机械振动大作业——简支梁的各情况分析
某简支梁桥的抖振响应分析
某简支梁桥的抖振响应分析抖振是结构工程中的一个重要问题。
在桥梁工程中，抖振可以导致桥梁的破坏，对行车安全造成严重威胁。
因此，对于桥梁的抖振响应进行研究和分析非常重要。
简支梁是桥梁结构中常见的一种结构形式，本文将以简支梁桥为例，对其抖振响应进行分析。
首先，抖振的原因是什么？当桥梁上的车辆行驶时，车轮与桥面的接触会引起弹性形变，这种弹性形变会受到桥梁自身的刚度和阻尼的影响，进而引起桥梁的振动。
而当桥梁的振幅达到一定程度时，就会出现抖振现象。
对于简支梁桥来说，其主要的抖振模式为主梁横向抖振。
主梁横向抖振是指桥梁在竖直方向上的振动会引起主梁的横向位移，进而导致桥面的左右摆动。
这种抖振模式是简支梁桥常见的一种形式，也是比较危险的一种形式。
接下来，我们将介绍几种常见的分析方法，以分析简支梁桥的抖振响应。
1. 结构有限元分析有限元分析是一种常用的结构分析方法，可以用于分析桥梁的振动特性。
有限元分析可以将桥梁结构离散成许多小的单元，在每个单元中进行应力、应变和振动分析，最终得到整个桥梁结构的振动特性。
在进行有限元分析时，需要确定桥梁结构的材料特性、几何形状和边界条件等。
通过对这些参数的准确模拟，可以得到桥梁结构的抖振响应。
有限元分析方法具有精度高、计算效率高等优点，在桥梁工程中得到了广泛应用。
2. 动力模拟试验动力模拟试验是通过在实验室内对模型进行模拟车辆通过桥梁的过程，得到桥梁的振动响应。
通过动力模拟试验，可以直接观察桥梁的抖振情况，同时还可以根据实验结果对桥梁结构进行优化设计。
动力模拟试验需要选择合适的试验设备和试验方法，同时需要准备充足的试验数据，以确保实验准确可靠。
动力模拟试验的缺点是需要较大的实验成本和周期，因此在实际工程中往往不是首选的分析方法。
3. 经验公式法经验公式法是一种基于经验数据的分析方法，通常适用于简单和常见的桥梁结构。
该方法通过分析已建成的桥梁的抖振响应，并将其与桥梁的几何尺寸、材料属性等参数相对比，得到一些定量的关系式和经验公式。
简支T梁在动荷载作用下的受力与挠度分析
简支T梁在动荷载作用下的受力与挠度分析简支T梁是一种常用的结构形式，其在动荷载作用下的受力与挠度分析是结构工程中的重要问题。
在进行受力与挠度分析时，我们需要考虑动荷载的作用以及简支T梁的几何形状和材料特性。
1. 动荷载作用下的受力分析简支T梁在动荷载作用下，会受到横向荷载、纵向荷载和弯矩的作用。
横向荷载：动荷载作用下，梁上的负载会对梁产生一个横向力，也就是横向荷载。
这个荷载会使得梁发生弯曲变形。
纵向荷载：动荷载作用下，梁上的负载还会对梁产生一个纵向力，称为纵向荷载。
这个荷载会使得梁产生纵向拉伸或压缩变形。
弯矩：横向荷载作用下，梁上的负载还会产生一个弯矩，也就是弯曲力矩。
弯矩方向和大小会影响到梁的受力状态。
解决这些受力问题，我们可以采用力学原理和结构分析方法，例如采用梁的受力分析方法（如弯曲力矩法、剪力法等）来分析梁在不同位置的受力情况。
2. 动荷载作用下的挠度分析除了受力分析，我们还需要对简支T梁在动荷载作用下的挠度进行分析。
挠度是指结构在荷载作用下产生的变形量。
对于简支T梁，在动荷载作用下，梁的挠度可以通过挠度影响线法、运动方程法或有限元法进行计算。
挠度影响线法：这种方法主要用于分析简支T梁的静力挠度问题，通过构造挠度影响线来计算梁的挠度。
它通常适用于只有一个荷载作用的情况。
运动方程法：对于动力学问题，我们可以建立梁的运动方程，然后求解该方程得到梁在动荷载作用下的挠度。
这种方法适用于动力学问题或有多个荷载作用的情况。
有限元法：有限元法是一种非常常用的分析方法，通过将结构离散为有限个小单元来求解结构的受力和变形。
通过有限元法，我们可以计算简支T梁在动荷载作用下的挠度，并得到详细的变形图。
需要注意的是，在进行挠度分析时，我们还需要考虑边界条件、材料的弹性性质、几何形状以及载荷的特点等因素。
总结起来，对于简支T梁在动荷载作用下的受力与挠度分析，我们需要考虑横向荷载、纵向荷载和弯矩的作用，采用力学原理和结构分析方法进行受力分析，使用挠度影响线法、运动方程法或有限元法进行挠度分析。
基本简支梁的振动模型 ——平志海
桥梁的振动问题分析一般都
是考虑了外载荷的影响，桥梁 的外载荷主要是析问题时，我们从有限元的方 法出发，对桥梁进行简单分析，
