广西贵港市2017届中考数学总复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第16讲 等腰三角形与直角三角形试题
中考数学复习第四章图形的初步认识与三角形第17讲等腰三角形与直角三角形
12
【思路点拨】 本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形 的内角和即可得到结论．
第一部分 教材同步复习
13
1.(2017海南)已知△ABC的三边长分别为4,4,6，在△ABC所在平面
内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样
的直线最多可画__________条． A．3
第一部分 教材同步复习
6
(2)在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则 AB 边上的中线长为
A．1
B．2
(A )
C．1.5
D． 3
(3)已知直角三角形中 30°角所对的直角边为 2 cm，则斜边的长为
(B )
A．2 cm
B．4 cm
C．6 cm
D．8 cm
第一部分 教材同步复习
周长：c＝a＋b＋c；
周长、 面积
面积：SRt△ABC＝12ab＝12ch(其中
a，b
为两个直角边，c
为斜边，h
为斜边上
的高)
第一部分 教材同步复习
知识点四 等腰直角三角形的判定与性质
【回顾】
(1)等腰直角三角形的直角边为 2，则斜边的长为
A． 2
B．2 2
C．1
D．2
1 (2)等腰直角三角形的斜边长 2，则它的面积为___2_______.
第一部分 教材同步复习
8
(1)有一个角为⑤___9_0_°_____的三角形是直角三角形；
判 (2)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么 定 这个三角形是直角三角形；
(3)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；
中考数学复习方案 第四单元 图形的初步认识与三角形 第16课时 三角形的基本知识及全等三角形课件
C
B.60°
C.75°
图16-6
第二十一页，共三十五页。
D.85°
)
例1(3)[2019·江西10题]如图16-7,在△ABC中,点D是
[答案] 20
BC上的点,∠BAD=∠ABC=40°,将△ABD沿着(yán
[解析]∵∠BAD=∠ABC=40°,
zhe)AD翻折得到△AED,则∠CDE=
[解析(jiě xī)]如图,延长AD至点E,使DE=AD,
是
连接EC.由题易知BD=CD.又
.
∠ADB=∠EDC,
∴△ABD≌△ECD,∴CE=AB,
∴CE=5.∵AD=m,则AE=2m,
3<2m<5+3,
∴1<m<4.
第二十九页，共三十五页。
∴5-
考向三 全等三角形的性质、判定(pàndìng)及有关计算
≌△OBP(SAS).∴AP=BP. ∵PE⊥OM,PF⊥ON,
∴∠OEP= ∠OFP =90°. 又∵∠EOP=∠FOP,
OP=OP, ∴△OEP≌△OFP(AAS), ∴PE=PF,
∴Rt△AEP≌Rt△BFP(HL). ∴图中共有3对全
等三角形.
图16-13
第三十一页，共三十五页。
2.[2019·邵阳]如图16-14,已知AD=AE,请你添加一个
第四页，共三十五页。
2.三角形的内角(nèi jiǎo)和:三角形三个内角的和等于③
180° .
3.三角形外角的性质:
(1)三角形的一个外角④
任何一个和它不相邻的内角(nèi jiǎo);
大于
(2)三角形的一个外角⑤
与它不相邻的两个内角之和.
