1.5推理规则和证明方法
精品文档-离散数学(方世昌)-第1章
第1章 数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
3
第1章 数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 故将它归属于 命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于 命题。
6
第1章 数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。 这 样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命 题。 这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子 命题或本原命题。 例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命 题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两 个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
34
第1章 数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式 通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。 但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值， 因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称 为命题常元。
35
第1章 数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。 但这样描述 过于表面，它没能指出命题公式的结构。 因为不是由命题变元、 联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算 机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式(简称公式):
推理证明与逻辑推理的基本方法
推理证明与逻辑推理的基本方法在日常生活中，我们常常需要做出决策或得出结论。
这时，我们就需要进行推理，以便能够根据已有的信息、证据或事实得出合理的结论。
推理方法包括推理证明和逻辑推理，二者都是在我们日常思维过程中常用的基本方法。
一、推理证明的基本方法推理证明是一种根据已知的证据和信息以及逻辑推理来得出结论的过程。
其基本方法包括归纳证明、演绎证明和对比证明。
1. 归纳证明归纳证明是一种通过观察现象来推断普遍性结论的方法，一般分为数学归纳法和实证归纳法。
其中，数学归纳法的基本思想是：如果对于一个正整数n，当n=1时结论成立，且当n=k时结论成立，则当n=k+1时结论也成立。
而实证归纳法则是通过一系列实验或实际事实中的个别案例证实一个假说，然后推算出结论的正确性。
例如，我们根据过去的数据发现，每逢夏日来临，天气会变得越来越炎热，那么我们就通过归纳推理来得出结论：夏季气温会上升。
2. 演绎证明演绎证明是一种通过已有的前提，通过严密的逻辑推理推导出结论的方法。
演绎证明根据推理的过程可以分为诡辩演绎和有效演绎，其中我们应该遵循有效演绎法即使前提正确，结论也一定正确的道理。
例如，假设我们已知“所有人类都会死亡”然后反推出“我会死亡”，这就是一种绝对正确的演绎证明。
3. 对比证明对比证明是一种根据两个或多个事物的异同性来得出结论的方法。
其中，比较分析的本质是难以玄妙地反复推导比较的两个事物间精神内辅及物质内在因果关系和基本形态、规律、变化趋势等多方面不同和相同之处，从而进而得到正确判断的结论。
例如，我们可以通过对比许多国家的社会制度来发现，民主制度对促进国家发展和民生改善更为有利，因此通过对比推理来得出民主制度的优越性结论。
二、逻辑推理的基本方法逻辑推理是一种利用逻辑规则进行推理的方法，通过对事物之间的关系、条件、前提、方式、结果等进行逻辑分析，得出正确的结论，其中比较常见的逻辑推理方法包括假言命题、陈述命题、三段论等。
第一章 逻辑与证明(2)
15
NEC-DM
p
T T T F T F F F
q
T T F T F T F F
r
T F T T F F T F
q∨r
p → (q∨r)
¬q
¬r
¬p
p → (q∨r) ¬q ¬r _________ ¬p
注意到：当p → (q∨r) ，¬q ， ¬r 三 个命题都为T的时候，¬p也为T，因此本 论证有效。
NEC-DM
例
假设d、d1、d2 和x 是任意实数 if d=min(d1,d2) and x ≤d then x ≤d1 and x ≤d2 证明：根据min 的定义可以推出d ≤ d1 并且d ≤ d2。 依x ≤ d 并且d ≤ d1，可以根据前面的定理（例 1.5.5 的第二个定理）推出x ≤ d1。由于x ≤ d 并且d ≤ d2，可以根据前面的同一个定理推出 x ≤ d2。因此，x ≤ d1 并且x ≤ d2。
