2016乌兰察布职业学院数学单招试题测试版(附答案解析)

[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．(1)函数f (x )＝－x 2＋5x －6的零点为________； (2)函数g (x )＝x 2－2x ＋1的零点个数为________．2．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________．3．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：x 0(精确到0.01)为________．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．能力提升5．函数f (x )＝x 2－2x 的零点个数是________．6．若函数f (x )＝x 2·lg a －2x ＋2在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是________．7．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )，当x >0时，y ＝f (x )是单调递增的，f (1)·f (2)<0，则函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的个数是________．8．已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C 、D ，则直线AB 与CD 交点坐标为________．9．根据表格中的数据，可以判定函数f (x )＝ln x －x ＋2有一个零点所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N *)，则k 的值为________.10. 已知方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1，1n ，则正整数n ＝________. 11．若方程x 3＋a ＝4x 的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i(i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是________．12．已知关于x 的方程|x |x ＋3＝kx 3有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围是________________．13．(8分)如图K11－1是一个二次函数y ＝f (x )的图象． (1)写出这个二次函数的零点； (2)写出这个二次函数的解析式；(3)分别指出f (－4)f (－1)，f (0)f (2)与零的大小关系．图K11－114．(8分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．15．(12分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．16．(12分)已知二次函数y＝f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数y ＝f2(x)的图象与直线y＝x的两个交点间距离为8，f(x)＝f1(x)＋f2(x)．(1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a>3时，关于x的方程f(x)＝f(a)有三个实数解．参考答案 【基础热身】1．(1)2和3 (2)1 [解析] (1)令f (x )＝－x 2＋5x －6＝0，解得x ＝2或x ＝3，故零点为2和3；(2)令g (x )＝0，解得x ＝1，故零点就一个．2．(2,2.5) [解析] 由计算器可算得f (2)＝－1，f (3)＝16，f (2.5)＝5.625，f (2)·f (2.5)<0，∴下一个有根区间是(2,2.5).3．1.56 [解析] 由表格可得x 0∈(1.5562,1.5625)，又精确到0.01，故x 0≈1.56. 4．3 [解析] 由f (－4)＝f (0)，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 关于x ＝－2对称，∴－b2＝－2，∴b ＝4.∵f (－2)＝－2，∴c ＝2， ∴当x ≤0时，f (x )＝x 2＋4x ＋2， 故f (x )＝x 的解为x ＝2或－1或－2. 【能力提升】5．3 [解析] 分别作出函数y ＝x 2与y ＝2x 的图象，看图可知有3个交点，故函数f (x )＝x 2－2x 的零点个数为3.6．(1，10) [解析] 由题意可有f (1)f (2)<0，即lg a ×(4lg a －2)<0⇒0<lg a <12⇒1<a <10.7．2 [解析] 由已知可知，存在x 1∈(1,2)，使得f (x 1)＝0，又函数f (x )为偶函数，所以存在x 0∈(－2，－1)，使得f (x 0)＝0，故y ＝f (x )的图象与x 轴有两个交点．8．(0,0) [解析] 由图象可知直线AB 与CD 相交，两直线方程分别为AB ：y ＝12x ，CD ：y ＝lg22x ，则其交点坐标为(0,0)．9．3 [解析] f (3)＝ln3－1>0，f (4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在(3,4)内，k ＝3. 10．2 [解析] 由下图可得：x 0∈(0,1)，设f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －x 13，因为f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212－⎝⎛⎭⎫1213<0，f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1213－⎝⎛⎭⎫1313>0，故n ＝2.11．(－∞，－6)∪(6，＋∞) [解析] 方程的根显然不为0，原方程的实根是曲线y＝x 3＋a 与曲线y ＝4x 的交点的横坐标；而曲线y ＝x 3＋a 是由曲线y ＝x 3向上或向下平移|a |个单位而得到的．若交点(x i ，4x i)(i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，因直线y ＝x与y ＝4x 交点为：(－2，－2)，(2,2)；所以结合图象可得：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(－2)3＋a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，23＋a <2⇒a ∈(－∞，－6)∪(6，＋∞)． 12．