江苏省海安高级中学2017-2018学年高二6月月考数学(文)试题+Word版含答案
江苏省海安高级中学2017-2018学年高二6月月考数学(文)试题(精品Word版,含答案解析)
2017—2018第二学期学情阶段检测高二数学试卷（文）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1＞0}，则A∩B＝_____．【答案】{2}【解析】分析：先求出B集合，然后根据交集定义即可得出结论.详解：由题可得：，故A∩B＝{2}所以答案为：{2}点睛：考查交集的定义，属于基础题.2. 已知复数z满足：z(1－i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为_____．【答案】【解析】分析：先求出，在结合模长公式即可.详解：由题得：故答案为：点睛：考查复数的除法运算，复数的模长，属于基础题.3. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1， 10.2，10.1，则这组数据的方差为_____．【答案】0.032【解析】先求得数据的平均数，根据方差公式可得，组数据的方差，故答案为.4. 从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是_____．【解析】考虑对立事件，减去颜色相同的即颜色不同的事件的概率，即：，两球颜色不同的概率是.点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．5. 如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为_____．【答案】5【解析】分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=21，k=5时，不满足条件S ＜20，退出循环，输出k的值为5详解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件S＜20，S=21=2，k=2满足条件S＜20，S=21+22=5，k=3满足条件S＜20，S=5+23=13，k=4满足条件S＜20，S=13+24=21，k=5不满足条件S＜20，退出循环，输出k的值为5．故答案为：5．点睛：本题主要考查了循环结构的程序考查，依次写出每次循环得到的S，k的值即可得解，属于基础题．6. 已知α为三角形内角，sinα+cosα=，则cos2α=_____．【解析】分析：已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，再利用完全平方公式求出sinα-cosα的值，原式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用平方差公式变形，把各自的值代入计算即可求出值．详解：把sinα+cosα=两边平方，∵α为第二象限角，故答案为点睛：此题考查了二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7. 已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为2x－y＝0，则该双曲线的离心率为_____．【答案】【解析】分析：由题意确定a,b的关系，然后利用离心率的计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由双曲线的渐近线方程结合题意可得：，则双曲线的离心率为：.点睛：本题主要考查双曲线的渐近线方程，双曲线离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 对于直线l，m，平面α，且m α，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的_____条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．【答案】必要不充分【解析】分析：根据线面垂直的性质和定义即可得到结论．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的定义，利用线面垂直的定义是解决本题的关键．9. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则的最大值是_____．【答案】8【解析】试题分析：将圆的方程化为标准方程：，圆心坐标，半径，易得，如图，，设，又∵，当且仅当时，等号成立，即的最大值为.考点：1.平面向量数量积；2.三角恒等变形.10. 若关于x的方程4x +a·2x +a+1=0有实根，则实数a的取值范围是_____．【答案】【解析】分析：先令t=2x，则关于t方程为t2+at+a+1=0 有实根，结合二次方程根的分布即可解出实数a的取值范围．详解：令2x=t＞0，原方程即为t2+at+a+1=0则原方程有实根等价于关于t的方程t2+at+a+1=0有正根．于是有f（0）＜0，即a+1＜0，解得a＜-1，或又当a=-1时，t=1有正根符合题意，故综合得：；所以答案为：点睛：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，以及利用二次方程根的分布求变量范围，属于中档题．11. 已知等比数列{a n}的公比q＞1，其前n项和为S n．若S4＝2S2＋1，则S6的最小值为_____．【答案】2＋3【解析】分析：利用等比数列的前n项和公式可得：a1（1+q）（q2-1）=1，则，再利用基本不等式的性质即可得出．详解：：∵S4=2S2+1，∴S6的最小值为2＋3故答案为：2＋3点睛：本题考查了等比数列的前n项和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 已知△ABC的三边长a，b，c满足b+c≤2a，c+a≤2b，则的取值范围为_____．【答案】【解析】分析：由题设条件，本题要结合三角形的性质两边之和大于第三边及题设中的不等式b+c≤2a，c+a≤2b，利用简单线性规划寻求得到的取值范围．详解：设x＝，y＝，根据三角形的性质两边之和大于第三边及题设中的不等式，得作出平面区域：故答案为点睛：本题考查不等式的综合，熟练掌握不等式的性质，能灵活运用简单线性规划进行求解，求出要求的范围是解答本题的关键，本题中有一个容易漏掉的隐含条件，三角形中两边之和大于第三边，对题设中隐含条件的挖掘对解题的完整性很重要，谨记13. 若，且，则的取值范围是_____．【答案】【解析】分析：不等式化为7sin3θ+sin5θ＞cos5θ+7cos3θ，考察函数f（x）=7x3+x5是R上的单调性即可得出．详解：由题可得：不等式化为7sin3θ+sin5θ＞cos5θ+7cos3θ，考察函数f（x）=7x3+x5是R上的增函数，所以sinθ＞cosθ，．∵θ∈[0，2π），∴θ的取值范围是故答案为：点睛：本题考查了利用函数的单调性解决问题、三角函数的单调性等基础知识，考查了转化法和推理能力，属于难题．14. 在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．【答案】【解析】分析：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB 为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长．详解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则∵∠APB的大小恒为定值，∴t＝，∴|OP|=．故答案为点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝b cos A．（1）求的值；（2）若sin A＝，求sin(C－)的值．【答案】（1）1（2）【解析】分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到结果，（2）由（1）可得：C=π-2A，利用sinA=，A为锐角，可得：cosA，sin2A，cos2A的值，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式即可求值．（1）由a cos B＝b cos A，得sin A cos B＝sin B cos A，即sin(A－B)＝0．因为A，B∈(0，π)，所以A－B∈(－π，π)，所以A－B＝0，所以a＝b，即＝1．（2）因为sin A＝，且A为锐角，所以cos A＝．所以sin C＝sin(π－2A)＝sin2A＝2sin A cos A＝，cos C＝cos(π－2A)＝－cos2A＝－1＋2sin2A＝－．所以sin(C－)＝sin C cos－cos C sin＝．点睛：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式的应用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱P A的中点．（1）求证：PC // 平面BDE；（2）若PC⊥P A，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面P AB．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）连结,交于,连结，为的中点，利用三角形中位线的性质，可知，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先证明，再证明.，可得平面.，从而可得平面平面．试题解析：证明: （1）连结,交于,连结.因为是平行四边形,所以.因为为侧棱的中点所以∥.因为平面,平面所以∥平面.（2）因为为中点,所以因为,∥所以.因为平面,平面,所以平面.因为平面所以平面平面.17. 给定椭圆C：(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点(0，1)．（1）求实数a，b的值；（2）若过点P(0，m) (m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．【答案】（1）a＝2，b＝1（2）m＝3【解析】试题分析：（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得，由此能求出a，b；（2）由（1）知，椭圆C的方程为，圆的方程为．设直线l的方程为，由，得，由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到直线的距离，结合知识点能求出m 试题解析：（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得b＝1，，c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1．（2）由（1）知，椭圆C的方程为＋y2＝1，圆C1的方程为x2＋y2＝5．显然直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，故方程组（*）有且只有一组解．由（*）得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0．从而△＝（8km）2－4（1＋4k2）（4m2－4）＝0．化简，得m2＝1＋4k2．①因为直线l被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d＝．即．②由①②，解得k2＝2，m2＝9．因为m＞0，所以m＝3．考点：1．椭圆方程及性质；2．直线与圆锥曲线的综合问题18. 如图，公路AM，AN围成一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．【答案】当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．【解析】试题分析：先确定点P的位置，再利用BC的斜率表示工业园区的面积，利用导数求其最值.以A 为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．设点P(x0，y0)．因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．由P到直线AN的距离为，得，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，所以点P(1，3)．显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．令y＝0得x B＝1－．由解得y C＝．设△ABC的面积为S，则S＝x B×y C＝．由S¢＝＝0得k＝－或k＝3．所以当k＝－时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．试题解析：解：如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．设点P(x0，y0)．因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．由P到直线AN的距离为，得，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，所以点P(1，3)．4分显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．令y＝0得x B＝1－．6分由解得y C＝．8分设△ABC的面积为S，则S＝×x B×y C＝10分由S¢＝＝0得k＝－或k＝3．当－2＜k＜－时，S¢＜0，S单调递减；当－＜k＜0时，S¢＞0，S单调递增．13分所以当k＝－时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．16分考点：利用导数求函数最值19. 已知函数f(x)＝e x，g(x)＝x－b，b∈R．（1）若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，求b的值；（2）设T(x)＝f(x)＋ag(x)，a∈R，求函数T(x)的单调增区间；（3）设h(x)＝|g(x)|·f(x)，b＜1．若存在x1，x2[0，1]，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b的取值范围．【答案】（1）b＝－1（2）见解析（3）(－∞，)【解析】分析：（1）设切点为（t，e t），由导数的几何意义，可得e t=1，且e t=t-b，即可得到b=-1；（2）求出T（x）的导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，由导数大于0，可得增区间；（3）求出h（x）的分段函数，讨论x的范围，求得单调区间，对b讨论，求得h（x）的最值，由存在性思想，即可得到b的范围．详解：(1)设切点为(t，e t)，因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，所以e t＝1，且e t＝t－b，解得b＝－1．（2)T(x)＝e x＋a(x－b)，T′(x)＝e x＋a．当a≥0时，T′(x)＞0恒成立．当a＜0时，由T′(x)＞0，得x＞ln(－a)．所以，当a≥0时，函数T(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a＜0时，函数T(x)的单调增区间为(ln(－a)，＋∞)．（3)h(x)＝|g(x)|·f(x)＝当x>b时，h′(x)＝(x－b＋1)e x＞0，所以h(x)在(b，＋∞)上为增函数；当x<b时，h′(x)＝－(x－b＋1)e x，因为b－1＜x＜b时，h′(x)＝－(x－b＋1)e x＜0，所以h(x)在(b－1，b)上是减函数；因为x＜b－1时， h′(x)＝－(x－b＋1)e x＞0，所以h(x)在(－∞，b－1)上是增函数．当b≤0时，h(x)在(0，1)上为增函数．所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(0)＝－b．由h(x)max－h(x)min＞1，得b＜1，所以b≤0．②当0＜b＜时，因为b＜x＜1时， h′(x)＝(x－b＋1)e x＞0，所以h(x)在(b，1)上是增函数，因为0＜x＜b时， h′(x)＝－(x－b＋1)e x＜0，所以h(x)在(0，b)上是减函数．所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(b)＝0．由h(x) max－h(x) min＞1，得b＜．因为0＜b＜，所以0＜b＜．③当≤b＜1时，同理可得，h(x)在(0，b)上是减函数，在(b，1)上是增函数．所以h(x)max＝h(0)＝b，h(x)min＝h(b)＝0．因为b＜1，所以h(x)max－h(x)min＞1不成立．综上，b的取值范围为(－∞，)．点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．20. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a5－a3＝13，S4＝16．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）设T n＝(－1)i a i，若对一切正整数n，不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．【答案】（1）a n＝2n－1，S n ＝n2（2）－4＜λ＜2（3）不存在【解析】分析：（1）根据等差通项列式先求出首先和公差即可；（2）因为有(－1)n＋1a n，所以要分奇偶：①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，则T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k．代入不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1，得λ·2k＜4k，从而λ＜．分析其最小值即可；②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，则T2k－1＝T2k－(－1)2k a2k＝2k－(4k－1)＝1－2k．详解：(1)设数列{a n}的公差为d．因为2a5－a3＝13，S4＝16，所以解得a1＝1，d＝2，所以a n＝2n－1，S n ＝n2．(2)①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，则T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k．代入不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1，得λ·2k＜4k，从而λ＜．设f(k)＝，则f(k＋1)－f(k)＝－＝．因为k∈N*，所以f(k＋1)－f(k)＞0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min＝2，所以λ＜2．②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，则T2k－1＝T2k－(－1)2k a2k＝2k－(4k－1)＝1－2k．代入不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1，得λ·(1－2k)＜(2k－1)4k，从而λ＞－4k．因为k∈N*，所以－4k的最大值为－4，所以λ＞－4．综上，λ的取值范围为－4＜λ＜2．(3)假设存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列，则(S m－S2)2＝S2·(S n－S m)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)，所以4n2＝(m2－2)2＋12，即4n2－(m2－2)2＝12，即(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12．因为n＞m＞2，所以n≥4，m≥3，所以2n＋m2－2≥15．因为2n－m2＋2是整数，所以等式(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12不成立，故不存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列．点睛：考查等差数列的通项和基本性质，尤其将数列和函数的分析思维进行结合是本题的亮点，值得好好分析，而对于函数的最值的基本分析是基本要求，能分离参数求最值即为本题关键，对于第三问则通常采用反证法找矛盾即可，属于中档题.。
