弹性力学 空间问题基本理论
斜面应力
§7-2 物体内任一点的应力状态
在空间问题中，同样需要解决：由直
角坐标的应力分量
σ
…
x
…yz，来求出斜面
(法线为 ）n上 的应力。
第七章空间问题的基本理论
斜面应力
斜面的全应力p 可表示为两种分量形式：
p沿坐标向分量:
p ( px , py , pz ).
p沿法向和切向分量:
p (σn ,n ).
考虑方向余弦关系式，有
l 2 m2 n2 1.
(b)
结论：式(a) , (b)是求主应力及其方 向余弦的方程。
第七章空间问题的基本理论
求主应力
2. 求主应力 σ
将式(a)改写为：
(σ x σ)l yxm xyl (σ y σ)m
zzxynn00,,
xzl yzm(σ z σ)n0。
2 xy
)σ
(σ
xσ
y
σ
z
σ
x
2 yz
σ
y
2 zx
σz
2 xy
2
yz
zx
xy
)
0.
(c)
第七章空间问题的基本理论
应力主向
3.应Байду номын сангаас主向
设主应力 σ1 的主向为 l1,m1,n1。代入式 (a)中的前两式，整理后得
yx
m1 l1
zx
n1 l1
(σx
σ1)
0,
(σ y
σ1)
m1 l1
zy
n1 l1
σx
σy
σz ,
Θ2 σ1σ2 σ2σ3 σ3σ1 σ yσ z
yx
y
zx
z
fx
0
,
(x, y, z).
(c)
因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向， 量纲均为L，所以 x , y , z 坐标具有对等性， 其方程也必然具有对等性。因此，式(a)的 其余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。
第七章空间问题的基本理论
平衡微分方程
由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，
n 0 , p σn σ.
斜面上沿坐标向的应力分量为：
px l , py m , pz n .
代入 px , py , pz , 得到：
第七章空间问题的基本理论
lσ x m yx n zx lσ ,
mσ y n zy l xy mσ,
(a)
nσ z
l xz
m yz
nσ.
第七章空间问题的基本理论
第七章 空间问题的基本理论
在空间问题中，应力、形变和位移等基本 知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。
空间问题的基本方程，边界条件，以及 按位移求解和按应力求解的方法，都是与 平面问题相似的。因此，许多问题可以从 平面问题推广得到。
第七章空间问题的基本理论
§7-1 平衡微分方程
第七章空间问题的基本理论
1. 求 p ( px , py , pz )
取出如图的包含斜面 的微分四面体，斜面面积 为ds, 则x面，y面和z面的 面积分别为lds,mds,nds。
px py pz
由四面体的平衡条件 Fx 0(x, y, z) ，
得出坐标向的应力分量,
px lσx m yx n zx , (x, y, z). (a)
平衡条件
取出微小的平行六面体，d v d x d y d z，
考虑其平衡条件:
F x 0,
Fy 0, Fz 0; (a)
Mx 0,
M y 0,
Mz 0. (b)
第七章空间问题的基本理论
第七章空间问题的基本理论
平衡微分方程
由x 轴向投影的平衡微分方程 F x 0 ,
得
σ x x
注意:
式(b), (c) 用于V内任一点，表示斜面应 力与坐标面应力之间的关系；
式(d)只用于 sσ边界点上，表示边界面
上的面力与坐标面的应力之间的关系，所 以必须将边界面方程代入式(d)。
第七章空间问题的基本理论
斜面应力
§7-3 主应力 最大与最小的应力
1.假设 n面 (l , m , n)为主面，则此斜面上
第七章空间问题的基本理论
求主应力
上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得
σx σ
xy xz
yx
σ y σ
yz
zx zy 0,
σz σ
展开，即得求主应力的方程,
σ
3
(σx
σ
y
σ
z
)σ
2
(σ
yσz
σzσx
σ
xσ
y
2 yz
2 zx
M x 0 ， yz zy ， (x, y , z) 。 (d)
空间问题的平衡微分方程精确到三阶 微量 (dxd ydz)。
第七章空间问题的基本理论
思考题 z
在图中，若点
o的x向正应力分 量为 σ x ，试表
B dz
示点 A , B 的x向 正应力分量。
dy
y
o dx
A
x
第七章空间问题的基本理论
则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜
面与边界重合。斜面应力分量 ( px , py , pz ) 应
代之为面力分量 ( f x , f y , fz ) ，从而得出空间
问题的应力边界条件:
(lσx m yx nzx )s fx , (x, y, z) . (在Sσ上) (d)
第七章空间问题的基本理论
xy
0.
