重庆市一中2019届高三下学期4月模拟考试数学(文)试题(有答案)

2019届重庆市第一中学高三下学期4月月考数学(理)试题(解析版)

2019届重庆市第一中学高三下学期4月月考数学（理）试题一、单选题1．设集合2{log 1}A x x =≤，集合2{|20}B x x x =+-<，则A B U 为（） A ．(0,1) B ．(2,2]-C ．(,2]-∞D ．(2,1)-【答案】B【解析】先通过解不等式得出集合,A B ，然后再求A B U . 【详解】由2log 1x ≤得，02x <≤，即(]0,2A =. 由220x x +-<得，21x -<<，即()2,1B =-. 所以(]2,2A B =-U 故选：B 【点睛】本题考查解对数不等式和二次不等式以及集合的并集运算，属于基础题. 2．已知复数z 满足()2201913z i i +=+，则||z =（）A ．2B C ．14D 【答案】A【解析】由2019450433i i i i ⨯+==-=先求出复数z ，然后再求||z . 【详解】由2019450433i i i i ⨯+==-=. 所以由()2201913z ii +=+得：()213z i i -=+即()23z i i -=+，故：33122i i z i +-==-所以||2z == 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算，复数的模长的计算，属于基础题.3．设函数31log (1),1()1,12x x x f x x -->⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩…，则(1)f =（）A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】根据函数的表达式直接将(1)f 的值代出可求出答案. 【详解】由函数的表达式有111(1)12f -⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.4．已知第一象限内抛物线24y x =上的一点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12，则点Q 的坐标为（）A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．D ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】设()(),0,0Q x y x y >>，根据抛物线的定义以及题目条件可得12x x +=，从而求出Q 点的坐标. 【详解】抛物线24y x =的准线方程为：1x =-.设()(),0,0Q x y x y >>，则点Q 到y 轴的距离为x ，点Q 到准线的距离为1x +. 根据抛物线的定义有：点Q 到焦点的距离为1x +. 又点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12. 所以12x x +=，得1x = ，则2y = 即(1,2)Q 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义的运用，属于基础题.5．我国古代数学著作《孙子算经》中记有如下问题：“今有五等诸侯，其分橘子六十颗，人別加三颗”，问：“五人各得几何？”其意思为：“现在有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.”根据这个问题，下列说法错误的是（）A ．得到橘子最多的诸侯比最少的多12个B ．得到橘子的个数排名为正数第3和倒数第3的是同一个人C ．得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12D ．所得橘子个数为倒数前3的诸侯所得的橘子总数为24 【答案】D【解析】根据题意，设5人分得的橘子数目从小到大依次为12345,,,,a a a a a ,由等差数列的通项公式可得5113(51)12a a a =+⨯-=+，进而由等差数列的前n 项和公式可得1555602a a S +=⨯=, 解可得1a 的值，分析各个选项即可得答案．【详解】根据题意，设5人分得的橘子数目从小到大依次为12345,,,,a a a a a ，则这5个数组成以3为公差的等差数列.所以5113(51)12a a a =+⨯-=+ 又5个人共分60个橘子，则有1555602a a S +=⨯=,即1524a a +=. 所以111224a a ++=，解得：16a =所以这5个人分得的橘子数分别为：6，9，12，15，18. 由此可得选项A ，B ，C 正确.选项D. 所得橘子个数为倒数前3的诸侯所得的橘子总数为27，故D 错误. 故选：D 【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和公式的应用，关键是建立等差数列的模型，分析其首项与公差，属于基础题．6．已知实数,x y 满足不等式组4001x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则23z x y =-的最小值为（）A ．2-B ．3-C ．1D ．13【答案】A【解析】通过实数,x y 满足约束条件直接画出此二元一次不等式组表示的平面区域；平移目标函数23z x y =-，观察分析即可求出z 的最小值. 【详解】由不等式组4001x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩作出平面区域：将目标函数23z x y =-化为：233z y x =-. 要求23z x y =-的最小值，即求直线233zy x =-的截距的最大值.由图可知直线233zy x =-过点(2,2)A 时截距最大，z 值最小.即z 的最小值为：2- 故选：A. 【点睛】本题考查简单的线性规划的应用，考查计算能力与作图能力，以及表达式的几何意义．属于基础题. 7．为计算111123234567S =++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入（）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i ≥【答案】C 【解析】由1(1)(2)S S i i i =+++，根据循环，将选项中的条件代入逐一判断，从而判断出选项. 【详解】A ：5?i >，则运算出的结果为1111123234567678S =++⋯++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故错误.B: 5?i <,则1i =时就结束，得到1123S =⨯⨯，故错误.C ：4?i >，则5i =时结束，结果为111123234567S =++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯，正确.D ：4?i ≥，则4i =时结束，结果为111123234456S =++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯,故错误. 故选：C 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题.8．某校为高一两个班，高二两个班，高三两个班招聘了甲、乙等6位班主任，若随机安排他们每人担任一个班的班主任，则其中甲、乙两人恰好在同一年级的概率是（） A ．1124B ．38C ．512D ．15【答案】D【解析】根据所有的分配方案有66A 种，其中甲、乙两人恰好在同一年级的分配方案有124324C A A ⨯⨯ ，从而求得甲、乙两人恰好在同一年级的概率．【详解】将这6个人随机安排他们每人担任一个班的班主任的分配方案有66A 种. 其中甲、乙两人恰好在同一年级的分配方案有124324C A A ⨯⨯.则其中甲、乙两人恰好在同一年级的概率是1243246615C A A P A ⨯⨯== 故选：D 【点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．9．如图所示，网格纸上的小正方形的边长为1，图中粗线的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．12πB ．283π C ．16πD ．263π 【答案】B【解析】根据几何体的三视图，得出该几何体是由一个圆柱上叠放一个底面半径相同的圆锥的一半构成的几何体，由此求出几何体的体积．【详解】根据三视图，该几何体是由一个圆柱上叠放一个底面半径相同的圆锥的一半构成，圆锥、圆柱的底面半径为2，高都为2，所以体积为11284242233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，属于中档题． 10．已知α为象限角，且满足sin 2cos 1a a +=，则22sin cos 2sin cos αααα⋅=-（）A ．6-B ．6C ．1223-D ．1223【答案】A【解析】由sin 2cos 1a a +=两边平方可以求出tan a 的值，然后将22sin cos 2sin cos αααα⋅-分子、分母同时除以2cos a 转化为tan a 的式子可求解. 【详解】α为象限角，则cos 0α≠ .由sin 2cos 1a a +=两边平方得：22sin 4sin cos 4cos 1αααα++=.即24sin cos 3cos 0ααα+=，所以4sin 3cos αα=-. 所以3tan 4α=-. 22223sin cos tan 462sin cos 2tan 13214αααααα-⋅===---⎛⎫-- ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式及应用，考查运算能力，属于中档题．11．四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB =，该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，,E F 分别是棱,AB CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为6，则该球的表面积为（） A ．3π B ．9πC ．12πD ．18π【答案】D【解析】把四棱锥补成正四棱柱，根据正四棱柱的对角线长等于球的直径求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算．【详解】由四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD .则可以把四棱锥补成正四棱柱，则四棱锥的外接球是正四棱柱的外接球，所以正四棱柱的对角线长等于球的直径,设球的半径为R .,E F 分别是棱,AB CD 的中点，直线EF 6.所以底面ABCD 截球所得圆的直径等于直线EF 被球面所截得的线段长. 由ABCD 为正方形，所以AC 也为底面ABCD 截球所得圆的直径.所以AC =.由ABCD 为正方形，则AB =又2PA AB =，所以PA =因此PC ===所以2PC R = ，即R =所以球的表面积为24182ππ⎛= ⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查了棱锥的外接球的表面积的求法，利用正四棱柱的对角线长等于球的直径求得外接球的半径是解答此题的关键．属于中档题12．定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()(0)f x f x f --=，当[0,2]x ∈时，()x x f x e =，关于x 的不等式21()2()02f x a f x a ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭在[100,100]x ∈-上有且只有100个整数解，则实数a 的取值范围为（） A ．211,2e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．2313,2e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．211,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2313,2e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】判断出函数()f x 的周期性，得出不等式在[0,2]上有1个整数解，再根据()f x 在[0,2]上的单调性得出1个解为1，列出不等式组求出a 的范围．【详解】由条件由00(0)0f e==.又(4)()(0)f x f x f --=，则(4)()0f x f x --= 又()f x 为偶函数，即()()f x f x =-.所以有(4)()f x f x -=-，则()f x 为周期为4T = 的周期函数.当[0,2]x ∈时，()x x f x e =,则1()xx f x e -'= 所以()f x 在[0,1) 上单调递增，在(1,2] 上单调递减.当[0,2]x ∈时,22(2)f e =, 10()(1)f x f e≤≤=. 由()f x 为偶函数，则当[2,2]x ∈-时，10()f x e≤≤.又()f x 为周期为4T = 的周期函数，所以10()f x e ≤≤由21()2()02f x a f x a ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭有()1()()202f x f x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭.则1()02f x -<，所以()20f x a +>. 所以21()2()02f x a f x a ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭在[100,100]x ∈-上有且只有100个整数解.即()20f x a +>在[100,100]x ∈-上有且只有100个整数解. 所以()20f x a +>在一个周期[2,2]-上有且只有2个整数解由()f x 为偶函数，所以()20f x a +>在[0,2]上有且只有1个整数解所以(2)2(1)f a f ≤-<，即2112a e e-<≤ 故选：C 【点睛】本题考查了函数的单调性的判断，函数周期的应用，根据整数解的个数求参数范围，属于难题．二、填空题13．设(1,2)a =r ，(1,)λ-=r b ，若//a b r r ，则a b ⋅=r r______. 【答案】5-【解析】先由向量平行求出参数λ的值，然后再利用向量的数量积的坐标公式求数量积. 【详解】由(1,2)a =r ，(1,)λ-=r b ，//a b r r.则1(1)20λ⨯--⨯=，解得：2λ=- .所以(1,2)=--rb ，则1(1)2(2)5a b ⋅=⨯-+⨯-=-r r故答案为：5- 【点睛】本题考查向量的平行的应用和求向量的数量积，属于基础题. 14．若对任意0x >，224xa x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围为______.【答案】1[,)2+∞【解析】由224x a x x ≤-+恒成立，只需求出224xx x -+的最大值，再由214242x x x x x=-++-，结合均值不等式可求出最大值，得到答案.【详解】设2()24xf x x x =-+. 对任意0x >，224xa x x ≤-+恒成立.即max ()a f x ≥.211()42422x f x x x x x ==≤=-++-(当且仅当2x =时取等号）所以12a ≥ 故答案为：1[,)2+∞【点睛】本题考查根据不等式恒成立求参数范围和根据均值不等式求最大值，属于基础题.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为12(c,0),F (c,0)(c 0)F ->，过点(3,0)M c 作该双曲线渐近线的垂线，垂足为P ，若||5OP b =，则双曲线C 的离心率为______.【解析】根据双曲线的几何性质有2(,0)F c 到双曲线的一条渐近线的距离为b ，由三角形相似可以求出||PM 的长，然后在直角三角形OPM 中，33tan 55PM b b POM a PO b ∠==== ，从而可以求出离心率. 【详解】2(,0)F c 到双曲线的一条渐近线0ay bx -=的距离为：d b ==如图过2F 作2F N OP ⊥ 交OP 于N 点，则2//NF MP .由2ONF OPM ≅△△ 可得，22133OF NF c OM PM c === 所以3MP b =,又||5OP b =.在直角三角形OPM 中，33tan 55PM b b POM a PO b ∠==== 即35b a =，所以229341125c b e a a ==+=+= 故答案为：345. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质和求离心率，属于中档题.16．已知n S 是各项为正数的数列{}n a 的前n 项和，且211n n n n a a S a a S -=+，则n S =______.【答案】122n +-【解析】先求出1a 的值，然后消去n S 得到数列{}n a 的递推关系()122n n a a n -=≥，可得{}n a 为等比数列，从而可求解n S . 【详解】当1n =时，321111a a a a -=+，解得：12a =(10a =或-1舍)则222n n n n a S a S -=+，即()()()1211n n n n S a a a +=+-因为0n a >，所以22n n S a =-……当2n ≥ 时，1122n n S a --=-……由—得()1222n n n a a a n -=-≥，即12n n a a -=所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列所以()12122212n n nS +-==--故答案为：122n +-. 【点睛】本题考查根据含n a 和n S 的递推关系求通项和等比数列的前n 项和，属于难题.三、解答题17．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，设3C π=且1sin sin sin sin 442b A Cc A B a ππ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角A 的大小；（2）已知函数()sin(3),,124f x x A x ππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 的值域. 