高一上数学期末试卷及答案
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤．
17、解不等式：ax 2 -2(a+1)x+4>0
18 、 已 知 A x
4x 9 2x1 32 0 ， B y
y log1
2
x 2
log
1 2
x ,x A 8
；
若y1 B, y2 B.求 y1 y2 最大值。
21.l3 2.003.此时金属棒的温度是1800C ln 2.001 n 1 0.001 0.001n 2 t 1000C 400C n 1 400Cn 600C
n
t
60 40
,
ln
t 60 40000
2
V
l
500 60 40000
2
30 60 40000
2
53 两块金属板之间至少要留 53 米空隙.
A、 y log2 x
C、 y 1 x2 1 2
B、 y 2x 2 D、 y 2x 2
7.已知
y
log2[ax2
(a
1)x
1] 4
的定义域是一切实数,则实数
a
的取值范围(
)
(A) (0, 3 5 ) 2
(B) ( 3 5 ,1) 2
(C) (0, 3 5 ) (3 5 , )
17、ax2 2a 2 x 4 0 ax 2 x 2 0
1、a=0时,原不等式的解集为:x x 2
2、a<0时,原不等式的解集为:x
2 a
x
2
3、0<a<1时,原不等式的解集为:x
x
2或x
2
a
4、a=1时,原不等式的解集为:R
5、a>1时,原不等式的解集为:x
x
2或x
2 a
）
（A）100
（B）50
（C）25
（D）125
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．答案填在题中横线上
21
11
13．(3a 3 b 2 )(-6a 2 b 3 )÷(9 6 ab5 )的结果为________________
14．在等差数列 an 中， a1 a2 a3 15, an an1 an2 78, Sn 155, 则 n =_____
确的是(
(A) A B
)
(B) A B
(C) A B
(D) A B
4.将函数 y 2x 的图象先作下面哪一种变化,再作关于直线 y x 对称的图象可得到函数
y log2(x 1) 的图象? (
)
(A)先向左平行移动 1 个单位 (C)先向上平行移动 1 个单位
(B) 先向右平行移动 1 个单位 (D) 先向下平行移动 1 个单位
18. 2x 2 18 • 2x 32 0 2 2x 16
1 x 4 A x 1 x 4
y
log 1
2
x 2
• log1
2
x 8
1 log2
x3 log2
x
令t= log2 x 0 t 2
y 1 t 3 t 0 t 2
t
3, 2
ymin
3 ;t 4
0,
ymax
3
15 y1 y2 max 4
19. f x的单调递增区间1,3
令-1<x1 x2 3
f x1 f x2 log4 7 6x1 x12 log4 7 6x2 x22
log4
7 6x1 x12 7 6x2 x22
7 6x1 x12 1 7 6x1 x12 7 6x2 x22
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在 k∈N*，使 ak－bk∈（0， 1 ）？若存在，求出 k；若不存在，说明理 2
由.
答案
一、选择题：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 D
D
A
D
C
C
C
B
A
C
C
B
二、填空题：13、-2a. 14、 10 三、解答题：
15、 2
16、 184.50
7 6x2 x22
7 6x2 x22
7 6x1 x12 7 6x2 x22 x2 x1 x2 x1 6 0
7 6x2 x22
7 6x x22
0
7 6x1 x12 7 6x2 x22
1 f x1 f x2 0即f x的单调递增区间1,3
15．函数 f (x) loga x(a 0,a 1) ，已知 f (25) 2 ，则 f 1(log25 2) _________。
16．我国规定：个人工资、薪金的月总收入不超过 800 元的免征个人所得税，超过 800 元部
分需征税，全月应纳税的数额(记作 x )为 x =全月总收入-800(单位：元)
2
2
（II）设
f (k)
ak
bk
1 k2 2
7k 2
7 8(1)k 2
1 (k 2
7)2 2
7 8
8(1)k 2
当 k≥4 时 1 (k 7)2 7 为 k 的增函数，－8·( 1 )k 也为 k 的增函数，而 f(4)= 1
2 28
2
2
∴当 k≥4 时 ak－bk≥ 1 2
又 f(1)=f(2)=f(3)=0 ∴不存在 k， 使 f(k)∈（0， 1 ） 2
19、已知函数 f（x）= log4 7 6x x2
（1）写出 f（x）的单调递增区间，并证明。 （2）在 f（x）的单调递增区间上，求 f（x）的反函数 f --1（x）. 20 设二次函数 f(x)=x2+x+c(c＞0)，若方程 f(x)=0 有两个实数根 x1,x2(x1＜x2).
（1）求 c 的取值范围； （2）求 x2－x1 的取值范围； （3）如果存在一个实数 m，使得 f(m)＜0，求证：m+1＞x2. 21、为了测试某种金属的热膨胀性能，将这种金属的一根细棒加热，从 100ºC 开始第一次 量细棒的长度，以后每升高 40ºC 量一次，把依次量得的数据所成的数列{ln}用图象表示如 图所示．若该金属在 20ºC~500ºC 之间，热膨胀性能与温度成一次函数关系，试根据图象回 答下列问题： （Ⅰ）第 3 次量得金属棒的长度是多少米？此时金属棒的温度是多少？ （Ⅱ）求通项公式 ln； （Ⅲ）求金属棒的长度 ln（单位：m）关于温度 t（单位：ºC；）的函数关系式； （Ⅳ）在 30ºC 的条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的 最高温度可达到 500ºC，问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙？
4000
2000
22、解：（I）由已知 a2－a1=－2, a3－a2=－1, －1－(－2)=1 ∴an+1－an=(a2－a1)+(n－1)·1=n－3
n≥2 时，an=( an－an－1)+( an－1－an－2)+…+( a3－a2)+( a2－a1)+ a1 =(n－4)+(n－5) +…+(－1)+(－2)+6
为（
D
C
10．如右图所示，四边形 ABCD 为直角梯形，上底 CD 为
A
B
下底 AB 的一半，直线 l 截这个梯形所得的位于此直线左方
的图形面积为 y ，点 A 到直线 l 距离为 x ，则函数 y f (x) 的大致图象为(
)
y
2
y
3 2
y
3 2
y
3 2
x
x
税率如下表：
级数
每月应纳税数额 x 元
税率
1
x ≤500
5%
2
500< x ≤2000
10%
3
2000< x ≤5000
15%
……
……
……
9
x ＞100000
45%
某人今年 5 月份工资、薪金总收入是 2645 元，则此人 5 月份应交纳的个人所得税额为
_______________________。
x
O12 (A)
O12 (B)
O12 (C)
x
O12 (D)
11．方程 x2 (2 a)x 5 a 0 的两根都大于 2，则实数 a 的范围是(
)
(A) a 2 (B) 5 a 2 (C) 5 a 4 (D) a 4 或 a 4
12．已知数列an 的通项公式 an 11 2n, Sn a1 a2 an , 则 S10 =（
n2 7n 18
=
2
n=1 也合适. ∴an= n2 7n 18 (n∈N*) 2
又 b1－2=4、b2－2=2 .而 2 1 ∴bn－2=（b1－2）·( 1 )n－1 即 bn=2+8·( 1 )n
42
2
2
∴数列{an}、{bn}的通项公式为：an= n2 7n 18 ，bn=2+( 1 )n－3
5. 若 an 是等比数列， a4a7 512, a3 a8 124, 且公比 q 为整数，则 a10 =（
）
（A）256
（B）-256
（C）512
（D）-512
6. 某次试验获得如下组数据：
X
1.98 3.01
4
5.04 6.25
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
在下列四个函数中最能近似表达以上数据规律的函数是
ln
(细棒长度) （单位：m）
2023-2024学年广东省高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省高一（上）期末数学试卷一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣1，+∞）D ．φ2．函数y ＝2x ﹣4的零点为（ ） A ．0B ．﹣4C ．2D ．（2，0）3．函数f(x)=√2x −3+1x−3的定义域为（ ） A ．[32，+∞)B ．（﹣∞，3）∪（3，+∞）C ．[32，3)∪(3，+∞)D ．(32，3)∪(3，+∞)4．若函数f （x ）＝x 2﹣x +m （2x +1）在（1，+∞）上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[12，+∞)B ．(−∞，12]C ．[−12，+∞)D ．(−∞，−12]5．已知sin(θ−π6)=13，则sin(2θ+π6)的值为（ ）A ．−79B ．79C ．−89D ．136．已知函数f(x)=cos(2x −3π4)，先将f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度，得到g （x ）的图象，则g （x ）的解析式为（ ）A ．g （x ）＝sin xB ．g （x ）＝﹣sin xC ．g （x ）＝﹣cos xD ．g(x)=cos(4x +π4)7．函数f （x ）＝﹣10x 3ln |x |的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．关于x 的方程x 2﹣ax +b ﹣1＝0有两个相等的正根，则3a+2b a+b（ ）A ．有最大值115B ．有最大值52C ．有最小值115D ．有最小值52二、多选题9．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x | B ．f(x)=x +1xC ．f （x ）＝x 3+2xD ．f （x ）＝x 2+x +110．2x 2﹣5x ﹣3＜0的必要不充分条件可以是（ ） A ．−12＜x ＜3B ．﹣1＜x ＜4C ．0＜x ＜2D ．﹣2＜x ＜311．已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数g （x ）的图像，则（ ）A ．f(x)=2cos(2x −π3)B ．g(x)=2cos(2x −π12)+1 C ．g （x ）的图像关于点(π6，0)对称D ．g （x ）在[−π12+kπ，5π12+kπ](k ∈Z)上单调递减 12．已知α，β是锐角，cosα=√55，cos(α−β)=3√1010，则cos β＝（ ） A ．√22B ．7√210C ．√210D ．−√22三、填空题13．如果函数f （x ）=a⋅3x+4−a4(3x−1)是奇函数，则a ＝ ． 14．函数y =(13)1+2x−x 2的值域是 ．15．已知sin2θ＝a ，cos2θ＝b ，0＜θ＜π4，给出tan （θ+π4）值的五个答案：①b 1−a ；②a 1−b ；③1+b a；④1+a b；⑤a−b+1a+b−1．其中正确的是 ．（填序号）16．已知函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx （a ＞0，ω＞0）的最大值为2，则a ＝ ，若函数f （x ）图象的一条对称轴为直线x =πm，m ∈N *，则当ω取最小整数时，函数f （x ）在（0，10）之间取得最大值的次数为 ． 四、大题17．（10分）求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x 2﹣2x +m +1＝0有两个正根． 18．（12分）设函数f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)，其中0＜ω＜3，已知f(π6)=0．（1）求ω；（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．19．（12分）已知函数f （x ）＝4x ﹣2•2x +1+a ，其中x ∈[0，3]． （1）若f （x ）的最小值为1，求a 的值；（2）若存在x ∈[0，3]，使f （x ）≥33成立，求a 的取值范围．20．（12分）已知函数f(x)=sinωx(sinωx +cosωx)−12(ω＞0)的图象相邻对称轴之间的距离为2π．（1）当x ∈[﹣π，π]时，求f （x ）最大值与最小值及相应的x 的值； （2）是否存在锐角α，β，使a +2β=2π3，f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=√38同时成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f （x ）=√|x +1|+|x −3|−m 的定义域为R ． （Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足23a+b +1a+2b=n 时，求7a +4b 的最小值．