重庆一中2021届高三上学期第一次月考数学试题含答案
设扇形的面积为 ，画面中剩余部分的面积为 ，当 与 的比值为 t 时，扇面看上去形状较为美观，
那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )
A. ͵ t π 5. 若函数 h
B. t h， t h
log h t ，h t
C. 䁠 其中 t R且
A. R
R͵
B. R͵
C. ，͵
D. t 存在零点，则实数 的取值范围是 D. ，͵
h
D. 将函数 h ⸶ h 䁠 h 的图像向左平移 个单位长度得到 h 的图像，则 h 的图像关于点 R 对
称 11. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，
并构成 一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家 鲁伊兹·布劳威尔 (L.E.J. Brouwer) ，
⸶ h，且在 ， 䁠 上有
h tt ㌳ h ，则不等式 h − t h cos h t sin h的解集是
A. t R
B. R 䁠
C. t R
D. R 䁠
二、多项选择题。本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
6. 己知 t 值为( ) A.
，函数 h ㌳ h t ͵ ⸶ h ，对任意 h ，都有 ͵ t h t h ，则 ω 的
B. 1
C.͵
D. 2
7. 函数 h
⸶ h 䁠 ㌳ h的一个个单调递减区间是(
)
A. R
B. R
C. R
D. R
8.设函数 h 在 上存在导数 h ，对任意的 h ，有 h 䁠 t h
三大“火炉”之首。某人在歌乐山修建了 一座避暑山庄 O (如图) 。为吸引游客，准备在门前两条夹角为
(即
) 的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰激凌”般的凉爽感，己知弓形花园的弦长
͵且点 ， 落在小路上，记弓形花园的顶点为 M ，
，设∠OBA = θ 。
(1) 将 ， 用含有 的关系式表示出来; (2)该山庄准备在 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园(即 泉 与山庄 距离即 值最大?
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
2. Ro R 䁠 ，
䁠 o，
䁠 o，则 A，B 的大小关系是(
)
A. A<B B. A>B
C. A B
D. A B
3.已知直线 是曲线
h 䁠 h 的切线，则 的方程不可能是
A. h t 䁠
B. h t 䁠
C. ͵h t 䁠
D.h t 䁠
4.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，
2020 年重庆一中高 2021 级高三上期第一次月考
数学试题卷 2020.9
本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟
一、单项选择题。本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 1 项是符合
题目要求的.
1. 设集合 A = {
th }，B=
t h ，则 A B= ( )
(1)求函数 h 的单调区间；
(2)若对 h R 䁠 R h oh t 恒成立，求实数 o 的最大值。
处取得极值 .
3
20. (本小题满分 12 分〉已知函数 h h t h ，其中 t (1 )求关于 h 的不等式 h t 的解集；
(2) 若
，求 h R 时，函数 h 的最大值
4
21. (本于题满分 12 分〉重庆、武汉、南京并称为主大“火炉”城市，而重庆比武汉、 南京更厉害，堪称
䁞 的重心，且
，则 c=
͵
t 的实数 α 的取值范围是 。 ⸶ 䁠 ⸶ 䁠 䁞 t ͵，点 P 是
四、解答题。本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 10 分〉己知点 t ， 在角 的终边上，且
t
㌳ t⸶
(1)求值：
㌳ 䁠⸶
(2)若 t t ͵ ，且 ㌳ t
，求 䁠 的值
2
18. （本小题满分 12 分）已知函数 h
㌳ h䁠 t ͵ ⸶ h
(1)当 h R 时，求 h 的值域；
(2) 是否存在实数 明理由。
R 䁠 ，使得 h 在 R 上单调递增?若存在，求出 t 的取值范围，若不存在，说
19. (本小题满分 12 分)己知
，函数 h h t t h 在 h
， 长度)，才使得喷
5
22. (本小题满分 12 分〉己知函数 h ㌳ h 䁠 h 䁠 o ， h 是 h 的导函数。 (1)若 t ，当 b = 1 时，函数 h 在 ， 内有唯一的极小值，求 的取值范围； (2)若 t ， t o t t ，试研究 h 的零点个数。
6
7
8
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ห้องสมุดไป่ตู้
10
个结论，正确的是
A. h 的一个周期是 C. h 在 R 上单调递减
B. h 是非奇非偶函数 D. h 的最大值大于
三、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 若幂函数 h 过点 ， ，则满足不等式 t ͵ 14. 已知 t ，o t ，则 log o 䁠 logo 的最小值是 15. 化简: ⸶ t 16. 在 䁞 中，角 ， ，䁞 的对边分别为 ，o， 若 o
9.已知 䁞 中，角 ， ，䁞 的对边分别为 ，o ， 且 ㌳
㌳ ㌳ 䁞，则角 的值不可能是( )
A.
B.
C.
D.
1
10.下列说法正确的是( ) A “h ”是“tan h ”的充分不必要条件:
B. 命题 : “若 t o，则 t o ” 的否定是真命题:
C.命题“ h
，h 䁠
h
”的否定形式是“ h ，h 䁠 ”
简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 h 存在 一个点h ，使得 h h ，那么我们称该函数为
“不动点函数”，下列为 “不动点函数”的是
A. h h 䁠 h
C. h
h t Rh t h Rh t
12. 已知函数 h ㌳
⸶h䁠 ⸶
B. h h t h t ͵
D. h
ht
㌳ h ，其中 h 表示不超过实数 h 的最大整数，关于 h 有下述四
2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合(){}ln 1A y y x ==-，{B y y ==，则A B =（ ）A ．[)0,2B ．()0,2C ．[]0,2D ．[)0,1【答案】A【解析】先分别利用对数型函数以及指数型函数求值域的方法求出集合,A B ，注意集合中的代表元素，再利用集合的交集运算求解即可. 【详解】∵(){}ln 1A y y x R ==-=，{[)0,2B y y ===，∴[)0,2AB =.故选：A. 【点睛】本题主要考查了集合间的运算以及对数函数和指数函数.属于较易题.2．设a ，()0,b ∈+∞，A =，B =，则A ，B 的大小关系是（ ）A ．AB < B ．A B >C ．A B ≤D ．A B ≥【答案】B【解析】根据题意计算做差可得22A B >，得到答案. 【详解】由a ，()0,b ∈+∞，得0A =>，0B =>22220A B -=-=>，∴22A B >，故A B >， 故选：B. 【点睛】本题考查了做差法比较大小，意在考查学生的计算能力和推断能力.3．已知直线l 是曲线2y x =的切线，则l 的方程不可能是（ ）A ．5210x y -+=B ．4210x y -+=C ．13690x y -+=D ．9440x y -+=【答案】B【解析】利用导数求出曲线2y x =的切线的斜率的取值范围，然后利用导数的几何意义判断各选项中的直线是否为曲线2y x =的切线，由此可得出结论.【详解】对于函数2y x =，定义域为[)0,+∞，则22y '=+>，所以，曲线2y x =的切线l 的斜率的取值范围是()2,+∞.对于A 选项，直线5210x y -+=的斜率为52，令522y '=+=，解得1x =，此时3y =，点()1,3在直线5210x y -+=上，则直线5210x y -+=与曲线2y x =相切；对于B 选项，直线4210x y -+=的斜率为2，该直线不是曲线2y x =的切线；对于C 选项，直线13690x y -+=的斜率为1326>， 令1326y '=+=，解得9x =，此时21y =，点()9,21在直线13690x y -+=上，所以，直线13690x y -+=与曲线2y x=相切；对于D 选项，直线9440x y -+=的斜率为924>， 令924y '==，解得4x =，此时10y =，点()4,10在直线9440x y -+=上，所以，直线9440x y -+=与曲线2y x =相切. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义验证函数的切线方程，考查计算能力，属于中等题. 4．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S，圆面中剩余部分的面积为2S，当1S与2S的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A．(35)π-B．(51)πC．51)πD．52)π【答案】A【解析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角．【详解】1S与2S所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S与2S所在扇形圆心角分别为,αβ，则512αβ=，又2αβπ+=，解得(35)απ=-故选:A【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易．扇形的面积公式：21122S r lrα==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l是扇形的弧长．5．若函数()(),2log2,xaa x af xx x a⎧<<⎪=⎨->⎪⎩（其中0a>，1a≠）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．()1,11,32⎛⎫⋃⎪⎝⎭B．(]1,3C．()2,3D．(]2,3【答案】C【解析】根据题中所给的函数有零点，结合解析式的特征，求得函数的零点，再根据分段函数的意义再结合式子的特征求得结果.【详解】因为x a>时，()log(2)af x x=-，所以2a>，若函数若有零点，则()log 20a x -=，解得3x =， 故3a >，又2a >，∴实数a 的取值范围是()2,3． 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有根据分段函数有零点求参数的取值范围，属于简单题目.6．已知02ω<≤，函数()sin f x x x ωω=，对任意R x ∈，都有()3f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则ω的值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】化简函数()y f x =的解析式为()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题意可知，点,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，结合02ω<≤可求得ω的值. 【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据()3f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，得,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，则2sin 0663f ππωπ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin 063πωπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 02ω<≤，0363ππωπ∴-<-≤，所以063πωπ-=，解得2ω=.故选：D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数值，同时也考查了辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.7．函数()2cos sin 2f x x x =+的一个单调减区间是（ ）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】利用导数求得函数()y f x =的单调递减区间，利用赋值法可得出结果. 【详解】()2cos sin 2f x x x =+，该函数的定义域为R ，()()()222sin 2cos2212sin 2sin 22sin sin 1f x x x x x x x '=-+=--=-+-()()2sin 12sin 1x x =-+-，1sin 1x -≤≤，可得sin 10x +≥，令()0f x '<，可得2sin 10x ->，即1sin 2x >，解得()52266k x k k Z ππππ+<<+∈. 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()52,266k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. 当0k =时，函数()y f x =的一个单调递减区间为5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 5,,4266ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 对任意的k Z ∈，50,2,2666k k πππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5,2,2266k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，55,2,2666k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()y f x =的一个单调递减区间为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，考查计算能力，属于中等题. 8．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭的解集是（ ）A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项. 【详解】设()()cos F x f x x =-，∵()()2cos f x f x x +-=，即()()cos cos f x x x f x -=--，即()()F x F x =--，故()F x 是奇函数，由于函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以，函数()f x 在R 上连续，则函数()F x 在R 上连续.∵在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，∴()()sin 0F x f x x ''=+>， 故()F x 在[)0,+∞单调递增，又∵()F x 是奇函数，且()F x 在R 上连续，∴()F x 在R 上单调递增， ∵()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭， ∴()cos sin cos 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥--=---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即()2F x F x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，∴2x x π≥-，故4x π≥，故选：B ． 