弹性力学 空间问题基本理论

第七章空间问题的基本理论
第七章 空间问题的基本理论
在空间问题中，应力、形变和位移等基本 知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。
空间问题的基本方程，边界条件，以及 按位移求解和按应力求解的方法，都是与 平面问题相似的。因此，许多问题可以从 平面问题推广得到。
第七章空间问题的基本理论
§7-1 平衡微分方程
n 0 , p σn σ.
斜面上沿坐标向的应力分量为：
px l , py m , pz n .
代入 px , py , pz , 得到：
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lσ x m yx n zx lσ ,
mσ y n zy l xy mσ,
(a)
nσ z
l xz
m yz
nσ.
yx
y
zx
z
fx
0
,
(x, y, z).
(c)
因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向， 量纲均为L，所以 x , y , z 坐标具有对等性， 其方程也必然具有对等性。因此，式(a)的 其余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。
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平衡微分方程
由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，
M x 0 ， yz zy ， (x, y , z) 。 (d)
空间问题的平衡微分方程精确到三阶 微量 (dxd ydz)。
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思考题 z
在图中，若点
o的x向正应力分 量为 σ x ，试表
B dz
示点 A , B 的x向 正应力分量。
dy
y
o dx
A
x
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σx
σy
σz ,
Θ2 σ1σ2 σ2σ3 σ3σ1 σ yσ z
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1. 求 p ( px , py , pz )
取出如图的包含斜面 的微分四面体，斜面面积 为ds, 则x面，y面和z面的 面积分别为lds,mds,nds。
px py pz
由四面体的平衡条件 Fx 0(x, y, z) ，
得出坐标向的应力分量,
px lσx m yx n zx , (x, y, z). (a)
应力不变量
5.应力不变量
若从式(c) 求出三个主应力 σ1,σ2 ,σ3 ，
则式(c)也可以用根式方程表示为，
(σ σ1)(σ σ2 )(σ3 σ) 0 .
(f )
因式(c) 和( f )是等价的方程，故 σ 的各
幂次系数应相等，从而得出：
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应力不变量
Θ1
σ1
σ2
σ3
2 xy
)σ
(σ
xσ
y
σ
z
σ
x
2 yz
σ
y
2 zx
σz
2 xy
2
yz
zx
xy
)
0.
(c)
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应力主向
3.应力主向
设主应力 σ1 的主向为 l1,m1,n1。代入式 (a)中的前两式，整理后得
yx
m1 l1
zx
n1 l1
(σx
σ1)
0,
(σ y
σ1)
m1 l1
zy
n1 l1
注意:
式(b), (c) 用于V内任一点，表示斜面应 力与坐标面应力之间的关系；
式(d)只用于 sσ边界点上，表示边界面
上的面力与坐标面的应力之间的关系，所 以必须将边界面方程代入式(d)。
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斜面应力
§7-3 主应力 最大与最小的应力
1.假设 n面 (l , m , n)为主面，则此斜面上
则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜
面与边界重合。斜面应力分量 ( px , py , pz ) 应
代之为面力分量 ( f x , f y , fz ) ，从而得出空间
问题的应力边界条件:
(lσx m yx nzx )s fx , (x, y, z) . (在Sσ上) (d)
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考虑方向余弦关系式，有
l 2 m2 n2 1.
(b)
结论：式(a) , (b)是求主应力及其方 向余弦的方程。
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求主应力
2. 求主应力 σ
将式(a)改写为：
(σ x σ)l yxm xyl (σ y σ)m
zzxynn00,,
xzl yzm(σ z σ)n0。
斜面应力
§7-2 物体内任一点的应力状态
在空间问题中，同样需要解决：由直
角坐标的应力分量
σ
…
x
…yz，来求出斜面
(法线为 ）n上 的应力。
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斜面应力
斜面的全应力p 可表示为两种分量形式：
p沿坐标向分量:
p ( px , py , pz ).
p沿法向和切向分量:
p (σn ,n ).
平衡条件
取出微小的平行六面体，d v d x d y d z，
考虑其平衡条件:
F x 0,
Fy 0, Fz 0; (a)
Mx 0,
M y 0,
Mz 0. (b)
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第七章空间问题的基本理论
平衡微分方程
由x 轴向投影的平衡微分方程 F x 0 ,
得
σ x x
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n n
2. 求 p (σn , n ) 将 p ( px , py , pz )向法向 n投影，即得
σn lpx mpy npz l2σx m2σy n2σz 2mn yz 2nl zx 2lm xy . (b)
由
p
2
px2
p
2 y
pz2
σ
2 n
2 n
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求主应力
上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得
σx σ
xy xz
yx
σ y σ
yz
zx zy 0,
σz σ
展开，即得求主应力的方程,
σ
3
(σx
σ
y
σ
z
)σ
2
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(σ
yσz
σzσx
σ
xσ
y
2 yz
2 zx
xy
0.
(d)
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应力主向
由上两式解出
m1 l1
,
n1 l1
。然后由式(b)得出
1
l1
. 1 ( m1 )2 ( n1 )2
(e)
l1
l1
再求出 m1 及 n1 。
4. 一点至少存在着三个互相垂直的主应力
σ1,σ 2 ,σ3 （证明见书上）。
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,
得
2 n
px2
py2
pz2
σn2
.
(c)
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n n
从式(b)、(c )可见, 当六个坐标面上的 应力分量确定之后，任一斜面上的应力也 就完全确定了。
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应力边界条件
3. 在 sσ 上的应力边界条件
设在 sσ边界上，给定了面力分量 fx, fy , fz ,