【答案】(1)12π; (2) 1[,1]2【解析】(1)由正弦定理将边化为角的正弦再利用两角和的正弦的公式展开可得到)2sin cos sin cos 1B C C B -=，然后由两角和的正弦公式逆用结合角的范围可求解.(2)由（1）可得到()f x 的解析式，根据角的范围可求值域. 【详解】(1)由条件1sin sin sin sin 442b A Cc A B a ππ⎛⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有： 1sin sin sin sin sin sin sin 442B AC C A B A ππ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0A π<<，所以sin 0A ≠，则1sin sin sin sin 442B C C B ππ⎛⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即22221sin cos sin cos 22222B C C C B B ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)2sin cos sin cos 1B C C B -=即()2sin 2B C -= 由3C π=,则203B π<<,33B C ππ-<-<.所以4B C π-=,4B C π-=.7412B C ππ=+=所以712312A ππππ=--= (2)由（1）可知()sin(3)12f x x π=+当,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，53,3126x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦则1sin(3)1212x π≤+≤ 所以函数()f x 的值域为1[,1]2. 【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦公式的应用，考查三角函数求值域，属于基础题. 18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面111A AC C ⊥底面ABC ，四边形11AAC C 为菱形，ABC V 是边长为2的等边三角形，160A AC ︒∠=，点O 为AC 的中点.（1）若平面11A B C 与平面ABC 交于直线l ，求证：//l AB ；（2）求二面角11C A B C --的余弦值. 【答案】(1) 证明见解析；（25 【解析】（1）由条件有11//A B 平面ABC ，根据线面平行的性质可证.（2）先证明1A O ⊥平面ABC ，然后建议空间直角坐标系，用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，11A B ⊄平面ABC .所以11//A B 平面ABC ，且11A B ⊆平面11A B C 平面11A B C I 平面=ABC l 所以11//l A B ，所以//l AB .（2）由四边形11AAC C 为菱形，且160A AC ︒∠=所以1A BC V 为等边三角形且点O 为AC 的中点.. 则1A O AC ⊥，又侧面111A AC C ⊥底面ABC . 面111A A C C I 底面ABC AC =. 所以1A O ⊥平面ABC .又ABC V 是等边三角形，且点O 为AC 的中点.. 则BO AC ⊥.所以1||||3OA OB ==. 以1,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,所以())()((110,0,0,3,0,0,0,1,0,3,,3O BC C A设面11A BC 的一个法向量为()111,,n x y z =r. (()1113,0,3,0,2,0BA AC =-=u u u r u u u u r则11100BA n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v vu u u u v v ，即11133020x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 取()1,0,1n =r设面1A BC 的一个法向量为()222,,m x y z =u r.()()13,0,3,3,1,0BA BC =-=-u u u r u u u r则100BA m BC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u uv v ，即111133030x z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 取()1,3,1m =u r所以5cos ,525n m n m n m⋅===⨯⋅r u rr u r r u r . 所以二面角11C A B C --的余弦值为5. 【点睛】本题考查利用线面平行的性质证明线线平行和利用向量法求二面角，属于中档题. 19．某公司生产一种新产品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图.（1）用每组区间的中点值代表该组数据，估算这批产品的样本平均数x 和样本方差的2s ；（2）从指标值落在[215,235]的产品中随机抽取2件做进一步检测，设抽取的产品的指标在[225,235]的件数为X ，求X 的分布列和数学期望；（3）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布()2,N μσ，μ近似为样本平均值x ，2σ近似为样本方差2s ，若产品质量指标值大于236.6，则产品不合格，该厂生产10万件该产品，求这批产品不合格的件数. 15012.2=，()0.683P X μσμσ-<<+=，(22)0.954P X μσμσ-<<+=，(33)0.997P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）200x =，2150s = ；（2）分布列见解析，25EX =（3）150 【解析】（1）利用频率分布直方图中的数据求出样本的平均数和方差.（2）先分别求出指标值落在[215,235]和[225,235]的产品件数，再得X 的取值为0，1，2，分别计算其概率，得出分布列和数学期望.(3)先计算出产品质量指标值大于236.6的概率，再求解产品的件数. 【详解】（1）1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()()2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02150s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）指标值落在[215,235]的产品有()1000.080.0210⨯+=件. 产品的指标在[225,235]的件数为1000.022⨯=. 所以X 的取值为0，1，2()2821028045C P X C === , ()118221016145C C P X C ⋅===,()222101245C P X C === 所以X 的分布列为X 的数学期望28161182012454545455EX =⨯+⨯+⨯== (3)由（1）可知2150σ=，则12.2σ== 则这种产品的质量指标值服从正态分布()2200,12.2N产品质量指标值大于236.6的概率为()()10.9970.003236.6322P X P X u σ->=>+== 所以生产10万件该产品不合格的件数：50.003101502⨯= 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题和正态分布中的相关计算，解题时应利用直方图进行简单的计算，是中档题．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，长轴长为4，1F ，2F 分别为椭圆C 的左，右焦点，点E 是椭圆C 上的任意一点，12F F E △面积的最大为3，且取得最大值时12F EF ∠为钝角.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆222:()0O x y r r +=>，点M 为圆O 上任意一点，过点M 的切线分别交椭圆C 于,P Q 两点，且0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，求r 的值.【答案】（1）2214x y += （2）255 【解析】(1)由条件2a =，当点E 在短轴的端点1B (或2)B 时，12F F E △的面积最大得max 1232S c b =⨯⨯=，又当12F F E △的面积取得最大值时12F EF ∠为钝角得 c b >，可解出椭圆方程.(2)分切线的斜率存在和不存在两种情况计算，由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，即12120x x y y += 方程联立代入结合直线l 与圆O 相切计算可得答案. 【详解】(1)设()1,0F c -，()()2,00F c c >短轴的端点分别为12,B B .由椭圆的长轴为4，则2a =.当点E 在短轴的端点1B (或2)B 时，12F F E △的面积最大，则max 1232S c b =⨯⨯= ……当12F F E △的面积取得最大值时12F EF ∠为钝角. 即1145F B O ∠>o，所以11tan 1cF B O b∠=>，即c b >…………… 又2224a b c =+= ………由解得：1,3b c ==所以椭圆方程为：2214x y +=.(2)设圆O 上过点M 的切线为直线l .当直线l 的斜率不存在时，:l x r =±，则,,P r Q r ⎛⎛±± ⎝⎝ 由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即22104r r ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得：245r =.当直线l 的斜率存在时，设y kx m =+ 由直线l 与圆O相切得：r =即：222(1)m r k =+.设()()1122,,,P x y Q x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：()222148440k x kmx m +++-= 则2121222844,1414km m x x x x k k --+=⋅=++ 由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，即12120x x y y +=所以()()12120x x kx m kx m +++=，即()()22121210kx xkm x x m ++++=所以()22222448101414m km k km m k k --+⋅+⋅+=++即222544014m k k--=+，则22544m k --. 由222(1)m r k =+得()()2225141r kk +=+.所以245r =. 综上所述r. 【点睛】本题考查求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，考查方程联立韦达定理的舍而不求的思想方法，属于难题.21．已知函数()ln 2(,)x f x axe b x x a b R =--∈. （1）讨论0a =时，函数()f x 的单调性；（2）若2b =，函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0b ≥ 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减. 当0b < 时，()f x 在(0,)2b-上单调递增，在(,)2b -+∞上单调递减. （2）20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】(1)当0a =时，求出函数()f x 的导函数()f x '，讨论()0f x '>和()0f x '<，对b 进行讨论即可. (2)分离参数得方程()()2ln 0xx x a x xe+=>有两个根，设函数()()2ln ()0xx x g x x xe+=>，讨论()g x 的单调性，从而可得到答案. 【详解】(1) 当0a =时，()ln 2f x b x x =--，则()2()20b x b f x x x x+'=--=-> 当0b ≥ 时，()0f x '≤ 在(0,)+∞上恒成立，则此时()f x 单调递减.当0b < 时，由()0f x '<，即20x b +>，得2b x >- 由()0f x '>，即20x b +<，得02b x <<-. 综上所述，当0b ≥ 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减. 当0b < 时，()f x 在(0,)2b -上单调递增，在(,)2b-+∞上单调递减.. (2) 函数()f x 有两个零点，即方程()()2ln 0xx x a x xe+=>有两个根. 设()()2ln ()0xx x g x x xe+=> 则()()()()()()()()22212[11ln ]2[11ln ]21ln 1]()x x x x x xe e x x x x x x x x x x x g x x e x e xe ⎛⎫+-++ ⎪+-++-++-⎝⎭'===设()ln 1h x x x =+-，则1()10h x x'=+> 所以()h x 在()0,∞+ 上单调递增且(1)0h =.所以当1x > 时，()0h x >;当01x << 时. ()0h x <.所以当1x > 时，()0g x '< ，()g x 在()1,+∞上单调递减. 当01x << 时，()0g x '>,()g x 在()0,1上单调递增. 因此2()(1)g x g e≤=. 又当1x > 时，()2ln ()0xx x g x xe+=>且x →+∞时，()0g x →. 111112(ln )2(1)1()011e ee e e g e e e e e+-+==< 方程()()2ln 0xx x a x xe +=>有两个根.则20(1)a g e<<=所以函数()f x 有两个零点实数a 的取值范围是20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的含参数的单调性的讨论和根据函数的零点个数求参数的范围问题，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线22:(1)(2)9C x y -++=.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（2）直线()3p R πθ=∈与直线l 交于点M ，与曲线C 交于,P Q 两点，求||||||OM OP OQ ⋅⋅的值.【答案】(1) 曲线C 的极坐标方程为：22cos 4sin 40ρρθρθ-+-=,直线l 的普通方0y +-=.(2)3【解析】(1)利用极坐标和平面直角坐标的互化公式222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+= 直接进行计算.(2)将3πθ=代入真线l 的极坐标方程可得||OM 的值，将3πθ=代入曲线C 的极坐标方程可得||||OP OQ ⋅的值，从而得出答案.【详解】(1)由曲线22:(1)(2)9C x y -++=，得222440x y x y +-+-=所以曲线C 的极坐标方程为：22cos 4sin 40ρρθρθ-+-=.由直线l 的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos cos sin 33ππρθρθ+=所以直线l 0y +-=.(2)将3πθ=代入直线l 的极坐标方程可得2sin 3πρ=得ρ= .所以||OM =将3πθ=代入曲线C 的极坐标方程可得()2140ρρ--=.设,P Q 两点的极坐标分别为12,,,33ππρρ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则12||||4OP OQ ρρ⋅==.所以||||||OM OP OQ ⋅⋅=4==【点睛】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化和极坐标的几何意义的应用，属于中档题. 23．已知函数()|1|f x ax =-.（1）当1a =时，解不等式1()||2f x x -…；（2）若(1)f M ≤，(2)f M ≤，求证：13M ≥. 【答案】(1) 3|4x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭(2) 证明见解析. 【解析】（1）利用零点分段的方法分段打开绝对值，从而解不等式.（2）由条件有1a M -≤，12a M -≤，然后用绝对值的三角不等式可证明结论.【详解】（1）当1a =时，()|1|f x x =-，由1()||2f x x -…，则1|1|||2x x --… 即解不等式1|||1|2x x --≥，由101210111x x x x x x -≤⎧⎪--=-<<⎨⎪≥⎩所以当0x ≤时，0112x ≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩，显然无解. 当1x ≥时，1112x ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩ ，得1x ≥ 当01x <<时，011212x x <<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得：314x ≤< 所以不等式1()||2f x x -…的解集为3|4x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭（2）由(1)f M ≤，(2)f M ≤，即1a M -≤，12a M -≤ 所以()()32211222121M M M a a a a =+≥-+-≥---=所以31M ≥，即13M ≥【点睛】本题考查利用零点分段法解含绝对值的不等式和利用绝对值的三角不等式证明不等式，属于中档题.。

