高中数学 第二章推理与证明全章归纳总结 新人教A版选修1-2
(教师用书)高中数学 第二章 推理与证明章末归纳提升课件 新人教A版选修1-2
如图 2－3(1)，在三角形 ABC 中，AB⊥AC，若 AD⊥BC， 则 AB2＝BD· BC；若类比该命题，如图 2－3(2)，三棱锥 A－ BCD 中，AD⊥平面 ABC，若 A 点在三角形 BCD 所在平面内 的射影为 M，则可以得到什么命题？命题是否为真命题并加 以证明．
(1) 图 2－3
2 2 2 ∴S2 ＋ S ＋ S ＝ S 1 2 3 4. 2 2 2 【答案】 S2 1＋S2＋S3＝S4
在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
那么位于表中的第 n 行第 n＋1 列的数是________．
【解析】
由题中数表知：第 n 行中的项分别为
n,2n,3n， …， 组成一等差数列， 所以第 n 行第 n＋1 列的数是： n2＋n. 【答案】
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此 平面平行， EF⊄平面 BCD，BD⊂平面 BCD，EF∥BD， 小前提 EF∥平面 BCD. 结论 大前提
归纳推理
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，常见 的归纳推理题目主要涉及两个类型：数的归纳和形的归纳， 其求解思路如下： (1)通过观察个别对象发现某些相同性质； (2)由相同性质猜想得出一般性结论． 需特别注意一点，由归纳猜想得出的结论未必正确，常 需要严格的推理证明．
(2013· 南昌高二检测) 在平面上，我们如果用一 条直线去截正方形的一个角， 那么截下的是一个直角三角形， 若将该直角三角形按图标出边长 a，b，c，则由勾股定理有： a2＋b2＝c2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图 2－1 的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O －LMN，如果用 S1，S2，S3 表示三个侧面面积，S4 表示截面 面积，那么你类比得到的结论是________．
高中数学 第二章 推理与证明章末总结教案 新人教A版选修1-2(2021年最新整理)
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第二章 推理与证明知识网络：一、推理●1.归纳推理1）归纳推理的定义：从个别事实．．．．中推演出一般性．．．的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。
2）归纳推理的思维过程大致如图：3）归纳推理的特点：①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具.③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
●2。
类比推理1）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理. 2）类比推理的思维过程是：推理与证明推理证明合情推理演绎推理归纳类比综合法分析法反证法直接证明间接证明 数学归纳法●3。
演绎推理1）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
2）主要形式是三段论式推理. 3）三段论式推理常用的格式为：M —-P （M 是P ） ① ①是大前提，它提供了一个一般性的原理；S-—M (S 是M ） ② ②是小前提，它指出了一个特殊对象；S-—P (S 是P) ③ ③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
高二数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明
专题一
专题二
专题二 直接证明与间接证明
1.综合法证明数学问题是“执因索果”,而分析法则是“执果索因”,二者一正一反,各有特点,综合法的特点是表述 简单条理清楚,分析法则便于解题思路的探寻.
2.分析法与综合法往往结合起来使用,即用分析法探寻解题思路,而用综合法书写过程,即“两头凑”,可使问题便 于解决.
专题一
专题二
【例1】 已知数列 归纳出Sn的计算公式.
8× 1 12 × 32
,
8× 32×
252,…,(2…������,-S1n为)82其×(2前������������n+项1的)2和, ,计算S1,S2,S3,S4,观察计算结果,并
思路分析:通过计算S1,S2,S3,S4的取值,发现它们的共同点有:都是分数,分母为奇数的平方,分子比分母少1,据
ABCD
中,������������������������'
+
������������ ������������'
+
������������ ������������'
+
������������������������' =4-������������-������������������+������������-������������������������������-+������������������������������-������������������ +������������-������������������ =4-������������������������--������������������������������������ =3.
人教版A版高中数学选修1-2：第二章推理与证明_小结(8)
件：
充要条件
①
；
充要条件
②
．
（写出你认为正确的两个充要条件）
1.两组相对侧面分别平行； 2.一组相对侧面平行且全 等；
3.对角线交于一点； 4.底面是平行四边形．
例5. 类比平面内直角三角形的勾股 定理,试给出空间中四面体性质的猜 想.
1.C=90° 2.3条边的长度a,b,c. 3.2条直角边a,b和斜边c.
(1)整数是自然数, -3是整数,
-3是自然数;
(2)无理1(数0.333是) 无限小数,
3
11 3
(
0.333
)
是无限小数,
3
1 是无理数.
