机械振动分析作业

机械振动分析——单自由度有阻尼系统的振动

3—1 阻尼的作用与分类

概述（无阻尼，为什么研究有阻尼，定义，介绍阻尼，） 数学建模 分析 意义

概述

振动是日常生活和工程实际中常见的现象。它是指系统在平衡位置附近做的往复运动。例如：钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震引起的建筑物的振动等。研究振动的目的主要是为了消除或减小有害的震动，充分利用振动使其更好的服务与人类。

振动按产生的原因分为自由振动、强迫振动和自激振动三类。自由振动是指系统受到初始扰动后，仅靠弹性恢复力来维持的振动。其中仅需用一个独立坐标就可确定振体位置的系统为单自由度系统。单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。

物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动。无阻尼的振动只是一种理想情况，在这种情况下，机械能守恒，系统保持持续的周期性等幅振动。但实际系统振动时，不可避免要受到各种阻尼的影响，机械能不可能守恒，因为总存在各种阻力，由于阻尼的方向始终与振动体的运动方向相反，因此对系统作负功，不断消耗系统的能量，使自由振动不断衰减最终停止，强迫振动的振幅受到抑制。所以，我们在此仅研究单自由度有阻尼系统自由振动。

阻尼即振动过程中，系统所受的阻力。阻尼有各种来源，情况比较复杂，主要有下列三种形式。

1.干摩擦阻尼：

两个干燥表面互相压紧并相对运动时所产生的阻尼称为干摩擦阻尼，阻尼大小与两个面之间的法向压力N 成正比，即符合摩擦定律F=fN ，式中f 是摩擦系数。

2.粘性阻尼： 物体以中、低速度在流体中运动时所受到的阻力称为粘性阻尼。有润滑油的滑动面之间

产生的阻尼就是这种阻尼。粘性阻尼与速度的一次方成正比，即x

c F =,式中c 为粘性阻尼系数，它取决于运动物体的形状、尺寸及润滑介质的粘性，单位为N ·s/cm 。物体以较大速

度在流体中运动时（如3m/s 以上），阻尼将与速度的平方成正比，即2

x

b F =，式中b 为常数，此种阻尼为非粘性阻尼。

3.结构阻尼、

材料在变形过程中，由内部晶体之间的摩擦所产生的阻尼，称为结构阻尼。其性质比较复杂，阻尼的大小取决与材料的性质。

由于粘性阻尼在数学处理时可使求解大为简化，所以本节先以粘性阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。在遇到非粘性阻尼时则可用等效粘性的办法作近似计算。

数学建模

单自由度有阻尼振系的力学模型如图所示，包括弹簧、质量及阻尼器。 以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x 。则物体运动微分方程为

kx x c x

m －＝－ 式中 ： x

c -为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相

反。

将上式写成标准形式，为

0=++kx x c x

m (a) 令p 2=

m k , m

c n =2, 则上式可简化为 022=++p x n x

(3-1) 这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取st

e x =，其中 s 是待定常数。代入（3-1）式得 0)2(2

2

=++st

e

p ns s ，要使所有时间内上式都能满足，

必须022

2

=++p ns s ，此即微分方程的特征方程，其解为

222,1p n n s -±-= （b ）

于是微分方程（3-1）的通解为

)(2222212121t

p n t

p n nt t s t s e c e

c e e c e c x --

--+=+= （3-2）

式中待定常数c 1与c 2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式22p n -是实数、零、还是虚数。对应的根s 1与s 2可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。若s 1

与s 2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为c c ，即c c ＝2mp 。引进一个无量纲的量ζ，称为相对阻尼系数或阻尼比。

c c c mp c p n /2//===ζ （3-3）

当n>p 或ζ>1,根式22p n -是实数，称为过阻尼状态，当n

1.过阻尼状态

此时ζ>1，即22p n -

s e 1及t

s e

2是两根下降的指数曲线，故（3-2）式所表

示的是两条指数曲线之和，仍按指数衰减，不是振动。图3-2所示为c 1>c 2,c 1<0时的情况。

2.临界阻尼状态

此时ζ＝1，（b ）式中s 1＝s 2＝－n ＝－p ，特征方程的根是重根，方程（3-1）的另一解将为te

－pt

，故微分方程（3-1）的通解为

x ＝（c 1＋c 2t ）e －

pt （c ）

式中等号右边第一项c 1e －

pt 是一根下降的指数曲线，第二项则可应用麦克劳林级数展开成以下形式：

!

/!3/!2//12322

/22n t p t p t p p t c e c te c n

n t pt pt +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++==

- 从上式看出，当时间t 增长时，第二项c 2te －

pt 也趋近于零。因此（c ）式表示的运动也不是

振动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。

3.弱阻尼状态

此时p>n,或ζ<1。利用欧拉公式

t n p i t n p e e t

n p t

p n 2222sin cos 2222-±-==-±

-±

可将（3-2）式改写为

)

sin cos ()(222221212222t n p D t n p D e e C e C e x nt t

n p i

t

n p i

nt -+-=+=-----

或

)sin(22ϕ+-=-t n p Ae x nt

（3-4-1）

令22n p p d -=

，则

)sin(ϕ+=-t p Ae x d nt

（3-4-2）

式中A 与ϕ为待定常数，决定于初始条件。设t ＝0时，x ＝x 0，0x x

=，则可求得 00012002

0,)(

x nx x

p

x tg p nx x A d d +=++=- ϕ （3-5）

将A 与ϕ代入（3-4-1）式，即可求得系统对初始条件的响应，由式（3-4-1）可知，系统

振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线nt

Ae

-+

-之内随时间不断衰减的衰减

振动。如图3-3所示。这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为

2221ζ-=-=P n P P d