大一数学分析复习题
3322111321.lim _____212.lim _____3(5)33.lim _____(5)34.lim ______1234....(21)25.lim _____1(2)6.lim ______124...(2)7.lim(n n n n n nn n n n n n n n n nn n nn nn →∞→∞++→∞→∞→∞+-→∞→∞+=++=+-+=-+=-+-++--=--=-+-+-数列极限练习题21213)______211118.lim ....(1)______3927319.lim 0,____,_____110.(1)lim(12),_____(2)4,__11.lim(2)5,lim n n n n nn n n n n n n n n an b a b n x x a a b -→∞→∞→∞→∞→∞--=+⎡⎤-+++-=⎢⎥⎣⎦⎛⎫+--=== ⎪+⎝⎭-+=则若存在则实数范围已知无穷等比数列的各项和是则首项的取值范围是已知{}1(3)1,lim()113(1)12.,1342(1)lim (2)lim n n n n n n n n n n nn n a b a b n n n a S a n n a S →∞-→∞→∞-=-⋅⎧≤≤⎪+⎪=⎨⎪⋅≥⎪⎩求的值若为数列的前项和求{}{}12123101511113.,9,27,,lim 3114.,1,,,32lim 15.,321111lim 4lim 1....(1),323927316.{},{}0n n nn n n nn n nn n n n n n n n a a a a a a n S S S a a n S S S a R a a a a b →∞→∞++--→∞→∞+===-=∈-⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦数列为等比数列前项和为求数列为等比数列前项和为求已知且求范围数列都是公差不为的等差数列12211212221121,lim 2, (i)17.{},1,(...)18.{}(0),,,lim,lim ...19.{},,limnn nnn nn n n n n n nn n n n n n n n n na b a a a nb a a a k a a k a q q a a S S n S S a a a a q n S a S →∞→∞++→∞→∞++→∞=+++==++>=++=求数列为无穷等比数列求实数的范围数列是公比为的无穷等比数列前项和为求无穷等比数列公比为前项和为2423521111,1...20.lim...121.{},lim()12nn n n n n q q a a a a a a a a a q q q a -→∞→∞-++++++++-=+求范围求等比数列公比为求取值范围11222412221321222.{},1,3(1)lim (2)lim(...)23.{},4,16,lg lg ...lg lim24.{},53,lim(...)25.()2(2n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n a n S S a S a S a S a S a a a a a a n a n S a S a a a f x x x →∞→∞++→∞-→∞=-+++==+++=-+++=-+≥数列前项和为且求设正数等比数列求数列前项和为求已知函数11112211)(1)()(2){}1()2,{}{},2lim()n n n n n n n nn n n nn n fx a n S n S f S a a a a n T a a T n ---++→∞==+=-求反函数若正数数列前项和对所有大于的自然数都有且求通项公式(3)设C 又设数列C 前项和为求的值方法一：应用数列极限的定义(证明题)用定义求数列极限有几种模式：（1）0>∀ε，作差a a n-，解方程ε<-a a n，解出()εf n >，则取()εf N =或() ,1+=εf N（2）将a an-适当放大，解出()εf n >；（3）作适当变形，找出所需N 的要求。
方法二：常用方法：约去零因子求极限，分子分母同除求极限，分子(母)有理化求极限方法三（迫敛性）设收敛数列{}{}b a nn,都以a 为极限，数列{}c n满足：存在正整数N 0,当N n 0> 时有： b c a nnn≤≤ 则数列{}c n收敛，且a c nn =∞→lim 。
方法四：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。
方法五：两个重要极限是1sin lim0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim 方法六：（柯西收敛准则）数列{}a n 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数N ，使得当n ，m N >时，有ε≤-aa mn方法七：Stolz 定理：设n>N 时，yy n n1+<且+∞=∞→ynn lim ，若lyy xx n nn n n =----∞→11lim（l 为有限数或无穷大），则l yy x x yx n nn n n nn n =--=--∞→∞→11limlim方法八：形如)(1x xn n f =+数列极限方法九：用等价无穷小量代换求极限（等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．），常见等价无穷小有：当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x-,()abx ax x x b~11,21~cos 12-+-； 方法十：用罗必塔法则求极限，用对数恒等式求)()(lim x g x f 极限，数列极限转化成函数极限求解。
算术－几何－调和平均不等式： 对,,,,21+∈∀R n a a a 记,1)(121∑==+++=ni i n i a n n a a a a M (算术平均值) ,)(1121nni i n n i a a a a a G ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∏= (几何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=ni ini iniana n a a a na H (调和平均值)有均值不等式: ),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤等号当且仅当n a a a === 21时成立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对,0x ∀> 由二项展开式 23(1)(1)(2)(1)1,2!3!nn n n n n n x nx x x x ---+=+++++)1(,1)1(>+>+⇒n nx x n（４）Cauchy －Schwarz 不等式: k k b a ,∀(n k ,,2,1 =),有≤⎪⎭⎫⎝⎛∑=21n k k k b a ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=21n k