k >0或k <－14 [解答] 因为|x |x ＋3＝kx 3，所以|x |x 3·(x ＋3)＝k (*)，当x ＝0时，原式成立； 当x ≠0时，1k ＝|x |·x ·(x ＋3)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ＋3)(x ≥0)，－x 2(x ＋3)(x <0)，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ＋3)(x ≥0)，－x 2(x ＋3)(x <0)，画出函数图象如下图，观察图象得：y min ＝－4.因为y ＝1k 与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ＋3)(x ≥0)，－x 2(x ＋3)(x <0)有两个交点故1k >－4且k ≠0，所以k >0或k <－14.13．[解答] (1)由图象知函数y ＝f (x )的零点是x 1＝－3，x 2＝1. (2)方法一：设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 据题意⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，f (0)＝c ＝3，f (－3)＝9a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.故这个二次函数的解析式为f (x )＝－x 2－2x ＋3.方法二：设二次函数的解析式为f (x )＝a (x ＋3)(x －1)(a ≠0)，由f (－1)＝4，可得a ＝－1，故这个二次函数的解析式为f (x )＝－x 2－2x ＋3.方法三：设二次函数的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＋4(a ≠0)，由f (0)＝3，可得a ＝－1， 故这个二次函数的解析式为f (x )＝－x 2－2x ＋3. (3)∵f (－4)＝－5，f (－1)＝4，f (0)＝3，f (2)＝－5， ∴f (－4)f (－1)＝－20<0，f (0)f (2)＝－15<0. 14.[解答] ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t ＞0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0，即m 2－4＝0，∴m ＝±2.当m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去， ∴2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ＞0，即m ＞2或m ＜－2时，方程t 2＋mt ＋1＝0有两不等根，由题设知仅有一根，且为正，故方程t 2＋mt ＋1＝0有一正一负根，即t 1t 2＜0，这与t 1t 2＞0矛盾． ∴这种情况不可能．综上可知：m ＝－2时，f (x )有惟一零点，该零点为x ＝0.15．[解答] 若a ＝0，则函数f (x )＝2x －3在区间[－1,1]上没有零点． 下面就a ≠0时分三种情况讨论． (1)方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有重根． 此时Δ＝4＋8a (3＋a )＝4(2a 2＋6a ＋1)＝0， 解得 a ＝－3±72.当a ＝－3－72时， f (x )＝0的重根x ＝3－72∈[－1,1]； 当a ＝－3＋72时，f (x )＝0的重根x ＝3＋72∉[－1,1]； 故当方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有重根时，a ＝－3－72. (2)f (x )在区间[－1,1]上只有一个零点且不是f (x )＝0的重根， 此时有f (－1)·f (1)＝(a －1)(a －5)≤0⇒1≤a ≤5.∵当a ＝5时，方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有两个相异实根．故当方程f (x )＝0在区间[－1,1]上只有一个根且不是重根时，a 的取值范围为{a |1≤a <5}．(3)方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有两相异实根．因为函数f (x )＝2a ⎝⎛⎭⎫x ＋12a 2－12a －a －3，其图象的对称轴方程为x ＝－12a ，所以a应满足(I)⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝8a 2＋24a ＋4>0，－1<－12a <1，f (1)≥0，f (－1)≥0或(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝8a 2＋24a ＋4>0，－1<－12a <1，f (1)≤0，f (－1)≤0，解不等式组(I)得a ≥5，解不等式组(Ⅱ)得a <－3－72， 故当方程f (x ) ＝ 0在区间[－1,1]上有两相异实根时，a <－3－72或a ≥5. 综上所述，函数在区间[－1,1]上有零点，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－3－72∪[1，＋∞)．16．[解答] (1)由已知，设f 1(x )＝ax 2，由f 1(1)＝1，得a ＝1，∴f 1(x )＝x 2.设f 2(x )＝kx (k >0)，它的图象与直线y ＝x 的交点分别为A (k ，k )，B (－k ，－k )．由|AB |＝8，得k ＝8，∴f 2(x )＝8x .故f (x )＝x 2＋8x . (2)证明：法一：由f (x )＝f (a )，得x 2＋8x ＝a 2＋8a ， 即8x ＝－x 2＋a 2＋8a .在同一坐标系内作出f 2(x )＝8x 和f 3(x )＝－x 2＋a 2＋8a 的大致图象，其中f 2(x )的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f 3(x )的图象是以⎝⎛⎭⎫0，a 2＋8a 为顶点，开口向下的抛物线．因此，f 2(x )与f 3(x )的图象在第三象限有一个交点，即 f (x )＝f (a )有一个负数解． 又∵f 2(2)＝4，f 3(2)＝－4＋a 2＋8a ，当a >3时，f 3(2)－f 2(2)＝a 2＋8a －8>0，∴当a >3时，在第一象限f 3(x )的图象上存在一点(2，f 3(2))在f 2(x )图象的上方． ∴f 2(x )与f 3(x )的图象在第一象限有两个交点，即f (x )＝f (a )有两个正数解．因此，方程f (x )＝f (a )有三个实数解． 法二：由f (x )＝f (a )，得x 2＋8x ＝a 2＋8a ， 即(x －a )⎝⎛⎭⎫x ＋a －8ax ＝0，得方程的一个解x 1＝a .方程x ＋a －8ax ＝0化为ax 2＋a 2x －8＝0， 由a >3，Δ＝a 4＋32a >0，得x 2＝－a 2－a 4＋32a 2a ，x 3＝－a 2＋a 4＋32a2a， ∵x 2<0，x 3>0，∴x 1≠x 2，且x 2≠x 3. 若x 1＝x 3，即a ＝－a 2＋a 4＋32a2a ，则 3a 2＝a 4＋32a ⇒a 4＝4a ，得a ＝0或a ＝34，这与a >3矛盾，∴x 1≠x 3. 故原方程f (x )＝f (a )有三个实数解．。