2017-2018学年上海市徐汇区位育中学高二数学上期中考试试卷
2017年徐汇区位育中学高二第一学期数学期中考试试卷
（川沙2017.11）
一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）
1、已知a =（x ,3），b =（3,1），且a ∥b ，则x =_______.
【答案】9.
2、行列式2
-1-1-453-24k
中，第2行第1列得元素的代数余子式的值为10，则实数k =_______.
【答案】6.
3、增广矩阵为3 m -1n 10æèçöø÷的二元一次方程组的实数解是x =1y =2ìíïî
ï，则m +n =__________. 【答案】4-.
4、已知矩阵A =1234æèçöø÷，B =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛65，则AB =____________. 【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3917.
5、已知直线上两点A （2,3），B =（-1,5），则直线AB 的点方向式方程是____________. 【答案】23-y 3-2-=x .
6、直线l 的一个方向向量d =（1,2），则l 与直线02-=+y x 的夹角为______________（结
果用反三角函数值表示）. 【答案】10103arccos .
7、若实数x ,y 满足x -y +1£0x +y -3³0y £4ìíïî
ï，则目标函数y x z +=2的最大值为_____________.
【答案】10.
8、与直线0532=++y x 平行，且距离等于13的直线方程是___________.
【答案】08-3201832=+=++y x y x 或.
9、若直线l ：3-kx y =与直线06-32=+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】)(2π,6π.
10、在△ABC 中，AB =6，AC =4，D 为BC 中点，则C B D A •=____________.
【答案】10-.
11、在平面直角坐标系y xO 中，在所有以点（1,0）为圆心且与直线01-2--=m y my （R m ∈）相切的圆中，半径最大的圆的标准方程是_____________.
【答案】2)1-(22=+y x .
12、在如图所示的平面中，点C 为半圆的直径AB 延长线上的一点，AB =BC =2，过动点P 作半圆的切线PQ ，若PC =2PQ ，则△PAC 的面积的最大值为______________.
【答案】54.
二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13、关于向量，下列结论错误的是（ ）
【A 】0a
∙=0；
【B 】a mn a n m ∙=∙)()(),(R n m ∈；
【C
【D 】),()(R n m a n a m a n m ∈•+•=•+ .
【答案】A .
14、如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程()0,=y x f 的解”是正确的，则下列命题正确的是（ ）
【A 】曲线C 是方程()0,=y x f 的曲线;
【B 】方程()0,=y x f 的每一组解对应的点都在曲线C 上；
【C 】不满足方程()0,=y x f 的点()x,y 不在曲线C 上;
【D 】方程()0,=y x f 是曲线C 的方程.
【答案】C .
15、设P 是圆：4)1y 3-(22=++（）x 上的动点，Q 是直线3-=x 上的动点，则PQ 的最小值为
（ ）
【A 】6；
【B 】4；
【C 】3；
【D 】2.
【答案】B .
16、已知直线1l ：01-=+y ax ，2l ：R a ay x ∈=++,01，和两点A （0,1），B （-1,0），给出如下结论：
①不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；
②当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点A （0,1）和B （-1,0）；
③不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0=+y x 对称；
④如果1l 与2l 交于点M ，则MB MA •的最大值是1；
其中，所有正确的结论的个数是（ ）
【A 】1；
【B 】2；
【C 】3；
【D 】4.
【答案】C .
三、解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）
17、讨论关于x ，y 的一元二次方程组⎩⎨
⎧+=-+=+1
2)1(322m y m x y mx 的解得情况. 【答案】
讨论：（1） 2-≠m 且3≠m 方程组有唯一解；
（2） 3=m 方程组无解；
（3） 2-=m 方程组有无穷多解.
18、已知圆O ：522=+y x .
（1）当直线l ：02=++a y ax 与圆O 相交于A 、B 两点，且AB =22时，求直线l 的方程;
（2）求与圆O 外切点（-1,2），且半径为52的圆方程.
【答案】
解（1）032-x 3-0323=+=++y y x 或;
（2）20)6-()3(22=++y x .
19、已知1,2==b a ，b 与a 的夹角为45°.
（1）求b 在a 方向上的投影；
（2）求b a
2+的值;
（3）若向量)b 3-a )-2( λλ与（b a 的夹角是锐角，求实数λ的取值范围.
【答案】
解（1）1；
（2）10；
（3）)6,6()6,1( .
20、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，设此点为'A .
（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；
（2）若折痕所在直线的斜率为k ，（k 为常数），试用k 表示点'A 的坐标，并求折痕所在的直线的方程；
（3）当032-≤≤+k 时，求折痕长的最大值.
【答案】
21、定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ.
（1）设圆,1:220=+y x C 求过P （2,0）的直线关于圆0C 的距离比3=λ的直线方程；
（2）若圆C 与y 轴相切于点A （0,3）且直线y =x 关于圆C 的距离比2=λ，求此圆的C 的方程；
（3）是否存在点P ，使过P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆
43-(3-(:1)1(:222221=+=++））与y x C y x C 的距离比始终相等？若存在，求出相应的点P 点
坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】。
上海市位育中学2017-2018学年高二上学期10月月考数学试题
绝密★启用前上海市位育中学2017-2018学年高二上学期10月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知a 、b 为非零向量，则222||||a b a b +=-是a b ⊥的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．下列三阶行列式可以展开为a b b ca c de efdf++的是（ ）A ．111a bc de f B ．111ab c defC ．111a bc d efD ．111ab cdef - 3．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C D4．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，*n N ∈．下列命题中真命题是 ( )A ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列外………内………C ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．计算：AB AC BC -+=________6．如果向量 ，共线且方向相反，则 等于 . 7．已知2111n na n n=+，则lim n n a →∞= . 8．已知||6a =，||4b =，则||a b -的取值范围是________9．若12201102x x -=-，则x =________ 10．与(1,3)a =-垂直的单位向量的坐标为________ 11．若11223PP PP =，则2P P =________1PP 12．已知矩阵0110A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =______________ 13．已知向量(2,2)OA =，(4,1)OB =，在x 轴上存在点P 使得AP BP ⋅有最小值，则点P 的坐标为________14．如图，在三角形ABC 中，0BA AD ⋅=，||2AB =，2BC BD =，则A C A B⋅=____15．已知函数()1x f x x=+，在9行9列的矩阵111213192122232991929399a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⎝⎭中，○……………………线…○……………………线…()ij ia f j=，则这个矩阵中所有数之和为________16．如图，OM //AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r ，当12x =-时，y 的取值范围是________三、解答题17．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==，求b 与c 的夹角. 18．设()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =. （1）求证AB AC ⊥，并求ABC ∆的面积；（2）对向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r，定义一种运算：()1221,f a b x y x y =-，试计算(),f AB AC 的值，并说明它与ABC ∆面积之间的等量关系，由此猜想这一运算的几何意义.19．用行列式解关于x 、y 的方程组3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩，并讨论说明解的情况.20．已知OA a OB b ==，，对于任意点M ，点M 关于点A 的对称点为点S ，点S 关于点B 的对称点为点N . （1）用a ，b 表示向量MN ；（2）设1223a b MN ⎡==∈⎣，，，求a 与b 的夹角θ的取值范围.21．如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =.（1）求11x y+的值； （2）求函数()y f x =的解析式（指明定义域）；（3）设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11[,1]3x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】a 、b 为两个非零向量，根据向量的数量积的运算以及向量垂直的性质可判断.【详解】解：a rQ 、b 为两个非零向量，()2222222a b a ba b a b a b -=-=+-=+20a b ∴=a b ∴⊥r r，即充分性成立；若a b ⊥，则0a b =()2222222a b a ba b a b a b ∴-=-=+-=+，即必要性成立；故222a b a b -=+是a b ⊥的充要条件. 故选：C 【点睛】本题考查充分条件、必要条件，向量的数量积及向量垂直的性质，属于中档题. 2．D 【解析】 【分析】由二阶行列式和三阶行列式的求解方法直接计算即可. 【详解】 由题干二阶行列式a b b c a c deef df++=ae bd bf ce af cd -+-+-,由AB 选项三阶行列式111a bcdef =111a b c d ef=ae bf cd ce bd af ae bd bf ce af cd ++---≠-+-+-,则AB 选项不对;由C 选项三阶行列式111a bcaf ce bd cd ae bf ae bd bf ce af cd def=++---≠-+-+-,则C 选项不对; 由D 选项三阶行列式111ab cdef ae bd bf ce af cd =-+-+--,则D 选项正确. 故选:D . 【点睛】本题考查了二阶行列式和三阶行列式的运算法则,直接运算即可,属于基础题,要求熟练掌握运算法则及运算能力. 3．B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】 解：30AOC ︒∠=3cos ,OC OA ∴<>=32OC OA OC OA⋅∴=()32mOA nOB OA mOA nOB OA+⋅∴=+ 2222322m OA nOB OAOA mnOA OB n OB OA+⋅=+⋅+1OA=，3OB =，0OA OB ⋅==229m n ∴=又C 在AB 上0m ∴>，0n >3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用． 4．A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，得到11n n a n a n++=，利用累乘法，求得1n a na =，从而可作出判定，得到答案． 【详解】由题意知，向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，*n N ∈， 当//n n c b 时，可得1(1)n n na n a +=+，即11n n a n a n++=， 所以3211111123121n n n a a a na a a na a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-， 所以数列{}n a 表示首项为1a ，公差为1a 的等差数列． 当n n c b ⊥，可得1(1)0n n na n a +++=，即11n n a na n +=-+， 所以132111111(1)121()()()23n n n n a a a a n a a a a a a n n----=⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯-⨯⨯-=，所以数列{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列. 故选A ． 【点睛】本题主要考查了向量的平行关系的坐标表示，等差数列的定义，以及“累乘法”求解通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．0 【解析】【分析】根据向量的加减运算及运算律计算可得. 【详解】解：0AB AC BC AB BC AC AC AC -+=+-=-= 故答案为：0 【点睛】本题考查向量的加减运算，属于基础题. 6．【解析】试题分析： ， 共线，，又 与方向相反，考点：平面向量共线的充要条件 7．1- 【解析】 【详解】解：由题意可知2222121lim 11(1)(1)n n n n n n n a n n n n n n →+∞+-+-=-=∴=-+++ 8．[2,10] 【解析】 【分析】根据向量的三角形不等式可得. 【详解】 解：6a =，4b =a b a b a b ∴-≤-≤+ 6464a b ∴-≤-≤+即[]2,10a b -∈ 故答案为：[]2,10 【点睛】本题考查向量的三角形不等式，属于基础题. 9．5- 【解析】 【分析】用三阶行列式的化简方法把方程左边化简，得到一个关于x 的一元一次方程，解出x 即可。
上海市位育中学2024-2025学年高二上学期10月期中数学试卷(含答案)