【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.二、多选题9．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin sin B A C =，则角B 的值不可能是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°【答案】CD【解析】先利用正弦定理得到2b ac =，再利用余弦定理和基本不等式得到0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即可判断. 【详解】∵2sin sin sin B A C =， 由正弦定理得： ∴2b ac =，∴2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，当且仅当a c =时取等号， 又0B π<<，故0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：CD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理，考查了基本不等式.属于较易题. 10．下列说法正确的是（ ） A ．“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件B ．命题:p “若a b >，则22am bm >”的否定是真命题C ．命题“0R x ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是“R x ∀∈，12x x+>” D ．将函数()cos2f x x x =+的图象向左平移4π个单位长度得到()g x 的图象，则()g x 的图象关于点0,4π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ABD【解析】解方程tan 1x =，利用集合的包含关系可判断A 选项的正误；判断命题p 的真假，可判断出该命题的否定的真假，进而可判断B 选项的正误；利用特称命题的否定可判断C 选项的正误；利用图象平移得出函数()y g x =的解析式，利用对称性的定义可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，解方程tan 1x =，可得()4x k k Z ππ=+∈，4π⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，所以，“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件， A 选项正确；对于B 选项，当0m =时，22am bm =，则命题p 为假命题，它的否定为真命题，B 选项正确；对于C 选项，命题“0R x ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是“R x ∀∈，12x x+<”，C 选项错误；对于D 选项，将函数()cos2f x x x =+的图象向左平移4π个单位长度， 得到()cos 2sin 2444g x x x x x πππ⎛⎫=+++=-++ ⎪⎝⎭， ()()sin 2sin 244g x x x x x ππ-=---+=-+，则()()2g x g x π+-=，故函数()y g x =的图象关于点0,4π⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 选项正确； 故选：ABD. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查了充分不必要条件、命题的否定的真假、特称命题的否定的判断，同时也考查了函数对称性的验证，考查推理能力，属于中等题.11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）A ．()2xf x x =+B ．()23g x x x =--C ．()21,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．()ln 1f x x =-【答案】BC【解析】只要解方程00()f x x =，观察它有没有实解即可得， 【详解】选项A ，若()00f x x =，则020x =，该方程无解，故A 中函数不是“不动点”函数；选项B ，若()00g x x =，则200230x x --=，解得03x =或-1，故B 中函数是“不动点”函数；选项C ，若()00f x x =，则01x ≤，0021xx -=，或01x >，002x x -=，解得01x =，故C 中函数是：“不动点”函数；选项D ，若()00f x x =，则00ln 1x x -=，该方程无解，故D 中函数不是“不动点”函数. 故选：BC. 【点睛】本题考查新定义“不动点”，解题关键是根据新定义把问题转化为方程有无实数解． 12．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论，正确的是（ ） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 是非奇非偶函数C ．()f x 在(0,)π单调递减D ．()f x【答案】ABD【解析】先根据周期函数定义判断选项A ，再根据[]y x =函数的意义，转化()f x 为分段函数判断B 选项，结合三角函数的图象与性质判断C ，D 选项. 【详解】[][]()2sin co (cos in )s s f x x x f x π+=+=，()f x ∴的一个周期是2π，故A 正确；sin11,01,0,2cos1,21sin1,,2()3cos1sin1,,23cos1,,22cos1,,02x x x x f x x x x πππππππππ+=⎧⎪⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎪⎛⎤⎪-∈ ⎪⎥=⎝⎦⎨⎪⎛⎫⎪-∈ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎫⎪∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎛⎫⎪∈- ⎪⎪⎝⎭⎩，()f x ∴是非奇非偶函数，B 正确；对于C ，(0,)2x π∈时，()1f x =，不增不减，所以C 错误；对于D ，[0,)2x π∈，()sin11sin11 1.742f x π=+>+=+>>D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性，奇偶性，考查了特例法求解选择题，属于中档题.三、填空题13．若幂函数()f x 过点()2,8,则满足不等式(3)(1)f a f a -≤-的实数a 的取值范围是______. 【答案】(,2]-∞【解析】先求得幂函数()f x 的解析式，在根据()f x 的单调性求得不等式(3)(1)f a f a -≤-的解集.【详解】设()f x x α=，代入点()2,8，得28,3αα==，所以()3f x x =，所以()f x 在R 上递增，所以(3)(1)31f a f a a a -≤-⇒-≤-，解得2a ≤，所以实数a 的取值范围是(,2]-∞.故答案为：(,2]-∞ 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性，属于基础题. 14．已知1a >，1b >，则log log 216a b b a +的最小值是______. 【答案】8【解析】利用换底公式可得log log 1a b b a ⨯=，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为1a >，1b >，所以log 0,log 0b a a b >>，因为lg log lg log log 1lg log lg aa b bb b a b a a a b ⎧=⎪⎪⇒⨯=⎨⎪=⎪⎩，所以，log log 2168a b b a +≥==，当log 2a b =时取“=”. 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查指数式的运算、考查了换底公式与基本不等式的应用，属于中档题. 15．4cos50tan40-=______．【解析】【详解】4sin 40cos40sin 404cos50tan 40cos 40--=2cos10sin 30cos10sin10cos30cos 40--=,1cos10sin1022cos 40⎫-⎪⎝⎭=403cos 40==【考点】三角函数诱导公式、切割化弦思想.16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，()cos25cos 3A B C ++=-，点P 是ABC 的重心，且27AP =，则c =______.【答案】4【解析】首先根据余弦二倍角公式得到1cos 2A =，设BC 边上的中线为AD ，得到7AD =，从而得到()12AD AB AC =+，再平方解方程即可得到答案. 【详解】因为()cos25cos 3A B C +-＋＝，所以22cos 5cos 20A A -+=， 所以1cos 2A =或cos 2A =（舍去）. 设BC 边上的中线为AD ，如图所示：因为27AP =，所以7AD = 又因为()12AD AB AC =+， 所以()222124AD AB AC AB AC =++⋅， 所以()22172cos 4c b bc A =++，2211722242⎛⎫=++⨯⨯ ⎪⎝⎭c c ，化简得22240c c +-=，解得4c =或6c =-（舍去）. 故答案为：4 【点睛】本题主要平面向量数量积的应用，同时考查了余弦二倍角公式，属于简单题.四、解答题17．已知点()2,1P -在角α的终边上，且02απ≤< .（1）求值：2sin cos 4sin cos αααα-+；（2）若32ππβ<<，且sin 210αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求2αβ+的值.【答案】（1）2；（2）724απβ+=. 【解析】先利用同角三角函数的基本关系得到sin ,cos ,tan ααα；（1）原式分子分母同除cos α得到正切，代入已知量即可得出结果；（2）先利用已知角的范围求得5224παπβ<-<，求出cos 2αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用22ααββα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，最后利用两角和的余弦公式求解即可得出结果. 【详解】由题意：sin α=，cos α=， 1tan 2α=-，且2παπ<<，（1）2sin cos 2tan 124sin cos 4tan 1αααααα--==++；（2）∵32ππβ<<，224παπ-<-<-，∴5224παπβ<-<，∴cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴cos cos cos cos sin sin 2222ααααββαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5521010⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎭=⎝-， ∵5242παβπ<+<， ∴724απβ+=. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式.属于中档题.18．已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）是否存在实数()2,t ∈+∞，使得()f x 在()2,t 上单调递增？若存在，求出t 的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】（1）()[]2,3f x ∈；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）由二倍角公式降幂，再由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得值域；（2）求出函数的单调区间，由2在减区间内部，得结论． 【详解】解：（1）∵()22sin 24f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos 21sin 212sin 223x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.又∵,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22633x πππ≤-≤，即212sin 233π⎛⎫≤+-≤ ⎪⎝⎭x ， ∴()[]2,3f x ∈； （2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+()k Z ∈得51212k x ππππ-+≤≤+()k Z ∈， 所以()f x 的递增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，递减区间是511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，令0k =，函数在511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，而5112,1212ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即函数在112,12π⎛⎫⎪⎝⎭上是递减的，故不存在实数()2,t ∈+∞，使得()f x 在()2,t 上递增. 【点睛】本题考查正弦型函数的值域，考查正弦型函数的单调性，解题方法由二倍角公式，两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解． 19．已知R a ∈，函数()1ln f x ax x =--在1x =处取得极值.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的最大值. 【答案】（1）函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增；（2）211e -. 【解析】（1）首先对函数求导，根据函数()1ln f x ax x =--在1x =处取得极值，得到()110f a '=-=，求得1a =，根据导数的符号求得其单调区间； （2）将不等式转化为1ln 1x b x x +-≥，之后构造新函数()1ln 1xg x x x=+-，利用导数求得其最小值，进而求得最值，得到结果. 【详解】()11ax f x a x x-'=-=，由()110f a '=-=得1a =，()1ln =--f x x x ， （1）()1x f x x-'=，由0f x 得1x >，由0f x 得01x <<，故函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增.（2）()1ln 21x f x bx b x x≥-⇒+-≥， 令()1ln 1x g x x x =+-，则()2ln 2x g x x -'=，由0g x，得2x e >，由0g x ，得20x e <<，故()g x 在()20,e上递减，在()2e ,+∞上递增，∴()()22min 1e1eg x g ==-，即211e b ≤-， 故实数b 的最大值是211e-.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据极值点求参数的值，利用导数求函数的单调区间，利用导数求参数的取值范围，属于中档题目. 20．已知函数()1f x x ax =-，其中0a >. （1）求关于x 的不等式()2f x a>的解集； （2）若12a =，求[]0,x m ∈时，函数()f x 的最大值.【答案】（1）2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）2max 2,0121,1212,212m m m y m m m m ⎧-<<⎪⎪⎪=≤≤+⎨⎪⎪->+⎪⎩. 