材料力学三向应力状态
主单元体：六个平面都是主平面
2 3
1
1
3
3 2
第3页/共72页
2
1
在平行于 σ1 的各个斜截面上，其应力对应 于由主应力 σ2 和 σ3 所画的应力圆圆周上各点 的坐标。
2 3
1 3 2
1 3
第4页/共72页
2 1
这样，单元体上与主应力之一平行的各个 斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆 圆周上各点的坐标来表示。
CL10TU30
五.体积应变：
V0 abc
V1 a(1 1)b(1 2 )c(1 3)
略去高阶微量,可得：
2
V1 abc(1 1 2 3)
单位体积的体积改变为:
V1 V0
V0
1 2 3
也称为体积应变。
b 1
3
c
a
第15页/共72页
CL10TU30
1 2 3
3(1 2)1 2 3
角的平面上，以τ1，3表示。
第7页/共72页
CL10TU31
[例9-6]求图示应力状态的主应力和最大应 力（应力单位为MPa）。
解：
1 3
30
2
20
30 20 2
2
402
52.2 42.2
MPa
2 50MPa
max
1
3
2
47.2MPa
第8页/共72页
CL10TU32
[例9-7]求图示应力状态的主应力和最大剪 应力 （应力单位为MPa）。
q
已知 1 0
2 q
y
x
3 0
3
1 E
(
3
2
)
0
z
3 2 q
第17页/共72页
§9-5平面应变状态分析目录 下章 上节
这里所指的平面应变状态，实际上是平 面应力所对应的应变状态，它与弹性力学中 所说的平面应变状态不同。
由于最大应变往往发生于受力构件的表面 ，而表面上的点一般都可按平面应变状态进 行分析。
E
3
1 2
3
1
E 1
E 1
E
1 2 3
（ 2 （ 3 （1
3） 1） 2）
1 2
E
(1
2
3)
m
K
当
0.5时，
0
K E 体积弹性模量
3(1 2)
m
1 2 3
3
第16页/共72页
[例9-9]如图刚性槽内放置边长为1的立方
体。若上部压力为q，求立方体的应力。 解：用广义虎克定律求解
max
1
3
2
80MPa
第11页/共72页
§9-4 广义胡克定律
一. 单向应力状态虎克定律
纵向应变：
E
横向应变：
E
2
二. 广义虎克定律：
1.1方向的应变：
1作用产生的应变
1
1
E
3
第12页/共72页
1
CL10TU35
2.
2、
引起的应变为
3
1
2
E
1
3
E
3. 广义虎克定律：
3
2 1
第5页/共72页
至于与三个主方向都不平行的任意斜截面， 弹性力学中已证明，其应力σn和τn可由图中阴 影面内某点的坐标来表示。
2
n
1
3
2
1
3
第6页/共72页
在三向应力状态情况下：
2
max 1
min 3
max
1
2
3
3
2
3
1
1
τmax 作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45°
sin
2
x y sin 2 xy cos 2
2
2
2
2
x x
2
2
y
x
2
y
cos 2
x
y sin 2 x cos 2
第21页/共72页
sin 2
二.主应变
tan
2 0
2 x x
y
max min
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
2
tan
20
xy x
y
max min
求出 x 、 y 、45 0
直角应变花： x 0 ， y 90
由 45
x
y
2
xy
2
可求得:
xy 0 90 2 45
第25页/共72页
CL10TU28
§9-6 复杂应力状态下的变形比能
一、微元体应变能
求出 x 、 y 、 xy
第23页/共72页
应变的实测：
用应变仪直接测出三个选定方向 1、 2、 3的线应变 1 、 2 、 3 ，由下式
1
2
3
x x x
y
2
y
2
y
2
x x x
y
2
y
2
y
2
cos2 1 cos2 2 cos2 3
xy
2
xy
2
xy
2
sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3
解：
2 50MPa
1 2 50MPa
3 50MPa
max
1 3
2
50MPa
第9页/共72页
CL10TU33
[例9-8]求图示应力状态的主应力和最大 剪应力（应力单位为MPa）。
第10页/共72页
解：
1 2
120 2
40
120 2
40 2
302
130 30
MPa
3 30MPa
首先分析平行于主应力之一σ3的斜截面上的 应力。
σ3 对斜截面上的应力没有影响。这些斜截 面上的应力对应于由主应力 σ1 和 σ2 所画的应 力圆圆周上各点的坐标。
2
1
1
3
3
2
第1页/共72页
3
2
1
第2页/共72页