把桥梁等效为基本的简支梁，
如下所示：
梁的微元体受力图
基本简支梁的振动模型
EI
L
1.方程与边界条件的确定：
由于简支梁端出的梁的绕度W与弯矩M 固有： 等于零，
解得
C1 0
C3 0
C 2 sin l C 4shx 0
C 2 sin l C 4 shl 0
由于 shl 0 本征方程简化为：
sin l 0
3.解出：
il i
对应的固有频率为：
(i 1,2,3,.....)
i 2 EI i ( ) l S
( X 0 ) 0, " ( X 0 ) 0 ( X 0 0或 L )
M - EI x
2.边界条件：
（0） 0
" (0) 0
(l ) 0
代人通解方程：
" (l ) 0
( x) C1chx C 2 sin x C 3chx C 4 shx
(i 1,2,3,.....)
代回原式计算模态函数，将任意常数C2取1，得到：
i i ( x) sin x l
(i 1,2,3,.....)
4.下面给出i=1,2,3的各阶模态形状
Digits:=10; > i:=1; > l:=10; > f(x):=-sin((i*3.14/l)*x); > plot(f(x),x=0..10); > i:=2; > l:=10; > f(x):=-sin((i*3.14/l)*x); > plot(f(x),x=0..10); > i:=3; > l:=10; > f(x):=-sin((i*3.14/l)*x); > plot(f(x),x=0..10);
简支梁自振频率测量(正弦扫频法)实验报告
实验2简支梁自振频率测量(正弦扫频法)一、实验目的以简支梁为例，了解和掌握机械振动系统幅频特性曲线的测量方法以如何由幅频特性曲线得到系统的固有频率，了解常用简单振动测试仪器的使用方法。
二、实验内容及原理简支梁系统在周期干扰力作用下，以干扰力的频率作受迫振动。
振幅随着振动频率的改变而变化。
由此，通过改变干扰力（激振力）的频率，以其为横坐标，以振幅B为纵坐标，得到的曲线即为幅频特性曲线。
依据共振法测试简支梁的一阶、二阶固有频率，原理同实验三。
用跳沙法观察简支梁一阶、二阶振型。
测试简支梁的振型，根据简支梁的长度，划分若干个单元格，依次标号。
将信号发生器的频率调整到一阶固有频率处，观察简支梁的振动情况，在该频率下，分别测试每个单元的振幅。
依据测得的振幅，通过归一化，绘出简支梁的一阶振型。
三、实验仪器及设备机械振动综合实验装置（安装简支梁）1套激振器及功率放大器1套加速度传感器1只电荷放大器1台信号发生器1台数据采集仪1台信号分析软件1套计算机1台四、实验方法及步骤1.将激振器通过顶杆连接到简支梁上（注意确保顶杆与激振器的中心线在一直线上），激振点位于简支梁中心偏左50mm处（已有安装螺孔），将信号发生器输出端连接到功率放大器的输入端，并将功率放大器与激振器相连接。
2.用双面胶纸（或传感器磁座）将加速度传感器粘贴在简支梁上（中心偏左50mm）并与电荷放大器连接，将电荷放大器输出端分别与数据采集仪输入端连接。
3.将信号发生器和功率放大器的幅值旋钮调至最小，打开所有仪器电源。
设置信号发生器输出频率为10Hz，调节信号发生器的幅值旋钮使其输出电压为2V。
调节功率放大器的幅值旋钮，逐渐增大其输出功率直至简支梁有明显的振动（用眼观察或用手触摸）。
4.将信号发生器输出频率由低向高逐步调节，观察简支梁的振动情况，若振动过大则减小功率放大器的输出功率。
5.保持功率放大器的输出功率恒定，将信号发生器的频率重新由抵向高逐步调节，记录调整频率的变化情况，采集各个调整频率下响应信号振动幅值对应的电压数据。
机械振动的分析与控制
机械振动的分析与控制机械振动是机械工程中一个重要而常见的现象，它是机械运动中由失衡、不平衡、偏心、摩擦等因素引起的一种周期性变化。
这种振动不仅会引起设备故障，也会带来安全隐患和环境污染。
因此，对机械振动进行分析和控制，对于提高设备的稳定性和运行效率具有重要的意义。
一、机械振动的分类和特点机械振动可以分为自由振动和受迫振动两种类型。
自由振动是指机械系统在无外力干扰下的自然振动，受迫振动则是指机械系统受到周期性的外部激励而引起的周期性振动。
自由振动和受迫振动都具有很高的周期性，表现出振动频率、振幅等特点。
机械振动的特点有以下几点：第一，机械振动有一定的周期性，振动周期一般比较固定。