2017-2018年江苏省南通市海安高级中学高二(下)6月月考数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）6月月考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣1＞0}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数z满足：z（1﹣i）＝2+4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为．3．（5分）某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为．4．（5分）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．5．（5分）如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为．6．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α＝．7．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为2x﹣y＝0，则双曲线的离心率为．8．（5分）对于直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣6x+5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则|+|的最大值是．10．（5分）若关于x的方程4x+a•2x+a+1＝0有实根，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，其前n项和为S n．若S4＝2S2+1，则S6的最小值为．12．（5分）已知△ABC的三边长a，b，c满足b+c≤2a，c+a≤2b，则的取值范围是．13．（5分）如果sin3θ﹣cos3θ＞，且θ∈（0，2π），那么角θ的取值范围是．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点，若以AB为直径的圆与圆x2+（y﹣2）2＝1相外切．且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a cos B＝b cos A．（1）求的值；（2）若sin A＝，求sin（C﹣）的值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱P A的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥P A，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面P AB．17．（14分）给定椭圆C：+＝1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2＝a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）．（1）请求出椭圆C的标准方程；（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．18．（16分）如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝﹣2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．19．（16分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝x﹣b，b∈R．（1）若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象相切，求b的值；（2）设T（x）＝f（x）+ag（x），a∈R，求函数T（x）的单调增区间；（3）设h（x）＝|g（x）|•f（x），b＜1．若存在x1，x2∈[0，1]，使|h（x1）﹣h（x2）|＞1成立，求b的取值范围．20．（16分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a5﹣a3＝13，S4＝16．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）设T n＝（﹣1）i a i，若对一切正整数n，不等式λT n＜[a n+1+（﹣1）n+1a n]•2n﹣1恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m﹣S2，S n﹣S m成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）6月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣1＞0}，则A∩B＝{2}．【解答】解：∵x2﹣1＞0，∴x＜﹣1或x＞1，即B＝{x|x＜﹣1或x＞1}，∵A＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故答案为：{2}2．（5分）已知复数z满足：z（1﹣i）＝2+4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为．【解答】解：由z（1﹣i）＝2+4i，得，∴．故答案为：．3．（5分）某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．【解答】解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数＝＝10，方差＝（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）＝0.032．故答案为：0.032．4．（5分）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．【解答】解：从5个球中任意取两个共有C52＝10种，两球颜色相同的有2种，两球颜色不同的概率是1﹣＝，故答案为：．5．（5分）如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为5．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k＝1，S＝0满足条件S＜20，S＝21＝2，k＝2满足条件S＜20，S＝21+22＝5，k＝3满足条件S＜20，S＝5+23＝13，k＝4满足条件S＜20，S＝13+24＝21，k＝5不满足条件S＜20，退出循环，输出k的值为5．故答案为：5．6．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α＝．【解答】解：∵，两边平方得：1+sin2α＝，∴sin2α＝﹣，①∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣sin2α＝，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα＝，②∴cos2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）＝（﹣）×＝．故答案为：．7．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为2x﹣y＝0，则双曲线的离心率为．【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x﹣y＝0，∴b＝2a，∴c＝a，∴双曲线的离心率是e＝＝．故答案为：．8．（5分）对于直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．【解答】解：根据线面垂直的定义可知，∵m⊂α，若l⊄α，当l⊥m时，l⊥α成立，若l⊂α，则l⊥α不成立，∴若l⊥α，则根据线面垂直的性质可知，l⊥m成立，即“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣6x+5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则|+|的最大值是8．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x′，y′）．∵∴＝，∵圆C：x2+y2﹣6x+5＝0，∴（x﹣3）2+y2＝4，圆心C（3，0），半径CA＝2．∵点A，B在圆C上，AB＝2，∴，即CM＝1．点M在以C为圆心，半径r＝1的圆上．∴OM≤OC+r＝3+1＝4．∴，．故答案为：8．10．（5分）若关于x的方程4x+a•2x+a+1＝0有实根，则实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣2]．【解答】解：令2x＝t＞0，原方程4x+a•2x+a+1＝0即为t2+at+a+1＝0则原方程有实根等价于关于t的方程t2+at+a+1＝0有正根．于是有f（0）＜0，即a+1＜0，解得a＜﹣1；或﹣≥0且△≥0，解得a≤0且a2﹣4a﹣4≥0，解得a≤2﹣2．综上实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣2]．故答案为：（﹣∞，2﹣2]．11．（5分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，其前n项和为S n．若S4＝2S2+1，则S6的最小值为2+3．【解答】解：∵S4＝2S2+1，∴＝2×+1，化为a1（1+q）（q2﹣1）＝1，∵q＞1，∴S6＝＝×（1+q+q2）（1+q）（1﹣q+q2）＝q2﹣1++3≥+3，当且仅当q2＝1+，即q＝时取等号．∴S6的最小值为2+3．故答案为：2+3．12．（5分）已知△ABC的三边长a，b，c满足b+c≤2a，c+a≤2b，则的取值范围是．【解答】解：三角形必须满足两边之和大于第三边，所以b+c＞a，c+a＞b，结合已知得a ＜b+c≤2a①b＜c+a≤2b②将①变形得﹣2a≤﹣b﹣c＜﹣a③将②③相加得b﹣2a＜a﹣b＜2b﹣a由不等式左边b﹣2a＜a﹣b得3a＞2b，所以＜由不等式右边a﹣b＜2b﹣a得2a＜3b，所以＞所以的取值范围是＜＜故答案为13．（5分）如果sin3θ﹣cos3θ＞，且θ∈（0，2π），那么角θ的取值范围是．【解答】解：不等式sin3θ﹣cos3θ＞，化为7sin3θ+sin5θ＞cos5θ+7cos3θ，考察函数f（x）＝7x3+x5是R上的增函数，所以sinθ＞cosθ，．∵θ∈[0，2π），∴θ的取值范围是．故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点，若以AB为直径的圆与圆x2+（y﹣2）2＝1相外切．且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为．【解答】解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP＝t（常数），则tan∠OP A＝，tan∠OPB＝，∴tan∠APB＝＝，∵＝|r+1|，∴a2＝（r+1）2﹣4，∴tan∠APB＝＝，∵∠APB的大小恒为定值，∴，∴|OP|＝．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a cos B＝b cos A．（1）求的值；（2）若sin A＝，求sin（C﹣）的值．【解答】解：∵在△ABC中，a cos B＝b cos A，∴＝，又由正弦定理可得＝，∴＝，sin A cos B﹣cos A sin B＝0，sin（A﹣B）＝0．由﹣π＜A﹣B＜π得，A﹣B＝0，∴a＝b，即＝1．（2）∵A＝B，A+B+C＝π，A为锐角，sin A＝，∴cos A＝＝，sin2A＝2sin A cos A＝2×＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，∴sin（C﹣）＝sin（π﹣2A﹣）＝sin（2A+）＝（sin2A+cos2A）＝（+）＝．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱P A的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥P A，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面P AB．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA＝OC．因为E为侧棱P A的中点，所以OE∥PC．因为PC⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．（2）因为E为P A中点，PD＝AD，所以P A⊥DE．因为PC⊥P A，OE∥PC，所以P A⊥OE．因为OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE＝E，所以P A⊥平面BDE．因为P A⊂平面P AB，所以平面BDE⊥平面P AB．17．（14分）给定椭圆C：+＝1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2＝a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）．（1）请求出椭圆C的标准方程；（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．【解答】解：（1）记椭圆C的半焦距为c，由题意，得b＝1，＝，c2＝a2+b2，解得a＝2，b＝1，故椭圆C的标准方程为：+y2＝1．（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2＝1，圆C1的方程为x2+y2＝5．显然直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx+m，即kx﹣y+m＝0．因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，故方程组（*）有且只有一组解．由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0．从而△＝（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＝0．化简，得m2＝1+4k2．①因为直线l被圆x2+y2＝5所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d＝＝．即＝．②由①②，解得k2＝2，m2＝9．因为m＞0，所以m＝3．18．（16分）如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝﹣2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．【解答】解：过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接P A．设AB＝x，AC＝y．因为P到AM，AN的距离分别为3，，即PE＝3，PF＝．由S△ABC＝S△ABP+S△APC＝⋅x⋅3+⋅y⋅＝（3x+y）．①…（4分）因为tanα＝﹣2，所以sinα＝．所以S△ABC＝⋅x⋅y⋅．②…（8分）由①②可得⋅x⋅y⋅＝（3x+y）．即3x+5y＝2xy．③…（10分）因为3x+5y≥2，所以2xy≥2．解得xy≥15．…（13分）当且仅当3x＝5y取“＝”，结合③解得x＝5，y＝3．所以S△ABC＝⋅x⋅y⋅有最小值15．答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．…（16分）19．（16分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝x﹣b，b∈R．（1）若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象相切，求b的值；（2）设T（x）＝f（x）+ag（x），a∈R，求函数T（x）的单调增区间；（3）设h（x）＝|g（x）|•f（x），b＜1．若存在x1，x2∈[0，1]，使|h（x1）﹣h（x2）|＞1成立，求b的取值范围．【解答】解：（1）设切点为（t，e t），因为函数f（x）的图象与函数g（x）的图象相切，所以e t＝1，且e t＝t﹣b，解得b＝﹣1；（2）T（x）＝e x+a（x﹣b），T′（x）＝e x+a．当a≥0时，T′（x）＞0恒成立．当a＜0时，由T′（x）＞0，得x＞ln（﹣a）．所以，当a≥0时，函数T（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；当a＜0时，函数T（x）的单调增区间为（ln（﹣a），+∞）．（3）h（x）＝|g（x）|•f（x）＝，当x＞b时，h′（x）＝（x﹣b+1）e x＞0，所以h（x）在（b，+∞）上为增函数；当x＜b时，h′（x）＝﹣（x﹣b+1）e x，因为b﹣1＜x＜b时，h′（x）＝﹣（x﹣b+1）e x＜0，所以h（x）在（b﹣1，b）上是减函数；因为x＜b﹣1时，h′（x）＝﹣（x﹣b+1）e x＞0，所以h（x）在（﹣∞，b﹣1）上是增函数．①当b≤0时，h（x）在（0，1）上为增函数．所以h（x）max＝h（1）＝（1﹣b）e，h（x）min＝h（0）＝﹣b．由h（x）max﹣h（x）min＞1，得b＜1，所以b≤0．②当0＜b＜时，因为b＜x＜1时，h′（x）＝（x﹣b+1）e x＞0，所以h（x）在（b，1）上是增函数，因为0＜x＜b时，h′（x）＝﹣（x﹣b+1）e x＜0，所以h（x）在（0，b）上是减函数．所以h（x）max＝h（1）＝（1﹣b）e，h（x）min＝h（b）＝0．由h（x）max﹣h（x）min＞1，得b＜．因为0＜b＜，所以0＜b＜．③当≤b＜1时，同理可得，h（x）在（0，b）上是减函数，在（b，1）上是增函数．所以h（x）max＝h（0）＝b，h（x）min＝h（b）＝0．因为b＜1，所以h（x）max﹣h（x）min＞1不成立．综上，b的取值范围为（﹣∞，）．20．（16分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a5﹣a3＝13，S4＝16．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）设T n＝（﹣1）i a i，若对一切正整数n，不等式λT n＜[a n+1+（﹣1）n+1a n]•2n﹣1恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m﹣S2，S n﹣S m成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d．∵2a5﹣a3＝13，S4＝16，∴，解得a1＝1，d＝2，…（2分）∴a n＝2n﹣1，S n＝n2．…（4分）（2）①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，则T2k＝（a2﹣a1）+（a4﹣a3）+…+（a2k﹣a2k﹣1）＝2k．…（5分）代入不等式λT n＜[a n+1+（﹣1）n+1a n]•2n﹣1，得λ•2k＜4k，从而λ＜．设f（k）＝，则f（k+1）﹣f（k）＝﹣＝．∵k∈N*，∴f（k+1）﹣f（k）＞0，∴f（k）是递增的，∴f（k）min＝2，∴λ＜2．…（7分）②当n为奇数时，设n＝2k﹣1，k∈N*，则T2k﹣1＝T2k﹣（﹣1）2k a2k＝2k﹣（4k﹣1）＝1﹣2k．…（8分）代入不等式λT n＜[a n+1+（﹣1）n+1a n]•2n﹣1，得λ•（1﹣2k）＜（2k﹣1）4k，从而λ＞﹣4k．∵k∈N*，∴﹣4k的最大值为﹣4，所以λ＞﹣4．综上，λ的取值范围为﹣4＜λ＜2．…（10分）（3）假设存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m﹣S2，S n﹣S m成等比数列，则（S m﹣S2）2＝S2•（S n﹣S m），即（m2﹣4）2＝4（n2﹣m2），∴4n2＝（m2﹣2）2+12，即4n2﹣（m2﹣2）2＝12，…（12分）即（2n﹣m2+2）（2n+m2﹣2）＝12．…（14分）∵n＞m＞2，∴n≥4，m≥3，∴2n+m2﹣2≥15．∵2n﹣m2+2是整数，∴等式（2n﹣m2+2）（2n+m2﹣2）＝12不成立，故不存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m﹣S2，S n﹣S m成等比数列．…（16分）。
