不妨设P 为两曲线在第一象限的交点，F 1，F 2分别为左，右焦点，则易知⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)·(a 1－a 2)cos 60°＝4c 2，整理得a 21＋3a 22＝4c 2，所以a 21c 2＋3a 22c 2＝4，即1e 21＋3e 22＝4.设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1，3e 2，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，33，∴1e 1＋1e 2＝a ·b ≤|a |·|b |＝1e 21＋3e 22×1＋13＝4×43＝433，故1e 1＋1e 2的最大值是433，故选A.解法二：不妨设P 在第一象限， |PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 在△PF 1F 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－mn ＝4c 2.设椭圆的长轴长为2a 1，离心率为e 1，双曲线的实轴长为2a 2，离心率为e 2，它们的焦距为2c ，则1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝m ＋n 2＋m －n 2c＝mc . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋1e 22＝m 2c 2＝4m 2m 2＋n 2－mn ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2－nm ＋1， 易知⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2－n m ＋1的最小值为34. 故⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋1e 2max ＝433.故选A. 4．(2019·贵阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 2－x 1的最小值为( A )A ．2 2B ．2C ．4D ．3 2解析：∵直线l 与圆相切，∴原点到直线的距离d ＝|m |1＋k 2＝1， ∴m 2＝1＋k 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝1得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4m 2k 2＋4(1－k 2)(m 2＋1)＝4(m 2＋1－k 2)＝8＞0，x 1x 2＝1＋m 2k 2－1＜0，∴k 2＜1，∴－1＜k ＜1，由于x 1＋x 2＝2mk 1－k 2，∴x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22|1－k 2|＝221－k 2，∵0≤k 2＜1，∴当k 2＝0时，x 2－x 1 取最小值22，故选A. 5．(2019·河南郑州一模)如图，已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2,4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，过圆心C 2的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |＋4|QM |的最小值为( A )A ．23B ．42C ．12D ．52解析：由题意可设抛物线C 1的方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为抛物线C 1过点(2,4)，所以16＝2p ×2，得p ＝4，所以y 2＝8x .圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，整理得(x －2)2＋y 2＝1，可得圆心C 2(2,0)恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝2，所以P (2,4)，Q (2，－4)，所以|PN |＋4|QM |＝|PC 2|＋|C 2N |＋4|QC 2|＋4|C 2M |＝|PC 2|＋4|QC 2|＋5＝4＋4×4＋5＝25.当直线l 的斜率存在且不为零时，可设l 的方程为y ＝k (x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝8x ，可得k 2(x －2)2＝8x ，整理得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，Δ＞0，则x 1x 2＝4，故x 2＝4x 1，所以|PN |＋4|QM |＝|PC 2|＋4|QC 2|＋5＝x 1＋p 2＋4x 2＋4×p 2＋5＝x 1＋4x 2＋15＝x 1＋16x 1＋15≥2x 1×16x 1＋15＝8＋15＝23⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当x 1＝16x 1，即x 1＝4时取“＝”.因为23＜25，所以|PN |＋4|QM |的最小值为23.故选A.6．(2018·浙江卷)已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝ 5 时，点B 横坐标的绝对值最大．解析：本小题考查椭圆的标准方程，向量的坐标运算，二次函数的最值．设B (t ，u )，由A P →＝2 P B →，易得A (－2t,3－2u )．∵点A ，B 都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 24＋u 2＝m ，4t 24＋(3－2u )2＝m ，从而有3t 24＋3u 2－12u ＋9＝0，即t24＋u 2＝4u －3.即有4u －3＝m ⇒u ＝m ＋34，∴t 24＋(m ＋3)216＝m ， ∴t 2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4. ∴当m ＝5时，(t 2)max ＝4，即|t |max ＝2， 即当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大．7．(2019·合肥模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则O P →·F P →的最小值为 6 .解析：点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1,0)，∴O P →＝(x ，y )，F P →＝(x ＋1，y )，∴O P →·F P →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234. ∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152， ∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254，∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536，∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤O P →·F P →≤12，故最小值为6.8．(2019·河北百校联盟联考)已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，准线为l 1，直线l 2与抛物线C 相切于点P ，记点P 到直线l 1的距离为d 1，点F 到直线l 2的距离为d 2，则d 2d 1＋2的最大值为 12 .