2017年中考数学总复习第四章图形的初步认识与三角形四边形第二节三角形的基本概念及全等三角形精讲课件
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广西贵港市中考数学总复习_第四单元_图形的初步认识与三角形_第讲_线段、角、相交线与平行线试题
第四单元图形的初步认识与三角形第14讲线段、角、相交线与平行线1．(2016·福州)如图，直线a，b被直线c所截，∠1和∠2的位置关系是( B )A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角2．(2016·桂林模拟)如图，与∠1是同位角的是( C )A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠53．(2015·福州)下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥C D的是( B )4．(2016·宜昌)如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( D )A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．经过两点，有且仅有一条直线D．两点之间，线段最短5．(2016·玉林模拟)C，D是线段AB上的两点，点D是线段AC的中点，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则AD 的长等于( B )A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm6．(2016·大连)如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB.AE与CD相交于点E，∠ACD＝40°，则∠BAE的度数是( B )A．40° B．70° C．80° D．140°7．下列命题中是真命题的是( C )A．若AP＝BP，则P是线段AB的中点B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．平行于同一条直线的两条直线平行D．连接两点之间的线段叫做两点之间的距离8．(2016·鄂州)如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为点E，∠1＝50°，则∠2的度数为( B ) A．50° B．40° C．45° D．25°9．(2016·宁波)能说明“对于任何实数a，||a>－a”是假命题的一个反例可以是( A )A．a＝－2 B．a＝13C．a＝1 D．a＝ 210．(2015·聊城)直线a，b，c，d的位置如图所示，如果∠1＝58°，∠2＝58°，∠3＝70°，那么∠4等于( C )A．58° B．70° C．110° D．116°11．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，已知AC＝5 cm，△ADC的周长为17 cm，则BC的长为( C )A．7 cm B．10 cm C．12 cm D．22 cm12．(2016·茂名)已知∠A＝100°，那么∠A补角为80°．13．(2016·扬州)如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝2∠2，则∠1＝80°．14．(2015·来宾)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC ＝4，DE＝2，则△BCD的面积是4．15．(2016·江西)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE.求证：DE∥BC.证明：∵将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE，∴∠AED＝∠CED＝90°.∴∠AED＝∠ACB＝90°.∴DE∥BC.16．(2016·深圳)如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是( D )A．∠2＝60° B．∠3＝60° C．∠4＝120° D．∠5＝40°17．(2016·岑溪模拟)如图所示，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB＝35°，在OB上有一点E，从点E射出一支光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是( D ) A．35° B．120° C．110° D．70°18．(2016·枣庄)如图，△ABC的面积为6，AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD 上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是( A )A．3 B．4 C．5.5 D．1019．(2016·宜宾)如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠P＝75°．20．(2016·衡阳)如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为10．21．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝71°，则∠4的度数是( C )A．19° B．71° C．109° D．119°。
广西贵港市2017届中考数学总复习 图形的初步认识与三角形单元测试四图形的初步认识与三角形试题
贵港单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共24分)1．若∠A＝34°，则∠A的补角为( B )A．56° B．146° C．156° D．166°2．如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1＝70°，则∠2的大小是( D )A．20° B．30° C．50° D．70°3．如果一个三角形的两边长分别为2和4，那么第三边长可能是( B )A．2 B．4 C．6 D．84．下列命题中，是假命题的是( B )A．对顶角相等B．同旁内角互补C．两点确定一条直线D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于( D )A．5 B．6 C．7 D．86．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝( C )A. 3 B．2 C．3 D.3＋27．(2016·随州)如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是( B )A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶258．(2016·长沙)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( A )A．160 3 m B．120 3 m C．300 m D．160 2 m二、填空题(每小题4分，共16分)9．如图，△ABC ≌△DEF ，请根据图中提供的信息，写出x ＝20．10．如图，等腰△ABC 的底角为72°，腰AB 的垂直平分线交另一腰AC 于点E ，垂足为D ，连接BE ，则∠EBC 的度数为36°．11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC＝12∠BAC，则tan ∠BPC ＝43．