2020届江苏高考数学专题复习隐形圆问题

高三数学隐形圆练习题

高三数学隐形圆练习题隐形圆是高中数学中一个重要的概念，理解隐形圆的性质和应用对于解决相关的几何问题至关重要。

本文将提供一些高三数学隐形圆练习题，帮助学生巩固对该概念的理解和运用能力。

练习题1：已知在平面直角坐标系中，圆心为O(-2, 3)，半径为5。

请回答以下问题：1. 圆的方程是什么？2. 过圆心的直径的方程是什么？3. 过由圆心和横坐标为1的点的直线的方程是什么？解答：1. 圆的方程可以表示为：(x+2)² + (y-3)² = 25。

2. 过圆心的直径的方程可以表示为：x + 2y - 10 = 0。

3. 过由圆心和横坐标为1的点的直线的方程可以表示为：2y - x - 5 = 0。

练习题2：已知在平面直角坐标系中，直线方程为2x + 3y - 6 = 0。

请回答以下问题：1. 该直线与y轴的交点是什么？2. 该直线与x轴的交点是什么？3. 该直线是否与圆心为(1, -2)、半径为4的圆相切？解答：1. 该直线与y轴的交点可以通过令x=0来求解，得到点(0, 2)。

2. 该直线与x轴的交点可以通过令y=0来求解，得到点(3, 0)。

3. 该直线不与圆心为(1, -2)、半径为4的圆相切。

通过将直线方程带入圆的方程进行判别，得到：(1+2)² + (m+2)² = 16。

化简得到m² + 4m + 5 = 0，该二次方程没有实根，因此直线与圆不相切。

练习题3：已知在平面直角坐标系中，直线L₁的方程为3x - 4y - 5 = 0，直线L₂过点A(3, 2)且与直线L₁垂直。

请回答以下问题：1. 直线L₂的方程是什么？2. 直线L₁与直线L₂的交点是什么？3. 直线L₂与圆心为(1, -1)、半径为3的圆是否相切？解答：1. 直线L₁的斜率为3/4，垂直于L₁的直线L₂的斜率为-4/3。

过点A(3, 2)且斜率为-4/3的直线方程可以表示为：y - 2 = (-4/3)(x - 3)，化简可得y = (-4/3)x + 14/3，即直线L₂的方程为y = (-4/3)x + 14/3。

2020年九年级数学中考专题复习：隐形圆求最值问题(含答案)

隐形圆问题一、确定动点轨迹是圆【例题1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A，且OA=OB，∠APB=90°，l不过点C，则AB的最小值为【举一反三】1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,连接A’C，则A’C长度的最小值是第1题第2题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，BC=8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是3、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.当PB=6时，在直线l变化过程中，则△ACB’面积的最大值是.4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC=8，P、Q分別是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是二、定边对直角知识回顾:直径所对的圆周角是直角构造思路:一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.图形释义:若AB是一条定线段，且∠APB-90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆【例题1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为【举一反三】1、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是2、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC，则线段CP长的最小值是3、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5，AC＝4.D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC＝12，AB＝10，点D是AC上的一个动点，以AD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为5、如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分別从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB＝4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理:同圆或等圆中，同弧或等弧所対的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆.当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下面分别作对应的轨迹圆若∠P＝30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若∠P＝45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.【例题1】如图，等边△ABC边长为2，E、F分別是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为【举一反三】1、如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为2、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是3、如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB(异于A、B)上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是。

2020高考数学热点难点微专题隐圆问题(29张)