k k b a ∑=n k k a 12∑=nk kb12（５）N n ∈∀，nn n 1)11ln(11<+<+ )1(21321+=++++n n n ； )12)(1(613212222++=++++n n n n223333)1(41321+=++++n n n ； )133)(12)(1(30132124444-+++=++++n n n n n n)122()1(1213212225555-++=++++n n n n n ； )1363)(12)(1(421321346666+-+++=++++n n n n n n n )2463()1(241321234227777+--++=++++n n n n n n n )1(2642+=++++n n n 2)12(531n n =-++++)14(31)12(53122222-=-++++n n n )12()12(531223333-=-++++n n n导数微分及应用习题判断:1、若)(x f 可微，且为],[l l -上的偶函数，则)(x f '必为],[l l -上的偶函数；（ ） 2 若 ()x f 是[]l l ,-上的奇函数，则)(x f '必为[]l l ,-上的偶函数；（ ） 3、如果函数()x f y = 在0x 点 的左、右 极限都存在，则函数在0x 点的极限存在（ ） 4、若函数)(x f 在点0x x =连续，则)(x f 在0x 点可导 ； （ ） 5、若函数)(x f 在点0x x =连续，则)(x f 在0x 点的极限一定存在；（ ） 6、若函数)(x f 在点0x x =可微，则)(x f 在0x 点可导 ； （ ）7、如果函数()x f y = 在 0x 点 的左、右 极限都存在，则)(x f 在0x 点可导 ；（ ） 8、若函数)(x f 在点0x x =连续，则函数()x f y = 在 0x 点 的左、右 极限都存在且相等；（ ）9、若)(x f 在0x 点不可导，则函数)(x f 在点0x x =一定不连续；（ ） 10、若函数)(x f 在点0x x =不可微，则)(x f 在0x 点不可导 ； （ ） 11、若函数)(x f 在点0x x =不可微，则)(x f 的左、右 极限一定不存在；（ ） 12、设函数)(x f 在0x 点可导，导数为)(0x f '，则)()()(lim0000x f xx x f x f x '-=∆∆--→∆ （ ）13、设函数)(x f 在0x 点可导，导数为)(0x f '，则)(2)()(lim0000x f xx x f x x f x '=∆∆--∆+→∆ （ ）14、设函数)(x f 在0x 点可导，导数为)(0x f '，则)()()2(lim 0000x f xx f x x f x '=∆-∆+→∆ （ ）15、函数1-=x y 在1=x 处不可导；（ ） 16、函数1-=x y 在1=x 处不连续；（ ） 17. 若)(0x f '存在，且0)(0≠'x f ，则1)()()(lim0000=∆⋅'-∆+→∆xx f x f x x f x （ ）18、若)(x f 在],[b a 上可导，则)(x f 在],[b a 上有界； （ ）19、若)(x f 在0x 点导数不存在，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处没有切线；（ ）20、曲线x y cos =上点⎪⎭⎫⎝⎛π21,3处的法线的斜率为32；（ ）21.设)(x f y =在0x x =可微，则当0→∆x 时，x x f x f x x f ∆'--∆+)()()(000是关于x ∆高阶的无穷小；（ ）22、若)0()()()(lim2+∞<<=--→l l a x a f x f ax ，则)(x f 在a x =处不可导；（ ）23、若)0()()()(lim2+∞<<=--→l l a x a f x f ax ，则)(x f 在a x =处可导但0)(≠'a f ；（ ） 24、若)0()()()(lim2+∞<<=--→l l a x a f x f ax ，则)(x f 在a x =处可导且0)(='a f ；（ ） 25、若2sinln π+=x y ，则2cos 1π+='x y ； （ ） 1.设)(x f 在0x x =的某个邻域内具有二阶连续导数，则=-'-+'→hh x f h x f h )()(lim000（ ）.A 、0；B 、)(0x f '；C 、)(0x f ''；D 、)(20x f ''；.2、设)(x ϕ在0x 的邻域内连续，且有)()()(0x x x x f ϕ-=，则=')(0x f （ ）.A 、0；B 、)(0x ϕ；C 、)(0x ϕ'；D 、∞. 3.设x x f 22cos )(sin ='，则=)(x f （ ）.A 、2sin x ； B 、c x +2cos ； C 、c x +-1； D 、c x x +-22. 4.设)(x f 在1=x 点处可微，1)(2+=x x e e f ，则=→)(lim 1x f x （ ）.A 、2；B 、1；C 、0；D 、12+e . 5.设)(x f e y =，其中)(x f 为二阶可导函数，则=''y （ ）.A 、)(x f e ；B 、)]()([)(x f x f e x f ''+'；C 、)]())([(2)(x f x f e x f ''+'；D 、2)()]([x f e x f '. 6.如果在区间),(b a 内，)()(x x f ϕ'='，则在),(b a 内)(x f 与)(x ϕ（ ）. A 、仅相差一个常数； B 、完全相等；C 、均为常数； D 、c c x x f ()()(=ϕ为常数）. 7.设)(x f 为可导的偶函数，则)(x f '为（ ）.A 、偶函数；B 、可能是偶函数；C 、奇函数；D 、非奇非偶函数.8、设()x f 在0x x =处可导，则 =--+→hbh x f ah x f h )()(lim000（ ）.A 、0；B 、)()(0x f b a '+；C 、)()(0x f b a '-；D 、)(0x f '. 9、设3)(0='x f ，则=∆-∆-→∆xx f x x f x )()(lim000（ ）.A 、－3；B 、3；C 、0；D 、∞. 10、设()x f 在区间),(b a 内连续，),(0b a x ∈，则在点0x 处()x f （ ）.A 、极限存在且可导；B 、极限不存在，但可导；C 、极限存在，但不一定可导；D 、极限不一定存在.11.设()⎩⎨⎧≥<=0,0,2x x x x x f ，则在0=x 处()x f （ ）.A 、 无定义；B 、不连续；C 、连续且可导；D 、连续但不可导.12、设()⎩⎨⎧>-≤=0,)1(0,2x x b x e x f ax ，在0=x 可导，则必有（ ）. A 、1,2==b a ； B 、1==b a ； C 、2==b a ； D 、1,2=-=b a . 13、x y =，则在0=x 处()x f 的导数=')0(f （ ）.A 、0；B 、－1；C 、不存在 ；D 、1. 14、可微的周期函数其导数（ ）.A 、一定是周期函数，且周期不变；B 、一定是周期函数，但周期可能发生变化；C 、不一定是周期函数；D 、一定不是周期函数.15、设()x f 为可微的偶函数，且对任意的21)(),0(000='≠x f x x ，则=-')(0x f （ ）.A 、21；B 、21-； C 、2； D 、－2.16.