专题：数形结合在一次函数中的应用(展示课)
数形结合在一次函数教学中的运用
教学篇•学科教学一次函数的学习主要反映的关系是数量关系和变化的规律，这是数学学习的基础，对未来高等函数学习有极大帮助。
对于刚刚接触函数的学生来讲，一次函数要弄清楚来龙去脉，还需要使用数形结合的思想。
一、一次函数教学中使用以形补数的思想数学学科当中也有非常多的抽象性语言，这些语言蕴含较为丰富的内容，需要使用数形结合的思想进行具体的演示。
学生思维能力的强弱是考验一次函数学习优劣的基石，在面对抽象的数学问题时，可以选择作图的形式进行解题，由此化解难点概念，领悟到其中的深刻内涵。
教师引领学生借助数学函数图象可以将函数的性质体现出来，由此给函数数量关系的学习提供更为充足的条件。
教师在一次函数教学过程中还需要更好地抓住图象和数字之间的关系特点，以形补数，通过图象将函数关系表现出来，在符号语言基础上学习好一次函数。
例如，在学习“一次函数性质”的过程中，若是仅仅从函数的文字字面上让学生对函数性质进行把握，有一定难度，并且也很抽象。
因此教师可以利用多媒体图象的方式将图形展现在学生眼前，使用图形符号让学生对一次函数有更多更为全面性的了解。
例如，设y=kx+b，其中k、b都是常数，不等于0。
这样的图象能够帮助学生开拓思维，促进学生的多方面思考。
在函数图象当中学生可以观察到，如果k值发生了变化，那么整个结果y值也会发生变化，同时y是按照自变量x的变化而变化的。
学生在此种图象的观察上能够了解到y、x、k、b的性质，和其在函数中的具体位置以及运用[1]。
二、一次函数教学中使用借助形帮助数的思想数学问题的解答可以从多个方面进行分析和研究，将数形结合在一起，只有这样才能够与题意相当，才能够对一次函数的要义进行理解。
直观性的数形结合，就是借助图形的力量深化数字的层次性、逻辑性，把隐藏的条件展示出来，同时使用形表达数字符号，从语言描述变成图象分析，更直观和形象地将一次函数展现出来，这也是形象思维和抽象思维相融合的一种表现，本文列举以下案例进行分析[2]。
(完整版)《一次函数与几何图形综合》专题
《一次函数与几何图形综合》专题总论：函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题。
一次函数与几何综合题是八年级学生初次接触一种用代几综合解决问题的方法，这种方法和能力是九年级解决中考压轴题所必须具备的。
1.代数（1）表达什么函数（包括其系数的代数意义、几何意义、物理意义）（2）显现怎样的图形（自身、与坐轴、与其他图形）（3）既是一个方程，也是一个坐标4）藏有那些数据，含有什么些关系（5）要建立某种代数关系缺少那些数据2.几何（1）基本图象有几个（2）图象之间有怎样关系（3）图象与所要证明（求解）的结论怎样的关联（4）要建立图象与图象之间的关系缺少那些数据3.代数与几何（1）代数（几何）在那些地方为几何（代数）提供了怎样的数据（2）几何（代数）通过什么方式为几何（代数）提供关系式（3）怎样设数据（坐标或线段长）函数与几何综合题的解题思想方法：“函几问题”与“几函问题”涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强，应用数学方法多、纵横联系较复杂、结构新颖灵活、注重基础能力、探索创新和数学思想方法，它要求学生有良好的心理素质和过硬的数学基本功，能从已知所提供的信息中提炼出数学问题，从而灵活地运用所学知识和掌握的基本技能创造性的解决问题，正因如此，解决这类问题时，要注意解决问题的策略，常用的解题策略一般有以下几种：1.综合使用分析法和综合法。
一次函数中的数形结合思想
一次函数中的数形结合思想在众多的函数中，一次函数最为简单.它的性质和应用是初中数学的重要内容，也是中考的重点考查内容.形少数，难入微；数缺形，少直观.在一次函数中数形结合思想的应用广泛且灵活，下面试举几例希望能对同学们的学习有所帮助.一、面积型根据已知条件的特点，画出图形，利用图形的直观性求解问题.例1.求直线y=3x-2和直线y=2x+3与y轴所围成的图形的面积.【思路分析】画出两直线的图像，如图1，得到满足条件的△ABC，再根据图形的特点求其面积.所以交点C的坐标为（5，13）因为直线y=3x-2和直线y=2x+3分别与y轴交于点A（0，-2）和B（0，3），所以AB=︱3-（-2）︱=5.又CD=5,所以 .【评注】解题时，若借助数形结合思想，把问题直观化、形象化，则有利于问题的解决.例2.一条直线与y轴交点到原点的距离为4，且与两坐标轴围成三角形的面积为4，求直线的解析式.【思路分析】欲求直线的解析式，只需两组对应值，由已知直线与y轴交点到原点的距离为4，可以确定一组对应值，另一组对应值则需利用三角形面积的计算方法求出直线与x轴交点的坐标而求得.【解】设解析式为y=kx+b（k≠0），直线交y轴于点A，交x轴于点B.因为直线与y轴交点到原点的距离为4，所以A（0，4）或(0,-4).由，可得OB=2.所以B(-2,0)或(2,0).由于未指定直线的位置，所以应考虑所有的情况，如图所示：当直线过A(0,4),B(-2,0)时，解析式为y=2x+4；当直线过A（0，4），B（2，0）时，解析式为y=-2x+4；当直线过A(0,-4),B(2,0)时，解析式为y=2x-4；当直线过A（0，-4），B（-2，0）时，解析式为y=-2x-4；综上所述，所求解析式为：y=2x+4或y=-2x+4或y=2x-4或y=-2x-4【评注】对距离有要求时，需画草图分析，可能出现的各种情况，考虑周全，防止漏解.二、不等式型例3.作函数y=x+3的图象，如图所示，回答下列问题：（1）x取何值时，x+3＞0；（2）x取何值时，x+3＜0；（3）x取何值时，x+3＞1；【思路分析】要回答上面的三个问题，我们可以从函数图象的定义上去理性的思考：x+3＞0，可以看作是一次函数y=x+3中y＞0，从图象上看，可以看作是纵坐标大于0的所有点的集合，即y=x+3的图象在x轴上方的部分.此时，要满足x+3＞0，必须满足x＞3.其他两个问题的研究方法相同.【解】观察图象知：直线y=x+3与x轴的交点坐标为（-3，0），可知x=-3时，y=0.（1）当x＞-3时，x+3＞0；（2）当x＜-3时，x+3＜0；（3）当x＞-2时，x+3＞1.【评注】利用函数图象解一元一次不等式的方法是：作出函数图象，寻求图象与x轴的交点，求得一元一次不等式的解集.这是利用函数图象解一元一次不等式的“三部曲”.例4.一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-4≤x≤-2相应函数值的范围是4≤y≤6求此函数的解析式.【思路分析】一次函数y=kx+b（k≠0，b为常数）的性质理解是一个难点，我们应该把图象和k值正负结合起来理解.