热点难点微专题五 “隐圆”问题
热点难点微专题五 “隐圆”问题
第1页
专题综述典型例题课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
专课题时综作述业
江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级考点，近几年在各地模考和高考的填空题和解答题中都有出现且频率较高，难度为中档题．在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．
第14页
专题综述典型例题课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
则点 C 的运动轨迹是以点 P 为圆心，1 为半径的圆，而|O→P|＝ 6，则|O→C|的取值范围为[ 6－1， 6＋1]．
第15页
专题综述典型例题课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
3. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,0)，B(4,0)．若直线 x－y＋m＝0 上存在点 P
第12页
专题综述典型例题课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
课后时作业
1. 已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝4 外，则直线 ax＋by＝4 与圆 O 的位置关系是 ________．
相交解析：因为点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝4 外，所以 a2＋b2>4，圆心 O(0,0) 到直线 ax＋by＝4 的距离为 d＝ a24＋b2<2＝r，故直线 ax＋by＝4 与圆 O 的位置关系是相交．
第18页
专题综述典型例题课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
解法二：A→M·A→B＝|A→M||A→B|cos∠MAB＝12|A→B|2＝2，|A→B|＝c＝2，又 AC2＋3BC2＝4 即 b2＋3a2＝4 得 a2＝4－3b2，cosA＝b2＋2cb2c－a2＝b23＋b 2.

2020年九年级数学中考专题复习：隐形圆求最值问题(含答案)

隐形圆问题一、确定动点轨迹是圆【例题1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A，且OA=OB，∠APB=90°，l不过点C，则AB的最小值为【举一反三】1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,连接A’C，则A’C长度的最小值是第1题第2题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，BC=8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是3、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.当PB=6时，在直线l变化过程中，则△ACB’面积的最大值是.4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC=8，P、Q分別是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是二、定边对直角知识回顾:直径所对的圆周角是直角构造思路:一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.图形释义:若AB是一条定线段，且∠APB-90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆【例题1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为【举一反三】1、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是2、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC，则线段CP长的最小值是3、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5，AC＝4.D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC＝12，AB＝10，点D是AC上的一个动点，以AD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为5、如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分別从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB＝4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理:同圆或等圆中，同弧或等弧所対的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆.当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下面分别作对应的轨迹圆若∠P＝30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若∠P＝45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.【例题1】如图，等边△ABC边长为2，E、F分別是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为【举一反三】1、如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为2、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是3、如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB(异于A、B)上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是。

2020届高考数学江苏省二轮课件：微专题6 隐性圆问题

a2 1
14 或a≥ 14 .
2
2
栏目索引
题型二与相交弦有关的隐性圆
例2 (2019南通通州、海门联考,13)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),
B,C为圆O:x2+y2=4上的两动点,且BC=2
3
,若圆O上存在点高考P,导使航得uAuBur
uuur
+ AC
=m
uuur
OP,m>0,则正数m的取值范围为
∴|m-1|≤ 2 ≤m+1,又m>0,
∴ 2 -1≤m≤ 2 +1.
栏目索引高考导航
栏目索引
【方法归纳】当直线与圆相交时,特征三角形(由弦心距、半弦、半径构成)的应用是最普遍的,在特征三角形中应用边角关系求出动点的条件是解题
高考导航
的关键.
栏目索引
2-1 已知A,B是圆O:x2+y2=1上的动点,满足AB= 3,P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上
uur
PA+
uuur PB
|∈[7,13].
栏目索引
2-2 已知A,B是圆O:x2+y2=9上的动点,且直线AB过定点M(2,0),P是圆C:(x-3)2+
uur uuur
(y-4)2=1上的动点,则| PA+ PB |的取值范围是
.
高考导航
答案 [4 5 -4,4 5 +4]
解析设AB的中点为Q,连接OQ,则OQ⊥QM,即点Q在以OM为直径的圆上,
.
答案 [ 2 -1, 2 +1]
解析如图,取BC的中点M,连接OM.
∵BC=2 3 ,∴O到BC的距离OM=1,

专题58 隐形圆问题-2020年江苏省高考数学考点探究(解析版)