2019届重庆市高三学业质量调研抽测(第二次)4月二诊数学(文)试题卷(解析版)

2019届重庆市高三学业质量调研抽测（第二次）4月二诊数学（文）试题卷一、单选题1．已知为虚数单位，则复数（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分子分母同乘分母共轭复数，化简即可.【详解】解：因为复数故选：D.【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题.2．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先写出集合M和N，然后求交集即可.【详解】解：集合集合所以故选：B.【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题.3．已知向量，，则向量与的夹角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先写出向量与，再计算其夹角即可.【详解】解：因为，，所以所以所以向量与的夹角为故选：C.【点睛】本题考查了平面向量坐标运算，夹角公式，属于基础题.4．将甲、乙、丙三名学生随机分到两个不同的班级，每个班至少分到一名学生，则甲、乙两名学生分到同一班级的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由等可能事件的概率直接求出答案即可.【详解】解：将甲、乙、丙三名学生随机分到两个不同的班级，每个班至少分到一名学生，则必有一人分到一个班，另两人分到一个班，共三种情况，且每种情况是等可能的所以甲、乙两名学生分到同一班级的概率故选：B.【点睛】本题考查了古典概型，属于基础题.5．设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（）A．127 B．64 C．63 D．32【答案】C【解析】先求出等比数列的首项和公比，然后计算即可.【详解】解：因为，所以因为与的等差中项为，，所以，即，所以故选：C.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，属于基础题.6．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若，，则B．若，，且，则C．若，，且，，则D．若直线与平面所成角相等，则【答案】B【解析】结合空间中平行于垂直的判定与性质定理，逐个选项分析排除即可.【详解】解：选项A中可能，A错误；选项C中没有说是相交直线，C错误；选项D中若相交，且都与平面平行，则直线与平面所成角相等，但不平行，D错误. 故选：B.【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系，属于基础题.7．在中，角的对边分别为，已知，，，则边的长为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先由三角形中诱导公式求出，再用正弦定理解出即可. 【详解】解：因为，，所以在中由正弦定理，所以故选：B.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，属于基础题.8．把“正整数除以正整数后的余数为”记为，例如.执行如图的该程序框图，输出的值为（）A．32 B．35 C．37 D．39【答案】C【解析】由流程图一步步向后判断推理即可.【详解】解：输入值，第一次判断为否，得；第二次判断为否，得；第三次判断为是，然后第一次判断为否，得；第四次判断为否，得；第五次判断为否，得；第六次判断为否，得；第七次判断为否，得；第八次判断为是，然后第二次判断为是，得到输出值故选：C.【点睛】本题考查了流程图中的循环结构，属于基础题.9．已知，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先由结合角的范围解出、，然后求出，再用二倍角公式求出即可.【详解】解：由，且，解得所以，故选：B.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题.10．在长方体中，分别为棱上的点，若，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，用空间向量求解即可.【详解】解：如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，因为，，，设所以点，，，所以，所以因为异面直线角为锐角或直角所以异面直线与所成角的余弦值为故选：A.【点睛】本题考查了空间中异面直线的夹角，异面直线夹角可以通过平移异面直线找到夹角再计算，也可以直接利用空间向量转化为向量夹角计算.11．已知函数（且）的图像恒过定点，设抛物线上任意一点到准线的距离为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求出定点，由抛物线的定义得，因为两点之间线段最短，所以最小值为.【详解】解：因为，所以函数的图像恒过定点又因为点M在抛物线上，抛物线焦点，所以点到准线的距离为所以由两点之间线段最短，所以最小值为故选：C.【点睛】本题考查了指数函数的定点，抛物线的定义，属于中档题.12．已知定义在上的奇函数在上是减函数，且对于任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先由函数的性质分析出函数在上单调递减，然后将转化为，得，参变分离得对任意的恒成立，再用换元法求的最大值，得到的范围.【详解】解：由定义在上的奇函数在上是减函数，得在上是减函数所以所以，即对任意的恒成立记，则所以因为，当且仅当时取等号所以当的最大为所以故选：A.【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性及其应用，不等式的恒成立，恒成立问题中参变分离可有效避免分类.二、填空题13．曲线在点处的切线的斜率为__________．（为自然对数的底数）【答案】【解析】先求导，利用切点处的导数即为该点切线的斜率得出答案.【详解】解：由，得所以所以曲线在点处的切线的斜率为故答案为：.【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题.14．若实数满足不等式组，则的最大值为_____．【答案】16【解析】先由简单线性规划问题求出的最大值，然后得出的最大值.【详解】解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分然后画出目标函数如图中过原点虚线，平移目标函数在点A处取得最大值解得点所以最大为4所以的最大值为16故答案为：16.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，指数复合型函数的最值，属于基础题.15．已知实数，函数的定义域为，若该函数的最大值为1，则的值为__________．【答案】【解析】先用辅助角公式，再结合函数定义域求出函数的最大值列出方程求解即可. 【详解】解：因为，由，得，所以函数的最大值，即故答案为：【点睛】本题考查了辅助角公式，正弦型三角函数的最值，属于基础题.16．已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为__________．【答案】7【解析】先由双曲线渐近线求出，记双曲线的右焦点为，利用，得，再由两点之间线段最短求出的最小值，然后得出答案.【详解】解：由双曲线方程，得，所以渐近线方程为比较方程，得所以双曲线方程为，点记双曲线的右焦点为，且点在双曲线右支上，所以所以由两点之间线段最短，得最小为因为点在圆上运动所以最小为点F到圆心的距离减去半径2所以所以的最小值为7故答案为：7.【点睛】本题考查了双曲线的定义与方程，双曲线的渐近线，平面中线段和最小问题，利用双曲线定义进行线段转化是解本题的关键，属于中档题.三、解答题17．已知等差数列的公差，前3项和，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由，且成等比数列列式求解出和，然后写出；（2）由，用错位相减法求和即可.【详解】（1）∵，∴①又∵成等比数列，∴，②∵，由①②解得：，，∴（2）∵，，∴两式相减，得∴【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，错位相减法求和，属于中档题.18．为改善人居环境，某区增加了对环境综合治理的资金投入，已知今年治理环境（亩）与相应的资金投入（万元）的四组对应数据的散点图如图所示，用最小二乘法得到关于的线性回归方程.（1）求的值，并预测今年治理环境10亩所需投入的资金是多少万元？（2）已知该区去年治理环境10亩所投入的资金为3.5万元，根据（1）的结论，请你对该区环境治理给出一条简短的评价.【答案】（1），预测今年治理环境10亩所需投入的资金是7.35万元.（2）见解析.【解析】（1）先求出，由过点，可求出，再代入得出所需投入的资金；（2）结合（1）中尽量投入资金，对比去年资金做出合理评价即可. 【详解】解：（1）由散点图中的数据，可得，，代入，得从而回归直线方程为当时，（万元）预测今年治理环境10亩所需投入的资金是7.35万元.（2）由（1）预测得今年治理环境10亩所需投入的资金是7.35万元，而去年该区治理环境10亩所投入的资金为3.5万元，今年增加了资金一倍以上，说明该区下了大决心来改善人居环境，值得赞扬.【点睛】本题考查了线性回归方程及其应用，实际问题的分析与评价，属于基础题.19．已知离心率为的椭圆：的右焦点为，点到直线的距离为1.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于不同的两点，当时，求直线的斜率的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】（1）由离心率为和点到直线的距离为1列出方程组解出，得出椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程得到韦达定理，用弦长公式求出列出不等式，解出的范围即可.【详解】解：（1）由题意：得，即又，，即∴，，∴椭圆的方程为（2）设，由，得由，得（）∴，，∵，即∴，∴结合（），得∴或【点睛】本题考查了椭圆的方程与几何性质，直线与椭圆的相交弦长，属于中档题.20．如图，在三棱台中，已知两两互相垂直，点为的中点，，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）取的中点，连接，易证得平面，从而，又易证四边形是菱形，得，所以平面；（2）由，故只要求出和即可.【详解】解：（1）证明：如图，取的中点，连接，∵，，点为的中点，∴，，∵，，∴，，，∴平面∴由已知，可得，，∴四边形是菱形∴∵，∴平面（2）由已知，可得，，∴设点到平面的距离为，∵∴∴，即点到平面的距离为.【点睛】本题考查了线面垂直的证明，点到面的距离，点到面的距离常采用体积交换法求解，合理构造三棱锥并求出其体积是关键.21．已知函数，其中为自然对数的底数.（1）讨论的单调区间；（2）若，设函数，当不等式在上恒成立时，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）求导，分和解不等式和，得函数单调区间；（2）由求出，代入参变分离得在上恒成立，记，用导数求出的最大值即可.【详解】（1）当时，由，得，由，得∴的增区间为，减区间为当时，得，由，得∴的增区间为，减区间为（2）∵∴∴∵，不等式在上恒成立，∴，即在上恒成立.设函数，该函数的定义域为.∴当时，，当时，∴在上是增函数，在上是减函数∴时，在上取得最大值∴不等式在上恒成立时，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，含参数时需要分类讨论，也可尝试参变分离处理.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，设点，已知，求实数的值.【答案】（1）直线: ，曲线:（2）【解析】（1）在直线的参数方程中消去参数t得直线的一般方程，在曲线的极坐标方程为中先两边同乘，得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程直接代入曲线的直角坐标方程中，得到韦达定理，由，，列方程求出答案.【详解】解：（1）因为直线的参数方程为消去t化简得直线的普通方程：由得，因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为（2）将代入得即，则，，∴，∴∴∵，∴，满足∴【点睛】本题考查了直线的参数方程，曲线极坐标方程与直角坐标方程得转化，直线与圆的位置关系，属于中档题.23．选修4-5：不等式选讲已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)将不等式零点分段可得不等式的解集为.(2)将不等式转化为，可得实数的取值范围是.试题解析：解：（1）当时，，∴等价于或或，解得或或，即.∴不等式的解集为.（2）∵，∴，不等式，∴，∴实数的取值范围是.点睛：绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

2019届重庆市高三4月(二诊)调研测试题(康德版)数学(文)试题(解析版)