江苏省南通市海安高级中学2018--2019学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析
2018-2019学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、填空题1．已知集合A ={(x ，y)|x 2+y 2=4 }， 集合B ={(x ，y)|y =x }，则A ∩B 中元素的个数为__________.2．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，若S 5=10，a 9=20，则a 1的值是___________. 3．若不等式x 2+px +2<0的解集为(1 ， 2)，则p 的值为__________ 4．曲线y =lnx 在点(1 ， 0)处的切线方程为__________.（写出斜截式方程） 5．已知向量a ，b 满足|a |=1，a · (2a −b )=3，则a ·b = ____________ 6．若tan (α−π4)=16,则tanα=____________.7．已知实数x ，y 满足不等式组{y ≥0y ≤x x +y −4≤0 ，则z =2x −y 的最大值为__________. 8．已知椭圆x 2m−2+y 220−m =1的焦点x 轴上，且焦距为4，则m =_______.9．在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n ，S n 是其前n 项和，则S 6的值是__________.10．平面上三条直线x –2y +1=0，x –1=0，x +ky =0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A=__________.11．若直线xa +yb =1(a >0，b >0)过点(2 ， 2)，则4a +b +1的最小值为__________. 12．已知P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，F 1 ，F 2是椭圆的两个焦点，(OP ⃑⃑⃑⃑⃑ −OF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(OP ⃑⃑⃑⃑⃑ −OF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=0，且ΔF 1PF 2的三条边长成等差数列，则椭圆的离心率e =___________.13．直线kx −y −2k +1=0与直线x +ky −3k −2=0相交于点M ，则OM 长度的最小值为___________.14．定义：点M (x 0， y 0)到直线l:ax +by +c =0的有向距离为ax 0+by 0+c √a 2+b 2，已知点A(−2 ， 0)，B(2 ， 0)，直线m 过点P(4 ， 0)，若圆x 2+(y −6)2=36上存在一点C ，使得A ，B ，C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线m 斜率的取值范围是__________.二、解答题15．如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是正方形， PA ⊥平面ABCD ，且PA =AD ，点E 为线段PD 的中点.（1）求证：PB//平面AEC ； （2）求证：AE ⊥平面PCD .16．如图，A ，B 是单位圆O 上的点，C ，D 分别是圆O 与x 轴的两交点,ΔAOB 为正三角形.（1）若A 点坐标为(35，45)，求cos∠BOC 的值；（2）若∠AOC =x (0<x <2π3)，四边形CABD 的周长为y ，试将y 表示成x 的函数，并求出y的最大值.17．已知函数f (x )=x 3−32(k +1)x 2+3kx +1，其中k ∈R ． （1）当k =3时，求函数f (x )在[0 ， 5]上的值域；（2）若函数f (x )在[1 ， 2]上的最小值为3，求实数k 的取值范围．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号18．某海警基地码头O 的正东方向40海里处有海礁界碑M ，过点M 且与OM 成30∘（即北偏西60∘）的直线l 在在此处的一段为领海与公海的分界线（如图所示），在码头O 北偏东60∘方向领海海面上的A 处发现有一艘疑似走私船（可疑船）停留. 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O 处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在P 处恰好截获可疑船.（1）如果O 和A 相距6海里，求可疑船被截获处的点P 的轨迹；（2）若要确保在领海内捕获可疑船（即P 不能在公海上）．则O 、A 之间的最大距离是多少海里？19．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且过点(1，√62)，过椭圆的左顶点A 作直线l ⊥x 轴，点M 为直线l 上的动点，点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于P（1）求椭圆C 的方程； （2）求证：AP ⊥OM ；（3）试问OP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 20．已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 1 = 1， S n+1=a n+1a nS n +(λ⋅3n +1)a n+1（n ∈N ∗）．(1)若λ = 0，求数列{a n }的通项公式；(2)若a n+1<12a n 对一切n ∈N ∗恒成立，求实数λ的取值范围2018-2019学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．2【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，可利用此距离来判断直线与圆的位置关系，从而得出交点个数即为交集中元素的个数.【详解】x2+y2=4的圆心为（0，0）圆心在直线y=x上，所以圆心到直线的距离为0，所以直线与圆相交，有两个交点，所以A∩B中元素有2个,故答案为2.【点睛】本题考查了交集的元素个数问题，通过判断直线与圆的位置关系即可,是基础题.2．-4【解析】【分析】根据等差数列的前n项和的公式及通项性质得出a3，又由a9=20可得出公差d，借助于a3和d 即可得出a1的值.【详解】因为{a n}是等差数列，所以S5=5(a1+a5)2=5a3=10∴a3=2又a9=20，所以a9=a3+6d= 2+6d=20∴d=3∴a3=a1+2d=a1+6=2可得a1=−4.故答案为-4.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及性质和前n项和的公式，由前n项和可以求得某一项，由项之间可以求得公差及首项,是基础题.3．-3【解析】【分析】由不等式与对应一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可求出p的值；【详解】∵不等式x2+px+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，∴1和2是一元二次方程x2+px+2=0的两个实数根，∴1+2=-p, ∴p=-3，故答案为-3.【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可求出参数，属于基础题．4．y=x−1【解析】【分析】利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程．【详解】∵y=lnx，∴y′＝1x，∴函数y=lnx在x=1处的切线斜率为1，又∵切点坐标为（1，0），∴切线方程为y=x-1，故答案为：y=x-1.【点睛】本题考查了函数导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程，正确求导是关键,属于基础题.5．-1【解析】【分析】利用数量积的运算性质可得a⋅(2a−b⃑)=2a2−a⋅b⃑=3，因为|a |=1代入即可得出a⋅b⃑的值.【详解】由a⋅(2a−b⃑)=3可得2a2−a⋅b⃑=3∵|a |=1∴2-a⋅b⃑=3∴a⋅b⃑=-1，故答案为-1.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的性质及向量数量积的基本运算，属于基础题.6．75【解析】tanα=tan[(α−π4)+π4]=tan(α−π4)+tanπ41−tan(α−π4)tanπ4=16+11−16=75故答案为75.7．8【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中A(0,0),B(2,2),C(4,0)，所以直线z=2x−y 过点C时取最大值8.考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.8．13【解析】【分析】利用椭圆的简单性质直接求解．【详解】∵椭圆x 2m−2+y220−m=1的长轴在x轴上，∴{20−m>0m−2>0m−2>20−m解得11＜m＜20，∵焦距为4，∴c2=m-2-20+m=4，解得m=13．故答案为13.【点睛】本题考查椭圆中参数的求法，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质,看清焦点位置是关键.9．126【解析】【分析】由题意可得数列{a n}是首项为2，公比q=2的等比数列，运用等比数列的求和公式，即可求出S6的值.【详解】数列{a n}中a1=2，a n+1=2a n，可得数列{a n}是首项为2，公比q=2的等比数列，可得S6=2(1−26)1−2= 126,故答案为126【点睛】本题考查等比数列的定义和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题，注意计算的准确性.10．{0,−1,−2}【解析】略11．19【解析】【分析】直线xa+yb=1(a>0，b>0)过点(2 ， 2)可得2a+2b=1再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【详解】∵直线xa+yb=1(a>0，b>0)过点(2 ， 2)可得2a+2b=1，∴4a+b+1=（4a+b）(2a+2b)+1=10+8ab+2ba+1≥2√8ab⋅2ba+11=19当且仅当a=3，b=6时取等号．∴4a+b+1的最小值为19.故答案为19.【点睛】本题考查了直线截距式的方程、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，注意求最值时等号成立的条件要写上.12．57【解析】【分析】先根据椭圆的性质化简条件(OP⃑⃑⃑⃑⃑ −OF1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(OP⃑⃑⃑⃑⃑ −OF2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=0,得到△F1PF2所满足的条件,再根据已知三条边长成等差数列,列等式求解离心率.【详解】由椭圆的性质,可知O为F1F2的中点,所以OF1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−OF2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,由(OP⃑⃑⃑⃑⃑ −OF1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(OP⃑⃑⃑⃑⃑ −OF2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=0及(OP⃑⃑⃑⃑⃑ −OF1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(OP⃑⃑⃑⃑⃑ +OF1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=0得|OP⃑⃑⃑⃑⃑ |=|OF1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|OF2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |所以∠F1PF2=90°.设|PF1|=m<|PF2|,则由椭圆的定义,可得|PF2|=2a-|PF1|=2a-m,而|F1F2|=2c.因为△F1PF2的三条边长成等差数列,所以2|PF2|=|PF1|+|F1F2|,即m+2c=2(2a-m),解得m=13(4a-2c),即|PF1|=13(4a-2c).所以|PF2|=2a-13(4a-2c)= 13(2a+2c).又∠F1PF2=90°,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,即[13(4a−2c)]2+[13(2a+2c)]2=(2c)2.整理,得5a2-2ac-7c2=0,解得a=75c或a=-c(舍去).则e=ca=57.故答案为57【点睛】本题利用向量式子得出焦点三角形为直角三角形，根据三边成等差数列得出|PF1|，|PF2|的长，再结合勾股定理得出a,c的等量关系即可求出e.13．2√2−1【解析】【详解】直线kx−y−2k+1=0可化为y-1=k（x-2）过定点P（2，1）, 直线x+ky−3k−2=0可化为x-2+k(y-3)=0过定点Q（2,3），且满足k•1-1•k=0，∴两条直线互相垂直，垂足为M，其交点M 在以PQ为直径的圆上，即M落在以T（2，2）为圆心，1为半径的圆上，所以|OM|的最小值为|OT|-1=2√2−1，故答案为2√2−1.【点睛】本题考查了直线的方程、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、动点的轨迹问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题,发现两条直线垂直是关键点.14．[−43，0]【解析】【分析】由直线m过定点（4，0）可设直线m为kx-y-4k=0，由A ，B ，C三点到直线m的有向距离之和为√1+k2√1+k2√1+k2=0，化简得kx-y-12k=0即求出了点C的轨迹，又C在圆上，所以转化为直线与圆有交点，即d≤r即可解得斜率范围.【详解】设直线m的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,设C(x,y)则A ，B ，C三点到直线m的有向距离之和为√1+k2√1+k2√1+k2=0，化简得kx-y-12k=0,又C在圆x2+(y−6)2=35上，所以kx-y-12k=0与x2+(y−6)2=36有交点，圆心到直线的距离为√1+k2≤6解得−43≤k≤0，故答案为[−43，0].【点睛】本题考查了新定义“有向距离”、点到直线的距离公式，根据题意求出点C的轨迹是关键，点C 即为直线与圆的交点，即可利用直线与圆的位置关系解决问题.15．(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：（1）连结AC,BD交于点0，连结OE，通过中位线的性质得到PA//OE，由线面平行判定定理得结果；（2）通过线面垂直得到DE⊥BC，通过等腰三角形得到DE⊥PC，由线面垂直判定定理可得DE⊥面PBC，再结合面面垂直判定定理得即可得结果.试题解析：（1）证明：连结AC,BD交于点0，连结OE，∵四边形ABCD为正方形，∴O为AC的中点，又∵E为PC中点，∴OE为△PAC的中位线∴PA//OE，又∵OE⊂BDE,PA⊄面BDE,PA//面BDE.（2）∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥CD，PD⊥BC，∴BC⊥面PCD∴DE⊥BC，又∵PD=DC，E为PC中点∴DE⊥PC，∴DE⊥面PBC，又∵DE⊂面BDE，∴面BDE⊥面PBC点睛：本题主要考查了线面平行的判定，面面平行的判定，属于基础题；主要通过线线平行得到线面平行，常见的形式有：1、利用三角形的中位线（或相似三角形）；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等；垂直关系中应始终抓住线线垂直这一主线..16．（1）3−4√310；（2）y=3+2sin(x2+π3)，y max=5.【解析】试题分析：（1）A点的坐标为(35,45)，根据正弦、余弦定义可得sin∠AOC=45,cos∠AOC=35，所以cos∠BOC=cos(π3+∠AOC)=3−4√310.（2）由题意知|AB|=|OC|=|OD|=1，在△AOC中，∠ACO=π−x2，由正弦定理得|CA|sin∠AOC=|OA|sin∠ACO，即|CA|=sinxsinπ−x2=2sin x2，同理有|BD|=2sin(π3−x2)，所以y=3+|CA|+|BD|=3+2sin x2+2sin(π3−x2)=3+2sin(x2+π3)，又因为∵0<x<2π3，∴x2+π3∈(π3,2π3)，∴sin(x2+π3)∈(√32,1]，所以当x=π3时，y max=5.试题解析：（1）A点的坐标为(35,45)，所以sin∠AOC=45,cos∠AOC=35，cos∠BOC=cos(π3+∠AOC)=3−4√310.（5分）（2）由题意知，y=3+|CA|+|BD|=3+2sin x2+2sin(π3−x2)=3+2sin(x2+π3)（8分）因为∵0<x<2π3，∴x2+π3∈(π3,2π3)，∴sin(x2+π3)∈(√32,1]，（10分）故当x=π3时，y max=5. （12分）考点：1.