【解析】（1）根据分段函数定义域解不等式可求得答案； （2）画出函数()f x 的图象，数形结合可求得()f x 的最大值 【详解】（1）()()()11,11,x ax x af x x x x a α⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，(0)a >当1x a ≥时，由()2>f x a ，得(12)x ax a ->，1(2)()0ax x a-+>，20ax ->，2x a>， 当1x a <时，由()2>f x a ，即(1)2x ax a ->，220ax x a -+<，令220ax x a-+=，180∆=-<，方程无解，而0a >，所以220ax x a-+<无解，综上所述，2x a >，所以不等式()2f x a >的解集为2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）12a =时()22,21212,22x x x f x x x x x x ⎧-≤⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩，∵()112f =，由1122x x -=得另一个根21x =，由()f x 的图像可知，当01m <<时，函数的最大值为()2122m m f m m m ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；当121m ≤≤+时，函数的最大值为12； 当21m >+时，函数的最大值为()22m f m m =-综上所述，函数的最大值为2max2,0121,1212,212m m m y m m m m ⎧-<<⎪⎪⎪=≤≤+⎨⎪⎪->+⎪⎩. 【点睛】本题考查了解分段函数不等式的问题，分段函数求最值的问题，考查了数形结合的思想. 21．重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄O （如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为6π（即AOB ∠）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长23AB =且点A ，B 落在小路上，记弓形花园的顶点为M ，且6MAB MBA π∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即OA ，OB 长度），才使得喷泉M 与山庄O 距离即值OM 最大？ 【答案】（1）43OA θ=；436OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）当632OB OA ==时，OM 取最大值.【解析】（1）在OAB 中，利用正弦定理即可将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来； （2）在OMB △中，由余弦定理得出2OM 21632283πθ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可得出OM 的最大值，再求出,OA OB 的长度即可. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理可知sin sin 6OA ABπθ=，则OA θ=；同理由正弦定理可得sin sin 6OB ABOABπ=∠，则6OB OAB πθ⎛⎫=∠=+⎪⎝⎭， （2）∵AB =6MAB MBA π∠=∠=，∴2AM BM ==，在OMB △中，由余弦定理可知2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭248sin 4cos 666πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭241cos 24233ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2823cos 228228333πππθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦， ∵50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴2272,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴2sin 21,32πθ⎡⎫⎛⎫+=-⎪⎢⎪⎪⎝⎭⎣⎭， 当2sin 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即512πθ=时， OM4=+，此时5sin cos cos sin 124646OA πππππ⎫==+=⎪⎭，5551261212OB πππππ⎛⎫⎛⎫=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即当OB OA ==OM 取最大值.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的实际应用，涉及了三角函数求值域，属于中档题. 22．已知函数()sin ln()f x x a x b =++，()g x 是()f x 的导函数.（1）若0a >，当1b =时，函数()g x 在(,4)π内有唯一的极小值，求a 的取值范围； （2）若1a =-，1e 2b π<<-，试研究()f x 的零点个数.【答案】（1）(0,25sin 4)a ∈-；（2）()f x 有3个零点. 【解析】（1）先求导得2sin )(1)(ag x x x '=--+，求出2()0(1)a g ππ'=-<+()4sin 425a g '=--，再由sin 4025a --≤和sin 4025a-->两种情况讨论求得a 的取值范围；（2）分析可知，只需研究(,)b π-时零点的个数情况，再分(,),(,)22x b x πππ∈-∈两种情形讨论即可. 【详解】解：（1）当1b =时，si ()(l )n 1n f x a x x =++，cos 1()()x x ag f x x '==++， 2sin )(1)(a g x x x '=--+()0a >在(),4π是增函数，2()0(1)ag ππ'=-<+，(4)sin 425ag '=--， 当(4)sin 4025ag '=--≤时，()g x 在(,4)π是减函数，无极值； 当(4)sin 4025ag '=-->时，0(,4)x π∃∈，使得00()g x '=， 从而()g x 在0(,)x π单调递减，在0(,4)x 单调递增，0x 为()g x 唯一的极小值点，所以()0,25sin 4a ∈-（2）当1a =-时，()sin ln()f x x x b =-+，(1,)2b e π∈-，可知，（i ）(),x π∈+∞时，()0f x <，无零点；所以只需研究(,)b π-，1()cos f x x x b'=-+，（ii ）(,)2x ππ∈时，1()cos 0f x x x b'=-<+，可知()f x 单调递减， ()1ln()1ln()02222f b e ππππ=-+>-+-=，()0f π<，存在唯一的(,)2s ππ∈，()0f s =；（iii ）当(,)2x b π∈-，21()sin ()f x x x b ''=-++是减函数，且21(0)00f b ''=+>，21()102()2f b ππ''=-+<+ 则1(0,)2x π∃∈，1()0f x ''=，()f x '在1(,)b x -是增函数，1()2x π，是减函数，并且 lim ()0x b f x +→-'<，()1010f b'=->，1()022f b ππ'=-<+， 所以2(,0)x b ∃∈-，2()0f x '=；3(0,)2x π∃∈，3()0f x '=，且知()f x()f x 在()2,b x -减，在()23,x x 增，在3(,)2x π减，又因为()lim 0x b x f +→->，()00ln 0f b =-<，()02f π>，(,0)m b ∃∈-，()0f m =， (0,)2n π∃∈，()0f n =，综上所述，由（i ）（ii ）（iii ）可知，()f x 有3个零点. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
重庆市一中2021届高三数学11月月考试题 理(含解析)
重庆市一中2021届高三数学11月月考试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案） 1.在平面直角坐标系中，点sin100,cos 0()20P ︒︒位于第（ ）象限. A. 一 B. 二C. 三D. 四【答案】D 【解析】 【分析】由钝角的正弦值大于0，再由诱导公式得0cos 200<，即可得到答案. 【详解】()sin1000,cos 200cos 18020cos 200︒︒︒︒︒>=+=-<，∴点()sin100,cos 200P ︒︒位于第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查三角函数值的符号、诱导公式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．2.设,,x y z ∈R ，条件p ：22xz yz >，条件q ：x y >，则p 是q 的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】条件p ：22xz yz >，⇒条件q ：x y >；反之不成立：例如取0z =，则22xz yz =即可判断出．【详解】∵条件p ：22xz yz >⇒条件q ：x y >；反之，则不成立；例如取0z =，则22xz yz =． 则p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定、不等式的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力.3.设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若m α⊆，n β⊆，则m ，n 为异面直线 B. 若m α⊥，//n α，则m n ⊥ C. 若//m α，//m β，则//αβD. 若αβ⊥，m α⊆，n β⊆，则m n ⊥ 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中线、面的位置关系对每个选项一一判定，即可得到答案. 详解】对A ，若m ⊆α，n ⊆β，则m ，n 可能平行、相交、异面．故A 错误；对B ，若m ⊥α，则m 垂直平面α内所有的直线，又n ∥α，所以m ⊥n ．故B 正确； 对C ，若m ∥α，m ∥β，则α，β可能相交，平行．故C 错误；对D ，若α⊥β，m ⊆α，n ⊆β，则m ，n 可能平行、相交、异面．故D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查学生的空间想象能力.4.已知正数a ，b 满足1a b +=，则9a bab+的最小值为（ ） A. 4B. 6C. 16D. 25【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得99191()a b a b ab b a b a +⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式即可求解． 【详解】正数,a b ，满足1a b +=，则991919()101016a b b a a b ab b a b a a b +⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当9b aa b =且1a b +=即13,44a b ==时取得最小值16． 故选：C ．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑． 5.设函数()1sin cos f x x x =+，则下列说法中正确的是（ ） A. ()f x 为奇函数 B. ()f x 为增函数C. ()f x 的最小正周期为2πD. ()f x 图象的一条对称轴为4πx =-【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的性质分别进行判断即可． 【详解】因为1()1sin cos 1sin 22f x x x x =+=+， 对A ，函数()f x 不关于原点对称，所以不为奇函数，故A 错误； 对B ，函数()f x 在R 上不具有单调性，故B 错误； 对C ，函数()f x 的周期22T ππ==，故C 错误； 利用排除法可得D 正确. 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式进行化简是解决本题的关键． 6.设正项等比数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若563S a S =+，则{}n a 的公比q =（ ）B. 1【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可算出结果．【详解】∵等比数列{}n a 的各项为正数，0q ∴>，∵563S a S =+，∴536S S a -=，即：546a a a +=，∴541131a q a q a q +=，化简得：210q q --=，解得q =又∵0q >，∴q =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，求解时注意公比的范围，考查运算求解能力．7.已知集合M x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，232x N y y ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，则M N ⋃=（ ）A. (0,1]B. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (0,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合M 和N ，由此能求出M N ⋃．【详解】∵12210,log (21)0,x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩⇒集合1|12M x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，∵323x+>,∴22||0323x N y y y y ⎧⎫⎧⎫===<<⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎩⎭， ∴{|01}(0,1]M x x ⋃=<=N ． 故选：A ．【点睛】本题考查并集的求法、不等式的求解、函数的定义域、值域等知识，考查运算求解能力．8.已知向量a ，b 满足||2a =，3b =，4a b +=，则||a b -=（ ）B.D. 3【答案】C 【解析】 【分析】对||4a b +=两边平方求出2a b ⋅的值，再求出2()a b -的值，从而求出||a b -的值． 【详解】∵||2a =，||3b =，180，∴222()213216a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅=， ∴23a b ⋅=，∴222()213213310a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅=-=， ∴||10a b -=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图中的圆的半径均为2，则该几何体的体积为（ ）A. 8πB.28π3 C. π D. 7π6【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可得几何体为34个球，根据球的体积公式可求得结果. 【详解】根据几何体的三视图知，该几何体是半径为2的球体，切去14个球后所剩余部分，如图所示∴该几何体的体积为3432834V ππ=⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查球的体积的求解，关键是能够利用三视图准确还原几何体，属于基础题. 