第二，机械振动的振幅大小是通过阻尼系数进行调节的，在外界激励等干扰下，振幅会发生变化。
第三，机械振动会产生能量，能量的大小和机械系统的状态和运动速度都有关系。
第四，机械振动的产生往往是由于机械系统自身的缺陷和损坏导致的。
二、机械振动的分析方法机械振动的分析方法涉及到多个学科领域，主要包括机械力学、信号处理、控制理论等。
针对不同类型的机械振动，需要选用不同的分析方法。
对于自由振动，可以通过求解系统的特征方程来计算系统的振动频率和振型。
对于受迫振动，可以采用傅里叶分析或小波分析等信号处理方法，分析系统的荷载和响应信号特点。
除了单独分析机械振动外，还可以采用有限元分析和振动模拟方法对机械系统进行整体分析。
这种方法可以考虑机械系统的复杂性和非线性特性，预测机械振动的发生概率和严重程度，为控制机械振动提供依据。
三、机械振动的控制技术针对机械振动所带来的影响，需要采取一系列控制技术进行控制。
机械振动的控制技术主要包括结构控制、阻尼控制、主动控制、被动控制等多个方面。
结构控制是指通过设计改变机械系统的结构，改变系统的固有频率，达到控制机械振动的目的。
阻尼控制则是通过人工增加机械系统的阻尼，以减少振幅和振动能量。
主动控制是指在机械系统内部增加控制装置，通过控制振动器件的电磁力、液压力等来控制机械振动。
简支梁实验
简支梁模态参数测定之一—测定固有频率与振型一、实验目的1、加深对系统固有频率和主振型的理解；2、掌握振动系统固有频率及主振型的一种测量方法（共振法）；3.了解压电式传感器及与它相配的测量系统的工作原理，掌握正确使用的方法；4、了解激振系统的工作原理。
二、实验装置框图图1 表示实验装置系统框图图1 实验装置系统框图三、实验原理试验模态分析法是确定结构固有频率的有效方法，在结构分析中应用广泛，而简支梁也是桥梁结构中一种常见的模型，现代桥梁中依然存在不少采用简支梁模型的桥梁结构。
所以本事通过试验模态法得到简支梁的固有频率和振型，也是桥梁结构分析中一种常用的方法很有实际意义，实验所用的均质等截面简支梁模型，属于小阻尼和连续的无限自由度的振动系统。
本实验模型是一矩形截面简支梁，它是一无限自由度系统。
理论上说，它应有无限个固有频率和主振型，在一般情况下，梁的振动是无穷多个主振型的迭加。
如果给梁施加一个合适大小的激振力，且该力的频率正好等于梁的某阶固有频率，就会产生共振，对应于这一阶固有频率而确定的振动形态叫做这一阶主振型，这时其它各阶振型的影响小得可以忽略不计。
用共振法确定梁的各阶固有频率及振型，具体步骤是首先得找到梁的各阶固有频率，并让激扰力频率等于某阶固有频率，使梁产生共振，然后，测定共振状态下梁上各测点的振动加速度值，从而确定前三阶主振型。
振型：即振动形态，即梁上各个测量点和振幅的关系图。
如图所示为一阶，二阶和三阶的振型图。
在正弦激励下振幅的比值等于加速度的比值。
所以本次试验测量加速度与位置之间的关系就能正确画出振型，大致如图2所示。
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.9 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.9 1图2 前三阶振型图根据材料力学理论下简支梁固有频率的计算：2012f l ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭E 为材料的弹性模量，查表取E=210Gpa 测量得简支梁b=0.05m h=0.15m l=1m312bh I =s 为梁的横截面积37850kgm ρ=2201135.1622f Hzl l ππππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10f f =214140.6f f Hz == 319316.4f f Hz==四、实验方法1、 激振器安装把激振器安装在支架上，将激振器和支架固定在实验台基座上，并保证激振器顶杆对简支梁有一定的预压力（不要超过激振杆上的红线标识），用专用连接线连接激振器和DH1301输出接口。
某简支梁桥的抖振响应分析
某简支梁桥的抖振响应分析简支梁桥是一种常见的桥梁结构形式，其在工程中的应用十分广泛。