同理，在平行于 σ2 的各个斜截面上，其应 力对应于由主应力 σ1 和 σ3 所画的应力圆圆周 上各点的坐标。
第18页/共72页
一.斜方向的应变
设构件内一点处的应
变
x、
y和
皆为已
xy
知量。现求和
伸长的线应变和使直 角减小的剪应变规定
为正。
第19页/共72页
CL10TU27
1. 斜方向应力
x x
y
2
y
2
x
2
y
cos 2
x
sin
sin 2 x cos 2
2
2
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2(
x
y
2
(x
y
)2
(
xy
)2
2
2
第22页/共72页
三.应变的实测
用3的应线变应仪变直接1、测出2、 三个3选 ，定 由下方式向1、
、
2
1
2
3
x x x
y
2
y
2
y
2
x x x
y
2
y
2
y
2
cos2 1 cos2 2 cos2 3
xy
2
xy
2
xy
2
sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3
2
)
x
sin
2(
)
2
2
x
y
2
sin
2
x
cos 2
2. 斜方向的应变
1 E
(
2
)
1 E
{
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
[
1 2
(
x
y
)
1 2
(
x
y
)
cos
2
x
sin
2
]}
第20页/共72页
1
[
x
E
y
y
2
x
x
y
(
2
y
x)
2(1 2
)
x
sin
2 ]
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
2
2 1
当三个主应力同时作用时：
3
1
1 E
1 （ 2
3）
另两个方向
2
1 E
2
（ 3
1）
3
1 E
3
（
1
）
2
第13页/共72页
CL10TU30
三. 二向应力状态虎克定律：
1
1 E
( 1
2)
2
1 E
( 2
1)
3
E
( 1
2)
四. 三个弹性常数之间的关系
G
E
21
第14页/共72页
2 1
合集下载
材料力学第7章应力状态
y
2
2 xy
m m
ax in
m
ax
2
m
in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0
2 xy x
y
tan
21
x 2 xy
y
tan
20
1
tan 21
§7.2 平面应力状态分析的解析法
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21
x 2 xy
y
二、最大、最小切应力
m m
ax
in
x
2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
§7.2 平面应力状态分析的解析法
7.2.2 主应力 主方向 一、主应力
正应力是求极值
d d
x
y
2
(2sin 2 ) xy(2cos2 ) 0
得极值条件为
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
0
(1) 极值正应力所在的斜面，恰好是切应力等于零的
平面，即主平面。
(2) 极值正应力就是主应力。
§7.2 平面应力状态分析的解析法
应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向
2．作应力圆 主应力为 1 , 3 ，并可 确定主平面的法线。
材料力学
第七章
应力和应变分析
3．分析 纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等， 但一为拉应力，另一为压应力。由于铸铁抗拉强度较 低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为 45º 的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。
材料力学
第七章
2 2
x y
xy
n
材料力学
y a xy
y On D( x , ) a a
a
第七章
n
应力和应变分析
二、应力圆的画法
建立应力坐标系，如下图所 示，（注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A( x， xy)和B(y，yx)
x
C O
2a
AB与a 轴的交点C便是圆 A( x , xy) 心。
150°
第七章
应力和应变分析
x y 2 2 1 x y （ ） xy 2 2 2
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
95
60°
y 45MP a yx 25 3MP a xy
25 3
x ?