10.王老师是高三的班主任，为了在寒假更好的督促班上的学生完成学习作业，王老师特地组建了一个QQ 群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该QQ 群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ 群人数的最小值为（ ） A. 20 B. 22 C. 26 D. 28【答案】B 【解析】 【分析】设教师人数为x ，由题意判断人数关系，求出x 的值后，即可求得答案． 【详解】设教师人数为x ， ∵家长人数多于教师人数， ∴家长人数≥1x +， ∵女学生人数多于家长人数， ∴女学生人数≥2x +， ∵男学生人数多于女学生人数， ∴男学生人数≥3x +， ∴总人数≥46x +，∵教师人数的两倍多于男学生人数， ∴23x x >+， ∴3x >，当4x =时，家长人数为5，女学生人数为6，男学生人数为7，满足题意，总人数为22． 故选：B ．【点睛】本题考查集合的应用问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点，F 在线段1DD 上.给出下列判断：①存在点F 使得1A C ⊥平面1B EF ；②在平面1111D C B A 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置无关；④三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关.其中正确判断的有（ ）A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】运用线面垂直的定义，结合反证法即可判断①；运用线面平行的判定定理，即可判断②；由二面角的平面角的定义，结合向量法即可判断③；由线面平行，结合三棱锥的体积公式可以判断④．【详解】对于①，假设存在F 使得1A C ⊥平面1B EF ，则1A C ⊥1B E ，又BC ⊥1B E ，BC ∩1A C ＝C ，∴1B E ⊥平面1A BC ，则1B E ⊥1A B ，这与1A B ⊥1AB 矛盾，所以①错误； 对于②，因为平面1B EF 与平面1111D C B A 相交，设交线为l ，则在平面1111D C B A 内与l 平行的直线平行于平面1B EF ，故②正确；对于③，以D 点为坐标原点，以DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立空间坐标系，则平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =而平面1B EF 的法向量n ，随着F 位置变化，故平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置有关，故③错误；对于④，三棱锥1B B EF -的体积即为三棱锥1F BB E -，因为1DD ∥平面11ABB A ，所以，当F 在线段1DD 上移动时，F 到平面11ABB A 的距离不变，故三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关，即④正确． 故选：D ．【点睛】本题考查线面垂直和平行的判断，以及二面角的求法和三棱锥体积，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题．12.已知函数()4cos f x x x π=-，等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=，则189a a a ++=（ ）A. 6B. 3C.34D.32【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得函数在R 上单调递增，由()4cos f x x x π=-，可得1142cos cos 4222f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．根据等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=，即()()66334f a d f a d -++=，可得612a =．再利用等差数列的性质即可得出．【详解】∵函数()4cos f x x x π=-，'0(n )4si f x x ππ+=≥，∴()f x 在R 上单调递增，∴对任意实数t ，1142cos cos 4222f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-++=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∵等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=， ∴391a a +=，∴612a =， ∵1891633(5)32a a a a d a ++=+==. 故选：D ．【点睛】本题考查函数的性质、等差数列的性质、三角函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13.实数x ，y 满足402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32x y +的最大值为________.【答案】12 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由实数,x y ，满足402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，作出可行域如图，可得(4,0)A ，化目标函数32z x y =+为322zy x =-+， 由图可知，当直线322zy x =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为342012z =⨯+⨯=．故答案为：12．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为________. 【答案】840 【解析】 【分析】分析数列的奇数项，得出奇数项为222113151,,,222---⋯，根据此规律代入求出即可．【详解】奇数项为 222113151,,,222---⋯,根据此规律有：第41项为24118402-=，故答案为：840．【点睛】本题考查观察分析猜想归纳求数列的通项公式的方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题.15.已知正三棱锥的底面边长为________. 【答案】100π 【解析】 【分析】先画出图形，先根据正三棱锥的边长和体积求出正三棱锥的高，再根据正三棱锥的性质，确定外接球的球心在正三棱锥的高线上，利用勾股定理即可求出外接球的半径．【详解】如图，根据正三棱锥的性质有点P 在底面ABC 的投影为三角形ABC 的外心，设为D ， 其外接球的球心在PD 上，设为点O ，设外接球半径为r ，三角形ABC 的外接圆半径为R ，∵13V sh =，∴11322PD =⨯⨯， 所以8PD =， 由正弦定理有2sin ABR C=， 所以4AD R ==，在Rt ADO ∆中有，222AD OD AO +=， 所以2224(8)r r +-=解得=5r ， 所以外接球表面积24100S r ππ==， 故答案为：100π．【点睛】本题考查正三棱锥外接球半径的求法，需要用到球心的性质，考查空间想象能力和运算求解能力．16.设函数2(0)()(0)xe xf x xx ⎧≥=⎨<⎩，若方程(())f f x λ=恰有两个不相等的实根1x ，2x ，则12x x +的最大值为________.【答案】2ln 22- 【解析】 【分析】由题意，令2,0(),0xe x e x g x e x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数()g x λ=有两个不相等的实根12,x x ，画出图象，显然()()22112x x e g x eg x eλ====，进而得到()12112ln x x x x +=+-，由此即可得解．【详解】当0x ≥时，()1xf x e=，则(())xe f f x e =；当0x <时，2()0f x x =>，则2(())x f f x e =，令2,0(),0xe x e x g x e x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数()g x λ=有两个不相等的实根12,x x ，即函数()y g x =与直线y λ=有且仅有两个交点，作出图象如图所示，由图象可知，e λ≥，11x ≤-，0x ≥，且()()22112x xe g x e g x e λ====， ∴221xx e =，则()212ln x x =-，∴()12112ln x x x x +=+-，令()2ln()h x x x =+-，1x ≤-，则2()1h x x'=+，令()0h x '=，解得2x =-， 显然，当(,2)x ∈-∞-时，函数()h x 为增函数， 当(2,1)x ∈--时，函数()h x 为减函数，∴max ()(2)2ln 22h x h =-=-． 故答案为：2ln 22-．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想及数形结合思想，运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置） 17.法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对ABC 而言，若其内部的点P 满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则称P 为ABC 的费马点.如图所示，在ABC 中，已知45BAC ∠=︒，设P 为ABC 的费马点，且满足45PBA ∠=︒，2PA =.（1）求PAC的面积；（2）求PB 的长度.【答案】（13；（231. 【解析】 【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理可得15PAB ︒∠=，30PAC ︒∠=，可得在PAC ∆中，30PCA ︒∠=，可得2PA PC ==，利用三角形的面积公式即可求解PAC ∆的面积．（2）利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可求sin 45︒，sin15︒的值，在PAC ∆中，由正弦定理可得PB 的值．【详解】（1）由已知1801204515PAB ∠=︒-︒-︒=︒，所以451530PAC ∠=︒-︒=︒. 在PAC ∆中，1801203030PCA ∠=︒-︒-︒=︒，故2PA PC ==.所以PAC ∆的面积113sin 22322S PA PC PAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=. （2）在PAB △中，由正弦定理2sin15sin15sin 45sin 45PB PA PB ︒=⇒=︒︒︒（*）而()232162sin15sin 45302-︒=-=⨯-⨯=︒︒， 2sin 452=°代入（*）式得31PB =-.【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的面积公式、特殊角的三角函数值、两角差的正弦函数公式、正弦定理在解三角形中的综合应用，考查转化与化归思想、函数与方程思想．18.数列{}n a 满足1323nn n a a +=+⨯，13a =.（1）证明：3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项之和为n S .【答案】（1）证明见解析；（2）3nn S n =⋅.【解析】 【分析】（1）将等式两边同除以13n +，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．【详解】（1）由已知11111323223333333n n n n n n n n n n n a a a a a ++++++⨯==+⇒-=， 由定义知3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且公差为23，首项为1113a =，故12211(1)(21)3333n n n n a n n a n -+=+-=⇒=+. （2）由已知0121335373(21)3n n S n -=⨯+⨯+⨯+++，故1233335373(21)3n n S n =⨯+⨯+⨯+++，相减得：()01212332333(21)3n n n S n --=⨯++++-+，即()103132332(21)32313n n n nS n n ---=⨯+⨯-+=-⋅-，所以3n n S n =⋅.【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．19.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，且该四棱锥的每条棱长均为2，设BC ，CD 的中点分别为E ，F ，点G 在线段PA 上，如图.（1）证明：EF GC ⊥；（2）当//BG 平面PEF 时，求直线GC 和平面PEF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）35. 【解析】 【分析】 （1）设ACBD O =，由正棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，得到PO ⊥EF ，再由ABCD 是正方形结合EF 为△BCD 的中位线，可得EF ⊥AC ，得到EF ⊥平面PAC ，进一步得到EF ⊥GC ； （2）分别以PB ，OC ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出A ，P ，E ，F 的坐标，设(,,)G x y z ，且PG PA λ=，其中01λ≤≤，求得(0,,1)G λλ--，设平面PEF 的一个法向量为(,,)m a b c =，求得(0,2,1)m =，结合BG ∥平面PEF ，利用数量积为0求得λ，进一步得到120,,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又(0,1,0)C ，求出直线GC 的法向量为(0,2,1)=-n ．设GC 和平面PEF 所成角为θ，再由sin |cos ,|GC m θ=<>求解．【详解】（1）证明：由已知P ABCD -为正四棱锥，设AC ，BD 交于点O ， 由正棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，所以PO EF ⊥，由于正方形ABCD 满足AC BD ⊥，EF 为BCD ∆的中位线，故//EF BD ，所以EF AC ⊥， 所以EF ⊥平面PAC ，而CG ⊆平面PAC ，所以EF GC ⊥. （2）分别以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立如图坐标系，此时(0,1,0)A -，(0,0,1)P ，11,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 设(,,)G x y z ，且PG PA λ=，其中01λ≤≤， 即(,,1)(0,1,1)(0,,1)x y z G λλλ-=--⇒--， 设平面PEF 的法向量为(,,)m a b c =， 由于11,,122EP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(1,0,0)EF =-， 由00m EP m EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩解得(0,2,1)m =，由//BG 平面PEF 知0(1,,1)(0,2,1)130BG m BG m λλλ⊥⇒⋅=⇒---⋅=-=，解得13λ=，此时120,,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于(0,1,0)C ，故420,,33GC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以直线GC 的方向向量(0,2,1)=-n ， 设GC 和平面PEF 所成角为θ， 则003sin |cos ,|5||||0n m GC m n m θ⋅⨯=<>===⋅+.