由于一次函数的图象是直线，故当-4≤x≤-2时，图象是线段，由一次函数的增减性，函数的最值一定对应x的最值，即y的最大值6，一定对应x的最大值-2或最小值-4，这要视k的符号而定.【解】对k的值分两种情况进行讨论；（1）当k＞0时，则y的值随x的值的增大而增大.因此，一定是当x=﹣4时，y=4；当x=﹣2时，y=6故得：y=x+8（2）当k＜0时，y随x的增大而减少，一定是当x=﹣4时，y=6；x=﹣2时，y=4，于是得y=﹣x+2.综合上述两种情况，符合条件的解析式为：y=x+8或y﹣x+2【评注】这是一道分类讨论题，由k的符号充分利用了一次函数的性质，构题较妙.三．实际应用型我们在分析和解决实际问题时首先应根据题目给出的条件写出函数关系式，然后再根据题意解决具体问题.在一些实际问题中经常是已知自变量的值，求相应的函数值；或根据函数值，求出与之对应的自变量的值.例5 某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元.若一个月总通话时间为x分钟，甲、乙两种业务的费用分别为y1元和y2元.（1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中画出y1、y2的图像；（3）根据一个月的通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？【思路点拨】“选择”是现实生活中经常遇到的问题，选择经常与经济效益相联系，.借助一次函数的图像，运用图像使问题得以解决.（1）由题意很容易得出y1=0.3x+15（x≥0）；y2=0.6x（x≥0）；（2）y1、y2在同一坐标系中的图像如下图所示；（3）由图像可知：当一个月通话时间为50分钟时，两种业务的费用相同；当一个月通话时间少于50分钟时，乙种业务更优惠；当一个月通话时间多于50分钟时，甲种业务更优惠，【评注】：求实际应用型问题的函数关系式，一般要写出自变量的取值范围，这个范围要根据实际情况来考虑.。
数形结合思想在“一次函数”解题中的应用
数形结合思想在“一次函数”解题中的应用摘要：在解题过程中，利用数形结合的思想解答数学问题，往往能够起到事半功倍的效果，在解答与“一次函数”相关的问题的时候，可以画一个直角坐标，先根据题目中给到的点标在直角坐标系中，这样就可以直观的把所有信息都体现在图上，使解题更加方便，不会漏掉重要信息，而且在解题后，还能根据直角坐标系进行验证，用数形结合的思想在“一次函数”解题中是非常实用的。
关键词：数形结合；一次函数；解题应用一次函数在初中数学中是比较基础的章节，这一章节也可说是小学数学与初中数学的过渡，同学们要逐渐适应这样的函数形式，通过数行结合的思想可以很好地解决一次函数相关的问题，数形结合法是解决数学问题的重要方法之一，体现了数量关系与空间形式是相互联系和转化的，将抽象的数式与具体的图形相结合与转化，把数量关系转化为图形或把图形问题转化为数量关系进行研究.在一定的条件下，将数与形进行巧妙转化，以形助数，以数解形，化难为易，有时会起到事半功倍的效果.（1）以形助数：仔细观察图形的形状、大小、位置关系，充分利用线段、面积与周长等数量关系将数转化为形来求解.例1：已知：如图，平面直角坐标系中，A（1，0），B(0，1），C(-1，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E。
（1）求∠OAB的度数及直线 AB的解析式：（2）若△OCD 与△BDE 的面积相等，求直线 CE 的解析式；若 y 轴上的一点P 满足∠APE=45°，请直接写出点P的坐标。
解题思路：（1）由A，B两点的坐标知，LAOB为等腰直角三角形，所以ZOAB=45°（2）△OCD与△BDE?的面积相等，等价于△ACE?与△AOB?面积相等，故可求E 点坐标，从而得到CE的解析式；因为E为AB中点，故P为（0.0）时，∠APE=45°在例1当中，运用的就是以形助数的解题方式，在这道题目当中，给出了在直角坐标系的电的位置和图形，从图形中，我们可以清晰地看到OA=OB=1，△AOB为等腰直角三角形，而等腰直角形的除直角以外的两个角的度数是45°，从坐标系中清晰可见，如果题目中没有给出直角坐标系，那么，只依靠想象和计算推演出△AOB为等腰直角三角形就比较困难了。
专题06 一次函数中的行程问题(解析版)中考数学二轮专题复习之函数与实际问题真题满分过(全国通用)
专题06 一次函数中的行程问题（2）【真题讲解】例．（2019·吉林长春市·中考真题）已知A 、B 两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A 地匀速开往B 地，乙车从B 地沿此公路匀速开往A 地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y （千米）与甲车的行驶时间x （时）之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为 千米/时，a = ，b = ．（2）求甲、乙两车相遇后y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．【答案】（1）75；3.6；4.5；（2）()()1352702 3.660 3.6 4.5x x y x x ⎧-<≤⎪=⎨<≤⎪⎩；（3）当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a b 、的值；（2）运用待定系数法解得即可；（3）求出甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．【详解】解：（1）乙车的速度为：()270602275-⨯÷=千米/时，27075 3.6a =÷=，27060 4.5b =÷=．故答案为75；3.6；4.5；（2）60 3.6216⨯=（千米），当2 3.6x <≤时，设11y k x b =+，根据题意得：1111203.6216k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11135270k b =⎧⎨=-⎩， ∴()1352702 3.6y x x =-<≤；当3.6 4.5<≤x 时，设60y x =，∴()()1352702 3.660 3.6 4.5x x y x x ⎧-<≤⎪=⎨<≤⎪⎩；（3）甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间为：()2027070606-÷=（小时）， 此时甲、乙两车之间的路程为：201352701806⨯-=（千米）． 