位育中学2024学年第一学期高二年级数学期中2024.10一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）1．直线l 和平面α相交于点A ，用集合符号表示为________．2．已知空间两个角和，若，则________．3．一个水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积为________．4．将长为3，宽为2的矩形绕着较长边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为________．5．已知球的表面积为36π，则该球的体积为________．6．已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为________．7．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有________条．8．已知两点A 、B 都在平面α外，A 、B 到平面α的距离分别为2和4，则线段AB 的中点到平面α的距离为________．9．圆柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行两周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程为________．10．三棱锥的4个面无限延展后把空间分成________个部分．11．如图，在正方体中，中点为Q ，过A 、Q 、三点的截面面积为________．12．在一个棱长为6cm 的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm 的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的部分的体积是________．ABC ∠A B C ∠''',,40AB A B BC B C ABC ∠︒'''='∥∥A B C ∠'''=111ABC A B C -1A B 1111ABCD A B C D -11,AB DD =1B 3cm二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）13．设a 、b 为平面M 外的两条直线，且，那么是的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要14．已知a ，b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则或15．如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ 和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A 、B ，AB 与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ 与直线AB 垂直的次数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．816．如图所示，正三棱柱的所有棱长为1，点P 、M 、N 分别为棱的中点，点Q 为线段MN 上的动点（含端点）．当点Q 由点N 出发向点M 运动的过程中，以下结论中正确的是（ ）A ．直线与直线CP 可能相交B ．直线与直线CP 始终异面C ．直线与直线CP 可能垂直D ．直线与直线BP 不可能垂直三、解答题（本大题共有5题，满分42分）17．（本题满分8分）用文字语言表述“线面平行的判定定理”，写出已知、求证并证明．18．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）a M ∥ab ∥b M ∥,,a b αβαβ⊥⊥∥a b∥,,a b a b αβ⊥⊥⊥αβ⊥,,a a b ααβ⊥⊥∥b β∥,a a b αβ= ∥b α∥b β∥111ABC A B C -111,,AA AB A B 1C Q 1C Q 1C Q 1C Q已知三棱锥满足．（1）证明：直线AB 与直线VC 是异面直线；（2）求异面直线AB 与VC 所成角大小．19．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，已知点P 在圆柱的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，圆柱的表面积为20π，．（1）求直线与平面ABP 所成角的大小；（2）求点A 到平面的距离．20．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，几何体中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，，，，，．V ABC-2,VC VA BA BC AC VB ======1O O 2,120OA AOP =∠=︒1A P 1A BP EF ABCD -AB CD ∥AD DC ⊥2AD =4AB =90ADF ∠=︒（1）求证：平面；（2）求几何体的体积．21．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）如图，在四面体ABCD 中，平面，点M 为AD 上一点，且，连接BM ，CM ．（1）；（2）求二面角．的大小．AC ⊥FBC EF ABCD -3,AB BD CD AB ===⊥,BCD CD BD ⊥2AM MD =BM CD ⊥M BC D --参考答案一、填空题1． 2．40°或140° 3； 4． 5． 6．7．3 8．3或1 910．15 11． 12．11．【答案】【解析】截面是如图所示的等腰梯形，其中为的中点．因为所以截面面积．答案：12．【答案】【解析】在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为其他空间小球均能到达．l A α= 12π36π12π9840π563-981QEB A E 11C D 11EQ AB AQ B E ====1928S =⨯+=9840π563-3314π48118π833⎡⎤⎫⎛-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦114⨯⨯()21114π144812π4⎡⎤⨯⨯-⨯⨯=-⎢⎥⎣⎦故小球不能到达的空间体积为：．故答案为：二、选择题13．A 14．C 15．A 16．B15．【答案】A【解析】作出平面，使得平面，当时，平面或平面，结合旋转分析可知有两次使得．故选：A ．16．【答案】B【解析】在正三棱柱中，点分别为棱的中点，平面平面平面，四点不共面，直线与始终异面，故A 错误，B 正确；对于C ，设，则，若直线与直线垂直，则，解得，()34408π4812π56πcm 33⎫⎛-+-=- ⎪⎝⎭34056π(cm)3-CDEF PQ ⊥CDEF PQ AB ⊥AB ∥CDEF AB ⊂CDEF PQ AB ⊥111ABC A B C - ,M N 11,AB A B 11,A MN AA ∴∥MN ⊄ 111,AA C C AA ⊂11,AA C C MN ∴∥11AA C C 1,,,C P C Q ∴1C Q CP ()01NQ MN λλ=≤≤1111111111,222QC QN NC MN NA AC AA AC AB CP AA AC λλ=+=++=+-=- 1C Q CP 111110,022QC CP AA AC AB AA AC λ⎫⎫⎛⎛⋅=∴+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭22111111102242AA AA AC AA AC AC AA AB AB AC λλ∴-⋅+⋅--⋅+⋅= 111110222λ∴-+⨯⨯⨯=32λ=不存在点使得直线与直线垂直，故C 错误；对于D ，连接，如图，为的中点，，平面平面，平面，又平面，当点在的位置时，直线与直线垂直，故错误．故选：B ．三．解答题17．平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行；已知，求证；证明略18．（1）证明略 （2）19．（1）（220．【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）由题意得，，且，平面四边形CDEF 为正方形，，由平面，又四边形为直角形，，，由平面，（2）连结，过作的垂线，垂足为，易见平面，且，，几何体的体积为．01,λ≤≤∴ Q 1C Q CP 1C N 1111,C A C B N = 11A B 111C N A B ∴⊥1AA ⊥ 1111,A B C C N ⊂11111,A B C AA C N ∴⊥11111,AA A B A C N =∴⊥ 11ABB A BP ⊂111,ABB A C N BP ∴⊥∴Q N 1C Q BP D ,,a b a b αα⊄⊂∥a α∥13arccos 32163,AD DC AD DF ⊥⊥DC DF D = AD ∴⊥,,CDEF AD FC ∴⊥ DC FC ∴⊥,DC AD D FC =∴⊥ ,ABCD FC AC ∴⊥ ABCD ,,2,4AB CD AD DC AD AB ⊥==∥AC BC ∴==222AC BC AB AC BC +=∴⊥,BC FC C AC =∴⊥ FCB EC B CD N BN ⊥CDEF 2BN =1116333EF ABCD E ABCD B ECF ABCD EFC V V V S DE S BN ---=+=⋅+⋅= △△∴EF ABCD -16321．【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）证明：因为平面平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以；（2）取的中点，连接，过作于，过作于，连接，因为在平面中，，所以，由（1）知，所以因为平面，所以平面，因为平面，所以因为平面MEH ，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，所以，在中，，所以所以，所以二面角的大小为AB ⊥,BCD CD ⊂BCD AB CD ⊥,,,CD BD AB BD B AB BD ⊥=⊂ ABD CD ⊥ABD BM ⊂ABD BM CD ⊥BC N DN M MH BD ⊥H H HE BC ⊥E ME ABD ,AB BD MH BD ⊥⊥MH AB ∥AB CD ⊥MH CD ⊥,,CD BD D CD BD =⊂ BCD MH ⊥BCD BC ⊂BCD MH BC⊥,,,HE BC MH HE H MH HE ⊥=⊂ BC ⊥MEH ME ⊂MEH BC ME ⊥MEH ∠M BC D --2,3AM MD AB BD CD ====1221,333MH AB HE DN =====Rt MHE △ME ===cos HE MEH ME ∠===MEH ∠=M BC D --。
2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高二(下)期中数学试卷
2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高二（下）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）直线 {x =3+4ty =4−5t（t 为参数）的斜率为___ ．2.（填空题，3分）已知直线l 的一个方向向量为 d ⃗ =（1，-2，0），平面α的一个法向量为 n ⃗⃗ =（m ，3，6），且l || α，则m=___ ．3.（填空题，3分）在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ，用 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 、 c ⃗ 作为基底向量表示 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．4.（填空题，3分）已知抛物线y 2=2px 过点A （2，2），则点A 到准线的距离为___ ．5.（填空题，3分）水平放置的边长为1的正三角形经过斜二测画法得到的直观图面积为___ ．6.（填空题，3分）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则它的表面积是___ ．7.（填空题，3分）地球（地球半径为R ）表面上从A 地（北纬45°，东经120°）到B 地（北纬45°，东经30°）的球面距离为___ ．8.（填空题，3分）已知三个球的半径R 1，R 2，R 3满足R 1+2R 2=3R 3，则它们的体积V 1，V 2，V 3满足的等量关系是___ ．9.（填空题，3分）如图，在空间直角坐标系O-xyz 中，四面体C-OAB 的主视图AOC 是面积为4 √3 的直角三角形，且CO=2 √3 ，△OAB 是正三角形，且点B 在平面xOy 上，则此四面体的左视图的面积等于___ ．10.（填空题，3分）若三个平面α、β、γ两两垂直，直线l 与平面α、β、γ所成的角都等于λ，cosλ=___ ．11.（填空题，3分）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，B 是母线SA 上一点，且AB=10公里．为了发展旅游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B 的观光铁路．这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 ___ 公里．12.（填空题，3分）在平面xOy上，将曲线x2+ y2=1（x≥0）与y轴围成的封闭图形记为D，4记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，试构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理得出Ω的体积值为___ ．13.（单选题，3分）空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件14.（单选题，3分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）（1）若m⊥α，n || α，则m⊥n；（2）若α || β，β || γ，m⊥α，则m⊥γ；（3）若m || α，n || α，则m || n；（4）若α⊥γ，β⊥γ，则α || β．A.1B.2C.3D.415.（单选题，3分）在棱长为10的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P平行于A1C的直线与正方体表面（）相交A.ABCDB.BB1C1C1D1DD.AA1B1B16.（单选题，3分）对于直角坐标平面内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“新距离”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|．给出下列三个命题：① 若点C在线段AB上．则 || AC || + || BC || = || AB || ；② 在△ABC中，若∠C=90°，则 || AC || 2+ || BC || 2= || AB || 2；③ 在△ABC中， || AC || + || BC || ＞ || AB || ．其中的真命题为（）A. ① ③B. ① ②C. ①D. ③17.（问答题，0分）如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=3． （1）求四棱锥A 1-ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小．18.（问答题，0分）点A 、B 分别是椭圆 x 236 + y 220 =1长轴的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点．点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA⊥PF ． （1）求P 点的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．19.（问答题，0分）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm ，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm ．（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm 3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？20.（问答题，0分）已知点F 1、F 2为双曲线 C ：x 2−y 2b 2=1(b ＞0) 的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴的上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2=30°． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点（0，1）且与双曲线C 交于A 、B 两点，若A 、B 中点的横坐标为1，求直线l 的方程；（3）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1、P 2，求证： PP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1•PP⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 为定值．21.（问答题，0分）如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点．（1）设AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角的大小为α，异面直线AD 1与A 1C 1所成角的大小为β，求证：tan 2β=2tan 2α+1；（2）若点C 到平面AB 1D 1的距离为 43 ，求二面角A-B 1D 1-A 1；（3）在（2）的条件下，若平面BB 1C 1B 内存在点P 满足P 到直线BC 的距离与到直线C 1D 1的距离相等，求 PD1PA 的最小值．2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）直线 {x =3+4ty =4−5t （t 为参数）的斜率为___ ．【正确答案】：[1] −54【解析】：把直线的参数方程化为普通方程，即可求出直线的斜率．【解答】：解：直线 {x =3+4t y =4−5t(t 为参数) ，所以直线的普通方程为：（y-4）=- 54 （x-3），y= −54 x+ 314 ；所以直线的斜率为： −54 ； 故答案为： −54 ．【点评】：本题是基础题，考查直线的参数方程与普通方程的互化，考查转化思想，计算能力． 2.（填空题，3分）已知直线l 的一个方向向量为 d ⃗ =（1，-2，0），平面α的一个法向量为 n ⃗⃗ =（m ，3，6），且l || α，则m=___ ． 【正确答案】：[1]6【解析】：由线面平行得到 n ⃗⃗•d ⃗ =0，由此能求出结果．【解答】：解：∵直线l 的一个方向向量为 d⃗ =（1，-2，0）， 平面α的一个法向量为 n ⃗⃗ =（m ，3，6），且l || α， ∴ n ⃗⃗•d ⃗ =m-6=0， 解得m=6． 故答案为：6．【点评】：本题考查实数值的求法，涉及到线面平行、向量垂直等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．3.（填空题，3分）在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ，用 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 、 c ⃗ 作为基底向量表示 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1] a ⃗ - b ⃗⃗ - c ⃗【解析】：画出图形，根据空间向量的线性表示，用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可．【解答】：解：平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ， 如图所示：则 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ - b ⃗⃗ - c ⃗ ． 故答案为： a ⃗ - b ⃗⃗ - c ⃗ ．【点评】：本题考查了空间向量的线性表示与应用问题，是基础题．4.（填空题，3分）已知抛物线y 2=2px 过点A （2，2），则点A 到准线的距离为___ ． 【正确答案】：[1] 52【解析】：利用抛物线经过的点，求解p ，然后求解点A 到准线的距离．【解答】：解：抛物线y 2=2px 过点A （2，2），可得p=1， 所以抛物线的准线方程为x=- 12 ， 所以点A 到准线的距离为：2+ 12 = 52 ． 故答案为： 52 ．【点评】：本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 5.