3
演绎推理错误的主要原因 （1）大前提不成立； （2）小前提不符合大前提的条件
正确性有待进一步证明.
归纳推理是由特殊到一般的推 理;
类比推理是由特殊到特殊的ห้องสมุดไป่ตู้ 理．
演绎推理是由一般到特殊的推 理
三段论是演绎推理的一般模式,包括:
(1)大前提 已知的一般原理; M是P，
(2)小前提 (3)结论
所研究的特殊情况; S是M， 根据一般原理,对特 所以，S是P。 殊情况做出的判断.
（2）类比推理的思维过程大致如下 图所示：
强调：类比推理不象归纳推理 那样局限于同类事物, 同时,类 比推理比归纳推理更富于想 像,因而也就更具有创造性.
动手练一练：
①
②
③
1.观察图中 和 的个数，猜想第n 个图形中 和 的个数
2.试求第几个图中 和 的个数相等
练习： 1.在括号内填上适当的数
(1) 1,5,9,13,17,
☆用集合论的观点看,三段论的依据是:若集 合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子 集,那么S中所有元素也都具有性质P.
数学：第二章《推理与证明复习小结》课件(新人教a版选修1-2)
《高中数学》
选修1-2
第二章 推理与证 明复习小结
知识结构
合情推理
归纳推理
推理
类比推理
推
演绎推理
理
与
比较法
证 明
直接证明
综合法
证明
分析法
间接证明
反证法
数学归纳法
一.综合法
例 .已 知 a、 b、 c为不 相 等 正 数 ， 且 abc=1，
证求： a+ b+ c<1+1+1. abc
作业：
１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.
； 亚米游戏 ；
是在所难免の,没出什么大事就算不错了丶"这城中の人确实是壹下子多出了许多,街道上,到处都是人,斗嘴打架の也不在少数丶但是最关键の是,以前の四十几亿人当中,有近壹半甚至是壹半以上の人,平常都是在闭关修行の,根本不会上街の丶所以相当于城中,壹下子多出了二十几亿の流 动人口,真要只是地球上の那些普通人类也无所谓,大家の节奏比较慢,这方圆十万里の圣城中,要容纳哪怕是上千亿普通人也完全没问题丶"怎么说呢,咱们城主府の实力相对来说,还不是特别の强,若是能再扩充壹些大魔神以上の强者,或许对咱们城主府の势力会有比较大の帮助只是这些 人并不好招丶"魔石叹道丶而且他也并不想,总是让自己老婆在背后,替自己处理这圣城中の事情让自己老婆置于危险之中丶如今在这南风圣城中,怕是魔仙就不止五六位了吧,若是城主府中连壹位魔仙都没有,那完全没得玩了丶有些强者,隐藏在城中,也不可能让你壹个壹个去做登记之类の 丶过了壹会尔,宏七让魔石先去休息了,他取出了城主令,呼唤起了老城主丶"有什
高中数学选修1-2(人教A版)第二章推理与证明2.2知识点总结含同步练习及答案
第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明
一、学习任务 了解分析法、综合法、反证法的思考过程和特点． 二、课后作业
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1. 证明不等式 √2 + √7 < √3 + √6 的最适合的方法是 ( A．综合法
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答案： B
)
D．合情推理法
B．分析法
C．间接证法
2. 下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证 法；⑤反证法是逆推法．其中正确的语句有 ( A．2
答案： B
) 个．
C．4 D．5
B．3
3. 已知 x > 0，y > 0，M = A．M > N
答案： B
B．M ⩾ N
x+y 2xy ，N = ，则 M 与 N 的大小关系为 ( 2 x+y
C．M ⩽ N
)
D．M < N
4. 用反证法证明命题："若整数系数一元二次方程： ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有有理根，那么 a, b, c 中 至少有一个是偶数"时，第一步应假设
答案：
．
a ， b ，c 都不是偶数
高二数学 第二章 推理与证明章末小结 新人教A版选修1-2
高中数学 第二章 推理与证明章末小结 新人教A 版选修1-2合情推理与演绎推理运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳、类比的方法进行探索，提出猜想；最后用演绎推理的方法进行验证．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个点，第n 个图案中圆点的总数是S n .••••， • • •• •• • •， • • • •• •• •• • • •，…n ＝2，S 2＝4；n ＝3，S 3＝8；n ＝4，S 4＝12；…，按此规律，推出S n 与n 的关系式为________． 解析：依图的构造规律可以看出：S 2＝2×4－4，S 3＝3×4－4，S 4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．…猜想：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)．答案：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则有数列b n ＝n a 1·a 2·…·a n (n ∈N *)也为等比数列，类比上述性质，相应地，数列{c n }是等差数列，则有d n ＝________也是等差数列．解析：类比猜想可得d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n也成等差数列，若设等差数列{c n }的公差为x ，则 d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n＝nc 1＋n （n －1）2x n＝c 1＋(n －1)·x 2. 可见{d n }是一个以c 1为首项，x 2为公差的等差数列，故猜想是正确的． 答案：c 1＋c 2＋…＋c n n已知函数f (x )＝x 13－x －135，g (x )＝x 13＋x －135. (1)证明f (x )是奇函数，并求f (x )的单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)·g (2)和f (9)－5f (3)·g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．(1)证明：函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f (－x )＝（－x ）13－（－x ）－135＝－x 13－x －135＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，设x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 131－x －1315－x 132－x －1325＝ 15(x 131－x 132)⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x 131·x 132. ∵x 131－x 132<0，1＋1x 131·x 132>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)解析：计算得f (4)－5f (2)·g (2)＝0，f (9)－5f (3)·g (3)＝0.