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． 20.已知函数()2ln f x x x =+.（1）经过点()0,2-作函数()f x 图象的切线，求切线的方程； （2）设函数()()()1xg x x e f x =--，求()g x 在(0,)+∞上的最小值.【答案】（1）32y x =-；（2）22ln 2-. 【解析】 【分析】（1）设切点坐标为()00,x y ，斜率()0k f x '=，利用点在曲线上和切线上，可得关于0,x k 的方程；（2）对()g x 求导，设出隐零点，根据单调性求出最小值，代入化简即可． 【详解】（1）由于2()1f x x'=+，设切点坐标为()00,x y ， 则0002ln y x x =+，切线斜率()0021k f x x '==+； 另一方面0000022ln 2y x x k x x +++==， 故0000002ln 221ln 013x x x x k x x +++=⇒=⇒=⇒=， 此时切点坐标为()1,1，所以切线方程为()131y x -=-，即32y x =-.（2）由已知()22ln xg x xe x x =--，故12()(1)21(1)xx g x x e x e x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于(0,)x ∈+∞，故10x +>，由于2()xh x e x=-在(0,)+∞单调递增， 同时0lim ()x h x →=-∞，lim ()x h x →+∞=+∞，故存在00x >使得()00h x =， 且当()00,x x ∈时()0h x <， 当()0,x x ∈+∞时()0h x >， 所以当()00,x x ∈时()0g x '<，当()0,x x ∈+∞时()0g x '>，即函数()g x 先减后增. 故()()0min 0000()2ln xg x g x x e x x ==-+.由于()0000000202ln ln 2x x h x e x e x x x =-=⇒=⇒+=， 所以min ()22ln 2g x =-.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.21.已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅的值； （2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）6；（2）⎡⎢⎣⎦.【解析】 【分析】（1）设点(),P x y ，由该点在椭圆上得出22132y x =-，然后利用距离公式和向量数量积的坐标运算求出1122PF PF PF PF +⋅的值；（2）分直线l 的斜率不存在与存在两种情况讨论，在直线l 的斜率不存在时，可求得122S S =，在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，根据直线l 与圆222x y +=相切，得出()2221m k =+，并将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将12S S 表示为k 的函数，转化为函数的值域的求解，综合可得出答案.【详解】（1）由已知，())12,F F ，设(),P x y ，由12PF x ⎫===⎪⎪⎭，同理22PF x ⎫=⎪⎪⎭，可得21216222PF PF x x x ⎫⋅==-⎪⎪⎭，())2212,,3x y x y x PF y PF ⋅=--⋅-=+-．结合22163x y +=，得22132y x =-，故221212116622PF PF PF PF x x ⋅+⋅=-+=；（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x= 由对称性，不妨设x =，此时()(),,1,1,1,1ABC D -，故12221S S ==． 若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，=()2221m k =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 与椭圆方程联立， 得()222214260k x kmx m +++-=，由韦达定理得122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+．结合OC OD ==22221122113,322x y y x =-=-， 可知22221112221sin 112122sin 2OA OB AOBS OA OB x y x y S OC OD COD ⋅⋅∠==⋅=+⋅+⋅⋅∠()()2222121212121111313392222224x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++=++-+ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭． 将根与系数的关系代入整理得：()()22222212221263618319221k m m k m S S k-+++-=++，结合()2221m k =+，得()4212221284479221S k k S k ++=++． 设2211t k =+≥，(]10,1u t=∈，则221222178818813291688162,2222S t t u u S t t t ⎡⎤+-=+=-++=-++∈⎢⎥⎣⎦． 12S S ∴的取值范围是322,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题的求解，涉及椭圆上点的坐标的应用，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积比值的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程 22.已知曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩，（α为参数）.（1）若点22M m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在曲线C 上，求m 的值；（2）过点()1,0P 的直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求11||||PA PB +的取值范围. 【答案】（1）2±；（2）. 【解析】 【分析】（1）运用平方法和同角的平方关系，以及代入法，解方程可得所求值； （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），联立圆的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求范围． 【详解】（1）已知曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩，等价于2sin x y α=+，2cos x y α=-，由于22sin cos 1αα+=， 所以等价于2222()()4sin 4cos 4x y x y αα++-=+=. 整理得曲线C 的普通方程为222x y +=，将2M m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入解得m =. （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），与222x y +=联立得：22cos 10t t θ+⋅-=， 由韦达定理122cos t t θ+=-，121t t =-.由于1t ，2t 异号，故2112121111||||t t PA PB t t t t -+=+==将韦达定理代入，并结合2cos [0,1]θ∈，得11[2,||||PA PB +=. 【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化，考查直线参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查化简运算能力．选修4-5：不等式选讲23.已知正实数a ，b 满足()lg lg lg a b a b +=+.（1）证明：228a b +≥；（2）证明：()()2211254a b a b ++≥+. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知得ab a b =+，再利用基本不等式和不等式222a b ab +≥，即可证出228a b +≥；（2）用分析法，结合a b ab +=，分析出要证原不等式只需证()()4810ab ab -⋅-≥，因为4ab ≥，所以原不等式得证．【详解】证明：（1）由已知ab a b =+，均值不等式24ab a b ab =+≥⇒≥⇒≥，由均值不等式222a b ab +≥，结合4ab ≥，可知228a b +≥. （2）欲证()()2211254a b a b ++≥+， 只需证()()()2241125a b a b ++≥+， 只需证()()()2224125ab a b a b ⎡⎤⎣≥⎦++++， 即证()()()2242125ab a b ab a b ⎡⎤++-+≥+⎣⎦， 结合a b ab +=， 只需证()()2242125ab ab ab ab ⎡⎤+-+≥⎣⎦， 即()283340ab ab -+≥，即证()()4810ab ab -⋅-≥，ab ，从而原不等式得证.因为4【点睛】本题主要考查对数的运算性质，以及利用基本不等式证明不等式，是中档题．。
2021届重庆一中高三上学期第一次月考数学试卷及答案
2021届重庆一中高三上学期第一次月考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟一、单项选择题。
本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有1项是符合题目要求的.1. 设集合 A = {y |y =ln (1−x )} , B = {y |y =√4−2x },则 A ∩B= ( )A. [0,2)B. (0,2)C. [0,2]D. [0,1)2.a,b ∈(0,+∞), A =√a +√b , B =√a +b ,则 A,B 的大小关系是( )A. A<BB. A>BC. A ≤BD. A ≥ B3.已知直线 l 是曲线 y =√x +2x 的切线,则 l 的方程不可能是A.5x −2y +1=OB.4x −2y +1=OC.13x −6y +9=OD.9x − 4y + 4 = 04.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。
一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S 1 ,画面中剩余部分的面积为S 2,当 S 1 与S 2的比值为√5−12时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A.(3−√5)πB. (√5−1)πC. (√5+1)πD. (√5−2)π 5. 若函数f (x )={a x ,2<x ≤a log a (x −2),x >a(其中a >0,且a ≠1)存在零点,则实数 a 的取值范围是 A.(12,1)U (1,3) B.(1,3] C.(2,3) D.(2,3]6. 己知0<ω≤2,函数f (x )=sin (ωx )−√3cos (ωx ),对任意x ∈R ,都有f (π3−x)=−f (x ),则 ω 的值为( )A. 12B. 1C.32D. 27. 函数f (x )=2cos x +sin 2x 的一个个单调递减区间是( )A.(π4,π2)B.(0,π6)C.(π2,π)D. (5π6,π)8.设函数 f (x )在 R 上存在导数f ′(x ),对任意的 x ∈R ,有f (x )+f (−x )=2cos x ,且在[0,+∞)上有f′(x)>−sin x ,则不等式f(x)−f(π2−x)≥cos x−sin x的解集是A.(−∞,π4] B.[π4,+∞) C.(−∞,π6] D.[π6,+∞)二、多项选择题。
2021年高三上学期第一次月考数学试卷 含解析
2021年高三上学期第一次月考数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1．已知集合A={1，cosθ}，B={，1}，若A=B，则锐角θ=．2．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（4）的值为．3．若函数是偶函数，则实数a的值为．4．若函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为．5．函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B=．6．已知x，y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是．7．已知点P在直线y=2x+1上，点Q在曲线y=x+lnx上，则P、Q两点间距离的最小值为．8．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x=，则函数f（x）的最小正周期为．9．函数f（x）的定义域为R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为．10．已知tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，则的值为．11．在锐角三角形ABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC 的值为．12．已知函数交于M、N两点，则|MN|的最大值是．13．已知函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R，若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则a的取值范围是．14．若实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时，的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α∈（0，），β∈（，π），cosβ=﹣，sin（α+β）=．（1）求tan的值；（2）求sinα的值．16．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知==．（1）求C；（2）如图，设半径为R的圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，∠PAB=θ，求四边形APCB面积S（θ）的解析式及最大值．17．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC，且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k，设OA=x，OB=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求N﹣M的最大值及相应的x的值．18．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．20．过点P（﹣1，0）作曲线f（x）=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=（a∈R）交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1+x2＜﹣4．附加题：（共4小题，满分0分）21．已知矩阵A=，B=满足AX=B，求矩阵X．22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），求．23．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1，PA⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由．