22．（12分）（1）已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集是{x|x ＜−2或x ＞13}，求cx 2﹣bx +a ≥0的解集；（2）求关于x 的不等式ax 2﹣2x +a ＜0的解集．2023-2024学年广东省高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣1，+∞）D ．φ解：∵集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜3}＝（﹣1，3）． 故选：A ．2．函数y ＝2x ﹣4的零点为（ ） A ．0B ．﹣4C ．2D ．（2，0）解：令y ＝2x ﹣4＝0，解得x ＝2． 故选：C ．3．函数f(x)=√2x −3+1x−3的定义域为（ ） A ．[32，+∞)B ．（﹣∞，3）∪（3，+∞）C ．[32，3)∪(3，+∞)D ．(32，3)∪(3，+∞)解：由题意得：{2x −3≥0x −3≠0，解得：x ≥32且x ≠3，故函数的定义域是[32，3）∪（3，+∞）．故选：C ．4．若函数f （x ）＝x 2﹣x +m （2x +1）在（1，+∞）上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[12，+∞)B ．(−∞，12]C ．[−12，+∞)D ．(−∞，−12]解：函数f(x)=x 2+(2m −1)x +m =(x +2m−12)2+m −(2m−1)24的单调增区间为(−2m−12，+∞)，∴−2m−12⩽1，∴m ⩾−12．故实数m 的取值范围为[−12，+∞)． 故选：C ．5．已知sin(θ−π6)=13，则sin(2θ+π6)的值为（ ）A ．−79B ．79C ．−89D ．13解：由sin(θ−π6)=13，得sin （π6−θ）=−13，∴sin(2θ+π6)=cos （π3−2θ）＝cos2（π6−θ）=1−2sin2(π6−θ)=1−2×(−13)2=79．故选：B．6．已知函数f(x)=cos(2x−3π4)，先将f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度，得到g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．g（x）＝sin x B．g（x）＝﹣sin xC．g（x）＝﹣cos x D．g(x)=cos(4x+π4)解：先将f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cos(x−3π4)的图象，再向左平移π4个单位长度，则g(x)=cos(x−3π4+π4)=sinx．故选：A．7．函数f（x）＝﹣10x3ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．解：因为f（﹣x）＝10x3ln|x|＝﹣f（x），所以函数为奇函数，故排除A、D；当x→+0时，f（x）→0，故排除B，故选：C．8．关于x的方程x2﹣ax+b﹣1＝0有两个相等的正根，则3a+2ba+b（）A．有最大值115B．有最大值52C．有最小值115D．有最小值52解：因为关于x 的方程x 2﹣ax +b ﹣1＝0有两个相等的正根， 所以{a ＞0b −1＞0Δ=a 2−4(b −1)=0，故b ＝1+a 24，a ＞0， 则3a+2b a+b=2+a a+b =2+a 1+a+a24=2+11+1a +a 4≤1+2√a 4⋅1a2=52， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以3a+2ba+b 有最大值52． 故选：B ． 二、多选题9．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x | B ．f(x)=x +1xC ．f （x ）＝x 3+2xD ．f （x ）＝x 2+x +1解：对于A ，f （x ）＝|x |的定义域为R ，关于原点对称，而f （﹣x ）＝|﹣x |＝f （x ），为偶函数， 对于B ，f(x)=x +1x 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且f(−x)=−x −1x=−f(x)，为奇函数，对于C ，f （x ）＝x 3+2x 的定义域为R ，关于原点对称，且f （﹣x ）＝（﹣x ）3+2（﹣x ）＝﹣f （x ），为奇函数，对于D ，f （x ）＝x 2+x +1的定义域为R ，关于原点对称，而f （﹣x ）＝x 2﹣x +1≠﹣f （x ），不是奇函数， 故选：BC ．10．2x 2﹣5x ﹣3＜0的必要不充分条件可以是（ ） A ．−12＜x ＜3B ．﹣1＜x ＜4C ．0＜x ＜2D ．﹣2＜x ＜3解：2x 2−5x −3＜0⇔(2x +1)(x −3)＜0⇔−12＜x ＜3，即2x 2﹣5x ﹣3＜0的充要条件是−12＜x ＜3，其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合， 观察选项发现{x|−12＜x ＜3}是{x |﹣2＜x ＜3}，{x |﹣1＜x ＜4}的真子集．故选：BD ．11．已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数g （x ）的图像，则（ ）A ．f(x)=2cos(2x −π3)B ．g(x)=2cos(2x −π12)+1 C ．g （x ）的图像关于点(π6，0)对称D ．g （x ）在[−π12+kπ，5π12+kπ](k ∈Z)上单调递减 解：由图象可知函数f （x ）的最大值为2，最小值为﹣2，所以A ＝2，T 2=2π3−π6=π2，故T ＝π；又T =2πω⇒ω=2，又f(π6)=2⇒2cos(2×π6+φ)=2，所以π3+φ=2kπ(k ∈Z)，φ=2kπ−π3，(k ∈Z)；又|φ|＜π2，所以φ=−π3，所以f(x)=2cos(2x −π3)，故A 正确，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得g(x)=2cos(2x +π6)+1，故B项错误． 由2x +π6=π2+kπ(k ∈Z)，x =π6+kπ2，(k ∈Z)；所以g （x ）的图像关于点(π6，1)对称，故C 错误． 由2kπ≤2x +π6≤2kπ+π，(k ∈Z)，即−π12+kπ≤x ≤5π12+kπ，(k ∈Z)； 故选项D 正确． 故选：AD ．12．已知α，β是锐角，cosα=√55，cos(α−β)=3√1010，则cos β＝（ ） A ．√22B ．7√210C ．√210D ．−√22解：由α是锐角，cosα=√55，则sinα=√1−cos 2α=2√55， 又α，β是锐角，则−β∈(−π2，0)，得α−β∈(−π2，π2)，又cos(α−β)=3√1010，则sin(α−β)=±√1010， 则cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos αcos （α﹣β）+sin αsin （α﹣β）=√55×3√1010±2√55×√1010=3√2±2√210得cos β=√22或cos β=√210．故选：AC ． 三、填空题13．如果函数f （x ）=a⋅3x+4−a4(3x−1)是奇函数，则a ＝ 2 ． 解：函数f （x ）=a⋅3x +4−a4(3x−1)是奇函数，则f （﹣x ）+f （x ）＝0， 即有a⋅3−x +4−a4(3−x −1)+a⋅3x +4−a4(3x −1)=0，则a 2+13−x −1+13x −1=0，化简得到，a2+3x1−3x +13x −1=0，即a 2=1，故a ＝2．故答案为：214．函数y =(13)1+2x−x 2的值域是 [19，+∞） ．解：∵t ＝1+2x ﹣x 2＝﹣（x ﹣1）2+2≤2，且y =(13)t 为定义域内的减函数，∴y =(13)1+2x−x 2≥(13)2=19．即函数y =(13)1+2x−x 2的值域是[19，+∞）．故答案为：[19，+∞）．15．已知sin2θ＝a ，cos2θ＝b ，0＜θ＜π4，给出tan （θ+π4）值的五个答案：①b 1−a ；②a 1−b ；③1+b a ；④1+a b；⑤a−b+1a+b−1．其中正确的是 ①④⑤ ．（填序号）解：∵tan （θ+π4）=sinθ+cosθcosθ−sinθ=1+sin2θcos2θ=cos2θ1−sin2θ=b 1−a =1+ab，∴①④是正确的，将sin2θ＝a ，cos2θ＝b 代入⑤验证知，此代数式也是正确的答案． 故答案为：①④⑤．16．已知函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx （a ＞0，ω＞0）的最大值为2，则a ＝ √3 ，若函数f （x ）图象的一条对称轴为直线x =πm，m ∈N *，则当ω取最小整数时，函数f （x ）在（0，10）之间取得最大值的次数为 3 ．解：由已知，函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx =√a 2+1sin （ωx ﹣φ），其中tan φ=1a（a ＞0，ω＞0），由于f （x ）的最大值为2，所以√a 2+1=2，得a =√3（a =−√3舍去）； tanφ=13，取φ=π6，则f （x ）＝2sin （ωx −π6），由ωx −π6=kπ+π2（k ∈Z ），得ωm π=kπ+2π3（k ∈Z ），即ω=m(k +23)，k ∈Z ， 由于m ∈N *，则正数ω的最小整数值为2，从而f(x)=2sin(2x −π6)，当2x −π6=π2+2kπ，k ∈Z ，即x =π3+kπ，k ∈Z 时， 函数f （x ）取得最大值， 若k ＝0，则x =π3∈(0，10)， 若k ＝1，则x =4π3∈(0，10)， 若k ＝2，则x =7π3∈(0，10)， 若k ＝3，则x =10π3＞10， 从而有3次取得最大值． 故答案为：√3，3． 四、大题17．（10分）求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x 2﹣2x +m +1＝0有两个正根． 解：设两个实根分别是x 1，x 2，则有两个正根的条件是：{Δ=4−4(m +1)≥0x 1+x 2=2＞0x 1x 2=m +1＞0解得﹣1＜m ≤0．18．（12分）设函数f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)，其中0＜ω＜3，已知f(π6)=0．（1）求ω；（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．解：（1）由f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)得：f(x)=√32sinωx −12cosωx −cosωx =√32sinωx −32cosωx =√3(12sinωx −√32cosωx)=√3sin(ωx −π3)．由f(π6)=0知(sin π6ω−π3)=0，则ωπ6−π3=kπ，k ∈Z ，故ω＝6k +2，k ∈Z ， 又0＜ω＜3，所以ω＝2．（2）由（1）知f(x)=√3sin(2x−π3)，将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y=√3sin（x−π3）的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝g（x）=√3sin（x−π12）的图象．由π2+2kπ≤x−π12≤3π2+2kπ，k∈Z解得7π12+2kπ≤x≤19π12+2kπ，k∈Z，所以g（x）的单调递减区间为[7π12+2kπ，19π12+2kπ]（k∈Z）．19．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣2•2x+1+a，其中x∈[0，3]．（1）若f（x）的最小值为1，求a的值；（2）若存在x∈[0，3]，使f（x）≥33成立，求a的取值范围．解：（1）因为f（x）＝4x﹣2•2x+1+a，其中x∈[0，3]，令t＝2x，则t∈[1，8]，原式化为g（t）＝t2﹣4t+a＝（t﹣2）2+a﹣4，当t＝2时，g（t）min＝a﹣4＝1，解得a＝5；（2）若存在x∈[0，3]，使f（x）≥33成立，即f（x）max≥33，由（1）可知g（t）＝（t﹣2）2+a﹣4，t∈[1，8]，即g（t）max≥33，当t＝8时，g（t）max＝a+32≥33，解得a≥1，即a∈[1，+∞）．20．（12分）已知函数f(x)=sinωx(sinωx+cosωx)−12(ω＞0)的图象相邻对称轴之间的距离为2π．