2019届重庆市高三4月（二诊）调研测试题（康德版）数学（文）试题一、单选题1．复数31i i +-（i 为虚数单位）的共轭复数为（） A ．1+iB ．1﹣iC ．1+2iD ．1﹣2i 【答案】D【解析】根据复数的除法求解31i i +-再判定即可. 【详解】∵31i i +-＝(3)(1)2412(1)(1)2i i i i i i +++==+-+,∴复数31i i+-（i 为虚数单位）的共轭复数为1﹣2i ．故选：D ．【点睛】本题主要考查了复数的除法运算与共轭复数的概念,属于基础题型.2．已知全集U ＝R ，集合{}|11M x x =-<<，{}|02N x x =<<，则图中阴影部分表示的集合是（）A ．{|0x x ≤或}1x ≥B ．{|1x x ≤-或}2x ≥C ．{}1|0x x <<D ．{}|12x x -<<【答案】B 【解析】先判定韦恩图所表示的集合,再求解即可.【详解】∵全集U ＝R ,集合{}|11M x x =-<<,{}|02N x x =<<,∴{}|12M N x x ⋃=-<<,∴图中阴影部分表示的集合是：()U C M N =U {|1x x ≤-或}2x ≥．故选：B ．【点睛】本题主要考查了韦恩图的理解以及集合的并集补集的运算等.属于基础题型.3．已知向量()1,2m =-u r ，(),4n λ=-r ，若m n ⊥u r r ，则2m n -=u r r （）A．B ．10 C．D ．12 【答案】B【解析】根据m n ⊥u r r 即可得出=80m n λ⋅-+=u r r进行数量积的坐标运算即可求出8λ=-，从而得出的2m n -u r r 坐标，进而得出2m n -u r r 的值．【详解】∵向量()1,2m =-u r ，(),4n λ=-r ，m n ⊥u r r ，∴80m n λ⋅=--=u r r，∴8λ=-， ∴()8,4n =--r ，∴()26,8m n -=u r r ，∴2m n -=u r r .故选：B .【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，利用向量垂直则数量积为0是解题的关键，也是常考点，属于基础题.4．已知函数f （x ）＝2(3),4log ,4f x x x x +⎧⎨>⎩„，则f （﹣1）＝（） A ．log 25B ．log 26C ．3D ．2+log 23 【答案】A【解析】根据分段函数解析式代入计算即可.【详解】根据题意,函数f （x ）＝2(3),4log ,4f x x x x +⎧⎨>⎩„,则f （﹣1）＝f （2）＝f （5）＝log 25；故选：A ．【点睛】本题主要考查了分段函数的计算,属于基础题型.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3+a 5+a 10＝（） A ．2B ．3C ．6D ．12 【答案】C【解析】根据等差数列的求和公式与性质求解即可.【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 11＝22, ∴()11111112S a a =+＝11a 6,＝22,解得a 6＝2,∴a 3+a 5+a 10＝3a 6＝6．故选：C ．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质与求和公式,属于基础题型.6．若用如图所示的程序框图寻找使111131235i ++++>L 成立的正整数i 的最小值，则图中①处应填入（）．A ．输出1i -B ．输出iC ．输出1i +D ．输出2i +【答案】B 【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，得出该程序框图中①应填的内容．【详解】由程序框图的功能是使111131235i ++++>L 成立的正整数i 的最小值，则循环结束时①中应为i 的值.故选：B .【点睛】本题考查程序框图，根据框图分析各变量、各语句的作用及题目要求，不难判断框图中空白的含义，属于简单题.7．中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图1）做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm ，正方形的边长为1cm ，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是P ，则圆周率π的近似值为（）A ．14(1)p -B ．11p -C ．114p -D ．41p- 【答案】A【解析】根据几何概型的方法分析阴影部分占总面积的比值,列式求解π的表达式即可.【详解】圆形钱币的半径为2cm ,面积为S 圆＝π•22＝4π；正方形边长为1cm ,面积为S ＝12＝1．在圆形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率是P ＝114π-,则14(1)p π=-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了几何概型的方法,需要求解阴影部分面积占总面积的比值,属于基础题型.8．函数()sin x x y e e x -=+的部分图像大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】()()sin()()x x f x e e x f x --=+-=-Q ，所以舍去D,B;(0,),()0x f x π∈>∴Q 舍A,选C点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．9．若“p∨q”成立的一个必要条件是“￢r”，则下列推理：①p∨q⇒￢r；②p⇒￢r；③￢r⇒q；④（￢p）∧（￢q）⇒r．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意可得p∨q⇒￢r,再根据“或且非”的性质推出其充要条件再判定即可. 【详解】若“p∨q”成立的一个必要条件是“￢r”,即为p∨q⇒￢r,⇔ r⇒￢（p∨q）,⇔ r⇒（￢p）∧（￢q）,可得①正确④错误．又p∨q⇒￢r,故p⇒￢r, q⇒￢r,故②正确,③错误故选：B．【点睛】本题主要考查了逻辑联结词的性质与必要条件的辨析,属于基础题型.10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．332B．352C．372D．392【答案】A【解析】先换元该几何体,再利用割补法求解体积即可. 【详解】由三视图还原原几何体如图,该几何体为多面体ABCDEF ,底面为矩形ABCD ,AB ＝5,AD ＝3．侧面CDEF 为等腰梯形,EF ＝1,侧面CDEF ⊥底面ABCD ,则该几何体的体积V ＝11332233331322⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了根据三视图还原直观图以及求解不规则几何体体积的方法,属于中等题型.11．已知ππ22α-<<，2tan tan 2βα=，()tan 8βα-=-，则sin α=（）. A ．5B ．25 C 5 D 25 【答案】B【解析】由题可得()()()tan tan 8tan 2tan 2tan 221tan tan 18tan βαααββααβααα-+-+=-+=⋅=⋅--⋅+，又2tan tan 2βα=，可得22tan 8tan 21tan 18tan αααα-+=⋅-+，解得tan 2α=-，可求sin α的值.【详解】 ()()()tan tan 8tan 2tan 2tan 221tan tan 18tan βαααββααβααα-+-+=-+=⋅=⋅--⋅+， 22tan tan21tan ααα=-，由22tan 8tan 21tan 18tan αααα-+=⋅-+． tan 2α=-，又ππ22α-<<，所以π02α-<< 所以sin α=25，【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式应用，通过和差公式凑角解出所求角的三角函数值是此类题常用方法，属于中等题.12．已知函数()ln ,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()F x f x m =+有两个零点1x ，2x ，则12x x 的取值范围是（）．A ．(),e -∞B ．(],0-∞C ．[],0e -D ．[]1,0-【答案】D【解析】作出f （x ）的图象，设m a -=，由题意可得()f x a =有两个不等实根x 1，x 2，即为a =x 1+1=lnx 2，可得()121a x x a e =-为a 的函数，求得导数和单调性，可得极小值和最大值，结合图象可得所求范围．【详解】设m a -=，即()f x a =的两个零点为1x ，2x ，由题作出f （x ）图象，可知1a ≤，令11x a =-，2a x e =，所以()121ax x a e =-，令()()1a g a a e =-，()ag a ae '=，所以()g a 有(),0-∞单调递减，在()0,1上单调递增，()()min 01g a g ==-，由1a ≤知()()10ag a a e =-≤，()()max 10g a g ==，所以[]121,0x x ∈-．故选：D .本题考查分段函数的应用，解题关键是运用数形结合与转化思想，将问题转化为新的函数求极值与最值问题，考查综合分析及转化思想方法，属于较难题.二、填空题13．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 3A =，a =b =，则sin B =______．. 【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA 的值，根据正弦定理即可得解sinB ．【详解】 ∵1cos 3A =，a =2b =，∴3sinA ==， ∴由正弦定理sin a b sinA B=，可得：sin 3b B sinA a =，故答案为：3．【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于简单题. 14．设变量x ，y 满足约束条件2202420x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数3z y x =-的最小值是______．【答案】-4.【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z =3y -x 对应的直线进行平移，可得当x =-2且y =-2时，z =3y -x 取得最小值．作出变量x ，y 满足约束条件2202420x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （-2，3），C （-2，-2），B （3，12）, 目标函数z =3y -x ，将直线l ：z =3y -x 进行平移，当l 经过点C 时，目标函数z 达到最小值，∴()()min 3224z =⋅---=-，故答案为：-4．【点睛】本题为简单线性规划问题，根据不等式组作出可行域，根据目标函数确定最值即可，属于简单题.15．如图，圆柱1OO 中，两半径OA ，1O B 等于1，且1OA O B ⊥，异面直线AB 与1OO 所成角的正切值为24，则该圆柱1OO 的体积为______．【答案】4π【解析】过B 作BH O ⊥e 于点H ，则2tan 4ABH ∠=，由OH 平行等于1O B ，且OH OA ⊥得2AH =，所以圆柱的高4tan AH BH ABH ==∠，圆柱的体积为4π．【详解】过B 作BH O ⊥e 于点H ，则ABH ∠即为异面直线AB 与1OO 所成角，则2tan 4ABH ∠=，由OH 平行等于1O B ，且1OA O B ⊥，可得OH OA ⊥，得22112AH =+=又tan AH ABH BH∠=, 所以圆柱的高4tan AH BH ABH==∠，所以圆柱的体积为214πOA OO π⋅⋅=．故答案为：4π.【点睛】本题考查圆柱的体积的计算，同时也考查了异面直线所成的角，考查空间推理能力，属于中等题.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过点1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点，12BF F △的面积是12AF F △面积的三倍，1290F AF ∠=o ，则双曲线C 的离心率为______．【答案】2【解析】由12BF F △的面积是12AF F △面积的三倍，1290F AF ∠=︒，可得114AF AB=，可设1AF m =，13BF m =，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，化简可得m =a ，再由勾股定理和离心率公式，可得所求值．【详解】由12BF F △的面积是12AF F △面积的三倍，1290F AF ∠=o，可得114AF AB=，设1AF m =，13BF m =，则22AF m a =+，232BF m a =+，由22222AB AF BF +=，解得m a =，则1AF a =，23AF a =，再由2221212AF AF F F +=得22104a c =．所以双曲线C的离心率e ==故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线的性质应用，求解离心率问题，通过题目找出a 、b 、c 三者之间的等量关系即可，此类问题通常结合焦点三角形的性质，常常利用的关系有直角三角形三边关系、三角形相似、向量关系、斜率关系等，计算量大，属于中等难度题.三、解答题17．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n n S a a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令113na n n nb a a -+=+，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）n a n =；（2）3112231nn --⋅+．【解析】（1）22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减得22112n n n n n a a a a a --=-+-，化简得11n n a a --=，{}n a 是公差为1的等差数列，再由11a =，利用等差数列的通项公式即可得出; （2）()111113131n n n b n n n n =+=+-++，利用等比数列求和及“裂项求和”方法即可得出数列{}n b 的前n 项和．【详解】（1）当2n ≥，22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减得22112n n n n n a a a a a --=-+-，化简得11n n a a --=，即{}n a 是公差为1d =的等差数列，令1n =，21112S a a =+，得11a =，所以()11n a a n d n =+-=．（2）()111113131n n n b n n n n =+=+-++，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，21111111113332231n n T n n ⎛⎫⎛⎫=++++-+-++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭L L111131133111223113n nn n ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-=--+⋅+-．【点睛】本题考查数列的求和、数列递推式，考查运算求解能力，数列求和的常用方法有：公式求和，裂项求和，错位相减求和，倒序相加求和等，属于中等题.18．某农科站技术员为了解某品种树苗的生长情况，在该批树苗中随机抽取一个容量为100的样本，测量树苗高度（单位：cm ）．经统计，高度在区间[]20,50内，将其按[)20,25，[)25,30，[)30,35，[)35,40，[)40,45，[]45,50分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，其中高度不低于40cm 的树苗为优质树苗．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++ ()20P K k ≥ 0.025 0.010 0.005 0.001 0k5.2046.6357.87910.828（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）已知所抽取的这100棵树苗来自于甲、乙两个地区，部分数据如下22⨯列联表所示，将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99.9％的把握认为优质树苗与地区有关？甲地区乙地区合计优质树苗 5 非优质树苗 25 合计【答案】（1）0.01a =；（2）表格见解析，有99.9％的把握认为优质树苗与地区有关．【解析】（1）根据概率的性质可得：（a +3a +0.04+0.07+0.04+a ）×5=1，解得a =0.01，（2）根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论．【详解】（1）由题()30.040.070.0451a a a +++++⨯=，解得0.01a =．（2）样本中优质树苗的个数为()1000.040.01525⨯+⨯=，所填表格为甲地区乙地区合计优质树苗 5 20 25 非优质树苗 50 25 75 合计 5545100()22100525502016.510.82825755545K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9％的把握认为优质树苗与地区有关．【点睛】本题考查频率分布直方图中概率的计算，独立性检验，考查能否根据频率分布直方图解未知数并得出每一组的概率以及根据分层抽样的原理得出每一组的人数，考查分析能力以及计算，属于简单题.19．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为AD 中点，N 为BC 中点，P 为11B D 上一点，113B P D P =，Q 为1AA 中点．（1）证明：1D Q ⊥平面1B MN ；（2）求四面体1PMNB 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】（1）连接1A M ，由11A B 平行等于MN ，所以11A MNB 为平行四边形，根据111AA M A D Q ∠=∠及11190AA M A QD ∠+∠=o 可证即11D Q A M ⊥，又MN ⊥平面11ADD A ，可证1MN D Q ⊥，故可证1D Q ⊥平面1B MN ；（2）过P 作11//PR A B 交11B C 于点R ，可得//PR 平面1MNB ，因此11P MNB R MNB V V --=，求出四面体RMNB 1体积即可求出四面体PMNB 1的体积．【详解】（1）连接1A M ，由11A B 平行等于MN ，所以11A MNB 为平行四边形，111tan 2AM AA M AA ∠==，111111tan 2A Q A D Q A D ∠==，所以111AA M A D Q ∠=∠．又111190A D Q A QD ∠+∠=o ，所以11190AA M A QD ∠+∠=o，即11D Q A M ⊥．在正方体1111ABCD A B C D -中，11A B ⊥平面11ADD A ，又11//MN A B ，所以MN ⊥平面11ADD A ，1D Q ⊂Q 平面11ADD A ，所以1MN D Q ⊥，又1A M MN M =I ，所以1D Q ⊥平面1B MN ．（2）过P 作11//PR A B 交11B C 于点R ，∵11//MN A B ，可得//PR MN ，PR ⊄Q 平面1MNB ，MN ⊂平面1MNB ， ∴//PR 平面1MNB ，∴11P MNB R MNB V V --=，由113B P D P =，所以1113342B R B C ==，132PR B R ==，1111322B NR S B R BB =⋅=△．所以1111113P MNB R MNB M B NR B NR V V V S MN ---===⋅=△．【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的证明，几何体体积的计算通常进行转化成等体积的较容易计算的几何体，线面垂直通常在面内找两条相交直线分别与已知直线垂直即可，考查空间想象能力及推理转化能力，本题属于中等题.20．如图，已知()0,1A ，()0,1B -为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>短轴的两个端点，且椭圆的离心率为32．（1）求椭圆C 的方程；（2）若经过点B 的直线l 与椭圆C 的另一个交点记为M ，经过原点O 且与AM 垂直的直线记为1l ，且直线l 与直线1l 的交点记为N ，证明：OM ON ⋅u u u u r u u u r是定值，并求出这个定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，43-．【解析】（1）由已知可得关于a ，b ，c 的方程组，求解a ，b 的值，则椭圆方程可求；（2）设M （M x ，M y ）（M x ≠0），直线l 的斜率存在，设:1l y kx =-，与椭圆联立，根据根与系数有关系可得M x ，M y ，从而可得114M AM M y k x k-==-，则直线l 1的方程1:4l y kx =，联立求得N 的坐标，再由数量积的坐标运算可得OM ON ⋅u u u u r u u u r是定值．【详解】（1）由题1b =，3c a =，结合222a b c =+得24a =，所求椭圆为2214x y +=．（2）由题知直线l 的斜率存在，设:1l y kx =-，联立椭圆方程得()221480kxkx +-=，2841M k x k =+，2241141M M k y kx k -=-=+， ∴22241111418441M AMM k y k k k x k k ---+===-+，直线1:4l y kx =，联立直线l 得14,33N k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()222228141441644134133341k k k OM ON k k k k ---⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-+⋅-==- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ， ∴OM ON ⋅u u u u r u u u r是定值43-. 【点睛】本题考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理等求解，属于常考题型，属中档题． 21．已知函数()ln f x x ax a =-+，a ∈R ．（1）若()f x 存在极大值()0f x ，证明：()00f x ≥；（2）若关于x 的不等式()11x f x e-+≥在区间[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）(],2-∞．【解析】（1）()1axf x x='-．（x ∈（0，+∞））．对a 分类讨论，即可得出单调性极值．进而证明结论．（2）令h （x ）=f （x ）+e x -1-1=lnx -ax +a +e x -1-1，x ∈[1，+∞），h （1）=0．()11x h x a e x-'=-+，()121x h x e x-''=-+，对a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性、极值与最值即可得出．【详解】（1）()()10,axf x x x∞'-=∈+，当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 单调递增，不存在极大值，所以0a >，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()f x 的极大值为11ln f a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．设()1ln g a a a =--，()11g a a'=-， ()g a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()10g a g ≥=．所以()f x 的极大值大于等于0．（2）设()()111=ln 1x x h x f x ex ax a e --=+--++-，()11x h x a e x -'=-+，()121x h x e x-''=-+，所以()h x ''单调递增，由()10h ''=知()h x '在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()12h a '=-，()11h =，若2a ≤，则()120h a '=-≥，()0h x '≥在[)1,+∞恒成立，此时，函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，()()11h x h ≥=，满足条件．若2a >，则()120h a '=-<，所以存在0x 使得()00h x '=，即在()01,x 内，有()0h x '<，()h x 在()01,x 上单调递减，()()011h x h <=不满足条件．综上，(],2a ∈-∞．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值是常考点，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围，难度较大.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a ∈R ），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cosθ （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 过点P （1，1）且与曲线C 交于AB 两点，求|PA |+|PB | 【答案】（1）l ：x +y ﹣a ＝0，C ：y 2＝2x ；（2）【解析】(1) 消去参数t 可得直线l 的普通方程,利用极坐标与直角坐标的公式化简求解可得曲线C 的直角坐标方程(2)设直线l的参数方程为121x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,再代入抛物线的方程,利用直线参数方程的几何意义求解即可. 【详解】（1）由2xy a⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t可得直线l的普通方程为：x+y﹣a＝0,由ρsin2θ＝2cosθ得ρ2sin2θ＝2ρcosθ可得曲线C的直角坐标方程为：y2＝2x．（2）将P（1,1）代入x+y﹣a＝0可得a＝2,所以直线l的参数方程为1212x ty⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）将其代入曲线C的普通方程得：t2﹣2＝0,设A,B对应的参数为t1,t2,则t1+t2＝﹣,t1t2＝﹣2＜0,∴|P A|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|．【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标的互化,同时也考查了直线参数方程的几何意义,属于中等题型.23．设函数f（x）＝|2x﹣3|+|x+2|（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤a﹣|x|在区间[﹣1，2]上恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）[0，2]；（2）[)7,+∞【解析】(1)分段去绝对值再求解不等式即可.(2)由题意可得可得|2x﹣3|+|x+2|+|x|≤a恒成立. g（x）＝|2x﹣3|+|x+2|+|x|,再分段去绝对值讨论g（x）的最大值即可.【详解】（1）f（x）≤5即为|2x﹣3|+|x+2|≤5,当x≥32时,2x﹣3+x+2≤5,解得32≤x≤2；当﹣2＜x＜32时,3﹣2x+x+2≤5,解得0≤x＜32；当x≤﹣2时,3﹣2x﹣x﹣2≤5,解得x∈∅．可得不等式的解集为[0,2]；（2）关于x的不等式f（x）≤a﹣|x|在区间[﹣1,2]上恒成立,可得|2x﹣3|+|x+2|+|x|≤a, 设g（x）＝|2x﹣3|+|x+2|+|x|,即g（x）＝x+2+|x|+|2x﹣3|,﹣1≤x≤2,当32≤x≤2时,g（x）＝x+2+x+2x﹣3＝4x﹣1；当0＜x＜32时,g（x）＝x+2+x+3﹣2x＝5；当﹣1≤x≤0时,g（x）＝x+2﹣x+3﹣2x＝5﹣2x．可得g（x）的最大值为g（﹣1）＝g（2）＝7,可得a≥7．即a的范围是[)7,+∞．【点睛】本题主要考查了分段讨论去绝对值从而求解绝对值不等式的方法,属于中等题型.。

