高考数学解析几何中的圆知识点总结
2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系pptx课件北师大版
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,
判断直线与圆、圆与圆的位置 1.直线与圆的位置关系 直观想象
关系.
2.圆的切线与弦长问题 数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一
3.圆与圆的位置关系
些简单的数学问题与实际问题.
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方
典例突破
例1.(1)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法错误的
是(
)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2021北京人大附中模拟)已知圆C过点(-1,0)和(1,0),且与直线y=x-1只有
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )
高中数学解析几何知识点总结高考核心点
关于高中生来说学好高中数学是重中之重，可是学好高中数学的解析几何知识更是不可以粗心，方便大家学习和复习，本文就高中数学分析几何知识点及高查核心考点做了以下概括：······？高中数学分析几何高查核心考点1、正确理解 (m) 基本观点（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）2、娴熟掌握 (s)基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）3、娴熟掌握 (c)求直线方程的方法（如依据条件灵巧采用各样形式、议论斜率存在和不存在的各样状况、截距能否为 0 等等）4、在解决直 (g) 线与圆的地点关系问题中，要擅长运用圆的几何性质以减少运算5、认识线性 (01) 规划的意义及简单应用6、熟习圆锥曲线中基本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、有关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）8、掌握直线与圆锥曲线的地点关系的常有判断方法，能应用直线与圆锥曲线的地点关系解决一些常有问题高中数学分析几何需掌握知识点1.平行与垂直若直线 l 1和 l2有斜截式方程l 1： y＝ k1x＋ b1， l2： y＝k2x＋ b2，则：(1) 直线 l 1∥ l 2的充要条件是：k1＝ k2且 b1≠ b2(2)直线 l 1⊥ l 2的充要条件是： k1·k2＝－ 12．三种距离(1)两点间的距离平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 |P1P2|＝x1－ x22＋ y1－y22.特别地，原点 (0,0) 与随意一点 P(x， y)的距离 |OP |＝ x2＋ y2.(2)|Ax0＋ By0＋C|点到直线的距离：点 P0 (x0， y0)到直线 l： Ax＋ By＋ C＝ 0 的距离 d＝A2＋B2(3)两条平行线的距离|C1－ C2|两条平行线Ax＋ By＋ C1＝0 与 Ax＋By＋ C2＝0 间的距离d＝3、圆的方程的两种形式①．圆的标准方程A2＋ B2(x－ a)2＋ (y－b)2＝r2，方程表示圆心为 (a， b)，半径为r 的圆．②．圆的一般方程关于方程x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0(1)当 D 2＋ E2－ 4F＞0时，表示圆心为③－D，－E，半径为1D2＋ E2－ 4F的圆；222(2)当 D 2＋ E2－ 4F＝0时，表示一个点－D，－E；22(3)当 D 2＋ E2－ 4F＜0时，它不表示任何图形．4、直线与圆的地点关系①．直线与圆的地点关系有三种：相离、相切、订交．判断直线与圆的地点关系常有的有：几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系 d＜ r? 订交； d＝ r ? 相切； d＞r ? 相离② ．直线与圆订交l 为弦长， d 为弦心距， r 为半径，则有22l2，即 l＝ 222直线与圆订交时，若r ＝ d ＋2r－d，求弦长或已知弦长求解问题，一般用此公式．5、两圆地点关系的判断两圆 (x－ a )2＋ (y－ b )2＝ r2 (r ＞ 0)， (x－ a )2＋ (y－ b )2＝r2 (r ＞ 0)的圆心距为d，则11122 2 21． d＞ r 1＋ r 2? 两圆外离； 2． d＝ r1＋ r2? 两圆外切；3． |r1－ r2|＜ d＜ r1＋ r2(r1≠ r2)? 两圆订交 _； 4． d＝ |r 1－r 2|(r1≠ r2 )? 两圆内切；5． 0≤d＜ |r 1－ r 2|(r1≠ r2)? 两圆内含6.椭圆一、椭圆的定义和方程1．椭圆的定义平面内到两定点 F 1、F 2的距离的和等于常数2a (大于 |F1 F2 |=2c)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦点.定义中特别要注意条件 2a＞ 2c，不然轨迹不是椭圆；当 2a＝ 2c 时，动点的轨迹是线段；当 2a＜ 2c 时，动点的轨迹不存在。