2
NEC-DM
1.5.2 命题逻辑的有效论证
从一系列前提得出结论的方法称为演绎推理。 前提：已知的命题系列 结论：由假设得出的结论
结论从前提导出 结论为真 任何论证过程都有形式： 如果p1并且p2并且…并且pn, 则q。 论证有效在于形式不在于内容
3
NEC-DM
定义
一个论证过程是一系列的命题， p1,p2,…,pn/∴q p1,p2,…,pn称为前提，命题q是结论 如p1,p2,…,pn全为真，则q也必为真， 那么论证有效；否则论证过程是无 效的
假设３段论
p q pq
析取３段论
化简
附加
pq p
p pq
pq qr pr
pq p q
8
高中数学推理证明题的常用证明方法及实例解析
高中数学推理证明题的常用证明方法及实例解析在高中数学中，推理证明题是一种常见的题型，要求学生运用已知的条件和基本的数学知识，通过逻辑推理和证明方法来得出结论。
这类题目不仅考察学生的数学思维能力，还培养了学生的逻辑思维和分析问题的能力。
本文将介绍一些常用的证明方法，并通过具体的题目解析，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一，它通过逻辑推理和运用已知条件来得出结论。
具体步骤如下：1. 首先，我们要明确问题的要求，即要证明的结论是什么。
2. 其次，我们要分析已知条件，找到与结论相关的条件和信息。
3. 然后，我们要根据已知条件和结论，通过逻辑推理和数学运算，一步一步地推导出结论。
4. 最后，我们要对证明过程进行总结，确保每一步的推理都是合理的，并且符合数学规律。
下面通过一个具体的例子来说明直接证明法的应用。
【例题】已知：直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=BC。
证明：∠ABC=45°。
【解析】根据已知条件，我们可以得到∠B=90°和AB=BC。
接下来，我们通过直接证明法来证明∠ABC=45°。
由于∠B=90°，所以∠ABC+∠BCA=90°。
（三角形内角和定理）又因为AB=BC，所以∠BCA=∠ABC。
（等腰三角形的性质）将上述两个等式带入∠ABC+∠BCA=90°中，得到∠ABC+∠ABC=90°。
化简得到2∠ABC=90°，即∠ABC=45°。
因此，我们通过直接证明法证明了∠ABC=45°。
二、间接证明法间接证明法是一种通过反证法来证明结论的方法。
它假设结论不成立，然后通过逻辑推理推导出矛盾的结论，从而反驳了假设，证明了结论的正确性。
具体步骤如下：1. 首先，我们要明确问题的要求，即要证明的结论是什么。
2. 其次，我们要假设结论不成立，即假设反面命题成立。
《离散数学》--随堂练习(2019)
第一章命题逻辑1.1 命题与联结词1、在下面句子中，是命题的是( A )A．明年“五一”是晴天。
B．这朵花多好看呀！。
C．这个男孩真勇敢啊！ D．明天下午有会吗？2. 在下面句子中，是命题的是( B )A．1＋101＝110 B．中国人民是伟大的。
C．这朵花多好看呀！ D．计算机机房有空位吗？3. 在下面句子中( A )是命题A．如果天气好，那么我去散步。
B．天气多好呀！C．x=3。
D．明天下午有会吗？4．下面的命题不是简单命题的是( A )A．3是素数或4是素数 B．2018年元旦下大雪C．刘宏与魏新是同学 D．圆的面积等于半径的平方与π之积5．下面的表述与众不一致的一个是( C )A．P：广州是一个大城市 B．⌝P：广州是一个不大的城市C．⌝P：广州是一个很不小的城市 D．⌝P：广州不是一个大城市6．设，P：他聪明；Q：他用功。
在命题逻辑中，命题：“他既聪明又用功。
”可符号化为：( A )A．P ∧Q B．P→QC．P∨⌝Q D．P∧⌝Q7．设：P ：刘平聪明。
Q：刘平用功。
在命题逻辑中，命题：“刘平不但聪明，而且用功”可符号化为：( A )A．P ∧Q B．⌝P∨QC．P∨⌝Q D．P∧⌝Q8．设：P：他聪明；Q：他用功。
则命题“他虽聪明但不用功。
”在命题逻辑中可符号化为( D )A．P ∧Q B．P→QC．P∨⌝Q D．P∧⌝Q9．设：P：我们划船。
Q：我们跑步。
在命题逻辑中，命题：“我们不能既划船又跑步。
”可符号化为：( B )A．P→Q B．⌝（P ∧Q）C．P∨Q D．P∧⌝Q10．设：P：王强身体很好；Q：王强成绩很好。
命题“王强身体很好，成绩也很好。
”在命题逻辑中可符号化为( D )A．P ∨Q B．P→QC．P∧⌝Q D．P∧Q11．设：P：你努力；Q：你失败。
则命题“除非你努力，否则你将失败。
”在命题逻辑中可符号化为( C )A ．Q →PB ．P → QC ．⌝ P →QD ．Q ∨⌝P12．设：p ：派小王去开会。
离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例
离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例1 The Foundations: Logic and Proofs（逻辑与证明）1.1 Propositional Logic（命题逻辑）Propositions（命题）——declarative sentence that is either true or false, but not both.判断性语句，正确性唯一。
