求轨迹的几种求法

M N A
5
x2 y2 点P的 轨 迹 方 程 为 1( x 2) 4 5
-20
-10
B
P
-5
8. (能力题,中) 设Q是圆C:(x+1)2+y2=16上的动点,另有A(1,0),线段
AQ的垂直平分线交直线CQ于点P,当点Q在圆上运动时,点P
的轨迹方
x2 y 2 1 4 3
三、定义法
分析题设几何条件，根据所学曲线的定义， 判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲 线的方程.
圆的定义：
|PC|=r (r>0)
椭圆的定义： |PF1| + |PF2| = 2a (2a > |F1F2|) 双曲线的定义： ||PF1| - |PF2|| = 2a (0 < 2a < |F1F2|) 抛物线的定义： |PF| = dP-l (Fl)
（2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，
因此|PA|-|PB|=1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，
且2a=1，2c=4，即a= ,c=2,b= ，
因此其方程为
（3）依题意，知动点P到定点A的距离等于 到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线， 且开口向左，p=4. ∴方程为y2=-8x.
【练习3】
1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，
y 0( x 1) 则P点的轨迹方程是______________.
P与 圆M : x 2 ( y 3)2 4外 切, 2. 如 图, 一 动 圆
-20 -10 10 5
M P
-5
O
y
10
同时与圆 N : x ( y 3) 2100相 内切 , 2 x y 1 则圆心 P的 轨 迹 方 程 是 27 36
10
M N
-20 -10
5
A
B
P
-5
【练习3】第3题-----变式
已知圆 A的 方 程 为 ( x 3) 2 y 2 16, B( 3,0)为 一 定 点 , M为 圆A上 的 一 个 动 点 , 线 段MB的 中 垂 线 和 直 线 AM 的交点为 P , N为 垂 足 ,求 动 点 P的 轨 迹 方 程 . 解 :由已知可得 PM PB , 且 PM PM PA PA AM AM
y y 9 由题意知 x5 x5 25 化简得 9 x 2 25 y 2 25 9 0 x2 y2 即 1 ( x 5 ) 25 9
它 表 示 何 种 曲 线 呢 ？
【练习】
1.已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为 ( x 1)2 y 2 4 1:2的点的轨迹,则此曲线的方程是______________.
2 2 2 2
（2）与圆C1:x2 +(y-1)2 =1和圆C2:x2 +(y+1)2 =4都外切;
(3)与圆C1:(x+3) +y =9外切,且与圆C2:(x-3) +y =1内切.
y 解 : (1) x 1( x 1)(左支) 3
2
2 4 x 3 2 (2) : 4 y 1( y )(上支且在两圆外部) 3 4
P
F1
O
F2
x
【探究1】如图,已知线段AB=4,动圆O′与线段AB切
于点C,且AC-BC=2
,2 过点A､B分别作⊙O′的切线,
两切线相交于P,且P､O′均在AB同侧,建立适当坐标 系,当O′位置变化时,求动点P的轨迹E的方程.
【解析】以AB的中点O为坐标原点,以AB所在直线
为x轴建立直角坐标系(图略),则A(-2,0),B(2,0). 由切线长定理可得|AC|-|BC|=|PA|-|PB|=2 2 <4, ∴点P的轨迹是以点A､B为焦点的双曲线的右支(不 包括顶点).
y
如图，设点A、B的坐标分别为(-5,0)，(5,0).直
M
x
A
O
B
典例1已知点F 1, 0 , 直线l : x 1, P为坐标平面上 的动点, 过P作直线l的垂线, 垂足为点Q, 且QP QF FPFQ.求动点P的轨迹方程C.
【解】设动点P x, y , 则Q 1, y , 由QP QF FPFQ, 得(x 1, 0) 2, y (x 1, y ) 2, y .化简得C : y 4x.
5
P
-10
A
-5
B
10
-10
【练习3】第3题
已知圆 A的 方 程 为 ( x 3) 2 y 2 64, B( 3,0)为 一 定 点 , M为 圆A上 的 一 个 动 点 , 线 段MB的 中 垂 线 和 直 线 AM 的交点为 P , N为 垂 足 ,求 动 点 P的 轨 迹 方 程 .