2025年高考数学解析几何知识点总结
2025年高考数学解析几何知识点总结解析几何是高中数学的重要组成部分，在高考中占有相当的比重。
下面我们来对这部分的知识点进行一个全面的总结。
一、直线1、直线的方程点斜式：＄y y_1 ＝ k(x x_1)＄，其中$（x_1, y_1)＄是直线上的一点，＄k$是直线的斜率。
斜截式：＄y ＝ kx ＋ b$，其中$k$是斜率，＄b$是直线在$y$轴上的截距。
两点式：＄＼frac{y y_1}｛y_2 y_1} ＝＼frac{x x_1}｛x_2 x_1}＄，其中$（x_1, y_1)＄，＄（x_2, y_2)＄是直线上的两点。
截距式：＄＼frac{x}｛a} ＋＼frac{y}｛b} ＝ 1$，其中$a$，＄b$分别是直线在$x$轴和$y$轴上的截距。
一般式：＄Ax ＋ By ＋ C ＝ 0$（＄A$，＄B$不同时为 0）2、直线的斜率定义：直线倾斜角$＼alpha$（＄＼alpha ＼neq 90°＄）的正切值$k ＝＼tan\alpha$。
斜率公式：若直线上有两点$（x_1, y_1)＄，＄（x_2, y_2)＄，则斜率$k ＝＼frac{y_2 y_1}｛x_2 x_1}＄。
3、两条直线的位置关系平行：两条直线斜率相等且截距不等。
垂直：两条直线斜率之积为$－1$。
4、点到直线的距离公式点$P(x_0, y_0)＄到直线$Ax ＋ By ＋ C ＝ 0$的距离$d ＝＼frac{｜Ax_0 ＋ By_0 ＋ C|｝｛＼sqrt{A^2 ＋ B^2}｝＄二、圆1、圆的方程标准方程：＄（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$，其中$（a, b)＄是圆心坐标，＄r$是半径。
一般方程：＄x^2 ＋ y^2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0$（＄D^2 ＋ E^2 4F ＞ 0$）2、圆的性质圆心到圆上任意一点的距离都等于半径。
圆的直径所对的圆周角是直角。
3、直线与圆的位置关系相交：圆心到直线的距离小于半径。
高考数学中的直线与圆的解析几何问题
高考数学中的直线与圆的解析几何问题数学是理科里最基础的学科之一，数学的学习，有助于开展思维、锻炼推理能力、培养逻辑思维。
在高中的数学学习中，解析几何一直是许多同学认为最难且最重要的一部分。
在解析几何当中，直线与圆是最常见的两个图形。
本文将详细探讨高考中直线与圆的解析几何问题。
一、直线的解析表示法直线在平面直角坐标系中最简单的解析表示法是点斜式，点斜式的一般形式为：y-y0 = k(x-x0)其中，k表示直线的斜率，(x0,y0)表示直线的截距。
假如我们已知直线上两点的坐标(x1,y1)与(x2,y2)，我们就可以通过这两点的坐标求出直线的解析表达式，点斜式的求解公式如下：k = (y1-y2)/(x1-x2)然后，依据点斜式的公式y-y0=k(x-x0)，将k,x0,y0代入即可得到直线的解析表达式。
而常数式是另外一种常见的直线解析表达式，一般形式为：Ax + By + C = 0其中，A,B,C分别是直线解析式Ax + By + C的系数。
因此，已知直线上两点的坐标(x1,y1)与(x2,y2)，得出直线斜率k后，便可通过k的倒数1/k及任选一点的坐标代入得到直线的常数式。
二、圆的解析表示法圆在平面直角坐标系中的一般式为：(x-a)² + (y-b)² = r²其中，圆心在坐标系中的坐标为(a,b)，半径长为r。
我们经常遇到点到圆心的距离等于圆的半径长的问题，这也是我们在解析几何中常常使用的技巧。
我们可以将两个坐标之间的距离公式与圆方程相集成，根据两点的坐标(x1,y1)和(x2,y2)来计算圆的半径r的公式是：r = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)进而，我们可以利用点与圆心距离的求解公式，来判断直线与圆是否相交、相切或不相交。
三、直线与圆的位置关系在解析几何中，寻找直线与圆的位置关系也是一项重要的技能。