（1）当x∈[﹣π，π]时，求f（x）最大值与最小值及相应的x的值；（2）是否存在锐角α，β，使a+2β=2π3，f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=√38同时成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为f(x)=sin2ωx+sinωxcosωx−12=1−cos2ωx2+12sin2ωx−12=12sin2ωx−12cos2ωx=√22sin(2ωx−π4)，∵f（x）图象相邻对称轴之间的距离为2π，∴T=4π=2π2ω，ω=14，f(x)=√22sin(12x−π4)，∵﹣π≤x≤π，∴−3π4≤12x−π4≤π4，∴−1≤sin(12x−π4)≤√22，∴f(x)min=−√22，此时12x−π4=−π2，x=−π2，f(x)max=12，此时12x−π4=π4，x＝π；（2）存在，理由如下：∵f(α+π2)=√22sinα2，f(2β+3π2)=√22sin(β+π2)=√22cosβ，∴f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=12sinα2cosβ=√38，∴sin α2cosβ=√34，又∵α+2β=2π3，α=2π3−2β，∴sinα2cosβ=sin(π3−β)cosβ=√34，∴(√32cosβ−12sinβ)cosβ=√34，∴√32cos2β−12sinβcosβ=√34，∴√32×1+cos2β2−14sin2β=√34，即√3cos2β−sin2β=0，∴tan2β=√3，又∵β为锐角，0＜2β＜π，∴2β=π3，β=π6，从而α=2π3−2β=π3．21．（12分）已知函数f（x）=√|x+1|+|x−3|−m的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足23a+b +1a+2b=n时，求7a+4b的最小值．解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|＝4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n＝4，∴7a+4b=14(6a+2b+a+2b)(23a+b+1a+2b)=14(5+2(3a+b)a+2b+2(a+2b)3a+b)≥14(5+2×2√3a+ba+2b⋅a+2b3a+b)=94，当且仅当a+2b＝3a+b，即b＝2a=310时取等号．∴7a+4b的最小值为9 4．22．（12分）（1）已知关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是{x|x＜−2或x＞13}，求cx2﹣bx+a≥0的解集；（2）求关于x的不等式ax2﹣2x+a＜0的解集．解：（1）由题意知{−2+13=−ba−2×13=caa＜0，则有{b=53ac=−23aa＜0，代入不等式cx2﹣bx+a≥0，得−23ax2−53ax+a≥0(a＜0)，即﹣2x2﹣5x+3≤0，解得x≤﹣3或x≥1 2，所以所求不等式的解集为{x|x≤−3或x≥12 }；（2）①当a＝0时，不等式为﹣2x＜0，解得x＞0，则此时解集为（0，+∞），②当a＞0时，令ax2﹣2x+a＝0，Δ＝4﹣4a2，（i）若Δ＝4﹣4a2≤0，即a≥1时，此时不等式解集为∅，（ii）若Δ＝4﹣4a2＞0，即0＜a＜1时，ax2﹣2x+a＜0，解得1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a，则此时不等式解集为(1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a)，③当a＜0时，（i）若Δ＝4﹣4a2＜0，即a＜﹣1时，此时不等式解集为R，（ii）若Δ＝4﹣4a2＝0，即a＝﹣1时，此时不等式为﹣x2﹣2x﹣1＜0，解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），（iii）若Δ＝4﹣4a2＞0，即﹣1＜a＜0时，则不等式解集为(−∞，1+√1−a2a)∪(1−√1−a2a，+∞)．综上所述，当a＜﹣1时，不等式解集为R；当﹣1≤a＜0时，则不等式解集为(−∞，1+√1−a2a)∪(1−√1−a2a，+∞)；当a＝0时，则不等式解集为（0，+∞）；当0＜a＜1时，则不等式解集为(1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a)；当a≥1时，此时不等式解集为∅．。
2023-2024学年浙江省嘉兴市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合A ＝{x |2≤x ＜4}，B ＝{x |x ≥3}，则A ∩B ＝（ ） A ．[2，4）B ．[3，+∞）C ．[3，4）D ．[2，3）2．已知sin(π+α)=35，则sin α＝（ ）A ．45B ．35C ．−45D ．−353．已知函数f(x)={3x −1，x ≤1，12f(x −1)，x ＞1，则f （3）＝（ ）A ．14B ．12C ．2D ．44．已知a ，b ，m ∈（0，+∞），则“a ＞b ”是“b+m a+m ＞ba”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知α，β都是锐角，cos(α+β)=2√55，sinα=√1010，则cos β＝（ ） A ．9√210B ．7√210C ．√22D ．√2106．设函数f （x ）＝x 3﹣3x 2，则下列函数是奇函数的是（ ） A ．f （x +1）+2B ．f （x ﹣1）+2C ．f （x ﹣1）﹣2D ．f （x +1）﹣27．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，A ，B 为图象与x 轴的交点，C 为图象上的最高点，且|OB |＝3|OA |，则（ ）A ．f(6)=√22B ．f （1）+f （9）＝0C ．f （x ）在（3，5）上单调递减D ．函数f （x ）的图象关于点(−52，0)中心对称8．已知函数f （x ）＝e x +x ，g （x ）＝lnx +x ，若f （x 1）＝g （x 2）＝t ，则x 1+x 2+2−t 2的最大值为（ ） A ．94B ．2C ．2e−12D ．3e−1e 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省潍坊市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．lg100−2713=（ ） A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣22．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．y ＝lnxB ．y =1xC ．y ＝x 2D ．y ＝e x ﹣13．设m ∈R ，命题“存在m ≥0，使mx 2﹣mx ﹣1＝0有实根”的否定是（ ） A ．任意m ≥0，使mx 2﹣mx ﹣1＝0无实根 B ．任意m ＜0，使mx 2﹣mx ﹣1＝0有实根 C ．存在m ≥0，使mx 2﹣mx ﹣1＝0无实根 D ．存在m ＜0，使mx 2﹣mx ﹣1＝0有实根 4．已知a =21.01，b =log 34，c =√154，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a5．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（ ）A ．710 B ．310C ．25D ．156．已知关于x 的不等式2x−a x−1≤−1的解集是[23，1)，则实数a 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．43D ．27．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A ＝“第一枚出现偶数点”，B ＝“第二枚出现奇数点”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 互为对立 C ．A 与B 相等D ．A 与B 相互独立8．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若对于任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，则不等式（x ﹣1）f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（0，1）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．已知实数a ，b ，c 满足a +b +c ＝0，且a ＞b ＞c ，则（ ） A ．ac ＜0B ．ab ＞bcC ．ac ＜bcD ．1a ＞1c10．已知函数f （x ）的定义域为R ，值域为[﹣2，3]，则下列函数的值域也为[﹣2，3]的是（ ） A ．y ＝f （x +1）B ．y ＝f （x ）+1C ．y ＝f （﹣x ）D ．y ＝﹣f （x ）11．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7日，每天新增疑似病例不超过5人”．根据过去连续7天的新增疑似病例数据信息，下列各项中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ） A ．众数为1且中位数为4B ．平均数为3且极差小于或等于2C ．标准差为√2且平均数为2D ．平均数为2且中位数为312．已知函数f （x ）={4(x+2)2，x ≤−1，log 12(x +1)，x ＞−1，若函数y ＝f （x ）﹣m 有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则（ ） A ．1＜m ≤4B ．−1516≤x 3＜−12C ．函数f （x +1）的增区间为[﹣2，﹣1]D ．x 12+x 22+log m √2的最小值为8+√2三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．一组数据18，27，30，33，34，40，42的75%分位数为 ．14．已知定义在R 上的函数f （x ）满足以下两个条件：①对任意x 1，x 2恒有f （x 1+x 2）＝f （x 1）f （x 2）；②f （x ）在R 上单调递减．请写出一个满足上述条件的函数f （x ）＝ ．（答案不唯一） 15．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时乙得分的概率为12，各球的结果相互独立．在某局打成10：10后，甲先发球，则甲以13：11获胜的概率为 ．16．已知实数a ，b 满足12e a +a ＝2，ln 2be 2+b ＝0，则a +b ＝ ．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知集合A ＝{x |（x +2）（x ﹣8）≤0}，B ＝{x ||x |＜3}． （1）求A ∩B ；（2）若集合C＝{x|m﹣6＜x＜4m}，且“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝a x﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在函数g（x）＝log a x的图象上．（1）求函数g（x）的解析式；（2）若存在互不相等的实数m，n使|g（m）|＝|g（n）|，求mn的值．19．（12分）甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为12，乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是14．（1）分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲加工的零件中取两个，从乙加工的零件中取一个检验，求至少有一个一等品的概率．20．（12分）已知函数f（x）＝ax2+x﹣1（a≠0）．（1）解关于x的不等式f（x）＞﹣1；（2）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（m，n）．（i）求1m +1n的值；（ii）求4m+n的最小值．21．（12分）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在[70，90）内取2件，乙型芯片指标在[50，70]内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在[50，60）和[70，80）内各1件的概率；（3）根据检测结果确定该指标的一个临界值c，且c∈[50，60]，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产A型手机、B型手机各1万部，有以下两种方案可供选择：方案一：将甲型芯片应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值c的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于B 型手机，其中该指标大于临界值c 的芯片会导致每部手机损失300元； 方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由，22．（12分）已知函数f （x ）={a 2x +a x −2，x ≥0，−a kx −a −x+2，x ＜0(a ＞0且a ≠1)为奇函数，且g （x ）＝|f （x ）|．（1）求实数m 的值；（2）若对于函数y ＝m （x ），x ∈[p ，q ]，用x i （i ＝0，1，2，…，n ，p ＝x 0＜x 1＜…＜x n ＝q ）将区间[p ，q ]任意划分成n 个小区间，若存在常数M ＞0，使得和式∑|m(x i )−m(x i−1)|ni=1≤M 对任意的划分恒成立，则称函数m （x ）为[p ，q ]上的有界变差函数．判断函数g （x ）是否为[﹣|log a 2|，|log a 4|]上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由．2023-2024学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