答：当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．【点睛】考核知识点：一次函数的应用.把实际问题转化为函数问题是关键.【真题演练】一、单选题1．（2019·辽宁辽阳市·中考真题）一条公路旁依次有,,A B C 三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A 村、B 村同时出发前往C 村，甲乙之间的距离()s km 与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①,A B 两村相距10km ；②出发1.25h 后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行8km ；④相遇后，乙又骑行了15min 或65min 时两人相距2km ．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据题意结合一次函数的图像与性质即可一一判断.【详解】解：由图象可知A 村、B 村相离10km ，故①正确，当1.25h 时，甲、乙相距为0km ，故在此时相遇，故②正确，当0 1.25t ≤≤时，易得一次函数的解析式为810s t =-+，故甲的速度比乙的速度快8/km h ．故③正确当1.252t ≤≤时，函数图象经过点(1.25,0)(2,6)设一次函数的解析式为s kt b =+ 代入得0 1.2562k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得k 8b 10=⎧⎨=-⎩ ∴810s t =+当2s =时．得2810t =-，解得 1.5t h =由1.5 1.250.2515min h -==同理当2 2.5t ≤≤时，设函数解析式为s kt b =+将点(2,6)(2.5,0)代入得0 2.5k b 62k b =+⎧⎨=+⎩，解得k 12b 30=-⎧⎨=⎩∴1230s t =-+当2s =时，得21230t =-+，解得73t =由7131.2565min 312h -== 故相遇后，乙又骑行了15min 或65min 时两人相距2km ，④正确．故选D ．【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与应用.2．（2019·山东威海市·中考真题）甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度绘制而成的．下列说法错误的是( )A ．甲队每天修路20米B ．乙队第一天修路15米C ．乙队技术改进后每天修路35米D ．前七天甲，乙两队修路长度相等【答案】D【分析】根据题意和表格中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【详解】由题意可得，甲队每天修路：16014020-=(米)，故选项A 正确；乙队第一天修路：352015-=(米)，故选项B 正确；乙队技术改进后每天修路：2151602035--=(米)，故选项C 正确；前7天，甲队修路：207140⨯=米，乙队修路：270140130-=米，故选项D 错误； 故选D ．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．二、填空题3．（2019·重庆中考真题）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的54快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y （米）与小明从家出发到学校的步行时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为________米．【答案】2080【分析】设小明原速度为x 米/分钟，则拿到书后的速度为1.25x 米/分钟，家校距离为11 (2311) 1.2526x x x -⨯=+．设爸爸行进速度为y 米/分钟，由题意及图形得：11(1611)(1611)(1.25)1380x y x y =-⎧⎨-⨯+=⎩，解得：80x =，176y =．据此即可解答． 【详解】解：设小明原速度为x （米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x （米/分钟），则家校距离为11 (2311) 1.2526x x x -⨯=+．设爸爸行进速度为y （米/分钟），由题意及图形得：11(1611)(1611)(1.25)1380x y x y =-⎧⎨-⨯+=⎩． 解得：80x =，176y =．∴小明家到学校的路程为：80262080⨯=（米）．故答案为2080【点睛】本题考查一次函数的应用、速度、路程、时间之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．（2019·辽宁大连市·中考真题）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条道路上的,A B 两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A 处后行走的路程y （单位：m ）与行走时x （单位：min ）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：m ）与甲行走时间x （单位:min ）的函数图象，则a b -=_____．【答案】12【分析】 从图1，可见甲的速度为120602=，从图2可以看出，当x=67 时，二人相遇，即：6607V +⨯乙（） =120，解得：乙的速度V 乙=80，已的速度快，从图2看出已用了b 分钟走完全程，甲用了a 分钟走完全程，即可求解．【详解】解：从图1，可见甲的速度为120602=， 从图2可以看出，当67x =时，二人相遇，即：6601207V +⨯=乙，解得： 乙的速度：80V =乙，∴乙的速度快，从图2看出已用了b 分钟走完全程，甲用了a 分钟走完全程， 120120160802a b -=-=. 故答案为12． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，把一次函数和行程问题结合在一起，关键是能正确利用待定系数法求一次函数的解析式，明确三个量的关系：路程=时间×速度．三、解答题5．（2019·江苏淮安市·中考真题）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x 小时，快车行驶的路程为1y 千米，慢车行驶的路程为2y 千米．