12．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC＝90°，AB ＝AD ＝32，CD ＝22，点P是四边形ABCD 四条边上的一个动点．若P 到BD 的距离为52，则满足条件的点P 有2个．三、解答题(共60分)13．(10分)如图，点C ，E ，F ，B 在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，AB ∥CD ，AE ＝DF ，∠A ＝∠D.(1)求证：AB ＝CD ；(2)若AB ＝CF ，∠B ＝30°，求∠D 的度数．解：(1)证明：∵AB∥CD ，∴∠B ＝∠C. 又∵∠A ＝∠D ，AE ＝DF ，∴△ABE ≌△DCF. ∴AB ＝CD.(2)∵AB ＝CF ，AB ＝CD ， ∴CD ＝CF.∴∠D ＝∠CFD.∵∠B ＝∠C ＝30°，∴∠D ＝75°.14．(12分)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°， D 为AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，AC ＝12，BC ＝5. (1)求cos ∠ADE 的值；(2)当DE ＝DC 时，求AD 的长．解：(1)∵DE⊥AB ， ∴∠DEA ＝90°.∴∠A ＋∠ADE ＝90°. ∵∠ACB ＝90°， ∴∠A ＋∠B ＝90°. ∴∠ADE ＝∠B.在Rt △ABC 中，∵AC ＝12，BC ＝5， ∴AB ＝13.∴cosB ＝BC AB ＝513.∴cos ∠ADE ＝cosB ＝513.(2)由(1)得cos ∠ADE ＝DE AD ＝513，设AD 为x ，则DE ＝DC ＝513x.∵AC ＝AD ＋DC ＝12，∴x ＋513x ＝12.解得x ＝263.∴AD ＝263.15．(12分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，将△ACD 沿AD 折叠，使得点C 落在斜边AB 上的点E 处．(1)求证：△BDE∽△BAC；(2)已知AC ＝6，BC ＝8，求线段AD 的长度．解：(1)证明：∵∠C ＝90°，△ACD 沿AD 折叠，∴∠C＝∠AED＝90°.∴∠DEB＝∠C＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC.(2)由勾股定理，得AB＝10.由折叠的性质，得AE＝AC＝6，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°.∴BE＝AB－AE＝10－6＝4.在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2＋BE2＝BD2，即CD2＋42＝(8－CD)2.解得CD＝3.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2＋CD2＝AD2，即32＋62＝AD2.解得AD＝3 5.16．(12分)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我国两艘海监船刚好在我国某岛东西海岸线上的A，B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB＝60(6＋2)海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120(6－2)海里．(1)分别求出A与C及B与C的距离AC，BC；(结果保留根号)；(2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，海监船从A处出发沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解：(1)作CE⊥AB于点E，设AE＝x，则在△ACE中，CE＝3x，AC＝2x.在△BCE中，BE＝CE＝3x，BC＝6x.∵AB＝AE＋BE，∴x＋3x＝60(6＋2)，解得x＝60 2.∴AC＝1202海里，BC＝1203海里．(2)作DF⊥AC于点F.在△AFD中，DF＝32 DA，∴DF＝32×120×(6－2)＝60(32－6)≈106.8>100.∴无触礁危险．17．(14分)已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；(2)当△PQB是等腰三角形时，求AP的长．解：(1)证明：在△AQP 与△ABC 中， ∵∠AQP ＝∠ABC ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴△AQP ∽△ABC.(2)在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，则AC ＝5. ∵∠BPQ 或∠PBQ 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝PQ 或BP ＝BQ. ①当点P 在线段AB 上时，由(1)可知，△AQP ∽△ABC ，PB ＝PQ. ∴AP AC ＝QP BC ，即3－PB 5＝PB 4.解得PB ＝43. ∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53；②当点P 在线段AB 的延长线上时， ∵BP ＝BQ ， ∴∠BQP ＝∠P.∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°， ∴∠AQB ＝∠A. ∴BQ ＝AB.∴AB ＝BP ，点B 为线段AP 的中点． ∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.。
中考数学总复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第16讲 等腰三角形与直角三角形试题(2021学
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第1６讲等腰三角形与直角三角形１．(2014·滨州)下列四组线段中,可以构成直角三角形的是（ B )Ａ．４、5、6 Ｂ．1.5、2、2。
5Ｃ．2、3、４ D.1、2、３２.(2015·苏州)如图，在△ABC中，AB=AC,点D为BＣ中点,∠ＢAD=３5°，则∠C的度数为( C )Ａ.35° B.45° C.55° D.60°3.如图,在Rt△ABＣ中，∠ACB=90°，点Ｄ，E,F分别是AB，BＣ,CA的中点，若CD=5 cm,则ＥF为( A )A．５cｍB．１0 cm Ｃ．15 cm Ｄ．20 cｍ4．（2０16·荆门)如图,在△AＢC中,ＡＢ=AC,AD是∠BＡC的平分线，已知AB＝5，AＤ=3,则BＣ的长为( C )Ａ.5 Ｂ．６ C.８Ｄ．1０5．(2０１6·南宁模拟)如图,ＡB∥CD，点E在BC上,且CD=CＥ,∠Ｄ=72°，则∠B的度数为( A ）A.３6°B.68°C.22°D．１6°6.(2０1６·滨州)如图，在△ABC中,点Ｄ为AB上一点,点E为ＢC上一点，且AC＝ＣD=BD＝BE，∠A＝50°,则∠CＤE的度数为( D )Ａ.50° B.５１°Ｃ.51。
(广西专用)中考数学复习第四章图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形(试卷部分)课件
∵∠AOM=∠OMB=∠OCB=90°, ∴四边形OCBM是矩形. ∴OM=BC. ∵∠POA=∠ABP=90°,∠ADB=∠PDO, ∴∠BPM=∠A. 又∵∠ACB=∠PMB=90°, ∴△ACB∽△PMB.