解析：依题意，得点F (0,2)，因为y ＝x 28，所以y ′＝x4， 设P (x 0，y 0)，则直线l 2：y －y 0＝x 04(x －x 0)，即x 04x －y －y 0＝0，故点F 到直线l 2的距离d 2＝|－2－y 0|x 2016＋1＝2＋y 0y 02＋1＝2·y 0＋2，又点P 到直线l 1的距离d 1＝|PF |＝y 0＋2，所以d 2d 1＋2＝2×y 0＋2y 0＋4＝2×1y 0＋2＋2y 0＋2≤2×12y 0＋2·2y 0＋2＝12，当且仅当y 0＋2＝2y 0＋2，即y 0＝0时，取等号，所以d 2d 1＋2的最大值为12.9．(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值． 解：(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)，所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x ， 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1＞0， 解得k ＜0或0＜k ＜1.又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)． 从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是 (－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2. 直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)．令x ＝0，得点M 的纵坐标为 y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2.由QM →＝λ Q O →，Q N →＝μ Q O →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N .所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2. 所以1λ＋1μ为定值．10．(2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k ＞0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． 解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1＞0. 当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)． 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 由此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0. 解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意知，t ＞3，k ＞0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2.由题设知，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t. 由2|AM ＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)． 当k ＝32时上式不成立， 因此t ＝3k (2k －1)k 3－2.t ＞3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2＜0，即k －2k 3－2＜0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2＞0，k 3－2＜0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2＜0，k 3－2＞0，解得32＜k ＜2.因此k 的取值范围是(32，2)．11．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得 (k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0， 故x M ＝x 1＋x 22＝－kbk 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k ，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3.由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x .设点P 的横坐标为x p .由⎩⎨⎧ y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2p ＝k 2m 29k 2＋81，即x p ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入l 的方程得b ＝m (3－k )3，因此x M ＝k (k －3)m 3(k 2＋9). 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x p ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×k (k －3)m 3(k 2＋9)， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i ＞0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．12．(2019·潍坊模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上动点P 到两焦点F 1，F 2的距离之和为4，当点P 运动到椭圆C 的一个顶点时，直线PF 1恰与以原点O 为圆心，以椭圆C 的离心率e 为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，若P A ，PB 交直线x ＝6于不同的两点M ，N .问以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由椭圆的定义可知2a ＝4，a ＝2，若点P 运动到椭圆的左、右顶点时，直线PF 1与圆一定相交，故点P 只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点P 为上顶点(0，b )，F 1为左焦点(－c,0)，则直线PF 1：bx －cy ＋bc ＝0，由题意得原点O 到直线PF 1的距离等于椭圆C 的离心率e ，所以bc b 2＋c2＝c a ， 所以c 2＝3b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知直线P A ，PB 的斜率存在且都不为0.设k P A ＝k ，点P (x 0，y 0)，x 0≠±2，又A (－2,0)，B (2,0)，所以k P A ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1－x 204x 20－4＝－14，得k PB ＝－14k ， 直线P A 的方程为y ＝k (x ＋2)，令x ＝6，得y ＝8k ，故M (6,8k )；直线PB 的方程为y ＝－14k (x －2)， 令x ＝6，得y ＝－1k ，故N (6，－1k )．