我们可以利用以下几种方法：1. 直接解方程将直线的解析式代入圆的解析式中，求得交点的坐标，进而判断出直线与圆的位置关系。
2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析
2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析随着时间的推移，我们离2024年的高考越来越近。
数学作为高考的一门重要科目，解析几何是其中的一个重点内容。
为了帮助同学们更好地复习解析几何，并在高考中取得好成绩，本文将对2024高考数学解析几何的知识点进行总结与题型分析。
1. 直线与平面1.1 直线的方程直线的一般方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
根据直线的特点，我们可以将其方程转化为其他形式，如点斜式、两点式、截距式等，以便于解题。
1.2 平面的方程平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。
类似于直线的情况，根据平面的性质，我们可以将其方程转化为点法式、截距式等形式。
2. 空间几何体2.1 球球是解析几何中的一个重要概念。
其方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a, b, c)为球心坐标，r为半径长度。
2.2 圆锥曲线圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
通过对几何体的方程进行适当的变化，可以得到不同类型的圆锥曲线方程。
掌握其特点和方程形式，对于解析几何的学习非常重要。
3. 空间几何关系3.1 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系包括相交、平行、重合等情况。
根据两条直线的方程，我们可以通过求解方程组或直线的斜率等方式，判断它们之间的空间位置关系。
3.2 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系包括相交、平行、重合等情况。
根据直线的方程和平面的方程，我们可以通过代入求解或者检验点的方法，判断它们之间的位置关系。
4. 解析几何的常见题型4.1 直线与平面的交点求解给定直线和平面的方程，我们需要求解它们的交点。
通过将直线方程代入平面方程中，可以得到关于未知变量的方程组，进而求解出交点的具体坐标。
4.2 距离计算在解析几何中，我们常常需要计算点、直线或平面之间的距离。
对于给定的两点，我们可以利用距离公式进行计算；对于直线和平面，我们可以利用点到直线/平面的距离公式进行计算。
高考文科数学一轮总复习课标通用版课件：第9章平面解析几何9-3圆的方程
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命题规律分析
知识梳理整合
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高频考点透析 直通高考202X 第20页
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高考总复习/新课标版
5D＋5E＋F＋50＝0，
F＝－20.
故所求圆的方程为 x2＋y2－4x－2y－20＝0.
解法 2：由题意，可求得线段 AC 的中垂线方程为 x＝2，线段 BC 的中垂线方程为 x
＋y－3＝0，∴圆心是两中垂线的交点(2，1)，半径 r＝ （2＋1）2＋（1－5）2＝5.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.
→ 解方程组，得出圆的方程
设圆的方程为 解法 3： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
→
利用条件列出关于 D、E、F的方程组
→
解方程组，得出圆的方程
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【解析】 解法 1：∵所求圆的圆心在直线 x－3y＝0 上， ∴设所求圆的圆心为(3a，a)， 又所求圆与 y 轴相切，∴半径 r＝3|a|， 又所求圆在直线 y＝x 上截得的弦长为 2 7，圆心(3a，a)到直线 y＝x 的距离 d＝|2a2|， ∴d2＋( 7)2＝r2，即 2a2＋7＝9a2，∴a＝±1. 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
将
a＝52代入①式，得
高考数学复习第7章解析几何第3讲圆的方程
答案：(x－2)2＋y2＝9
(3)(2018 年天津) 在平面直角坐标系中,经过三点(0,0) , (1,1),(2,0)的圆的方程为______________.