曲线x x y 42-=上，切线平行于直线032=+-y x 的点的坐标为（ ）.A 、（1，－3）；B 、（3，－3）；C 、（－1，5）；D 、（2，0）. 17、设)(ln x f y =，其中)(u f 为可微函数，则=''y （ ）.A 、)(ln x f ''；B 、21x -； C 、)(ln 1)(ln 12x f xx f x '-''； D 、)](ln )(ln [12x f x f x '-''.18、设x x y ln =，则=)10(y （ ）. A 、91x -； B 、91x ； C 、9!8x ； D 、9!8x -. 19.设)(u f 为可微函数，若)2(cos x f y =，则=dy （ ）.A 、dx x f )2(cos 2'；B 、xdx 2sin -；C 、()x d x f 2cos ]2cos ['；D 、()xdx x f 2sin 2cos 2'-. 20、下列函数中导数等于x 2sin 21的是（ ）.A 、x 2cos 21；B 、x 2sin 21；C 、x 2cos 21；D 、x 2cos 41.21、曲线22-+=x x y 在点M 处的切线与直线034=++y x 垂直，则此曲线在点M 处的切线方程为（ ）.A 、017416=--y x ；B 、021416=-+y x ；C 、01182=+-y x ；D 、01782=-+y x .22.设⎩⎨⎧+==)1ln(arctan 2t y t x ，则=22dx yd （ ）. A 、212t +； B 、)1(22t +； C 、2； D 、222)1()1(2t t +-. 23、设)2ln(2x x y -+=，则=''y （ ）.A 、22xx +-； B 、232)2(x x +-； C 、22xx +； D 、232)2(x x +.24、下列函数中在点0=x 连续且可导的是（ ）.A 、32)(x x f =；B 、x x f sin )(=；C 、⎩⎨⎧≥<=00,)(x x x xe x f x ；D 、⎩⎨⎧<-≥+=0,10,12)(2x x x x x f .25、设方程xy e e y x =-确定y 是x 的函数，则=')0(y （ ）.A 、y e -；B 、1；C 、ye y-1； D 、0. 26.⎪⎭⎫⎝⎛=x xf y 1其中f 为可微函数，则=22dx y d （ ）.A 、x 1-；B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛''-x f x 112；C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛''x f x 113；D 、⎪⎭⎫⎝⎛''-x f x 113.27.设 l a x a f x f ax =--→2)()()(lim，其中l 为有限值，则()x f 在a x =处（ ）. A 、可导且0)(='a f ； B 、可导但0)(≠'a f ；C 、不一定可导； D 、肯定不可导. 28.曲线42-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则M 点的坐标为（ ）.A 、（1，0）；B 、（0，1）；C 、（1，3）；D 、（1，－2）. 29、设221)1ln(a x y -+-=，则=dy （ ）.A 、dx a x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2212111；B 、dx x x 212--；C 、dx a x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-221112； D 、212x x--. 30.设)(u ϕ具有二阶导数，()x x y ϕ=，则=''y （ ）.A 、()x ϕ''；B 、()()x x x ϕ'+ϕ''；C 、()()x x x x ϕ'+ϕ''；D 、()()x x x ϕ'+ϕ''2.31、函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,)1ln(2x x x x x f ，则()x f 在0=x 处（ ）. A 、间断； B 、连续但不可导；C 、连续且导数为0；D 、连续且导数为－1.32.设()⎩⎨⎧<+≥=0,2sin 0,x x b x e x f ax ，在0=x 可导，则b a ,的值为（ ）.A 、1,0==b a ；B 、1,2=-=b a ；C 、1,2==b a ；D 、2,1==b a .33、2ln 11x t e y t ⎧=+⎪⎨=⎪-⎩，则==2122|t dx y d （ ）.A 、83；B 、83-； C 、6； D 、－6.34.若)(x f 在0x 处不可导，则)(x f 在0x 点（ ）.A 、无意义；B 、左、右极限不相等；C 、不一定可导；D 、不可微.35、若⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=∞→tx t t x x f 211lim )(，则=')(x f ( ).A 、x e x 2)12(+；B 、x e 2；C 、x e x 2)1(+；D 、x xe 2.36.若x x e e x f 1)(+='，且0)0(=f ，则=)(x f （ ）. A 、2)1(x x e e -； B 、21-+x x e e ； C 、x x e e 1-； D 、x x ee 1+-．37、设函数tt tx x f 1)1(lim )(+=→ ，则=')0(f （ ）.A 、-1；B 、e ；C 、1；D 、e 1．38.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，在0=x 处（ ）. A 、不可导； B 、连续且可导； C 、不连续但可导； D 、不连续.39、设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,)(x x x x x x f ，则)(x f 的有关论证正确的是（ ）.A 、)(x f 在点0=x 处可微；B 、()f x '1,00,01,0x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，C 、()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,,1x x x x f 不可导， D 、)(x f 在点0=x 处可导. 40.设n n n n a x a x a x y ++++=-- 2211 （其中 n a a a ,,,21 为常数），则=+)1(n y （ ）.A 、!n ；B 、0；C 、1；D 、x .41、设n n n n a x a x a x y ++++=-- 2211 （其中 n a a a ,,,21 为常数），则=)(n y （ ）.A 、!n ；B 、0；C 、1；D 、x . 42.设22)(x ex f -=，则=--→1)1()(lim1x f x f x （ ）.A 、21e -； B 、21--e ； C 、21e ； D 、0.43.