重庆市第一中学2019届高三下学期4月月考(理)数学试题(解析版)

2019年重庆一中高2019级高三下期月考理科学数学一、选择题1.设集合2{log 1}A x x =≤，集合2{|20}B x x x =+-<，则A B U 为（）A. (0,1)B. (2,2]-C. (,2]-∞D. (2,1)- 【答案】B【分析】先通过解不等式得出集合,A B ，然后再求A B U .【详解】由2log 1x ≤得，02x <≤，即(]0,2A =.由220x x +-<得，21x -<<，即()2,1B =-.所以(]2,2A B =-U故选：B【点睛】本题考查解对数不等式和二次不等式以及集合的并集运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()2201913z i i +=+，则||z =（）A. B. C. 14 D. 【答案】A【分析】由2019450433i i i i ⨯+==-=先求出复数z ，然后再求||z .【详解】由2019450433i i i i ⨯+==-=.所以由()2201913z i i +=+得：()213z i i -=+即()23z i i -=+，故：33122i i z i +-==-所以||2z == 故选：A【点睛】本题考查复数的运算，复数的模长的计算，属于基础题.3.设函数31log (1),1()1,12x x x f x x -->⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩…，则(1)f =（）A. 0B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【分析】根据函数的表达式直接将(1)f 的值代出可求出答案. 【详解】由函数的表达式有111(1)12f -⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.4.已知第一象限内抛物线24y x =上的一点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12，则点Q 的坐标为（）A. (1,2)-B. (1,2)C.D. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】设()(),0,0Q x y x y >>，根据抛物线的定义以及题目条件可得12x x +=，从而求出Q 点的坐标.【详解】抛物线24y x =的准线方程为：1x =-.设()(),0,0Q x y x y >>，则点Q 到y 轴的距离为x ，点Q 到准线的距离为1x +.根据抛物线的定义有：点Q 到焦点的距离为1x +.又点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12. 所以12x x +=，得1x = ，则2y =即(1,2)Q故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义的运用，属于基础题.5.我国古代数学著作《孙子算经》中记有如下问题：“今有五等诸侯，其分橘子六十颗，人別加三颗”，问：“五人各得几何？”其意思为：“现在有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.”根据这个问题，下列说法错误的是（）A. 得到橘子最多的诸侯比最少的多12个B. 得到橘子的个数排名为正数第3和倒数第3的是同一个人C. 得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12D. 所得橘子个数为倒数前3的诸侯所得的橘子总数为24。

重庆市2019届高三4月调研测试二诊数学文科试题含答案解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,0,1,2,3}A =-，2{|30}B x x x =->，则()R A C B = （） A ． {1}- B ．{0,1,2} C ．{1,2,3} D ．{0,1,2,3}2．若复数z 满足2(1)1z i i +=-，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知向量(,1)a x =-，(1b = ，若a b ⊥ ，则||a =（）A．2 D ． 44．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组130x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域的面积为（）A ．29 B ．14 C ． 13 D ．125．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（） A ．10日 B ． 20日 C ． 30日 D ．40日6．设直线0x y a --=与圆224x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若AOB ∆为等边三角形，则实数a 的值为（）A．．． 3± D ．9±7．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（） A ．30m -<< B ．32m -<< C ． 34m -<< D ．13m -<< 8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的数不可能是（）A ．15B ．18C ． 19D ．209．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =，12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（）A ．B ．C ．D ．10．已知函数2sin()y x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示，则ϕ=（）A ．6π B ．4π C ． 3π D ．2π11．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点,P Q ，若||2||PQ QF =，60PQF ∠=，则该双曲线的离心率为（）A ．1． 2．4+12．已知函数2()(3)x f x x e =-，设关于x 的方程2212()()0()f x mf x m R e --=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为（）A ． 3B ． 1或3C ． 4或6D ．3或4或6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若关于x 的不等式(2)()0a b x a b -++>的解集为{|3}x x >-，则ba= ． 14．设ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆222，则C = ．15．甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，其中m 为小于10的自然数，已知甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，则甲组数据的平均数也大于乙组数据的平均数的概率为．16．设函数22log (),12()142,1333x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-++>-⎪⎩，若()f x 在区间[,4]m 上的值域为[1,2]-，则实数m 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，49a =，315S =．（1）求n S ；（2）设数列1{}nS 的前n 项和为n T ，证明：34n T <．18． “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）若采用样本估计总体的方式，试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；（2）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，19．如图，矩形ABCD 中，AB =AD =M 为DC 的中点，将DAM ∆沿AM 折到'D AM ∆的位置，'AD BM ⊥．（1）求证：平面'D AM ⊥平面ABCM ；（2）若E 为'D B 的中点，求三棱锥'A D EM -的体积．20．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为(1,0)F ，过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ，交y 轴于点C ，6AB BC =．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 作直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，连接MO （O 为坐标原点）并延长交椭圆E 于点Q ，求MNQ ∆面积的最大值及取最大值时直线l 的方程．21．已知函数2ln ln 1()x x f x x ++=，2()x x g x e=．（1）分别求函数()f x 与()g x 在区间(0,)e 上的极值；（2）求证：对任意0x >，()()f x g x >．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin 2x t y t αα=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22244sin cos ρθθ=+．（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的直角坐标为1(1,)2-，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求||||PA PB 的取值范围．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|||3|f x x a x a =-+-．（1）若()f x 的最小值为2，求a 的值；（2）若对x R ∀∈，[1,1]a ∃∈-，使得不等式2||()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围．试卷答案2017年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷文科数学一、选择题 1～6 DCCBBC7～12 AAABBB第（11）题解析：︒=∠=60|,|2||PQF QF PQ ，︒=∠∴90PFQ ，设双曲线的左焦点为1F ，连接Q F P F 11,，由对称性可知，PFQ F 1为矩形，且||3|||,|2||11QF QF QF F F ==，故13132||||||2211+=-=-==QF QF F F a c e .第（12）题解析：xx x x f +-='e )3)(1()(，)(x f ∴在)3,(--∞和),1(+∞上单增，)1,3(-上单减，又当-∞→x 时0)(→x f ，+∞→x 时+∞→)(x f ，故)(x f 的图象大致为：令t x f =)(，则方程0e 1222=--mt t 必有两根21,t t )(21t t <且221e 12-=t t ，当e 21-=t 时恰有32e 6-=t ，此时1)(t x f =有1个根，2)(t x f =有2个根；当e 21-<t 时必有32e 60-<<t ，此时1)(t x f =无根，2)(t x f =有3个根；当0e 21<<-t 时必有32e 6->t ，此时1)(t x f =有2个根，2)(t x f =有1个根；综上，对任意R m ∈，方程均有3个根.二、填空题（13）45（14）︒30（15）53 （16）]1,8[--第（15）题解析：由甲的中位数大于乙的中位数知，4,3,2,1,0=m ，又由甲的平均数大于乙的平均数知，3<m 即2,1,0=m ，故所求概率为53.第（16）题解析：函数)(x f 的图象如图所示，结合图象易得，当]1,8[--∈m 时，]2,1[)(-∈x f . 三、解答题（17）解：（Ⅰ）5153223=⇒==a a S ，2224=-=∴a a d ， 12+=∴n a n ，)2(2123+=⋅++=n n n n S n ；（Ⅱ）)21151314121311(21)2(1421311+-++-+-+-=+++⨯+⨯=n n n n T n 43)2111211(21<+-+-+=n n .（18）解：（Ⅰ）由题知，40人中该日走路步数超过5000步的有34人，频率为3440，所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为1720；（Ⅱ）841.3114018222020)861214(402<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，故没有95%以上的把握认为二者有关. （19）解：（Ⅰ）由题知，在矩形ABCD 中，︒=∠=∠45BMC AMD ，︒=∠∴90AMB ，又BM A D ⊥'，⊥∴BM 面AM D '，∴面⊥ABCM 面AM D '；（Ⅱ）1111212663A D EM E AD MB AD M D AM V V V BM S ''''---∆===⋅⋅=⋅⋅=. （20）解：（Ⅰ）由题知),0(),0,(a C a A -，故)76,7(aa B -，代入椭圆E 的方程得1493649122=+ba ，又122=-b a ，故3,422==b a ，椭圆134:22=+y x E ；（Ⅱ）由题知，直线l 不与x 轴重合，故可设1:+=my x l ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x my x 得096)43(22=-++my y m ，设),(),,(2211y x N y x M ，则439,436221221+-=+-=+m y y m m y y ，由Q 与M 关于原点对称知，431124)(||2222122121++=-+=-==∆∆m m y y y y y y S S MON MNQ 11131222+++=m m ，1，4∴，即3M N Q S ∆≤，当且仅当0=m 时等号成立，MNQ ∆∴面积的最大值为3，此时直线l 的方程为1=x（21）解：（Ⅰ）2ln (ln 1)()x x f x x--'=，()01e f x x '>⇒<<，故()f x 在(0,1)和(e,)+∞上递减，在(1,e)上递增，)(x f ∴在e),0(上有极小值1)1(=f ，无极大值；xx x x g e)2()(-='，200)(<<⇒>'x x g ，故)(x g 在)2,0(上递增，在),2(+∞上递减，)(x g ∴在e),0(上有极大值2e4)2(=g ，无极小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当e),0(∈x 时，()1f x ≥，24()1eg x <≤，故)()(x g x f >；当)[e,+∞∈x 时，2ln ln 11113x x ++++=≥，令x x x h e )(3=，则xx x x h e)3()(2-='，故)(x h 在]3[e,上递增，在),3(+∞上递减，332727()(3)3e 2.7h x h ∴=<<≤，)(1ln ln 2x h x x >++；综上，对任意0>x ，)()(x g x f >.（22）解：（Ⅰ）14444cos sin 422222222=+⇒=+⇒=+y x x y θρθρ；（Ⅱ）因为点P 在椭圆C 的内部，故l 与C 恒有两个交点，即R ∈α，将直线l 的参数方程与椭圆C 的直角坐标方程联立，得4)sin 21(4)cos 1(22=+++-ααt t ，整理得 02)cos 2sin 4()sin 31(22=--++t t ααα，则]2,21[sin 312||||2∈+=⋅αPB PA . （23）解：（Ⅰ）|||3||()(3)||2|x a x a x a x a a -+----=≥，当且仅当x 取介于a 和a 3之间的数时，等号成立，故)(x f 的最小值为||2a ，1±=∴a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f 的最小值为||2a ，故]1,1[-∈∃a ，使||2||2a m m <-成立，即2||2<-m m ，0)2|)(|1|(|<-+∴m m ，22<<-∴m .。

2019届重庆市第一中学校高三下学期第四次月考数学(理)试题(解析版)