∴ AB= CB.
PB MB
∵OM=BC,∴ AB= OM.
(3)①当P在线段PBOMM外B时,如图.设OA与BP相交于点C.
考点二 直角三角形
1.(2018柳州,6,3分)如图,图中直角三角形共有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 C 题图中共有3个直角三角形,故选C.
2.(2018贺州,10,3分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED= 3,则BC的长为 ( )
C.5,9,12
D.3,4,6
答案 A A.∵302+402=502,∴该组线段能构成直角三角形,故正确;B.∵72+122≠132,∴该组线 段不能构成直角三角形,故错误;C.∵52+92≠122,∴该组线段不能构成直角三角形,故错误;D.∵ 32+42≠62,∴该组线段不能构成直角三角形,故错误.故选A.
A.6 B.6 2 C.6 3 D.12 答案 A ∵∠C=90°,∠A=30°,
∴BC= 1 AB= 1 ×12=6.故选A.
22
4.(2016北海,8,3分)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,BE为AC边上的中线,AB=10,BC=12,AD =6,连接DE,则DE的长为 ( )
A. 5 B. 13 C.2 13 D.2 5 答案 B 在Rt△ABD中,AB=10,AD=6,根据勾股定理得BD= AB2 AD2 =8,则CD=BC-BD=4.
中考数学总复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第14讲 线段、角、相交线与平行线试题(2021
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第四单元图形的初步认识与三角形第14讲线段、角、相交线与平行线1．(2016·福州)如图，直线a，b被直线c所截,∠1和∠2的位置关系是( B ）A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角2．(2016·桂林模拟）如图，与∠1是同位角的是（ C )A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠53．（2015·福州)下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥C D的是（ B ）4．（2016·宜昌）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小,能正确解释这一现象的数学知识是（ D ）A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．经过两点，有且仅有一条直线D．两点之间，线段最短5．（2016·玉林模拟）C，D是线段AB上的两点,点D是线段AC的中点，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则AD的长等于（ B ）A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm6．(2016·大连）如图,直线AB∥CD，AE平分∠CAB。
AE与CD相交于点E,∠ACD＝40°，则∠BAE 的度数是( B ）A．40° B．70° C．80° D．140°7．下列命题中是真命题的是( C ）A．若AP＝BP，则P是线段AB的中点B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．平行于同一条直线的两条直线平行D．连接两点之间的线段叫做两点之间的距离8．(2016·鄂州)如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为点E,∠1＝50°，则∠2的度数为（ B ) A．50° B．40° C．45° D．25°9．（2016·宁波)能说明“对于任何实数a,错误!>－a”是假命题的一个反例可以是（ A ) A．a＝－2 B．a＝错误! C．a＝1 D．a＝错误! 10．(2015·聊城)直线a，b,c，d的位置如图所示,如果∠1＝58°,∠2＝58°，∠3＝70°，那么∠4等于（ C ）A．58° B．70° C．110° D．116°11．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,已知AC＝5 cm,△ADC的周长为17 cm，则BC的长为（ C ）A．7 cm B．10 cm C．12 cm D．22 cm12．（2016·茂名)已知∠A＝100°，那么∠A补角为80°．13．(2016·扬州)如图,把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝2∠2，则∠1＝80°．14．（2015·来宾）如图，在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC 于点F，且BC＝4,DE＝2,则△BCD的面积是4．15．（2016·江西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C 重合，折痕为DE。
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第16讲 等腰三角形与直角三角形
1．(2014·滨州)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( B ) A ．4、5、6 B ．1.5、2、2.5
C ．2、3、4
D ．1、2、3
2．(2015·苏州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 中点，∠BAD ＝35°，则∠C 的度数为( C ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．60°