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f ，则函数)(x f 在0=x 处（ ）. A 、不连续； B 、连续，不可导；C 、可导，但不连续；D 、可导且导数也存在.44、设⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x ，则=22dx yd （ ）.A 、t t cos 1sin -；B 、2)cos 1(1t a --；C 、t cos 11--；D 、tcos 11-. 45.已知函数⎩⎨⎧≥<=0,0,)(3x x x x x f ，则函数)(x f 在点0=x 处的导数（ ）.A 、0)0(='f ；B 、1)0(='f ；C 、3)0(='f ；D 、不存在. 46.设2ln )(x x f =，则='])2([f （ ）.A 、21； B 、41； C 、1； D 、0. 47.设)3()2)(1(2+++=x x x y ，则=-')1(f （ ）.A 、0；B 、1；C 、－1；D 、2. 48、设x n e x y +=，则=+)1(n y （ ）.A 、x e n ++)!1(；B 、x e ；C 、x e n +!；D 、0. 49、设x x y =，则='y （ ）.A 、)1(ln +x x x ；B 、x x x ln ；C 、1-x x ；D 、1-⋅x x x . 50.下列命题中正确的是（ ）.A 、若)()(x g x f '='，则有)()(x g x f =；B 、若)()(x g x f =，则有)()(x g x f '='；C 、若0)(0='x f ，则0)(0=x f ；D 、若0)(0=x f ；则0)(0='x f .51.)(x f y =在点0x 处的左、右导数存在且相等是)(x f 在点0x 处可导的 （ ）.A 、必要条件；B 、充分条件；C 、充分必要条件；D 、无关条件.52.设函数()⎩⎨⎧≤-<≤+=x x x x x f 1,1310,12，则()1f '为（ ）. A 、2； B 、3； C 、－1； D 、不存在.1. × ；2.∨；3、×；4、×；5、∨；6、∨；7、 × ；8、 ∨ ；9、 × ；10、 ∨ ；11、×；12、×；13、 ∨ ；14、×；15、∨ ；16、×；17、 ∨ ；18、∨ ；19、×；20、∨ ；21、 ∨ ；22、×；23、×；24、∨；25、× ；1、D ；2、B ；3、D ；4、A ；5、C ；6、A ；7、C ；8、B ；9、A ；10、C ；11、D ；12、D ；13、；C ；14、A ；15、B ；16、B ；17、D ；18、C ；19、D ；20、B ；21、A ；22、B ；23、D ；24、C ；25、B ；26、C ；27、A ；28、D ；29、B ；30、D ；31、D ；32、C ；33、C ；34、D ；35、A ；36、C ；37、C ；38、B ；39、C ；40、B ；41、A ；42、B ；43、B ；44、B ；45、D ；46、D ；47、D ；48、B ；49、A ；50、B ；51、C ；52、D.中值定理和罗比达法则★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
大一上数学分析期末考试题及答案
大一上数学分析期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义是：如果对于任意的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，都有|a_n - A| < ε，则称序列{a_n}的极限为A。
A. 正确B. 错误答案：A2. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：B3. 函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 函数f(x)=x^2在区间[0, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A6. 函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A7. 函数f(x)=e^x在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A8. 函数f(x)=ln(x)在区间(0, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A9. 函数f(x)=1/x在区间(0, +∞)上是单调递减的。
A. 正确B. 错误答案：B10. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, 0)上是单调递减的。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) = ________。
答案：112. 极限lim(x→+∞) (1/x) = ________。
答案：013. 极限lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2 = ________。
答案：1/214. 函数f(x)=x^3在x=0处的导数为 ________。
答案：015. 函数f(x)=e^x在x=0处的导数为 ________。
答案：1三、计算题（每题10分，共40分）16. 计算极限lim(x→0) (tan(x) - sin(x))/x^3。
解：利用洛必达法则，对分子分母分别求导三次，得到极限为1/2。
大一数学分析_第一次_练习_含答案
数学分析期末考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ Ｂ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ Ｂ ） A ⎰⎰=-a aa dx x f dx x f 0)(2)( B 0)(=⎰-aa dx x fC⎰⎰-=-aaadx x f dx x f 0)(2)( D )(2)(a f dx x f aa=⎰-3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ A ）B? A⎰11dx xB⎰∞+11dx xC⎰+∞sin xdx D⎰-1131dx x4、级数∑∞=1n na收敛是∑∞=1n na部分和有界且0lim =∞→n n a 的（ C ）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 5、下列说法正确的是（ C ） A∑∞=1n na和∑∞=1n nb收敛，∑∞=1n nn ba 也收敛 (反例 ： )B∑∞=1n na和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散 （反例：一个为-1，一个为+1.。