如图中折线OAEC 表示1y 与x 之间的函数关系，线段OD 表示2y 与x 之间的函数关系．请解答下列问题：（1）求快车和慢车的速度；（2）求图中线段EC 所表示的1y 与x 之间的函数表达式；（3）线段OD 与线段EC 相交于点F ，直接写出点F 的坐标，并解释点F 的实际意义．【答案】（1）快车的速度为90千米/小时，慢车的速度为60千米/小时；（2）190135=-x y ；（3）点F 的坐标为(4.5,270)，点F 代表的实际意义是在4.5小时时，甲车与乙车行驶的路程相等．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度；（2）根据函数图象中的数据可以求得点E 和点C 的坐标，从而可以求得1y 与x 之间的函数表达式；（3）根据图象可知，点F 表示的是快车与慢车行驶的路程相等，从而以求得点F 的坐标，并写出点F 的实际意义．【详解】（1）快车的速度为：180290÷=千米/小时，慢车的速度为：180360÷=千米/小时，答：快车的速度为90千米/小时，慢车的速度为60千米/小时；（2）由题意可得，点E 的横坐标为：2 1.5 3.5+=，则点E 的坐标为(3.5,180)，快车从点E 到点C 用的时间为：(360180)902-÷=（小时），则点C 的坐标为(5.5,360)，设线段EC 所表示的1y 与x 之间的函数表达式是1y kx b =+，3.51805.5360k b k b +=⎧⎨+=⎩，得90135k b =⎧⎨=-⎩， 即线段EC 所表示的1y 与x 之间的函数表达式是190135=-x y ；（3）设点F 的横坐标为a ，则6090135a a =-，解得， 4.5a =，则60 270a =，即点F 的坐标为(4.5,270)，点F 代表的实际意义是在4.5小时时，甲车与乙车行驶的路程相等．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出方程6．（2019·江苏徐州市·中考真题）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A ．甲从中山路上点B 出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A 出发，沿北京路步行向东匀速直行．设出发min x 时，甲、乙两人与点A 的距离分别为1y m 、2y m ．已知1y 、2y 与x 之间的函数关系如图②所示．（1）求甲、乙两人的速度；（2）当x 取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？【答案】（1）甲的速度为240/min m ，乙的速度为80/min m ．（2）当92x =时，甲、乙两人之间的距离最短．【分析】 (1)设甲、乙两人的速度，并依题意写出函数关系式，再根据图②中函数图象交点列方程组求解；(2)设甲、乙之间距离为d ，由勾股定理可得222(1200240)(80)d x x =-+=2964000()1440002x -+，根据二次函数最值即可得出结论． 【详解】(1)设甲、乙两人的速度分别为/min am ，/min bm ，甲从B 到A 用时为p 分钟，则：11200(0)1200()ax x p y ax x p -≤≤⎧=⎨->⎩， 2y bx =，由图②知： 3.75x =或7.5时，12y y =，则有1200 3.75 3.757.512007.5a b a b -=⎧⎨-=⎩，解得： 24080a b =⎧⎨=⎩， p=1200÷240=5，答：甲的速度为240/min m ，乙的速度为80/min m ；(2)设甲、乙之间距离为d ，则222(1200240)(80)d x x =-+2964000()1440002x =-+， ∴当92x =时，2d 的最小值为144000，即d 的最小值为 答：当92x =时，甲、乙两人之间的距离最短． 【点睛】本题考查了函数图象的读图识图能力，正确理解图象交点的含义，从图象中发现和获取有用信息，提高分析问题、解决问题的能力．7．（2019·吉林中考真题）甲、乙两车分别从,A B 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B 地，乙车立即以原速原路返回到B 地，甲、乙两车距B 地的路程()y km 与各自行驶的时间()x h 之间的关系如图所示． ⑴m =________，n =________；⑴求乙车距B 地的路程y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； ⑴当甲车到达B 地时，求乙车距B 地的路程【答案】（1）4，120；（2）60240y x =-+；（3）乙车距B 地的路程为30km .【分析】（1）观察图象即可解决问题；（2）运用待定系数法解得即可；（3）把x=3代入（2）的结论即可．【详解】解：（1）根据题意可得m=2×2=4，n=280-280÷3.5=120； 故答案为4；120；（2）设y 关于x 的函数解析式为()02y kx x =≤≤， 因为图象过()2,120，所以2120k =，解得60k =，所以y 关于x 的函数解析式为60y x =，设y 关于x 的函数解析式为()124y k x b x =+≤≤， 因为图象过()()2,120,4,0两点，所以11212040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：160240k b =-⎧⎨=⎩，所以y 关于x 的函数解析式为60240y x =-+； （3）当 3.5x =时，60 3.524030y =-⨯+=，所以当甲车到达B 地时，乙车距B 地的路程为30km ． 【点睛】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式． 8．（2019·宁夏中考真题）在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的半径为36米．（π取3.14）． （1）求400米跑道中一段直道的长度；（2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变化．请完成下表：若设x 表示跑道宽度（单位：米），y 表示该跑道周长（单位：米），试写出y 与x 的函数关系式：（3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？