2023-2024学年山东省青岛市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f （x ）＝log 2（3﹣x ）的定义域为（ ） A ．（0，3） B ．（﹣∞，2） C ．（﹣∞，3） D ．（﹣∞，3]2．cos210°＝（ ）A ．12B ．−12 C ．√32D ．−√323．已知x ，y 为正实数，则2y x +xy 的最小值为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．2√24．人类已进入大数据时代，数据量已从EB （1EB ＝10242TB ）级别跃升到ZB （1ZB ＝1024EB ）级别，据研究结果表明：某地区的数据量y （单位：EB ）与时间x （单位：年）的关系符合函数y ＝k •a x﹣2021，其中a ＞0，a ≠1．已知2022年该地区产生的数据成为0.5EB ，2023年该地区产生的数据边为1EB ，则2024年该地区产生的数据量为（ ） A ．1.5EBB ．1.75EBC ．2EBD ．2.25EB5．“x ＞4”是“log 3x ＞1”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件6．当x ∈（0，2π）时，函数f （x ）＝sin x 与g （x ）＝|cos x |的图象所有交点横坐标之和为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7．定义在[﹣2，2]上的函数f （x ）＝3|x |﹣1，若f （1﹣x ）＜f （x ），则x 的取值范围为（ ） A ．(−∞，12)B ．(12，+∞)C ．[−1，12)D ．(12，2]8．若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则m 的最大值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合项目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知a ＜0，b ＞0，则（ ） A ．ac ＞bcB ．a ﹣c ＜b ﹣cC ．1a ＞1bD ．a 2＞ab10．已知函数f(x)=sin(3x+π)，则（）3，0)是f（x）图象的一个对称中心A．点(−π9B．直线x=π是f（x）图象的一条对称轴18C．f（x）在[0，π9]上单调递增D．f(x+π)=f(x)311．已知函数f(x)=a(1)|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则（）3A．a+b＝0B．f(x)=(1)|x|−13C．f（x）是偶函数D．f（x）在（﹣∞，0]上单调递增12．已知函数f（x）定义域为R，则（）A．若∀x∈R，f（x﹣1）＜f（x），则f（x）在R上单调递增B．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是偶函数C．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是周期函数D．若∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜|cos x1﹣cos x2|，则函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点．14．写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式．①f（x）的定义域为（0，+∞）；②f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）；③当x＞1时，f（x）＞0．15．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝1，在平面内△ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC'，使C，B，A'在同一直线上，则图中阴影部分的面积为．16．设函数f(x)=sinx+√3，若f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，则|x1﹣x2|的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，B ＝{1，2，3}． （1）写出A ∩B 的所有子集；（2）若关于x 的不等式x 2+bx +c ＜0的解集为C ，A ∪C ＝[﹣1，3），A ∩C ＝（1，2]，求b +c 的值． 18．（12分）如图，平面直角坐标系xOy 中，角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)．（1）求sin α，tan α的值； （2）求sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)的值．19．（12分）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为2，f （x ）的一个零点是16．（1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[0，m ]（m ＞0）时，f （x ）的最小值为−12，求m 的取值范围．20．（12分）如图，正方形ABCD 的边长为a （a ＞1），点W ，E ，F ，M 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，EM ∥AB ，WF ∥BC ，EM 与WF 交于点N ，EF ＝1，记∠FEC =x(0＜x ＜π2)．（1）记四边形ECFN 的面积为x 的函数f （x ），周长为x 的函数g （x ）， （i ）证明：g 2(x)4−1=2f(x)；（ii ）求g （x ）的最大值；（2）求四边形AMNW 面积的最小值．21．（12分）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tmL 药品，从注射时间起血药浓度y （单位：μg /mL ）与药品在体内时间x （单位：小时）的关系如下：y ={(168−x −2)t ，0≤x ≤6，(9−x 2)t ，6＜x ≤18．当血药浓度不低于2μg /mL 时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过2mL ．（1）若注射1mL药品，求药品的有效治疗时间；（2）若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1mL药品，12小时之后又注射amL药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，求a的最小值．22．（12分）已知函数f(x)=alnx−x+1，a＞0．x−1（1）写出f（x）的单调区间，并用单调性的定义证明；（2）若f（e）＝0，解关于x的不等式f（x）＞0；（3）证明：f（x）恰有两个零点m，n（m＜n），且m+n＞2．2023-2024学年山东省青岛市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f（x）＝log2（3﹣x）的定义域为（）A．（0，3）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]解：f（x）＝log2（3﹣x），则3﹣x＞0，解得x＜3，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，3）．故选：C．2．cos210°＝（）A．12B．−12C．√32D．−√32解：cos210°＝cos（180°+30°）＝﹣cos30°=−√32．故选：D．3．已知x，y为正实数，则2yx+xy的最小值为（）A．1B．√2C．2D．2√2解：因为x，y为正实数，所以2yx+xy≥2√2yx⋅xy=2√2，当且仅当2yx=xy，即x=√2y时，2yx+xy的最小值为2√2．故选：D．4．人类已进入大数据时代，数据量已从EB（1EB＝10242TB）级别跃升到ZB（1ZB＝1024EB）级别，据研究结果表明：某地区的数据量y（单位：EB）与时间x（单位：年）的关系符合函数y＝k•a x﹣2021，其中a＞0，a≠1．已知2022年该地区产生的数据成为0.5EB，2023年该地区产生的数据边为1EB，则2024年该地区产生的数据量为（）A．1.5EB B．1.75EB C．2EB D．2.25EB解：由题意可得，{0.5=k⋅a 2022−20211=k⋅a2023−2021，解得{a=2k=14，∴y=14×2x−2021，∴当x＝2024时，y=14×22024−2021=14×23=2，即2024年该地区产生的数据量为2EB．故选：C．5．“x＞4”是“log3x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件解：∵不等式log3x＞1⇔x＞3，∴当x＞4时，有log3x＞1，充分性成立；当“log3x＞1”时，有x＞3，不能推出“x＞4”，必要性不成立，因此，“x＞4”是“log3x＞1”的充分不必要条件．故选：A．6．当x∈（0，2π）时，函数f（x）＝sin x与g（x）＝|cos x|的图象所有交点横坐标之和为（）A．πB．2πC．3πD．4π解：由f（x）＝g（x），可得sin x＝|cos x|，显然π2，π，3π2不是图象的交点的横坐标，当0＜x＜π2时，由题意得sin x＝cos x，则x=π4，当π2＜x＜π时，sin x＞0，cos x＜0，由题意得sin x＝cos x，x=3π4，当π＜x＜3π2时，由题意得sin x＝﹣cos x，x不存在，当3π2＜x＜2π时，由题意得sin x＝cos x，此时x不存在，故π4+3π4=π．故选：A．7．定义在[﹣2，2]上的函数f（x）＝3|x|﹣1，若f（1﹣x）＜f（x），则x的取值范围为（）A．(−∞，12)B．(12，+∞)C．[−1，12)D．(12，2]解：根据题意，函数f（x）＝3|x|﹣1，其定义域为[﹣2，2]，有f（﹣x）＝3|﹣x|﹣1＝3|x|﹣1＝f（x），f（x）为偶函数，在区间[0，2]上，f（x）＝3x﹣1，易得f（x）在[0，2]上为增函数，若f（1﹣x）＜f（x），则有|1﹣x|＜|x|≤2，解可得：12＜x≤2，即x 的取值范围为（12，2]．故选：D ．8．若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则m 的最大值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17解：根据题意，若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则其否定“∀x ∈（0，m ），都有x ≤5lg303lg0.5“”为真命题，则有m ≤5lg303lg0.5，由于m ＞0，且5lg303lg0.5＞0，两边同时取对数可得：lgm ≤lg 5lg303lg0.5=lg 5lg 30﹣lg 3lg 0.5＝lg 30lg 5﹣lg 0.5lg 3＝lg 30lg 5+lg 2lg 3＝（lg 3+1）（1﹣lg 2）+lg 2lg 3＝lg 15，即lgm ≤lg 15，必有m ≤15，即m 的最大值为15． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合项目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知a ＜0，b ＞0，则（ ） A ．ac ＞bcB ．a ﹣c ＜b ﹣cC ．1a ＞1bD ．a 2＞ab解：对于A ，当c ＜0时，ac ＞0，bc ＜0，故A 错误； a ＜b ，﹣c ＝﹣c ，故a ﹣c ＜b ﹣c ，故B 正确； a ＜0，b ＞0，则1a ＜0，1b＞0，故C 错误；a ＜0，b ＞0，则a ﹣b ＜0，a 2﹣ab ＝a （a ﹣b ）＞0，即a 2＞ab ，故D 正确． 故选：BD ．10．已知函数f(x)=sin(3x +π3)，则（ ）A ．点(−π9，0)是f （x ）图象的一个对称中心B ．