）C∑∞=1n na收敛和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散D ∑∞=1n na收敛和∑∞=1n nb发散，∑∞=1n nn ba 发散 （反例：31,n n∑∑）6、)(1x an n∑∞=在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ D ）A)()('1'x a x an n=∑∞= B a （x ）可导C⎰∑⎰=∞=ban ban dx x a dx x a )()(1D∑∞=1)(n nx a一致收敛，则a （x ）必连续7、下列命题正确的是（ ） A)(1x an n∑∞=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛B)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛C 若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x an n∑∞=在[a ，b ]必绝对收敛D)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 条件收敛必收敛8、∑∞=++-012121)1(n n nx n 的和函数为 A xe B x sin C )1ln(x + D x cos9、函数)ln(y x z +=的定义域是（ C ） A {}0,0|),(>>y x y x B {}x y y x ->|),( C {}0|),(>+y x y x D {}0|),(≠+y x y x 10、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）偏可导与可微的关系（ ） A 可导必可微 B 可导必不可微 C 可微必可导 D 可微不一定可导二、计算题：（每小题6分，共30分） 1、⎰=914)(dx x f ，求⎰+22)12(dx x xf2、计算⎰∞++02221dx x x3、计算∑∞=11n nx n的和函数并求∑∞=-1)1(n n n4、设023=+-y xz z ，求)1,1,1(xz ∂∂5、求2220lim yx yx y x +→→ 三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）1、 讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(0)0,0(),(),(2222y x y x y x y x xyy x f 在（0，0）点的二阶混合偏导数2、 讨论∑∞=+-221sin 2)1(n n n n nx的敛散性 四、证明题：（每小题10分，共30分）1、设)(1x f 在[a ，b ]上Riemann 可积，),2,1()()(1 ==⎰+n dx x f x f ban n ，证明函数列)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于02、设yxe z =，证明它满足方程0=∂∂+∂∂yz y x z x 3、 设)(x f 在[a ，b ]连续，证明⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ，并求⎰+π2cos 1sin dx xxx参考答案一、1、B 2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C 二、1、⎰⎰++=+202222)12()12(21)12(x d x f dx x xf （3分）令122+=x u ，⎰⎰==+91222)(21)12(du u f dx x xf （3分）2、⎰∞++02221dxx x =4)1arctan(lim )1()1(11lim 002π=+=+++∞→∞→⎰A A A A x x d x （6分） 3、解：令)(x f =∑∞=11n n x n ，由于级数的收敛域)1,1[-（2分），)('x f =x x n n -=∑∞=-1111，)(x f =)1ln(110x dt t x-=-⎰（2分），令1-=x ，得2ln )1(1=-∑∞=n n n 4、解：两边对x 求导02232=--x x xz z z z （3分）x z z z x 2322-=（2分）2)1,1,1(=∂∂x z（1分）5、解：x yx yx ≤+≤||0222（5分）0lim 22200=+→→y x y x y x （1分） 由于x =-2，x =2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-+=000)(4),(22222222224y x y x y x y y x x yy x f x （2分）⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++--=000)(4),(22222222224y x y x y x y y x x xy x f y (4分）1)0,0(),0(lim )0,0(02-=∆-∆=∂∂∂→∆y f y f x y zx x y1)0,0()0,(lim )0,0(02=∆-∆=∂∂∂→∆xf x f y x zy y x （6分）2、解：由于x nx n n n n n 221sin 2|sin 2)1(|lim =-+∞→（3分），即1sin 22<x 级数绝对收敛1sin 22=x 条件收敛，1sin 22>x 级数发散（7分）所以原级数发散（2分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：因为)(1x f 在[a ，b ]上可积，故在[a ，b ]上有界，即0>∃M ，使得]),[()(1b a x M x f ∈∀≤，（3分）从而)(|)(|)(12a x M dt t f x f xa-≤≤⎰一般来说，若对n 有)!1()()(1--≤-n a x M x f n n （5分）则)()!1()()(1∞→--≤-n n a b M x f n n ，所以)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于0（2分）⎰⎰⎰=+++=+aa Ta Tdt t f T t d T t f t T x dx x f 0)()()()(（2）（4分）将式（2）代入（1）得证（2分）2、 y e x z y x 1=∂∂，2yx e y zy x -=∂∂，（7分）则012=-=∂∂+∂∂y x ye y xe y z y x z x y xy x （3分） 3、 证明：令t x -=π⎰⎰⎰⎰-=---=πππππππ0)(sin )(sin ))(sin()()(sin dt t tf dt t f dt t f t dx x xf 得证（7分）8cos 1sin 2cos 1sin 20202ππππ=+=+⎰⎰dx xx dx x x x （3分）。
大一各科考试题及答案解析
大一各科考试题及答案解析一、数学分析1. 极限的概念与计算题目：求极限lim(x→0) (sin(x)/x)。
答案：根据极限的性质，我们知道当x趋近于0时，sin(x)/x的极限等于1。
解析：此题考查了极限的基本性质和计算方法。
根据洛必达法则，我们可以将极限转化为lim(x→0) (cos(x)/1)，由于cos(0)=1，所以极限结果为1。
