垂径定理12

１、圆的轴对称性 ２、垂径定理及其逆定理的图式 直径平分弦 直径垂直于弦=> 直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）=> 直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦 直径平分弧 =&股定理相结合，构造直角三角形，可解决弦长、半径、弦 心距等计算问题．
• 垂径定理的推论
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
赵州石拱桥
例1. 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱 是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中 点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到 0.1m).
37.4m
C
7.2m
A R
D
B
O
船能过拱桥吗
你能找到多少条对称轴? 讨论：你是用什么方法解决上述问题的?
归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任 意一条过圆心的直线
2013-10-9
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E . 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且 （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 平分弦所对的两条弧． （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
驶向胜利 的彼岸
1.想一想：如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条
平分AB的直径CD，交AB于点M． 同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）此图是 轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现 图中有哪些等量关系？说一说你的理由。

由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
②CD⊥AB,
⌒ ⑤AD=BD.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
⌒
垂径定理的推论2:
弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两 CD过圆 条弧. 心吗? CD⊥AB
条件
AE=BE
结论
⌒⌒ AC=BC ⌒⌒ AD=BD
CD过圆心
E
C
⌒ 已知AB如图，你能平分这条弧？
C
例2：如图，已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G，AE⊥CD于E， BF⊥CD于F，且圆O的半径为 A 10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
E
G O F
B
D
A
练习3:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
D
E O
C
B
小 结
24.2.1垂径定理
驶向胜利 的彼岸
I．创设问题情境，引入新课
问题：
驶向胜利 的彼岸
前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学 能叙述一下轴对称图形的定义?我们是用 什么方法研究轴对称图形的?
2013-10-9
Ⅱ．讲授新课
（一）想一想
圆是轴对称图形吗?
驶向胜利 的彼岸
如果是，它的对称轴是什么?
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你能总结出什么规律吗？
C
O E A D B
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半 径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两 个量，就可以求出另外两个量，如图有：

a 2
h d O
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r d ( ) 2
2 2
试一试P93 12
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.9 1.5 3.6. DH=OH-OD DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
2 2
练一练

在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面 如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？
2013-10-9
说一说你的理由。
驶向胜利 的彼岸
总结得出垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并
且平分弦所对的弧。
归纳： ③AM=BM,
可推得
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
随堂练习P9210
挑战自我垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相 等吗? 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:

1.两条弦在圆心的同侧
O
2.两条弦在圆心的两侧
A
●
A C
●
B D
O
B D
C
垂径定理的推论
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
第二课时 应用
忆一忆
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 垂径定理的逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条 弧.
挑战自我填一填

驶向胜利 的彼岸
1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. （√ ）



⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（

）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √ ）
A
O ┌ E
D
600
B
变形题

在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如 图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. D
A
600
B
O ø650
C
想一想
方法规律
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
第一步：连接AB
A
O
.
B
B
E A D
第二步：作AB的垂直平分线
F
想一想P91 8
知“二”推“三”

如图,在下列五个条件中: ⌒ ⌒ ① 过圆心的直线, ② CD⊥AB,③ AM=BM, ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A
M└
●
B O

你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!

2
OD OC DC R 2.4. 在Rt△OAD中，由勾股定理，得
1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2
OA2 AD2 OD2 ,
即R2 3.62 ( R 2.4)2 .
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OD=R-2.4=3.9-2.4=1.5
此时得到了一个Rt△CFO,利用勾股定理便可列出方程.
2013-10-9
垂径定理的推论1:
平分弦 （不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧． CD⊥AB吗？
条件 CD为直径
AE=BE
D Ｏ
CD⊥AB ⌒ ⌒ 结论 AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
C
Ｏ
·
B D
A
(E)
·
C
E
B
A
探索垂径定理的逆定理
C
AE=BE ⌒ ⌒ 条件 结论 AC=BC CD⊥AB ⌒ ⌒ AD=BD 垂径定理的几何语言叙述: ∵ CD为直径，CD⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE=BE， AC=BC， AD=BD．
CD为直径
O
·
B
A
E D
探索垂径定理
驶向胜利 的彼岸
做一做：按下面的步骤做一做 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆 对折，使圆的两半部分重合． 2．得到一条折痕CD． 3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的 折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
②④
②⑤
①③⑤
①③④
③④ ③⑤
④⑤
①②⑤ ①②④
①②③
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
2013-10-9
找一找 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC=BC，AD=BD. 在下列哪个图中有AE=BE，
C C
●
C A B
●
B
E A D （1）
O
B
A D
E
●
O
O
（2）
√
D
（3）
AE=BE吗？
A
P
O
B
1.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36 ㎜，则O到AB的距离是= 24mm 。 2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 你认为AC和BD有什么关系？为什么？ 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 O ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD A C E 注意：解决有关弦的问题，过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法．
.
D
B
讲例

驶向胜利 的彼岸
[例]如右图所示，一条公路的转弯处是
⌒ ⌒ 一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)， ⌒ 其中CD=600m，E为CD上一点，且 OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯 路的半径．
•[分析]要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了.