一、定义法求轨迹方程的特征
由题设条件，根据圆锥曲线的定义确定曲 线的形状后，直接写出曲线的方程．
二、“定义法”求轨迹方程的一般步 骤 四 三 二 一 定 定 定 建 型 轴 范 方 设 围 程 点
：定义法
例 1、如果点在运动过程中， 总满足关系式，
x 2 ( y 3) 2 x 2 ( y 3) 2 10,
圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切， y 求动圆圆心的轨迹方程．
M O1
A C
O O2
x
探索与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动 圆圆心到两定点的距离的和与差不放。
S A B
C A S S B A B
例3： 变式 2：
经过点 A(5,0)且与 圆 C ( x 5) y 49 相 外切的圆的圆心 P 的轨迹方程
∵a= 2,c=2,∴b2=2. ∴动点P的轨迹方程是:x2-y2=2(x>
). 2
问题1：一动圆与圆O1：(x+3)2+y2=4外切， 同时与圆O2：(x-3)2+y2=9内切，求动圆圆心 的轨迹方程，并说明它是什么类型的曲线．
想一想:
在两定圆不动的前提下，适当改变其他条件 使动圆圆心形成新的轨迹？
程是________.
解析:设P(x,y), ∵点P是线段AQ垂直平分线上的一点, ∴|PA|=|PQ|, ∴|PA|+|PC|=|PC|+|PQ|=4>2,
∴点P的轨迹是以点A､C为焦点的椭圆,
且a=2,c=1,b2=3, ∴点P的轨迹方程为 . x2 y 2 1 4 3
例2：求下列动圆圆心M的轨迹 (1)与圆C:(x+2)2 +y2 =4内切,且过点A(2,0);
2 2
169
M
P
13-r C
r r Ａ
问题2
1、如图，圆C：(x+1)2+y2=9内一点A(1，0)，与圆 上一动点Q的连线AQ的垂直平分线交CQ于P．当Q在 圆C上运动一周时，则动点P的轨迹方程为________．
Q
y
P C A
x
问题2
2、已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一 个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那 么动点Q的轨迹是 （ ） (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 Q y
1 2 2 2 ( x 3) y
x2 y 2
平方化简得:( x 1)2 y 2 4
2.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心
2=8x(x＞0)或y=0(x＜0) y 的轨迹方程是______________________.
y
A P
解：设动圆圆心为P(x,y). 由题，得
2 2
N
-10
-15
15
A的 方 程 为 ( x 3) 2 y 2 64, B( 3,0) 3.已 知 圆 为一定点 , M为 圆A上 的 一 个 动 点 , 线 段MB 的中垂线和直线 AM的 交 点 为 P , N为 垂 足 , 求动点 P的 轨 迹 方 程 .
-30 -20
M
10
N
解 :由已知可得 PM PB , 且 PM PA AM
又 AM 4, AB 6 PA PM PA PB 8 AB
点P的轨迹是以 A, B为焦点的椭圆
x2 y2 设 椭 圆 的 方 程 为 2 ＋ 2 1(a b 0) a b
15
M
10
N
5
由题意得 : 2a 8,2c 6 b 4 3 7
2 2 2
P
-10
x y 点P的 轨 迹 方 程 为 1 16 7
2
2
-30
-20
A
-5
B
10
-10
【练习3】第3题-----变式
已知圆 A的 方 程 为 ( x 3) 2 y 2 16, B( 3,0)为 一 定 点 ,
15
M为 圆A上 的 一 个 动 点 , 线 段MB的 中 垂 线 和 直 线 AM 的交点为 P , N为 垂 足 ,求 动 点 P的 轨 迹 方 程 .
【练习2】 1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且 x2 12 yy2 2、 设 双 曲 线 与 椭 圆 1有 共 同 的 焦 点 ， 且双曲 36 27 x2 y2 1 线的实轴长为 4， 则 双 曲 线 方 程 为 __________ 4 5 ____.
4 4 6AB 又 AM 4, AB 6 PM PM PA PA PB PB PA PA
15
点P的轨迹是以 A, B为焦点的双曲线的左支
10