三角函数定义；2.正弦定理；3.恒等变换公式.17．(1) [1,21];(2) k≥2.【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得f′(x)=3(x−1)(x−k)，再分k≤1和k>1两种情况进行讨论；试题解析：（1）解：k=3时，f(x)=x3−6x2+9x+1则f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)令f′(x)=0得x1=1,x2=3列表由上表知函数f(x)的值域为[1,21]（2）方法一：f′(x)=3x2−3(k+1)x+3k=3(x−1)(x−k)①当k≤1时，∀x∈[1,2],f′(x)≥0，函数f(x)在区间[1,2]单调递增所以f(x)min=f(1)=1−32(k+1)+3k+1=3即k=53（舍）②当k≥2时，∀x∈[1,2],f′(x)≤0，函数f(x)在区间[1,2]单调递减所以f(x)min=f(2)=8−6(k+1)+3k⋅2+1=3符合题意③当1<k<2时,当x∈[1,k)时，f′(x)<0f(x)区间在[1,k)单调递减当x∈(k,2]时，f′(x)>0f(x)区间在(k,2]单调递增所以f(x)min=f(k)=k3−32(k+1)k2+3k2+1=3化简得：k3−3k2+4=0即(k+1)(k−2)2=0所以k=−1或k=2（舍）注：也可令g(k)=k3−3k2+4则g′(k)=3k2−6k=3k(k−2)对∀k∈(1,2),g′(k)≤0g(k)=k3−3k2+4在k∈(1,2)单调递减所以0<g(k)<2不符合题意综上所述：实数k取值范围为k≥2方法二：f′(x)=3x2−3(k+1)x+3k=3(x−1)(x−k)①当k≥2时，∀x∈[1,2],f′(x)≤0，函数f(x)在区间[1,2]单调递减所以f(x)min=f(2)=8−6(k+1)+3k⋅2+1=3符合题意…………8分②当k≤1时，∀x∈[1,2],f′(x)≥0，函数f(x)在区间[1,2]单调递增所以f(x)min<f(2)=3不符合题意③当1<k<2时,综上所述：实数k取值范围为k≥218．（1）轨迹是以(4√3，4)为圆心，4为半径的圆；(2) 15(√3－1)【解析】【分析】（1）由题意知点A坐标，设点P（x，y），利用|OP|=2|AP|列方程求得点P的轨迹方程；（2）求得直线l的方程，设|OA|=t、点P（x，y），利用|OP|=2|AP|求得点P的轨迹方程，利用点到直线的距离列不等式求出O、A间的最远距离．【详解】解：（1）设可疑船能被截获的点为P(x，y)，由题意得OP=2AP，OA=6 (海里)，∠AOx=90∘−60∘= 30∘，点A的坐标(3√3，3)，则有√x2+y2=2√(x−3√3)2+(y−3)2化简得(x－4√3)2+(y－4)2=16，轨迹是以(4√3，4)为圆心，4为半径的圆．（2）设点A的坐标(√3t，t)，t＞0，可疑船被截获处的点为P(x，y)，由题意得OP=2AP，即有√x2+y2=2√(x−√3t)2+(y−t)2，化简得(x−4√3t3)2+(y−4t3)2=16t29因为M(40，0)，l的倾斜角180∘−30∘=150∘，因此直线方程为l：x+√3y－40=0．由题意，点A在领海内，因此√3t+√3t－40＜0．即0＜t＜20√33．P的轨迹与直线没有公共点，则轨迹圆心到分界线距离|4√33t+4√33t−40|2>4t3，即|√33t－5|＞t3，解之得t＞15(√3+1)2(不合，舍去)或0＜t＜15(√3−1)2．又因为OA=2t，因此OA的最大距离为15(√3－1)(海里)．19．（1）x24+y22=1（2）详见解析（3）4．【解析】试题分析：（1）两个独立条件可解得两个未知数：由离心率为√22得a2=2b2，由椭圆C过点(1,√62)得1a2+32b2=1，即得a2=4，b2=2，则椭圆C的方程x24+y22=1．（2）证明AP⊥OM，一般从坐标表示出发：先设P(x1,y1)，则x12+2y12=4，又由B,P,M三点关系可得M(−2,−4y1x1+2)，从而AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x1+2,y1)⋅(−2,−4y1x1−2)=−2(x1+2)−4y12x1−2=−2×x12−4+2y12x1−2=0，也可设直线斜率表示点的坐标（3）同（2）OP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x1,y1)⋅(−2,−4y1x1−2)=−2x1−4y12x1−2=−2×x12−2x1+2y12x1−2=−2×4−2x1x1−2=4试题解析：（1）∵椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，∴a 2=2c 2，则a 2=2b 2，又椭圆C 过点(1,√62)，∴1a2+32b 2=1． 2分∴a 2=4，b 2=2， 则椭圆C 的方程x 24+y 22=1． 4分（2）设直线BM 的斜率为k ，则直线BM 的方程为y =k(x −2)，设P(x 1,y 1)， 将y =k(x −2)代入椭圆C 的方程x 24+y 22=1中并化简得：(2k 2+1)x 2−4k 2x +8k 2−4=0， 6分 解之得x 1=4k 2−22k 2+1，x 2=2， ∴y 1=k(x 1−2)=−4k 2k 2+1，从而P(4k 2−22k 2+1,−4k2k 2+1)． ８分令x =−2，得y =−4k ，∴M(−2,−4k)，OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−4k)． 9分 又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4k 2−22k 2+1+2,−4k2k 2+1)＝(8k 22k 2+1,−4k2k 2+1)， 11分 ∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−16k 22k 2+1+16k22k 2+1=0， ∴AP ⊥OM ． 13分（3）OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(4k 2−22k 2+1,−4k2k 2+1)⋅(−2,−4k)=−8k 2+4+16k 22k 2+1=8k 2+42k 2+1=4．∴OP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 为定值4． 16分 考点：直线与椭圆位置关系，椭圆方程 20．（I ）a n =1（II ）λ>13【解析】试题分析：（I ）λ=0时，S n+1=a n+1a nS n +a n+1,变形得S n+1a n+1=S n a n+1，即数列{Sn a n}为一个等差数列，从而S n a n=1+n −1=n ，再根据a n+1=S n+1−S n 得a n+1=(n +1)a n+1−na n ⇒a n+1=a n =1；也可变形为S n =a n+1a nS n ，即a n+1=a n ，从而有a n =1（II ）同（I ）可得S n+1a n+1−S n a n=λ⋅3n +1，再利用叠加法得到S n =(λ⋅3n −32+n)⋅a n ，利用a n+1=S n+1−S n 得(λ⋅3n+1−32+n)⋅a n+1= (λ⋅3n −32+n)⋅a n ，因为a n+1<12a n 对一切n ∈Ν∗恒成立，可化简为λ⋅3n −32+n <12(λ⋅3n+1−32+n)对一切n ∈Ν∗恒成立，变量分离得λ>2n3n +3对一切n ∈Ν∗恒成立，下面只需求出b n =2n3n +3最大值即可，利用求数列单调性方法得b 1=b 2=13是一切b n 中的最大项，因此λ>13试题解析：解：（I ）λ=0时，S n+1=a n+1a nS n +a n+1．又a n+1=S n+1−S n ，∴ S n =a n+1a nS n ．∵ a n >0，∴ S n >0．∴ a n+1=a n ． ∵ a 1=1，∴ a n =1．（II ）∵ S n+1=a n+1a nS n +(λ⋅3n +1)a n+1，a n >0，∴ S n+1a n+1−Sn a n=λ⋅3n +1．则S2a 2−S1a 1=λ⋅3+1，S 3a 3−S 2a 2=λ⋅32+1，⋅⋅⋅，S n a n−Sn−1a n−1=λ⋅3n−1+1（n ≥2）．相加，得Sn a n−1=λ⋅(3+32+⋅⋅⋅+3n−1)+n −1．则S n =(λ⋅3n −32+n)⋅a n （n ≥2）．上式对n =1也成立，∴ S n =(λ⋅3n −32+n)⋅a n （n ∈Ν∗）． ①∴ S n+1=(λ⋅3n+1−32+n +1)⋅a n+1（n ∈Ν∗）． ②②−①，得a n+1=(λ⋅3n+1−32+n +1)⋅a n+1−(λ⋅3n −32+n)⋅a n ，即(λ⋅3n+1−32+n)⋅a n+1=(λ⋅3n −32+n)⋅a n ．∵ λ≥0，∴ λ⋅3n −32+n >0，λ⋅3n+1−32+n >0．∵ a n+1<12a n 对一切n ∈Ν∗恒成立， ∴ λ⋅3n −32+n <12(λ⋅3n+1−32+n)对一切n ∈Ν∗恒成立．即λ>2n3n +3对一切n ∈Ν∗恒成立．记b n =2n3n +3，则b n −b n+1=23n +3−23n+1+3=(4n−2)3n −6(3n +3)(3n+1+3)． 当n =1时，b n −b n+1=0；当n ≥2时，b n −b n+1>0； ∴ b 1=b 2=13是一切b n 中的最大项．综上所述，λ的取值范围是λ>13．考点：由和项求通项，叠加法求和，数列单调性。
江苏省海安中学高二下学期第三次阶段检测数学(Ⅱ卷)试题Word版含答案
第21题A江苏省海安高级中学2017年高二学情检测数学试卷（Ⅱ）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中两题作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E ．求证：2DE DB DA =⋅．B ． 选修4—2：矩阵与变换设曲线22221x xy y ++=在矩阵()001m m n ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．C ． 选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy 中,已知圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=．（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆12,C C 的极坐标方程； （2）求圆12C C 与的公共弦的参数方程．D ． 选修4—5：不等式选讲已知a >0，b >0，证明：(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本题满分10分）第22题ABC DEFP已知正六棱锥P -ABCDEF 的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取 3个顶点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积． （1）求概率(P X =的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．23．（本题满分10分）已知数列{}n b 满足112b =，112(2*)n nb n n b -+=∈N ≥，． （1）求2b ，3b ，猜想数列{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设n n x b =，1n n y b +=，比较x x 与yy 的大小．江苏省海安高级中学2017年高二学情检测数学试卷（Ⅱ）参考答案21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中两题作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ， 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E ．求证：2DE DB DA =⋅．【证明】连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°．所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ， 所以∠OCF =∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF +∠CEO =90°．…5分 所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ． 因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ． 所以DE 2=DB ·DA ． ………………10分 B ． 选修4—2：矩阵与变换设曲线22221x xy y ++=在矩阵()001m m n ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．【解】设曲线22221x xy y ++=上任一点(,)P x y 在矩阵M 对应的变换下的像是(,)P x y ''',由01x m x mx n y y nx y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx y nx y '=⎧⎨'=+⎩，，因为()P x y '''，在圆221x y +=上 所以()()221mx nx y ++=，化简可得2222()21m n x nxy y +++=．…………3分依题意可得22222m n n +==，，11m n ==，或11m n =-=，而由0m >可得11m n ==，…6分 故1011⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ,11011-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ．………………………10分 C ． 选修4—4：坐标系与参数方程A BCEF P 在平面直角坐标xOy 中,已知圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=．（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆12,C C 的极坐标方程； （2）求圆12C C 与的公共弦的参数方程．解（1）圆1C 的极坐标方程为=2ρ， 圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．……………………4分（2）由（1）得，圆12C C ，交点直角坐标为(1(1，，． ……………………7分故圆12C C 与的公共弦的参数方程为1(x y t t =⎧⎪⎨=⎪⎩，．……………………10分注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣2分．D ． 选修4—5：不等式选讲已知a >0，b >0，证明：(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2．【解】因为a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++2)9=≥， 当且仅当13a b c ===时，等号成立． ………………………………8分 即1111323232a b c +++++，故111323232a b c +++++的最小值为1．…………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本题满分10分）已知正六棱锥P -ABCDEF 的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个顶点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积． （1）求概率(P X =的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．解 从7个顶点中随机选取3个顶点构成三角形，共有37C 35=种取法．其中X =角形如△ABF ，这类三角形共有6个．因此(P X = 376635C ==．……………………3分（2）X 2其中X =ABF ，这类三角形共有6个；其中2X =的三角形有两类，如△P AD （3个），如△P AB （6个），共有9个；其中X =PBD ，这类三角形共有6个；其中X =CDF ，这类三角形共有12个；其中X =的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个．因此6(35P X ==，9(2)35P X ==，6(35P X =，12(35P X ==，12(35P X ==．……………………………………………………………………8分 所以随机变量的概率分布表为：所求数学期望696122()23535353535E X +⨯+++=…………………………………………………………………………………………………10分23．（本题满分10分）已知数列{}n b 满足112b =，112(2*)n nb n n b -+=∈N ≥，． （1）求2b ，3b ，猜想数列{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设n n x b =，1n n y b +=，比较xx 与yy 的大小．解（1）当2n =时，11122b +=，解得223b =．当3n =时，21223b +=，解得334b =．猜想1n n b n =+．………………………………………………………………3分 证明 ①1n =时，112b =，结论成立．②假设n k =时，1k k b k =+成立．则1n k =+时，112k k b b ++=，由于1121k k b k ++=+，所以112k k b k ++=+，于是1n k =+时，结论成立．由①②知，对任意正整数n ，1n n b n =+． (6)分（2）由（1）知()1nn x n =+，()11n n y n +=+，所以x x =()()11nn nn n n +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．()()1111n n n n y ny n +++⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦()()1(1)11n n n n n n +++=+()()11nn nn n n +=+()()11nn nn n n +⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦．所以x x ＝yy ．…………………………………………………………………………10分。
(解析版)江苏省海安高级中学2017-2018学年高二6月月考