在桥梁设计过程中，抖振响应分析是一项重要的工作，通过分析桥梁在外部荷载作用下的抖振响应，可以评估桥梁结构的稳定性和安全性。
本文将以某简支梁桥为例，对其抖振响应进行分析，以期为桥梁结构设计和安全评估提供参考。
一、桥梁结构及工况介绍某简支梁桥位于某市区，为公路桥梁，是连接两岸的重要交通通道。
该桥梁采用钢混凝土组合结构，桥面铺设有沥青混凝土路面。
桥梁全长120m，主跨60m，桥面宽10m。
由于所处地区气候变化大，桥梁受到的外部荷载也较为复杂，因此需要对其抖振响应进行深入分析。
该桥梁在日常使用中受到的主要荷载包括自重荷载、活载荷载以及温度荷载等。
活载荷载是由过往车辆产生的动态荷载，在桥梁抖振响应分析中应该得到特别关注。
由于气候变化，桥梁还会受到温度变化的影响，温度荷载也会引起桥梁的变形和应力变化，因此需要综合考虑。
二、抖振响应分析方法针对桥梁结构的抖振响应分析，可以采用有限元分析方法进行。
通过建立桥梁的有限元模型，可以对其在外部荷载作用下的变形、位移、应力等响应进行有效的模拟和分析。
在建立有限元模型时，需要考虑桥梁结构的几何形状、材料性质、支座约束条件等因素。
对于简支梁桥，其基本的有限元单元可以选用梁单元和板单元，以模拟桥梁的整体受力情况。
在模型建立完成后，对桥梁在不同工况下的荷载进行加载，然后进行抖振响应分析。
在进行抖振响应分析时，可以采用一般稳定性分析方法或动力响应分析方法。
一般稳定性分析方法主要针对桥梁结构在外部荷载作用下的整体稳定性进行评估，包括位移、应变、应力等方面的情况。
而动力响应分析方法则更侧重于桥梁结构在动态荷载下的振动响应情况，包括振动频率、振动幅值、振动模态等方面的分析。
通过有限元分析对某简支梁桥的抖振响应进行分析，可以得到桥梁在不同工况下的抖振响应情况。
在日常使用过程中，桥梁受到的动态荷载主要来自过往车辆，因此需要着重关注此类荷载下的抖振响应情况。
振动实验报告讲解
振动实验报告讲解振动与控制系列实验姓名：李⽅⽴学号：201520000111电⼦科技⼤学机械电⼦⼯程学院实验1 简⽀梁强迫振动幅频特性和阻尼的测量⼀、实验⽬的1、学会测量单⾃由度系统强迫振动的幅频特性曲线。
2、学会根据幅频特性曲线确定系统的固有频率f 0和阻尼⽐。
⼆、实验装置框图图3.1表⽰实验装置的框图图3-1 实验装置框图KCX图3-2 单⾃由度系统⼒学模型三、实验原理单⾃由度系统的⼒学模型如图3-2所⽰。
在正弦激振⼒的作⽤下系统作简谐强迫振动，设激振⼒F 的幅值B 、圆频率ωo(频率f=ω／2π)，系统的运动微分⽅程式为：扫频信号源动态分析仪计算机系统及分析软件打印机或绘图仪简⽀梁振动传感器激振器⼒传感器质量块M或 M F x dt dxdt x d M F x dt dx n dtx d FKx dt dx C dtx d M /2/222222222=++=++=++ωξωω（3-1）式中：ω—系统固有圆频率ω =K/Mn ---衰减系数 2n=C/M ξ---相对阻尼系数ξ=n/ωF ——激振⼒ )2sin(sin 0ft B t B F πω== ⽅程①的特解，即强迫振动为：)2sin()sin(0?π?ω-=-=f A A x （3-2）式中：A ——强迫振动振幅--初相位20222024)(/ωωωn M B A +-=（3-3）式(3-3)叫做系统的幅频特性。
将式(3-3)所表⽰的振动幅值与激振频率的关系⽤图形表⽰，称为幅频特性曲线(如图3-3所⽰)：3-2 单⾃由度系统⼒学模型 3-3 单⾃由度系统振动的幅频特性曲线图3-3中，Amax 为系统共振时的振幅；f 0为系统固有频率，1f 、2f 为半功率点频率。
振幅为Amax 时的频率叫共振频率f 0。
在有阻尼的情况下，共振频率为：221ξ-=f f a (3-4) 当阻尼较⼩时，0f f a =故以固有频率0f 作为共振频率a f 。
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机械振动大作业姓名：徐强学号：SX1302106专业：航空宇航推进理论与工程能源与动力学院2013年12月简支梁的振动特性分析题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。
单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。