专题58 隐形圆问题专题知识梳理隐形圆也就是题目中给出的条件不是给出一个圆，而是要通过设点、列式、化简得到动点的轨迹是一个圆.本专题分四个方面讲了隐形圆问题.1．利用圆的定义：在平面内到定点的距离等于常数，则这个点的轨迹是一个圆.解决这类问题只要抓住两个关键词：定点，定长.然后再化归为圆中的有关问题去解.2．是利用几何特征，直径所对的圆周角是直角，得到了隐形圆，有时两个定点所张的角也不一定是90o，可以是其他的定角，则动点的轨迹是两段圆弧.3．动点到两个定点的距离的平方和是定值，则这个点的轨迹也是一个圆，当然这个定值会有一定的范围，否则轨迹不存在，如果在某一距离前加其他系数也可以.4．是著名的阿波罗尼斯圆：到两个定点的距离之比是一个不为1的定值，这类题可能给出的背景也不在解析几何中，是要自己建系后，才能看出点的轨迹.所以在解题时要当心给出的条件.5．化归思想在本专题的作用很重要，因为给出的条件不是圆，是需要大家在解题分析得出的，另外得到圆以后，要合理用好点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系.考点探究【例1】(1)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则a 的取值范围为____．(2)如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是____．【解析】（1）连OP ，则30OPA ∠=o，∵1OA =，∴2OP =，即P 点的轨迹方程为224x y +=，又点P在圆M 22()(4)1x a y a -+-+=上，∴两圆有交点，即221(4)9a a ≤+-≤，解得：2222a -≤≤+．（2）到原点的距离为1的点的轨迹方程为221x y +=，如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1等价于两圆相交，即2214(3)9a a ≤++≤，解得605a -≤≤．【例2】(1)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0) 0m >，若圆上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的取值范围是____．(2)（2019·南通一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1，1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为_ ___．【解析】（1）∵∠APB ＝90°，∴点P 在以AB 为直径的圆上，其方程为222x y m +=，又点P 在圆C ：(x－3)2＋(y －4)2＝1上，且有两个，∴两圆相交，即11m m -≤+，解得46m ≤≤.（2）∵AB ⊥AC ，设D 为AB 的中点，D 点坐标为(,)x y ，BC 的长为2m ，∴DA m =，在三角形OCD 中，有224m OD +=，即2222(1)(1)4x y x y -+-++=，化简得22113()()222x y -+-=，∴DA 的取值范围为,22．∴BC 的取值范围为．【例3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A ，直线:4l y x =-，圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ,使2210MA MO +=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【解析】设(,)M x y ，∵2210MA MO +=，∴2222(2)10x y x y -+++=，即2223x y x +-=，又圆C 的半径为1，圆心在l 上，∴圆C 的方程为22()(4)1x a y a -+-+=．∵点M也在圆C 上，∴两圆有交点，即221(1)(4)9a a ≤-+-≤，∴2540a a -+≥或250a a -≤，解得4a ≥或1a ≤或05a ≤≤，综上横坐标a 的取值范围为45a ≤≤或01a ≤≤．【例4】已知点A(-2,0)，B(4,0),圆C: 16)4(22=++y x ,P 为圆C 上任意一点，问是否存在常数λ，使λ=PBPA，若存在，求出常数λ的值，若不存在，请说明理由．【解析】假设存在，设P 的坐标为(,)x y ，∵λ=PB PAλ=， ∴22222(2)[(4)]x y x y λ++=-+，即222222(1)(1)(48)4160x y x λλλλ-+-+++-=，又∵P 为圆C 上任意一点，∴16)4(22=++y x ，即228x y x +=-，∴22(164)4160x λλ-+-=对于圆上的任意一点均成立，∴21640λ-=，即12λ=．题组训练1.(2018·扬州一模)已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 到点A 的距离为1，点Q 满足2133AQ AP AC =+u u u r u u u r u u u r，则BQ uuu r 的最小值为．【解析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则33(,0),(,0),22B C A -，∵点P 到点A 的距离为1，∴2200(1x y +=，设00(,),(,)Q x y P x y ，∵2133AQ AP AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴00213(,)(,(,232322x y x y -=-+-，则00333,242x x y y =-=，∴2214()(29x y -+=，令212cos ,sin 323x y αα=+=∴33(,(,(,)2222BQ BA AQ x y x y =+=+-=+u u u r u u u r u u u r ，∴BQ ==u u u r23≥=. 