江苏省海安高级中学2017-2018学年高二6月月考物理试题一、单项选择题：本题包括6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．选对的得3分，选错或不答的得0分．1. 下列说法正确的是（）A. 布朗运动反映了花粉小颗粒内部分子的无规则运动B. 只要知道气体的摩尔体积和阿伏伽德罗常数，就可以算出气体分子的体积C. 自行车打气越打越困难主要是因为胎内气体分子间相互排斥的原因D. 液体表面层分子间距离大于液体内部分子间距离，所以液体表面存在表面张力【答案】D【解析】布朗运动是花粉小颗粒的运动，反映了液体分子的无规则运动，选项A错误；知道气体的摩尔体积和阿伏伽德罗常数，可以算出每个气体分子运动占据的空间的体积，不能求解每个分子的体积，选项B错误；自行车打气越打越困难主要是气体压强的缘故，与气体分子间相互作用力无关，选项C错误；液体表面层分子间距离大于液体内部分子间距离，所以液体表面存在表面张力，选项D正确；故选D.2. 下列关于原子结构的说法正确的是（）A. 根据经典电磁理论，原子光谱应该是连续的B. 汤姆孙发现了电子，表明原子具有核式结构C. 粒子散射实验证明了原子核是由质子和中子组成的D. 由玻尔原子理论可知电子绕原子核转动时不断向外辐射电磁波【答案】A【解析】氢原子光谱具有分裂特征，发射光谱是亮线光谱，吸收光谱是暗线光谱；而按照经典电磁理论，氢原子光谱应该是连续光谱，选项A正确；汤姆孙发现了电子，表明原子具有复杂的结构，选项B错误；卢瑟福的α粒子散射实验提出了原子的核式结构模型，不能证明原子核是由质子和中子组成的，故C错误；由玻尔原子理论可知电子绕原子核运转时原子是稳定的，电子虽然高速转动，但不向外辐射电磁波，选项D错误；故选A.3. 质量为60kg的建筑工人，不慎从高空跌下，由于弹性安全带的保护，使他悬挂起来，已知弹性安全带从开始绷直到拉伸至最长的缓冲时间是1.2s，安全带长5m（g取10m/s2），则安全带所受的平均冲力的大小为（）A. 500NB. 1100NC. 600ND. 100N【答案】B..................4. 如图甲所示，小物块从足够长的光滑斜面顶端由静止自由滑下。
江苏省海安中学2016-2017学年高二下学期第三次阶段检测数学(I卷)试题
S ←0For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S第5题图）第6题图江苏省海安高级中学2017年高二学情检测数学试卷（Ⅰ）参考公式：13V sh =棱锥（s ，h 分别为棱锥底面面积和高）．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 设全集{}1234U =，，，，集合{}13A =，，{}23B =，，则UB A ＝ ▲ ．2． 命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是 ▲ ． 3． 已知数列{}n a 是等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的 ▲ ． 4． 已知复数13i3iz +=-，i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅＝ ▲ ． 5． 运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ．6． 对某路段上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h -的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h 以下的汽车有 ▲ 辆．7． 若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲不在第一天且乙不在第二天，同时丙不在第三天的概率为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且它的一个焦点与抛物线28x y=的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲ ．9． 已知(42)xx=，a ，22(1)2x x -=，b ，x ∈R ．若⊥a b ，则-=|a b | ▲ ． 10．设一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱体积为1V ，底面边长为锥的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ． 11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q ≠，若3232S S >，则公比q 的取值范围是 ▲ ．ABCDE FMO第16题12．函数()212log 1x f x x =-的最大值是 ▲ ．13．过点(40)P -，的直线l 与圆22:4C x y +=相交于A B ，两点，若点A 恰好是线段PB 的 中点，则直线l 的斜率是 ▲ ．14．在ABC △中，已知3sin 2sin C B =，点M N ，分别是边AC AB ，的中点，则BM CN的取值范围是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四边形ABEF 中，AF FB ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面ABEF ．（1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM //平面DAF ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c ， 已知3cos210cos()10C A B -+-=． （1）求cos C 的值；（2）若c ＝1，tan B ＝2，求a 的值．17．（本小题满分14分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米． （1）按下列要求写出函数关系式：①设CD =2x （米），将y 表示成x 的函数关系式； ②设∠BOC =θ（rad ），将y 表示成θ的函数关系式．第17题（2）选择一个函数关系式，求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中已知12F F ，分别为椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左右焦点，且 椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆E 的离心率． （1）求椭圆E 的方程；（2）点P 为椭圆E 上任意一点，求22+PA PO 的最小值；（3）过点A 的直线l 交椭圆E 于另一点B ，点M 在直线l 上，且OM MA =，若12MF BF ⊥，求直线l 的斜率．19．（本小题满分16分）设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）求证：1()0f a≤；（3）若函数()f x 的极大值为0，求实数a 的值．20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-恒成立． （1）若21,2n A n b ==，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<成立，求正实数1b 的取值范围；（3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由．江苏省海安高级中学2017年高二学情检测数学试卷（Ⅰ）参考答案参考公式：13V sh =棱锥（s ，h 分别为棱锥底面面积和高）．二、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 设全集{}1234U =，，，，集合{}13A =，，{}23B =，，则UB A ＝ ▲ ．{}22． 命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是 ▲ ．若6απ≠，则1sin 2α≠ 3． 已知数列{}n a 是等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的 ▲ ．必要不充分条件 4． 已知复数13i3iz +=-，i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅＝ ▲ ．1S ←0For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S第5题图速度（km/h ）第6题图5． 运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ．166． 对某路段上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h -的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h 以下的汽车有 ▲ 辆．757． 若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲不在第一天且乙不在第二天，同时丙不在第三天的概率为 ▲ ．138． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且它的一个焦点与抛物线28x y=的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲ ．222y x -=9． 已知(42)xx=，a ，22(1)2x x -=，b ，x ∈R ．若⊥a b ，则-=|a b | ▲ ．2 10．设一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱体积为1V ，底面边长为锥的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ．2π 11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q ≠，若3232S S >，则公比q 的取值范围是 ▲ ． 1(1)(1)2--+∞，，12．函数()212log1x f x x =-的最大值是 ▲ ．2-13．过点(40)P -，的直线l 与圆22:4C x y +=相交于A B ，两点，若点A 恰好是线段PB 的 中点，则直线l 的斜率是 ▲ ．14．在ABC △中，已知3sin 2sin C B =，点M N ，分别是边AC AB ，的中点，则BM CN的取值范围是▲ ．()7148， 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四边形ABEF 中，AF FB ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面ABEF ．（1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM //平面DAF ．证明：(1)因为平面⊥ABCD 平面ABEF ，AB CB ⊥，平面ABCD 平面ABEF =AB ，所以CB ⊥平面ABEF ， （2分）又AF ⊂平面ABEF ，则AF CB ⊥， （4分） 又AF BF ⊥，且BF BC B ⋂=，,BF BC ⊂平面CBF ，所以AF ⊥平面CBF ． （7分） (2)设DF 的中点为N ，则CD MN 21//， （9分） 又CD AO 21//，则AO MN //，所以四边形MNAO 为平行四边形，所以//OM AN ．（12分）又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ， 所以//OM 平面DAF ． （14分） 16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c ，已知3cos210cos()10C A B -+-=． （1）求cos C 的值；（2）若c ＝1， tan B ＝2，求a 的值．ABCDE FMO解（1）由01)cos(102cos 3=-+-B A C ，得02cos 5cos 32=-+C C ，（3分）即0)1cos 3)(2(cos =-+C C ，解得31cos =C 或2cos -=C (舍去) ． （6分） （2）由1cos 3C =，0C <<π，有2sin 1cos C C =-22=因为sin tan cos B B B =，所以2222sin 1cos 2cos cos B B B B-==，解得2cos B 13=． 又tan 20B =>，02B π<<，于是3cos B =6sin tan cos B B B ==10分）sin sin()A B C =+sin cos cos sin B C B C =+6322136=．（12分）由正弦定理得23sin sin ==C A c a ． （14分）17．（本小题满分14分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米． （1）按下列要求写出函数关系式：①设CD =2x （米），将y 表示成x 的函数关系式； ②设∠BOC =θ（rad ），将y 表示成θ的函数关系式． （2）选择一个函数关系式，求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．解 以直径AB 所在的直线为x 轴，线段AB 中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，过点C 作CE 垂直于x 轴于点E ．（1）①CD =2x ，OE =x （0＜x ＜1），21CE x =-所以1()2y AB CD CE =+⋅21(22)12x x =+-2(1)1(01)x x x =+-<<．……………………………………………………………………………………………4分 ②(0)2BOC θθπ∠=<<，OE =cos θ，CE =sin θ，1()2y AB CD CE =+⋅1(22cos )sin 2θθ=+(1cos )sin θθ=+(0)2θπ<<．……………………………………………………………………………………………8分（2）（方法1）由①可知(1y x =+=设43221t x x x =--++，所以3224622(1)(21)t x x x x '=--+=-+-，令t '=0，解得12x =，或1x =-（舍）．………………………………………………10分当102x <<时，t '＞0，则函数t 在1(0)2，上单调递增， 当112x <<时，t '＜0，则函数在1(1)2，上单调递减，当12x =时，t 有最大值2716，y max ．答 梯形部份ABCD 面积y 平方米．………………………………… 14分 （方法2）由②可知，y '='=（sin θ）'+（sin θ ·cos θ）'=cos θ+cos 2θ﹣sin 2θ=2cos 2θ+cos θ﹣1，令y'=0，2cos 2θ+cos θ﹣1=0，解得1cos 2θ=，或cos 1θ=-（舍）． ………………10分当3θπ0<<时，y '＞0，则函数y 在(0)3π，上单调递增， 当32θππ<<时，y '＜0，则函数y 在()32ππ，上单调递减，当3θπ=时，y max ，答 梯形部份ABCD 平方米．…………………………………14分18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中已知12F F ，分别为椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左右焦点，且 椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆E 的离心率． （1）求椭圆E 的方程；（2）点P 为椭圆E 上任意一点，求22+PA PO 的最小值；（3）过点A 的直线l 交椭圆E 于另一点B ，点M 在直线l 上，且OM MA =，若12MF BF ⊥，求直线l 的斜率．解 （1）因为椭圆E 经过点(20)A ，和(13)e ，，所以22222291144a c b b c a ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，，，解得2a =，b 1c =． 所以椭圆E 的方程22143y x +=．…………………………………………………4分（2）设点P 的坐标为()x y ，，于是22+PA PO =()22222x y x y ++-+．P 在椭圆E 上，22143y x +=，所以22+PA PO =214102x x -+21(4)22x =-+．由于22x -≤≤，所以2x =时，22min+4PA PO ⎡⎤=⎣⎦，此时点(20)P ，． ………………………………………………………………………………………8分 （3）由（1）知，1(10)F -，，2(10)F ，．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是(2)y k x =-．联立22143(2)y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去y 可得2222(43)1616120k x k x k +-+-=， 解得2x =，或228643k x k -=+，所以点B 坐标为2228612()4343k k k k --++，．…………10分 由OM MA =知，点M 在OA 的中垂线1x =上，又点M 在直线l 上，所以点M 的坐标为(1)k -，．从而1(2)F M k =-，，22224912()4343k k F B k k --=++，．………………………………12分 因为12MF BF ⊥，所以120F M F B ⋅=．12F M F B ⋅=2222818124343k k k k -+++222018043k k -==+，2910k =，k = 故直线l的斜率是．……………………………………………………16分19．（本小题满分15分）设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）求证：1()0f a≤；（3）若函数()f x 的极大值为0，求实数a 的值．解（1）当2a =时，2()ln 22f x x x x =-+，则1'()42f x x x=-+，……………2分 所以'(1)1f =-，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=．…………4分（2）因为111()ln1f a a a=-+，设函数()ln 1g x x x =-+， 则11'()1xg x x x-=-=， …………………………………………………6分 令'()0g x =，得1x =，列表如下：所以111()ln10f a a a=-+≤．………………………………………………8分 （3）2121'()2ax ax f x ax a x x--=-+=-，0x >，令'()0f x >x <<0<，所以()f x 在(0,4a a 上单调增，在()4a a++∞上单调减．所以x =()f x 取极大值．…………………………………………12分于是0f =⎝⎭，而(1)0f =，1=，解得1a =．…………………………………………14分设0x =若01x ≠，根据函数的单调性，总有0()(1)0f x f >=，即函数()f x 的极大值不为0，与已知矛盾．因此01x =，所以a 的值为1．…………………………………………………16分20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-恒成立．（1）若21,2n A n b ==，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及3124122334113n n n b b b ba a a a a a a a ++++++<成立，求正实数1b 的取值范围；（3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由．