因为y M ·y N ＝8k ·(－1k )＝－8<0，所以以线段MN 为直径的圆与x轴交于两点，设为G ，H ，并设MN 与x 轴的交点为K ，在以线段MN 为直径的圆中应用相交弦定理得，|GK |·|HK |＝|MK |·|NK |＝|8k |·|－1k |＝8，因为|GK |＝|HK |，所以|GK |＝|HK |＝22，从而以线段MN 为直径的圆恒过两个定点G (6－22，0)，H (6＋22，0)．13．已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a＞b ＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6. (1)求C 2的方程； (2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且A C →与B D →同向．(ⅰ)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；(ⅱ)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①，②得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(ⅰ)因A C →与B D →同向，且|AC |＝|BD |，所以A C →＝B D →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根， 所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤ 将④，⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2， 即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2， 所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(ⅱ)由x 2＝4y 得y ′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214.令y ＝0，得x ＝x 12，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0， 所以FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，－1. 而F A →＝(x 1，y 1－1)，于是F A →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1＞0，因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角． 故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．。
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课时跟踪检测(五十八) 圆锥曲线的综合问题1．(2012·揭阳模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA ·2PF的最小值为( ) A ．－2 B ．－8116C ．1D ．02．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条3．(2012·南昌联考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作与x 轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M 、N (均在第一象限内)，若FM ＝4MN，则双曲线的离心率为( )A.54B.53C.35D.454．已知椭圆x 225＋y 216＝1的焦点是F 1，F 2，如果椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，则下面结论正确的是( )A ．P 点有两个B ．P 点有四个C ．P 点不一定存在D ．P 点一定不存在5．(2012·肇庆模拟)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________．6．(2013·长沙月考)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．7．(2012·惠州模拟)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．8．(2012·黄冈质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使得|AC |＝|BC |？并说明理由．9．(2012·韶关模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线y ＝x ＋6与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切，F 1，F 2为其左，右焦点，P 为椭圆C 上任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心为I ，且IG ∥F 1F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线过定点C ⎝⎛⎭⎫16，0，求实数k 的取值范围．1．(2012·长春模拟)已知点A (－1,0)，B (1,0)，动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB ＝2θ，|AM|·|BM |cos 2θ＝3，过点B 的直线交曲线C 于P ，Q 两点．(1)求|AM |＋|BM|的值，并写出曲线C 的方程；(2)求△APQ 的面积的最大值．2．(2012·郑州模拟)已知圆C 的圆心为C (m,0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e ＞12的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D ，B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．答 案课时跟踪检测(五十八)A 级1．选A 设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，由双曲线方程得y 2＝3(x 2－1)．1PA ·2PF＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋y 2－x －2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝⎛⎭⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，1PA ·2PF 取得最小值－2.2．选B 设该抛物线焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．3．选B 由题意知F (c,0)，则易得M ，N 的纵坐标分别为b 2a ，bca ，由FM ＝4MN 得b 2a＝4·⎝⎛⎭⎫bc a －b 2a ，即bc ＝45.又c 2＝a 2＋b 2，则e ＝c a ＝53. 4．选D 设椭圆的基本量为a ，b ，c ，则a ＝5，b ＝4，c ＝3.以F 1F 2为直径构造圆，可知圆的半径r ＝c ＝3＜4＝b ，即圆与椭圆不可能有交点．5．解析：当P 在原点处时，|PF 1|＋|PF 2|取得最小值2；当P 在椭圆上时，|PF 1|＋|PF 2|取得最大值22，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为[2,2 2 ]．答案：[2,2 2 ]6．