由此概括出对所有不等于零的实数x 有f (x 2)－5f (x )·g (x )＝0.∵f (x 2)－5f (x )·g (x )＝x 23－x －235－5·x 13－x －135·x 13＋x －135＝15(x 23－x －23)－15(x 23－x －23)＝0， ∴该等式成立．►变式训练1．已知数列{a n }的相邻两项a 2k －1，a 2k 是关于x 的方程x 2－(3k ＋2k )x ＋3k ·2k ＝0的两个根且a 2k －1≤a 2k (k ＝1，2，3，…)．(1)求a 1，a 3，a 5，a 7及a 2n (n ≥4)，不必证明；(2)求数列{a n }的前2n 项和S 2n .解析：(1)方程x 2－(3k ＋2k )x ＋3k ·2k ＝0的两根为x 1＝3k ，x 2＝2k .当k ＝1时，x 1＝3，x 2＝2，∴a 1＝2；当k ＝2时，x 1＝6，x 2＝4，∴a 3＝4；当k ＝3时，x 1＝9，x 2＝8，∴a 5＝8；当k ＝4时，x 1＝12，x 2＝16，∴a 7＝12.∵当n ≥4时，2n ＞3n ，∴a 2n ＝2n (n ≥4)．(2)S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(3＋6＋9＋…＋3n )＋(2＋22＋…＋2n )＝3n 2＋3n 2＋2n ＋1－2. 直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法综合起来使用．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8. 证明：证法一(综合法)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14， ∴1ab≥4. 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 证法二(分析法)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴要证1a ＋1b ＋1ab≥8， 只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab≥8， 即证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b≥4，即证a ＋b a ＋a ＋b b≥4， 即证b a ＋a b ≥2. 由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋a b≥2成立，∴原不等式成立．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE .证明：(1)设AC 与BD 交于点G .∵EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1， ∴四边形AGEF 为平行四边形．∴AF ∥EG .∵EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，∴AF ∥平面BDE .(2)连接FG ，∵EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1，∴四边形CEFG 为菱形，∴CF ⊥EG .∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC .又∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，∴BD ⊥平面ACEF ，∴CF ⊥BD .又BD ∩EG ＝G .∴CF ⊥平面BDE .►变式训练2．在等差数列{a n }中，首项a 1＝1，数列{b n }满足b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，且b 1·b 2·b 3＝164. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＜2.(1)解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝1，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12an ， 所以b 1＝12，b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋d ，b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2d . 由b 1b 2b 3＝164，解得d ＝1， 所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n . (2)证明：由(1)得b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 设T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝1×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，① 则12T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.② ①－②得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. 所以T n ＝2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1 ＝2－12n －1－n 2n ， 又因为2－12n －1－n 2n ＜2，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＜2.反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑的角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则¬q ”由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则¬q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的，反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要。
人教版数学高二 数学A版选修1-2 第二章《推理与证明》教辅资料
满足y=x 2,则log 2(22)x y +的最小值是78；④若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。
其中正确的是（ ）。
