2022年北师大版八年级上册数学第一章勾股定理 单元复习课

单元复习课第一章勾股定理
答案：①平方和②斜边的平方③直角三角形④正整数
考点1 勾股定理与面积的探索
1．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(C)
A.直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【解析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边长为b，较短直角边长为a，
由勾股定理得，c2＝a2＋b2，阴影部分的面积＝c2－b2－a(c－b)＝a2－ac＋ab＝a(a＋b－c)，较小两个正方形重叠部分的宽＝a－(c－b)，长＝a，
则较小两个正方形重叠部分的面积＝a(a＋b－c)，
∴知道题图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积．
2．(2022·西安期中)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝15，△ABD的面积为90，则AC的长是(D)
A.9 B．12
C．15 D．24
【解析】∵△ABD的面积为90，DA＝15，
∴1
2
×15×BC＝90，
解得：BC＝12，
在Rt△BCD中，由勾股定理得CD＝9，
∴AC＝AD＋CD＝15＋9＝24.
【加固训练】
一直角三角形的三边长分别为5，12，x，那么以x为边长的正方形的面积为__169或119__．【解析】当12是直角边长时，根据勾股定理，得x2＝25＋144＝169；当12是斜边长时，根据勾股定理，得x2＝144－25＝119.所以以x为边长的正方形的面积为169或119. 3．(2022·南通质检)如图，在四边形ABCD中，AB＝15，BC＝12，CD＝16，AD＝25，且∠C ＝90°，则四边形ABCD的面积是__246__．
【解析】连接BD.
∵∠C＝90°，BC＝12，CD＝16，∴BD＝BC2＋CD2＝20，
在△ABD中，∵BD＝20，AB＝15，DA＝25，152＋202＝252，即AB2＋BD2＝AD2，
∴△ABD是直角三角形．
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝1
2
AB·BD＋
1
2
BC·CD＝
1
2
×15×20＋
1
2
×12×16＝150＋96＝246.
【方法技巧】
割补法求不规则多边形的面积
利用“割补”(连接对角线、延长构造交点、作垂直等)的方法，构造直角三角形，运用勾股定理求得．
特别提醒：
考点2 直角三角形的判定及应用
4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(B)
A．4，6，8 B．6，8，10
C．6，9，10 D．5，11，13
【解析】A.42＋62＝52≠82，C.62＋92＝117≠102，
D．52＋112＝146≠132，不能构成直角三角形，故A，C，D选项不符合题意；
B．62＋82＝102，可以构成直角三角形，符合题意．
5．(2022·温州期中)如图，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上(也称格点)，若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有(C)
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】如图，分情况讨论：
①AB为直角△ABC斜边时，符合条件的格点C有2个；
②AB为直角△ABC其中的一条直角边时，符合条件的格点C有1个．共有3个点．
6．小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所示)的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．
小东经测量得知AB＝AD＝15米，∠A＝60°，BC＝20米，∠ABC＝150°.小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度．你同意小明的说法吗？若同意，请求出CD的长度；若不同意，请说明理由．
【解析】同意小明的说法．
理由：连接BD，
∵AB＝AD＝15 m，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝AD＝BD＝15 m，且∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝90°，
在Rt△BCD中，∠DBC＝90°，BC＝20 m，BD＝15 m，根据勾股定理得：BC2＋BD2＝CD2，
∴CD2＝BC2＋BD2＝202＋152＝625(m)，
即CD＝25(m).
答：CD的长度为25 m.
【方法技巧】
判定直角三角形的三种方法
(1)有一个角(最大角)等于90°的三角形；
(2)三角形中，两角互余；
(3)勾股定理的逆定理．
特别提醒：各角度的比、各边长的比满足特定比例关系也可说明是直角三角形．
考点3 利用勾股定理解决实际问题
7．(2021·襄阳中考)我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何．”(丈、尺是长度单位，1丈＝10尺)其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水深为(C)
A.10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【解析】设水深为h尺，则芦苇长为(h＋1)尺，
根据勾股定理，得(h＋1)2－h2＝(10÷2)2，
解得h＝12，∴水深为12尺．
8．(2021·凉山州中考)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为(D)
A．19
8
B．2 C．
25
4
D．
7
4
【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE＝BE，AD＝BD＝1
2
AB＝5，
设AE＝x，则CE＝AC－AE＝8－x，BE＝x，
在Rt△BCE中，∵BE2＝BC2＋CE2，∴x2＝62＋(8－x)2，解得x＝25
4
，∴CE＝8－
25
4
＝
7
4
.
9.(2021·玉林中考)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿__北偏东50°__方向航行．
【解析】由题意知：AP＝12海里，BP＝16海里，AB＝20海里，∵122＋162＝202，
∴△APB是直角三角形，
∴∠APB＝90°，由题意知∠APN＝40°，
∴∠BPN＝90°－∠APN＝90°－40°＝50°，
即乙船沿北偏东50°方向航行．
【方法技巧】
1．善于将问题转化
(1)将问题转化为三角形，利用勾股定理或勾股定理的逆定理解决问题．
(2)借助方程思想，通过列方程解决问题．
2．善于寻找直角三角形
(1)题目中含有直角三角形，可直接利用．
(2)通过作辅助线构造直角三角形，解决问题．
易错提醒：将实际问题转化为三角形问题后，一定要明确该三角形是否是直角三角形，若不是则需作辅助线构造直角三角形．
1．(2020·雅安中考)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．如图，“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2的值为(C)
A．6 B．12 C．20 D．40
【解析】∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2，AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2，
∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2＋CD2＝22＋42＝20.
2．(2021·常德中考)阅读理解：若一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m ＝a2＋b2，则称m为广义勾股数．下列四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；
③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．正确的是(C) A．②④B．①②④
C．①②D．①④
【解析】①∵7＝1＋6或2＋5或3＋4，∴7不是广义勾股数，故①结论正确；
②∵13＝22＋32，∴13是广义勾股数，故②结论正确；
③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；
④设m1＝a2＋b2，m2＝c2＋d2，
则m1·m2＝(a2＋b2)·(c2＋d2)
＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2
＝(a2c2＋b2d2＋2abcd)＋(a2d2＋b2c2－2abcd)
＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2，
当a＝c，b＝d时，ad－bc＝0，
∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，
如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论错误，
∴正确的是①②.。