任意角的三角函数教案设计对比

11、任意角的三角函数（1）

一、教学内容分析

三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用.

直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身.

二、学生学习情况分析

在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。

三、设计思想

教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.

根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.

四、教学目标

1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；

2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数.

4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。

5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。

五、教学重点和难点

重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.

难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；

六、教学过程设计

教学过程

一、复习引入、回想再认

（情景1）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？

学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：

二、引伸铺垫、创设情景

（情景2）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！

留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导.

能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答. 用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于1.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数.

教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！

师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）：

把锐角α安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，构造一个Rt ΔOMP ，则∠ MOP=α（锐角），设P （x,y ）（x ＞0、y ＞0），α的临边OM =x 、对边MP=y ，斜边长|OP ∣=r.

根据锐角三角函数定义用x 、y 、r 列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：

sin α=斜边对边=r y ，con α=斜边邻边=r x ，tan α=邻边对边=x y ?=

y r ?=x r ?=y

x

sin α=斜边对边，con α=斜边邻边

，tan α=邻边对边

（图1）

（情景3）思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？

显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊

位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表

示锐角三角函数：

sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP b OM a

α==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点

的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.

先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：引导学生观察图3，联系相似三角形知识，

探索发现：对于锐角α

确定的，不会随P 在终边上的移动而变化.

三、探究新知

1.探究

:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?

显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.

2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?

如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:

(1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=；

（2）x叫做α的余弦(cossine),记做cosα,即cos x

α=；

（3）y

x

叫做α的正切(tangent),记做tanα,即tan(0)

y

x

x

α=≠.

注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)

P x y，从而就必然能够最终算出三角函数值.

四、探索定义域

（情景4）1、函数概念的三要素是什么？

函数三要素：对应法则、定义域、值域.

正弦函数sinα的对应法则是什么？

正弦函数sinα的对应法则，实质上就是sinα的定义：对α的每一个确定的值，有唯一确定的比值y/r与之对应，即α→ y/r= sinα.

2、布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出三个三角函数的定义域，填写下表：

三角函数sinαcosαtanα

定义域

引导学生自主探索：

如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角α的取值范围.

关于sinα=y/r、cosα=x/r，对于任意角α（弧度数），r＞0，y/r、x/r 恒有意义，定义域都是实数集R.

对于tanα=y/x，α= kπ+π/2 时x=0，y/x无意义，tanα的定义域是：{α|α∈R，且α≠kπ+π/2 }. ………

教师指出: sinα、cosα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟。

五、符号判断、形象识记

（情景5）能判断三角函数值的正、负吗？试试看！

引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0,三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：

－y

－

＋＋

x

－y

＋

－＋

x

＋y

－

－＋

x

sinα= y/r：上正下负横为0 cosα=x/r：左负右正纵为0 tanα=y/x：交叉正负

六、练习巩固、理解记忆

1、自学例1：求5

3

的正弦、余弦和正切值。

2、角α的终边经过点P（－3，-4），求α的正弦，余弦及正切值. 课堂练习：

p17题1、2、3

处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义.

强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π/2 、π、3π/2 等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值.

七、回顾小结、建构网络

要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：

1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？（建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合，---，在终边上任意取定一点P，---）

2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？（根据定义，------）3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？（根据定义，想象坐标位置， -----）

设计意图：

遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策. 此处以问题形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力.

八、布置课外作业

1．书面作业：习题1.2第1、2题.

2．认真阅读p20“阅读与思考：三角学与天文学”，了解三角学在天文学中的重要作用。

12、任意角的三角函数（1）

一、教学内容分析：

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。

二、学生学习情况分析

我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣。我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？

《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：

第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。

第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。

根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：

其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；

其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。

三、设计理念：

本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图像，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣。并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生学生收集和

处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力。

四、教学目标：

1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义；

2.从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；

3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。

五、教学重点和难点：

1.教学重点：任意角三角函数的定义

.

2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域. 具体设计如下：

六、教学过程

第一部分——情景引入

问题1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为

o h ，它的直径为2R ，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360

秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA 出发（如图1所示），

过了30秒后，你离地面的高度h 为多少？过了45秒呢？过了t 秒呢？ 【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定交，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。

第二部分——复习回顾锐角三角函数

让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”