【答案】（1）400米跑道中一段直道的长度为86.96m ； （2） 6.28400y x =+；（3）最多能铺设道宽为1.2米的跑道6条． 【分析】()1根据周长的意义：直道长度+弯道长度400=求出，()2跑道宽度增加，就是半圆的半径增加，依据圆的周长公式可求当跑道宽度为1、2、3、4、5、⋯⋯时，跑道的周长，填写表格.并求出函数关系式．()3依据关系式，可求当跑道周长为446米时，对应的跑道的宽度，再根据每道宽1.2米，求出可以设计几条跑道． 【详解】解：（1）400米跑道中一段直道的长度(400236 3.14)286.96m =-⨯⨯÷= （2）表格如下：2400 6.28400y x x π=+=+；（3）当446y =时，即6.28400446x +=， 解得：7.32x m ≈7.32 1.26÷≈ 条∴最多能铺设道宽为1.2米的跑道6条． 【点睛】体会跑道周长怎样随着跑道宽度的变化而变化的关系，进而得出宽度周长y 与跑道宽度x 之间的函数关系式，其中圆的周长公式、一次函数性质是解决问题必需的知识．9．（2019·湖南永州市·中考真题）在一段长为1000的笔直道路AB 上，甲、乙两名运动员均从A 点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A 点的距离y （米）与其出发的时间x （分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达B 点后立即按原速返回．（1）当x 为何值时，两人第一次相遇？ （2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．【答案】（1）当x为0.75分钟时，两人第一次相遇；（2）当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是1100米．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以计算出当x为何值时，两人第一次相遇；（2）根据函数图象中的数据可以计算出当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程．【详解】（1）甲的速度为：100÷4＝250米/分钟，令250x＝150（x3060 +），解得，x＝0.75，答：当x为0.75分钟时，两人第一次相遇；（2）当x＝5时，乙行驶的路程为：150×（53060+）＝825＜1000，∴甲乙第二次相遇的时间为：10008255 5.5100015010-5-+=+（分钟），则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为：1000+（5.5-5）×200＝1100（米），答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是1100米．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．10．（2019·湖北咸宁市·中考真题）小慧家与文具店相距960m，小慧从家出发，沿笔直的公路匀速步行12min来到文具店买笔记本，停留3min，因家中有事，便沿着原路匀速跑步6min返回家中．()1小慧返回家中的速度比去文具店的速度快多少？()2请你画出这个过程中，小慧离家的距离y与时间x的函数图象；()3根据图象回答，小慧从家出发后多少分钟离家距离为720?m【答案】（1）小慧返回家中的速度比去文具店的速度快80(/)m min ；（2）作图见解析；（3）小慧从家出发后9分钟或16.5分钟离家距离为720m . 【解析】 【分析】()1根据速度＝路程/时间的关系，列出等式96096080612-=即可求解； ()2根据题中已知，描点画出函数图象；()3根据图象可得小慧从家出发后9分钟或16.5分钟离家距离为720m .【详解】（1）由题意可得，96096080612-=/m min （） 答：小慧返回家中的速度比去文具店的速度快80/m min （）； ()2如图所示：()3根据图象可得，小慧从家出发后9分钟或16.5分钟离家距离为720m【点睛】本题考查一次函数的应用；能够理解题意，准确画出函数图象，并从图象中获取信息是解题的关键．。
一次函数应用题中的“数形结合”(推荐文档)
合理利用数形联合思想解答一次函数金山初级中学庄士忠201508一次函数是反应数目关系和变化规律的数学模型；是初中数学最基本和简单的一种函数，课本是依据观点（表达式）——图象——性质——应用来睁开的。
学习一次函数就要学会运用待定系数法、数形联合法思想（由数到形，将条件直观化；由形到数，追求等量关系；数形联合最后获取问题的解决方法）。
并且数形联合思想在一次函数中的应用是中考的一个热门，解一次函数应用问题时，假如能“数”与“形”联合，就能够使复杂的问题简单化，抽象的问题形象化。
一、由“数”到“形”，将条件直观化例1、速度为 100 千米 / 小时汽车由上海匀速驶往南京，以下图像中能大概反应汽车行驶行程 s（千米）和行驶时间 t（小时）的关系的是 ( )剖析：依据题意得，汽车行驶行程 s（千米）和行驶时间 t（小时）的关系式是 s=100t,因此行驶行程s 和行驶时间 t 成正比率关系，因行程与时间都不可以为负数，因此行驶行程s 和行驶时间 t 之间的函数图象应当是在第一象限的一条射线，故应选D．例 2、一根蜡烛长 20cm，点燃后每小时焚烧5cm，焚烧时剩下的长度为y(cm) 与焚烧时间 x（小时）的函数关系用图象表示为以下图中的（）y y y y40404040O5x O5x O5x O5xA ．B ．C．D．剖析：此题可直接依据题意找出切合条件的图象.由这根蜡烛原长20cm，点燃后每小时焚烧 5cm，故 4 小时燃完 .再由焚烧时剩下的长度为y(cm) ，故 y 应是从 20开始渐渐减少至 0.故应选（ B）.评注：解从“数”到“形”问题时，应先找出两个已知变量之间的函数关系，而后依据函- 1 -数关系式作出函数的大概图象，进而概括出函数的图象特点。
