等比数列的概念及性质

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号11sh11sx00

学员编号: 年 级： 课 时 数：3

学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：

课 题

等比数列的概念及性质 授课日期及时段

教学目标

1、理解并掌握等比数列的概念，等比中项的概念；

2、掌握等比数列通项公式的求法；

3、掌握等比数列前n 项和公式；

4、掌握等比数列的几种等价形式；

5、理解并掌握等比数列的重要性质。

教学内容

☆、知识点梳理

一、等比数列

（1）等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这样的数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用小写字母q 表示.

【注意】

公比0q ，也即等比数列中任意一项都不为0。

（2）等比中项

与等差中项的概念类似，如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项.

等比中项的性质：

① 如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方等于另两项的乘积.

② 在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等比中项. ③ 以G 为等比中项的三个数可表示为：,,G G Gq q

，体现了和谐性与对称性。

例1、在数列{}n a 中，如果数列{}n a 为等比数列，12100,50a a =-=-，求公比q 及3a ，并用计算器计算5a 、8a .

例2、在2与9之间插入两个数，使前三个数依次成等差数列，后三个成等比数列，试求出这个数列.

例3、有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为37，第二个数与第三个数的和为36，求这四个数.

【小结】

合理利用等差中项与等比中项的性质，可使本题求四个量转化为求两个量.

二、等比数列的通项公式

11-⋅=n n q a a ，N n ∈* （可用累乘法推导）

例4、一个等比数列第三项与第四项分别是12与18，求它的第1项和第2项。

例5、己知｛n a ｝、｛n b ｝是项数相同的等比数列，且公比分别为12,q q

求证：｛n a .n b ｝也是等比数列，并求它的公比q

三、等比数列的性质：

由通项公11-=n n q a a 可以推导出许多性质：

① 1>q 时{}n a 递增;10<

② ),(*-∈=N n m q a a m n m n ；

③ 若p q r s +=+.则s r q p a a a a ⋅=⋅， 特别地：k n k n n a a a +-⋅=2

；

若{}n a 是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项的积；

④ 项数成等差数列的项组成等比数列；

⑤ {}n ka 也是等比数列,公比均为kq ；

⑥ {n a }、{n b }是项数相同的等比数列，且公比分别为12,q q ，则{n a .n b }也是等比数列，并且它的公比q =12q q ⋅.

【思考】

{n a }、{n b }是项数相同的等比数列，且公比分别为12,q q

（1）{}n n pb ka ⋅(,k p 为常数且都不为0）也是等比数列吗？如果是，公比为__________；如果不是，请说明理由.

（2）{}n n ka pb ÷(,k p 为常数且都不为0）也是等比数列吗？如果是，公比为__________；如果不是，请说明理由.

例6、已知等比数列{n a }

（1）若696,9a a ==，求3a 的值.

（2）若,252,0645342=++>a a a a a a a n 求53a a +的值.

（3）若0n a >，1100100a a =，求123100lg lg lg lg a a a a ++++ 的值.

例7、各项为正数的等比数列{}n a 的公比,1≠q 且653,,a a a 成等差数列,则6

453a a a a ++的值是( ) A 、

215- B 、215+ C 、2

13- D 、52+

例8、等比数列{}n a 中,),0(109≠=+a a a a b a a =+2019则=+10099a a ( )

A 、89a b

B 、9⎪⎭⎫ ⎝⎛a b

C 、910a b

D 、10⎪⎭

⎫ ⎝⎛a b

例9、一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列,求其中最小的角的正弦值.

例10、如果数列{a n }满足321121,

,,...,,...n n a a a a a a a -是首项为1，公比为2的等比数列，则100a 等于 （ ） A 、1002 B 、992 C 、50502 D 、49502

四、等比数列的前n 项和公式

若等比数列{n a }的公比为q ，它的前n 项和为n S ，则

（1）当1q =时，n S =_____________

（2）当1q ≠时，n S =_____________ =_______________ （可用错位相减法推导）

【注意】

（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；

（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆；

（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况.