xx学年江苏省南通市如皋中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1．已知集合A={1，cosθ}，B={，1}，若A=B，则锐角θ=．【考点】集合的相等．【分析】根据集合相等的条件，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：若A=B，则cosθ=，∵θ是锐角，∴θ=，故答案为：2．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（4）的值为2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设幂函数y=f（x）=xα，根据f（x）的图象过点（，），求得α的值，可得函数f （x）的解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，∵f（x）的图象过点（，），∴=，∴α=，∴f（x）=∴f（4）==2，故答案为：2．3．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．4．若函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由函数的奇偶性易得f（﹣1）=﹣f（1），解m的方程可得．【解答】解：∵函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），∴=﹣，∴m=1．故答案为：1．5．函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B=[0，2] ．【考点】函数的值域；交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】分别求出函数的定义域，和值域，然后利用集合的基本运算求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则﹣x2﹣2x+8≥0，即x2+2x﹣8≤0，解得﹣4≤x≤2，即函数的定义域A=[﹣4，2]．y==，∵﹣4≤x≤2，∴0≤，即0≤x≤3，即函数的值域B=[0，3]，∴A∩B=[﹣4，2]∩[0，3]=[0，2]．故答案为：[0，2]．6．已知x，y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义得到最大值和最小值的最优解，得到关于a 方程解之．【解答】解：由已知得到可行域如图：当直线y=﹣2x+z经过C（a，a）时z最小，经过A时z最大，由得到A（1，1）所以4×3a=2×1+1，解得a=；故答案为：．7．已知点P在直线y=2x+1上，点Q在曲线y=x+lnx上，则P、Q两点间距离的最小值为．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q（a，b）．利用=1+=2，解得切点为Q（1，1）．利用点到直线的距离公式可得Q到直线y=2x+1的距离d，即为所求．【解答】解：设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q（a，b）．则=1+=2，解得a=1，∴b=1，∴切点为Q（1，1）．Q到直线y=2x+1的距离d==．∴P、Q两点间距离的最小值为．故答案为：．8．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x=，则函数f（x）的最小正周期为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象的特征，正弦函数的奇偶性、最值、周期性，求得函数f（x）的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，可得φ=0，∵f（x）在y轴右侧的第一个极值点为x=，∴ω•=，∴ω=，∴函数f（x）=Asin（x），则函数f（x）的最小正周期为=，故答案为：．9．函数f（x）的定义域为R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f （x）＞e x+1的解集为{x|x＞0} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】设h（x）=e x f（x）﹣e x﹣1，则不等式e x f（x）＞e x+1的解集就是h（x）＞0 的解集．由此利用导数性质能求出不等式e x•f（x）＞e x+1的解集．【解答】解：设h（x）=e x f（x）﹣e x﹣1，则不等式e x f（x）＞e x+1的解集就是h（x）＞0 的解集．h（0）=1×2﹣1﹣1=0，h′（x）=e x[f（x）+f′（x）]﹣e x，∵[f（x）+f′（x）]＞1，∴对于任意x∈R，e x[f（x）+f′（x）]＞e x，∴h'（x）=e x[f（x）+f'（x）]﹣e x＞0即h（x）在实数域内单调递增．∵h（0）=0，∴当x＜0 时，h（x）＜0；当x＞0 时，h（x）＞0．∴不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为：{x|x＞0}．故答案为：{x|x＞0}．10．已知tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，则的值为1．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用已知条件求出αβ的正切函数值，然后求解的值．【解答】解：tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，==，分式同除以cos（α+β）cos（α﹣β）），==1．故答案为：1．11．在锐角三角形ABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用等差数列列出关系式，利用三角形的内角和以及两角和的正切函数，化简求解即可．【解答】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，∴2tanB=tanA+tanC，∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，又∵tan（A+B）=，∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，∴tanAtanC=3．故答案为：3．12．已知函数交于M、N两点，则|MN|的最大值是．【考点】两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用；正弦函数的定义域和值域．【分析】由已知中直线x=m分别交函数y=sinx、的图象于M、N两点，表示M、N的距离，根据辅助角公式化为一个正弦型函数的形式，根据正弦型函数的值域，即可得到结果．【解答】解：∵=cosx∵直线x=m分别交函数y=sinx、的图象于M、N两点，则|MN|=|sinx﹣cosx|∴|f（x）﹣g（x）|=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|∵x∈R∴|f（x）﹣g（x）|∈[0，]故M、N的距离的最大值为故答案为：13．已知函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R，若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则a的取值范围是a≤﹣2或a＞﹣．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简不等式可得2x﹣1+a≥b（2﹣x+a），从而令F（x）=2x﹣1+a﹣b（2﹣x+a）=﹣+a ﹣ab，分类讨论以确定F（x）≥0的解集为[2，+∞），结合函数的单调性及方程与不等式的关系求解即可．【解答】解：f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x）=b（21﹣x﹣1+a）=b（2﹣x+a），∵f（x）≥g（x），∴2x﹣1+a≥b（2﹣x+a），令F（x）=2x﹣1+a﹣b（2﹣x+a）=+a﹣﹣ab=﹣+a﹣ab，①若b＜0，则（﹣+a﹣ab）=+∞，与关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2相矛盾，故不成立；②若b=0，则F（x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=+a≥0的解集为[2，+∞），故a=﹣2；③若b＞0，则F（x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=﹣+a﹣ab≥0的解集为[2，+∞），故2+a=b（+a），故b=＞0，故a＜﹣2或a＞﹣；综上所述，a≤﹣2或a＞﹣．14．若实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时，的值为2．【考点】不等式的基本性质．【分析】实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，变形为：（x+2y）2+（2xy﹣2）2=8，令x+2y=sinθ，2xy﹣2=2cosθ，θ∈[0，2π）．则当x+2y取得最大值时，θ=，即可得出．【解答】解：∵实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，变形为：（x+2y）2+（2xy﹣2）2=8，令x+2y=sinθ，2xy﹣2=2cosθ，θ∈[0，2π）．则当x+2y取得最大值时，θ=，则x+2y=2，2xy﹣2=0，解得x=，y=．=2．故答案为：2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α∈（0，），β∈（，π），cosβ=﹣，sin（α+β）=．（1）求tan的值；（2）求sinα的值．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】（1）使用二倍角公式用tan表示出cosβ，求出的范围，解方程得出；（2）根据α，β的范围求出sinβ，cos（α+β），利用差角的正弦函数公式计算．【解答】解：（1）∵，且，∴，解得，∵，∴，∴，∴．（2）∵，，∴， 又，故，∴，∴sin α=sin [（α+β）﹣β]=sin （α+β）cos β﹣cos （α+β）sin β=．16．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知==．（1）求C ；（2）如图，设半径为R 的圆O 过A ，B ，C 三点，点P 位于劣弧上，∠PAB=θ，求四边形APCB 面积S （θ）的解析式及最大值．【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由已知结合正弦定理可得sin2A=sin2B ，再由角的范围可得A +B=，从而求得C ；（2）把三角形ABC 的三边用R 表示，再由S （θ）=S △ABC +S △APC ，代入三角形面积公式化简，然后由θ∈（）求得四边形APCB 面积S （θ）的最大值．【解答】解：（1）由=，得=，∴sin2A=sin2B ，∵2A ，2B ∈（0，2π），∴2A=2B ，或2A +2B=π，即A=B 或A +B=，∵，∴A=B 舍去，从而C=；（2）由条件得：c=2R ，a=R ，b=R ，∠BAC=，∠CAP=θ﹣，θ∈（），S （θ）=S △ABC +S △APC =====，θ∈（）， ∵∈（），∴当时，．17．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC，且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k，设OA=x，OB=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求N﹣M的最大值及相应的x的值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据条件结合余弦定理建立函数关系即可求y关于x的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求出N﹣M的表达式，利用换元法结合基本不等式的性质即可求出N﹣M的最大值及相应的x的值．【解答】解：（1）∵OA=x，OB=y，AB=y+1，由余弦定理得x2+y2﹣2xycos120°=（y+1）2，解得y=，由x＞0，y＞0，得1＜x＜2，∵x＞y，∴x＞，得1＜x＜，∴OA的取值范围是（1，）．=3kx，（2）M=kOB=ky，N=4k•S△AOC则N﹣M=k（3x﹣y）=k（3x﹣），设2﹣x=t，则t∈（，1），则N﹣M=k[3（2﹣t）﹣]=k[10﹣（4t+）]≤k（10﹣2）=（10﹣4）k，当且仅当4t=，即t=，x=2﹣时，N﹣M的最大值是）=（10﹣4）k．18．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程，直接求解．（2）判断其在（0，+∞）是否有单调性，再据闭函数的定义判断；（3）根据闭函数的定义一定存在区间[a，b]，由定义直接转化求解即可．【解答】解：（1）由题意，y=﹣x3在[a，b]上递减，则解得所以，所求的区间为[﹣1，1]；（2）取x1=1，x2=10，则，即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．取，，即f（x）不是（0，+∞）上的增函数所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数；（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b为方程的两个实数根，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有两个不等的实根当k≤﹣2时，有，解得，当k＞﹣2时，有，无解，综上所述，．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．20．过点P（﹣1，0）作曲线f（x）=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=（a∈R）交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1+x2＜﹣4．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，设切点，可得方程组，即可求切线l的方程；（2）设f（x）=（x+1）e x，则f（x1）=f（x2）．f'（x）=（x+2）e x，可得函数f（x）的单调性；设g（x）=f（x）﹣f（﹣4﹣x），切点其单调性，即可证明结论．【解答】（1）解：y'=e x，设切点（x0，y0），则，解得x0=0，因此y'|x=0=1，l的方程是y=x+1．…（2）证明：依题意有，所以…设f（x）=（x+1）e x，则f（x1）=f（x2）．f'（x）=（x+2）e x，当x＜﹣2时，f'（x）＜0，当x＞﹣2时，f'（x）＞0；所以f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递减，在（﹣2，+∞）单调递增．因为x1≠x2，不妨设x1＜﹣2，x2＞﹣2．设g（x）=f（x）﹣f（﹣4﹣x），则g'（x）=f'（x）+f'（﹣4﹣x）=（x+2）e x（1﹣e﹣2（2+x）），当x＞﹣2时，g'（x）＞0，g（x）在在（﹣2，+∞）单调递增，所以g（x）＞g（﹣2）=0，所以当x＞﹣2时，f（x）＞f（﹣4﹣x）．…因为x2＞﹣2，所以f（x2）＞f（﹣4﹣x2），从而f（x1）＞f（﹣4﹣x2），因为﹣4﹣x2＜﹣2，f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递减，所以x1＜﹣4﹣x2，即x1+x2＜﹣4．…附加题：（共4小题，满分0分）21．已知矩阵A=，B=满足AX=B，求矩阵X．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】由AX=B，得=，求解即可．【解答】解：设x=，由=得解得此时x=22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），求．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意得到，从而求出x，y，再由逆矩阵公式求出矩阵M的逆矩阵，由此能求出．【解答】解：∵点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），∴依题意，=，即解得由逆矩阵公式知，矩阵M=的逆矩阵，∴==．23．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论．【解答】解：∵f（x）=ln（1+ax）﹣，∴f′（x）=﹣=，∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=±，则函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1，PA⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出，平面PCD的法向量，即可求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）假设存在E符合条件，设，则由∠AEC=90°得，，列出方程，判定方程在[0，1]上是否有解即可得出结论．【解答】解：（1）依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），从而，，，设平面PCD的法向量为=（a，b，c），即，不妨取c=2，则b=1，a=1，所以平面PCD的一个法向量为=（1，1，2），此时cos＜，＞==﹣，所以PB与平面PCD所成角的正弦值为；（2）设，则E（0，2λ，1﹣λ），则，，由∠AEC=90°得，，化简得，5λ2﹣4λ+1=0，该方程无解，所以，棱PD上不存在一点E满足∠AEC=90°．xx年1月5日25453 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2021年高三上学期第一次月考数学试卷(文理) 含答案