解析：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点
F＝0， (0,0)，(1,1)，(2,0)，则1＋1＋D＋E＋F＝0，
解析：抛物线 y2＝4x 中,2p＝4,p＝2,焦点 F(1,0),准线 l 的方程为 x ＝－1 ,以 F 为圆心,且与 l 相切的圆的方程为 (x－1)2＋y2＝22,即为(x－1)2＋y2＝4.
考点 1 求圆的方程 例 1：(1)圆心在直线 x－2y＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相 切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方程为 ________. 解析：∵圆心在直线 x－2y＝0 上，∴设圆心为(2a，a)， ∵圆 C 与 y 轴的正半轴相切，∴a>0，r＝2a，又∵圆 C 截 x 轴 所得弦的长为 2 3，∴a2＋( 3)2＝(2a)2，a2＝1，a＝1.则圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(x－1)2＝4.
(2)研究圆的问题,既要理解代数方法,熟练运用解方程思 想,又要重视几何性质及定义的运用,以降低运算量.总之,要 数形结合,拓宽解题思路.与弦长有关的问题经常需要用到点到 直线的距离公式、勾股定理、垂径定理等.
考点 2 与圆有关的最值问题 考向 1 斜率型最值问题 例 2：已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0，求yx的最 大值和最小值.
的学习过程中,体会用 与圆的位置关系；二是重在知识的交
代数方法处理几何问题 汇处命题,把解析几何初步与集合、
的思想
向量、函数等知识结合命题,注重考
高考数学中的平面解析几何知识点整理
高考数学中的平面解析几何知识点整理平面解析几何是高中数学的重要知识点，也是高考数学必考的部分。
平面解析几何涉及坐标系、直线、圆、双曲线、椭圆、抛物线等内容，需要注重理论的掌握、题目的练习和解题技巧的提高。
本篇文章就高考数学中平面解析几何的知识点进行整理和总结，帮助学生更好地应对高考数学。
一、坐标系坐标系是平面解析几何的基础，需要掌握笛卡尔坐标系和极坐标系。
笛卡尔坐标系是平面上以两条相互垂直的直线为坐标轴，确定一点的位置需要用到两个数，称为该点的坐标。
极坐标系是以圆心为原点，以极轴为基准线的坐标系。
一个点在极坐标系中的坐标表示为(r，θ)，其中r为该点到圆心的距离，θ为该点与极轴正方向的夹角。
二、直线直线是平面解析几何中最基本也最重要的图形。
直线的斜率、截距和两点式都是需要掌握的公式。
斜率表示直线在笛卡尔坐标系中的倾斜程度，截距表示直线与坐标轴的交点，两点式表示直线经过的两个点的坐标。
三、圆圆是平面上与一个点距离相等的点的集合。
圆的一般式、标准式、参数式都是需要掌握的公式。
一般式表示圆心坐标为(h，k)，半径为r的圆，标准式表示圆心在原点，半径为r的圆，参数式表示圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆，其中参数t在区间[0，2π)内变化。
四、椭圆椭圆是平面上到两个固定点F1和F2距离之和等于常数2a的点的集合。
椭圆的标准式、参数式和离心率都是需要掌握的公式。
标准式表示椭圆的长轴在x轴上，椭圆的中心在原点，离心率小于1；参数式表示椭圆的中心在(a，b)处，椭圆的长轴倾斜角度为θ，离心率小于1。
五、抛物线抛物线是平面上到一个定点F距离等于到另一个定点D的距离的平方的定点P的集合。
抛物线的标准式、参数式和焦距都是需要掌握的公式。
标准式表示抛物线的焦点在原点，开口朝上或朝下；参数式表示抛物线的焦点在(a，b)处，开口朝上或朝下。
六、双曲线双曲线是平面上到两个定点F1和F2距离之差等于常数2a的点的集合。
双曲线的标准式、参数式和离心率都是需要掌握的公式。
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结一、理清知识框架平面解析几何是高中数学的重要内容，复习时首先要理清知识框架，明确各个知识点的内容和重点。
可以根据教材或参考书的章节来进行分类整理，将知识点归纳为直线方程、圆方程、二次曲线方程等等，并注意各个知识点之间的联系和线索。
二、复习关键知识点1. 直线方程：掌握直线的点斜式、斜截式、一般式等多种表示方法，能够灵活转换直线方程，解决直线的位置关系、距离、角平分线等相关问题。