【分析】：作图如图2很容易知道：从起始位置OA 运动

30秒后到达P 点位置，由题意知030=∠AOP ，作PH 垂直

地面交OA 于M ，又知MH ＝o h ，所以本问题转变成求PH 再

次转变为求PM 。

要求PM 就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐

图1

H

图2

角的三角函数。

问题2：锐角α的正弦函数如何定义？

【学生自主探究】：学生很容易得到

R

MP OP MP ||||||sin ==α?αsin ||R MP =?αsin ||0R h PH += ?h αsin 0R h +=

所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒,

你离地面的高度h 为多少？” 00130sin R h h +=

00245sin R h h +=

【教师总结】：0t 在锐角的范围中，00sin t R h h +=

第三部分——引入新课

问题3：请问t 的范围呢？随着时间的推移，你

离地面的高度h 为多少？能不能猜想00sin t R h h +=？

【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天我们就要来学习任意角的三函数角函数。

问题4：如图建立直角坐标系，设点),(P P y x P ，能你用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其它函数（余弦、正切）？

【学生自主探究】：|

|||sin OP MP =αR y P = R x OP OM P ==||||cos α，P

P x y OM MP ==||||tan α 问题5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？

【分析】：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得

具体认识，并由相似三角形的性质证明。

【设计意图】：让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，只与角有关系。

通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样。

问题6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？

【学生自主探究】：学生通过上面已知知识得到||||sin OP MP =αR y P = 学生定义好第二象限角后，让学生自己算

出摩天轮座舱在第150秒时，离地面的高度h ？

通过摩天轮知道：=+=00150sin R h h 00130sin R h h += 由此得到：2

1150sin 0= 【设计意图】：通过这个，让学生检验||||sin OP MP =αR y P =在第二象限角是否正确？

问题7：|

|||sin OP MP =α在第三象限角或第四象限能成立吗？ 【设计意图】：让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、负符号的偏差。

（可以让学生取210=t ，从而,210sin 00R h h +=得到0210sin ＝2

1-

，发现这与||||sin OP MP =α不相符，实际上是||||sin OP MP -=α） 【教师总结】：我们通过个模型知道如何在某些范围内如何计算自已此时离地面的高度，用数学模型00sin t R h h +=来表示，当摩天轮转动，角度的概念也

x

不知不觉地推广到任意角，对于任意角的正弦不能只是依赖于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度了，我更应该用点P 的横坐标来代替||MP 或||MP -，那么这样就能够很好表示出正弦的函数任意角的定义。

第三部分——给出任意角三角函数的定义

如图3,已知点),(y x P 为角α终边上的点，点P 到顶点O 的距离为R ，则

R

y =αsin （R ∈α） R

x =αcos （R ∈α） x y =αtan （ππαk +≠2

） 【分析】：让学生通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离。

问题8：当摩天轮的半径R ＝1时，三角函数的定义会发生怎样的变化。

【学生自主探究】：y =αsin ，x =αcos ，x

y =αtan 。 教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化。

教师进一步给出单位圆的定义

给出下列表格，让学生自己补充完整。

三角函数

定义一：1||=OP 定义二：R OP =|| 定义域 αsin y R

y R ∈α αcos x R

x R ∈α αtan x y x y ππ

αk +≠2

及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握。

第三部分——例题讲解

例1.（课本P14例2）已知角α终边经过点)4,3(0--P ，求角α的正弦、余弦和正切值。

【分析】：让学生现学现卖，得用上面的定义二就可以得到答案。

例2.（课本P14例1）求3

5π的正弦、余弦和正切值。

【学生自主探究】：让学生自己思考并独立完成。然后与课本的解答相对比一下，发现本题的难点。

【教师讲解】：本题题意很简单，但是如何入手

却是难点，关键是对本节课的三角函数定义的要点

有没有领会清楚（任意角三角函数的定义要点：点、

点的坐标、点到顶点的距离），因此本题的重点之处

是如何利用单位圆找到这个点P ，如图4可以知道

3π=∠POM ，又点P 在第四象限，得到)2

3,21(-P ，这样就可以很容易得到本题答案。

不妨让学生取4||==OP R ，能否也得到点P 的坐标，得到的三角函数值是否与单位圆的一样。这样可以让学生更深刻体验三角函数的定义。

第四部分——巩固练习

练习1.例2变式求6

7π的正弦、余弦和正切值。 练习2.问题9：通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号?独立完成课本P15的“探究”。

【设计意图】：练习1、练习2的设计与例2、例3衔接，主要目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利用坐标平面内的点的坐标特征自主探究三角函数的有关问题的思想方法。并在特殊情形中体会数形结合的思想方法。

第五部分——小结与作业

学生自我总结

作业：P23习题1.2A 组 1,2,3

七、教学反思

上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：

1. 教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景创设是学生熟悉的摩天轮，认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。

2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。

3.通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。这和课程标准的理念是一致的。

4.《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一, 在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间, 促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力, 发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断。在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界, 是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器, 同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力。增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。