解（1）因为2n A n = ，当2n ≥时， 1n n n a A A -=- ()221n n =-- 21n =- ，11a = 也适合上式，所以21n a n =-． …………………………………………2分 从而111()12n n n n b b a a ++-=-=，数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以21132(1)1222n B n n n n n =⋅+⋅⋅-⋅=+． …………………………………………4分（2）依题意112()n n n n B B b b ++-=-，即112()n n n b b b ++=-，即12n nb b +=， 所以数列{}n b 是以1b 为首项，2为公比的等比数列，所以1112(21)12nn n n a B b b -==⨯=--，所以11112(21)(21)nn n n n n b a a b +++=-⋅- …………………………………………5分 因为111111112111()(21)(21)2121n n n n n n n n b b a a b b b ++++⋅==--⋅---…………………………………8分 所以31241112233411111()2121n n n n b b b b a a a a a a a a b +++++++=---， 所以1111111()21213n b +-<--恒成立， 即1113(1)21n b +>--，所以13b ≥． …………………………………………10分 （3）由112()n n n n a a b b ++-=-得：112n n n a a ++-=，所以当2n ≥时，11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+132********n n n -+=+++++=-，当1n =时，上式也成立，所以2242n n A n +=--，又122n n B +=-，所以2124222221n n n n n A n n B ++--==---， …………………………………………12分假设存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列， 等价于11,,212121s t s t ---成等差数列，即121212121s ts t=+--- ………………13分 即212121st s t =+--，因为1121t t +>-，所以2121s s>-，即221s s <+ …………14分令(s)221(2,)s h s s s *=--≥∈N ，则(1)(s)220s h s h +-=->，所以(s)h 递增， 若3s ≥，则(s)h(3)10h ≥=>，不满足221s s <+，所以2s =， 代入121212121s ts t=+---得2310t t --=(3)t ≥， 当3t =时，显然不符合要求；当4t ≥时，令()231(3,)t t t t t ϕ*=--≥∈N ，则同理可证()t ϕ递增，所以()(4)30t ϕϕ≥=>， 所以不符合要求．所以，不存在正整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列．…………………16分。
江苏省海安高级中学2017-2018学年高二6月月考数学(理)试题(解析版)
江苏省海安高级中学2017-2018学年高二6月月考数学（理）试题全解全析1．2【解析】分析：先求出复数的代数形式，再求即可．详解：由题意得，∴．点睛：本题考查复数的除法运算和复数模的求法，考查学生的运算能力，属容易题．2．③点睛：本题考查复数的乘法运算和复数的概念，解题的关键是准确理解复数的概念，并把复数的问题转化为实数的问题解决．3．3【解析】分析：根据方差的定义并结合条件可求出数据3x1，3x2，…，3x100 的方差，然后再求标准差．详解：设数据x1，x2，…，x100的平均数为，则数据3x1，3x2，…，3x100 的平均数为．由题意得，设数据3x1，3x2，…，3x100 的方差为，则，∴数据3x1，3x2，…，3x100 的标准差为．点睛：若数据x1，x2，…，x n的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的平均数为a＋b，方差为a2s2，解题时要注意这一结论的运用，正确理解系数对结果的影响．4．11【解析】试题分析：I=1，1<7成立，S=3，I=3；3<7成立，S=7，I=5；5<7，S=11，I=7；7<7不成立，输出11；考点：1.程序框图；2.循环结构；5．【解析】分析：根据古典概型概率公式求解即可．详解：由题意得，从从1,2,3,4,5五个数中取两个数的所有可能情况有，共10种，其中取出的恰好都为偶数的情况只有一种，故所求概率为．点睛：求古典概型概率的关键一是对概率类型的判断；二是通过列举等方法得到所有的基本事件总数和事件A 包含的基本事件的个数，然后再根据公式求解．6．【解析】硬币的直径为2 cm,所以半径为1 cm.硬币的圆心距正方形各边的距离都大于1 cm时,也就是硬币的圆心落在一个边长为4 cm的正方形内,硬币与格线没有公共交点,所以硬币与格线有公共点的概率为1-.故答案为：.点睛：本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．点睛：类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．8．【解析】分析：根据，然后各项相加后相消可得结果．详解：∵，∴．点睛：解题的关键是将式子中的每一项进行裂为两项的形式，然后相消可得结果，主要考查学生的变形能力和运算能力．9．84【解析】分析：根据二项展开式的通项求先求得有理数的个数，然后可得无理数的个数．详解：展开式的通项为，当为整数且为整数时，为有理数，此时，共17项，所以无理数的个数为个．点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数，再代回通项公式即可．10．590【解析】试题分析：法一、据题意，选派结果有以下三类：骨科1名、脑外科2名、内科2名，骨科2名、脑外科1名、内科2名，骨科2名、脑外科2名、内科1名，骨科3名、脑外科1名、内科1名，骨科1名、脑外科1名、内科3名，骨科1名、脑外科3名、内科1名.所以选派方法总数为：.法二、（排除法）由于每个科都未超过5人，那么将2个科合在一起，任选5人，则在这2个科中每个科都必有一人.另外由于每个科都未超过5人，那么从这11人中任选5人，不存在这5人同一科的情况，故选派种数为：.考点：排列组合.11．【解析】分析：设等比数列的公比为，则，从而得到，然后进行分类讨论，可求出所有k值．详解：设等比数列的公比为，则，所以．①若为等差中项，则，即，解得a=1，不合题意．③若为等差中项，则，即，化简得：，解得或(舍去)，∴综上可得满足要求的实数k有且仅有一个，且．点睛：本题考查等比数列的基本运算，解题的关键是由“任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列”进行分类讨论，逐步求得结果．12．【解析】分析：利用已知条件通过直线与单位圆的关系求出点的坐标，然后利用两角和的正切公式求解即可．详解：由题意可得，点，是单位圆与直线的交点，由，解得或，∴，∴．同理，∴．点睛：解答本题的关键是结合题意，通过解方程组得到点A,B的坐标，进而可求得，然后根据两角和的正切公式求解．主要考查学生利用所学知识解决问题和计算能力．13．【解析】分析：利用数量积定义及其运算性质、基本不等式可得结果．详解：由题意得，∴．又，∴．∴，解得，∴，当且仅当且，即时等号成立．故的最大值为．点睛：本题考查平面向量基本定理及向量数量积的运算，解题的关键是由数量积得到间的关系，然后结合利用基本不等式求解可得所求的最大值．14．【解析】分析：分x=0和x≠0两种情况讨论．当x≠0时，利用换元法将问题转化为求函数在区间上的最值的问题处理，进而可得所求的最大值．详解：①当x=0时，；②当x≠0时，由，令，由得，则，由于在上单调递减，所以，此时x＝，所以f(x)≤．故f(x)的最大值为．点睛：根据单调性和基本不等式求最值是求最值的常用方法，由于本题中函数的解析式较复杂，因此解题时需要作变形，并结合函数解析式的特点，利用换元的方法把原函数进行简化，然后利用单调性求出函数的最值，换元时要注意新元的范围．15．（1）见解析（2）见解析（2）因为是二面角C-AD-E的平面角，所以又因为，平面ABC，所以DA平面ABC，又DA平面DABE，所以平面ABC平面DABE.点睛：本题考查空间位置关系的证明，解题时要结合图形进行分析，找到证明结论时需要的条件，然后根据相应的定理、性质等进行推理证明即可．16．（1）（2）【解析】试题分析：（I）利用锐角△ABC中，sinC=，求出角C的大小；（II）先求得B+A=150°，根据B、A都是锐角求出A的范围，由正弦定理得到a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），根据a2+b2=4+2sin（2A﹣60°）及A的范围，得（2A﹣60°），从而得到a2+b2的范围．详解：（I）由已知及余弦定理，得tanC===，∴sinC=，故锐角C=．（II）当C=1时，∵B+A=150°，∴B=150°﹣A．由题意得，∴60°＜A＜90°．由=2，得a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），∴a2+b2=4[sin2A+sin2（A+30°）]=4[+]=4[1﹣cos2A﹣（cosA﹣sin2A）]=4+2sin（2A﹣60°）．∵60°＜A＜90°，∴（2A﹣60°）．∴7＜a2+b2≤4+2．点睛：本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理得应用，三角在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.17．（1）或（2）见解析【解析】分析：（1）设点的坐标为，根据切线长定理可得，又为坐标轴上的点，由此可得所求．（2）由题意可设直线的方程为，即．问题等价于圆心到直线的距离小于半径，即，分析可得，由可得，从而得结论成立．详解：（1）设点的坐标为，圆与圆的半径分别为，由题意得，即化简得，因为为坐标轴上的点，所以点的坐标为或.（2）依题意知直线过圆的圆心，可设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，又圆的半径为，“直线与圆总相交”等价于．．．“且，”，即①，记，整理得，当时，得；当时，由判别式，解得；综上得，的最小值为1，所以由①可得，解得．故直线与圆总相交．点睛：本题考查直线和圆的位置关系和学生的运算能力．解答本题（2）时要注意方法的选择，由于运算量较大，解题时可根据等价转化的方法、通过逐步的分析，得到结论成立时所需要的条件，从而达到解题的目的．18．1）（2）（3），【解析】分析：由题意得到．（1）运用赋值法求解．（2）将两边求导后再用赋值法求解．（3）由题意列出不等式组，解不等式组后可得所求项．详解：∵展开式中二项式系数最大的是四、五两项，∴展开式中有8项，故，∴展开式的通项为，（1）由展开式通项可得，在中，令，得，令，得，∴．（3）展开式的通项为，故展开式中项的系数的绝对值为，假设第r项的系数绝对值最大，则，解得，又，∴或，故第2项和第3项的系数绝对值最大，且．点睛：（1）与二项式系数和或项的系数和有关的问题，常用的解法时赋值法，通过对变量取特殊的值达到去掉字母的目的，进而得到所求的和．（2）求系数最大的项时，要注意构造不等式组，解不等式组得到的取值后再求相关的项．19．（1）见解析（2）0<p<0.3【解析】分析：（1）由题意可得随机变量X1的分布列和期望；结合X～B(2，p)可得随机变量X2的分布列和期望．（2）由E(X1)<E(X2)可得关于p的不等式，解不等式可得所求．详解：(1)由题意得X1的分布列为∴E(X1)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.由题设得X～B(2，p)，即X的分布列为所以X2的分布列为∴E(X2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2＝－p2－0.1p＋1.3.(2)由E(X1)<E(X2)，得－p2－0.1p＋1.3>1.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0，解得－0.4<p<0.3.因为0<p<1，所以0<p<0.3．即当E(X1)<E(X2)时，p的取值范围是.点睛：(1)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2)求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求EX，DX即可．20．（1）1（2）1【解析】分析：（1）当时可得，可得.（2）先得到关系式，累乘可得，从而可得，即为定值．详解：（1）当时，，又，所以.（2）即，由累乘可得，又，所以．即恒为定值1．点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的的定义，并结合组合数公式求解．由于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误．21．（1）a ＝1，b ＝－；（2）λ1＝1，λ2＝3； 【解析】试题分析：利用题意得到特征多项式，据此即可求得相应的特征值为3和122．（1）圆M ： 22742x y ⎛⎛⎫+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭圆N ： 22312x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭；（2）1. 【解析】试题分析：（1）将圆M 的参数方程消去参数可得直角坐标方程；把点232ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，和点，化为直角坐标可得圆N 的圆心和圆N 上的一点，从而可得半径，进而可求得圆的方程。
江苏省海安高级中学2017-2018学年高二上学期中期考试数学(理)试题Word版含答案
江苏省海安高级中学2017-2018学年度第一学期期中考试高二数学（理）试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点坐标是()10，，则抛物线 C 的标准方程是 ▲ ．2．设空间任意一点O 和不共线三点A ，B ，C ，且点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++uur uu r uur uu u r ，若P ，A ，B ，C 四点共面，则x +y +z = ▲ ．3．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则p 是q 的 ▲ ．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的准线方程是 ▲ ． 5．若实数x y ，满足102030x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，，． 则2z x y =-的取值范围是 ▲ ．6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为3 ()n n S k k =-∈*N ，则2k a 的值为 ▲ ．7．在ABC △中，若5=AB ，12=AC ，AB AC BC +=uu u r uuu r uu u r ，则BA BCBCuu r uu u rg uu ur 的值为 ▲ ． 8．设函数120()10 2.x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，，，若函数g (x )=f (x )-ax ，x ∈[-2，2]为偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．9．设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ▲ ．10．已知m ，n 是不重合的直线，αβγ，，是不重合的平面，给出下列命题：①若,m m n αβαβ⊥=⊥I ，，则α⊥n 或β⊥n ； ②若//,m n αβαγβγ==，，I I 则n m //；③若m 不垂直α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④若,//,m m n αβ=I 且,,βα⊄⊄n n 则//n α且β//n ； 其中正确的命题序号为 ▲ ．PA BCD第16题图11．定义在R 上的函数11|1|()11x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩．，， 若关于x 的函数21()()()2h x f x bf x =++有5个不同的零点12345,x x x x x ，，，，，则2222212345x x x x x ++++= ▲ ． 12．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2221x y +=的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B ，C ，…”②解：设AB 的斜率为k ，…点B ()222122 1212k k k k-++，，D ()5 03-，…” 据此，请你写出直线CD 的斜率为 ▲ ．（用k 表示）13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A C =，2c =，244a b =-，则a ＝ ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中,设将椭圆22x a +221y a -=1(a >0)绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线x －y =0(x ≥2) 上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)设全集U =R ，函数2lg(4+3)y x x =-的定义域为A ，函数3[0]1y x m x =∈+，，的值域为B .(1)当4m =时，求U B A ðU ；(2)若“U A x ∈ð”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 16．(本小题满分14分)在三棱锥P －ABC 中，D 为AB 的中点.(1) 与BC 平行的平面PDE 交AC 于点E ，判断点E 在AC 上的位置， 并说明理由；(2) 若PA=PB ，且△PCD 为锐角三角形，又平面PCD ⊥平面ABC ， 求证：AB ⊥PC ．17．(本小题满分14分)已知向量a ＝3(sin )4x ，，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知3()24f α=，()2απ∈π，，求sin α的值．18．(本小题满分16分)如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C ，与地面的接触点为G .与圆形标志物在同一平面内的地面上点P 处有一个观测点，且m PG 50=.在观测点正前方m 10处（即m PD 10=）有一个高为m 10（即m ED 10=)的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A 到F 的圆弧.(1)若圆形标志物半径为m 25，以PG 所在直线为x 轴，G 为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C 和直线PF 的方程；(2)若在点P 处观测该圆形标志的最大视角（即APF ∠)的正切值为3941，求该圆形标志物的半径．19．（本小题满分16分）设椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>倍，过焦点且垂直于x 轴的GEDPACF第18题直线被椭圆截得的弦长为(1)求椭圆E 的方程；(2)点P 是椭圆E 上横坐标大于2的动点，点B C ，在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，试判断点P 在何位置时BC 的长度最小，并证明你的判断．20．（本小题满分16分）已知以1a 为首项的数列{}n a 满足：133n n n n n a c a a a a d++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，，．，(1)当11=a ，3,1==d c 时，求数列{}n a 的通项公式；(2)当101<<a ，13c d ==，时，试用1a 表示数列{}n a 前100项的和100S ；(3)当m a 101<<（m 是正整数），m c 1=，正整数m d 3≥时，判断数列m a 12-，ma m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+是否成等比数列？并说明理由．参考答案1.【答案】24y x =2.【答案】 1第19题图3.【答案】否命题．4.【答案】12y =± 5.【答案】[4]－，0 6.【答案】6 7.【答案】13258.【答案】129.【答案】6 10.【答案】②④ 11.【答案】15 12.【答案】2324k k +13.【答案】14.15.【解析】(1)由24+30x x ->，解得x <1或x >3，所以U A ð=[1，3]， ........2分又函数31y x =+在区间[0]m ，上单调递减，所以3[3]1y m ∈+，，即3[3]1B m =+，， .....4分 当4m =时，3[3]5B =，，所以U B AðU =[35，3]. .......6分(2)首先要求0m >， .......8分而“U A x ∈ð”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以，即3[3]1m +，[1，3]，.........10分从而311m >+，.......12分解得02m << .......14分注意：02m <<不考虑端点扣2分。