Truth Table（真值表）Conjunction（合取，“与”，and），Disjunction（析取，or，“相容或”），Exclusive（异或），Negation（非，not），Biconditional（双条件，双向，if and only if）Translating English Sentences1.2 Propositional Equivalences（命题等价）Tautology（永真式、重言式），Contradiction（永假式、矛盾式），Contingency（偶然式）Logical Equivalences（逻辑等价）——Compound propositions that have the same truth values in all possible cases are called logical equivalent.（真值表相同的式子，p<->q是重言式）Logical Equivalences——Page24Disjunctive normal form(DNF，析取范式)Conjunctive normal form(CNF，合取范式) 见Page27～291.3 Predicates and Quantifiers（谓词和量词）Predicates——谓词，说明关系、特征的修饰词Quantifiers——量词? Universal Quantifier(全称量词) "全部满足? Existential Quantifier(存在量词) $至少有一个Binding Variables(变量绑定，量词作用域与重名的问题)Logical Equivalence Involving QuantifiersNegating Quantified Expressions(量词否定表达：否定全称=存在否定，否定存在=全程否定) Translating from English into Logical Expressions(自然语句转化为逻辑表达)Using Quantifiers in System SpecificationsExamples from Lewis Carrol——全称量词与条件式(p->q)搭配，存在量词与合取式搭配。
数学推理及证明方法
数学推理及证明方法数学推理及证明方法是数学研究中一项关键的技巧和方法。
它不仅在解决数学问题时起到重要作用，同时也促进了数学领域的发展和进步。
本文将介绍数学推理的基本概念、常见的证明方法以及一些实际应用案例。
在数学推理中，推理是指由已知的真实命题出发，通过一系列合理的步骤得出新的结论。
推理的目的是通过逻辑推理演绎出结论的真实性。
数学推理的基础是数学公理和定义，通过运用逻辑原理、推理规则和证明方法，来推导出未知命题的正确性。
数学证明是数学推理的一个重要部分，它是指通过严密的推理过程来证明一个数学命题的真实性。
在数学证明中，常见的证明方法有直接证明法、归谬法、递推证明法、反证法、数学归纳法等。
直接证明法是最常见的证明方法之一。
它通过假设已知命题成立，然后通过逐步推理得出目标命题的正确性。
例如，在证明一个数学定理时，我们可以先假设已知的条件成立，然后按照逻辑顺序一步步进行推导，最终得到目标命题成立的证明。
归谬法是一种通过假设目标命题为假，然后通过推理演绎出与已知条件相矛盾的结论，从而证明目标命题的正确性的证明方法。
当假设的目标命题为假的时候，无论如何推导都会导致矛盾，从而说明目标命题一定为真。
递推证明法是通过将目标命题分解成同一类型的小命题，并将小命题的正确性递推到目标命题的证明方法。
这个方法通常适用于同构问题，即具有相同结构和重复性质的问题。
通过证明一个基本情况成立，然后利用递推关系将证明扩展到更一般的情况。
反证法是假设目标命题不成立，并通过逻辑推理得出与已知条件相矛盾的结论，从而证明目标命题的正确性。
当假设的目标命题不成立时，通过逻辑推理会导致矛盾，从而说明目标命题一定成立。
数学归纳法是一种证明自然数命题或递归定义的正确性的常用方法。
它由两个步骤组成：基本情况的证明和归纳步骤的证明。
基本情况是证明命题在最小的情况下成立，而归纳步骤是证明如果命题在一个情况下成立，则对于下一个情况也成立。
数学推理及证明方法在实际问题中有广泛的应用。
逻辑推理与证明方法总结
逻辑推理与证明方法总结逻辑推理和证明方法是逻辑学领域中非常重要的概念和方法。
在这篇文章中，我们将讨论逻辑推理和证明方法的基本概念、常见的形式以及它们在解决问题和判断正确性方面的作用。
一、逻辑推理的基本概念逻辑推理是基于形式逻辑的方法，通过推断来得出结论。
它不依赖于实际情况，而只关注逻辑关系的合理性。
逻辑推理可以分为两种类型：演绎推理和归纳推理。
1. 演绎推理：演绎推理是从一般规则或前提中推导出特定结论的过程。
它基于“如果…那么…”的逻辑形式，又称为条件推理。
演绎推理可分为三种形式：假言推理、拒取推理和三段论。
2. 归纳推理：归纳推理是从特殊案例中推导出一般规律的过程。
它基于观察和经验，并通过类比和概率来得出结论。
归纳推理常用于科学实验、统计分析和常识判断等领域。
二、常见的证明方法证明方法是通过推理和逻辑推导来证明某个命题或结论的有效方法。
下面是几种常见的证明方法：1. 直接证明法：直接证明法通过逻辑推理和前提的已知条件，直接得出结论的正确性。
