机械振动大作业-求初始激励的自由振动响应

图示系统中, m1＝m2＝m3＝m, k1＝k2＝k3＝k, 设初始位移为1, 初始速度为0, 求初始激励的自由振动响应。

要求：

（1）利用影响系数法求解刚度阵K和质量阵M，建立控制方程；(15分) （2）求解系统固有频率和基准化振型；(13分)

（3）求解对初始激励的响应（运动方程）；(12分)

（4）利用软件仿真对初始激励响应曲线(Matlab，simulink，excel均可)，给出仿真程序(或框图)、分析结果；尝试对m、k赋值，分析曲线变化；

(10分)

（5）浅谈对本课程的理解、体会，对授课的意见、建议；(10分)

字迹清晰，书写规整。(10分)

（1）利用影响系数法求解刚度阵K 和质量阵M ，建立控制方程；

①求解刚度矩阵K 令[]T

00

1

=X

，则弹簧变形量δ=[1 1 0]T

，

在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力312111、、k k k 如图所示

根据平衡条件可得

0，，2312222121221111=-=-=-==+=+=k k k k k k k k k k k δδδ

同理，令[]T

010=X 得

k k k k k k k k k k -=-==+=-=-=3323222212，2，

令[]T

100=X 得

k k k k k k k ===-==33332313，-，0

故刚度矩阵为

②求解质量矩阵M

令[

]T

001=X 得m m m ==111，021=m ，031=m 令[]T

010=X 得012=m ，m m m ==222，032=m

令[]T 100=X 得013=m ，023=m ，m m m ==333

故质量矩阵为

③建立控制方程 应用叠加原理可得：

002020

00000

321321=???

?

?

??????????????

?----+???????????????????

?x x x k k

k k k k k x x x m m

m

（2）求解系统固有频率和基准化振型；

①求解固有频率 令

则

33

233322323123123

22322

222212211321312

21211211=---------m k m k m k m k m k m k m k m k m k ωωωωωωωωω

将

代入解得

②求解基准化振型

将ω1、ω2、ω3分别代入([K]-ω2[M]){X}=0得：

则

（3）求解对初始激励的响应（运动方程）；对初始条件标准化：

标准坐标下的初始激励响应：

广义坐标下的初始激励响应

（4）利用软件仿真对初始激励响应曲线(Matlab，simulink，excel 均可)，给出仿真程序(或框图)、分析结果；尝试对m、k赋值，分析曲线变化；

利用MATLAB对初始激励响应曲线在m=1, k=1; m=1, k=10; k=10, m=1; m=1,

k=10 四种情况下进行仿真，仿真源程序与仿真结果见附录。

当m=1，k=1时，仿真结果如图1所示，可以看出x1，x2，x3均呈现周期性变化；当m=1，k=10时，仿真结果如图2所示,1、2两图相比较可知，变化周期与k负相关；当m=10，k=1时，仿真结果如图3所示,1、3两图相比较可知，变化周期与m正相关；当m=10，k=10时，仿真结果如图4所示,1、4两图相比较可知，m、k增大倍数相同时，变化周期不变。

附录：MATLAB仿真程序

①k=1 m=1 时的初始激励响应曲线仿真

程序如下：

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clc

k=1;m=1;

w1=sqrt(0.198*k/m)

w2=sqrt(1.555*k/m)

w3=sqrt(3.247*k/m)

t=linspace(0,100,10000);

x1=0.543.*cos(w1.*t)+0.349.*cos(w2.*t)+0.107.*cos(w3.*t) x2=0.979.*cos(w1.*t)+0.155.*cos(w2.*t)-0.134.*cos(w3.*t) x3=0.122.*cos(w1.*t)-0.28.*cos(w2.*t)+0.059.*cos(w3.*t) plot(t,x1,'m-',t,x2,'r-',t,x3,'k-');

title('k=1 m=1时的初始激励响应曲线');

xlabel('t/s');

ylabel('x(t)/m');

legend('x1','x2','x3');

②k=1 m=10时的初始激励响应曲线

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clc

k=1;m=10;

w1=sqrt(0.198*k/m)

w2=sqrt(1.555*k/m)

w3=sqrt(3.247*k/m)

t=linspace(0,100,10000);

x1=0.543.*cos(w1.*t)+0.349.*cos(w2.*t)+0.107.*cos(w3.*t) x2=0.979.*cos(w1.*t)+0.155.*cos(w2.*t)-0.134.*cos(w3.*t) x3=0.122.*cos(w1.*t)-0.28.*cos(w2.*t)+0.059.*cos(w3.*t) plot(t,x1,'m-',t,x2,'r-',t,x3,'k-');

title('k=1 m=10时的初始激励响应曲线'); xlabel('t/s');

ylabel('x(t)/m');

legend('x1','x2','x3');

③k=10 m=1时的初始激励响应曲线clear all

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clc

k=10;m=1;

w1=sqrt(0.198*k/m)

w2=sqrt(1.555*k/m)

w3=sqrt(3.247*k/m)

t=linspace(0,100,10000);

x1=0.543.*cos(w1.*t)+0.349.*cos(w2.*t)+0.107.*cos(w3.*t) x2=0.979.*cos(w1.*t)+0.155.*cos(w2.*t)-0.134.*cos(w3.*t) x3=0.122.*cos(w1.*t)-0.28.*cos(w2.*t)+0.059.*cos(w3.*t) plot(t,x1,'m-',t,x2,'r-',t,x3,'k-');

title('k=10 m=1时的初始激励响应曲线');

xlabel('t/s');

ylabel('x(t)/m');

legend('x1','x2','x3');

④k=10 m=10时的初始激励响应曲线

clear all

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clc

k=10;m=10;

w1=sqrt(0.198*k/m)

w2=sqrt(1.555*k/m)

w3=sqrt(3.247*k/m)

t=linspace(0,100,10000);

x1=0.543.*cos(w1.*t)+0.349.*cos(w2.*t)+0.107.*cos(w3.*t) x2=0.979.*cos(w1.*t)+0.155.*cos(w2.*t)-0.134.*cos(w3.*t) x3=0.122.*cos(w1.*t)-0.28.*cos(w2.*t)+0.059.*cos(w3.*t) plot(t,x1,'m-',t,x2,'r-',t,x3,'k-');

title('k=10 m=10时的初始激励响应曲线');

xlabel('t/s');

ylabel('x(t)/m');

legend('x1','x2','x3');