图形的平移与旋转全章复习与巩固基础知识讲解

《图形的平移与旋转》全章复习与巩固（基础）知识讲解

【学习目标】

1.了解平移、旋转、中心对称，探索它们的基本性质；

2.能够按要求作出简单平面图形经过平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次图形变换后的图形；

3.利用平移、旋转、中心对称、轴对称及其组合进行图案设计；

4.认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、平移变换

1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为

平移，平移不改变图形的形状和大小．

要点诠释：

（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内

的变换；

（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离；

（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，

而不改变图形的形状和大小．

2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在

一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等．

要点诠释：

（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；

（2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平

移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．

3. 平移与坐标变换：

(1)点的平移

点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，

y+b)(或(x，y-b))．

要点诠释：上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换．

(2)图形的平移

平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．

要点诠释：

（1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．

（2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的．

要点二、旋转变换

1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.

要点诠释：

（1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到.

（2）旋转的角度一般小于360°.

（3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向）

２．旋转变换的性质：

一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.

３．旋转作图步骤：

①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.

②分析所作图形，找出构成图形的关键点.

③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.

④按原图形连结方式顺次连结各对应点.

要点三、中心对称与图案设计

1．中心对称：

把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的．

要点诠释：中心对称的性质：

成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分．

2. 中心对称图形：

把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.

要点诠释：中心对称作图步骤：

①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.

②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.

3.图形变换与图案设计的基本步骤

①确定图案的设计主题及要求；

②分析设计图案所给定的基本图案；

③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；

④对图案进行修饰，完成图案.

4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系：

图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图

形是全等的．

【典型例题】

类型一、平移变换

1.（2015春?曲阜市期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′

（1）在图中画出△A′B′C′；

（2）写出点A′、B′的坐标；

（3）在y轴上是否存在一点P，使得△BCP与△ABC面积相等？若存在，求直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【思路点拨】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；（2）根据各点在坐标系中的位置写出点A′、B′的坐标；（3）设P（0，y），再根据三角形的面积公式求出y的值即可．

【答案与解析】

解：（1）如图所示：

（2）由图可知，A'（0，4），

B'（﹣1，1）；

（3）存在．

设P（0，y），要使得△BCP与△ABC面积相等，只需要点P到BC的距离为3即可，

则y=1或y=﹣5，

故点P的坐标是（0，1）或（0，﹣5）．

【总结升华】本题考查的是平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．

举一反三：

【变式】如下图，等边△ABC经过平移后成为△BDE，则其平移的方向是；平移的距离是；△ABC经过旋转后成为△BDE，则其旋转中心是；旋转角度是度．

【答案】水平向右，AB的长度（或BD的长度），B，120或240．

2.三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-3）、C（4，-

3.5）．

（1）在直角坐标系中画出三角形ABC；

（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；

（3）如果将△ABC看成是由△A1B1C1经过一次平移得到的，请指出这一平移方向和距离．

【答案与解析】

解：（1）如图1，

（2）如图2，A1（-2，2），B1（-3，0），C1（0，-0.5）；

（3）如图3，连接AA 1，由图可知，22(2(2))(12)5AA '=--+--=.

因此，如果将△ABC 看成是由△A 1B 1C 1经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由A 1到A 的方向，平移距离是5个单位长度.

【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换．注意平移时，要找到三角形各顶点的对应点是关键及平移的相对性．

举一反三：

【变式】如果矩形ABCD 的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A 和点C 的坐标分别为(-3，

2)和(3，-2)，则矩形的面积为( )．

A ．32

B ．24

C ．6

D ．8

【答案】B.

类型二、旋转变换

3．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ′OB ′，若∠AOB=15°，则∠AOB ′的度数是（ ）．

F A B C D E

A. 25°

B. 30°

C. 35°

D. 40°

【思路点拨】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可.