(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④解析 用综合法可得应选（B ） 例2 函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .解析∵函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数， ∴ 0＜x+2＜2即-2＜x ＜0∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数， 又∵函数y=f(x+2)是偶函数，∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数 由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)例3 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b解析∵ a ，b ，c 全不相等∴ a b 与b a ，a c 与c a ，b c 与c b 全不相等。
∴ 2，2，2b a c a c ba b a c b c+>+>+>三式相加得6b c c a a ba ab bc c+++++>∴ (1)(1)(1)3b c c a a ba ab bc c+-++-++->即 3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>练习一、选择题1．如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。
（A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a =2．在△ABC 中若b=2asinB 则A 等于( )(A)06030或 (B)06045或 (C)0012060或 (D)0015030或 3．下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+abb a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个二、填空题4． 已知 5,2==b a ，向量b a 与的 夹角为0120，则a b a ．)2(-=5. 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足n，n证明：如图，连接BD ，∵在△ABC 中，BE=CE DF=CF ∴E F ∥BD又BD ⊂平面ABD ∴BD ∥平面ABD7．解：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函数的图象关于x= -1对称 ∴12-=-ab即b =2a 由③知当x = 1时,y=0，即ab +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1. ∴f (1)=1，即a +b +c =1，又ab +c =0 ∴a =41 b =21 c =41 ，∴f (x )=4121412++x x 假设存在t ∈R ，只要x ∈[1,m ]，就有f (x +t )≤x 取x =1时，有f (t +1)≤1⇒41(t +1)2+21(t +1)+41≤1⇒-4≤t ≤0 对固定的t ∈[-4,0]，取x =m ，有f (t +m )≤m ⇒41(t +m )2+21(t +m )+41≤m ⇒2m +2(t-1)m +(t 2+2t +1)≤0 ⇒t t 41---≤m ≤t t 41-+- ∴m ≤t t 41--≤)4(4)4(1-⋅-+--=9当t = -4时，对任意的x ∈[1,9]，恒有f(x-4)≤x ⇒41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0∴m 的最大值为9.解法二：∵f (x -4)=f (2-x )，∴函数的图象关于x =-1对称 ∴ 12-=-abb =2a 由③知当x=1时,y=0，即a b +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1∴f (1)=1，即a +b +c =1，a b +c =0∴a =41 b =21 c =41∴f (x )=4121412++x x =41(x +1)2由f (x +t )=41(x +t +1)2≤x 在x ∈[1,m ]上恒成立 ∴4[f (x +t )-x ]=x 2+2(t -1)x +(t +1)2≤0当x ∈[1,m ]时，恒成立 令 x =1有t 2+4t ≤0⇒-4≤t ≤0令x =m 有t 2+2(m +1)t +(m -1)2≤0当t ∈[-4,0]时，恒有解令t = -4得，2m - 10m +9≤0⇒1≤m ≤9 即当t = -4时，任取x ∈[1,9]恒有f (x -4)-x =41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0 ∴ m max =92．2直接证明2．2．1 综合法一、选择题（1）由等差数列的性质：若m+n=p+q 则q p n m a a a a +=+可知应填（B ）。
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第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。
是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。
2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。
（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。
（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。
2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。
3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。
例2、根据所给数列前几项的值：,9910,638,356,154,32猜想数列的通项公式。
【解析】： ;119529910;9742638;7532356;5322154;311232⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=于是猜想给数列的通项公式：()()12122+-=n n na n【点评】根据数列中前几项给出数列的一个通项公式，主要是对数列特征进行认真观察，结合常见数列的通项公式，对已知数列进行分解、组合，从而发现其中的规律。
例3、在某报《自测健康状况》的报道中，自自测血压结果与相应年龄的统计数据如下有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，…照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140，85【点评】本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学的能力，它不需要技能、技巧及繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实施为数学思维活动。