它通常使用“假设-推导-结论”的结构，逐步推导出最终的结论。
2. 反证法：反证法通过假设反面命题为真，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原命题为假。
反证法常用于证明数学定理和逻辑命题。
3. 归谬法：归谬法是通过证明某个命题的反面导致自相矛盾的结论，从而推翻该反命题，进而证明原命题的正确性。
4. 数学归纳法：数学归纳法是通过证明命题对某个基础情况成立，然后证明对于任意情况都成立的方法。
它将问题分解为基础情况和递推情况两部分，通过归纳法证明了所有情况都满足命题。
三、逻辑推理和证明方法的应用逻辑推理和证明方法广泛应用于数学、哲学、计算机科学等领域，具有重要的理论和实践意义。
1. 在数学中，逻辑推理和证明方法是数学证明的基础。
数学家通过逻辑推理和证明方法建立了数学定理和公理体系，为数学研究提供了强大的工具。
2. 在哲学中，逻辑推理和证明方法是研究思维、知识和真理的重要工具。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
离散数学
Discrete Mathematics
数理逻辑 1.5 推理规则与证明方法
张晓 西北工业大学计算机学院 zhangxiao@ 2011-1-10
引言
什么时候数学论证是正确的？ 用什么方法来构造数学论证？ 数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究推理过 程。
所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程 前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用 推理规则推出的命题公式。
要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首 先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。
2011-1-10
离散数学
2
1.5.1
推理规则
前几节所讲的命题演算, 本质上和简单的开 关代数一样, 简单的开关代数是命题演算的 一种应用。
现在, 我们从另一角度研究命题演算, 即从 逻辑推理角度来理解命题演算。
2011-1-10
离散数学
3
4个推理的例子
设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。
例1 如果x是偶数, 则x2是偶数。
前提 x是偶数。
x2是偶数。
例2 如果x是偶数, 则x2是偶数。
x2是偶数。
2011-1-10
P→Q P
结论
∴Q
在每一例子中, 横线上的是前提, 横线下的是结论。
右侧是例子的 逻辑符表示。
P→Q Q
x是偶数。
离散数学
∴P
4
例3 如果x是偶数, 则x2是偶数。
x不是偶数。
x2不是偶数。
例4 如果x是偶数, 则x2是偶数。
x2不是偶数。
x不是偶数。
2011-1-10 离散数学
P→Q P ∴ Q
P→Q Q ∴ P
5
例 1 中, 若不管命题的具体涵义, 那么它所应用的推理规则 就是 左侧规则的另一
P →Q P ∴ Q
种写法
所对应的永真蕴 含式。
P ,P → Q 推得 Q
P∧(P→Q) ⇒ Q
从这个永真蕴含式可看出, 它正是代表“如果 P 并且 P→Q 是真, 则 Q是 真”的意义, 这里P和Q表示任意命题。
它恰好代表左侧的推理规则。
这条推理规则叫假言推理, 从形式上看 结论Q是从P→Q中分离出来的, 所以又叫分离规则。
它是推理规则中最 重要的一条。
2011-1-10
离散数学
6
对任一永真蕴含式A ⇒ B来说, 如果前提A为真, 则可保 证B为真, 因此不难看出, 任一个永真蕴含式都可作为一条推理 规则。
例如, ┓P∧(P∨Q) ⇒ Q 代表以下规则, 叫做析取三段 论。
P ∨Q
P
∴ Q 或
所对应的永真蕴 含式。
P，P ∨ Q推得Q。
P∧(P∨Q) ⇒ Q ┓
2011-1-10
离散数学
7
下边举一个例子, 说明这条推理规则是正确的。
设 P: 他在钓鱼, 他在钓鱼或下棋 他不在钓鱼 ∴他在下棋 这样, 就可给出以下定义: ∴ Q
Q: 他在下棋。
P∨Q P
2011-1-10
离散数学
8
有效结论
定义 1.4-1 若 H1∧H2∧ …∧Hn Hn的有效结论。
⇒C, 则称 C 是 H1, H2,
…,
特别若A ⇒ B, 则称B是A的有效结论。
定义说明: 若 H1∧H 2∧ …∧Hn ⇒C, 则从H1∧H2∧…∧Hn推出 C, 这样的推理是正确的。
2011-1-10
离散数学
9
注意
前提为真时, 才保证结论C为真; 前提为假时, C可能真也可能假 A ⇒ C，则C是正确的 × A ⇒ C，并且A为真，则C为真 √ 推理正确不等于结论为真 只要不出现真值表中1 → 0 的情况，推理就是正 确的 。
有效是指结论的推出是合乎推理规则的，判别有效 结论的过程就是论证过程。
2011-1-10
离散数学
10
否定后件
判别有效结论的方法（证明的方法）
的真值表
离散数学
注意格式：步骤、断
的有效结论。
形式
∴┓P∧┓Q ┓(P∧Q)
⇒。