2019届重庆市第一中学校高三下学期第四次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220M x x x =-≥，{}2,1,0,1N =--，则M N ⋂的子集个数是（）A ．1个B ．3个C ．4个D ．8个【答案】C【解析】求出集合{|02}M x x =≤≤，则可得求出M N ⋂，进而可得子集个数. 【详解】解：由已知{}2|20{|02}M x x x x x =≥=-≤≤，又{}2,1,0,1N =--，{0,1}M N ∴=I ，则M N ⋂的子集个数是224=. 故选：C. 【点睛】本题考查集合交集的运算及集合子集个数的计算，是基础题.2．在复平面内，复数()12z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】将z 整理为2i -+，可得对应的点的坐标，从而得到结果. 【详解】()21222z i i i i i =+=+=-+Q∴复数z 所对应的点为()2,1-，位于第二象限本题正确选项：B 【点睛】本题考查复数对应复平面内的点的问题，属于基础题.3．已知平面向量(3,0)a =r ，2(1,a b +=r r ，则a r 与b r的夹角等于（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【解析】设(,)b x y =r，利用向量的坐标运算可得2(32,2)a b x y +=+rr，综合条件可列方程组求出b r ，再根据坐标运算可求a r 与b r的夹角. 【详解】解：设(,)b x y =r，则2(32,2)(1,a b x y +=+=rr，32112x x y y ⎧+==-⎧⎪⎪∴∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩(b ∴=-r，31cos ,322||||a b a b a b ⋅-∴〈〉===-⨯⋅r r r rr r ，则a r 与b r 的夹角等于23π. 故选：C. 【点睛】本题考查向量坐标的线性运算及向量夹角的坐标求解，是基础题.4．已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线与直线25y x =-平行，则双曲线的离心率等于（） A ．2 BC ．5D【答案】D【解析】先根据渐近线与直线25y x =-平行可得双曲线的一条渐近线，再根据,,a b c 的关系可得离心率. 【详解】解：由已知，双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线为2y x =，2ba∴=，c e a ∴====【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是要找到,,a b c 的关系，是基础题. 5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是单调函数的是（） A ．3y x x =+ B ．sin tan y x x =+ C ．1y x=D ．21x xy x -=- 【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和单调性逐一判断. 【详解】解：A. ()()()()33f x x x x x f x -=-+-==---，奇函数，又3y x =单调递增，y x=也单调递增，则3y x x =+单调递增，符合； B. ()sin tan f x x x =+，有0π>得()()0f f π=，则sin tan y x x =+不是单调函数，不符合； C. 1y x=，反比例函数不是单调函数，不符合； D. 21x xy x -=-，定义域为{}|0x x ≠，不是奇函数，不符合.故选：A. 【点睛】本题考查简单函数的单调性和奇偶性的判断，是基础题.6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a ，32a ，4a 成等差数列，则33S a =（） A ．139B ．3或139C ．3D ．79【答案】B【解析】由等比数列通项公式可得2311143a q a q a q =+，可得1q =或3q =，将1q =和3q =分别代入33S a 求解即可. 【详解】解：由已知2311143a q a q a q =+，整理得2430q q -+=，1q ∴=或3q =，当1q =时，313133S a aa ==；当3q =时，()21323191139139a q q S a a q ++++===，所以333S a =或139. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及其应用，是基础题.7．已知10个数的平均数为8，方差为6，现加入一个新数据8，这时这11个数的平均数记为()E X ，方差记为()D X ，则（） A ．()8E X <，()6D X > B ．()8E X <，()6D X < C ．()8E X =，()6D X > D ．()8E X =，()6D X <【答案】D【解析】利用条件分别求出()E X ，()D X 即可. 【详解】解：由已知1088()811E x ⨯+==，2610(88)10()661111D x ⨯+-==⨯<. 故选：D. 【点睛】本题考查平均数及方差的运算，熟练掌握公式是关键，是基础题.8．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】解：当1,0i S ==时，有110lg lg 1,3123S i =+=>-=+，当13,lg 5i S ==时，有131lg lg lg 1,5355S i =+=>-=，当15,lg 5i S ==时，有151lg lg lg 1,7577S i =+=>-=，当17,lg 7i S ==时，有171lg lg lg 1,9799S i =+=>-=，当19,lg 9i S ==时，有191lg lglg 191111S =+=<-，循环结束，输出的结果为9i =. 故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.9．将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（） A ．12t =，s 的最小值为6πB ．32t =，s的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．3t =，s的最小值为3π【答案】A 【解析】【详解】由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=，可得，因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.10．如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最边界上运动，并且总是保持PE AC有可有是图中的()A．B．C．D．【答案】A【解析】如图：连BD交AC与o,F、G分别是SC、CD中点；易证SBD //,EFG AC SBD ⊥平面平面平面AC EFG ∴⊥平面；所以P 在FG 上．故选A11．已知过原点的直线与函数sin (0)y x x =≥的图像有且只有三个交点，α是交点中横坐标的最大值，则()21sin 2ααα+的值为（） A ．10 B ．8 C ．4 D ．2【答案】D【解析】作出sin (0)y x x =≥的图像，根据图像可得切点(,sin )A αα-，利用导数的几何意义可得切线方程为cos ()sin y x ααα=---，代入点(0,0)得0cos sin ααα=-，整理后代入()21sin 2ααα+计算，则答案可得.【详解】解：sin (0)y x x =≥的图像如图所示：由已知得当过原点的直线与函数sin (0)y x x =≥的图像相切与点A 时，有且只有三个交点，则切点(,sin )A αα-，设sin y x =-，则cos y x '=-，过点(,sin )A αα-的切线方程为：cos ()sin y x ααα=---，代入点(0,0)得0cos sin ααα=-，整理得sin cos ααα=，()2222sin 12sin cos 1sin 2cos 12cos 2sin cos cos ααααααααααα⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==⋅=. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦曲线的应用，考查导数的几何意义求切线方程，考查计算能力与分析能力，是中档题.12．已知平面向量,,a b c r r r，2a b ==r r ，1c =r ，()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则a b -r r 的最大值是（） A．1 B1C1D．1+【答案】C【解析】由数量积运算展开，两边再平方，得出a b ⋅rr 的范围，从而得出结论. 【详解】解：()()0a c b c -⋅-=r r r rQ ，20a b a c b c c ∴⋅-⋅-⋅+=r r r r r r r ，即1()a b a b c ⋅+=+⋅r r r r r ， |1||()|||a b a b c a b ∴⋅+=+⋅≤+r r r r r r r ，两边平方得：222()21282a b a b a b a b a b ⋅+⋅+≤++⋅=+⋅r r r r rr r r r r ，a b ≤⋅≤rr222||282a b a b a b a b -=+-⋅=-⋅r r r r r r r r Q ，2||8a b ∴-≤+r r||1a b ∴-≤rr .故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题.二、填空题13．若实数,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则23x y -的最大值为__________.【答案】6【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，23z x y =-表示直线在y 轴上截距的13-，只需求出直线在y 轴上的截距最小值即可. 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线23z x y =-过点A 时，在y 轴上截距最小，又()3,0A ，此时max 236z =⨯=. 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题. 14．()52x y -的展开式中23x y 的系数为________．【答案】－40【解析】二项式展开式的通项公式为：()()552rrrC x y --,令3r =可得：23x y 的系数为：()33252140C ⨯⨯-=-. 故答案为-40. 点睛：在T r ＋1＝rn rr n C ab - 中，r n C 是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指rn C ，而后者是字母外的部分，前者只与n 和r有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．15．六位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为0.第二位同学首次报出的数为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和：②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次. 当第50个数被报出时，六位同学拍手的总次数为__________. 【答案】13【解析】这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列，首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了. 【详解】解：这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、L ，分别除以3得余数分别是0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、L ，由此可见余数的变化规律是按0、1、1、2、0、2、2、1循环，循环周期是8.在这一个周期内第一个数和第五个数都是3的倍数，当第50个数被报出时,其中包含6个周期再多2个数，所以在6个周期内共有12个报出的数是三的倍数，后面2个报出的数中余数是0、1 ，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有13个，也就是说拍手的总次数为13次. 故答案为：13. 【点睛】本题考查的知识点是带余除法，由已知我们不难得到数列为斐波那契数列，然后分析数列各项除3的余数，易得余数成周期变化.16．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为1(,0)F c ，过点1,F F 的直线与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，则ab 的最大值为__________. 【答案】32【解析】先求出过点1,F F 的直线方程，再根据导数的几何意义和抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，求出c 的值，再根据基本不等式即可求出. 【详解】解：抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点为1(,0)F c ，∴过点1,F F 的直线为11y x c =+-，即11y x c=-+，∵抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，∴抛物线在点M 214y x =Q ， 12y x '∴=，设点M 的坐标为()00,x y ，012x ∴=，解得0x =， 2001143y x ∴==，13M ⎫∴⎪⎪⎝⎭，1113c ∴=-+，解得c =2223a b c ∴+==， 2232a b ab ∴=+≥，即32ab ≤，当且仅当a b ==时取等号，故答案为：32. 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，以及导数的几何意义和基本不等式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，己知sin cos c A C =.（1）求内角C ；（2）若边2c =，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3C π=；（2）3【解析】（1）由正弦定理得sin sin cos C A A C =，结合范围0C π<<，即可得解C 的值；（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinBcosA ＝2sinAcosA ，分类讨论分别求得a ，b 的值，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin cos C A A C =，又sin 0A ≠，sin C C ∴=，即tan C =0C π<<3C π∴=；（2）∵sin sin()2sin 2C B A A +-=，可得：sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，sin cos 2sin cos B A A A ∴=，∴当cos 0A =时，即2A π=时，,6B a b π===，当cos 0A ≠时，可得sin 2sin B A =，由正弦定理可得：2b a =，联立方程组2242a b ab b a⎧+-=⎨=⎩，解得：33a b ==∴ABC ∆的面积11sin sin 223333S ab C π==⨯⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2310【解析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥；（2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值. 【详解】证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ， AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0），(0,1,1)BE =u u u r，(2,0,0)DC =u u u r ，0BE DC ∴⋅=u u u r u u u r，∴BE DC ⊥；（2）∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈u u u r u u u r，则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-，(21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=u u u r u u u r， ∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=u u u r u u u r，解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭，113(1,0,0),,,222ABAF ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =r，则0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得(0,3,1)n =-r ，平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =u r，设二面角F AB P --的平面角为θ，则||310cos 10||||10m n m n θ⋅===⋅u r r u r r ，∴二面角F AB P --的余弦值为310. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19．人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为025db -（分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀，某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望：（Ⅱ）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4.测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1234,,,a a a a （其中1234,,,a a a a 为1，2，3，4的一个排列），记12341234Y a a a a =-+-+-+-，可用Y 描述两次排序的偏离程度，求2Y ≤的概率.【答案】（Ⅰ）分布列见解析，1.6；（Ⅱ）16. 【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可得到听力等级分别为(]0,5和(]5,10的人数，根据超几何分布的概率公式可分别求得X 所有可能的取值对应的概率，从而得到分布列；根据数学期望的计算公式可求得期望；（Ⅱ）首先确定所有排列总数，利用列举法列出Y 0=和2Y =的所有可能的情况，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】（Ⅰ）听力等级为(]0,5的有0.0165504⨯⨯=人；为(]5,10的有0.0245506⨯⨯=人则X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4()46410151021014C P X C ====；()1346410808121021C C P X C ====；()224641*********C C P X C ====，()3146410244321035C C P X C ====；()4441014210C P X C ===X ∴的分布列为：()341471********* 1.621210E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）序号1234,,,a a a a 的排列总数为4424A =种当Y 0=时，11a =，22a =，33a =，44a = 当123412342Y a a a a =-+-+-+-=时，1234,,,a a a a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =或11a =，23a =，32a =，44a =或12a =，21a =，33a =，44a =()412246P Y ∴≤== 【点睛】本题考查超几何分布的分布列与数学期望的求解、古典概型概率问题的求解，涉及到频率分布直方图的应用等知识；求解分布列问题的关键是能够结合频率分布直方图确定随机变量所有可能的取值，进而计算得到每个取值所对应的的概率，属于常考题型.20．椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的离心率等于12，它的一个长轴端点恰好是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且直线l 与直线x a =和x a =-分别交于,M N 两点，试探究以线段MN 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点，若不恒过定点，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）以线段MN 为直径的圆恒过定点，且定点为()()1,0,1,0- 【解析】（1）由离心率及抛物线的焦点是椭圆长轴的端点即,,a b c 的关系可得椭圆的标准方程；（2）设:l y kx b =+，则由22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得关于x 的二次方程，根据判别式等于0得2243b k -=，另外先求出点(2,2)M k b +，(2,2)N k b --+，则可求出以线段MN 为直径的圆的方程，整理得22224240x y by b k -+-+-=，将2243b k -=代入即可求出定点. 【详解】解：（1）由题意设椭圆C 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），因为抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，则 2a =，由2221,2c e a b c a ===+，得23b = ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）明显直线l 的斜率存在，设:l y kx b =+，则由22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223484120k x kbx b x +++-=，()()2222644344120k b k b ∴∆=-+-=，整理得2243b k -=，又由2y kx bx =+⎧⎨=⎩，得(2,2)M k b +，由2y kx b x =+⎧⎨=-⎩，得(2,2)N k b --+，所以以线段MN 为直径的圆为()()()()22220x x y k b y x b -+++---=，整理得22224240x y by b k -+-+-=，将2243b k -=代入得224230x y by -+-+=，当0y =时，1x =±，所以以线段MN 为直径的圆恒过定点，且定点为()()1,0,1,0-. 【点睛】本题考查直线与椭圆相切的问题，考查圆过定点问题，关键是要求出圆的方程，注意以点()()1122,,,x y x y 连线为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=，本题考查了学生计算能力，是一道中档题. 21．已知函数()()22xf x esinx axa e =-+-,其中2.71828...a R e ∈=，为自然对数的底数.(1)当0a =时，讨论函数()f x 的单调性; (2)当112a ≤≤时，求证:对任意的[)()0,,0x f x ∈+∞<. 【答案】(1)()f x 在(),-∞+∞上单调递减. (2)证明见及解析. 【解析】【详解】分析：(1)将0a =代入()f x ，对函数求导即可判定函数的单调性． (2)将不等式转化为关于a 的一次函数，讨论在112a ≤≤时一次函数对任意的[)0,x ∈+∞两个端点都小于0，即可证明(),0f x <．详解：(1) ()()0,xa f x esinx e ==-()()'04x x f x e sinx cosx e e x e π⎤⎛⎫=+-=+-< ⎪⎥⎝⎭⎦;∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减 (2)要证()220xesinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立即证;220sinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立令()()22g a xa sinx e =-+-,即证当1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()220g a x a sinx e =-+-<恒成立即证;()()()2211101221202g sinx x e g sinx x e ⎧⎛⎫=-+-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+-<⎩成立 ∵sin 1x e +< ∴①式成立现证明②式成立:令()()22,'2h x sinx x e h x cosx x =-+-=-设在[)00,x ∃+∞,使得()00'2,0h x cosx x --=,则006x π<<()h x 在()00,x 単调递增, 在[)0,x +∞単调递減∴()()220000cos 2sin 24x h x max h x sinx x e x e ==-+-=-+-,=200sin 7sin 44x x x e ++-∵006x π<<，∴01sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴200sin 737sin 04416x x x e e ++-<-<综上所述.在[)0,x ∈+∞, ()0f x <恒成立.点睛：函数与导数的综合应用，是高考的热点和难点，充分理解导数与单调性、极值、最值的关系，证明在一定条件下不等式成立，解不等式或求参数的取值情况，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，己知直线:x tl y at =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，点B 为线段OA 的中点.（1）求动点B 的运动轨迹2C 的参数方程；（2）若直线l 与2C 的公共点分别为,M N ，当3OMON=时，求a 的值. 【答案】（1）2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）0a =【解析】（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，将点A 代入曲线1C ，即可得动点B 的运动轨迹2C 的极坐标方程，利用公式222,cos x y x ρρθ=+=转化为普通方程，再写出参数方程即可；（2）设点()()12,,,M N ρθρθ，则123ρρ=，代入2C 的极坐标方程解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩，再通过22222cos 1cos cos sin 1tan θθθθθ==++求出tan θ，即a 可得. 【详解】解：（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，又点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，则()2282cos 120ρρθ-⨯+=，即24cos 30ρρθ-+=，由222,cos x y x ρρθ=+=得动点B 的运动轨迹2C 的普通方程为：22430x y x +-+=，即()2221x y -+=化为参数方程为2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）直线:x tl y at=⎧⎨=⎩（t 为参数）普通方程为：y ax =，则极坐标方程为tan a θ=，设点()()12,,,M N ρθρθ，因为3OMON=，则123ρρ=，将点()()12,,,M N ρθρθ代入22:4cos 30C ρρθ-+=，得2112224cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩，即222222912cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩，解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩， 22222cos 1cos 1cos sin 1tan θθθθθ∴===++，解得tan 0θ=，即0a =. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查极坐标的应用，是中档题.23．已知a b c d ,,,均为实数. （1≥ （2）若0a >，0b >，222a b +=，证明：()55114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）将不等式两边平方后作差即可；（2）利用柯西不等式()25511a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭证明即可. 【详解】证明：（1）22-()2222222222a b c d a c b d ac bd =+++++++++()22c a bd =+，又()22ac bd -+()()222222222222202abcd a c a d b c b d a c b d ad bc =-++=-+++≥，()220ac bd ∴+≥，220∴-≥，≥ （2）由柯西不等式可得()()225522114a b a b a b ⎛⎫++≥=+= ⎪⎝⎭.第 21 页共 21 页即()55114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查作差法证明不等式，考查利用柯西不等式证明不等式，考查学生计算能力，是基础题.。