直线x =π18是f （x ）图象的一条对称轴 C ．f （x ）在[0，π9]上单调递增D ．f(x +π3)=f(x)解：对于函数f(x)=sin(3x +π3)，令x =−π9，求得f （x ）＝0，可得点(−π9，0)是f （x ）图象的一个对称中心，故A正确．令x=π18，求得f（x）＝1，为最大值，可得直线x=π18是f（x）图象的一条对称轴，故B正确．在[0，π9]上，3x+π3∈[π3，2π3]，函数f（x）不单调，故C错误．由于f（x+π3）＝sin（3x+π+π3）＝﹣sin（3x+π3）＝﹣f（x），故D错误．故选：AB．11．已知函数f(x)=a(13)|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则（）A．a+b＝0B．f(x)=(13)|x|−1C．f（x）是偶函数D．f（x）在（﹣∞，0]上单调递增解：因为函数f(x)=a(13)|x|+b的图象过原点，所以a(13)0+b=0⇒a+b=0，A项正确；又因为f（x）图象无限接近直线y＝1，所以b＝1，从而a＝﹣1，所以f(x)=−(13)|x|+1，B项错误；C项，f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，正确；D项，x＞0，f(x)=−(13)x+1在[0，+∞）上单调递增，偶函数的图象关于y轴对称，则在（﹣∞，0]上单调递减，错误．故选：AC．12．已知函数f（x）定义域为R，则（）A．若∀x∈R，f（x﹣1）＜f（x），则f（x）在R上单调递增B．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是偶函数C．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是周期函数D．若∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜|cos x1﹣cos x2|，则函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减解：根据题意，依次分析选项：对于A，设f（x）＝sin（2πx）+x，满足f（x﹣1）＜f（x），但f（x）在R上不是增函数，A错误；对于B，当x1＝﹣x2＝m时，有|f（m）﹣f（﹣m）|≤|cos m﹣cos（﹣m）|＝0，必有f（m）＝f（﹣m），故f（x）为偶函数，B正确；对于C，当x1＝x2+2π时，有|f（x2+2π）﹣f（x2）|＝|cos（x2+2π）﹣cos x2|＝0，必有f（x2+2π）＝f（x2），故f（x）是周期为2π的周期函数；对于D，∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，设x1＜x2，则cos x1＞cos x2，则有|f（x1）﹣f（x2）|＜cos x1﹣cos x2，即cos x2﹣cos x1＜f（x1）﹣f（x2）＜cos x1﹣cos x2，对于cos x2﹣cos x1＜f（x1）﹣f（x2），变形可得f（x1）+cos x1＞f（x2）+cos x2，故函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减，D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，2）．解：因为y＝a x恒过定点（0，1），而y＝a x+1是由y＝a x沿y轴向上平移1个单位得到的，所以其图象过定点（0，2）．故答案为（0，2）14．写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式f（x）＝lgx；（答案不唯一）．①f（x）的定义域为（0，+∞）；②f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）；③当x＞1时，f（x）＞0．解：当f（x）＝lgx时，对于①：因为x＞0，所以f（x）的定义域为（0，+∞），满足①；对于②：对∀x1，x2∈（0，+∞），有f（x1x2）＝lgx1x2＝lgx1+lgx2＝f（x1）+f（x2），满足②；对于③：当x∈（1，+∞）时，由函数f（x）＝lgx在x∈（0，+∞）上单调递增，可得lgx＞lg1＝0，即f（x）＞0成立．满足③．故答案为：lgx（答案不唯一）．15．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝1，在平面内△ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC'，使C，B，A'在同一直线上，则图中阴影部分的面积为3π8．解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=π2，AC＝1，∴∠ABC＝∠C'BA'=π4，AB=√2，∴∠ABC'=π2，∴∠CBC′=π4+π2=3π4，∠A'BA=π4+π2=3π4，∴图中阴影部分的面积S＝S△ABC+S扇形BAA'﹣S扇形BCC'﹣S△A'BC'＝S扇形BAA'﹣S扇形BCC'=12×3π4×AB2−1 2×3π4×BC2=3π8×2−3π8=3π8．故答案为：3π8．16．设函数f(x)=sinx+√3，若f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，则|x1﹣x2|的最小值为π．解：因为f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，所以[f（x1）+2][f（x2）﹣2]＝﹣6，又因为f(x)=sinx+√3且﹣1≤sin x≤1，所以√3−1≤f（x）≤√3+1，所以√3+1≤f（x1）+2≤√3+3，√3−3≤f（x2）﹣2≤√3−1，显然f（x1）+2＞0，f（x2）﹣2＜0，所以[f（x1）+2][f（x2）﹣2]∈[（√3−3）（√3+3），（√3−1）（√3+1）]，即f（x1）f（x2）∈[﹣6，2]，当且仅当f（x1）+2=√3+3，f（x2）﹣2=√3−3时，[f（x1）+2][f（x2）﹣2]＝﹣6成立，所以sin x1＝1，sin x2＝﹣1，所以x1＝2k1π+π2，k1∈Z，x2＝2k2π−π2，k2∈Z，所以|x1﹣x2|＝|2（k1﹣k2）π+π|，k1∈Z，k2∈Z，当且仅当k1﹣k2＝1或k1＝k2时（k1∈Z，k2∈Z），|x1﹣x2|有最小值，且|x1﹣x2|min＝π，故答案为：π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{1，2，3}．（1）写出A∩B的所有子集；（2）若关于x的不等式x2+bx+c＜0的解集为C，A∪C＝[﹣1，3），A∩C＝（1，2]，求b+c的值．解：（1）因为x2﹣x﹣2≤0，所以（x+1）（x﹣2）≤0，解得﹣1≤x≤2，所以A＝[﹣1，2]，所以A∩B＝{1，2}．所以A ∩B 的所有子集为：∅，{1}，{2}，{1，2}； （2）因为A ∪C ＝（﹣1，3），A ∩C ＝（1，2]， 所以C ＝（1，3），由题意得1和3是方程x 2+bx +c ＝0的两根， 所以1+3＝﹣b ，1×3＝c ， 所以b +c ＝﹣1．18．（12分）如图，平面直角坐标系xOy 中，角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)．（1）求sin α，tan α的值； （2）求sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)的值．解：（1）角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)，且由图象可得t =45，则由三角函数的定义知：cosα=35，sinα=45，tanα=43．（2）∵sin(π−α)=sinα=45，sin(π2−α)=cosα=35，cos(π2+α)=−sinα=−45，∴sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)=45+35−45=−74．19．（12分）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为2，f （x ）的一个零点是16．（1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[0，m ]（m ＞0）时，f （x ）的最小值为−12，求m 的取值范围．解：（1）由题知T =2πω=2，所以ω＝π． 又因为f(16)=sin(π6+φ)=0，所以{φ=kπ−π6，k ∈Z −π2＜φ＜π2，解得φ=−π6，所以f(x)=sin(πx −π6)．（2）因为f(x)=sin(πx −π6)，x ∈[0，m ]，令t =πx −π6∈[−π6，πm −π6]，因为y ＝sin t 在[−π6，πm −π6]上的最小值为−12，所以πm −π6≤7π6，解得m ≤43， 所以m 的取值范围是(0，43]．20．（12分）如图，正方形ABCD 的边长为a （a ＞1），点W ，E ，F ，M 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，EM ∥AB ，WF ∥BC ，EM 与WF 交于点N ，EF ＝1，记∠FEC =x(0＜x ＜π2)．（1）记四边形ECFN 的面积为x 的函数f （x ），周长为x 的函数g （x ）， （i ）证明：g 2(x)4−1=2f(x)；（ii ）求g （x ）的最大值；（2）求四边形AMNW 面积的最小值．解：（1）（i ）由题知：f （x ）＝sin x cos x ，g （x ）＝2（sin x +cos x ）， 所以g 2(x)4−1=(sinx +cosx)2−1=sin 2x +cos 2x +2sinxcosx −1=2sin x cos x ＝2f （x ）．（ii ）由（sin x +cos x ）2﹣1＝2sin x cos x ≤sin 2x +cos 2x ＝1，当且仅当sin x ＝cos x 时，即x =π4时取等号，所以sin x +cos x ≤√2，即g （x ）的最大值为2√2；（2）因为S AMNW ＝BE •DF ＝（a ﹣cos x ）（a ﹣sin x ）＝a 2﹣a （sin x +cos x ）+sin x cos x ， 令t ＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），因为0＜x ＜π4，所以π4＜x +π4＜π2，所以√22＜sin(x +π4)＜1，所以t =sinx +cosx ∈(1，√2]， 所以sinxcosx =(sinx+cosx)2−12=t 2−12，令S AMNW=ℎ(t)=a 2−at +t 2−12=t 22−at +a 2−12，若1＜a ＜√2，则h （t ）在（1，a ）上单调递减，在(a ，√2)上单调递增， 所以ℎ(t)≥ℎ(a)=a 2−12． 若a ≥√2，则h （t ）在(1，√2]上单调递减，所以ℎ(t)≥ℎ(√2)=a 2−√2a +12，综上，当1＜a ＜√2时，四边形AMNW 面积最小值为a 2−12；当a ≥√2时，四边形AMNW 面积最小值为a 2−√2a +12．21．（12分）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tmL 药品，从注射时间起血药浓度y （单位：μg /mL ）与药品在体内时间x （单位：小时）的关系如下：y ={(168−x −2)t ，0≤x ≤6，(9−x 2)t ，6＜x ≤18．当血药浓度不低于2μg /mL 时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过2mL ． （1）若注射1mL 药品，求药品的有效治疗时间；（2）若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1mL 药品，12小时之后又注射amL 药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，求a 的最小值．解：（1）注射1ml 该药品，其浓度为y ={168−x −2，0≤x ≤69−x2，6＜x ≤18， 当0≤x ≤6时，由2≤168−x−2可得，4≤x ≤6， 当6＜x ≤18时，由2≤9−x2可得，6＜x ≤14，所以一次注射1ml 该药品，则药物有效时间可达14﹣4＝10小时； （2）设从第一次注射起，经x （12≤x ≤18）小时后，其浓度g(x)=9−x 2+a[168−(x−12)−2]=20−x 2+16a20−x−2a −1，因为20﹣x ∈[2，8]，a ＞0， 当a ∈[18，2]时，因为20−x 2+16a 20−x−2a −1≥2√(20−x)2⋅16a (20−x)−2a −1=4√2a −2a −1，当20−x 2=16a 20−x时，即x =20−4√2a ∈[12，18]时，等号成立，所以{4√2a−2a−1≥218≤a≤2，解得0.5≤a≤2，当a=18时，g(x)=20−x2+220−x−54，g(18)=34＜2，所以a∈(0，18)不能保证持续有效，综上所述，a的取值范围为[0.5，2]，即要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，a的最小值为0.5．