二、线性代数2. 矩阵的运算题目：计算矩阵A和矩阵B的乘积，其中A=[1 2; 3 4]，B=[5 6; 7 8]。
答案：AB=[19 22; 43 50]。
解析：矩阵乘法遵循行列相乘的规则，即AB的第i行第j列元素是A 的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。
具体计算如下：AB的第一行第一列元素为1*5+2*7=19；AB的第一行第二列元素为1*6+2*8=22；AB的第二行第一列元素为3*5+4*7=43；AB的第二行第二列元素为3*6+4*8=50。
三、大学物理3. 牛顿第二定律的应用题目：一个质量为m的物体在水平面上受到一个大小为F的水平拉力作用，求物体的加速度。
答案：物体的加速度a=F/m。
解析：根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度，即F=ma。
因此，物体的加速度a可以通过力F除以质量m得到，即a=F/m。
四、大学英语4. 阅读理解题目：阅读以下段落，并回答以下问题：What is the main idea of the passage?段落：In recent years, the number of people using mobile phones has increased dramatically. This has led to a surge in the demand for mobile applications. As a result, many companies are now investing heavily in the development of new apps to meet this growing demand.答案：The main idea of the passage is the increase in mobile phone usage leading to a higher demand for mobile applications.解析：本题考查了对段落主旨的理解。
大学数学分析试题及答案
大学数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在区间(a, b)内一定有最大值和最小值B. f(x)在区间(a, b)内一定有界C. f(x)在区间(a, b)内不一定有界D. f(x)在区间(a, b)内一定单调答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2+3D. -3x^2+3答案：A4. 函数y=e^x的导数是：A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. 1/e^x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。
答案：函数f(x)在点x=a处的导数2. 设函数f(x)=x^2+2x+1，则f(2)的值为______。
答案：93. 若序列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_5的值为______。
答案：334. 函数y=ln(x)的定义域是______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题15分，共60分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1, 4]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)=x^2-4x+3的导数为f'(x)=2x-4。
令f'(x)=0，解得x=2。
在区间[1, 2)上，f'(x)<0，函数单调递减；在区间(2, 4]上，f'(x)>0，函数单调递增。
因此，最小值为f(2)=-1，最大值为f(1)=0或f(4)=3。
2. 计算极限lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1)。
答案：lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1) = (0+0+2)/(0-0+1) = 2。
数学分析-练习题-反常积分
第十章反常积分 单元测验一、填空题(每小题2分，共10分)1、无穷积分2048dx x x +∞=++⎰2、反常积分2ln e dx x x +∞=⋅⎰ 3、已知202x edx +∞−=⎰，则0x −+∞=⎰ 4、暇积分21=⎰ 5、反常积分2211sin dx x xπ+∞⋅⎰是 (收敛或发散)的.二、选择题(每小题2分，共10分)1、下列反常积分收敛的是( ) A ln e x dx x +∞⎰B e +∞⎰ln e dx x x +∞⎰D e +∞⎰ 2、无穷积分1+∞=⎰( ) A 2e B -2eC 2eD -2e 3、下列反常积分发散的是( ) A 111sin dx x −⎰B 1−⎰C 20x e dx +∞−⎰D 221ln dx x x +∞⎰ 4、无穷积分220(1)x dx x +∞=+⎰( ) A 2 B 1 C12 D 14 5、已知无穷积分201()121Cx dx x x +∞−++⎰收敛，其中C 为常数，则C 的值为( ) A13 B 12C 1D 2三、计算题(每小题7分，共35分)1、已知2lim x c t x x c te dt x c −∞→∞+⎛⎫= ⎪−⎝⎭⎰，求c 的值. 2、判断积分111ln(1)1dx x x +∞⎡⎤+−⎢⎥+⎣⎦⎰的敛散性. 3、已知积分0sin ,2x dx x π+∞=⎰ 计算20sin x dx x +∞⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰4、计算10⎰ 5、判断+4∞⎰的敛散性. 6、sin 0sin 2xx e dx x λ∞⎰ 7、讨论()10ln p dxx x ⎰敛散性四、证明题(第1小题7分，第二小题8分，第3题10分，第4小题10分)1. 设()d a f x x +∞⎰收敛。
证明：（1） 若极限lim ()x f x →+∞存在，则lim ()0x f x →+∞=（2） 若f 在[,)a +∞上单调，则lim ()0x f x →+∞= 2. 证明：若()d a f x x +∞⎰收敛，且f 在[,)a +∞上一致连续，则必有lim ()0x f x →+∞=。
(完整word版)数学分析复习题及答案(word文档良心出品)
数学分析复习题及答案一.单项选择题1. 已知, 则=（）A. B. C. D.2. 设, 则（）A. B. C. D.3. （）A. B. C. D.4. 下列函数在内单调增加的是（）A. B. C. D.二、填空题1. 设函数2.3．在处连续, 则三、判断题1. 若函数在区间上连续, 则在上一致连续。
（）2. 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。
（）3．设为定义在上的单调有界函数, 则右极限存在。
（）四、名词解释1. 用的语言叙述函数极限的定义2. 用的语言叙述数列极限的定义五、计算题1. 根据第四题第1小题证明2. 根据第四题第2小题证明3. 设, 求证存在, 并求其值。