2.已知直线l ：x －2y ＋m ＝0上存在点M 满足与两点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率之积为－1，则实数m 的取值范围是____．【解析】[]－25，25设点(,)M x y ，∵点M 满足与两点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率之积为－1，∵122y yx x ⋅=-+-，∵224x y +=（2x ≠±），又点M 在直线l ：x －2y ＋m ＝0上，∵2≤，即m -≤≤3.已知点(2,2),(0,2)A B -，若直线3x ＋4y －m ＝0上一动点P 满足224PA PB +=，则实数m 的取值范围是________．【解析】设点(,)P x y ，由题意知2222(2)(2)(2)4x y x y ++-++-=，化简得222440x y x y ++-+=，又点P 在直线3x ＋4y －m ＝0上，即直线与圆有公共点，∴3815m-+-≤，解得010m ≤≤．4.（2008·江苏卷）在△ABC 中，2AB =，AC =，则△ABC 面积的最大值是 .【解析】以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y，∵AC ==即2222(1)2(1)2x y x y ++=-+，22(3)8x y -+=，∴点C 到x轴距离的最大值为3+，则△ABC面积的最大值是12332⨯⨯+=+5.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是____．【解析】∵圆C 方程为22(4)1x y -+=，∴圆心为(4,0)，半径为1，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，即两圆有公共点，2≤，化简得2340k k -≤，解得403k ≤≤，∴k 的最大值为43403k ≤≤6.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2)A -，(1,1)B -，P 为圆222x y +=上一动点，则PBPA的最大值为．【解析】设(,)P x y ，PBt PA =t =，化简得222222(1)(24)2(24)240t x t y x t y t -+-++-+-=， ∵222x y +=，∴22(12)230x t y t --+-=， ∴圆心(0,0)O到直线的距离d =≤，∵0t >，∴02t <≤，即PBPA的最大值为2．7.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A 、B ，使得PA →·PB →≤0，则线段EF 长度的最大值是___．【解析】设点P 的坐标为(x ，y )，则x 2+y 2=50，∴=(－12－x ，－y )，=(－x ，6－y )，∴=x 2+12x +y 2－6y =12x －6y +50≤20，即2x －y ≤－5，直线2x －y =－5与圆x 2+y 2=50的交点坐标为M (－5，－5)，N (1，7)，圆x 2+y 2=50与x 轴负半轴的交点坐标为(，0)，∴点P 的横坐标的取值范围是≤x ≤1，故答案为.8.设P 在圆O ：224x y +=上运动，点(4,0)A ，直线:1l y kx =+上总存在点Q ，使Q 恒为AP 的中点，求实数k 的取值范围.【解析】设P (,)x y ，11(,)Q x y ，则114,2,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵点Q 在直线:1l y kx =+上，∴4122y x k +=+，即(4)2y k x =++，代入224x y +=中得：22(42)4x kx k +++=，即222(1)2(42)16160k x k k x k k +++++=，∴22224(42)4(1)(1616)0k k k k k ∆=+-++≥，即2340k k +≤，403k -≤≤. ∴实数k 的取值范围为：403k -≤≤. 9.在平面直角坐标系xoy 中，直线02:1=+-y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线04=--y x 距离的最大值为___________.【解析】设P (,)x y ，∵直线1:20l kx y -+=与直线02:2=-+ky x l 垂直，且直线02:1=+-y kx l 过定点(0,2)，直线2:20l x ky +-=过定点(2,0)，∴P 点轨迹方程为22(1)(1)2x y -+-=， ∴点P 到直线04=--y x=10. (2018·苏北四市期末)已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则PA PB +u u u r u u u r的取值范围为________．【解析】因为A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，所以线段AB 的中点H 满足221122AB OH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,∴H 在圆O ：x 2＋y 2＝41上，且2PA PB PH +=u u u r u u u r u u u r 因为点P 是圆C 2：(x －3)2＋(y－4)2＝1上的动点，所以335522PH -≤≤+u u u r ，即71322PH ≤≤u u ur ，所以7213PH ≤≤u u u r ，从而PA PB +u u u r u u u r 的取值范围是[7,13]．。