(d)
第七章空间问题的基本理论
应力主向
由上两式解出
m1 l1
,
n1 l1
。然后由式(b)得出
1
l1
. 1 ( m1 )2 ( n1 )2
(e)
l1
l1
再求出 m1 及 n1 。
4. 一点至少存在着三个互相垂直的主应力
σ1,σ 2 ,σ3 （证明见书上）。
第七章空间问题的基本理论
第七章空间问题的基本理论
n n
2. 求 p (σn , n ) 将 p ( px , py , pz )向法向 n投影，即得
σn lpx mpy npz l2σx m2σy n2σz 2mn yz 2nl zx 2lm xy . (b)
由
p
2
px2
p
2 y
pz2
σ
2 n
2 n
应力不变量
5.应力不变量
若从式(c) 求出三个主应力 σ1,σ2 ,σ3 ，
则式(c)也可以用根式方程表示为，
(σ σ1)(σ σ2 )(σ3 σ) 0 .
(f )
因式(c) 和( f )是等价的方程，故 σ 的各
幂次系数应相等，从而得出：
第七章空间问题的基本理论
应力不变量
Θ1
σ1
σ2
σ3
,
得
2 n
px2
py2
pz2
σn2
.
(c)
第七章空间问题的基本理论
n n
从式(b)、(c )可见, 当六个坐标面上的 应力分量确定之后，任一斜面上的应力也 就完全确定了。
第七章空间问题的基本理论
应力边界条件
3. 在 sσ 上的应力边界条件
设在 sσ边界上，给定了面力分量 fx, fy , fz ,
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弹性力学总结
弹性力学总结第一章绪论一、弹性力学的内容：弹性力学的研究对象、内容和范围。
二、弹性力学的基本量1、外力（1）体力（2）面力2、内力——应力3、应变4、位移以上基本量要求掌握其定义、表达式、分量的符号、正负号规定、量纲。
三、弹性力学中的基本假定1、连续性2、完全弹性3、均匀性4、各向同性以上是对材料性质的假定，凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体。
5、小变形假定（对物体的变形状态所作的假定）要求掌握各假定的内容和意义（在建立弹性力学基本方程时的作用）。
习题举例：1、弹性力学，是固体力学的一个分支，它的任务是研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的（），从而解决各类工程中所提出的强度、刚度和稳定问题。
A．应力、应变和位移；B．弯矩、扭矩和剪力；C．内力、挠度和变形；D．弯矩、应力和挠度。
2、在弹性力学中，作用于物体的外力分为（）。
A．体力和应力；B．应力和面力；C．体力和面力；D．应力和应变。
3、重力和惯性力为（C ）。
A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。
4、分布在物体体积内的力称为（ C ）。
A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。
5、物体在体内某一点所受体力的集度的表达式及体力分量的量纲为（ A ）。
A ．0lim V F f V∆→∆=∆，-2-2L MT ； B ．0lim S F f S ∆→∆=∆，-1-2L MT ； C ．0lim A F p A ∆→∆=∆，-1-2L MT ； D ．0lim V F f V ∆→∆=∆，-1-2L MT 。
6、弹性力学研究中，在作数学推导时可方便地运用连续和极限的概念，是利用了（ ）假定。
A ．完全弹性；B ．连续性；C ．均匀性；D ．各向同性。
7、（ A ）四个假设是对物体的材料性质采用的基本假设，凡是符合这四个假设的物体，就称为理想弹性体。
A ．完全弹性，连续性，均匀性和各向同性；B ．完全弹性，连续性，均匀性和小变形；C ．连续性，均匀性，各向同性和小变形；D ．完全弹性，连续性，小变形和各向同性。
弹性力学课件
研究对象
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。
第七章 弹性力学空间问题解答
§7-1 空间问题的基本方程 1. 平衡微分方程方程
2. 几何方程
3. 物理方程
各种弹性常数之间的关系
4. 相容方程
5. 边界条件：
位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿 x，y，z方向给定位移为 ，则
应力边界条件：给定表面上的面力为
• 求解空间问题同样有位移法、应力法和应力函 数法三种方法。
§7-2柱坐标和球坐标系下的基本方程
• 一. 柱坐标系下的基本方程
直角坐标系下，空间一点M的位置由（x,y,z）表示，在柱坐 标系下，空间一点M的位置由（r, q, z）表示。两坐标间的关 系为：
在柱坐标系下的应力分量为
应变分量为 位移分量为
柱坐标表示的基本方程 • 1. 平衡方程
（7-1）
• 2. 几何方程
（7-6）
(2)几何方程：将式（7-5）代入式（7-2），得
（7-7）
(3)物理方程：将式（7-5）代入式（7-4），得
（7-8）
(4)空间轴对称问题位移求解的基本方程
空间轴对称问题共有四个应力分量，两个位移分量。 以位移求解更方便。 将几何方程（7-7）代入物理方程（7-8），得
（7-9）
• 将式（7-9）代入平衡方程（7-6），化简后得
1. 位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。
2. 应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用应 力表示——应力控制方程
3. 应力函数法：先引入应力函数，满足微分平衡方
程。 由微分平衡方程得应力函数与应力分量的关系，再将 用应力函数表示的应力分量代入相容方程，得到一组 用应力函数表示的相容方程，即应力函数表示的控制 方程。
2--弹性力学基本理论
yz
zx
• 应变的定义
• 设平行六面体单元，3个轴棱边 ：
– 变形前为MA，MB，MC； – 变形后变为M'A'，M'B'，M'C'
。
x、 y、 z
•正应变（小变形）
•符号规定： 正应变以伸长为正。
•剪应变