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x 22＋y 2＝1，得3x 2＝2， ∴x ＝±63，∴A ⎝⎛⎭⎫63，63，B ⎝⎛⎭⎫－63，－63， ∴|AB |＝433. 设点C (2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离 d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·||sin (θ－φ)≤32， ∴S △ABC ＝12|AB |·d ≤12×433×32＝ 2.答案： 27．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1， 所以|AB |＝2|x 2－x 1|， 即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2， 解得b ＝22. 8．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22a ＋c ＝2＋1，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1,0)，∴0≤m ≤1. 假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1.设AB 的中点为M ， 则M ⎝⎛⎭⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1. ∵|AC |＝|BC |，∴CM ⊥AB ， 即k CM ·k AB ＝－1，∴k 2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k ＝－1，即(1－2m )k 2＝m . ∴当0≤m <12时，k ＝±m1－2m，即存在满足题意的直线l ； 当12≤m ≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l . 9．解：(1)设P (x 0，y 0)，x 0≠±a ， 则G ⎝⎛⎭⎫x 03，y 03.又设I (x I ，y I )，∵IG ∥F 1F 2， ∴y I ＝y 03，∵|F 1F 2|＝2c ，∴S △F 1PF 2＝12·|F 1F 2|·|y 0|＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·⎪⎪⎪⎪y 03， ∴2c ·3＝2a ＋2c ，∴e ＝c a ＝12，又由题意知b ＝|6|1＋1，∴b ＝3，∴a ＝2， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m ，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由题意知Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，即m 2＜4k 2＋3，又x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，则y 1＋y 2＝6m3＋4k 2，∴线段AB 的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－4km 3＋4k 2，3m3＋4k 2.又线段AB 的垂直平分线l ′的方程为 y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －16， 点P 在直线l ′上， ∴3m 3＋4k2＝－1k ⎝⎛⎭⎫－4km 3＋4k 2－16，∴4k 2＋6km ＋3＝0，∴m ＝－16k (4k 2＋3)，∴(4k 2＋3)236k 2＜4k 2＋3，∴k 2＞332， 解得k ＞68或k ＜－68， ∴k 的取值范围是－∞，－68∪⎝⎛⎭⎫68，＋∞. B 级1．解：(1)设M (x ，y )，在△MAB 中，|AB |＝2，∠AMB ＝2θ，根据余弦定理得|AM|,2＋|BM |2－2|AM |·|BM |cos 2θ＝|AB |,2＝4，即(|AM |＋|BM |)2－2|AM |·|BM | (1＋cos 2θ)＝4，所以(|AM |＋|BM |)2－4|AM |·|BM |·cos 2θ＝4.因为|AM |·|BM |cos 2θ＝3，所以(|AM |＋|BM |)2－4×3＝4，所以|AM |＋|BM|＝4. 又|AM |＋|BM |＝4＞2＝|AB |,，因此点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(点M 在x 轴上也符合题意)，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3. 所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 24＋y 23＝1，消去x ，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.①显然方程①的判别式Δ＝36m 2＋36(3m 2＋4)＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则△APQ 的面积S △APQ ＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝48×3m 2＋3(3m 2＋4)2.令t ＝3m 2＋3，则t ≥3，(y 1－y 2)2＝48t ＋1t＋2， 由于函数φ(t )＝t ＋1t在[3，＋∞)上是增函数，所以t ＋1t ≥103，当且仅当t ＝3m 2＋3＝3，即m ＝0时取等号，所以(y 1－y 2)2≤48103＋2＝9，即|y 1－y 2|的最大值为3，所以△APQ 的面积的最大值为3，此时直线PQ 的方程为x ＝1. 2．解：(1)由已知可设圆C 的方程为(x －m )2＋y 2＝5(m ＜3)， 将点A 的坐标代入圆C 的方程中，得(3－m )2＋1＝5， 即(3－m )2＝4，解得m ＝1，或m ＝5. ∴m ＜3，∴m ＝1.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切，依题意设直线PF 1的斜率为k ，则直线PF 1的方程为y ＝k (x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0，若直线PF 1与圆C 相切，则 |k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.∴4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112或k ＝12.当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为－4，∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0)． ∴由椭圆的定义得：2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(3＋4)2＋12＋(3－4)2＋12＝52＋2＝6 2. ∴a ＝32，即a 2＝18，∴e ＝432＝223＞12，满足题意．故直线PF 1能与圆C 相切．直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，把直线PF 1的方程代入椭圆E 的方程并化简得，13y 2－16y －2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝1613，y 1y 2＝－213，故S △DBF 2＝4|y 1－y 2|＝4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝241013.。