4．证明：在上一致连续, 但在上不一致连续。
5. 证明: 若存在, 则6. 证明: 若函数在连续, 则与也在连续, 问: 若在或在上连续, 那么在上是否必连续。
一、1.D 2.C 3.B 4.C二、1. 2. 3.三、1.× 2.√ 3.√四、1.函数极限定义: 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数。
, , 当时, , 则。
2.数列极限定义：设为数列, 为定数, , , 当时, 有, 则称数列收敛于。
五、1.证明:, , 当时, ；得证。
2.证明:令, 则, 此时, ,, , 当时,3.证明：⑴，⑵)1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而, 由数学归纳法可知, 单调增加。
综合⑴, ⑵可知存在,设, 则由解得=A 215+（负数舍去）4.证明: 先证在上一致连续。
, 取, 则当且有时, 有 []δ•''+'≤''-'''+'=''-'x x x x x x x f x f ))(()()(εε<+⋅++≤)(2)1(2b a b a故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。
数学分析(上)_习题集(含答案)
《数学分析（上）》课程习题集一、单选题1. 设)(x f 在D 内有界，并且0)(>x f ，则（ ）（A ）0)(inf >x f （B ）{}0)(inf ≥x f （C ）{}0)(inf =x f（D ）A 、B 、C 都不对2. 函数][)(x x f =在97.3-的值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）3-（D ）4-3. 函数1sin )1()(--=x x xx x f ，则0=x 是)(x f 的（ ）（A ）连续点 （B ）可去间断点（C ）跃度非0的第一类间断点 （D ）第二类间断点4. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f 在0=x 处的导数为（ ） （A ）1-（B ）0 （C ）1 （D ）不存在5. 当x ∆充分小，0)('≠x f 时，函数的改变量y ∆与微分y d 的关系是（ ）（A ）y y d =∆（B ）y y d <∆（C ）y y d >∆（D ）y y d ≈∆6. 与x y 2=相同的函数有（ ）（A ）x y 210lg = （B ）x y 2lg 10= （C ）)sin(arcsin 2x y =（D ）xy 211=（E ）2)2(x y =7. 设数列}{n x 单调有界，则其极限（ ）（A ）是上确界（B ）是下确界（C ）可能是上确界也可能是下确界 （D ）不是上、下确界8. 当0→x 时，下列变量为等价无穷小量的是（ ）（A ）)1ln(x +与x ； （B ）x cos 1-与2x ； （C ）x+11与x -1 ； （D ）11-+x 与x9. 下面哪个极限值为0（ ）（A ）x x x 1sin lim ∞→ （B ）x x x sin lim ∞→ （C ）x x x 1sinlim0→ （D ）x x x sin lim 0→ 10. 函数)(x f 连续（ ）（A ）必可导（B ）是)(x f 可导的充分条件（C ）是)(x f 可导的必要条件 （D ）是)(x f 可导的充要条件11. 函数)1ln(2x x y ++=是（ ）（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）奇、偶函数12. 给数列}{n x ，若在),(εε+-a a 内有无穷多个数列的点，（其中ε为一取定的正数），则（ ）（A ）数列}{n x 必有极限，但不一定等于a （B ）数列}{n x 极限存在且一定等于a （C ）数列}{n x 的极限不一定存在 （D ）数列}{n x 的极限一定不存在13. 设⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x ，要使)(x f 在0=x 处连续，则a =（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-14. 设)(x f 是连续函数，)(x F 是)(x f 的原函数，则下列结论正确的是（ ）（A ）当)(x f 是奇函数时，)(x F 必是偶函数 （B ）当)(x f 是偶函数时，)(x F 必是奇函数 （C ）当)(x f 是周期函数时，)(x F 必是周期函数 （D ）当)(x f 是单调增函数时，)(x F 必是单调增函数15. 设⎰-=xdt t x f cos 102sin )(，65)(65x x x g +=，则当0→x 时)(x f 是)(x g 的（ ）（A ）低阶无穷小（B ）高阶无穷小（C ）等价无穷小 （D ）同阶但非等价无穷小16. 设点a 是)(x f 的连续点，是)(x g 的第一类间断点，则点a 是函数)()(x g x f +的（ ）（A ）连续点 （B ）可能是连续点，亦可能是间断点（C ）第一类间断点 （D ）可能是第一类间断点，亦可能是第二类间断点17. 下列函数相同的是（ ）（A ）xxx f =)(与1)(=x g （B ）x x f lg 2)(=与2lg )(x x g =（C ）x x f 2)(π=与)arccos (arcsin )(x x x x g +=（D ）x x f =)(与2)(x x g = （E ）11)(24+-=x x x f 与1)(2-=x x g18. 设⎰-=xa dt t f ax x x F )()(2，其中)(x f 为连续函数，则=→)(lim x F a x （ ） （A ）2a （B ）)(2a f a（C ）0 （D ）不存在19. 若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（ ）（A ） 1+x sin（B ）1-x sin （C ）1+x cos（D ）1-x cos20. 设数列0)(lim =∞→n n n n n y x y x 满足与，则下列断言正确的是（ ）（A ）若n x 发散，则n y 必发散 （B ）若n x 无界，则n y 必有界； （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小 （D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小 21. 设[x]表示不超过x 的最大整数，则][x x y -=是（ ）（A ）无界函数 （B ）周期为1的周期函数 （C ）单调函数（D ）偶函数22. 当0→x 时，下列4个无穷小量中比其它3个更高阶的无穷小量是（ ）（A ）)1ln(x + （B ）1-xe （C ）x x sin tan -（D ）x cos 1-23. 设及)(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →均存在，则)()(limx g x f x x →（ ） （A ）存在 （B ）存在但非零 （C ）不存在 （D ）不一定存在24. 若))(()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在)0,(-∞内,0)(>'x f 且0)(<''x f 。