•符号规定： 正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y
y
q
q
sx
ͼ 1-1a
x
0
sx x
ͼ 1-1b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
ͼ 1-3a ͼ 1-3b
2.1 弹性力学的基本假定
• 连续性假设：物体所占的空间被介 质充满，不考虑材料缺陷，在物体 内的物理量是连续的, 可以采用连续 函数来描述对象。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究， 但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。 材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而 要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这 样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近 似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单 元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析 的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们 可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度， 并确定它们的适用范围。
当△S 趋近于0，则为P点的面力
•面力分量 •符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 •面力的量纲：[力]/[长度]^2 •列阵表示：Fs={X Y Z}T
集中力
体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点
弹性力学(9)讲义版
( )
r r curlA = ∇ × A = 0
r 对于无旋场 ，有：A = grad Φ = ∇Φ
∂ ∂ ∂ ∇ = , , ∂x ∂y ∂z
r A的标量势 , r 为 R 的标量 函数。
inΩ
r 不失一般性，令： ∇g Ψ = 0
r r divA = ∇g A = 0 inΩ r r r r 对于无源场 ，有： A = curl Ψ = ∇ × Ψ A的矢
r r E = ∇Φ + ∇ × Ψ
r ∇ ×U = 0
r r r E = U +V
r ∇g V = 0
r 将赫姆霍兹定理 用于位移场 u ：
二、位移矢量的 Stokes分解
r r r u = u1 + u2
r r E = ∇Φ + ∇ × Ψ
没有转动 的位移 （无旋 没有体积变r 化的位移 （等体 r r r r 的）∇ × u1 = 0 , u 1 = ∇ Φ 的）θ = ∇ g u 2 = 0 , u 2 = ∇ × Ψ
司 老多媒体教学系列 师
弹性力学
华中科技大学力学系
2014年2月28日
1
司继文
老 司 师
多媒体教学系列
弹性力学 第九章 习题： 10-1 10-2 10-5 10-6 10-8 10-9
2
第九章 空间问题
§9-1 基本方程的柱坐标和球坐标形式 §9-2 位移的势函数分解 §9-3 弹性力学的位移通解 §9-4 弹性力学的应力通解
uR = uR ( R ) ,uθ = 0,uϕ = 0
γ Rθ = γ ϕθ = γ Rϕ = 0 ε R = ε R ( R ) ,ε θ = ε ϕ = ε T ( R )
02《弹性力学》教案：第二章：平面问题的基本理论
二、弹性力学平面问题
弹性力学平面问题的特点有两个： （ 1） 、从几何尺寸的角度看，物体一个方向的尺寸，较之其它两个方向的尺 寸要大得多，或小得多。 （ 2） 、从受力分析的角度看，物体所受的体力分量和面力分量，以及由此产 生的应力分量、应变分量和位移分量，都与某一个坐标轴（例如 z 轴）无关。 有 两 种 典 型 情 况 ， 分 别 是 平 面 应 力 问 题 （ pla ne s tre ss pr obl e m ） 和 平 面 应 变 问 题 （ pla ne stra i n pr obl e m ） 。分别讨论。 1、 平 面 应 力 问 题 几 何 尺 寸 ： 物 体 是 很 薄 的 等 厚 度 平 板 ， 沿 z 方 向 的 厚 度 为 t； 沿 x 方 向 和 y 方 向的尺寸，远大于厚度 t。 坐 标 系 ： 以 薄 板 的 中 面 为 xoy 面 ， z 轴 垂 直 于 xoy 面 。 受力特点：体力作用于板内，平行于板面且不沿厚度变化， （ X、Y） ，沿厚 度均匀分布。 面力作用于板边，平行于板面且不沿厚度变化， （ X 、Y ） ，沿厚 度均匀分布。
σ x = σ x ( x, y ) ， 则 在 c d 面 上 ， 由 于 长 度 增 加 了 dx ， 则 c d 面 上 的 正 应 力 分 量 应 随
之 变 化 。应 力 分 量 的 这 种 变 化 可 用 泰 勒 级 数 展 开 求 得 。实 际 上 ，在 c d 面 上 ，我 们 有
σ x ( x + dx, y ) = σ x ( x, y ) +
１１
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弹性力学第七章 主应力
2mn yz 2nl zx 2lm xy
（7-3）
p2
2 n
2 n
px2
p
2 y
pz2
2 n
px2
p
2 y
pz2
2 n
（7-4）
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§7－2 物体内一点的应力状态
如果ABC是边界面，px, py , pz 成为面力分量
fx, fy, fz
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§7－5 轴对称问题的基本方程
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§7－5 轴对称问题的基本方程