22．（12分）已知函数f(x)=alnx−x+1x−1，a＞0．（1）写出f（x）的单调区间，并用单调性的定义证明；（2）若f（e）＝0，解关于x的不等式f（x）＞0；（3）证明：f（x）恰有两个零点m，n（m＜n），且m+n＞2．解：（1）由f(x)=alnx−x+1x−1可知，f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．∵f(x)=alnx−x+1x−1=alnx−x−1+2x−1=alnx−2x−1−1，∴f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增．对∀x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∵f(x1)−f(x2)=a(lnx1−lnx2)+(2x2−1−2x1−1)=a(lnx1−lnx2)+2(x1−x2)(x2−1)(x1−1)．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（0，1）上单调递增，同理对∀x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增．（2）由（1）知，f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增，又∵f(1e)=aln1e−1e+11e−1=−alne−e+1e1−ee=−(alne−e+1e−1)=−f(e)=0．∴不等式的解集为(1e，1)∪(e，+∞)．（3）由（1）知，f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增，又∵f(e 1a)=−2e1a−1＜0，且e1a∈(1，+∞)，取p满足{p＞e2ap＞3，则f(p)=alnp−1−2p−1＞aln(e2a)−1−23−1=0，∴f（x）在（1，+∞）上有唯一零点n，又∵f(e−1a)=21−e−1a−2＞0，且e−1a∈(0，1)，取q满足{q＜e−2aq＜13，则f(q)=alnq−1+21−q＜aln(e−2a)−1+21−13=0，∴f（x）在（0，1）上有唯一零点m．∵f（m）＝0，又f(1m)=aln1m−1m+11m−1=−(alnm−m+1m−1)=−f(m)=0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，且1m，n∈（1，+∞）．∴1m=n，∴mn＝1，∴m+n＞2√mn=2．。
2023-2024学年山东省临沂市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项1．设集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{x∈R|1﹣x≥0}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{x|﹣2≤x≤1}C．{1，2}D．{x|0≤x≤1}2．命题“∀x∈R，3x﹣x≥0”的否定是（）A．“∀x∈R，3x﹣x≤0”B．“∀x∈R，3x﹣x＜0”C．“∃x∈R，3x﹣x≤0”D．“∃x∈R，3x﹣x＜0”3．函数D(x)={1，x∈Q0，x∈∁R Q被称为狄利克雷函数，则D(D(√2))=（）A．2B．√2C．1D．04．已知函数f（x）＝（m﹣2）x m为幂函数，若函数g（x）＝lgx+x﹣m，则g（x）的零点所在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．函数y=6xx2+1的图象大致为（）A．B．C．D．6．“a≥2”是“函数f（x）＝ln（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为135°，则该扇面画的面积约为（）（π≈3）A．960B．480C．320D．2408．已知89＜710，设a ＝log 87，b ＝log 98，c ＝0.9，则（ ） A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目 9．已知函数f(x)=tan(x +π3)，则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．f （x ）的定义域为{x|x ≠π6+kπ，k ∈Z}C ．f （x ）是增函数D ．f(π4)＜f(π3)10．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |x ≤﹣2或x ≥1}，则（ ） A ．b ＞0且c ＜0B ．4a +2b +c ＝0C ．不等式bx +c ＞0的解集为{x |x ＞2}D ．不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集为{x|−1＜x ＜12}11．若正实数a ，b 满足a +2b ＝2，则（ ） A ．1a +2b有最小值9B ．ab 有最大值12C ．2a +4b 的最小值是4D ．a 2+b 2的最小值是2512．已知函数f （x ），假如存在实数λ，使得f （x +λ）+λf （x ）＝0对任意的实数x 恒成立，称f （x ）满足性质R （λ），则下列说法正确的是（ ）A ．若f （x ）满足性质R （2），且f （0）＝2，则f （2）＝﹣4B ．若f （x ）＝sin πx ，则f （x ）不满足性质R （λ）C ．若f （x ）＝a x （a ＞1）满足性质R （λ），则λ＜0D ．若f （x ）满足性质R(−12)，且x ∈[0，12)时，f(x)=11−2x ，则当x ∈[32，2)时，f(x)=42−x三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，3，4}，N＝{2，4，5}，则M∩（∁U N）＝（）A．∅B．{4}C．{1，3}D．{2，5}2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（3，√3），则函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域为（）A．（﹣2，2）B．（0，2）C．（0，2]D．[0，2]3．“实数a＝﹣1”是“函数f（x）＝x2+2ax﹣3在（1，+∞）上具有单调性”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动．一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍．现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折．借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下：已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离．A．41B．43C．45D．475．已知一个扇形的周长为40cm，面积为100cm2，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A．12B．1C．32D．26．已知cosα﹣sinα＝2sinαtanα，其中α为第一象限角，则tanα＝（）A．﹣1B．12C．1D．27．已知f（x）为偶函数，对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3．若函数y＝f（x）的图象与函数g（x）＝log a|x|（a＞0，且a≠1）的图象恰有6个交点，则a的取值范围是（）A．（3，5）B．（3，5]C．（5，7）D．（5，7]8．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象过点（0，1），且f（x）在区间(π8，π4)上具有单调性，则ω的最大值为（）A．43B．4C．163D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高一数学上学期期末试题及答案
高一数学上学期期末试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为：A. 0B. -2C. 1D. 22. 函数y=x^3-3x^2+2的导数为：A. 3x^2-6xB. x^2-6x+2C. 3x^2-6x+2D. x^3-6x^2+63. 已知集合A={x|x<0}，B={x|x>0}，则A∩B的元素个数为：A. 0C. 2D. 无数个4. 以下哪个不是等差数列：A. 2, 4, 6, 8B. 1, 3, 5, 7C. 3, 6, 9, 12D. 1, 4, 7, 105. 已知圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=25，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)6. 若a, b, c是等比数列，且a+b+c=14，b^2=ac，则b的值为：A. 2C. 7D. 147. 函数y=2^x的反函数为：A. y=log2(x)B. y=2^(-x)C. y=-2^xD. y=x^(1/2)8. 已知向量a=(3, -1)，b=(2, 4)，则向量a+b的坐标为：A. (5, 3)B. (1, 3)C. (5, -3)D. (1, -3)9. 函数y=x^2-6x+8的顶点坐标为：A. (3, -1)B. (3, 1)C. (-3, 1)D. (-3, -1)10. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点在x轴上，且a=2，b=1，则双曲线的离心率为：A. √2B. √3C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)=________。
12. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则a5=________。
13. 已知向量a=(1, 2)，b=(3, -2)，则向量a·b=________。
2023-2024学年浙江省杭州市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．1146．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tan θ+2sin θcos θ的值为（ ） A ．−3310B ．−185C ．−95D ．1257．已知a ＞1，b ＞0，且a +1b =2，则4a−1+b 的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．98．已知函数f(x)=√x +2+1ax+1(a ∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x 都有f （x ）＞0，则a 的最大值为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =011．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 ．（写出一个即可）15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 ．16．已知下列五个函数：y ＝x ，y =1x，y ＝x 2，y ＝lnx ，y ＝e x ，从中选出两个函数分别记为f （x ）和g （x ），若F （x ）＝f （x ）+g （x ）的图象如图所示，则F （x ）＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A ={x|y =√−2x 2+x +1}，集合B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． （1）当a ＝1时，求∁R （A ∪B ）； （2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的值．18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值；（2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)．（Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x −5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式． （2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ．（1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2mb]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅解：集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}＝{x ∈Z |0＜x ＜3}＝{1，2}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝{2}． 