3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，若CD ＝5 cm ，则EF 为( A ) A ．5 cm B ．10 cm C ．15 cm D ．20 cm
4．(2016·荆门)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为( C ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10
5．(2016·南宁模拟)如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且CD ＝CE ，∠D ＝72°，则∠B 的度数为( A ) A ．36° B ．68° C ．22° D ．16°
6．(2016·滨州)如图，在△ABC 中，点D 为AB 上一点，点E 为BC 上一点，且AC ＝CD ＝BD ＝BE ，∠A ＝50°，则∠CDE 的度数为( D )
A ．50°
B ．51°
C ．51.5°
D ．52.5°
7．(2016·桂林模拟)如图，在边长为3的等边△ABC 中，过点C 垂直于BC 的直线交∠ABC 的平分线于点P ，则点P 到边AB 所在直线的距离为( A ) A. 3 B.
32 C.3
2
D ．1
8．已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝60°，则∠A＝60度．
9．(2016·烟台)如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3、3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，
CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M
10．(2016·西宁)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝2．
11．(2016·台湾中考改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，∠BAD＝30°，且∠ADC＝60°.
求证：(1)AD＝BD；
(2)CD＝2BD.
证明：(1)令∠1＝∠BAD，∠4＝∠ADC，
∵∠4＝60°，∠1＝30°，
根据三角形外角定理可得∠B＝∠4－∠1＝60°－30°＝30°＝∠1.
∴BD＝AD.
(2)∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝30°.
∴∠2＝180°－∠3－∠C＝180°－60°－30°＝90°.
∵∠C＝30°，
∴CD＝2AD＝2BD.
12．(2016·宁夏)在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°.
∵DE∥A B，
∴∠EDC＝∠B＝60°.
∴△EDC是等边三角形．
∴DE＝DC＝2.
在Rt△DEC中，
∵∠DEC＝90°，DE＝2，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝4.
∴EF＝DF2－DE2＝42－22＝2 3.
13．(2016·泰州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 在BA 的延长线上，AD 平分∠CAE. (1)求证：A D∥BC；
(2)过点C 作CG⊥AD 于点F ，交AE 于点G.若AF ＝4，求BC 的长．
解：(1)证明：∵AD 平分∠CAE ， ∴∠DAG ＝1
2∠CAG.
∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠ACB.
∵∠CAG ＝∠B＋∠ACB， ∴∠B ＝1
2∠CAG.
∴∠B ＝∠DAG. ∴AD ∥BC. (2)∵CG⊥AD，
∴∠AFC ＝∠AFG＝90°.
在△AFC 和△AFG 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠CAF＝∠GAF，AF ＝AF ，∠AFC ＝∠AFG，
∴△AFC ≌△AFG(ASA)．
∴CF ＝GF. ∵AD ∥BC ，
∴AF 是△BCG 的中位线． ∴BC ＝2AF ＝2×4＝8.
14．(2016·陕西)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6，若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角平分线于点F ，则线段DF 的长为( B )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
15．(2016·雅安)如图所示，底边BC 为23，在顶角A 为120°的等腰△ABC 中，DE 垂直平分AB 于点D ，则△ACE 的周长为( A )
A ．2＋2 3
B ．2＋ 3
C ．4
D ．3 3
16．(2016·连云港)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1、S 2、S 3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S 4、S 5、S 6.其中S 1＝16，S 2＝
45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝( C )
A．86 B．64 C．54 D．48
17．(2016·河北)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
18．(2016·鄂州)如图，AB＝6，点O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，点P是直线l上一点．当△APB
为直角三角形时，AP。