解答：一、 单自由度简支梁的振动特性如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0=+••kx x m ,固有频率ωn =eqeq m k ，其中k 为等效刚度，eq m 为等效质量。
因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。
根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而引起的变形为）（224348EI F -)(x l x x y -=（20l x ≤≤）, 48EI F -3max l y =为最大挠度，则： eq k =δF=348EIl梁本身的最大动能为：）（224348EI F -)(x l xx y -==）（223max43x l l x y -T max =2×dx x y l m l 220)(21⎭⎬⎫⎩⎨⎧•⎰=2max 351721•y m ）（如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：T max =2max21•y m eq所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m m eq 3517=故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：ωn =eqeq m k =3171680mlEImk图1 简支梁的单自由度模型二、 双自由度简支梁的振动特性如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。
在6/l 至2/l 之间积分，利用最大动能进行质量等效，略去小量得：m m eq 258≈所以，质量矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→1001258m m双自由度简支梁的柔度矩阵：在b=3/2l 处作用单位力，挠曲线方程为：）（2226EI b -)(b x l lx x y --=则3/l 处的变形为：δ712=a ，同理可求：δ721=a ，δ82211==a a ，其中EIl 4863=δ。
所以，柔度矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→8778δa动力矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→8778258δm D令特征行列式为零，得到频率方程为：=-=∆→→D I λ其中，21ωλ=，将上式整理得：116158177812=+-=---=∆a a aa a a-其中，2582582δωλδm m a ==。
解上述方程的根为：1511=a ,δωm 2451= 12=a ,δωm 8252=由式→→→→=-0)(）（i i X D I λ，2,1=i其中⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→)(2)(1i i i X X X）（，分别将1ω、2ω代入上式，得 第一、二阶主振型分别为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→11)1(11X X）（， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→1-1)1(12X X ）（图2 简支梁的双自由度模型三、 三自由度简支梁的振动特性如图3，将简支梁简化为三自由度模型，按照双自由度类似的等效思想，可得等效质量：m m m 41m 231≈≈=因此，质量矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→1000100014m m 由机械振动中文教材例6.6可知，系统的柔度矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→91171116117119δa其中，EIl 7683=δ。