故选：A ．2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当ab ＞2时，可能a 、b 都小于−√2，不能推出“a ＞√2且b ＞√2”，充分性不成立； 当a ＞√2且b ＞√2时，必定可以得到ab ＞2，充要性成立． 故选：B ． 3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）解：由函数f(x)=lnx +1x−1，可得x ＞0，且x ≠1， 故函数的定义域为{x |x ＞0，且x ≠1}，即（0，1）∪（1，+∞）． 故选：C ．4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解：将函数y ＝2sin （2x +1）的图象向右平移12个单位，可得y ＝2sin2x 的图象，故选：D ．5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．114解：当x ＜0时，f （﹣x ）＞0，则f（﹣x）＝2﹣x﹣3，则﹣f（x）＝2﹣x﹣3，故f（x）＝3﹣2﹣x，所以g（x）＝f（x）＝3﹣2﹣x，故g（﹣2）＝3﹣22＝﹣1．故选：B．6．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tanθ+2sinθcosθ的值为（）A．−3310B．−185C．−95D．125解：由sinθ+cosθ=√105（0＜θ＜π），可得θ为钝角，且|sinθ|＞cosθ，故tanθ＜﹣1，把条件平方可得sinθcosθ=−3 10，∴sinθcosθsin2θ+cos2θ=−310，tanθtan2θ+1=−310，即得tanθ＝﹣3，所有tanθ+2sinθcosθ＝﹣3−35=−185．故选：B．7．已知a＞1，b＞0，且a+1b =2，则4a−1+b的最小值为（）A．4B．6C．8D．9解：由a+1b=2，得(a−1)+1b=1，其中a﹣1＞0，b＞0．所以4a−1+b=[(a−1)+1b](4a−1+b)=5+4b(a−1)+b(a−1)≥5+2√4=9，当且仅当b（a﹣1）＝2，即a=53，b=3时，等号成立．综上所述，4a−1+b的最小值为9．故选：D．8．已知函数f(x)=√x+2+1ax+1(a∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x都有f（x）＞0，则a的最大值为（）A．0B．12C．1D．2解：若a＝0，则f（x）=√x+2+1＞0恒成立，符合题意；若a＞0，①当1a=−2，即a=12时，f（x）=√2+x+2x+2，定义域为{x|x＞﹣2}，此时f（x）＞0显然成立，符合题意；②当−1a ＜−2，即0＜a ＜12时，定义域为[﹣2，+∞），则ax +1≥﹣2a +1＞0，此时f （x ）＞0恒成立，符合题意； ③当−1a ＞−2，即a ＞12时，定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，则取x ＝﹣t −1a ，则f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at，令0＜t ≤2−1a ，当t →0时，−1at →﹣∞，f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at 可以取得负值，不符合题意；若a ＜0，则函数定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，令x =−1a +t ，则f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at，当t ＞0且t →0时，1at→﹣∞，f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at 可以取得负值，不符合题意，综上，0＜a ≤12，即a 的最大值为12．故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°解：对于A ：sin(−930°)=−sin(720°+210°)=sin30°=12，故A 正确；对于B ：2sinπ12sin 5π12=2sin π12sin(π2−π12)=2sin π12cos π12=sin π6=12，故B 正确； 对于C ：cos33°cos27°+sin33°sin27°＝cos （33°﹣27°）＝cos6°，故C 错误； 对于D ：tan22.5°1−tan 222.5°=12×2tan22.5°1−tan 222.5°=12tan45°=12，故D 正确． 故选：ABD ．10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =0解：根据幂函数的性质及函数图象的平移可知，f （x ）＝（x ﹣1）3在R 上单调递增且f （x ）的值域为R ，A 符合题意；根据指数函数的性质可知，f （x ）＝2023x 的值域为（0，+∞），不符合题意；根据对数函数的性质可知，f （x ）＝log 2023x 在（0，+∞）上单调递增且值域为R ，符合题意； f （x ）={−1x ，x ≠00，x =0在R 上不单调，不符合题意．故选：AC ．11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}解：根据题意，依次分析选项：对于A ，[cos π4]＝[√22]＝0，A 正确；对于B ，当x ＝k π+π2，k ∈Z 时，cos x ＝0时，有cos x ﹣[cos x ]＝0，即x ＝k π+π2，k ∈Z 是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点，同理：x ＝k π，k ∈Z 也是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点， 故函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点有无数个，B 错误；对于C ，在区间[0，2π）上，y ＝[cos x ]={ 1，x =00，0＜x ≤π2−1，π2＜x ＜3π20，32≤x ＜2π，易得y ＝[cos x ]的最小正周期为2π，C 正确； 对于D ，由C 的结论，y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}，D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 解：由于函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，故有T 2=πω≥2π3−π6=π2，求得ω≤2，可得ω的最大值为2，故A 正确；若φ=−π6，由于ωx +φ∈（ωπ6−π6，2ωπ3−π6），则2ωπ3+φ=2ωπ3−π6≤π2，求得ω≤1，故ω∈（0，1]，故B 正确； 由于π6+2π32=5π12∈(π6，2π3)，故当f(5π12)＞0时，f(π6)+f(2π3)＞0，C 错误；令y =f(x)−√32=0，得f （x ）=√32，设y ＝f （x ）与y =√32距离最近的两交点的横坐标分别为x 1，x 2，依题意，得[|ωx 1+φ﹣（ωx 2+φ）|]min =2π3−π3=π3，即ω|x 1﹣x 2|min =π3， 因为函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，即|x 1﹣x 2|min =π6， 所以ω＝2，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为10 ．解：原式＝lo g 1319+23＝2+8＝10．故答案为：10．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一） ．（写出一个即可） 解：因为函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）是R 上的奇函数， 又因为f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0， 所以f （x +1）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）， 所以f （x ）的周期为2，所以f （x ）的解析式可以是f （x ）＝sin （πx ）． 故答案为：f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一）．15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 −17√250．解：由于0＜α＜π，故α+π4∈(π4，5π4)，由于sin π4=√22＞sin(α+π4)=35，故α+π4∈(3π4，π)，所以α的终边不可能在第一象限内，只能在第二象限内，故cos(α+π4)=−45，所以sinα＝sin[（α+π4）−π4]=sin(α+π4)cosπ4−cos(α+π4)sinπ4=35×√22+45×√22=7√210，由于α的终边在第二象限内，故cosα=−√1−sin2α=−√210，所以cos(2α+π4)=cos[α+(α+π4)]=cosαcos(α+π4)−sinαsin(α+π4)=√210×45−35×7√210=−17√250．故答案为：−17√2 50．16．已知下列五个函数：y＝x，y=1x，y＝x2，y＝lnx，y＝e x，从中选出两个函数分别记为f（x）和g（x），若F（x）＝f（x）+g（x）的图象如图所示，则F（x）＝x2+1x．解：根据题意，由函数F（x）的定义域为{x|x≠0}，则f（x）、g（x）中一定没有y＝lnx，一定有函数y=1 x ，设f（x）=1 x ，当g（x）＝x时，F（x）＝x+1x，F（x）为奇函数，不符合题意，当g（x）＝e x时，F（x）＝e x+1x，当x→﹣∞时，F（x）＜0，不符合题意；当g（x）＝x2时，F（x）＝x2+1x，当x＜﹣1时，F（x）=x3+1x＜0，当x＜﹣1时，F（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，F（x）＜0，当x＞0时，F（x）＞0，符合题意；故F（x）＝x2+1 x ．故答案为：x2+1 x ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A={x|y=√−2x2+x+1}，集合B＝{x|（x+a﹣1）（x﹣2a）≥0，a∈R}．（1）当a＝1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B＝A，求实数a的值．解：（1）由﹣2x2+x+1≥0，可得−12≤x≤1，故A＝{x|−12≤x≤1}，当a＝1时，B＝{x|x≥2或x≤0}，故A ∪B ＝{x |x ≥2或x ≤1}，所以∁R （A ∪B ）＝{x |1＜x ＜2}；（2）若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，因为A ＝{x |−12≤x ≤1}，B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． 当2a ＝1﹣a ，即a =13时，B ＝R ，符合题意， 当2a ＞1﹣a ，即a ＞13时，B ＝{x |x ≥2a 或x ≤1﹣a }， 则{a ＞132a ≤−12或{a ＞131−a ≥1，此时a 不存在； 当2a ＜1﹣a ，即a ＜13时，B ＝{x |x ≥1﹣a 或x ≤2a }， 则{a ＜131−a ≤−12或2a ≥1，此时a 不存在，所以a =13． 18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值； （2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．解：（1）∵A 的横坐标为35，又|OA |＝1，且A 在第一象限， ∴A 的纵坐标为45， ∴cos α=35，sin α=45，∴tan α=sinαcosα=43， ∴cos(2α−π2)sin 2α+cos2α=sin2αsin 2α+cos 2α−sin 2α =2sinαcosαcos 2α=2tan α=83；（2）∵cos ∠AOC =−6365， ∴由图可知sin ∠AOC =√1−cos 2∠AOC =√1−(6365)2=1665， 根据题意可得OC 为α﹣∠AOC 的终边，又点C 与点B 关于x 轴对称，OB 为β的终边，∴cos β＝cos （α﹣∠AOC ）＝cos αcos ∠AOC +sin αsin ∠AOC =35×(−6365)+45×1665=−513． 19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣1）＝﹣f （1），即a −1−1a −1+a−1=−a−12a−1， 即1a −11a +a−1=−a−12a−1，1−a a 2−a+1=−a−12a−1， 所以a 2﹣a +1＝2a ﹣1，解得a ＝1（舍）或a ＝2，所以a ＝2．