2. 圆方程：了解标准方程和一般方程的定义和性质，能够根据给定条件列出圆的方程，解决圆与直线、圆与圆之间的位置关系、切线、切点等问题。
3. 二次曲线方程：熟练掌握抛物线、双曲线和椭圆的方程表示方法，注意各个二次曲线的基本性质和特点，能够画出二次曲线的图像，解决与二次曲线相关的各种问题。
4. 曲线的判别：掌握判别方程的基本方法，了解直线与二次曲线的位置关系的判别式和条件，能够根据判别式解决相关的问题。
三、掌握基本解题思路1. 了解解题步骤：解决平面解析几何问题通常遵循以下步骤：确定已知条件；列出方程或不等式；解方程或不等式得到未知量的取值范围；根据问题要求，对方程的解或取值范围进行判断与选择。
2. 注意问题的本质：平面解析几何考察的是几何图形的性质和位置关系，因此，在解答问题时要分析问题的本质，结合具体的几何意义去解决。
四、多练习典型题目1. 题海战术：平面解析几何的题目类型较多，考察灵活性较强，因此，在复习过程中要多做一些典型题目，掌握不同类型题目的解题思路和技巧。
2. 整理常见题型：将遇到的题目整理成不同的题型，比如直线方程的求法、圆方程的求法、二次曲线图像的分析等，通过总结常见的题型，加深对知识点的理解，提高解题效率。
五、查缺补漏1. 平时及时记录：在复习过程中，及时记录自己遇到的问题和不理解的知识点，并寻找相关的资料进行补充和学习。
2. 寻求帮助：如果自己在复习过程中遇到难题或困惑，可以向老师、同学或家长寻求帮助，共同解决问题。
高中数学期末备考：解析几何03圆中最值问题含解析
3.圆最值问题一．重要结论1.圆中与距离最值有关的常见的结论：结论1.圆外一点A 到圆上距离最近为AO r ，最远为AO r ；结论2.过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦；结论3.直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r ,最近为d r ；2.圆中与面积有关的最值结论：结论4.圆的内接三角形面积最大当且仅当其为等边三角形；结论5.过圆外一点P 向圆O 引两条切线，切点记为B A ,，则四边形ABPO 面积的最值等价于圆心到点P 的距离最值.3.圆中与角度有关的最值问题.结论6.圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大.结论7.圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.结论8.圆上一点、圆外两点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.结论9.圆内两点，圆上一点（圆上点为顶点）的最大夹角问题（米勒圆问题）.4.其他与圆有关的最值问题结论10．两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.二．强化练习1．已知圆P 的方程为22680x y x y ，过点 1,2M 的直线与圆P 交于A ，B 两点，则弦AB 的最小值为（）A．B．10C．D．52．在圆22:230M x y x 中，过点 0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A．B．C．D．3．已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y 上的动点，则x y 的最大值为（）A．5B．5C．6D．54．已知方程22220x y kx y k 表示的圆中，当圆面积最小时，此时k （）A．-1B．0C．1D．25．直线 1210m x my m 与圆229x y 交于,M N 两点，则弦长MN 的最小值为（）A．1B．26．设A 是圆22(1)9x y 上的动点，PA 是圆的切线，且4PA ，则点P 到点 5,8Q 距离的最小值为（）A．4B．5C．6D．157．已知P 为抛物线24y x 上一个动点，Q 为圆 22241x y 上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．6B．5C．4D．38．已知点M ，N 分别在圆 221:129C x y 与圆 222:2864C x y 上，则MN 的最大值为（）11B．1711D．159．已知P 是半圆C x 上的点，Q 是直线10x y 上的一点，则PQ 的最小值为（）1110.（2021新高考1卷）．已知点P 在圆 225516x y 上，点 4,0A ， 0,2B ，则（）A．