动力矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→911711161171194δm D令特征行列式为零，得到频率方程为： 0=-=∆→→D I λ其中，21ωλ=，将上式整理得：091117111611171191=---------=∆aa a a a a aaa其中，442δωλδm m a ==。
利用Matlab 软件,求解上述方程的根为：0317.01=a ,δωm a 114=5.02=a ,δωm a 224=254.23=a ,δωm a 334=由式→→→→=-0)(）（i i XD I λ，3,2,1=i其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→)(3)(2)(1i i i i X X X X ）（，分别将1ω、2ω、3ω代入上式，得 第一、二、三阶主振型分别为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→121)1(11X X）（， ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→1-01)2(12X X ）（, ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→12-1)1(13X X ）（图3 简支梁的三自由度模型四、 十自由度简支梁的数值方法将简支梁简化为十自由度模型（如图4）。
图4 简支梁的十自由度模型通过在一点施加单位力，计算其余点的挠度，可得柔度矩阵：。
为挠度变形矩阵，如表，其中1,63→→→==y EIl y a δδ0.0137 0.0240 0.0306 0.0339 0.0344 0.0324 0.0284 0.0227 0.0158 0.0081 0.0240 0.0443 0.0579 0.0650 0.0664 0.0628 0.0552 0.0443 0.0309 0.0158 0.0306 0.0579 0.0787 0.0904 0.0934 0.0891 0.0787 0.0633 0.0443 0.0227 0.0339 0.0650 0.0904 0.1071 0.1131 0.1093 0.0973 0.0787 0.0552 0.0284 0.0344 0.0664 0.0934 0.1131 0.1229 0.1212 0.1093 0.0891 0.0628 0.0324 0.0324 0.0628 0.0891 0.1093 0.1212 0.1229 0.1131 0.0934 0.0664 0.0344 0.0284 0.0552 0.0787 0.0973 0.1093 0.1131 0.1071 0.0904 0.0650 0.0339 0.0227 0.0443 0.0633 0.0787 0.0891 0.0934 0.0904 0.0787 0.0579 0.0306 0.0158 0.0309 0.0443 0.0552 0.0628 0.0664 0.0650 0.0579 0.0443 0.0240 0.0081 0.0158 0.0227 0.0284 0.0324 0.0344 0.0339 0.0306 0.0240 0.0137表1 十自由度挠度变形矩阵→y十自由度简支梁为十个集中质量的振动模型，每个质量都近似等于m 111，因此，质量矩阵为： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=→4484476O 1010000000010000111m m动力矩阵为：→→=ym D 11δ下面，用如下几种方法计算十自由度简支梁的固有频率与振型。
1、邓克莱法利用邓克莱法求基频（比准确值小）：nnn m a m a m a +++≈Λ222111211ω因此，将柔度矩阵主对角线上各元素相加并乘以m 111，可求得：319015ml EIm δ≈≈ω2、瑞利法（1）瑞利第一商柔度矩阵求逆得刚度矩阵：→-→→==z y k δδ3131010，其中，→z 矩阵见表2。