当a ＝2时，f （x ）=2x−12x +1，定义域为R ， f （﹣x ）=2−x −12−x +1=12x −112x +1=1−2x 1+2x =−2x −12x +1=−f （x ）， 所以函数y ＝f （x ）是R 上的奇函数，故a ＝2；（Ⅱ）因为f （x ）=2x−12x +1=1−22x +1， 设x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=22x 2+1−22x 1+1=2(2x 1−2x2)(2x 1+1)(2x 2+1)＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），所以y ＝f （x ）在R 上单调递增，又因为关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，即关于t 方程f （t 2﹣2t ）＝﹣f （4﹣kt ）＝f （kt ﹣4）在[1，3]有且仅有一个根，t 2﹣2t ＝kt ﹣4在[1，3]有且仅有一个根，易得t ＝0不满足；当t ≠0时，k ＝t +4t−2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 令h （t ）＝t +4t−2，t ∈[1，3]， 由对勾函数的性质可知y ＝h （t ）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，所以h （t ）min ＝h （2）＝2，又h （1）＝3，h （3）=73， 如图所示：由此可得当k ＝2或73＜k ≤3时，满足k ＝t +4t −2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 所以实数k 的取值范围为（73，3]∪{2}． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)． （Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．解：（Ⅰ）令x −π3=k π，k ∈Z ，则x =π3+kπ，k ∈Z ， 故函数的对称中心为（k π+π3，0），k ∈Z ； （Ⅱ）g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)=4sin （x −π2）sin （x −π6）＝﹣4cos x （√32sin x −12cos x ） ＝﹣2√3sin x cos x +2cos 2x=−√3sin2x +cos2x +1＝2cos （2x +π3）+1， 若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，即cos （2x +π3）在[0，m ]上取得最小值﹣1，令2x +π3=π，可得x =π3， 故m 的最小值为π3． 21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x−5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式．（2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）W （x ）＝0.2×1000×x ﹣R （x ）﹣100＝200x ﹣R （x ）﹣100，当0＜x ＜50时，W （x ）＝200x ﹣（2x 2+80x +200）﹣100＝﹣2x 2+120x ﹣300，当x ≥50时，W(x)=200x −(201x +6400x −5200)−100=−(x +6400x)+5100， 故W （x ）={−2x 2+120x −300(0＜x ＜50)−(x +6400x)+5100(x ≥50)； （2）若0＜x ＜50，W （x ）＝﹣2x 2+120x ﹣300＝﹣2（x ﹣30）2+1500，当x ＝30时，W （x ）max ＝1500，若x ≥50，W(x)=−(x +6400x)+5100≤−2√6400+5100=4940，当且仅当x ＝80时，等号成立， 所以当x ＝80时，W （x ）max ＝4940，故2024年的年产量为80千部时，企业所获利润最大，最大利润是4940万元．22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ． （1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2m b]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．证明：（1）因为函数f(x)=|x −3x+2|+m 有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 所以方程f(x)=|x −3x+2|+m =0有4个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 于是方程x −3x +2+m =0，−(x −3x+2)+m =0都各有两个不同的解， 即方程x 2+（2+m ）x ﹣3＝0，x 2+（2﹣m ）x ﹣3＝0各有两个实数根，于是x 1x 2x 3x 4＝9；解：（2）f(x)=|x −3x +2|+m ={x −3x +2+m ，x ≥1−x +3x−2+m ，0＜x ＜1， 所以y ＝f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； ①若函数f （x ）在[a ，b ]上不单调，则有0＜a ≤1＜b ，且f(1)=m =2m a ， 由于m ≠0，所以a ＝2，与假设矛盾；②当1≤a ＜b 时，有{f(a)=2m a f(b)=2m b ，即{a −3a +2+m =2m a b −3b +2+m =2m b ， 所以{a 2+(m +2)a −3−2m =0b 2+(m +2)b −3−2m =0， 所以a ，b 是一元二次方程x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ＝0的两个不相等的实数根， 记g （x ）＝x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ，有{Δ=(m +2)2+4(2m +3)＞0−m+22≥11+(m +2)−3−2m ＞0，所以m ＜−6−2√5， ③当0＜a ＜b ≤1时，应有{f(a)=2m b f(b)=2m a ，即{−a +3a −2+m =2m b −b +3b −2+m =2m a， 两式相减得到ab +3＝﹣2m ∈（3，4），所以m ∈(−2，−32)， 两式相加得：a +b =(2m+3)(m−2)3， 又ab ＝﹣（2m +3），∴1a +1b =a+b ab =2−m 3∈(2，+∞)， ∴m ＜﹣4，与m ∈(−2，−32)矛盾， 此时满足条件的实数m 不存在，综合以上讨论，满足条件的实数m 的取值范围是(−∞，−6−2√5)．。
2023-2024学年江苏省南通市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若扇形的圆心角为2rad，半径为1，则该扇形的面积为（）A．12B．1C．2D．42．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣2≤x＜4}3．函数f(x)=4x+9x+1，x∈（﹣1，+∞）的最小值为（）A．6B．8C．10D．124．若角θ的终边经过点P（1，3），则sinθcosθ+cos2θ＝（）A．−65B．−25C．25D．655．函数f（x）＝2log3x+2x﹣5的零点所在区间是（）A．（0，1）B．(1，32)C．(32，2)D．（2，3）6．设函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω＞0)的最小正周期为T．若2π＜T＜3π，且对任意x∈R，f(x)+f(π3)≥0恒成立，则ω＝（）A．23B．34C．45D．567．已知函数f（x）的定义域为R，y＝2f（x）﹣sin x是偶函数，y＝f（x）﹣cos x是奇函数，则[f(x)]2+[f(π2+x)]2=（）A．5B．2C．32D．548．已知函数f（x）＝lg|x|﹣cos x，记a＝f（log0.51.5），b＝f（1.50.5），c＝f（sin（1﹣π）），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列各式中，计算结果为1的是（）A．sin75°cos15°+cos75°sin15°B．cos222.5°﹣sin222.5°C．√3−tan15°1+√3tan15°D．tan22.5°1−tan222.5°10．若a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．a （a +c ）＞b （b +d ）C ．d a+d＜c b+cD ．b+d b+c＜a+d a+c11．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y =x −23B ．y ＝2|x |+1C ．y ＝x 2﹣x ﹣2D ．y ＝2x ﹣2﹣x12．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为10（单位：cm ），它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度hcm 由关系式ℎ=Asin(πt +π4)确定，其中A ＞0，t ≥0．则下列说法正确的是（ ）A ．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时2sB ．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20cmC ．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为12sD ．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是[2014，2114)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{1，3，则A∪B＝（）A．{1，3}B．{0，1，2，3，5}C．{1，2，3，5}D．{0，1，2，3}2．命题“∀x＞2，x2﹣4≠0”的否定形式是（）A．∃x＞2，x2﹣4≠0B．∀x≤2，x2﹣4＝0C．∃x＞2，x2﹣4＝0D．∃x≤2，x2﹣4＝03．已知集合，若M＝N，则ab＝（）A．﹣4B．﹣1C．1D．44．已知函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）3+1，若f（2）＝5（）A．B．C．D．5．今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a元/斤、b元/斤（a ≠b），王大妈每周购买10元的白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为m1，m2，则m1与m2的大小关系为（）A．m1＝m2B．m1＞m2C．m1＜m2D．无法确定6．已知，则+2cos2α＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．07．已知函数在区间（0，+∞）内的零点分别是a，b，c，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c8．已知函数在上存在最值，且在，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数．f（x）＝cos4x﹣sin4x，则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的对称中心为C．f（x）的对称轴为直线D．f（x）的单调递增区间为10．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图象如图所示．则f（x）＝（）A．2cos（x﹣）B．2cos（2x﹣）C．2sin（﹣2x）D．2sin（2x+）11．已知函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．若f（x2）+f（2x﹣3）＞0，则x∈（﹣3，1）D．∀x1，x2∈R，且x1+x2≠0，（x1+x2）[f（x1）+f（x2）]＞012．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣k，则（）A．f（x）的值域为（﹣1，+∞）B．若g（x）有1个零点，则k＜0或k＞1C．若g（x）有2个零点，则k＝0或k＝1D．若g（x）的3个零点分别为：x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1x2x3的取值范围为（2，3）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。