2019年重庆市重庆一中高2019级高三下期4月12日4月文科数学试题考试及答案

第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在下列各题的四个选项中，只有一
个选项是符合题意的）
1.已知集合 A 1，0，1, B x x a 2, a A , 则 A B (
)
A.
B. 1
C.0,1
D.1, 0,1
2.已知 z1 1 i, z2 2i, (其中 i 为虚数单位),则 z1 z2 (
成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数和乙组数据的中位数均为 17，
则 x y 的值为（）
A. 8
B.9
C. 10
D.11
6.已知双曲线的方程为 x2 y2 1(m 1), 则双曲线离心率的取值范围为(
)
m
A. (1, 2)
B. (1, 2)
C. ( 2, )
D. (2, )
y x
7.设 x, y 满足约束条件 2x y 2 0, 则 z x y 的最大值为(
17（. 本小题满分 12 分）已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn ，等比数列 bn的前 n 项和为 Tn ，
a1 b1 3 ， a4 b2 ， S4 T2 12 .
(Ⅰ) 求 an和bn的通项公式；
（Ⅱ）求数列 an bn的前 n 项和.
18.（本小题满分 12 分）十三届全国人大二次会议于 2019 年 3 月 5 日在京召开.为了了解某
14.已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足：任意 x R, 都有 f (x) f (x) 0, 且当 x 0 时，
f
(x)
2x
1 2
x
,
则 f (1) ________.
2
15.直三棱柱 ABC A1B1C1 的底面为直角三角形，且斜边的长为 4，若直三棱柱的高为 8，

重庆市2019届高三4月调研测试(二诊)数学(文科)试题Word版含解析

重庆市2019届高三4月调研测试（二诊）数学（文科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，∴，∴．选B．2. 复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，则，故选A．3. 设等差数列的前项和为，若，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以，故选B．4. 已知两个非零向量，互相垂直，若向量与共线，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵向量与共线，∴存在实数，使得，即，又向量，互相垂直，故，不共线．∴，解得．选C．5. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，可得或，即或，所以是成立的必要不充分条件，故选B．6. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的值的取值范围是（）A. 或B.C. 或D. 或【答案】C【解析】由题意知，该程序的功能是求函数的值域．①当时，在区间上单调递增，∴，即；②当时，，当且仅当，即时等号成立．综上输出的值的取值范围是或．选C．7. 曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，∴，∴，∴曲线在点处的切线方程为．令，得；令得．∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为．选B．8. 已知定义在上的奇函数满足，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵为奇函数，∴，又，∴，∴，∴函数是周期为4的周期函数，∴，又，∴．选A．点睛：函数的奇偶性、对称性和周期性是函数的三个重要性质，这三个性质具有紧密的联系，即已知其中的两个则可推出第三个性质，考查时常将这三个性质结合在一起，并结合函数的图象、零点等问题，这类问题的难度较大、具有一定的综合性。

2019届重庆市第一中学校高三下学期第四次月考数学(理)试题(解析版)