（填空题，3分）水平放置的边长为1的正三角形经过斜二测画法得到的直观图面积为___ ． 【正确答案】：[1] √616【解析】：求出边长为1的正三角形的面积S ，根据斜二测画法得到的直观图面积与原图形的面积比求出即可．【解答】：解：边长为1的正三角形的面积为S= 12 ×12×sin60°= √34 ， 经过斜二测画法得到的直观图面积为S′= √24S= √24× √34= √616． 故答案为： √616 ．【点评】：本题考查了斜二测画法的直观图面积与原图形面积比的应用问题，是基础题． 6.（填空题，3分）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则它的表面积是___ ． 【正确答案】：[1]6π【解析】：根据圆柱的轴截面是面积为4的正方形求出圆柱的母线长和底面圆半径，再求圆柱的表面积．【解答】：解：圆柱的轴截面是面积为4的正方形，所以圆柱的母线长为2，底面圆的半径为1，所以圆柱的表面积是S 表=2π×12+2π×1×2=6π． 故答案为：6π．【点评】：本题考查了圆柱的轴截面与圆柱的表面积计算问题，是基础题．7.（填空题，3分）地球（地球半径为R ）表面上从A 地（北纬45°，东经120°）到B 地（北纬45°，东经30°）的球面距离为___ ． 【正确答案】：[1] πR3【解析】：A 、B 两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB 弦长，以及球心角，然后求出球面距离．【解答】：解：地球表面上从A 地（北纬45°，东经120°）到B 地（北纬45°，东经30°）， B 的纬圆半径是 √22R ，经度差是90°，所以AB=R ， 球心角是 π3 ，则A 、B 两地的球面距离是 πR3 故答案为： πR3【点评】：本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．8.（填空题，3分）已知三个球的半径R 1，R 2，R 3满足R 1+2R 2=3R 3，则它们的体积V 1，V 2，V 3满足的等量关系是___ ．【正确答案】：[1] √V 13+2√V 23=3√V 33【解析】：表示出三个球的体积，求出三个半径，利用R 1+2R 2=3R 3，推出结果．【解答】：解：因为V 1= 43 πR 13，所以，R 1= √6π2V 132π同理R 2= √6π2V 232π ，R 3= √6π2V 332π ．由R 1+2R 2=3R 3，得√6π2V 132π+2√6π2V 232π=3√6π2V 332π． 它们的体积V 1，V 2，V 3满足的等量关系是： √V 13+2√V 23=3√V 33． 故答案为： √V 13+2√V 23=3√V 33 ．【点评】：本题考查球的体积，考查计算能力，是基础题．9.（填空题，3分）如图，在空间直角坐标系O-xyz 中，四面体C-OAB 的主视图AOC 是面积为4 √3 的直角三角形，且CO=2 √3 ，△OAB 是正三角形，且点B 在平面xOy 上，则此四面体的左视图的面积等于___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：首先利用三视图和几何体的直观图之间的转换，进一步求出几何体的侧面积．【解答】：解：四面体C-OAB 的主视图AOC 是面积为4 √3 的直角三角形，且CO=2 √3 ，△OAB 是正三角形， 所以 12•AO •CO =4√3 ， 则：AO=4，由于△OAB 为等边三角形， 所以BO=4，所以BO 在平面yoz 上的射影长 4×√32=2√3 ，则四面体的左视图的面积S= 12×2√3×2√3=6 ． 故答案为：6．【点评】：本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的侧面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.（填空题，3分）若三个平面α、β、γ两两垂直，直线l 与平面α、β、γ所成的角都等于λ，cosλ=___ ． 【正确答案】：[1] √63【解析】：构造棱长为1的正方体，建立空间直角坐标系，把问题转化为解直角三角形问题．【解答】：解：由题意可建立如图所示的空间直角坐标系， 其中ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，直线l 为B 1D ，平面α、β、γ分别在正方体的三个面上，满足两两垂直，BD= √12+12 = √2，B1D= √BD2+B1B2 = √3，此时直线l与三个平面α、β、γ所成角都相等，等于λ，于是直线l与平面α成角为∠B1DB=λ，COSλ= BDB1D = √2√3= √63，故答案为：√63．【点评】：本题考查了直线与平面成角问题，属于中档题．11.（填空题，3分）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，B是母线SA上一点，且AB=10公里．为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路．这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为___ 公里．【正确答案】：[1]18【解析】：根据题意，画出展开图，结合图形转化为求HB，结合三角形相似即可求解．【解答】：解：如图，展开圆锥的侧面，过点S作A'B的垂线，垂足为H，记点P为A'B上任意一点，联结PS，A′Â=∠A′OA•SA=2π•10⇒∠A′OA=π2，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的A'B，A′B=√SA′2+SB2=50，上坡即P到山顶S的距离PS越来越小，下坡即P到山顶S的距离PS越来越大，∴下坡段的铁路，即图中的HB，由Rt△SA'B∽Rt△HSB，可得：SBHB = A′BSB，可求出HB= SB2A′B= 30×3050=18．即下坡段铁路的长度为 18公里．故答案为：18．【点评】：本题考查了圆锥的展开图应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．12.（填空题，3分）在平面xOy上，将曲线x2+ y24=1（x≥0）与y轴围成的封闭图形记为D，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，试构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理得出Ω的体积值为___ ．【正确答案】：[1] 8π3【解析】：曲线x2+ y24=1（x≥0）与y轴围成的封闭图形为半椭圆，绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，根据对称性构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理求出Ω的体积即可．【解答】：解：根据题意知，曲线x2+ y24=1（x≥0）与y轴围成的封闭图形为半椭圆，如图所示：该平面图形绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理，可知Ω的体积V=2（π•12•2- 13π•12•2）= 8π3．故答案为：8π3．【点评】：本题考查了利用祖暅原理将不规则几何体的体积转化圆柱与圆锥体积差的计算问题，是中档题．13.（单选题，3分）空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：C【解析】：利用充分条件与必要条件的定义结合公理3以及推论、符合条件的几何体进行判断即可．【解答】：解：在空间四点中，① 当四点不共面时，其中任意三点必不共线，∴必要性成立，② 当任意三点不共线时，不能得出四点不共面，如平行四边形的四个顶点，∴充分性不成立，∴无任何三点共线是四点不共面的必要不充分条件．故选：C．【点评】：本题考查充分必要条件的判断及平面公理3以及推论的应用，可以借助于空间图形帮助理解，考查了空间想象能力．14.（单选题，3分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）（1）若m⊥α，n || α，则m⊥n；（2）若α || β，β || γ，m⊥α，则m⊥γ；（3）若m || α，n || α，则m || n；（4）若α⊥γ，β⊥γ，则α || β．A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：直接利用线面平行的判定和性质，面面平行的判定和性质的应用判断（1）（2）（3）（4）的结论．【解答】：解：m，n是两条不同的直线α，β，γ是三个不同的平面，对于（1），若m⊥α，n || α，则m⊥n，故（1）正确；对于（2），若α || β，β || γ，所以α || β || γ，由于m⊥α，则m⊥γ，故（2）正确；对于（3），若m || α，n || α，则m || n或m和n异面或m和n相交，故（3）错误；（4）若α⊥γ，β⊥γ，则α || β或α和β相交，故（4）错误．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：线面平行的判定和性质，面面平行的判定和性质的应用，主要考查学生对基础定义的理解和应用，属于基础题．15.（单选题，3分）在棱长为10的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P平行于A1C的直线与正方体表面（）相交A.ABCDB.BB1C1C1D1DD.AA1B1B【正确答案】：A【解析】：连接A1P并延长，使其交AD于M，确定P点在AD上，再过P点作A1C平行线，与平面ABCD内线段MC交于Q点，进面判断．【解答】：解：过P作PN⊥A1A于N，A1N=3，PN=2，连接A1P，延长A1P交AD于M，设AM=x，PN A1N =AMA1A，即23=x10，于是x= 203＜10，连接MC，过P作PQ || A1C，交MC于Q，所以Q在平面ABCD内，故选：A．【点评】：本题考查了正方体结构特征，考查了直线与平面的位置关系，属于中档题．16.（单选题，3分）对于直角坐标平面内任意两点A（x1，y1），B （x2，y2），定义它们之间的一种“新距离”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|．给出下列三个命题：① 若点C在线段AB上．则 || AC || + || BC || = || AB || ；② 在△ABC中，若∠C=90°，则 || AC || 2+ || BC || 2= || AB || 2；③ 在△ABC中， || AC || + || BC || ＞ || AB || ．其中的真命题为（）A. ① ③B. ① ②C. ①D. ③【正确答案】：C【解析】：首先分析题目任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|，对于① 若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0）然后代入验证显然|AC||+||CB||=||AB||成立．成立故正确．对于② 在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，对于③ 在△ABC中，用坐标表示||AC||+||CB||然后根据绝对值不等式可得到大于等于||AB||．不成立，故可得到答案．【解答】：解：① 若点C在线段AB上，设点C（x0，y0），那么x0在x1，x2之间．y0在y1，y2之间，∴||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||，故① 正确；② 平方后不能消除x0，y0，命题不成立，故② 不正确；③ 在△ABC中，||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|≥|x0-x1+y0-y1+x2-x0+y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||，故③ 不正确．故选：C．【点评】：本题主要考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求．属于中档题目．17.（问答题，0分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3．（1）求四棱锥A1-ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）四棱锥A 1-ABCD 的体积 V A 1−ABCD = 13S 矩形ABCD ×AA 1 ，由此能求出结果． （2）由DD 1 || CC 1，知∠A 1CC 1是异面直线A 1C 与DD 1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小．【解答】：解：（1）∵长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=3， ∴四棱锥A 1-ABCD 的体积：V A 1−ABCD = 13S 矩形ABCD ×AA 1 = 13×AB ×AD ×AA 1 = 13×2×2×3 =4．（2）∵DD 1 || CC 1，∴∠A 1CC 1是异面直线A 1C 与DD 1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A 1CC 1= A 1C1CC 1=√22+223 = 2√23， ∴∠A 1CC 1= arctan2√23． ∴异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小为 arctan 2√23；【点评】：本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注空间思维能力的培养． 18.（问答题，0分）点A 、B分别是椭圆 x 236 + y 220 =1长轴的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点．点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA⊥PF ． （1）求P 点的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）先求出PA 、F 的坐标，设出P 的坐标，求出 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 FP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由题意可得 {x 236+y 220=1(x +6)(x −4)+y 2=0，且y ＞0，解方程组求得点P 的坐标．（2）求出直线AP 的方程，设点M 的坐标，由M 到直线AP 的距离等于|MB|，求出点M 的坐标，再求出椭圆上的点到点M 的距离d 的平方得解析式，配方求得最小值．【解答】：解：（1）由已知可得点A （-6，0），F （4，0），设点P （x ，y ），则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x+6，y ）， FP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x-4，y ）． 由已知可得 {x 236+y 220=1(x +6)(x −4)+y 2=0，2x 2+9x-18=0，解得x= 32 ，或x=-6．由于y ＞0，只能x= 32 ，于是y= 5√32．∴点P 的坐标是（ 32 ，5√32）． （2）直线AP 的方程是 5√32−0=x+632+6 ，即 x- √3 y+6=0．设点M （m ，0），则M 到直线AP 的距离是 |m+6|2．于是|m+6|2=|6-m|，又-6≤m≤6，解得m=2，故点M （2，0）．设椭圆上的点（x ，y ）到点M 的距离为d ，有 d 2=（x-2）2+y 2=x 2-4x+4+20- 59 x 2= 49 （x- 92 ）2+15，∴当x= 92 时，d 取得最小值 √15 ．【点评】：本题考查椭圆的简单性质和点到直线的距离公式，两个向量垂直的性质，求出点M的坐标，是解题的难点．19.（问答题，0分）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【正确答案】：【解析】：（1）笼具的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积；（2）求出笼具的表面积即可，笼具的表面积包括圆柱的侧面，上底面和圆锥的侧面．【解答】：解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则2πr=24π，解得r=12cm．h1= √202−122=16 cm．∴笼具的体积V=πr2h- 13πr2ℎ1=π×（122×30- 13×122×16）=3552π≈11158.9cm3．（2）圆柱的侧面积S1=2πrh=720πcm2，圆柱的底面积S2=πr2=144πcm2，圆锥的侧面积为S3=πrl=240πcm2．故笼具的表面积S=S1+S2+S3=1104πcm2．故制造50个这样的笼具总造价为：1104π×50×8104=1104π25元．答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产50个笼具需要1104π25元．【点评】：本题考查了圆柱，圆锥的表面积和体积计算，属于基础题．20.（问答题，0分）已知点F 1、F 2为双曲线 C ：x 2−y 2b 2=1(b ＞0) 的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴的上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2=30°． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点（0，1）且与双曲线C 交于A 、B 两点，若A 、B 中点的横坐标为1，求直线l 的方程；（3）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1、P 2，求证： PP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1•PP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 为定值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得a=1，由直角三角形的性质和双曲线的定义，解方程可得b ，即可得到双曲线的方程；（2）设直线l 的方程为y=kx+1，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式，解方程可得k ，进而得到直线l 的方程；（3）设P （m ，n ），则2m 2-n 2=2，求得双曲线的渐近线方程分别与相应的垂线方程联立，求得交点P 1，P 2，以及 PP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由向量数量积的坐标表示，化简整理，即可得证．