轴对称问题： 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外
力作用，都是对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则 所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。轴对称问题的弹性体的形 状一般为是圆柱或半空间。
( x
1)
m1 l1
yx
n1 l1
zx
0
xy
m1 l1
( y
1)
n1 l1
zy
0
可以求得 m1 , n1 的比值，再利用 l 2 m2 n2 1 求出：
l1 l1
l1
1
2
2
1
m1 l1
n1 l1
同样也可以求出其他主应力的方向余弦。
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E
（7－13）
弹性力学简明教程
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§7－4 几何方程及物理方程
（7-3）
p2
2 n
2 n
px2
p
2 y
pz2
2 n
px2
p
2 y
pz2
2 n
（7-4）
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§7－2 物体内一点的应力状态
如果ABC是边界面，px, py , pz 成为面力分量
fx, fy, fz
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§7－5 轴对称问题的基本方程
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§7－5 轴对称问题的基本方程
轴对称问题： 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外
力作用，都是对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则 所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。轴对称问题的弹性体的形 状一般为是圆柱或半空间。
( x
1)
m1 l1
yx
n1 l1
zx
0
xy
m1 l1
( y
1)
n1 l1
zy
0
可以求得 m1 , n1 的比值，再利用 l 2 m2 n2 1 求出：
l1 l1
l1
1
2
2
1
m1 l1
n1 l1
同样也可以求出其他主应力的方向余弦。
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（7－13）
弹性力学简明教程
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§7－4 几何方程及物理方程
弹性力学基本概念和考点
基本概念：（1）面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定（2）切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。
（3）弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。
（4）平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。
同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。
这时，二z =0, Z =0,・zy =0，由切应力互等，二Z =0, * =0,・yz =0，这样只剩下平行于xy面的三个平面应力分量，即匚x,二y, xy二yx，所以这种问题称为平面应力问题。
设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，z^0, z^0，根据切应力互等，任=0,『=0。
由胡克定律，ZX =0, zy =0，又由于z方向的位移w处处为零，即；z = 0。
因此，只剩下平行于xy面的三个应变分量，即；x, ；y, xy，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。
（5）一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。
（6）圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。
（7）轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。
这种问题称为空间轴对称问题。
平衡微分方程:（记:u（记）（1）平面问题的平衡微分方程;（2）平面问题的平衡微分方程（极坐标）；——L+ - +—!-- +&P P P CT ptp^2!^ + cP P1、 平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是 平衡的。
第2章 平面问题的基本理论汇总
一、单元体的受力图
t= 1
平面应力：z方向应力为零。 平面应变：z方向应力自成平衡。
应用的基本假定： 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替
变形后的尺寸。
二、平衡微分方程(平面任意力系)
合力 = 应力×面积，体力×体积； 以正向物理量来表示。
平面问题中可列出三个平衡条件:
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox z
y
只有
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y
思考题 设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果
想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?