2019届重庆市第一中学校高三下学期第四次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220M x x x =-≥，{}2,1,0,1N =--，则M N ⋂的子集个数是（）A ．1个B ．3个C ．4个D ．8个【答案】C【解析】求出集合{|02}M x x =≤≤，则可得求出M N ⋂，进而可得子集个数. 【详解】解：由已知{}2|20{|02}M x x x x x =≥=-≤≤，又{}2,1,0,1N =--，{0,1}M N ∴=I ，则M N ⋂的子集个数是224=. 故选：C. 【点睛】本题考查集合交集的运算及集合子集个数的计算，是基础题.2．在复平面内，复数()12z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】将z 整理为2i -+，可得对应的点的坐标，从而得到结果. 【详解】()21222z i i i i i =+=+=-+Q∴复数z 所对应的点为()2,1-，位于第二象限本题正确选项：B 【点睛】本题考查复数对应复平面内的点的问题，属于基础题.3．已知平面向量(3,0)a =r ，2(1,a b +=r r ，则a r 与b r的夹角等于（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【解析】设(,)b x y =r，利用向量的坐标运算可得2(32,2)a b x y +=+rr，综合条件可列方程组求出b r ，再根据坐标运算可求a r 与b r的夹角. 【详解】解：设(,)b x y =r，则2(32,2)(1,a b x y +=+=rr，32112x x y y ⎧+==-⎧⎪⎪∴∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩(b ∴=-r，31cos ,322||||a b a b a b ⋅-∴〈〉===-⨯⋅r r r rr r ，则a r 与b r 的夹角等于23π. 故选：C. 【点睛】本题考查向量坐标的线性运算及向量夹角的坐标求解，是基础题.4．已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线与直线25y x =-平行，则双曲线的离心率等于（） A ．2 BC ．5D【答案】D【解析】先根据渐近线与直线25y x =-平行可得双曲线的一条渐近线，再根据,,a b c 的关系可得离心率. 【详解】解：由已知，双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线为2y x =，2ba∴=，c e a ∴====【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是要找到,,a b c 的关系，是基础题. 5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是单调函数的是（） A ．3y x x =+ B ．sin tan y x x =+ C ．1y x=D ．21x xy x -=- 【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和单调性逐一判断. 【详解】解：A. ()()()()33f x x x x x f x -=-+-==---，奇函数，又3y x =单调递增，y x=也单调递增，则3y x x =+单调递增，符合； B. ()sin tan f x x x =+，有0π>得()()0f f π=，则sin tan y x x =+不是单调函数，不符合； C. 1y x=，反比例函数不是单调函数，不符合； D. 21x xy x -=-，定义域为{}|0x x ≠，不是奇函数，不符合.故选：A. 【点睛】本题考查简单函数的单调性和奇偶性的判断，是基础题.6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a ，32a ，4a 成等差数列，则33S a =（） A ．139B ．3或139C ．3D ．79【答案】B【解析】由等比数列通项公式可得2311143a q a q a q =+，可得1q =或3q =，将1q =和3q =分别代入33S a 求解即可. 【详解】解：由已知2311143a q a q a q =+，整理得2430q q -+=，1q ∴=或3q =，当1q =时，313133S a aa ==；当3q =时，()21323191139139a q q S a a q ++++===，所以333S a =或139. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及其应用，是基础题.7．已知10个数的平均数为8，方差为6，现加入一个新数据8，这时这11个数的平均数记为()E X ，方差记为()D X ，则（） A ．()8E X <，()6D X > B ．()8E X <，()6D X < C ．()8E X =，()6D X > D ．()8E X =，()6D X <【答案】D【解析】利用条件分别求出()E X ，()D X 即可. 【详解】解：由已知1088()811E x ⨯+==，2610(88)10()661111D x ⨯+-==⨯<. 故选：D. 【点睛】本题考查平均数及方差的运算，熟练掌握公式是关键，是基础题.8．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】解：当1,0i S ==时，有110lg lg 1,3123S i =+=>-=+，当13,lg 5i S ==时，有131lg lg lg 1,5355S i =+=>-=，当15,lg 5i S ==时，有151lg lg lg 1,7577S i =+=>-=，当17,lg 7i S ==时，有171lg lg lg 1,9799S i =+=>-=，当19,lg 9i S ==时，有191lg lglg 191111S =+=<-，循环结束，输出的结果为9i =. 故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.9．将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（） A ．12t =，s 的最小值为6πB ．32t =，s的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．3t =，s的最小值为3π【答案】A 【解析】【详解】由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=，可得，因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.10．如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最边界上运动，并且总是保持PE AC有可有是图中的()A．B．C．D．【答案】A【解析】如图：连BD交AC与o,F、G分别是SC、CD中点；易证SBD //,EFG AC SBD ⊥平面平面平面AC EFG ∴⊥平面；所以P 在FG 上．故选A11．已知过原点的直线与函数sin (0)y x x =≥的图像有且只有三个交点，α是交点中横坐标的最大值，则()21sin 2ααα+的值为（） A ．10 B ．8 C ．4 D ．2【答案】D【解析】作出sin (0)y x x =≥的图像，根据图像可得切点(,sin )A αα-，利用导数的几何意义可得切线方程为cos ()sin y x ααα=---，代入点(0,0)得0cos sin ααα=-，整理后代入()21sin 2ααα+计算，则答案可得.【详解】解：sin (0)y x x =≥的图像如图所示：由已知得当过原点的直线与函数sin (0)y x x =≥的图像相切与点A 时，有且只有三个交点，则切点(,sin )A αα-，设sin y x =-，则cos y x '=-，过点(,sin )A αα-的切线方程为：cos ()sin y x ααα=---，代入点(0,0)得0cos sin ααα=-，整理得sin cos ααα=，()2222sin 12sin cos 1sin 2cos 12cos 2sin cos cos ααααααααααα⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==⋅=. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦曲线的应用，考查导数的几何意义求切线方程，考查计算能力与分析能力，是中档题.12．已知平面向量,,a b c r r r，2a b ==r r ，1c =r ，()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则a b -r r 的最大值是（） A．1 B1C1D．1+【答案】C【解析】由数量积运算展开，两边再平方，得出a b ⋅rr 的范围，从而得出结论. 【详解】解：()()0a c b c -⋅-=r r r rQ ，20a b a c b c c ∴⋅-⋅-⋅+=r r r r r r r ，即1()a b a b c ⋅+=+⋅r r r r r ， |1||()|||a b a b c a b ∴⋅+=+⋅≤+r r r r r r r ，两边平方得：222()21282a b a b a b a b a b ⋅+⋅+≤++⋅=+⋅r r r r rr r r r r ，a b ≤⋅≤rr222||282a b a b a b a b -=+-⋅=-⋅r r r r r r r r Q ，2||8a b ∴-≤+r r||1a b ∴-≤rr .故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题.二、填空题13．若实数,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则23x y -的最大值为__________.【答案】6【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，23z x y =-表示直线在y 轴上截距的13-，只需求出直线在y 轴上的截距最小值即可. 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线23z x y =-过点A 时，在y 轴上截距最小，又()3,0A ，此时max 236z =⨯=. 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题. 14．()52x y -的展开式中23x y 的系数为________．【答案】－40【解析】二项式展开式的通项公式为：()()552rrrC x y --,令3r =可得：23x y 的系数为：()33252140C ⨯⨯-=-. 故答案为-40. 点睛：在T r ＋1＝rn rr n C ab - 中，r n C 是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指rn C ，而后者是字母外的部分，前者只与n 和r有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．15．六位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为0.第二位同学首次报出的数为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和：②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次. 当第50个数被报出时，六位同学拍手的总次数为__________. 【答案】13【解析】这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列，首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了. 【详解】解：这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、L ，分别除以3得余数分别是0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、L ，由此可见余数的变化规律是按0、1、1、2、0、2、2、1循环，循环周期是8.在这一个周期内第一个数和第五个数都是3的倍数，当第50个数被报出时,其中包含6个周期再多2个数，所以在6个周期内共有12个报出的数是三的倍数，后面2个报出的数中余数是0、1 ，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有13个，也就是说拍手的总次数为13次. 故答案为：13. 【点睛】本题考查的知识点是带余除法，由已知我们不难得到数列为斐波那契数列，然后分析数列各项除3的余数，易得余数成周期变化.16．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为1(,0)F c ，过点1,F F 的直线与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，则ab 的最大值为__________. 【答案】32【解析】先求出过点1,F F 的直线方程，再根据导数的几何意义和抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，求出c 的值，再根据基本不等式即可求出. 【详解】解：抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点为1(,0)F c ，∴过点1,F F 的直线为11y x c =+-，即11y x c=-+，∵抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，∴抛物线在点M 214y x =Q ， 12y x '∴=，设点M 的坐标为()00,x y ，012x ∴=，解得0x =， 2001143y x ∴==，13M ⎫∴⎪⎪⎝⎭，1113c ∴=-+，解得c =2223a b c ∴+==， 2232a b ab ∴=+≥，即32ab ≤，当且仅当a b ==时取等号，故答案为：32. 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，以及导数的几何意义和基本不等式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，己知sin cos c A C =.（1）求内角C ；（2）若边2c =，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3C π=；（2）3【解析】（1）由正弦定理得sin sin cos C A A C =，结合范围0C π<<，即可得解C 的值；（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinBcosA ＝2sinAcosA ，分类讨论分别求得a ，b 的值，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin cos C A A C =，又sin 0A ≠，sin C C ∴=，即tan C =0C π<<3C π∴=；（2）∵sin sin()2sin 2C B A A +-=，可得：sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，sin cos 2sin cos B A A A ∴=，∴当cos 0A =时，即2A π=时，,6B a b π===，当cos 0A ≠时，可得sin 2sin B A =，由正弦定理可得：2b a =，联立方程组2242a b ab b a⎧+-=⎨=⎩，解得：33a b ==∴ABC ∆的面积11sin sin 223333S ab C π==⨯⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2310【解析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥；（2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值. 【详解】证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ， AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0），(0,1,1)BE =u u u r，(2,0,0)DC =u u u r ，0BE DC ∴⋅=u u u r u u u r，∴BE DC ⊥；（2）∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈u u u r u u u r，则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-，(21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=u u u r u u u r， ∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=u u u r u u u r，解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭，113(1,0,0),,,222ABAF ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =r，则0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得(0,3,1)n =-r ，平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =u r，设二面角F AB P --的平面角为θ，则||310cos 10||||10m n m n θ⋅===⋅u r r u r r ，∴二面角F AB P --的余弦值为310. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19．人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为025db -（分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀，某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望：（Ⅱ）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4.测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1234,,,a a a a （其中1234,,,a a a a 为1，2，3，4的一个排列），记12341234Y a a a a =-+-+-+-，可用Y 描述两次排序的偏离程度，求2Y ≤的概率.【答案】（Ⅰ）分布列见解析，1.6；（Ⅱ）16. 【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可得到听力等级分别为(]0,5和(]5,10的人数，根据超几何分布的概率公式可分别求得X 所有可能的取值对应的概率，从而得到分布列；根据数学期望的计算公式可求得期望；（Ⅱ）首先确定所有排列总数，利用列举法列出Y 0=和2Y =的所有可能的情况，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】（Ⅰ）听力等级为(]0,5的有0.0165504⨯⨯=人；为(]5,10的有0.0245506⨯⨯=人则X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4()46410151021014C P X C ====；()1346410808121021C C P X C ====；()224641*********C C P X C ====，()3146410244321035C C P X C ====；()4441014210C P X C ===X ∴的分布列为：()341471********* 1.621210E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）序号1234,,,a a a a 的排列总数为4424A =种当Y 0=时，11a =，22a =，33a =，44a = 当123412342Y a a a a =-+-+-+-=时，1234,,,a a a a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =或11a =，23a =，32a =，44a =或12a =，21a =，33a =，44a =()412246P Y ∴≤== 【点睛】本题考查超几何分布的分布列与数学期望的求解、古典概型概率问题的求解，涉及到频率分布直方图的应用等知识；求解分布列问题的关键是能够结合频率分布直方图确定随机变量所有可能的取值，进而计算得到每个取值所对应的的概率，属于常考题型.20．椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的离心率等于12，它的一个长轴端点恰好是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且直线l 与直线x a =和x a =-分别交于,M N 两点，试探究以线段MN 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点，若不恒过定点，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）以线段MN 为直径的圆恒过定点，且定点为()()1,0,1,0- 【解析】（1）由离心率及抛物线的焦点是椭圆长轴的端点即,,a b c 的关系可得椭圆的标准方程；（2）设:l y kx b =+，则由22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得关于x 的二次方程，根据判别式等于0得2243b k -=，另外先求出点(2,2)M k b +，(2,2)N k b --+，则可求出以线段MN 为直径的圆的方程，整理得22224240x y by b k -+-+-=，将2243b k -=代入即可求出定点. 【详解】解：（1）由题意设椭圆C 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），因为抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，则 2a =，由2221,2c e a b c a ===+，得23b = ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）明显直线l 的斜率存在，设:l y kx b =+，则由22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223484120k x kbx b x +++-=，()()2222644344120k b k b ∴∆=-+-=，整理得2243b k -=，又由2y kx bx =+⎧⎨=⎩，得(2,2)M k b +，由2y kx b x =+⎧⎨=-⎩，得(2,2)N k b --+，所以以线段MN 为直径的圆为()()()()22220x x y k b y x b -+++---=，整理得22224240x y by b k -+-+-=，将2243b k -=代入得224230x y by -+-+=，当0y =时，1x =±，所以以线段MN 为直径的圆恒过定点，且定点为()()1,0,1,0-. 【点睛】本题考查直线与椭圆相切的问题，考查圆过定点问题，关键是要求出圆的方程，注意以点()()1122,,,x y x y 连线为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=，本题考查了学生计算能力，是一道中档题. 21．已知函数()()22xf x esinx axa e =-+-,其中2.71828...a R e ∈=，为自然对数的底数.(1)当0a =时，讨论函数()f x 的单调性; (2)当112a ≤≤时，求证:对任意的[)()0,,0x f x ∈+∞<. 【答案】(1)()f x 在(),-∞+∞上单调递减. (2)证明见及解析. 【解析】【详解】分析：(1)将0a =代入()f x ，对函数求导即可判定函数的单调性． (2)将不等式转化为关于a 的一次函数，讨论在112a ≤≤时一次函数对任意的[)0,x ∈+∞两个端点都小于0，即可证明(),0f x <．详解：(1) ()()0,xa f x esinx e ==-()()'04x x f x e sinx cosx e e x e π⎤⎛⎫=+-=+-< ⎪⎥⎝⎭⎦;∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减 (2)要证()220xesinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立即证;220sinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立令()()22g a xa sinx e =-+-,即证当1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()220g a x a sinx e =-+-<恒成立即证;()()()2211101221202g sinx x e g sinx x e ⎧⎛⎫=-+-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+-<⎩成立 ∵sin 1x e +< ∴①式成立现证明②式成立:令()()22,'2h x sinx x e h x cosx x =-+-=-设在[)00,x ∃+∞,使得()00'2,0h x cosx x --=,则006x π<<()h x 在()00,x 単调递增, 在[)0,x +∞単调递減∴()()220000cos 2sin 24x h x max h x sinx x e x e ==-+-=-+-,=200sin 7sin 44x x x e ++-∵006x π<<，∴01sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴200sin 737sin 04416x x x e e ++-<-<综上所述.在[)0,x ∈+∞, ()0f x <恒成立.点睛：函数与导数的综合应用，是高考的热点和难点，充分理解导数与单调性、极值、最值的关系，证明在一定条件下不等式成立，解不等式或求参数的取值情况，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，己知直线:x tl y at =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，点B 为线段OA 的中点.（1）求动点B 的运动轨迹2C 的参数方程；（2）若直线l 与2C 的公共点分别为,M N ，当3OMON=时，求a 的值. 【答案】（1）2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）0a =【解析】（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，将点A 代入曲线1C ，即可得动点B 的运动轨迹2C 的极坐标方程，利用公式222,cos x y x ρρθ=+=转化为普通方程，再写出参数方程即可；（2）设点()()12,,,M N ρθρθ，则123ρρ=，代入2C 的极坐标方程解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩，再通过22222cos 1cos cos sin 1tan θθθθθ==++求出tan θ，即a 可得. 【详解】解：（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，又点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，则()2282cos 120ρρθ-⨯+=，即24cos 30ρρθ-+=，由222,cos x y x ρρθ=+=得动点B 的运动轨迹2C 的普通方程为：22430x y x +-+=，即()2221x y -+=化为参数方程为2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）直线:x tl y at=⎧⎨=⎩（t 为参数）普通方程为：y ax =，则极坐标方程为tan a θ=，设点()()12,,,M N ρθρθ，因为3OMON=，则123ρρ=，将点()()12,,,M N ρθρθ代入22:4cos 30C ρρθ-+=，得2112224cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩，即222222912cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩，解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩， 22222cos 1cos 1cos sin 1tan θθθθθ∴===++，解得tan 0θ=，即0a =. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查极坐标的应用，是中档题.23．已知a b c d ,,,均为实数. （1≥ （2）若0a >，0b >，222a b +=，证明：()55114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）将不等式两边平方后作差即可；（2）利用柯西不等式()25511a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭证明即可. 【详解】证明：（1）22-()2222222222a b c d a c b d ac bd =+++++++++()22c a bd =+，又()22ac bd -+()()222222222222202abcd a c a d b c b d a c b d ad bc =-++=-+++≥，()220ac bd ∴+≥，220∴-≥，≥ （2）由柯西不等式可得()()225522114a b a b a b ⎛⎫++≥=+= ⎪⎝⎭.第 21 页共 21 页即()55114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查作差法证明不等式，考查利用柯西不等式证明不等式，考查学生计算能力，是基础题.。

重庆市第一中学2019届高三第三次模拟考试数学(文)试题

重庆市第一中学2019届高三第三次模拟考试数学试卷（文科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解出集合A和集合B，取交集即可.【详解】由A中不等式得：x﹣1>0，解得：x>1，即A＝（1，+∞）；由B中y＝ln（x2﹣1），得到x2﹣1＞0，即x＜﹣1或x＞1∴B＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）则A∩B＝（1，+∞）．故选：D．【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.若且，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质逐个检验即可得到答案.【详解】A,a＞b且c∈R，当c小于等于0时不等式不成立，故错误；B,a，b，c∈R，且a＞b，可得a﹣b＞0，当c=0时不等式不成立，故错误；,C,举反例，a=2,b=-1满足a>b,但不满足，故错误；D,将不等式化简即可得到a>b,成立，故选：D.【点睛】本题主要考查不等式的性质以及排除法的应用，属于简单题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略. 常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．3.已知数列1，，，，…，，…，则是它的（）A. 第62项B. 第63项C. 第64项D. 第68项【答案】B【解析】【分析】分析可得该数列的通项公式为，解方程＝即可得答案【详解】数列1，，，，…，，…，则该数列的通项公式为a n＝，若＝，即2n﹣1＝125，解可得n＝63，则是这个数列的第63项；故选：B．【点睛】本题考查数列的概念及数列通项的概念，属基础题.4.鞋柜里有4双不同的鞋，从中随机取出一只左脚的，一只右脚的，恰好成双的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出基本事件总数n，恰好成双包含的基本事件个数m，由概率公式即可得到答案．【详解】鞋柜里有4双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，基本事件总数n＝＝16，恰好成双包含的基本事件个数m＝＝4，∴恰好成双的概率为p＝．故选：A．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故，即，故渐近线方程为.【考点定位】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.6.已知实数满足约束条件，则的最大值为（）A. 4B. 3C.D.【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．故选：B．【点睛】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题、函数的最值及其几何意义，线性规划中的最值问题主要涉及三个类型：1.分式形式：与斜率有关的最值问题：表示定点P与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率.2. 一次形式z=ax+by:与直线的截距有关的最值问题, 特别注意斜率范围及截距符号.7.下列说法中错误的是（）A. 先把高二年级的2000名学生编号为1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为，，的学生，这样的抽样方法是系统抽样法；B. 独立性检验中，越大，则越有把握说两个变量有关；C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1；D. 若一组数据1、a、3的平均数是2，则该组数据的方差是.【答案】C【解析】【分析】对选项逐个进行分析，排除即可得到答案.【详解】对于A，根据个体数目较多，且没有明显的差异，抽取样本间隔相等，知这种抽样方法是系统抽样法，∴A正确；对应B,独立性检验中，越大，应该是说明两个变量有关系的可能性大，即有足够的把握说明两个变量有关，B正确；对于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数|r|的值越接近于1，C错误；对于D，一组数据1、a、3的平均数是2，∴a＝2；∴该组数据的方差是s2＝×[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2]＝，D正确．故选：C.【点睛】本题利用命题真假的判断考查了概率与统计的应用问题，是基础题．8.已知不共线的两个向量A. B. 2 C. D. 4【答案】B【解析】向量，两边平方得到化简得到联立两式得到。