【解答】：解：（1）由双曲线的方程可得a=1， 在直角三角形MF 1F 2中，∠MF 1F 2=30°，MF 2⊥F 2F 1， 可得|MF 1|=2|MF 2|，且|MF 1|-|MF 2|=2a=2， 解得|MF 2|=2，又|MF 2|= b 2a =b 2， 所以b 2=2，则双曲线的方程为 x 2−y 22=1 ；（2）由题意可得直线l 的斜率存在，设为k ，直线l 的方程为y=kx+1， 联立 {y =kx +12x 2−y 2=2 ，可得（2-k 2）x 2-2kx-3=0， Δ=4k 2+12（2-k 2）＞0，解得- √3 ＜k ＜ √3 设A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1+x 2= 2k2−k 2 由A 、B 中点的横坐标为1，可得 k2−k 2 =1， 解得k=1或-2（舍去），所以直线l 的方程为y=x+1；（3）证明：设P （m ，n ），则2m 2-n 2=2，由 {y =√2x y −n =−√22(x −m ) ，解得P 1（ m+√2n 3 ， √2m+2n 3 ）， 由 {y =−√2x y −n =√22(x −m )，解得P 2（ m−√2n 3 ， −√2m+2n 3 ）， 所以 PP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √2n−2m 3 ， √2m−n 3 ）•（ −2m−√2n 3 ， −√2m−n 3） = (√2n−2m)(−2m−√2n)9 + (√2m−n)(−√2m−n)9 = 4m 2−2n 2+n 2−2m 29 =2m 2−n 29 = 29， 即 PP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1⋅PP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=29 ．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.（问答题，0分）如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点．（1）设AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角的大小为α，异面直线AD 1与A 1C 1所成角的大小为β，求证：tan 2β=2tan 2α+1；（2）若点C 到平面AB 1D 1的距离为 43 ，求二面角A-B 1D 1-A 1；（3）在（2）的条件下，若平面BB 1C 1B 内存在点P 满足P 到直线BC 的距离与到直线C 1D 1的距离相等，求 PD1PA 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）根据线面角的定义、异面直线所成角的定义求出tanα，ta nβ的大小，即可证明；（2）根据面面垂直的性质定理可以找到点C 在平面AB 1D 1的射影位置，利用相似三角形性质求解即可；（3）建立合适的空间直角坐标系，设出点P 的坐标，求出点P 的轨迹方程，计算 PD1PA 的表达式，进行恒等变换后求解最小值即可．【解答】：（1）证明：设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为h，因为AA1⊥底面A1B1C1D1，所以∠AB1A1=α，于是tanα= AA1A1B1=ℎ，因为AC || A1C1，如图所示，所以∠CAD1=β，由勾股定理可知，CA= √2，CD1=AD1= √ℎ2+1，在等腰三角形CAD1中，底边CA上的高为√(√ℎ2+1)2−(12√2)2=√ℎ2+12，所以tanβ= √ℎ2+12√22=√2ℎ2+1，则tan2β=2h2+1=2tan2α+1；（2）解：因为O1为A1C1与B1D1的交点，三角形AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，所以AO1⊥B1D1，根据线面垂直的判定定理可知，B1D1⊥平面ACC1A1，由面面垂直的判定定理可知，平面AB1D1⊥平面ACC1A1，且平面AB1D1∩平面ACC1A1=AO1，、则点C在平面AB1D1的射影H在AO1上，即CH= 43，如图所示，在矩形ACC1A1中，AH= √AC2−CH2=√2−(43)2=√23，因为Rt△AA1O∽Rt△CHA，则A1O1AA1=AHCH，即√22AA1=√2343，解得AA1=2，所以正棱柱ABCD-A1B1C1D1的高2，因为AB1=AD1=√5，O为B1D1的中点，则AO1⊥B1D1，又O1为正方形对角线A1C1与B1D1的交点，则A1O1⊥B1D1，所以∠AO1A1为二面角的A-B1D1-A1平面角，则Rt△AO1A1中，AA1=2，A1O1=√22，故tan∠AO1A1= AA1A1O1=2√2，所以二面角A-B1D1-A1的大小为arctan 2√2；（3）解：以A1为空间直角坐标系的坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设P（1，y，z）（0≤y≤1），因为C1D1⊥平面BB1C1C，故C1D1⊥PC1，由题意可知，2−z=√(y−1)2+z2，即4-4z=（y-1）2（0≤z≤1），所以有PD1PA =√12+(y−1)2+z2√12+y2+(z−2)2= √(z−2)2+112+y2+(z−2)2=√11+y2(z−2)2+1，当y=1时，y2有最大值1，此时z=1，而（z-2）2+1也达到最小值，所以 y 2(z−2)2+1 有最大值，则 √11+y 2(z−2)2+1有最小值，最小值为 √63 ， 故 PD 1PA 的最小值为 √63 ．【点评】：本题考查了线面角、异面直线所成的角的计算，正四棱柱高的求解，利用函数求解最值的应用，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．。
上海市位育中学2017-2018学年高三上学期期中数学试题
上海市位育中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{|2,},{|}A x x x R B x x a =≤∈=≥，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是______.2．函数y =cos x +cos （x +）的最大值是 .3．函数()22log 1y x =+（0x <）的反函数是______. 4．方程2lg lg(2)0x x -+=的解集是_______.5．若32(2)+2n n n x x ax bx cx +=++++…（*n N ∈且3n ≥），且:3:2,a b =则n =_______.6．在等差数列{}n a 中，13464,2,a a a a +=+=-若2log n n a b =，则12lim()n n b b b →∞++…+=_______.7．若ABC △的面积2221(),3S a b c =+-则C ∠=_________. 8．复数z a bi =+，其中{1,3,5},{0,2,4,6},a b ∈∈则得到的复数z 的模不大于5的概率是_____.9．若函数14()121x f x a a x=的最小值是非负数，则符合条件的整数a 的一个可能值是______.10．函数sin arcsin y x x =+的值域是______.11．定义：若函数()f x 的图像经过变换T 后所得的图像对应的函数与()f x 的值域相同，则称变换T 是()f x 的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：①21()(1),f x x T =-将函数()f x 的图像关于y 轴作对称变换； ②12()21,x f x T -=-将函数()f x 的图像关于x 轴作对称变换；③3(),1xf x T x =+将函数()f x 的图像关于点（-1，1）作对称变换； ④4()sin(),3f x x T π=+将函数()f x 的图像关于点（-1，0）作对称变换；其中T 是()f x 的同值变换的有_______.（写出所有符合题意的序号）12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+，则r 的值为________．二、单选题13．已知集合2{|3},{|log 1},M x x N x x =<=>则M N =（ ）A ．∅B ．{|03}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{|23}x x <<14．若(sin )3cos 2,f x x =- 则(cos )f x =( ) A ．3cos2x - B ．3sin 2x - C ．3cos2x +D ．3sin 2x +15．n S 是等差数列n a }的前n 项和，若3613S S =，则612S S 为（ ） A ．310B ．13C ．18D ．1916．定义两个平面向量的一种运算sin ,a b a b θθ⊗=⋅⋅为,a b 的夹角，则对于两个平面向量,a b ，下列结论错误的是（ ） A ．a b b a ⊗=⊗B ．()=()a b a b λλ⊗⊗C ．2222()+()=a b a b a b ⊗⋅⋅D ．若1122(,),(,)a x y b x y ==，则1221=a b x y x y ⊗-三、解答题17．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，异面直线AD 与1BC 所成角的大小为60︒，求：（1）线段1A 1B 到底面ABCD 的距离； （2）三棱椎11B ABC -的体积．18．已知向量(cos ,sin ),(cos ,3cos ),0m x x n x x ωωωωω==>，函数1()2f x m n =⋅-，其最小正周期为π． （1）求函数()f x 的表达式及单调递增区间；（2）在ABC 中，,,a b c 分别为A B C ，，的对边，ABCS为其面积，若()1,1,2ABC Af b S ==△求a 的值． 19．已知椭圆E 长轴的一个端点是抛物线212y x =的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若,A B 是椭圆E 的左右端点，O 为原点，P 是椭圆E 上异于,A B 的任意一点，直线AP BP 、分别交y 轴于,M N ，问OM ON ⋅是否为定值，说明理由． 20．设数列{}n a 为首项是4，公差为1的等差数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和，且22n S n n =+。
上海市位育中学2018-2019学年上学期高二数学10月份考试卷附答案解析
上海市位育中学2018-2019学年上学期高二10月份考数学试卷一、单选题1．已知(,),(5,0)a m n b ==-r r 且向量a r 在向量b r 方向上的投影是2-，则（ ）A ．2,2m n ==-B ．2,2m n =-=C ．2m =，n 取任意实数D ．2m =-，n 取任意实数2．设a r 、b r 是非零向量，命题甲：//a b r r 且||||a b =r r ，命题乙：a b =r r ，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件3．设a r 、b r 、c r 是三个任意的非零平面向量，且互不平行，有下列四个结论：（1）()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r （2）[()()]0b c a c a b c ⋅⋅-⋅⋅⋅=r r r r r r r（3）||||||a b a b -<-r r r r （4）22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=-r r r r r r其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设的边AB 上一定点0P 满足014P B AB =u u u r u u u r ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则（ ） A ．2ABC π∠= B ．2BAC π∠= C ．AB AC = D ．AC BC =二、填空题5．AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r ______.6．方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩的増广矩阵是_____________. 7．已知点(1,3),(4,15)A B -，则与AB u u u r 同向的单位向量为________________.8．三阶行列式123456789的元素4的代数余子式是___________.9．函数sin 4cos )31(x xf x =的最大值为_____________.10．若ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，且AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则BE u u u r 可以用a r 和b r 表示为____________. 11．计算：12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭________.12．设(2,7),(,3)p q x ==-r r ，若p u r 与q r 的夹角为钝角，则x 的取值范围是_________.13．在ABC ∆中，若AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC ∆的形状为__________.14．若向量(1,2)n a =r 是直线:(21)10l a x ay +-+=的一个法向量，则a =___________.15．在ABC ∆中，14AM AB m AC =+⋅u u u u r u u u r u u u r ，向量AM u u u u r 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ．16．给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=u u u r u u u r，则ABC ∆面积的最大值为_______.三、解答题 17．已知O 为原点，(3,1)OA =u u u r ，(1,2)OB =-u u u r ，OC u u u r 与OB uuu r 垂直，BC uuu r 与OA u u u r 平行，求OC u u u r 的坐标.18．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==r r r r r r ，求b r 与c r 的夹角.19．用行列式的方法解关于x ，y 的方程组(2)36m x y m x my m -+=-⎧⎨+=--⎩，并对解的情况进行讨论.20．在ABC ∆中，已知()1,2A 、()2,1B -．（1）若点C 的坐标为()4,5C ，直线//l AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且CDE ∆与ABC ∆的面积之比为49，求直线l 的方程； （2）若(),C x y 是一个动点，且ABC ∆的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式．21．如图，M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交,AB AC 两边于点,P Q ，设,AP xAB AQ y AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，记()y f x =（1）求函数()y f x =的表达式；（2）设APQ ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，且12S kS =，求实数k 的取值范围解析上海市位育中学2018-2019学年上学期高二10月份考数学试卷一、单选题1．已知(,),(5,0)a m n b ==-r r 且向量a r 在向量b r 方向上的投影是2-，则（ ）A ．2,2m n ==-B ．2,2m n =-=C ．2m =，n 取任意实数D ．2m =-，n 取任意实数【答案】C 【解析】由向量a r 在向量b r 方向上的投影定义得到方程2||cos ,||a b a a b b ⋅-=<>=r r u u r r r r ，将向量的坐标代入，即可得到关于,m n 的关系.【详解】由向量a r 在向量b r 方向上的投影定义得：2||cos ,||a b a a b b ⋅-=<>=r r u u r r r r ， 所以5225m m --=⇒=， 所以2m =，n 取任意实数.故选：C.本题考查向量数量积中投影的定义，考查对投影概念的理解和坐标运算，属于容易题.2．设a r 、b r 是非零向量，命题甲：//a b r r 且||||a b =r r ，命题乙：a b =r r ，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】由于命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙，反过来命题乙成立可以推出命题甲成立，故可得到答案.【详解】因为命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙，所以充分性不成立；反过来，当两个向量是相等向量时，则这两个向量互相平行且大小相等，所以命题乙可推出命题甲成立，所以必要性成立.故选：B.【点睛】本题以相等向量、平行向量、模的概念为背景，考查简易逻辑知识，考查对概念的理解与应用，属于容易题. 3．