y O x
60 95MPa 60 25 3MPa
材料力学
第七章
应力和应变分析
应力表示——单元体：
①dx、dy、dz（微小的正六面体） ②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内 对应点同方位截面上的应力。
B P
dz
dx
dy
A
C
பைடு நூலகம்
B
D
C
B、C——单向受力，τ ＝0 A——纯剪切， σ ＝0
D
D——既有 σ ，又有τ
材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学：第八章-应力应变状态分析
斜截面: // z 轴； 方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
第十章-三向应力状态简介(材料力学课件)
应力与许用拉应力之比 [ ] 0.5 [ ]
• 用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪
应力与许用拉应力之比 [ ] 0.577 [ ]
例：填空题。
石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵 截面裂开，这与第 二 强度理论的论述基本 一致。
例：填空题。
一球体在外表面受均布压力p = 1 MPa 作用，则在球心处的主应力 1 = －1 MPa， 2 = －1 MPa， 3 = －1 MPa。
1.最大拉应力理论（第一强度理论） • 它假定：无论材料内各点的应力状态如何，
只要有一点的主应力σ1 达到单向拉伸断裂时 的极限应力σu，材料即破坏。
• 在单向拉伸时，极限应力 σu =σb
• 失效条件可写为 σ1 ≥ σb
[ ] b
n
• 第一强度强度条件： 1 [ ]
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、 陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符， 这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应 力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也 是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最 大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它 两个主应力的影响。
V 2EA Al 2E 2
CL10TU40
变形比能：
u 1
2
u
1 2
1
1
1 2
2
2
1
2
3
3
2
1 3
变形比能：
u
1 2
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
• 用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪
应力与许用拉应力之比 [ ] 0.577 [ ]
例：填空题。
石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵 截面裂开，这与第 二 强度理论的论述基本 一致。
例：填空题。
一球体在外表面受均布压力p = 1 MPa 作用，则在球心处的主应力 1 = －1 MPa， 2 = －1 MPa， 3 = －1 MPa。
1.最大拉应力理论（第一强度理论） • 它假定：无论材料内各点的应力状态如何，
只要有一点的主应力σ1 达到单向拉伸断裂时 的极限应力σu，材料即破坏。
• 在单向拉伸时，极限应力 σu =σb
• 失效条件可写为 σ1 ≥ σb
[ ] b
n
• 第一强度强度条件： 1 [ ]
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、 陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符， 这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应 力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也 是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最 大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它 两个主应力的影响。
V 2EA Al 2E 2
CL10TU40
变形比能：
u 1
2
u
1 2
1
1
1 2
2
2
1
2
3
3
2
1 3
变形比能：
u
1 2
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
三向应力
������ = ������������������ + ������������������������ + ������������������������ （II）{������ = ������������������ + ������������������������ + ������������������������
…
…
…
…
…
…
③
（���⃗���为单位法向量，其模等于一）
⇒ ������������ = ���⃗��� ∙ ���⃗⃗⃗���⃗⃗������ = ���⃗��� ∙ (���⃗��� ∙ ������) = ������������ + ������������ + ������������
= (������, ������, ������) ∙ (������������������ + ������������������������ + ������������������������, ������������������ + ������������������������ + ������������������������, ������������������ + ������������������������ + ������������������������)
运用空间立体几何及线性代数 分析在三向应力状态下的主应力
及其主应力的代数求解方法
姓名：Zrl 班级：Qxs 学号：211 联系方式：187
2013 年 7 月 12 日
一、几何模型的建立
如图 1 所示的正六面体几何单元体，其受到空间三维的正应力和切应力。
材料力学——精选推荐
轴向拉压杆横截面上的应力：正应力：σ=N/A；应力单位N/m2，即Pa。
轴向拉压杆斜截面上的应力：总应力：pα=N/Aα=σcosα；正应力：σα=σcos2α；剪应力：τα= =(σsin2α)/2。
α：由横截面外法线转至斜截面外法线的转角，以逆时针转动为正；Aα：斜截面的面积；σα：拉应力为正，压应力为负；τα：以其对脱离体内一点产生顺时针转动为正，反之为负。
最大剪应力发生在α=±45°处的斜截面上。
轴向拉伸的变形：轴向变形△L=L’-L；ε=△L /L；横向变形：△a=a’-a；ε’=△a/a；虎克定律：应力不超过材料比例极限时，应力与应变成正比。
即：σ= Eε；△L= NL/ EA；EA为杆件的抗压（拉）刚度，表示杆件抵抗拉、压弹性变形的能力。
泊松比ν：应力不超过材料的比例极限时，ν=|ε’/ε|，ν是材料的弹性常数之一，无量纲。
变形能：杆件在外力作用下因变形而存储的能量。
轴向抗压杆的弹性变形能：U=N△L/2。
比能：单位体积存储的变形能。
u=σε/2。
单位：J/m3。
名义剪应力：假定剪应力沿剪切面均匀分布的。
则：τ=V/A V。
A V：剪切面面积。
纯剪切：单元体各个侧面上只有剪应力而无正应力称为纯剪切。