【阶梯练习】 ★基础练习★1、等式)475(2132122222+-=++++n n n （ ） A 、 n 为任何正整数时都成立 B 、 仅当3,2,1=n 时成立C 、 当4=n 时成立，5=n 时不成立D 、 仅当4=n 时不成立2、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a n S a 21,1== *N n ∈，试归纳猜想出n S 的表达式为（ ）A 、12+n nB 、112+-n nC 、112++n nD 、22+n n3、在等差数列{}n a 中，首项为1a ，公差为d ，则有da a d a a da a n n =-=-=--12312我们可以得出：=n a4、从1=1，)4321(16941,321941),21(41+++-=-+-++=+-+-=-…，概括出第n 个式子为 ★能力训练★5、设θcos 21=+x x ，则=+221x x ，=+331xx …=+nnx x 16、多面体的顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，则V 、E 、F 三者之间的关系为7、设平面内有n 条直线（3≥n ），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f = ，当n>4时()n f = （用n 表示）8、已知2)1(4321,,104321,6321,321+=+++++=+++=++=+n n n ，观察下列立方和 ,4321,321,21,13333333333++++++试归纳出上述求和的一般公式？2.1.2 合情推理与演绎推理(2)类比推理【要点梳理】1、根据两个（或两类）对象之间在某些方面的 ，推演出它们在其他方面也 ，象这样的推理通常称为 ，简称2、数学活动中常用的合情推理是 和3、合情推理是根据 以及 等推测某些结果的推理过程。
【指点迷津】1、类比推理的思维过程是什么？观察、比较 联想、类推 猜测新的结论 2、类比推理的一般步骤是什么？（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。
3、类比推理的特点是什么？（1） 类比推理是从特殊到特殊的推理（2） 类比推理是从人么已经掌握了的事物特征，推测出正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠。
（3） 类比推理以旧的知识作基础，推测性的结果，具有发现的功能。
【典型例题】例1、类比圆的下列特征，找出球的相关特征 （1） 平面内与定点的距离等于定长的点的集合是圆； （2） 平面内不共线的3个点确定一个圆 （3） 圆的周长和面积可求 （4） 在平面直角坐标系中，以点()00,y x 为圆心，r 为半径的圆的方程为()()22020r y y x x =-+-【解析】：(1)在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球； （2）空间中不共面的4个点确定一个球； （3）球有表面积与体积；（4）在空间直角坐标系中，以点()000,,z y x 为球心，r 为半径的球的方程为()()()2202020r z z y y x x =-+-+-【点评】例2、在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式n n a a a a a a -+++=+++192121()*,19N n n ∈<成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}nb 中，若19=b，则有等式 成立。
【解析】：在等差数列{}n a 中，由010=a ，得n n a a a a a a -+==+=+201821910210191==+=-+a a a n n所以 01921=+++++a a a a n 即1181921+----=+++n n a a a a a a 又119182191,,+--=-=-=n n a a a a a a1181921+----=+++∴n n a a a a a a n a a a -+++=1921 若09=a ，同理可得n n a a a a a a -+++=++172121相应地等比数列{}n b 中，则可得：()*172121,17N n n b b b b b b n n ∈<=-【点评】已知性质成立的理由是应用了“等距和”性质，故类比等比数列中，相应的“等距积”性质，即可求解。
【阶梯练习】★基础练习★ 1、三角形的面积为()c b a r c b a S ,,,21⋅++=为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为 （ ）A 、abc V 31=B 、Sh V 31= C 、()r S S S S V 432131+++= （4321,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内接球的半径） D 、)(,)(31为四面体的高h h ac bc ab V ++=2、归纳推理和类比推理的相似之处为 （ ）A 、都是从一般到一般B 、都是从一般到特殊C 、都是从特殊到特殊D 、都不一定正确 3、下列说法正确的是（ ）A 、合情推理就是正确的推理B 、合情推理就是归纳推理C 、归纳推理是从一般到特殊的推理过程D 、类比推理是从特殊到特殊的推理过程4、动物和植物的机体都是细胞组成的；植物细胞中有细胞核，所以动物细胞中也有细胞核。
以上推理是 推理 ★能力训练★5、在平面上，到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线；类比在空间中：（1）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是什么？（2）到已知平面相等的点的轨迹是什么？6、类比正弦、余弦有关公式的形式，对于给定的两个函数()()2,2xx x x e e x C e e x S --+=-=，写出一个正确的运算公式。
7、在等差数列{}n a 中，若q p n m +=+，()*,,,Nq p n m ∈，则q p n ma a a a+=+，通过类比，提出等比数列{}n a 的一个猜想。
8、平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与另一边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与另一面平行，而与其余的面垂直”，请用类比法写出更多相似的命题。
★链接高考★ 9、（2003年高考）在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ∆的两边AB 、AC 互相垂直，则222BC AC AB =+。
”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得妯的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则 ”2.1.3 合情推理与演绎推理(3)演绎推理【要点梳理】1、我们把 的命题推演出 命题的推理方法，称为 推理，简称演绎法。
2、 是演绎推理的主要形式，常用格式为3、演绎推理具有如下特点：（1）演绎推理是 ，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的 结论完全蕴涵于前提之中；（2）在演绎推理中， 和 之间存在必然联系，只要 是真实的，推理的 是正确的，那么结论也必定是正确的，因而演绎推理是数学中 的工具；（3）演绎推理是一种 的思维方法，它较少创造性，但具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。