设a r 、b r 、c r 是三个任意的非零平面向量，且互不平行，有下列四个结论：（1）()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r （2）[()()]0b c a c a b c ⋅⋅-⋅⋅⋅=r r r r r r r（3）||||||a b a b -<-r r r r （4）22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=-r r r r r r其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对（1），向量的数量积不满足结合律；对（2），利用向量的数量积与数乘运算，再根据数量积的交换律可判断；对（3），根据向量差的模与模的差的关系，根据其几何意义判断；对（4），利用数量积运算的分配律.【详解】 对（1），向量的数量积不满足结合律，所以()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 错误，故（1）错误；对（2），原式()()()()()()()()0b c a c c a b c b c a c b c a c =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=r r r r r r r r r r r r r r r r ，故（2）正确；对（3），由向量的减法法则知，两向量差的模一定大于两向量模的差，故（3）正确；对（4），由数量积运算的分配律得：2222(32)(32)949||4||a b a b a b a b +⋅-=-=-r r r r rr r r ，故（4）正确.【点睛】本题考查向量数量积的运算律和向量加法、减法法则的运用，考查对概念的深刻理解与运用，属于中档题.4．设的边AB 上一定点0P 满足014P B AB =u u u r u u u r ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则（ ） A ．2ABC π∠=B ．2BAC π∠= C ．AB AC =D ．AC BC =【答案】D 【解析】设||4AB =u u u r ，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得2||(1)||0PB a PB a -++≥u u u r u u u r 恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，由此能求出ABC ∆是等腰三角形，AC BC =．【详解】设||4AB =u u u r ，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ， 在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得，2||||||(1)||PB PC PH PB PB a PB ⋅=⋅=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，00P B PC a ⋅=-u u u r u u u r ， 于是00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立，整理得2||(1)||0PB a PB a -++≥u u u r u u u r 恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，于是1a =，因此2HB =，即H 是AB 的中点，故ABC ∆是等腰三角形，所以AC BC =．故选：D.【点睛】本题考查平面向量的运算、向量的模及向量的数量积的概念、向量运算的几何意义的应用，考查利用向量解决简单的几何问题的能力.二、填空题5．AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r ______.【答案】0r【解析】根据向量加法的法则即可化简求值.【详解】 因为AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ，所以+0AB BC CA AC CA ++==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r .故答案为：0r【点睛】本题主要考查了向量的加法运算，属于容易题.6．方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩的増广矩阵是_____________. 【答案】116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭【解析】先将方程组转化成632x y x y +=⎧⎨-=-⎩，写出方程组的系数矩阵，再加入常数列，从而得到増广矩阵. 【详解】因为方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩等价于632x y x y +=⎧⎨-=-⎩， 所以系数矩阵为1131⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 所以増广矩阵是116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 故答案为：116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 【点睛】本题考查増广矩阵的概念，考查对概念的理解与应用，属于容易题.7．已知点(1,3),(4,15)A B -，则与AB u u u r 同向的单位向量为________________. 【答案】512,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】可求出(5,12)AB =u u u r ，从而得出与AB u u u r 方向相同的单位向量为(,)|5121313|AB AB =u u u r u u u r ． 【详解】因为(5,12)AB =u u u r ；所以与AB u u u r 方向相同的单位向量坐标为：(,)|5121313|AB AB =u u u r u u u r ． 故答案为：512,1313⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查向量的坐标表示及单位向量的坐标运算，考查基本运算求解能力，注意所求单位向量的方向与AB u u u r 方向相同． 8．三阶行列式123456789的元素4的代数余子式是___________. 【答案】2389- 【解析】利用代数余子式定义直接求解．【详解】 在三阶行列式123456789中，元素4的代数余子式的为：32323(1)8989-=-．∴元素4的代数余子式的为2389-． 故答案为：2389-． 【点睛】 本题考查行列式的代数余子式的求法，而不是求代数余子式的值，解题时要认真审题，考查概念的理解与应用．9．函数sin 4cos )31(x xf x =的最大值为_____________.【答案】5【解析】先根据二阶行列式的计算得到()3sin 4cos f x x x =-，再由三角恒等变换中的辅助角公式，将()f x 化成正弦型三角函数，从而求得最大值.【详解】 因为sin 4cos ()3sin 4cos 5sin()31x xf x x x x θ==-=-，其中4tan 3θ=， 当sin()1x θ-=时，max ()5f x =.故答案为：5.【点睛】本题考查二阶行列式的计算、三角恒等变换公式的应用、三角函数的最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意辅助角公式的运用.10．若ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，且AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则BE u u u r 可以用a r 和b r表示为____________. 【答案】12BE b a =-u u u r r r 【解析】利用平面向量基本定理，取a r 和b r 为基底，将BE u u u r用基向量表示出即可．【详解】 如图，1122BE AE AB AD DE AB AD AB AB b a =-=+-=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ． 故答案为：12BE b a =-u u u r r r .【点睛】考查向量的加法、减法、数乘运算的综合运用，属于容易题．11．计算：12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭________. 【答案】881820⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推，即可得到答案.【详解】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推：所以12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭881820⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：881820⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查矩阵相乘的定义，考查基本运算求解能力，属于容易题. 12．设(2,7),(,3)p q x ==-r r ，若p u r 与q r 的夹角为钝角，则x 的取值范围是_________. 【答案】6621,,772⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∪ 【解析】利用数量积公式知向量的夹角为钝角时数量积小于0且不是方向相反的向量，除去当两向量平行时x 的取值，进而得到x 的取值范围.【详解】Q p r 与q r 的夹角为钝角，∴0p q ⋅<r r ，即2210x -<，解得212x <. 当p r 与q r 方向相反时，设p q λ=r r 且0λ<，(2,7)∴(,3)x λλ=-，∴273x λλ=⎧⎨=-⎩，67x ∴=-. x \的范围为212x <且67x ≠-； 故答案为：212x <且67x ≠-. 【点睛】本题考查向量夹角与向量数量积的关系，考查转化与化归思想的应用，求解时注意数量积小于0无法保证向量的夹角为钝角，还要把共线向量的情况除掉．13．在ABC ∆中，若AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆的形状为__________.【答案】等腰三角形 【解析】由向量数量积的定义，将等式转化成||cos ||cos AC A BC B =u u u r u u u r ，再由三角形的中线与高合一，判断三角形的形状.【详解】作CD AB ⊥交AB 于D ，因为AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r所以||||cos ||||cos ||cos ||cos AB AC A BA BC B AC A BC B =⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AD BD =，则D 为AB 的中点，由三角形底边AB 中线与高合一，所以ABC ∆为等腰三角形.故答案为：等腰三角形.【点睛】本题考查三角形形状的判定，求解过程中要注意利用向量既有几何又有代数的双重身份进行求解，求解的关键在于和平面几何知识的结合运用.14．若向量(1,2)n a =r 是直线:(21)10l a x ay +-+=的一个法向量，则a =___________. 【答案】34-或0 【解析】由直线:(21)10l a x ay +-+=的方程可得直线的一个方向向量为(,21)v a a =+r ，利用0n v ⋅=r r 可求得a 的值.【详解】取(,21)v a a =+r 为直线l 的一个方向向量，所以0n v ⋅=r r 4(21)320a a a a ⇒+⇒+⋅==-或0a =. 故答案为：34-或0. 【点睛】本题考查直线的方向向量与法向量的关系，考查基本运算求解能力，属于容易题. 15．在ABC ∆中，14AM AB m AC =+⋅u u u u r u u u r u u u r ，向量AM u u u u r 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ． 【答案】304m <<【解析】【详解】试题分析：设1,4AD AB =过点D 作DE 平行AC 于E 点，则3,4DE AC =由向量加法的几何意义知，点M 必在线段DE 上（不含端点）.又0m =时，M D =；34m =时，M E =，所以304m <<. 【考点】向量加法的几何意义16．给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=u u u r u u u r，则ABC ∆面积的最大值为_______.【答案】 【解析】先利用向量的数量积公式，求出60BOC ∠=︒，利用余弦定理求出BC ，由等面积可得O 到BC 的距离，即可求出ABC ∆面积的最大值． 【详解】3OB =Q ，2OC =，3OB OC ⋅=u u u r u u u r，60BOC ∴∠=︒，BC ∴==设O 到BC 的距离为h ，则由等面积可得113222h =⋅⋅7h ∴=，ABC ∆∴面积的最大值为1(4)272+=．故答案为：． 【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查分析解决问题的能力，求出BC ，O 到BC的距离是关键．三、解答题17．已知O 为原点，(3,1)OA =u u u r ，(1,2)OB =-u u u r ，OC u u u r 与OB uuu r 垂直，BC uuu r 与OA u u ur 平行，求OC u u u r 的坐标.【答案】(14,7).【解析】设C 为(),x y ,则(),OC x y =u u u r ,故BC OC OB =-u u u r u u u r u u u r ,由题可得0OC OB ⋅=u u u r u u u r ,BC uuu r 与OA u u ur 平行,进而求出点C 坐标即可【详解】由题, 设C 为(),x y ,则(),OC x y =u u u r ,所以()1,2BC OC OB x y =-=+-u u u v u u u v u u u v因为OC u u u r 与OB uuu r垂直,则0OC OB ⋅=u u u r u u u r ,即20x y -+=①,又因为BC uuu r 与OA u u u r平行,则1231x y +-=②, 由①②可得,14x =,7y =,所以OC u u u r的坐标为()14,7【点睛】本题考查向量的垂直与平行关系,考查坐标法处理向量的位置关系,考查运算能力18．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==r r r r r r，求b r 与c r 的夹角.【答案】π-【解析】利用向量的夹角公式cos ,||||b cb c b c ⋅<>=r rr r r r ，根据条件分别把,||,||b c b c ⋅r r r r 三个值算出，再代入公式求得余弦值，即可得到答案. 【详解】因为(32)(2,4)(2,2)12a b c -⋅=-⋅-=rrr， 所以32123a c b c b c ⋅-⋅=⇒⋅=-r r r rr r，因为(2,2)c =-r，所以||c =r所以cos ,16||||b c b c b c ⋅<>===-r rr r r r ，因为,[0,]b c π<>∈r r，所以,arccos 16b c π<>=-r r . 【点睛】本题考查向量夹角、向量数量积、向量的模及已知三角函数值求角等知识的交会，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求夹角时要注意反三角函数知识的运用.19．用行列式的方法解关于x ，y 的方程组(2)36m x y mx my m -+=-⎧⎨+=--⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】当3m =时，方程有无数解；当1m =-时，方程组无解；当3m ≠且1m ≠时，方程组有唯一解2141m x m m y m --⎧=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩【解析】将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数构成列向量．计算系数矩阵对应的行列式223D m m =--，再对D 进行分类讨论，求得方程组解的情况. 【详解】系数矩阵对应的行列式221233m D m m m-==--，当2230D m m =--≠，即1m ≠-且3m ≠时，方程组有唯一的解，1621m m m m x D m -----==+，62341m m m y m D m ----==--+． 2230D m m =--=，即3m =或1m =-时．当3m =时，原方程为3339x y x y +=-⎧⎨+=-⎩无数个解，当1m =-时，原方程组为3133x y x y -+=⎧⎨-=-⎩无解．【点睛】本题二元一次方程组解的行列式求法，考查基本的运算求解能力． 20．在ABC ∆中，已知()1,2A 、()2,1B -．（1）若点C 的坐标为()4,5C ，直线//l AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且CDE ∆与ABC ∆的面积之比为49，求直线l 的方程； （2）若(),C x y 是一个动点，且ABC ∆的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式． 【答案】（1）370x y -+=；（2）1133y x =+或133y x =+.【解析】（1）作出图形，可得出CDE ABC ∆∆:，根据面积比为49得出23CD AC =，从而得出2CD DA =u u u r u u u r ，设点(),D m n ，利用向量的坐标运算求出点D 的坐标，并求出直线AB 的斜率，即为直线l 的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线l 的方程；（2）求出直线AB 的方程和AB ，设点C 到直线AB 的距离为d ，利用ABC ∆的面积为2求出d 的值，结合点到直线的距离公式可求出y 关于x 的函数关系式.【详解】（1）//l AB Q ，即//DE AB ，CDE ABC ∴∆∆:，且249CDE ABC CD S S AC ∆∆⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭， 2CD DA ∴=u u u r u u u r，设点D 的坐标为(),m n ，()4,5CD m n =--u u u r ，()1,2DA m n =--u u u r ， ()()421522m m n n ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩，()2,3D ∴. 