2021年高三上学期第一次月考数学试卷（文理）含答案1：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，考试时间为120分钟，全卷满分为150分，总计22道小题2：请将答案填写在答案纸上。
Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12道小题，每小题5分，共计60分）1、已知集合，B={1，m}，A∪B=A，则m=（）A．0或B．1或3 C．1或D．0或32、已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣3、已知f（x5）=lgx，则f（2）=（）A．l g2 B．l g32 C．D．4、sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A． B． C． D．5、下列命题：①∀x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3成立；②若log2x+log x2≥2，则x＞1；③命题“”的逆否命题；④若命题p：∀x∈R，x2+1≥1，命题q：∃x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，则命题p∧¬q是真命题．其中真命题只有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6、已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=2sin（2x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin（x+）7、函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A． 2 B． 1 C． 0 D． 38、已知f（x）=sin（ωx+）+sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，则（）2() f xD、（，0）为的图象的一个对称中心9、已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a10、若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在上是单调函数，则ω应满足的条件是（）A．0＜ω≤1 B．ω≥1 C．0＜ω≤1或ω=3 D．0＜ω≤311、函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）A．B．C．D．12、已知函数f（x）=sinx﹣cosx的定义域为，值域为，则b﹣a的取值范围为（）A． B． C． D．Ⅱ卷二．填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共计20分）13、命题“∃x∈R，e x＞x”的否定是．14、化简= ．15、已知命题p：∀x∈，a≥e x，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．16、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m．三．解答题（本大题共6道小题，17题10分、18—22各12分，共计70分）17、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．18、（1）计算0.064﹣（﹣）0+16+0.25+2log36﹣log312；（2）已知﹣1≤x≤0，求函数y=2x+2﹣3•4x的最大值和最小值．19、已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．﹣＜φ＜）的图象与x轴交点为（﹣，0），相邻最高点坐标为（，1）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）若y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于点（，0）成中心对称，求y=g（x）的解析式及单调增区间．20、已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．21、在海岛上有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距80海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，θ为锐角）且与A点相距20海里的位置C．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船始终不改变航行的方向，经过多长时间后，该船从点C到达海岛正东方向的D点处22、已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=1+x+（b∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当x∈时，关于x的不等式f（x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．通榆一中xx学年度上学期高三第一次月考数学试卷一、选择题1、已知集合，B={1，m}，A∪B=A，则m=（）A．0或B．1或3 C．1或D．0或3解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：D．2、已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．解：∵sinα=且α是第二象限的角，∴，∴，故选A3、已知f（x5）=lgx，则f（2）=（）A．lg2 B．lg32 C．D．解：令x5=2，∴得x=，∵f（x5）=lgx，∴f（2）=lg=lg2．故选c4、sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A． B． C． D．解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．5、下列命题：①∀x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3成立；②若log2x+log x2≥2，则x＞1；③命题“”的逆否命题；④若命题p：∀x∈R，x2+1≥1，命题q：∃x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，则命题p∧¬q是真命题．其中真命题只有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解：不等式x2+2x＞4x﹣3可化为x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2＞0由实数的性质我们易得该不等式恒成立，故①为真命题；log2x+log x2≥2，则log2x＞0，即x＞1，故②为真命题；根据不等式的性质，成立，由原命题和其逆否命题真假性一致，故③为真命题；根据实数的性质，命题p：∀x∈R，x2+1≥1为真命题，命题q：∃x∈R，x2﹣2x﹣1≤0也为真命题，则¬q是假命题则命题p∧¬q也是假命题，故④为假命题；综上，①②③为真命题故选A6、已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=2sin（2x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin（x+）解：由图象知函数的最大值为2，即A=2，函数的周期T=4（）=2，解得ω=1，即f（x）=2sin（x+φ），由五点对应法知+φ=π，解得φ=，故f（x）=2sin（x+），故选：B7、函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0 B． 1 C． 2 D． 3解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）；由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx=0的根．令y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点选A．8、已知函数f（x）=sin（ωx+）+sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，则（）2() f xD、（，0）为的图象的一个对称中心解：f（x）=sin（ωx+）+sin（ωx﹣）=sin（ωx+）+sin（ωx+﹣）=sin（ωx+）﹣cosωx+）=2sin（ωx+﹣）=2sinωx．∵f（x）的最小正周期为π，∴T=，解得ω=2，即f（x）=2sin2x．∵f（）=2sin（2×）=2sinπ=0，∴（，0）为f（x）的图象的一个对称中心．故选：D9、已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），m=0，∵f（x）=2|x|﹣1=，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，∵a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log25），c=f（2m）=f（0）=0，0＜log23＜log25，∴c＜a＜b，故选：B10、若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在上是单调函数，则ω应满足的条件是（）A．0＜ω≤1 B．ω≥1 C．0＜ω≤1或ω=3 D．0＜ω≤3解：①若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在上是单调递减．令+2kπ≤ωx≤+2kπ（k∈Z），则+≤x≤+（k∈Z），∴≤且≥，∴ω=3②若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在上是单调递增．令﹣+2kπ≤ωx≤+2kπ（k∈Z），则﹣+≤x≤+∴﹣≤且≥∴0＜ω≤1综上可得：0＜ω≤1，ω=3．故选：C．11、函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）A．B．C．D．解：由f（x）的图象可知0＜a＜1，b＜﹣1，则函数g（x）为减函数，且g（0）=1+b＜0，故选：A12、已知函数f（x）=sinx﹣cosx的定义域为，值域为，则b﹣a的取值范围为（）A． B． C． D．解：f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∵f（x）的值域为，∴y=sin（x﹣）∈，其图象如图：其中A（，﹣），B（，1），C（，﹣），∴b﹣a的最小值为：﹣=， b﹣a的最大值为：﹣=，即b﹣a的取值范围为：，故选：A．二．填空题（共4小题）13、命题“∃x∈R，e x＞x”的否定是∀x∈R，e x≤x．14、化简= ．解：tan70°cos10°（tan20°﹣1）=cot20°cos10°（﹣1）=2cot20°cos10°（sin20°﹣cos20°）=2cos10°（sin20°cos30°﹣cos20°sin30°）=2•sin（﹣10°）==﹣1．故答案为：﹣1．15、已知命题p：∀x∈，a≥e x，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是e≤a≤4．解：对于命题p：∀x∈，a≥e x，∴a≥（e x）max，x∈，∵e x在x∈上单调递增，∴当x=1时，e x取得最大值e，∴a≥e．对于命题q：∃x∈R，x2+4x+a=0，∴△=42﹣4a≥0，解得a≤4．若命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题，∴e≤a≤4．故答案为：e≤a≤4．解：∵p：“∃x∈R，e x＞x∴￢p：∀x∈R，e x≤x故答案为∀x∈R，e x≤x16、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m．解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．三．解答题（共1小题）17、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）由tan（+A）=2．可得tanA=，所以==．（Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA=，cosA=．又由a=3，B=及正弦定理，可得b=3，由sinC=sin（A+B）=sin（A+），可得sinC=．设△ABC的面积为S，则S=absinC=9．18、（1）计算0.064﹣（﹣）0+16+0.25+2log36﹣log312；（2）已知﹣1≤x≤0，求函数y=2x+2﹣3•4x的最大值和最小值．解：（1）0.064﹣（﹣）0+16+0.25+2log36﹣log312=﹣1+++=0.4﹣1=11．（2）∵y=2x+2﹣3•4x=﹣3•（2x）2+4•2x，令t=2x，则y=﹣3t2+4t=，∵﹣1≤x≤0，∴．又∵对称轴，∴当，即；当t=1，即x=0时，y min=1．19、已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．﹣＜φ＜）的图象与x轴交点为（﹣，0），相邻最高点坐标为（，1）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）若y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于点（，0）成中心对称，求y=g（x）的解析式及单调增区间．