纯剪应力引起剪应变γ，即相互垂直的两线段间角度的改变。
单位为rad。
规定以单元体左下直角增大时，γ为正，反之为负。
剪应力互等定律：在互相垂直的两个平面上，垂直于两平面交线的剪应力，总是大小相等，且共同指向或背离这一交线。
τ=τ’。
剪切虎克定律：剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力τ与剪应变γ成正比，即τ=Gγ；G：剪切模量。
对各向同性材料，G=E/2(1+ν)。
扭转：杆两端受到一对力偶矩相等，转向相反，作用平面与杆件轴线相垂直的外力偶作用。
变形特征：杆件表面纵向线变成螺旋线，即杆件任意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。
扭转角φ：杆件任意两横截面间相对转动的角度。
扭矩M T：受扭截面上的内力，是一个在截面平面内的的力偶，其力偶称为力偶矩。
材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)
t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半 径 = 2 t min
s x s y 2 2 （ ） t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面（单位：MPa）。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1
sx 面上的应力(s ，t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理： t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化 得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy
知识资料材料力学(八)(新版)
弯曲变形粱的挠度与转角（一）挠曲线在外力作用下，梁的轴线由直线变为光洁的弹性曲线，梁弯曲后的轴线称为挠曲线。
在平面弯曲下，挠曲线为梁形心主惯性平面内的一条平面曲线v=f(x)(见图5-8-1)。
（二）挠度与转角梁弯曲变形后，梁的每一个横截面都要产生位移，它包括三部分：1. 挠度梁横截面形心在垂直于轴线方向的线位移，称为挠度，记作v。
沿梁轴各横截面挠度的变化规律，即为梁的挠曲线方程。
v=f(x)2．转角横截面相对本来位置绕中性轴所转过的角度，称为转角，记作θ。
小变形情况下，3．此外，横截面形心沿梁轴线方向的位移，小变形条件下可忽略不计。
(三)挠曲线近似微分方程在线弹性范围、小变形条件下，挠曲线近似微分方程为上式是在图5—8—l所示坐标系下建立的。
挠度w向下为正，转角θ顺时针转为正。
积分法计算梁的位移按照挠曲线近似微分方程(5—8—1)，积分两次，即得梁的转角方程和挠度方程，即由第1 页/共6 页式中积分常数C、D，可由梁的边界条件来决定。
当梁的弯矩方程需分段列出时，挠曲线微分方程也需分段建立，分段积分。
于是全梁的积分常数数目将为分段数目的两倍。
为了决定所有积分常数，除利用边界条件外，还需利用分段处挠曲线的延续条件(在分界点处左、右两段梁的转角和挠度均应相等)。
用叠加法求梁的位移（一）叠加原理几个荷载同时作用下梁的任一截面的挠度或转角等于各个荷载单独作用下同一截面挠度或转角的总和。
（二）叠加原理的适用条件叠加原理仅适用于线性函数。
要求挠度、转角为梁上荷载的线性函数，必须满意： 1．材料为线弹性材料；2．梁的变形为小变形；3．结构几何线性。
（三）叠加法的特征1．各荷载同时作用下挠度、转角等于单独作用下挠度、转角的总和，应该是几何和，同一方向的几何和即为代数和。
2．梁在容易荷载作用下的挠度、转角应为已知或可查手册。
3．叠加法相宜于求梁某一指定截面的挠度和转角。
[例 5—8—1] 用积分法求图5—8—3所示各梁的挠曲线方程时，试问应分为几段?将浮上几个积分常数? 并写出各梁的边界条件和延续条件。
工程力学材料力学之应力应变状态分析
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷） (Two failure types for materials in normal temperature and static loads)
1. 断裂失效(Fracture failure) （1）脆性断裂 : 无明显的变形下突然断裂. （2）韧性断裂 : 产生大量塑性变形后断裂.
剪切
扭转
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
上述强度条件具有如下特点： (1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态； (2)材料的许用应力 ，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试 件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的 强度条件.
胡克（1635-1703）
波义耳（1627-1691）
惠更斯（1629-1695）工程力学材料力学牛析之顿应力（应1变64状3态-分1727）
复杂应力状态的应变能密度
三向应力状态
体积改变能密度 畸变能密度
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
§7-8 强度理论(The failure criteria)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
变形后单元体的体积为
2
a2
1
3
a1
a3
V1=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
二向应力状态下(In plane stress-state) 设 3= 0
二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷） (Two failure types for materials in normal temperature and static loads)
1. 断裂失效(Fracture failure) （1）脆性断裂 : 无明显的变形下突然断裂. （2）韧性断裂 : 产生大量塑性变形后断裂.
剪切
扭转
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
上述强度条件具有如下特点： (1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态； (2)材料的许用应力 ，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试 件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的 强度条件.
胡克（1635-1703）
波义耳（1627-1691）
惠更斯（1629-1695）工程力学材料力学牛析之顿应力（应1变64状3态-分1727）
复杂应力状态的应变能密度
三向应力状态
体积改变能密度 畸变能密度
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
§7-8 强度理论(The failure criteria)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
变形后单元体的体积为
2
a2
1
3
a1
a3
V1=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
二向应力状态下(In plane stress-state) 设 3= 0