2.0433-1.9003 0.7778 -0.2649 0.1647 0.0356 -0.2817 0.2834 -0.0446 -0.0926 -1.9003 2.9228 -2.4675 1.4375 -0.6862 0.0299 0.5193 -0.6226 0.3193 -0.0446 0.7778 -2.4675 3.8387 -3.3468 1.6331 -0.1417 -0.6684 0.8588 -0.6226 0.2834 -0.2649 1.4375 -3.3468 4.2339 -2.9123 0.778 0.4309 -0.6684 0.5193 -0.2817 0.1647 -0.6862 1.6331 -2.9123 3.4193 -2.2932 0.778 -0.1417 0.0299 0.0356 0.03560.0299 -0.1417 0.778 -2.2932 3.4193 -2.9123 1.6331 -0.6862 0.1647-0.2817 0.5193 -0.6684 0.4309 0.778 -2.9123 4.2339 -3.3468 1.4375 -0.2649 0.2834 -0.6226 0.8588 -0.6684 -0.1417 1.6331 -3.3468 3.8387 -2.4675 0.7778 -0.0446 0.3193 -0.6226 0.5193 0.0299 -0.6862 1.4375 -2.4675 2.9228 -1.9003 -0.0926 -0.0446 0.2834 -0.2817 0.0356 0.1647 -0.26490.7778 -1.9003 2.0433表2 矩阵→z 各元素假设力作用在简支梁中间位置而得到各点的静变形，可以表示为：[]TA 11.933 2.7333.3313.6633.663 3.3312.7331.9331κ=→其中，EIl 483=κ。
因此，可以假设振型：[]TA 11.933 2.7333.3313.6633.663 3.3312.7331.9331=→则由瑞利第一商公式：→→→→→→=AM A A K A A R TTI )(，可得：δmδm m A R I 46.1646.164965.111)(1≈=⨯=ωδ， （2）瑞利第二商同样假设力作用在简支梁中间位置，由瑞利第二商公式：→→→→→→→→∆=AM M A AM A A R TTⅡ)( 可得: δm.δm m A R Ⅱ241624.164762.111)(2≈=⨯=ωδ， 瑞利法中，→M 代表质量矩阵，→K 代表刚度矩阵，→∆代表柔度矩阵，→A 为模态向量。
3、李兹法将十自由度简支梁缩减为三自由度，假设振型为：[]T11.9 2.73.33.73.7 3.32.71.911=→ψ []T 11.8 2.510.20.2- 1-2.5-1.8-1-2=→ψ[]T 1-2- 1-121 01-2-1-3=→ψ则可求出：由式 →→*→*→*=0-2A M K ）（ω，得：0017.01=a ,1415.02=a ,2959.03=a其中，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=***→23222133211011ωωωδm a a a a ，因此可得： δδωδδωδωm m a m m a m m δa 9.32541011,7.15561011,7.181011333232131=⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯=***以及：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→*→*→*8372.05468.0-0122.0,6271.07788.00135.0,0349.00099.09993.0-)3()2()1(A A A所以系统的前三阶主振型的近似为：4、矩阵迭代法单位力作用在简支梁中间位置得到各点的挠度变形，将首项化一，得：[]T11.933 2.7333.3313.6633.663 3.3312.7331.9331κμ=⨯==→→→→*11mM M Tψψ72.96 0 -0.6 0 23.06 1.2 -0.6 1.2 18⨯==→→→→*δψψ310K K T0.1279 0 0.13540 4.3927 -1.2322 0.1354 -1.2322 4.2842其中，δκ81483==EI l 。