2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学高二(下)期中数学试卷(理科)(J)
2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）(J)副标题一、填空题（本大题共14小题，共14.0分）1.i是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数m的值为______．【答案】【解析】解：复数为纯虚数，，，解得，故答案为．根据纯虚数的定义可得，，由此解得实数m的值．本题主要考查复数的基本概念，得到，，是解题的关键，属于基础题．2.右面的伪代码输出的结果是______．【答案】21【解析】解：模拟程序的运行，可得，，，，输出S的值为21．故答案为：21．循环是知道了循环的次数的循环，本题I的取值分别为1，2，3，则执行3次循环，根据语句执行三次，从而求得S即可．本题主要考查了循环，语句的识别问题是一个逆向性思维，如果将程序摆在我们的面前时，我们要从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能，算法和语句是新课标新增的内容，属于基础题．3.设等比数列的公比为2，前10项和为，则的值为______．【答案】【解析】解：由等比数列的前n项和公式得，即，即，故答案为：根据等比数列的前n项和公式建立方程进行求解即可．本题主要考查等比数列前n项和公式的应用，建立方程是解决本题的关键．4.用1，2，3，4，5共5个数排成一个没有重复数字的三位数，则这样的三位数有______个【答案】60【解析】解：根据题意，用1，2，3，4，5共5个数排成一个没有重复数字的三位数，则有种情况，即有60个没有重复数字的三位数，故答案为：60．根据题意，由排列数公式计算即可得答案．本题考查排列数公式的应用，注意区分排列数、组合数公式．5.某调查机构观察了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图如图，则新生婴儿的体重在的有______人【答案】40【解析】解：在频率分步直方图中小长方形的面积为频率．在的频率为，频数为，在的频率为，频数为．则新生婴儿的体重在内大约有人．故答案为：40．新生婴儿的体重在的分为，两部分在频率分步直方图中小长方形的面积为频率，用长乘以宽，得到频率，用频率乘以总体个数，分别得到这两个范围中的个体数再相加，可得答案．本题考查频率分步直方图，考查频率分步直方图中小长方形的面积等于频率，考查频率，频数和样本容量之间的关系．6.若复数z满足，则的最大值是______．【答案】2【解析】解：的几何意义为单位圆上的点，的几何意义为单位圆上的点到的距离，由图可知，的最大值是2．故答案为：2．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．7.将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，则所得的图象的函数解析式为______．【答案】【解析】解：将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，则所得的图象的函数解析式为．故答案为：．按照左加右减的原则，求出函数所有点向右平移个单位的解析式，然后求出将图象上所有点的横坐标变为原来的倍时的解析式即可．本题是基础题，考查函数的图象的平移与伸缩变换，注意x的系数与函数平移的方向，易错题．8.已知数列的前n项和为，数列满足为常数，且，，，，且，，成等差数列，则等于______．【答案】120【解析】解：由，，成等差数列，可得：，为常数，且，，，，，．，化为：，，解得．．数列的奇数项与偶函项分别成等差数列，公差为1，首项分别为1，2．．故答案为：120．由，，成等差数列，可得：，根据为常数，且，，，，可得，解得再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为，目标未受损的概率为，则目标受损但未完全击毁的概率为______．【答案】【解析】解：一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为，目标未受损的概率为，目标未受损，目标受损，目标受损分为完全击毁和未完全击毁两种情形，它们是对立事件，目标受损目标受损但未完全击毁目标受损但击毁，即目标受损但未完全击毁，目标受损但未完全击毁．故答案为：．由已知条件利用对立事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．10.设函数，若时，恒成立，则实数m的取值范围为______．【答案】【解析】解：由函数，可知为奇函数，恒成立，是增函数；且即是奇函数，恒成立，即恒成立，，令，则恒成立．，，，，故答案为：．由于，，利用导数，可判断为增函数，结合函数的奇偶性，可得，从而得出，根据，即可求解．本题考查了函数恒成立的问题，解题的关键在于对函数单调性、奇偶性的判断，考查转化思想与构造函数的方法，属于中档试题．11.对于定义在R上的函数，下列说法正确的是______．若函数是偶函数，则；若，则函数不是偶函数；若，则函数不是奇函数；若是二次函数的零点，且，那么．【答案】【解析】解：根据题意，依次分析所给的命题：对于，若函数是偶函数，有，当时，有，正确；对于，假设函数是偶函数，必有对所有实数均成立，而，则函数不是偶函数；正确；对于，当，函数可能为奇函数，则错误；对于，对于二次函数，其零点，若，那么，错误；则正确；故答案为：．根据题意，依次分析所给的命题：对于，由函数奇偶性的定义可得正确，错误；对于，据此反例可得错误，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是理解函数奇偶性的定义，属于基础题．12.如图，在地上有同样大小的5块积木，一堆2个，一堆3个，要把积木一块一块的全部放到某个盒子里，每次只能取出其中一堆最上面的一块，则不同的取法有______种用数字作答．【答案】10【解析】解：根据题意，假设左边的积木从上至下依次为1、2、3，右边的积木从上至下依次为4、5，分2种情况讨论：若先取1，有12345、12453、12435、14235、14253、14523，共6种取法；若先取4，有45123、41523、41253、41235，共4种取法；则一共有中不同的取法；故答案为：10．根据题意，假设左边的积木从上至下依次为1、2、3，右边的积木从上至下依次为4、5，分析可得必须先取1或4，据此分2种情况讨论，分别列举2种情况下的取法数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查计数原理的应用，关键是依据题意，正确进行分类讨论．13.如图，在四边形ABCD中，，，E为AC的中点，若，则______．【答案】0【解析】解：在四边形ABCD中，，，E为AC的中点，，，，，，，，，，，，．故答案为：0．由，，求出，从而，进而，由此能求出．本题考查向量的数量积的求法，考查余弦定理、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.数列中，若，则满足的i的最小值为______．【答案】128【解析】解：2，3，，，故；故i的最小值为，故答案为：128．由题意可得，从而解得．本题考查了数列，注意i与2i的关系对k的影响即可，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共6.0分）15.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、若，求：：的值；求角A的值．【答案】本题满分为14分解：，由正弦定理可得：，分，可得：：：：2：分由可得：，，，，分解得：，或，分当，舍去；当，，当，则，则，，矛盾，综上，分【解析】由正弦定理化简已知等式可得，利用同角三角函数基本关系式化简求得：：的值；由可得：，，利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式可得，解得，分类讨论可求A的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想、分类讨论思想的应用，属于中档题．16.如图，在三棱锥中，底面ABC为正三角形，平面ABC，点D，E，N分别为PB，PC，AC的中点，点M为DB的中点．求证：平面PAC；求证：平面ADE．【答案】证明：正三角形ABC中，N为中点，则，又平面ABC，平面ABC，，又，平面PAC．连结PN，交AE于G，连结DG，如图，在中，PN，AE都是中线，则，点D为PB的中点，点M为DB的中点，，在中，，，又平面ADE，，平面ADE．【解析】推导出，，由此能证明平面PAC．连结PN，交AE于G，连结DG，推导出，由此能证明平面ADE．本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17.在平面直角坐标系xOy中，圆O：，为直线l：上一点．若点P在第一象限，且，求过点P的圆O的切线方程；若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；已知，M为圆O上任一点，问：是否存在定点异于点，使为定值，若存在，求出D坐标；若不存在，说明你的理由．【答案】解：设点P的坐标为，，，解得．又点P在第一象限，，即P的坐标为．易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，则切线为，即，于是有，解得或．因此过点P的圆O的切线方程为：或；设，则，点A、B均在圆O上，有圆与圆有公共点．于是，解得，即点P纵坐标的取值范围是；设，假设存在点，使为定值，则，即，，在圆O：上，，解得，，．存在定点，使为定值．【解析】求出设点P的坐标易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，切线为，即，利用点到直线间的距离公式可解得k，从而可得过点P的圆O的切线方程；设，则，由点A、B均在圆O上，有圆与圆有公共点，继而可得点P纵坐标的取值范围；设，假设存在点，使为定值，可得，结合M在圆O：上，可得关于t，m，n的方程组，求解得答案．本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查点到直线间的距离公式、直线的点斜式方程，突出考查方程思想与综合运算能力，属于难题．18.如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出，坡角，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米造价为30万元．设，求出造价y关于的函数关系式；当BM长为多少米时才能使造价y最低？【答案】解：在中，由、可知，在中，，，则，设造价y的单位为千万元，则，，其中；，令，得，又，其中，，列表：当时y有最小值，此时．答：当BM长为米时才能使造价y最低．【解析】通过锐角三角函数的定义易知、、、，进而利用化简即得结论；通过令可知，结合及可知，通过求导判定函数的单调性，进而可得结论．本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19.已知2件次品和a件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出a件正品时检测结束，已知前两次检测都没有检测出次品的概率为．求实数a的值；若每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用单位：元，求X的分布列和数学期望．【答案】解：记“前两次检测都没有检测出次品”为事件A，则，解得或舍去分的可能取值为200，300，400．，，．所以X的分布列为分【解析】记“前两次检测都没有检测出次品”为事件A，利用古典概型求解即可．的可能取值为200，300，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．20.已知数列T：，，，中的任意一项均在集合0，中，且对，，有．当时，求数列T的个数；若，且，求数列T的个数．【答案】解：由题意数列T：，，，中的任意一项均在集合0，中，且对，，有．当时，符合条件的数列有：0，1，0，；0，1，0，1；0，，0，；0，，0，1；1，0，，0；1，0，1，0，，0，1，0；，0，，0；共计8个；根据可知，当时，有，可得那么，，可取每一个，，可知1的个数不少于的个数．所以数列T的个数为，当时，可得同可得数列T的个数为，当时，可得．可得数列T的个数为：、当时，可得．可得数列T的个数为：综上可知：当或时，数列T的个数为：当或时，数列T的个数为：．【解析】根据任意一项均在集合0，中，且对，，有，即可求解；根据可得当时，有，可得即可求解，，可取每一个，，可知1的个数不少于的个数从而求解数列T的个数进一步讨论，，的情况，求数列T的个数．本题考查了数列与集合的关系和讨论思想，组合的计算，综合性强，属于难题．第11页，共11页。
【数学】江苏省海安中学学年高二下学期第三次阶段检测数学卷试题Word版含答案
【关键字】数学江苏省海安高级中学2017年高二学情检测数学试卷（Ⅱ）21．【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，是⊙的直径，是⊙上的两点，⊥，过点作⊙的切线FD交的延长线于点．连结交于点．求证：．B．选修4—2：矩阵与变换设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为，求矩阵M的逆矩阵．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标中,已知圆,圆．（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆的极坐标方程；（2）求圆的公共弦的参数方程．D．选修4—5：不等式选讲已知a>0，b>0，证明：(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本题满分10分）已知正六棱锥P-ABCDEF的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个顶点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积．（1）求概率的值；（2）求的分布列，并求其数学期望．23．（本题满分10分）已知数列满足，．（1）求，，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设，，比较与的大小．江苏省海安高级中学2017年高二学情检测数学试卷（Ⅱ）参考答案21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中两题作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4—1：几何证明选讲如图，是⊙的直径，是⊙上的两点，⊥， 过点作⊙的切线FD 交的延长线于点．连结交 于点． 求证：．【证明】连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD=90°． 所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF ， 所以∠OCF=∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF+∠CEO=90°．…5分 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF ，所以DF=DE ． 因为DF 是⊙O 的切线,所以DF2=DB·DA ． 所以DE2=DB·DA ． ………………10分 B ． 选修4—2：矩阵与变换设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为，求矩阵M 的逆矩阵． 【解】设曲线上任一点在矩阵对应的变换下的像是 ,由,得因为在圆上所以，化简可得．…………3分依题意可得，或而由可得…6分 故,．………………………10分 C ． 选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标中,已知圆,圆．（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆的极坐标方程； （2）求圆的公共弦的参数方程．解（1）圆的极坐标方程为， 圆的极坐标方程为．……………………4分 （2）由（1）得，圆交点直角坐标为． ……………………7分故圆12C C 与的公共弦的参数方程为1(x y t t =⎧⎪⎨=⎪⎩，． ……………………10分注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，A BCEF P 扣2分．D ． 选修4—5：不等式选讲已知a >0，b >0，证明：(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2．【解】因为a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9=≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立． ………………………………8分即1111323232a b c +++++≥，故111323232a b c +++++的最小值为1．