直线AB 的斜率为211123AB k -==+，//l AB Q ，则直线l 的斜率为13. 因此，直线l 的方程为()1323y x -=-，即370x y -+=；（2）直线AB 的方程为()1213y x -=-，即350x y -+=，AB ==设点C 到直线AB 的距离为d ，则ABC ∆的面积为11222ABC S AB d d ∆=⋅==， 得d =d ==， 354x y ∴-+=±，解得1133y x =+或133y x =+.因此，y 关于x 的函数关系式为1133y x =+或133y x =+.【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形的面积求出动点的轨迹方程，涉及两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.21．如图，M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交,AB AC 两边于点,P Q ，设,AP xAB AQ y AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，记()y f x =（1）求函数()y f x =的表达式；（2）设APQ ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，且12S kS =，求实数k 的取值范围【答案】（1）41x y x =-，1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）11,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，,AP xAB AQ y AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy 的方程，进而可得函数()y f x =的表达式；（2）设ABC ∆的面积为21S =，则APQ ∆的面积2141x S xy x ==-，1(1)3x ≤≤，利用导数法，求出函数的值域，可得答案． 【详解】 （1）如图所示：D Q 为BC 的中点，M 为AD 的中点，∴111111()222244AM AD AB AC AB AC ==+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，又PQM Q 三点共线，故(1)(1)AM AP AQ AB y AC λλλ=+-=+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故141(1)4x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，故11144x y+=， 即()41x y f x x ==-，1(1)3x ≤≤.（2）设ABC ∆的面积为21S =，则APQ ∆的面积2141x S xy x ==-，1(1)3x ≤≤故2'1242(41)x xS x -=-，当1132x ≤<时，'10S <，函数为减函数， 当112x <≤时，'10S >，函数为增函数， 故当12x =时，1S 取最小值14，当13x =，或1x =时，1S 取最大值13， 故1211[,]43S S ∈， 因为12APQ ABCS S k S S ∆∆==，所以11[,]43k ∈【点睛】本题考查函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．。
上海市位育中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
上海市位育中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．下列命题正确的是（ ）A ．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B ．如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行C ．如果一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行D ．如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直14．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．2215．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，且3,4,AB AC AB AC ==^，112AA =，则球O 的半径为 （ ）A ．5.5B ．6C ．6.5D ．716．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN 恒与平面ABD 平行；②异面直线AC 与MN 恒垂直．以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，②为真命题；B ．①为真命题，②为假命题；C ．①为假命题，②为真命题；D ．①为假命题，②为假命题；三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，求：(1)异面直线AD与AC所成角的大小；1(2)求点C到平面ABC D的距离．11四、作图题18．沪版必修第三册教材中用了较多的篇幅来介绍立体几何中的定理及其证明过程，力求培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.(1)写出“异面直线判定定理”的内容并证明该定理；(2)表述出祖暅原理的内容，并画出用祖暅原理推导半球体积时构造出的几何体（需交代主要线段的长度，可适当用文字说明）.五、解答题19．如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液．如图②，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径AB 所在直线与桌面所成的角为α．(1)求图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角(用α表示)；(2)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值．六、证明题20．如图， 在四棱锥P ABCD -中， PD ^底面ABCD ， 四边形ABCD 为正方形，PD DC =， ,E F 分别是,AD PB 的中点．(1)证明：EF //平面PCD ．(2)鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称. 右图中是否能找到鳖臑，若能，写出一个并证明；若不能，说明理由.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ^，2AB AD BC AB E F ==，，、分别为棱BC BP 、中点．(1)求证：平面AEF ∥平面DCP ；(2)若平面PBC ^平面ABCD ，直线AP 与平面PBC 所成的角为45o ，且CP PB ^，求二面角P AB D --的大小．七、填空题22．正方体中1111ABCD A B C D -，过1D 作直线l ，若直线l 与平面ABCD 中的直线所成从而直线m 在平面a 内，这与已知条件矛盾，所以直线,m n 为异面直线.（2）祖暅原理：夹在两个平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图所示，图①几何体的为半径为R 的半球，图②几何体为底面半径和高都为R 的圆柱中挖掉了一个圆锥，设与平面a 平行且距离为d 的平面b 截两个几何体得到两个截面，则图②与图①截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分），在图①中，设截面圆的圆心为1O ，易得截面圆1O 的面积为()22πR d -，在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d ，所以圆环的面积为()22πR d -，所以截得的截面的面积相等，则图②几何体的体积即为图①半球的体积.EF 为液面，EF ∥水平线，∴∠BEF ＝β∵AD ∥BC ，∴∠DFE ＝∠BEF ＝β，∵∠ABC ＝2p ，∴α＋β＝2p ，图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角为（2）如图，过F 作FQ ∥CD 交BC 于Q在Rt CDFÐ=，20△中，FCD aCD=，则=-．AF a3020tan此时容器内能容纳的溶液量为：【分析】（1）证明//EF 平面PCD ，//AE 平面PCD ，即可证明结论；（2）根据面面垂直性质定理得45APB Ð=o ，进而得AB PB =，再根据题意证明PC ^平面ABP 可得PBC V 为直角三角形，再根据几何关系得60PBC Ð=o ，进而根据PBC Ð是二面角P AB D --的平面角求解即可.【详解】（1）证明：因为E F 、分别为棱BC BP 、中点，所以，在PBC V 中，//EF PC ，因为EF Ë平面PCD ，PC Ì平面PCD ，所以，//EF 平面PCD ，因为AD BC ∥，2BC AB E =，为棱BC 中点．所以，//,AD CE AD CE =，所以，四边形ADCE 是平行四边形，所以，//CD AE因为AE Ë平面PCD ，DC Ì平面PCD ，所以，//AE 平面PCD ，因为,,AE EF E AE EF Ç=Ì平面AEF ，所以，平面AEF ∥平面DCP（2）解：因为平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC Ç平面ABCD BC =，AB BC ^，AB Ì。
上海市徐汇中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
上海市徐汇中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、填空题1．若直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是．2．如图，若PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，则二面角P BC A --的大小为.3．在数列{}n a 中，11a =，对任意*n ∈N ，有11n n n a a a +=+，则5a =．4．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，若直线1B C 与底面ABCD 所成的角的大小为arctan 2，则正四棱柱的外接球表面积为．5．已知长方体1111ABCD A B C D -，如图建系，若1DB 的坐标为()4,3,2，则1AC uuu r 的坐标为．6．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为．7．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则这球的半径为cm .8．棱长为1的正四面体，过三条侧棱中点做截面，则截面与底面之间所成棱台的高为．9．已知正三棱柱111ABC A B C -中，14AB AA ==，点D 、E 分别为棱1AA 、11A B 的中点．则三棱锥1E BDC -的体积为．10．已知正三角形ABC 的边长2的平面有个；11．已知两母线长度相等的圆锥侧面展开图拼起来恰是一个整圆，且两圆锥的侧面积之比为1：2，则两圆锥的体积比为．12．关于正方体1111ABCD A B C D -有如下四个说法，则下列说法正确的有．（1）若点P 在直线1BC 上运动，则三棱锥1A D PC -的体积不变（2）若点P 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，则P 点的轨迹是直线11A D ．（3）若点P 在线段1BC （含端点）上运动，则直线AP 与DC 所成角的范围为π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（4）若点P 在线段1BC （含端点）上运动，则直线AP 与1D C 可以垂直二、单选题13．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（）A ．若l α∥，m αβ= ，则l mB ．若l α∥，m α ，则l mC ．若l α⊥，m α ，则l m ⊥D ．若l α∥，m l ⊥，则m α⊥14．下列四个正方体图形中，,,,,A B M N P 分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出AB //平面MNP 的图形是（）A ．B ．C ．D ．15．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，已知两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S =”的（）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要16．已知菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 相交于点E ，将ABD △沿BD 折起，使顶点A 至点M ，在折起的过程中，对于下面两个命题：①存在一个位置，使CDM V 为等边三角形；②DM 与BC 不可能垂直，成立的是（）A ．①为假命题，②为真命题；B ．①为真命题，②为假命题；C ．①②均为真命题；D ．①②均为假命题三、解答题17．正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别是棱1B B ，AD 的中点．(1)直线BF ∥平面1AD E ；(2)求异面直线BF 与1D E 所成角的大小；18．已知等差数列{}n a 的公差不为零，113a =，且3a ，6a ，7a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式：(2)求其前n 项和n S 取最大值时n 的值．19．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，圆O 的直径4AB =，圆柱1OO 的表面积为20π，120A O P ∠=︒．(1)求四面体1P A AB -全面积；(2)求二面角1O A P A --的大小；20．（1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用，定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒，另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒更经济实惠？（2）包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示．“十字”捆扎“对角”捆扎假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上．①求“十字”捆扎中彩带的总长度；②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议．21．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 所在平面外一点，且点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与B 的交点O ．已知60BAD ∠=︒，PDB △是等边三角形．(1)求证：AC PD ⊥；(2)求点D 到平面PBC 的距离；(3)若点E 是线段B 上的动点．问：点E 在何处时，直线PE 与平面PBC 所成的角最大？求出这个最大角，并说明点E 此时所在的位置．。
上海市位育中学2017届高三上学期期中考试数学试卷Word版含答案
位育中学2017届第一学期期中考试高三数学试卷一 填空题（本大题满分56分，每小题4分）1 设集合}6,5,4,3,2,1{=U ,}4,2,1{=M C u ;则集合M =______________2 已知53)2sin(=-απ，则)cos(απ-=_____________ 3 公比为2的等比数列}{a n 的各项都是正数，且16113=a a ，则102log a =_____________ 4 求值：)74arcsin(cos π=_____________ 5 在等差数列}{a n 中，若2576543=++++a a a a a ，则=+82a a _____________ 6 在ABC ∆中，3=a ，6=b ，3π=A ,则B =____________7 已知数列}{a n 是递增数列的等比数列，941=+a a ，832=a a ，则数列}{a n 的前n 项和等于____________8 若函数22log 36)(>≤⎩⎨⎧++-=x x x x f a （0>a 且1≠a ）的值域是[)∞+，4。