（1）根据题意，A=1，ω+φ=，又（﹣）ω+φ=0；解得ω=2，φ=，∴f（x）=sin（2x+）；（2）∵与y=f（x）的图象关于点（，0）成中心对称的函数是﹣y=f（﹣（x﹣2×）），即﹣y=sin，∴y=sin（2x﹣）；即g（x）=sin（2x﹣）；令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，∴+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，即+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；∴g（x）的单调增区间是，k∈Z；20．已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．解：（1）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=∵﹣1＜x＜1∴M={m|}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，则即②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，则即③当a=2﹣a即a=1时，N=φ，此时不满足条件综上可得21、在海岛上有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距80海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，θ为锐角）且与A点相距20海里的位置C．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船始终不改变航行的方向，经过多长时间后，该船从点C到达海岛正东方向的D点处．解：（1）如图所示，∵sinθ=，θ为锐角，∴=．设该船的行驶速度为x海里/小时．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosθ，∴=﹣，化为x2=4500，解得x=30．（2）在△ABC中，由正弦定理可得，∴==．可知B为锐角，∴cosB==．∴sin∠ADB=sin（45°+B）==．在△ABD中，由正弦定理可得：，∴=40．∴CD=BD﹣BC=．设该船始终不改变航行的方向，经过t小时时间后，该船从点C到达海岛正东方向的D点处．则=，解得t=．22、已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=1+x+（b∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当x∈时，关于x的不等式f（x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．解：（Ⅰ）由为奇函数得f（﹣x）+f（x）=0，即，所以，解得a=1，经检验符合题意，故，所以f（x）的定义域是（﹣1，1）；（Ⅱ）不等式f（x）≤lgg（x）等价于，即b≥x2+x在有解，故只需b≥（x2+x）min，函数在单调递增，所以，所以b的取值范围是．32680 7FA8 羨37060 90C4 郄38931 9813 頓J436336 8DF0 跰-27768 6C78 汸29108 71B4 熴35359 8A1F 訟{27322 6ABA 檺*20347 4F7B 佻。
2020年重庆一中高2021级高三上期第一次月考数学试题及答案
2020 年重庆一中高 2021 级高三上期第一次月考数学试题卷 2020.9本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟一、单项选择题。
本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题目要求的.1. 设集合 A = {y |y =ln (1−x )} ， B = {y |y =√4−2x }，则 A ∩B= ( )A. [0，2)B. (0，2)C. [0，2]D. [0，1)2.a,b ∈(0,+∞)， A =√a +√b ， B =√a +b ，则 A ，B 的大小关系是() A. A<B B. A>B C. A ≤B D. A ≥ B3.已知直线 l 是曲线 y =√x +2x 的切线，则 l 的方程不可能是A.5x −2y +1=OB.4x −2y +1=OC.13x −6y +9=OD.9x − 4y + 4 = 04.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。
一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S 1 ，画面中剩余部分的面积为S 2，当 S 1 与S 2的比值为√5−12 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为() A.(3−√5)π B. (√5−1)πC. (√5+1)πD. (√5−2)π 5. 若函数f (x )={a x ，2<x ≤a log a (x −2)，x >a(其中a >0,且a ≠1)存在零点，则实数 a 的取值范围是 A.(12,1)U (1,3) B.(1,3] C.(2，3) D.(2，3]6. 己知0<ω≤2，函数f (x )=sin (ωx )−√3cos (ωx )，对任意x ∈R ，都有f (π3−x)=−f (x )，则 ω 的值为() A. 12 B. 1 C.32 D. 27. 函数f (x )=2cos x +sin 2x 的一个个单调递减区间是()A.(π4,π2)B.(0,π6)C.(π2,π)D. (5π6,π) 8.设函数 f (x )在 R 上存在导数f ′(x )，对任意的 x ∈R ，有f (x )+f (−x )=2cos x ，且在 [0，+∞)上有f ′(x )>−sin x ，则不等式 f (x )−f (π2−x)≥cos x −sin x 的解集是A.(−∞,π4]B.[π4,+∞)C.(−∞,π6]D.[π6,+∞)二、多项选择题。
2021年高三上学期第一次月考数学理试题(Ⅰ卷) Word版含答案
2021年高三上学期第一次月考数学理试题（Ⅰ卷） Word版含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，则（）A．B．C．D．2．若（、是实数，是虚数单位），则复数的共轭复数等于（）A．B．C．D．1+ i3．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+ B．C．D．44．执行右图的程序框图，若输出的，则输入整数的最大值是( )A．15 B．14C．7 D．65．以双曲线的离心率为首项，以函数的零点为公比的等比数列的前项的和（）A．B．C．D．6．已知a=（sinx+cosx）dx，在（1+ax）6（1+y）4的展开式中，xy2项的系数为（）A．45 B．72 C．60 D．1207．已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．28. 已知函数的最小正周期为，则该函数图象（）A ．关于直线对称B ．关于直线对称C ．关于点(，0)对称D ．关于点(，0)对称9．设随机变量ξ～N （2，4），若P （ξ＞a+2）=P （ξ＜2a ﹣3），则实数a 的值为（ ）A ．1B ．C ．5D ．910. 函数的定义域为，若对于任意，当时，都有，则称函数在上为非减函数。
设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件： （1） ， （2） ， （3） 。
则等于（ ）A. B. C. 1 D.11．已知函数，若a ，b ，c 互不相等，且满足f （a ）=f （b ）=f （c ），则a+b+c 的取值范围是（ ）A ．（1，10）B ．（5，6）C ．（2，8）D ．（0，10）12．已知抛物线y 2=4x ，圆F ：（x ﹣1）2+y 2=1，过点F 作直线a ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则|AB|•|CD|的值正确的是（ ）A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是4二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上的相应横线上)13．已知两个向量,若，则的值是________；14．表示函数的导数，在区间上随机取值，G()的概率为 ；15．下列命题:①当时，的最小值为2；②对于任意的内角、、满足：222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+-；③对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0．则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2+x+1≥0④如果函数在某个区间内可导，则f(x)的导数是函数在该区间上为增函数的充要条件. 其中正确命题的序号为 .（填上所有正确命题的序号）16．.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝ ；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m>1)，则L (A )关于m 的表达式为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）已知函数f(x)=sinxsin()，x ．(1)求y=f(x)的正零点； (2)设f(x)的所有正零点依次组成数列，数列满足=0，=，ｎＮ＋ ，求的通项公式。
高三上册数学第一次月考理科试题(带答案)
高三上册数学第一次月考理科试题（带答案）2021届高三上册数学第一次月考文科试题〔带答案〕本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部。
答题时120分钟，总分值150分。
第一卷(选择题共10小题，每题5分，共50分)一、选择题(每题给出的四个选项中，只要一个选项契合标题要求.)1.假定集合 , ,那么 ( )A. B. C. D.答案：A解析：集合A={ }，A={ }，所以，2.在复平面内,双数对应的点的坐标为()A. B. C. D.答案：A解析：原式= = ，所以，对应的坐标为(0，-1)，选A3. 为等差数列，假定，那么的值为( )A. B. C. D.答案：D解析：由于为等差数列，假定，所以，，4. 函数有且仅有两个不同的零点，，那么()A.当时，，B.当时，，C.当时，，D.当时，，答案：B解析：函数求导，得：，得两个极值点：由于函数f(x)过定点(0，-2)，有且仅有两个不同的零点，所以，可画出函数图象如以下图：因此，可知，，只要B契合。
5. 设集合是的子集，假设点满足：，称为集合的聚点.那么以下集合中以为聚点的有：① ; ② ; ③ ; ④ () A.①④B.②③C.①②D.①②④答案：A【解析】①中，集合中的元素是极限为1的数列，在的时分，存在满足0|x-1|1是集合的聚点②集合中的元素是极限为0的数列，最大值为2，即|x-1|1 关于某个a1，不存在0|x-1| ，1不是集合的聚点③关于某个a1，比如a=0.5，此时对恣意的xZ，都有|x﹣1|=0或许|x﹣1|1，也就是说不能够0|x﹣1|0.5，从而1不是整数集Z的聚点④ 0，存在0|x-1|0.5的数x，从而1是整数集Z的聚点应选A6. 在以下命题中, ① 是的充要条件;② 的展开式中的常数项为;③设随机变量 ~ ,假定 ,那么 .其中一切正确命题的序号是()A.②B.②③C.③D.①③答案：B解析：①是充沛不用要条件，故错误;② ，令12-4k=0，得，k=3，所以，常数项为2，正确;③正态散布曲线的对称轴是x=0，，所以，正确;7.偶函数 ,当时, ,当时, ( ).关于偶函数的图象G和直线 : ( )的3个命题如下:①当a=4时,存在直线与图象G恰有5个公共点;②假定关于 ,直线与图象G的公共点不超越4个,那么a③ ,使得直线与图象G交于4个点,且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是()A.①②B.①③C.②③D.①②③答案：D解析：由于函数和的图象的对称轴完全相反，所以两函数的周期相反，所以，所以，当时，，所以，因此选A。
2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考(9月) 数学(文)试题Word版含答案
已知 ，函数 的最小值为
（1）求证： ；
（2）若 恒成立，求实数 的最大值.
2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考（9月）
数学（文）试题参考答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11-12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1） 因为 ,所以
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设向量 ，则向量 与 夹角的余弦值为( )
A． B． C. D．
5.已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则数列 的公差为 （ ）
A． B． C. D．
6.设 ，则( )
A． B． C. D．
7.函数 （其中 ）的图像如图所示，为了得到 的图像，则只要将 的图像（ ）
综上所述： 时， 恒成立.
22.解：（1） ，即
（2）将直线 的参数方程代入曲线 ，得 ，设 两点在直线 中对应的参数分别为 ，则
23.解：（Ⅰ） ，
且 ，
，当 时取等号，即 的最小值为
（Ⅱ） 恒成立， 恒成立，
当 时， 取得最小值 ， ，即实数的最大值为
21.已知函数
（1）若 是 的极值点，求 的极大值；
（2）求实数 的范围，使得 恒成立.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
直角 的参数方程为 ，曲线 的极坐标方程
（1）写出直线 的普通方程与曲线 直角坐标方程；
（2）设直线 与曲线相交于两点 ，点 的直角坐标为 ，求 .
因为 ，所以
因为 ，所以 的面积
重庆市第一中学2021届高三数学10月月考试题 文(含解析).doc
重庆市第一中学2021届高三数学10月月考试题文（含解析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知集合，，则A ．B ．C ．D ．2．函数的最小正周期为A ．B ．C ．D ．3．设，则“”是“函数在定义域上为增函数”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知实数，则下列不等式中成立的是A ．B ．C ．D ．5．已知，则的值为A ．B ．C ．D ．6．存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．7．已知数列满足：则A ．B ．C ．D ．8．在等差数列中，为前项和，，则A ．B ．C ．D ．9．已知函数是定义在上的奇函数，若且为偶函数，则A ． B．1 C．6 D．410．已知各项均为正数的数列的前项和为，且若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．11．函数，关于的方程有4个不相等实根，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、填空题12．设向量，则实数__________.13．曲线在点处的切线的斜率为，则________．14．点是圆上两个动点，为线段的中点，则的值为__________.15．某小商品生产厂家计划每天生产型、型、型三种小商品共100个，生产一个型小商品需5分钟，生产一个型小商品需7分钟，生产一个型小商品需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个型小商品可获利润8元，生产一个型小商品可获利润9元，生产一个型小商品可获利润6元．该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大日利润是__________元.三、解答题16．已知数列为等比数列，，是和的等差中项.1 / 91（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.17．的内角所对边分别为，已知的面积为，，，且.（1）求边；（2）如图，延长至点，使，连接，点为线段中点，求。