2-2 平面问题的平衡微分方程
将（px,py）向法向、切向投影，得
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-4 几何方程 刚体位移
一、几何方程:表示应变与位移之间的关系
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y u u x, y,v v x, y
罗建辉
第二章
平面问题的 基本理论
2-1 平面应力问题和平面应变问题
一、弹性力学空间问题的简化
(在特定的条件下)
空间问题
平面问题
二、弹性力学平面问题
1、平面应力问题 (1) 几何特征：
等厚度的薄板，厚度<<长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿板厚不变；
体力fx、fy作用于体内； 面力fx、fy作用于板边； 约束u、v 作用于板边。
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来 检验方程的正确性）。
t= 1
平面应力：z方向应力为零。 平面应变：z方向应力自成平衡。
应用的基本假定： 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替
变形后的尺寸。
二、平衡微分方程(平面任意力系)
合力 = 应力×面积，体力×体积； 以正向物理量来表示。
平面问题中可列出三个平衡条件:
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox z
y
只有
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y
思考题 设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果
想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?
2-2 平面问题的平衡微分方程
将（px,py）向法向、切向投影，得
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-4 几何方程 刚体位移
一、几何方程:表示应变与位移之间的关系
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y u u x, y,v v x, y
罗建辉
第二章
平面问题的 基本理论
2-1 平面应力问题和平面应变问题
一、弹性力学空间问题的简化
(在特定的条件下)
空间问题
平面问题
二、弹性力学平面问题
1、平面应力问题 (1) 几何特征：
等厚度的薄板，厚度<<长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿板厚不变；
体力fx、fy作用于体内； 面力fx、fy作用于板边； 约束u、v 作用于板边。
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来 检验方程的正确性）。
弹性力学主要内容及参考书目《弹性力学》
弹性力学
弹性力学的主要章节内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章 绪 论 平面问题的基本理论 平面问题的直角坐标解答 平面问题的极坐标解答 平面问题的复变函数解答 温度应力的平面问题 平面问题的差分解 空间问题的基本理论 空间问题的解答 等截面直杆的扭转 能量原理与变分法 弹性波的传播
教材与主要参考书
教材： 《弹性力学》（上册，第三版）
徐芝纶 编 高等教育出版社 （Timoshenko）编 科学出版社 同济大学出版社 清华大学出版社
参考书：《弹性理论》 铁木辛柯
பைடு நூலகம்
《弹性力学》 吴家龙 编
《弹性理论基础》 陆明万等 编 《弹性力学学习方法及解题指导》
王俊民 编 徐秉业 编 同济大学出版社 机械工业出版社
《弹性与塑性力学》（例题与习题）
弹性力学的主要章节内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章 绪 论 平面问题的基本理论 平面问题的直角坐标解答 平面问题的极坐标解答 平面问题的复变函数解答 温度应力的平面问题 平面问题的差分解 空间问题的基本理论 空间问题的解答 等截面直杆的扭转 能量原理与变分法 弹性波的传播
教材与主要参考书
教材： 《弹性力学》（上册，第三版）
徐芝纶 编 高等教育出版社 （Timoshenko）编 科学出版社 同济大学出版社 清华大学出版社
参考书：《弹性理论》 铁木辛柯
பைடு நூலகம்
《弹性力学》 吴家龙 编
《弹性理论基础》 陆明万等 编 《弹性力学学习方法及解题指导》
王俊民 编 徐秉业 编 同济大学出版社 机械工业出版社
《弹性与塑性力学》（例题与习题）