（一定考虑实质状况和意义）二、从“形”到“数”，追求等量关系例3、小强每个月的花费都是依据上月他的家务劳动时间所得奖赏加上基本生活费从父亲母亲那边获取的．若设小强每个月的家务劳动时间为 x 小时，该月可得（即下月他可获取）的总费为y 元，则 y（元）和x（小时）之间的函数图像如下图．（1）依据图像，写出小强每个月的基本生活费为多少元；父亲母亲是怎样奖赏小强劳动的？（2）写出当 0≤x≤20时，相对应的 y 与 x 之间的函数关系式；（3）若小强 5 月份希望有 250 元花费，则小强 4 月份需做家务多少时间？剖析：（ 1）这是最简单的读题，依据函数图象的信息可知，小强每个月的基本生活费为150 元，父亲母亲的奖赏方法是：假如小强每个月做家务的时间不超出20 小时，每小时获奖赏2.5 元；假如小强每个月做家务的时间超出20 小时，那么20小时每小时按 2.5 元奖赏 ,超出部分按每小时奖赏 4 元奖赏；（ 2）依据函数图象知，当0≤x≤20时，它是一个一次函数图象，即设y 与 x 之间的函数关系式为y=kx+b. 由于点（ 0， 150），（ 20， 200）在函数y=kx+b上,因此函数关系式为y=2.5x+150 ；（ 3）依据函数图象知，当x>20 时，它也是一个一次函数图象，即设y 与 x 之间的函数关系式为y=k 1 x+b 1。
《一次函数的图象》word教案 (公开课)2022年北师大版 (10)
教学目标：1．了解一次函数的图象是一条直线， 能熟练作出一次函数的图象．2．经历函数图象的作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．3．函数的代数表达式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力．教学重、难点重点：初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．难点：理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系．教法及学法指导：本节课我运用多媒体演示教学手段，力求直观，高效，使本节课有趣、形象、事半功倍．在教学中注重培养学生的画图能力，主要是培养学生的看图、识图能力，培养思维能力．指导学生根据概念的直观表象，归纳出概念的性质，运用类比、归纳、数形结合等方法，培养学生分析问题、解决问题的能力．对于学生我采用自主探究、合作交流式教学，学生通过一些不同的问题，讨论、归纳，在与老师之间的交流中学习知识，体验学习的快乐，让学生更有时机体验自己与他人的想法，从而掌握知识．课前准备：多媒体课件，三角板等教具准备．教学过程：一、创设情境，引入新课师：我们已经认识了一次函数和正比例函数，现在老师这里有一题要考考同学们，请看题：〔课件演示〕一天，小明以80米/分的速度去上学，请问小明离家的距离S 〔米〕与小明出发的时间t 〔分〕之间的函数关系式是怎样的？它是一次函数吗？它是正比例函数吗？〔t ≥0〕生：S =80t ，是一次函数也是正比例函数.师：很好！下面的图象能表示上面问题中的S 与t 的关系吗？生：能.师：我们说，上面的图象是函数S =80t 〔t ≥0〕的图象,这就是我们今天要学习的主要Ot 〔分〕S 〔米〕1内容：一次函数的图象的特殊情况即正比例函数的图象.教师板书课题4.3一次函数的图象〔1〕设计意图：通过学生比拟熟悉的生活情景，让学生在写函数关系式和认识图象的过程中，初步感受函数与图象的联系，激发其学习的欲望．效果：学生通过对上述情景的分析，初步感受到函数与图象的联系，激发了学生的求知欲望，感受图象的价值.二、合作交流，探究新知探究一：函数图象的定义：自学课本83页并能用自己的语言归纳函数图象概念．师：什么叫做函数的图象呢？你能用语言表达吗？生：把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．学生边说，老师边板书“函数的图象〞的概念并附属说明如一次函数2y x =，当1=x 时，对应2=y ．那么我们可在直角坐标系内描出点〔1，2〕，再给x 另一值，对应又一个y ．又可在直角坐标系内描出一个点来，所有这些点组成的图形叫2y x =的图象． 由此可知道：函数的图象是满足函数表达式所有的点的集合师：下面我们就通过具体的例子来真切的认识认识正比例函数图象的“真面目.〞探究二：正比例函数图象的画法例1 请作出正比例函数y=2x 的图象．解：1.列表: x … -2 -1 0 12 … y=2x … -4 -2 02 4 … 说明：(1)列表时教师要问学生x ，y 的取值范围是什么，并引导学生一般情况下x ，y 取哪些值最适宜．还要强调：应注意左右还有无数组数，因此左右应加省略号．(2)列表后教师追问学生列表的目的是什么，让学生明确列表是为了找自变量x 与因变量y 对应值．2.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．(-2，-4) 〔-1，-2〕 〔0，0〕 〔1，2〕 〔2，4〕说明：描点要注意x的值作为横坐标，y的值作为纵坐标.3.连线：把这些点依次连结起来，得到y=2x的图象．说明：连线要注意按x的值从小到大的顺序连接.并由学生完成作图．y=2x 2．描点3．连线师：正比例函数图象的形状是什么？生：是一条直线．师：由例1我们发现作一个函数的图象需要哪些步骤？(小组内合作交流体会，教师巡视课堂，随时点拨，诱导学生的思维朝向“教学目标〞.) 师：请小组代表发言说自己小组的感受．〔学生边说老师边板书〕三大步：列表，描点，连线．师：如何列表？x如何取值？生：在函数关系式y=2x中，x的取值范围是全体实数〔包括正数、负数和0〕，为了方便画图，应用整数.设计意图：通过本环节的学习，让学生明确作一个函数图象的一般步骤，能做出一个函数的图象，同时感悟正比例函数图象是一条直线．三、动手操作，深化探究做一做〔1〕作出正比例函数y =-3x 的图象．〔2〕在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系y =-3x ．〔学生独立画图，教师巡视并及时纠正学生画图中的错误，比方将直线画成线段〕 设计意图：做一做“作出正比例函数y=-3x 的图象〞，意在让学生进一步熟悉如何作一个正比例函数的图象，同时要求学生在作这个函数的图象时，尽量准确，为后面研究函数与图象的对应关系和得出一次函数的图象是一条直线作好铺垫和准备．师：请同学们以小组为单位，讨论下面的问题，把得出的结论写出来．〔1〕满足关系式y =-3x 的x ，y 所对应的点〔x ，y 〕都在正比例函数y =-3x 的图象上吗？〔2〕正比例函数y =-3x 的图象上的点〔x ，y 〕都满足关系式y =-3x 吗？〔3〕正比例函数y=kx 的图象有什么特点？由学生讨论上面的问题.生1：满足关系式的x ，y 所对应(),x y 都在图像上．例如：满足关系式2x =，6y =-即〔2，-6〕就在图像上．满足关系式1x =-，3y =即〔-1，3〕也在图像上等等． 生2：图像上的点都满足关系式，例如：图像上的点〔-2，6〕即当x =-2时y =6就满足关系式，图像上的点(1，-3)即x=1，y =-3也满足关系式，等等．师：大家有什么发现？生3：图像与关系式是对应的．生4：正比例函数的关系式与它的图像是对应的． 师：大家说得非常正确．