点P 到直线AB 的距离小于10B．点P 到直线AB 的距离大于2C．当PBA 最小时，PBD．当PBA 最大时，PB 参考答案1．已知圆P 的方程为22680x y x y ，过点 1,2M 的直线与圆P 交于A ，B 两点，则弦AB 的最小值为（）A．B．10C．D．5【答案】A2．在圆22:230M x y x 中，过点 0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A．B．C．D．【答案】B3．已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y 上的动点，则x y 的最大值为（）A．5B．5C．6D．5【答案】A4．已知方程22220x y kx y k 表示的圆中，当圆面积最小时，此时k （）A．-1B．0C．1D．2【答案】B5．直线 1210m x my m 与圆229x y 交于,M N 两点，则弦长MN 的最小值为（）A．1B．2【答案】D6．设A 是圆22(1)9x y 上的动点，PA 是圆的切线，且4PA ，则点P 到点 5,8Q 距离的最小值为（）A．4B．5C．6D．15【答案】B7．已知P 为抛物线24y x 上一个动点，Q 为圆 22241x y 上一个动点，那么点P到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．6B．5C．4D．3【答案】C8．已知点M ，N 分别在圆 221:129C x y 与圆 222:2864C x y 上，则MN的最大值为（）11 B．1711D．15【答案】C9．已知P 是半圆C x 上的点，Q 是直线10x y 上的一点，则PQ 的最小值为（）2112D．22【答案】D 10．ACD解析：圆 225516x y 的圆心为 5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y，即240x y ，圆心M 到直线AB4 ，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为425 ，最大值为4105，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA 最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ，BM4MP ，由勾股定理可得BP CD 选项正确.故选：ACD.多圆最值问题研究一．基本原理1.将军饮马模型：如图，动点C 为直线l 上一点，B A ,为直线l 一侧的两个定点，那么CA CB 的最小值即为做点B 关于l 的对称点'B ，然后连接'BB 后其长度.2.三角不等式：任意两边之和大于等于第三边，任意两边之差小于等于第三边，取等条件当且仅当三点共线.如图动点P 为直线l 上一点，B A ,为直线l 一侧的两个定点，那么P A PB 的最大值当且仅当B A P ,,三点共线.倘若B A ,在l 两侧，则需先利用对称将其搬到一侧再寻找最大值！此时，P A PB 的最小值为0，即P 为AB 中垂线与l 的交点.总结：“和最小，化异侧，差最大，转同侧”二．典例分析1.距离和的最小值（公众号：凌晨讲数学）例1．已知圆221:430C x y y ，圆222:6260C x y x y ，M N ，分别为圆1C 和圆2C 上的动点，P 为直线:1l y x 上的动点，则||MP NP 的最小值为A．3 B．333解析：由圆 221:21C x y ，圆 222314C x y ，可知圆1C 圆心为 0,2 ，半径为1，如图，圆2C 圆心为 3,1 ，半径为2，圆1C 关于直线:1l y x 的对称圆为圆 221':311C x y ，连结12'C C ，交l 于P ，则P 为满足使PM PN 最小的点，此时M 点为1'PC 与圆1'C 的交点关于直线l 对称的点，N 为2PC 与圆2C 的交点，最小值为 12'21C C ，而12'C C ，PM PN 的最小值为3 ，故选A.2.距离差的最大值（公众号：凌晨讲数学）例2．已知圆 221:111C x y ，圆 222:459C x y ，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM 的最大值是（）A．4B．9C．7D．2解析：圆 221:111C x y 的圆心为 11,1C ，半径为1，圆 222:459C x y 的圆心为 24,5C ，半径为3．