则实数a 的取值范围是____________9 若函数)ln()(2x a x x x f ++=为偶函数，则=a ___________10 设n s 是数列}{a n 的前n 项和，且11-=a ，11++=n n n s s a ，则n s =___________11 设函数211|)|1ln()(xx x f +-+= ，则使得)12()(-≥x f x f 成立的x 的取值范围是__________12 已知函数)0(cos sin )(>+=ωωωx x x f ，R x ∈，若函数)(x f 在区间)(ωω，-内单调递增，且函数)(x f 的图像关于ω=x 对称，则ω的值为___________13 若ab 是函数)0,0()(2>>+-=q p q px x x f 的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q p +的值等于___________14 已知函数)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=x x g ，若同时满足条件：（1）对任意实数x 都有0)(<x f 或0)(<x g ；（2）总存在），（4-∞-∈o x 时，使0)()(<o o x g x f 成立，则m 的取值范围是___________二 选择题（满分20分，每小题5分）15 设n s 是公差为)0(≠d d 的无穷等差数列}{a n 的前n 项和，则下列命题错误的是（ ） A 若0<d ,则数列}{s n 有最大项 B 若数列}{s n 有最大项，则0<dC 若数列}{s n 是递增数列，则对任意*N n ∈,均有0>n sD 若对任意*N n ∈，均有0>n s ，则数列}{s n 是递增数列16 将函数x x f 2sin )(= 的图像向右平移ϕ）（20πϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图像，若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x 2x ，有3x min 21π=-x ，则ϕ=___________ A125π B 3π C 4π D 6π 17 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“)(x f 为[]10，上的增函数”是“)(x f 为[]43，上的减函数”的（ ） A 充分而不必要的条件 B 必要而不充分的条件C 充要条件D 既不充分也不必要的条件18 对于函数)(x f ，若存在区间[]n m A ,= 使得{y|y=f （x ），x ∈A}=A ，则称函数f （x ）为“可等域函数”，区间A 为函数f （x ）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①f （x ）=sin （x ）； ②f （x ）=2x 2﹣1；③f （x ）=|1﹣2x |；④f （x ）=log 2（2x ﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ）A ．①②③B ．②③C ．①③D ．②③④三 解答题（满分74分）19 （满分12分）已知二次函数32)(2--=x mx x f ，若不等式0)(<x f 的解集为),1(n -（1）解关于x 的不等式：1)1(422-+>+-x m n x x ；（2）是否存在实数），（10∈a ，使得关于x 的函数14)(+-=x x a a f y []），（21∈x 的最小值为4-？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由20 （本题满分14分）在ABC ∆中,已知135cos =A , 3102cot 2tan =+B B , 21=C （1）求)cos(B A -的值;（2）求ABC ∆的面积.21 (本题满分14分) 已知函数2cos 102cos 2sin 310)(2x x x x f += （1）求函数)(x f 的最小正周期;（2）将函数)(x f 的图像向右平移6π 个单位长度,再向下平移a )0(>a 个单位长度后得到函数)(x g 的图像,且函数)(x g 的最大值为2 .① 求函数)(x g 的解析式;② 证明:存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得0)(0>x g22 (本题满分16分)已知数列}{a n 的前n 项和为n s , 且n n s s a a +=22 对一切整数n 都成立.（1）求1a ,2a 的值（2）若01>a ,设数列}{n b 的前n 项和为n T , 且满足nn a a b 110lg= ,证明}{n b 是等差数列; （3）当n 为何值时, n T 最大? 并求出n T 的最大值.23(本题满分18分)已知函数)(x f ,如果存在给定的实数对）（b a , ,使得b x a f x a f =-+)()(恒成立,则称)(x f 为”-Γ函数” .（1）判断函数x x f =）（1, xx f 32=）（ 是否是”-Γ函数” . （2）若x x f tan 3=）（ 是一个”-Γ函数” .,求出所有满足条件的有序实数对）（b a ,; （3）若定义域为R 的函数)(x f 是”-Γ函数” ,且存在满足条件有序实数对），（10和)4,1( ,当[]10，∈x 时,)(x f 的值域为[]21， ,求当[]20162016-，∈x 时函数)(x f 的值域答案1 }6,5,3{=M ,2 53-， 3 5， 4 14π-， 5 10， 6 4π， 7 12-n ， 8(]21，， 9 1， 10 n 1-， 11 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡131，， 12 2π，13 9 ，14 ），（2-4- 15 C, 16D, 17C,18B.19 (1) ()),2(1,+∞⋃∞- (2) 31=a 20 （1）6556， （2）126 21 （1） π2=T （2）①8sin 10)(-=x x g ② 证明题 22 （1） 121+=a ，222+=a ，或211-=a ，222-=a （2）2lg 21-=d （3）7=n 2lg 2217)(7max -==T T n23 （1）不是；是（2） ))(1,4(z k k ∈±ππ (3) []201620162,2-。
上海市位育中学2017-2018学年高三上学期期中数学试卷及解析
上海市位育中学2017-2018学年高三上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合23},{|log 1},N x x =>则M N =（ ）A.∅B.{|03}x x <<C.{|13}x x <<D.{|23}x x <<2.若()sin 3cos2,f x x =- 则()cos f x = ( )A. 3cos2x -B. 3sin2x -C. 3cos2x +D. 3sin2x +3.定义两个平面向量的一种运算sin ,a b a b θθ⊗=⋅⋅为,a b 的夹角，则对于两个平面向量,a b ，下列结论错误的是（ ） A.a b b a ⊗=⊗B.=a b a b λλ⊗⊗()()C.2222)+=a b a b a b ⊗⋅⋅(()D.若1122(,),(,)a x y b x y ==，则1221=a b x y x y ⊗-第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）2,},{|}x R B x x a ∈=≥，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是______.5.函数y =cos x +cos （x +）的最大值是 .6.函数()22log 1y x =+（0x <）的反函数是______. 7.方程2lg lg(2)0x x -+=的解集是_______.8.若32(2)+2n n n x x ax bx cx +=++++…（*n N ∈且3n ≥），且:3:2,a b =则n =_______.9.在等差数列{}n a 中，13464,2,a a a a +=+=-若2log n n a b =，则12lim()n n b b b →∞++…+=_______.10.若ABC △的面积2221(),3S a b c =+-则C ∠=_________. 11.复数z a bi =+，其中{1,3,5},{0,2,4,6},a b ∈∈则得到的复数z 的模不大于5的概率是_____.12.若函数14()121x f x a a x=的最小值是非负数，则符合条件的整数a 的一个可能值是______.13.函数sin arcsin y x x =+的值域是______.14.定义：若函数()f x 的图像经过变换T 后所得的图像对应的函数与()f x 的值域相同，则称变换T 是()f x 的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：①21()(1),f x x T =-将函数()f x 的图像关于y 轴作对称变换； ②12()21,x f x T -=-将函数()f x 的图像关于x 轴作对称变换；③3(),1xf x T x =+将函数()f x 的图像关于点（-1，1）作对称变换； ④4()sin(),3f x x T π=+将函数()f x 的图像关于点（-1，0）作对称变换；其中T 是()f x 的同值变换的有_______.（写出所有符合题意的序号）15.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+，则r 的值为________．三、解答题（题型注释）16.如图，正四棱柱1111A B C D -的底面边长为1，异面直线AD 与1BC 所成角的大小为60︒，求：（1）线段1A 1B 到底面ABCD 的距离； （2）三棱椎11B ABC -的体积。
上海市位育中学2017-2018学年高考数学模拟试卷(文科)(新疆班) Word版含解析
2017-2018学年上海市位育中学高考数学模拟试卷（文科）（新疆班）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程的解为．2．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．3．设全集为U实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是．4．若，则cosθ=．5．把三阶行列式中元素7的代数余子式记为f（x），若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，b），则实数a+b=．6．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是．7．执行如图所示的程序框图，若输入数据n=5，a1=﹣2，a2=﹣2.6，a3=3.2，a4=2.5，a5=1.4，则输出的结果为．8．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．9．在平面直角坐标系中A点坐标为（，1），B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则|+|的最大值是．10．已知函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），若函数的图象经过点（1，2），则函数的图象必过点．11．已知f（x）是R奇函数，对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=2，则f（2015）等于．12．在等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，公比q满足如下条件：△OAB（O为原点）中，，，∠A为锐角，则公比q等于．13．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A（﹣5，0），B（5，0）距离之差为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的为．①x+y=5；②x2+y2=9③+=1④x2=16y．14．设函数f（x）=xα+1（α∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，其中0＜a＜b．若函数f （x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件16．将的图象向右平移个单位，则平移后图象的一个对称中心是（）A． B．C． D．17．定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g （x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数、现有如下：①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②g（x）=2x为函数f（x）=2x的一个承托函数；③定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数．下列选项正确的是（）A．①B．②C．①③D．②③18．已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面．（1）求证：CD⊥平面AED；（2）设异面直线CB与DE所成的角为且AE=1，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上横坐标为3的点，且P到抛物线焦点F的距离等于4．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线交于A、B两点，l2与抛物线交于C、D两点，M、N分别是线段AB、CD的中点，求△FMN面积的最小值．22．给定数列a1，a2，…，a n．对i=1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A i，后n ﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i﹣B i．（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．23．已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．2016年上海市位育中学高考数学模拟试卷（文科）（新疆班）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程的解为．【考点】函数的零点与方程根的关系；对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数的运算法则求解方程的解即可．【解答】解：方程，化为：，即：x=．∴．故答案为：．【点评】本题考查函数的零点与方程的解的关系，是基础题．2．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【考点】二阶行列式与逆矩阵．【专题】矩阵和变换．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．3．设全集为U实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是{x|1＜x＜2}．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】计算题；数形结合；定义法；集合．【分析】由题意，阴影部分所表示的集合是（C U M）∩N，化简集合M，N，即可得到结论．【解答】解：由题意可得，M={x||x|≥2}={x|x≥2或x≤﹣2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，图中阴影部分所表示的集合为（C U M）∩N={x}﹣2＜x＜2}∩{x|1＜x＜3}={x|1＜x＜2}，故答案为：{x|1＜x＜2}．【点评】本题主要考查了利用维恩图表示集合的基本关系，及绝对值不等式、二次不等式的求解，属于基础试题4．若，则cosθ=．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】对三角函数化简可得==，从而可得，再由二倍角的余弦可得，代入可求【解答】解：∵==∴由二倍角的余弦可得，=故答案为：【点评】本题主要考查了二倍角的正弦及二倍角的余弦公式在三角函数化简中的应用，属于基础试题5．把三阶行列式中元素7的代数余子式记为f（x），若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，b），则实数a+b=1．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】先表示出函数f（x）的关系式，再由f（x）＞0的解集为（﹣1，b）确定a、b的值．【解答】解：由题意知f（x）==﹣[x（x+a）﹣2]=﹣x2﹣ax+2∵f（x）＞0的解集为（﹣1，b）∴f（﹣1）=0 解得a=﹣1代入函数f（x）中∴f（x）=﹣x2+x+2＞0 故b=2 a+b=1故答案为：1．【点评】本题主要考查行列式的表示和一元二次不等式的解法．6．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】根据步骤：①画可行域②z为目标函数纵截距③画直线0=y﹣x，平移可得直线过A或B时z有最值即可解决．【解答】解：画可行域如图，画直线0=y﹣x，平移直线0=y﹣x过点A（0，1）时z有最大值1；平移直线0=y﹣x过点B（2，0）时z有最小值﹣2；则z′=y﹣x的取值范围是[﹣2，1]，则z=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．执行如图所示的程序框图，若输入数据n=5，a1=﹣2，a2=﹣2.6，a3=3.2，a4=2.5，a5=1.4，则输出的结果为0.5．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】根据输入的n的值和5个数据，判断循环变量和5的大小，当i＞5不成立时进入循环体依次对S替换，i＞5成立时结束算法，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得赋值S=0，i=1，执行S===﹣2，i=1+1=2；判断2＞5，执行S===﹣2.3，i=2+1=3；判断3＞5，执行S===﹣，i=3+1=4；判断4＞5，执行S===0.275，i=4+1=5；判断5＞5，执行S===0.5，i=5+1=6；判断6＞5，算法结束，输出的结果为0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，属于基础题．8．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：．【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．9．在平面直角坐标系中A点坐标为（，1），B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则|+|的最大值是3．【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可知向量||=1的模是不变的，当与同向时，|+|的最大，所以|+|的最大值=．【解答】解：由题意可知向量||=1的模是不变的，当与同向时，|+|的最大，|+|的最大值===2+1=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．10．已知函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），若函数的图象经过点（1，2），则函数的图象必过点．【考点】反函数．