师生共同概括：由上面的讨论我们知道：正比例函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足正比例函数的代数表达式的x ，y 所对应的点〔x ，y 〕都在正比例函数的图象上；正比例函数的图象上的点〔x ，y 〕都满足正比例函数的代数表达式．正比例函数y=kx 的图象是一条直线，以后可以称正比例函数y=kx 的图象为直线y=kx ．设计意图：教师对每位答案正确的学生都给予积极的评价和鼓励，进一步调动学生的积极性.通过三个问题的思考与解决，明确正比例函数的图象是一条直线，建立正比例函数的代数表达式与图象之间的“一一对应〞关系，培养了学生小组“合作探究〞的能力和“数形结合〞的意识这就突破了难点.议一议师：既然我们得出正比例函数y=kx的图象是一条直线．那么在画正比例函数图象时有没有什么简单的方法呢？生：因为“两点确定一条直线〞，所以画正比例函数y=kx的图象时可以只描出两个点就可以了．因为正比例函数的图象是一条过原点〔0，0〕的直线,所以只需再确定一个点就可以了,通常过〔0，0〕,〔1，k〕作直线.师：好！下面我们就用两点法作出函数图象.例2 在同一直角坐标系内作出y=x，y=3x，y=-12x，y=-4x的图象．解：1.列表x 0 1y=x 0 1y=3x 0 3y=-12x0 -12y= 4x0 -42.描点：过点〔0，0〕和〔1，1〕作直线，那么这条直线就是y=x的图象．过点〔0，0〕和〔1，3〕作直线，那么这条直线就是y=3x的图象．过点〔0，0〕和〔1，-12〕作直线，那么这条直线就是y=-12x的图象．过点〔0，0〕和〔1，-4〕作直线，那么这条直线就是y=-4x的图象．3.连线.设计意图：做一做“作出这几个正比例函数的图象〞，意在让学生进一步熟悉如何作一个正比例函数的图象，同时要求学生通过这几个函数的图象，分析正比例函数图象的性质,以及k的绝对值大小与直线倾斜程度的关系.效果：学生通过作出正比例函数的图象，明确了作函数图象的一般方法．在探究函数与图象的对应关系中加深了理解，并能很快地作出正比例函数的图象．议一议师：请大家先独思考立，再互相交流得出结论．上述四个函数中，随着x的增大,y的值分别如何变化?〔教师走进学生中间，对学生进行鼓励. 对于学生说的不透、不清的问题进行及时引导．学生四个人一组进行讨论交流，将自己确定的结论自己写在练习本上．不能确定的结论同组进行讨论．〕讨论结束，各小组交流得到的结论：生1：y=x ， y=3x的图象从左向右是上升的，由此我想k>0时，y的值随x的增大而增大．生2：y= -0.5x， y=-4x的图象从左向右是下降的，由此我想k<0时，y的值随x的增大而减小．师：同学们分析的很好，通过上面的讨论你认为正比例函数y=kx图象有何特点？〔在表扬学生的观察力同时，鼓励学生大胆发言，并留给学生一点思考时间．〕生3：我发现当k＞0时，函数图象位于第一、三象限内．如y=x ，y=3x的图象．生4：〔抢答〕当k ＜0时，函数图象位于第二、四象限内．如 y= -0.5x ， y=-4x 的图象．生5：正比例函数y=kx 的图象是经过原点〔0，0〕的一条直线．师：大家都很有见解，从不同的角度，分析了正比例函数的图像和性质．师生总结出结论：在正比例函数y=kx 中,当k ＞0时，图象在第一、三象限，y 的值随着x 值的增大而增大(即从左向右观察图象时,直线是向上倾斜的)；当k ＜0时, 图象在第二、四象限，y 的值随着x 值的增大而减小 (即从左向右观察图象时,直线是向下倾斜的).〔教师用多媒体展现正比例函数图象的性质．〕 函数 图象 k 大致图象所经象限 函数值变化正比例函数 直线 0k >一、三 y 随x 的增大而增大0k <二、四y 随x 的增大而减小设计意图：通过观察正比例函数图象,归纳概括正比例函数图象特征,探索正比例函数的主要性质．这样的设计能够调动学生学习的积极性，增强学生对知识的理解，同时也培养了学生的观察、归纳能力和合作交流能力.〕请你进一步思考:〔1〕正比例函数y=x 和y=3x 中，随着x 值的增大y 的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？〔2〕正比例函数y =-12x 和y=-4x 中，随着x 值的增大y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？生1：正比例函数y=x ，当x 增加1时y 增加1，而y=3x 中，当x 增加1时y 增加3，所以y=3x 增加得更快.x y O x y O生2：正比例函数y =-12x ，当x 增加1时y 减少12，而y=-4x 中，当x 增加1时y 减少4，所以y=-4x 减少得更快.师生结合图像总结得出：k 越大，直线越靠近y 轴．四、稳固练习，深化理解1．在同一直角坐标系中分别作出y =13x 与y =-3x 的图象． 设计意图：让学生熟练正比例函数图象的作法.2．以下哪一些点在函数y =-5x 的图象上？〔1，5〕、〔-1，5〕、(0.5，)、(-5，1)提示：逐个带入关系式试一下就可以发现〔-1，5〕(0.5，)这个点满足关系式，所以它在函数图象上．设计意图：通过这个题可以进一步印证“函数关系式和函数图象〞的“一 一对应〞关 系，给学生留下较深的印象．师生归纳：满足一次函数表达式的一组x 、y 所对应的点的坐标〔x 、y 〕就在函数图象上，函数图象上的点的坐标都会满足一次函数表达式.3．对于函数x y 3-=的两个确定的值1x 、2x 来说，当21x x <时，对应的函数值1y 与2y 的关系是( )A. 21y y <B. 21y y =C. 21y y >D. 无法确定设计意图：是明确正比例函数图象的性质，要注意自变量的取值范围．效果：学生通过练习，进一步熟练了正比例函数图象的作法，对正比例函数和正比例函数图象的一般特征有了清楚的认识．五、课时小结，回归系统师：本节课我们通过对正比例函数图象的研究的学习，你有哪些收获？还有那些迷惑？ 大家回忆一下本节课所学的内容〔可以借助于板书对本节课所学的进行“梳理〞〕.生1：函数与图象之间是一一对应的关系；生2：正比例函数的图象是一条经过原点的直线；生3：作正比例函数图象时，只取原点外的另一个点，就能很快作出．生4：k ＞0时，函数图象位于第一、三象限内，y 的值随着x 值的增大而增大(即从左向右观察图象时,直线是向上倾斜的)；当k＜0时, 图象在第二、四象限， y的值随着x值的增大而减小 (即从左向右观察图象时,直线是向下倾斜的).设计意图：让学生在回忆的过程中，进一步加深对正比例函数图象的理解，同时对本节所学知识有一个总结性的认识．效果：学生通过对本节学习的回忆和小结，对所学知识更清楚，抓住了重点，明确了关键．