max min maxPN PM PN PM ∵，又2max 3PN PC ，1min1PMPC ，2121max314PN PMPC PC PC PC ．点 24,5C 关于x 轴的对称点为24,5C ，2121125PC PC PC PC C C，所以，max549PN PM ，故选：B．3.逆用阿波罗尼斯圆1.阿氏圆定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,|||| PB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ，圆心为)0|,|11(22AB .（公众号：凌晨讲数学）2.结论：已知圆222)()(r b y a x 上任意一点P 和坐标轴上任意两点B A ,，求形如)(PB P A PB P A 的最值问题，可逆用阿氏圆转化为三点共线最值计算.例3．已知圆C 是以点 2,M 和点 6,N 为直径的圆，点P 为圆C 上的动点，若点2,0A ，点 1,1B ，则2PA PB 的最大值为（）B．4C．8解析：由题设，知：(4,0)C 且||8MN ，即圆C 的半径为4，∴圆C ：22(4)16x y ，如上图，坐标系中(4,0)D 则24OD AC CP OC ，∴12AC PC CP DC ，即△APC △PCD ，故12PA PD ，（亦可逆用阿氏圆，其实就是阿氏圆的几何推导）.∴2||||PA PB PD PB ，在△PBD 中||||||PD PB BD ，∴要使||||PD PB 最大，,,P B D 共线且最大值为||BD 的长度.∴||BD 故选：A例4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在圆22:(8)16C x y -+=上运动，(6,0),(6,1),A B 则2PB PA 的最小值为（）B．6C．D．2解析：P 为圆C 上任意一点，圆的圆心 8,0C ，半径4r ，如下图所示，4PC ∵，8OC ，2AC 12AC PC PC OC ，PAC OPC 12PA OP，即2OP PA ，2PB PA PB OP ，又PB OP OB （当且仅当P 为线段OB与圆C 的交点时取等号），2PB PA OB 2PB PA本题正确选项：A三．练习题（公众号：凌晨讲数学）1．已知,P Q 分别是直线:20l x y 和圆22:1C x y 上的动点，圆C 与x 轴正半轴交于点(1,0)A ，则PA PQ 的最小值为2B．251210122．已知P ，Q 分别是圆 22:48C x y ，圆 22:41D x y 上的动点，O 是坐标原点，则22PQ PO的最小值是______．3．平面直角坐标系中，点3,3A 、 3,3B 、23,0C ，动点P 在ABC 的内切圆上，则12PC PA 的最小值为_________.4．在平面直角坐标系xOy 中，若(0,1)A ，点B 是圆:C 22230x y x 上的动点，则2AB BO 的最小值为__________.。
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1.定义
（1）静态定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
（2）动态定义：平面内线段围绕其一个端点旋转一周，另一个端点所形成的轨迹。
2.方程
（1）标准方程：（x－a）^2＋（y－a）^2＝r^2，圆心（a，b），半径r；
（2）一般方程：x^2＋y^2＋Dx＋Ey＋F＝0（D^2＋E^2－4F＞0），圆心：，半径：；
（3）参数方程：。
3.与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系
点与圆/
（2）直线与圆的位置关系
设：，直线
，则圆心O（ab）到直线l的距
离公式：
该直线与圆的位置关系：
几何法：
代数法：联立直线与圆△＜0△＝0△＞0
弦长公式：。
（3）圆与圆的位置关系
几何法：
代数法：联立两圆的方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值。
【例题】
在圆x^2＋y^2－2x－6y＝0内，过点（01）的最长弦和最短弦分别为AC，BD，则四边形ABCD的面积为（）。
『答案』B『解析』将圆的方程化为标准形式为
，即圆心坐标为（13），半径为。
则过点（01）的最长弦为AC，最短弦为垂直于AC的BD，所以
故四边形ABCD的面积为。