2020高考数学热点难点微专题“隐圆”问题典型试题(3页)

2020高考数学热点难点微专题“隐圆”问题典型试题1. 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝4外，则直线ax ＋by ＝4与圆O 的位置关系是________．2. 已知|OA →|＝|OB →|＝2，且OA →·OB →＝1，若点C 满足|OA→＋OB →|＝1，则|OC→|的取值范围是________．3. 在平面直角坐标系xOy 中，点A (1,0)，B (4,0)．若直线x －y＋m ＝0上存在点P 使得P A ＝12PB ，则实数m 的取值范围是________．4. 已知两定点A (－3,0)，B (1,0)，如果直线l ：x ＋ay －2＝0上一点M 满足MA 2＋MB 2＝16，那么实数a 的取值范围是________．5. 已知△ABC 中，M 为线段BC 上一点，AM ＝BM ，AM→·AB →＝2，AC 2＋3BC 2＝4，则△ABC 的最大值为________．6. 已知点A (0,1)，B (1,0)，C (t,0)，点D 是直线AC 上的动点，若AD ≤2BD 恒成立，则最小正整数t 的值为________．7. 设直线x ＝－y ＋a 与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋a ＝0相交于A ，B 两点，若CA→·CB →<0，则实数a 的取值范围为________．8. 已知A ，B 为圆O ：x 2＋y 2＝5上的两个动点，AB ＝4，M 为线段AB 的中点，点P 为直线l ：x ＋y －6＝0上一动点，则PM→·PB →的最小值为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4,0)，B (0,4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则PB P A 的最大值是________．。

2020江苏高考数学(理)(提高版)大一轮复习课件：微难点10 “隐圆”问题(共31张PPT)

(4) A，B 是两个定点，动点 P 满足P→A·P→B＝l(l 为常数)确定隐圆(如变式)； (5) A，B 是两个定点，动点 P 满足 PA＝λPB(λ＞0 且 λ≠1)确定隐圆(阿波罗尼斯圆)； (6) 由圆周角的性质确定隐圆等．
解类题 ·融会贯通
1.(2017·海安期末)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(－1，0)，Q(2,1)，直线 l：ax＋by＋c＝0，其中实数 a，b，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H，则线段 QH 的取值范围是__[__2_，__3__2_]__．
【思维引导】(1)过点 B 作圆 M 的直径 BD，求点 D 的轨迹．(2)将 PB＝2PA 利用坐标法得到点 P 的轨迹，从而得到隐圆．(3)两条直线均过定点，交点在以两个定点间线段为直径的圆周上，从而问题转化为求圆上的点到直线 x－y－4＝0 距离的最大值．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【解析】方法一：如图，过点 B 作圆 M 的直径 BD，连接 DA，DP，
方法二：设 A(x，y)，则 B(2x－a,2y)．因为点 B 在圆 M 上，所以(2x－a－1)2＋(2y－4)2＝4，即x－a＋2 12＋(y－2)2＝1(*)，这表明点 A 在方程(*)表示的圆上，又点 A 在圆 M 上，因此这两个圆有公共点，
所以 2－1≤ 2 5]．
a＋2 1－12＋2－42≤1＋2，解得 a 的取值范围是[1－2 5，1＋
得 x2＋y2－2x－3≤0，则圆 C：x2＋y2＋2x－1＝0 与圆 C′：x2＋y2－2x－3＝0 有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为 x＝－12，代入 x2＋y2－2x－3≤0，可得－ 27≤y≤ 27，所以点 M 的纵坐标的取值范围是－ 27， 27.