大学数学分析题题库
大学数学分析题题库题目一：极限与连续性1. 计算下列极限：(a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{4x}$(b) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$(c) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$2. 判断函数在给定点或区间内的连续性：(a) 函数$f(x) = \sqrt{x}$在$x=0$处是否连续？(b) 函数$g(x) = \frac{1}{x}$在区间$(1, 2)$内是否连续？(c) 函数$h(x) = \begin{cases} x, & x < 1 \\ 2, & x \geq 1 \end{cases}$在$x=1$处是否连续？题目二：微分学基础1. 计算下列函数的导数：(a) $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$(b) $g(x) = \sin(x) + \cos(x)$(c) $h(x) = e^x \cdot \ln(x)$2. 判断函数在给定点处的可导性：(a) 函数$f(x) = |x|$在$x=0$处是否可导？(b) 函数$g(x) = \sqrt[3]{x}$在$x=8$处是否可导？题目三：积分与面积1. 计算下列定积分：(a) $\int_{0}^{1} x^2 \, dx$(b) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x) \, dx$(c) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$2. 计算两个曲线之间的面积：(a) 曲线$y = x^2$与$x$轴所围成的面积；(b) 曲线$y = \sin(x)$与$y = \cos(x)$在区间$[0, \pi/2]$内所围成的面积。
题目四：级数与收敛性1. 判断下列级数的敛散性：(a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$(b) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$(c) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$2. 判断函数项级数的一致收敛性：(a) 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$在区间$[0,\pi]$上是否一致收敛？(b) 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n}$在区间$(-\infty, \infty)$上是否一致收敛？总结：数学分析题库涵盖了极限与连续性、微分学、积分与面积以及级数与收敛性等重要概念和技巧。
华东师范大学大一数学分析期末考试题
学院： 数学与计算机科学学院 适用班级：
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九
分数
总分
评卷人
一、填空题（每空 2 分，共 20 分）
1、函数 f (x) ln 1 x 的定义域是 1 x
2、 lim sin 5x x0 3x
第
1
3、 lim
n
1n
4、若 f 可导，且 y f (2x), 则 dy =
f (x h) f (x) f (h) 2hx ，则 f (x)
A、 2x 1
B、 x 1
C、 x
D、 e x
12、设 f (x) (1 x)(2 x)(3 x)(100 x) ，则 f (3)
A、 （97！） B、97！ C、 2·（97！）
D、2·（97！）
13、设 lim f (x) 为未定型，则 lim f (x) 存在是 lim f (x) 也存在的
五、综合题（15 分）
21、讨论函数
f
(x)
x 1 x2
的性态，并作图Βιβλιοθήκη 学号班级专业
C、 f (x) 在 x 0的左右极限存在但不相等 D、 f (x) 在 x 0的左右极限不存在
页
n n 1
5、设 f (x) 在 x0 点可导，且在 x0 点取极大值，则 f (x0 ) =
6、函数 y x3 3x 2 6x 9 的凸区间为
，凹区间为
7、利用微分进行近似计算， 3 1.02
8、设
f
(x)
ex,
x 0 ，在 x 0 点可微，则 a
， b
共
ax b, x 0
17、已知 y ln(arccos 1 ) 求 y x
数学分析期末复习题
数学分析(三)复习题一、计算题1．求二重极限yx x ay x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+211lim ；2．求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角； 3．求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。
4．求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。
5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。
6．求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。
7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。
8．求函数z=x 2+(y-1)2的极值。
9. 设u(x,y)=e 3x-y ，x 2+y=t 2，x-y=t+2，求=t dtdu 。
10．求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。
11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ，求f 在(1,0,1)点沿方向C=(2,-2,1)的方向导数。
12．求函数u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。
13. 求函数u=x 2+y 2-z 2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。
14．在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。
15．设函数f(x,y,z)=cos 2(xy)+2zy，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。
16． 求函数z=arctg xy在位于圆x 2+y 2-2x=0上一点(21,23)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角α的范围为：0≤α<π）。
17. 设数量场u=222zy x z ++，试求：（1）gradu ；（2）在域1<z<2内，inf|gradu|，及sup|gradu|。