六、课堂检测，矫正评价1．正比例函数5y x=-的图象位于象限，y随着x的增大而 .2．函数y=kx的函数值随x的增大而增大，那么函数的图象经过〔〕A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限3．写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式____4．画出以下正比例函数图象．(1)y=4x； (2) y=-13x．七、布置作业，稳固知识必做题：课本P85 第2题.选做题：课本P85 第4题.设计意图：作业分层，让能力不同的每个学生都能各有所得．板书设计§一次函数的图像〔1〕函数图象的定义：把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．作函数图象的步骤：〔1〕列表〔2〕描点〔3〕连线图像特征：一条直线例1练习：教学设计反思成功之处：本节内容是学生利用数形结合的思想去研究正比例函数的图象，对函数与图象的对应关系有点陌生．在教学过程中我通过提供学生熟悉的生活素材作情景，激发了学生的学习兴趣，对函数与图象的对应关系让学生动手去实践，去发现，对正比例函数的图象是一条直线应让学生自己得出．在得出结论之后，让学生能运用“两点确定一条直线〞，很快作出正比例函数的图象．培养了学生“数形结合〞的意识，开展了合作探究和总结概括的能力.在稳固练习活动中，鼓励学生积极思考，提高学生解决实际问题的能力．缺乏之处：由于本节课容量今后应加强细节的设计和全面考虑.学生的讨论与合作学习还需加强，讨论问题还不够深入，多数时间还是以个别答复为主，不会的没有足够的耐心去“等待花开〞，虽然个别答复非常精彩，但仍需注意“让每一个学生都得到开展〞.[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
数形结合思想在一次函数中的运用
数形结合思想在一次函数中的运用作者：张治国来源：《语数外学习·教学参考》2012年第11期函数是初中数学代数部分的重点，也是难点。
函数最本质的内容是性质和图象，核心思想是“数形结合”。
深刻理解和熟练运用数形结合思想是学好函数的关键。
著名数学家华罗庚先生曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，数形分离万事休”。
由此可见数形结合在数学学习中的重要性。
一次函数反映的是数量关系与变化规律，是最基本的函数，学好一次函数是学好函数的基础。
对于学生而言，一次函数学好了，真正做到数形结合，再学习后面的反比例函数和二次函数便会容易得多。
本文结合教学实践，对一次函数中“数形结合”的思想进行探讨，以指导学生更好地理解函数的精髓，掌握解题方法。
一、从数到形，以形助数例1一个沙漏中有100g沙子，沙子以每秒钟10g的速度漏出。
沙漏中余下的沙子y（单位g）与沙漏时间x（单位s）之间的函数图象是（）。
解析：y为余下的沙子，随着沙漏时间的增长，剩余的沙子y必然减少，因此，该函数一定是减函数，由此可以排除A和C选项。
沙子最多时候为20g，漏完之后为0g，因此y的区间一定是0～20，由此可以排除D选项，因此本题正确答案应为B。
二、从形到数，量化入微例2有一种玩具小汽车的车速可以在1分钟之内加速到10m/s，之后以每秒5米的速度提高车速，最高车速为每秒40m，达到40秒之后便保持40m/s的速度行驶。
假设时间为x（单位：s），车速为y（单位：m），则y与x的函数图象如下图所示。
（1）根据图象，写出当1≤x≤7时，y与x的函数关系式。
（2）计算车速要想达到35m/s时，需要多长时间。
（3）求出在多长时间之后，小汽车的速度就不再提高。
写出小汽车车速达到40m/s之后，y与x的函数关系式。
解析：（1）根据题意可知，此玩具汽车的速度分为三个部分，首先是第1秒内提高到10 m/s，之后以5m/s的速度提速，在提到40m/s的速度后便匀速行驶。
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专题：数形结合在一次函数中的应用（展示课）
学习目标：
1、通过专题训练进一步掌握一次函数的相关知识。
2、培养学生数学思想，发展分析问题、解决问题及综合解题能力。
学习过程
数学思想是数学的灵魂，数学思想在解题中的应用应引起我们的高度重视，一次函数中蕴含了许多数学思想，同学们在掌握基础的同时，还应注意数学思想的提炼、总结，下面举例介绍一次函数中最常见的数形结合思想，供同学们参考。
（一）由数到形
一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（）
（二）由形到数
某厂今年前五个月生产某种产品的总产量Q（件）与时间t（月）的
函数图象如图1所示，则对这种产品来说，下列说法正确的是（）
A．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量逐月减少
B．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量与3月持平
C．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月停止生产0
D．1月至3月每月产量不变，4、5两月停止生产
（三）数形结合
1、在同一坐标系中画出一次函数y1＝－4x＋8,y2＝－2x＋6的图像，并根据图像回答下列问题：（1）直线y1＝－4x＋8,y2＝－2x＋6与 y轴分别交于点A、B，请写出A、B两点的坐标。
（2）写出直线y1＝－4x＋8,y2＝－2x＋6的交点P的坐标。
（3）求△PAB的面积。
将上面问题改为：一次蜡烛燃烧实验中,两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y (厘米)与燃烧时间x(小时)之间的关系.
（1）两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ,从点燃到燃尽所用的时间分别是 . （2）根据所提供的信息你还能提出什么问题，思考如何解答，并挑选一题写出解答过程。
2、有一个附有进出水管的水池，每单位时间内进出水管的进出水量都是一定的，设从某时刻开始，4h内只进水，在随后的时间内不进水，只出水，得到时间x（h）与水量y（m3）之间的关系图如图回答下列问题：
（1）进水管4h共进多少水？每小时进水多少？
（2）当04
≤≤时，y与x有何关系？
x
（3）当x=9时，水池中的水量是多少？
（4）若4h后，只放水，不进水，那么又经过
多少小时可将水池中的水放完？
反思：通过本节课学习，你在知识、思想方法以及实际运用方面都有哪些感悟？。