【答案与解析】

解：∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ′OB ′， ∴∠A ′OA=45°，∠AOB=∠A ′OB ′=15°，

∴∠AOB ′=∠A ′OA ﹣∠A ′OB=45°﹣15°=30°，

故选：B ．

【总结升华】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A ′OA=45°，∠AOB=∠A ′OB ′=15°是解题关键．

举一反三：

【变式】如图，△OAB 可以看成是由△OCD 绕点O 按顺时针方向旋转而来的，则旋转中心是 ，旋转角是 ，点C 的对应点是 ．

O B

C

A D

【答案】点O ，∠COA 或∠DOB ，点A ．

4.如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是AB 边上的点，BE ＝1.将△BCE 绕点C 顺时针

旋转90°得到△DCF.已知EF ＝25，求正方形ABCD 的边长.

【答案与解析】

解：设正方形ABCD 的边长为x ，

∵△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△DCF ，且BE=1，

∴DF=BE=1，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴AD=AB=x ，∠A=90°，

∴在Rt △AEF 中，AE 2+AF 2=EF 2，

∵AE=AB-BE=x-1，AF=AD+DF=x+1，

∴222

(1)(1)(25)x x -++=， 解得：x ＝3，

∴正方形ABCD 的边长为3．

【总结升华】此题考查了正方形的性质、旋转的性质以及勾股定理．注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．

举一反三：

【变式】如图，K 是正方形ABCD 内一点，以AK 为一边作正方形AKLM ，使L 、M?在AK 的同旁，连接BK

和DM ，试用旋转的思想说明线段BK 与DM 的数量关系．

【答案】数量关系为BK=DM.

∵ABCD 和AKLM 都是正方形，

∴AB=AD，AK=AM.

∵∠DAM+∠DAK=90°，∠BAK+∠DAK=90°.

∴∠DAM=∠BAK △DAM 可以看作是△ABK 以A 为旋转中心，∠BAD 为旋转角(90°)逆时针旋转而成的，故BK=DM.

类型三、中心对称与图形设计

5．如图，方格纸中△ABC 的三个顶点均在格点上，将△ABC 向右平移5格得到△A 1B 1C 1，再将△A 1B 1C 1绕点A 1逆时针旋转180°，得到△A 1B 2C 2．

（1）在方格纸中画出△A 1B 1C 1和△A 1B 2C 2；

（2）设B 点坐标为（﹣3，﹣2），B 2点坐标为（4，2），△ABC 与△A 1B 2C 2是否成中心对称？若成中心对称，请画出对称中心，并写出对称中心的坐标；若不成中心对称，请说明理由．

【思路点拨】根据平移和旋转的作图方法作图即可．根据中心对称的特点可知P点就是对称中心，从而求出A（﹣2，0），A1（3，0），P（，0）．

【答案与解析】

解：（1）如下图．

（2）△ABC与△A1B2C2成中心对称，

如下图所示，连接CC2（或BB2）交AA1于点P．

则P点就是对称中心．

∵B（﹣3，﹣2），B2（4，2），∴A（﹣2，0），A1（3，0），

∴P（，0）．

【总结升华】本题考查的是平移变换与旋转变换作图．

6．如图，图案可以看做以一个怎样的图案为“基本图案”形成的?试用两种以上的方法分析它的形成过程．

【答案与解析】

解：解法一：图案可以看做是以其中的八分之一为“基本图案”，经过三次轴对称 (第1、2根对称轴彼此垂直，而且过整个图案的中心)所形成的．

解法二：也可以看做是以图案的四分之一为“基本图案”(可以是小正方形状也可以是等腰直角三角形状)，绕整个图案的中心分别旋转90°、180°、270°所形成的．

解法三：也可以以四分之一图形为基本图形，经过两次轴对称(对称轴互相垂直，而且过整个图案的中心)所形成．

【总结升华】本题考查利用旋转设计图案的知识，基本图案的寻找较为灵活，对于不同的基本图形需要作的几何变换也不同．

举一反三：

【变式】（2016春?泸溪县期末）如图所示，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图2、图3、图4中分别画出满足以下要求的图形（用阴影表示）

（1）使所得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；（2）使所得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形；（3）使所得图形既是轴对称图形也是中心对称图形．

【答案】解：