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】函数的图象经过点（1，2），可知：函数y=f（x）的图象经过（1，3），因此函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）经过点（3，1），即可得出．【解答】解：∵函数的图象经过点（1，2），∴函数y=f（x）的图象经过（1，3），∴函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）经过点（3，1），∴函数的图象必过点．故答案为：．【点评】本题考查了反函数的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知f（x）是R奇函数，对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=2，则f（2015）等于﹣2．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】令x=﹣2，可得f（2）=f（﹣2）+f（2），得出f（2）=0，f（x+4）=f（x），利用周期性求解即可．【解答】解：对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，∴f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=0，f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴f（x）的周期为4，∴f（2015）=f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．【点评】考查了抽象函数的周期性及奇偶性的综合．属于基础题型，应熟练掌握．12．在等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，公比q满足如下条件：△OAB（O为原点）中，，，∠A为锐角，则公比q等于﹣2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，求出q=1或q=﹣2，根据：△OAB（O为原点）中，，，∠A为锐角，确定q的值．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，∴2a7=a8+a9，∴2=q+q2，∴q=1或q=﹣2，∵△OAB（O为原点）中，，，∴=（1，q﹣1），∵∠A为锐角，∴﹣1×1﹣q+1＞0，∴q=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查等差数列的性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，比较基础．13．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A（﹣5，0），B（5，0）距离之差为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的为②．①x+y=5；②x2+y2=9③+=1④x2=16y．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；新定义；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先确定M的轨迹，再研究各选项与M的轨迹的交点情况，即可得到结论．【解答】解：∵M到平面内两点A（﹣5，0），B（5，0）距离之差为8，∴M的轨迹是以A（﹣5，0），B（5，0）为焦点的双曲线的右支，方程为=1（x≥4）．①∵直线x+y=5过点（5，0）与（0，5）直线与双曲线=1（x≥4）有交点，满足题意；②∵x2+y2=9的圆心为（0，0），半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；③∵的右顶点为（5，0），与双曲线=1（x≥4）有交点，满足题意；④联立，可得y2﹣9y+9=0，解得，y=3，满足题意．故答案为：②．【点评】本题考查新定义，考查双曲线的定义，考查曲线的位置关系，属于中档题．14．设函数f（x）=xα+1（α∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，其中0＜a＜b．若函数f （x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为﹣5或9．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令g（x）=xα，定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，g（x）=xα在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，再分类讨论，即可得到结论．【解答】解：令g（x）=xα，定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，则∵函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，∴g（x）=xα在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，若g（x）=xα是偶函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为5，最小值为2，∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为6，最小值为3，最大值与最小值的和9；若g（x）=xα是奇函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣2，最小值为﹣5，∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣1，最小值为﹣4，最大值与最小值的和﹣5；∴f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为﹣5或9故答案为：﹣5或9．【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查分类讨论的数学思想，正确运用幂函数的性质是关键．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑；数系的扩充和复数．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立，若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时，则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．16．将的图象向右平移个单位，则平移后图象的一个对称中心是（）A． B．C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得平移后所得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将的图象向右平移个单位，可得函数y=cos[2（x﹣）+]=cos（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ+，求得x=+，故平移后图象的对称中心为（+，0），k∈Z，令k=0，可得平移后图象的一个对称中心是（，0），故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．17．定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g （x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数、现有如下：①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②g（x）=2x为函数f（x）=2x的一个承托函数；③定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数．下列选项正确的是（）A．①B．②C．①③D．②③【考点】函数恒成立问题；抽象函数及其应用．【专题】压轴题；阅读型；新定义．【分析】对于①，若取f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1），都满足，且有无数个，故正确；对于②，即x=时，②错；对于③，如取f（x）=2x+3，即可看出其不符合，故错．抽象的背后总有具体的模型，我们可以通过具体的函数的研究，进行合理地联想．【解答】解：对于①，若f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1），就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx，y=lgx就没有承托函数，∴①正确、对于②，∵当x=时，g=3，f=2=，∴f（x）＜g（x），∴g（x）=2x不是f（x）=2x的一个承托函数，故错误；对于③如f（x）=2x+3存在一个承托函数y=2x+1，故错误；故选A．【点评】本题是以抽象函数为依托，考查学生的创新能力，属于较难题，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．18．已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解【考点】一次函数的性质与图象．【专题】函数的性质及应用；直线与圆．【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用．三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面．（1）求证：CD⊥平面AED；（2）设异面直线CB与DE所成的角为且AE=1，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）通过证明CD⊥ED，CD⊥AE，然后证明CD⊥平面AED．（2）所求问题实际是将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．求解即可．【解答】解：（1）证明：因为CE为圆O的直径，所以，即CD⊥ED…2分又因为AE垂直于圆面，CD⊥AE所在平面，所以CD⊥AE…4分又CD⊥ED，所以CD⊥平面AED…5分（2）由题意知，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．因为异面直线CB与DE所成角为，且CB∥DA，所以，…7分又因为AE=1，所以，在Rt△AED中，，DA=2…9分在Rt△CDE中，CD=DA=2，，所以…10分所以该几何体的体积…12分．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判断，考查逻辑推理能力以及计算能力．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cosA=，由同角三角函数的基本关系可得sinA；（2）由正弦定理可得sinB=，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．【解答】解：（1）由题意可得=cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sinB=cos[（A﹣B）+B]=cosA=，∴sinA==；（2）由正弦定理可得，∴sinB===，∵a＞b，∴A＞B，∴B=，由余弦定理可得=，解得c=1，或c=﹣7（舍去），故向量在方向上的投影为cosB=ccosB=1×=．【点评】本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上横坐标为3的点，且P到抛物线焦点F的距离等于4．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线交于A、B两点，l2与抛物线交于C、D两点，M、N分别是线段AB、CD的中点，求△FMN面积的最小值．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用抛物线的定义列出方程求解即可．（2）求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程，联立方程组，求出M、N的坐标，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解三角形的面积的最小值即可．【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的准线为，由题意，，p=2．…所以所求抛物线的方程为y2=4x．…（2）F（1，0），由题意，直线l1、l2的斜率都存在且不为0，设直线l1的方向向量为（1，k）（k＞0），则（1，k）也是直线l2的一个法向量，所以直线l1的方程为，即y=k（x﹣1），…直线l2的方程为y=﹣（x﹣1），即x+ky﹣1=0．…设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0…则=1+．=…同理可得，．…所以，|MF|==，|FN|==，∴△FMN面积：•=2（k+）≥4=4．…所以，当且仅当k=，即k=1时，△FMN的面积取最小值4．…【点评】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．22．给定数列a1，a2，…，a n．对i=1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A i，后n ﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i﹣B i．（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）当i=1时，A 1=3，B 1=1，从而可求得d 1，同理可求得d 2，d 3的值； （Ⅱ）依题意，可知a n =a 1q n ﹣1（a 1＞0，q ＞1），由d k =a k ﹣a k+1⇒d k ﹣1=a k ﹣1﹣a k （k ≥2），从而可证（k ≥2）为定值．（Ⅲ）依题意，0＜d 1＜d 2＜…＜d n ﹣1，可用反证法证明a 1，a 2，…，a n ﹣1是单调递增数列；再证明a m 为数列{a n }中的最小项，从而可求得是a k =d k +a m ，问题得证．【解答】解：（Ⅰ）当i=1时，A 1=3，B 1=1，故d 1=A 1﹣B 1=2，同理可求d 2=3，d 3=6； （Ⅱ）由a 1，a 2，…，a n ﹣1（n ≥4）是公比q 大于1的等比数列，且a 1＞0，则{a n }的通项为：a n =a 1q n ﹣1，且为单调递增的数列．于是当k=1，2，…n ﹣1时，d k =A k ﹣B k =a k ﹣a k+1，进而当k=2，3，…n ﹣1时，===q 为定值．∴d 1，d 2，…，d n ﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d 为d 1，d 2，…，d n ﹣1的公差，对1≤i ≤n ﹣2，因为B i ≤B i+1，d ＞0，所以A i+1=B i+1+d i+1≥B i +d i +d ＞B i +d i =A i ，又因为A i+1=max{A i ，a i+1}，所以a i+1=A i+1＞A i ≥a i ．从而a 1，a 2，…，a n ﹣1为递增数列．因为A i =a i （i=1，2，…n ﹣1），又因为B 1=A 1﹣d 1=a 1﹣d 1＜a 1，所以B 1＜a 1＜a 2＜…＜a n ﹣1，因此a n =B 1．所以B 1=B 2=…=B n ﹣1=a n ．所以a i =A i =B i +d i =a n +d i ，因此对i=1，2，…，n ﹣2都有a i+1﹣a i =d i+1﹣d i =d ，即a 1，a 2，…，a n ﹣1是等差数列．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．23．已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．【考点】函数的图象；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据定义构造方程ax2+x﹣a=0，再利用判别式得到方程有解，问题得以解决．（2）根据定义构造方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1，2]上有解，再利用换元法，设t=2x，求出b的范围，问题得以解决．（3）根据定义构造方程4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，再利用换元法，设t=2x+2﹣x，方程变形为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求出m的范围即可【解答】解：（1）由f（x）=ax2+x﹣a得f（﹣x）=ax2﹣x﹣a，代入f（﹣x）=﹣f（x）得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0得到关于x的方程ax2﹣a=0（a≠0），其中△=4a2，由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立，所以函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，∴方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1，2]上有解，于是﹣2b=2x+2﹣x，设t=2x，≤t≤4，∴﹣2b=t+，其中2≤t+≤，所以﹣≤b≤﹣1（3）∵f（﹣x）=4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3，由f（﹣x）=﹣f（x），∴4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m•2x+1+m2﹣3），于是4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，令t=2x+2﹣x（t≥2），则4x+4﹣x=t2﹣2，∴方程（*）变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，需满足条件：即，化简得1﹣≤m≤2【点评】本题依据新定义，考查了方程的解得问题以及参数的取值范围，以及换元的思想，转化思想，属于难题。