…………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本题满分10分）已知正六棱锥P -ABCDEF 的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个顶点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积． （1）求概率(P X =的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．解 从7个顶点中随机选取3个顶点构成三角形，共有37C 35=种取法．其中X =角形如△ABF ，这类三角形共有6个．因此(P X = 376635C ==．……………………3分（2）X2其中X =ABF ，这类三角形共有6个；其中2X =的三角形有两类，如△P AD （3个），如△P AB （6个），共有9个；其中X =PBD ，这类三角形共有6个；其中X =CDF ，这类三角形共有12个；其中X =的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个．因此6(35P X ==，9(2)35P X ==，6(35P X ==，12(35P X ==，12(35P X ==．……………………………………………………………………8分 所以随机变量的概率分布表为：所求数学期望696122()23535353535E X +⨯+++=…………………………………………………………………………………………………10分23．（本题满分10分）已知数列{}n b 满足112b =，112(2*)n nb n n b -+=∈N ≥，． （1）求2b ，3b ，猜想数列{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设n n x b =，1n n y b +=，比较x x 与yy 的大小．解（1）当2n =时，11122b +=，解得223b =．当3n =时，21223b +=，解得334b =．猜想1n n b n =+．………………………………………………………………3分 证明 ①1n =时，112b =，结论成立．②假设n k =时，1k k b k =+成立．则1n k =+时，112k k b b ++=，由于1121k k b k ++=+，所以112k k b k ++=+，于是1n k =+时，结论成立．由①②知，对任意正整数n ，1n n b n =+． (6)分（2）由（1）知()1nn x n =+，()11n ny n +=+，所以x x =()()11nn nn n n +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．()()1111n n n n y ny n +++⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦()()1(1)11n n n n n n +++=+()()11nn nn n n +=+()()11nnnn n n +⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦．所以x x＝y y．…………………………………………………………………………10分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
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（第5题图） 2017—2018第二学期学情阶段检测高二数学试卷（文）(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{ x | x 2－1＞0 }，则A ∩B ＝▲________．2．已知复数z 满足：z (1－i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为▲________． 3. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1， 10.2，10.1，则这组数据的方差为▲________．4．从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球， 则两球颜色不同的概率是▲________．5．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k 值为▲________． 6．已知 α 为三角形内角，sin α + cos α cos2α =▲________．7．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为2x －y ＝0，则该双曲线的离心率为▲________．8．对于直线l ，m ，平面α，且m ⊂α，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”成立的▲________条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，点A ，B 在圆C 上，且AB ＝23，则|OA →＋OB →|的最大值是 ▲ ．10．若关于x 的方程4x + a ·2x + a + 1 = 0有实根，则实数a 的取值范围是▲________． 11．已知等比数列{a n }的公比q ＞1，其前n 项和为S n ．若S 4＝2S 2＋1，则S 6的最小值为▲________． 12．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足b +c ≤2a ，c +a ≤2b ，则ba的取值范围为▲________． 13．若5533cos sin sin cos 7θθθθ-->，且()0 2πθ∈，，则θ的取值范围是▲________． 14．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为▲________．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝b cos A ． （1）求 ba 的值；（2）若sin A ＝13，求sin(C －π4) 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱PA 的中点． （1）求证：PC // 平面BDE ；（2）若PC ⊥PA ，PD ＝AD ，求证：平面BDE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分14分）给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，称圆C 1：x 2＋y 2＝a 2＋b 2为椭圆C 的“伴随圆”．已知椭圆C 的离心率为32，且经过点(0，1)．（1）求实数a ，b 的值；（2）若过点P (0，m ) (m ＞0) 的直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且l 被椭圆C 的PABCDE（第16题图）伴随圆C 1所截得的弦长为22，求实数m 的值．18．（本小题满分16分）如图，公路AM ，AN 围成一块顶角为α的角形耕地，其中tan α＝－2，在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM ，AN 的距离分别为3km ，5km ，现要过点P 修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园，为尽量减少耕地占用，问如何确定B 点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝x －b ，b ∈R ．（1）若函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切，求b 的值； （2）设T (x )＝f (x )＋ag (x )，a ∈R ，求函数T (x )的单调增区间；（3）设h (x )＝|g (x )|·f (x )，b ＜1．若存在x 1，x 2∈[0，1]，使|h (x 1)－h (x 2)|＞1成立，求b 的取值范围．·AMNP（第18题图）αCB20．（本小题满分16分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16． （1）求数列{a n }的前n 项和S n ；（2）设T n ＝i =1∑n(－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式 λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n－1恒成立，求实数 λ 的取值范围；（3）是否存在正整数m ，n (n ＞m ＞2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，说明理由．1.{2}2.10 3. 0.032 4. 455. 26. 7. 322 8. 必要不充分9. 810. (2-∞-， 11. 23＋3 12. 2332⎛⎫⎪⎝⎭，13. 544ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 14. 315.（1）由a cos B ＝b cos A ，得sin A cos B ＝sin B cos A ， …………………………………………3分即sin(A －B )＝0．因为A ，B ∈(0，π)，所以A －B ∈(－π，π)，所以A －B ＝0，所以a ＝b ，即ba ＝1． ………………………………………………………………………6分（2）因为sin A ＝13，且A 为锐角，所以cos A ＝223． ………………………………………8分所以sin C ＝sin(π－2A )＝sin2A ＝2sin A cos A ＝429， ………………………………………10分cos C ＝cos(π－2A )＝－cos2A ＝－1＋2sin 2A ＝－79．…………………………………………12分所以sin(C －π4)＝sin C cos π4－cos C sin π4＝8＋7218．……………………………………………14分16.证明：（1）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ． 因为ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ． 因为 E 为侧棱PA 的中点，所以OE ∥PC ．因为PC /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC // 平面BDE ． （2）因为E 为PA 中点，PD ＝AD ，所以PA ⊥DE ．ABCDE O因为PC ⊥PA ，OE ∥PC ，所以PA ⊥OE ．因为OE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，OE ∩DE ＝E ， 所以PA ⊥平面BDE ．因为PA ⊂平面PAB ，所以平面BDE ⊥平面PAB ．17.（1）记椭圆C 的半焦距为c ．由题意，得b ＝1，c a ＝32，c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1． ……………………………………………… 4分 （2）由（1）知，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，圆C 1的方程为x 2＋y 2＝5．显然直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0．…………………………………… 6分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，故方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1 （*） 有且只有一组解． 由（*）得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0． 从而△＝(8km )2－4(1＋4k 2)( 4m 2－4)＝0．化简，得m 2＝1＋4k 2．① ………………………………………… 10分 因为直线l 被圆x 2＋y 2＝5所截得的弦长为22， 所以圆心到直线l 的距离d ＝5－2＝3． 即|m |k 2＋1＝3． ② ……………………………………… 14分由①②，解得k 2＝2，m 2＝9．因为m ＞0，所以m ＝3． ……………………………………… 16分18.如图，以A 为原点，AB 为x 轴，建立平面直角坐标系．因为tan α＝－2，故直线AN 的方程是y ＝－2x ． 设点P (x 0，y 0)．因为点P 到AM 的距离为3，故y 0＝3． 由P 到直线AN 的距离为5，得∣2x 0＋y 0∣5＝5，解得x 0＝1或x 0＝－4(舍去)， 所以点P (1，3)． ……………………………… 4分 显然直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为y －3＝k (x －1)，k ∈(－2，0)． 令y ＝0得x B ＝1－3k． ……………………………… 6分由⎩⎨⎧y －3＝k (x －1)，y ＝－2x解得y C ＝6－2k k ＋2． ……………………………… 8分设△ABC 的面积为S ，则S ＝12⋅x B ⋅y C ＝－k 2＋6k －9k 2＋2k ＝－1＋8k －9k 2＋2k ． …………… 10分 由S '＝－2(4k ＋3)(k －3)(k 2＋2k )2＝0得k ＝－34或k ＝3． 当－2＜k ＜－34时，S '＜0，S 单调递减；当－34＜k ＜0时，S '＞0，S 单调递增．… 13分所以当k ＝－34时，即AB ＝5时，S 取极小值，也为最小值15．答：当AB ＝5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．…………… 16分19.(1)设切点为(t ，e t)，因为函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切， 所以e t ＝1，且e t ＝t －b ， 解得b＝－1． ………………………………………………2分 （2)T (x )＝e x ＋a (x －b )，T ′(x )＝e x ＋a ．当a ≥0时，T ′(x )＞0恒成立． ……………………………………………4分当a ＜0时，由T ′(x )＞0，得x ＞ln(－a )． ……………………………………………6分所以，当a ≥0时，函数T (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a ＜0时，函数T (x )的单调增区间为(ln(－a )，＋∞)． …………………………8分（3) h (x )＝|g (x )|·f (x )＝⎩⎨⎧(x －b ) e x ， x ≥b ，－(x －b ) e x， x ＜b .当x >b 时，h ′(x )＝(x －b ＋1) e x ＞0，所以h (x )在(b ，＋∞)上为增函数； 当x <b 时，h ′(x )＝－(x －b ＋1) e x ，因为b －1＜x ＜b 时，h ′(x )＝－(x －b ＋1) e x ＜0，所以h (x )在(b －1，b )上是减函数；因为x ＜b －1时， h ′(x )＝－(x －b ＋1) e x ＞0，所以h (x )在(－∞，b －1)上是增函数．…………………………10分① 当b ≤0时，h (x )在(0，1)上为增函数． 所以h (x )max ＝h (1)＝(1－b )e ，h (x )min ＝h (0)＝－b ．由h (x )max －h (x )min ＞1，得b ＜1，所以b ≤0． ……………………………12分②当0＜b ＜e e ＋1时，因为b ＜x ＜1时， h ′(x )＝(x －b ＋1) e x ＞0，所以h (x )在(b ，1)上是增函数， 因为0＜x ＜b 时， h ′(x )＝－(x －b ＋1) e x ＜0，所以h (x )在(0，b )上是减函数． 所以h (x )max ＝h (1)＝(1－b )e ，h (x )min ＝h (b )＝0． 由h (x ) max －h (x ) min ＞1，得b ＜e －1e ．因为0＜b ＜ee ＋1，所以0＜b ＜e －1e ． …………………………14分③当e e ＋1≤b ＜1时，同理可得，h (x )在(0，b )上是减函数，在(b ，1)上是增函数． 所以h (x )max ＝h (0)＝b ，h (x )min ＝h (b )＝0．因为b ＜1，所以h (x )max －h (x )min ＞1不成立．综上，b 的取值范围为(－∞，e －1e )． ……………………………………1 6分20 (1)设数列{a n }的公差为d ． 因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16， 所以⎩⎨⎧2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16．解得a 1＝1，d ＝2，……………………………………………2分 所以a n＝2n－1，S n＝n 2． ……………………………………………4分(2)①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *， 则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k－1)＝2k．……………………………………………5分代入不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1，得λ·2k＜4k，从而λ＜4k2k．设f(k)＝4k2k，则f(k＋1)－f(k)＝4k＋12(k+1)－4k2k＝4k(3k－1) 2k(k＋1)．因为k∈N*，所以f(k＋1)－f(k)＞0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min＝2，所以λ＜2．……………………………………………7分②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，则T2k－1＝T2k－(－1)2k a2k＝2k－(4k－1)＝1－2k．……………………………………………8分代入不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1，得λ·(1－2k)＜(2k－1)4k，从而λ＞－4k．因为k∈N*，所以－4k的最大值为－4，所以λ＞－4．综上，λ的取值范围为－4＜λ＜2．……………………………………………10分(3)假设存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列，则(S m－S2)2＝S2·(S n－S m)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)，所以4n2＝(m2－2)2＋12，即4n2－(m2－2)2＝12，………………………………………12分即(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12．………………………………………14分因为n＞m＞2，所以n≥4，m≥3，所以2n＋m2－2≥15．因为2n－m2＋2是整数，所以等式(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12不成立，故不存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列．……………16分。