重庆中考数学第题几何专题训练

G

F E

D

C

B

A

M 证明题

1.如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ．在△ABC 外有一点F ，使FA ⊥AE ，FC ⊥BC ． （1）求证：BE=CF ；

（2）在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME ． 求证：①ME ⊥BC ；②DE=DN ．

2.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD ⊥AB 交BE 的延长线于点D ，CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF ＝∠CBG 。 求证：（1）AF ＝CG ；

（2）CF ＝2DE

3.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，AE=CF ，连接EF ，

BF ，EF 与对角线AC 交于O 点，且BE=BF ，∠BEF=2∠BAC 。 （1）求证：OE=OF ；

（2）若BC=23，求AB 的长。

4.已知，如图，在?ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=CD ，点F 为CE 的中

点，点G 为CD 上的一点，连接DF 、EG 、AG ，∠1=∠2． （1）若CF=2，AE=3，求BE 的长； （2）求证：∠CEG=∠AGE ．

5.如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E 角平分线上一点，过点E 作AE 的垂线，过点A 作AB 的线段，两垂线交于点D ，连接DB ，点F 是BD 的中点，DH ⊥AC ，垂足为H ，连接EF ，HF 。 （1）如图1，若点H 是AC 的中点，AC=23AB ，BD 的长。

（2）如图1，求证：HF=EF 。

（3）如图2，连接CF ，CE ，猜想：△CEF 是否是等边三角形若是，请证明；若不是，请说明理由。 6.如图1，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连结BE ． （1）若AF 是△ABE 的中线，且AF ＝5，AE ＝6，连结DF ，求DF 的长； （2）若AF 是△ABE 的高，延长AF 交BC 于点G ．

①如图2，若点E 是AC 边的中点，连结EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ；

②如图3，若点E 是AC 边上的动点，连结DF ．当点E 在AC 边上(不含端点)运动时，∠DFG 的大小是否改变，如果不变，请求出∠DFG 的度数；如果要变，请说明理由．

7.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，点D 是线段BC 的中点，∠EDF=120°，DE 与线段AB 相交于点E ，DF 与线段AC （或AC 的延长线）相交于点F.

（1）如图1，若DF ⊥AC ，垂足为F ，AB=4，求BE 的长； （2）如图2，将（1）中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 扔与线段AC 相交于点F.求证：1

CF 2BE AB +=； （3）如图3，将（2）中的∠EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交与点F ，作DN ⊥AC 于点N ，若DN=FN ，求证：3()BE CF BE CF +=

-.

8.已知在四边形ABCD 中，180ABC ADC ∠+∠=?，AB =BC .

（1）如图1，若90BAD ∠=?，AD =2，求CD 的长度；

A

B F D

C E 25题图1 B A

F

D C E

G 25题图2 A

B F D

C E G 25题图3

图1 图2 图3 A

E

O

C B

（2） 如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ =AP +CQ ，求证：1

902

PBQ ADC ∠=?-

∠； （3）如图3，若点Q 运动到DC 的延长线上，点P 也运动到DA 的延长线上时，仍然满足PQ =AP +CQ ，则（2）中的结论是否成立若成立，请给出证明过程，若不成立，请写出PBQ ∠与ADC ∠的数量关系，并给出证明过程. 9.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，E 是对角线AC 上任意一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF =AE ，连接BE 、

EF ．

（

1）如图1，当E 是线段AC 的中点，且AB =2时，求△ABC 的面积； （2）如图2，当点E 不是线段AC 的中点时，求证：BE =EF ；

（3）如图3，当点E 是线段AC 延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

10.如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，若点E 在AB 的延长线上，EF ∥AD ，EF=BE ，点P 是DE 的中点，连接FP 并延长交AD 于点G ．

（1）过D 作DH ⊥AB,垂足为H ，若DH=23，BE=

1

4

AB,求DG 的长； （2）连接CP ，求证：CP ⊥FP ；

（3）如图2，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，若点E 在CB 的延长线上运动，点F 在AB 的延长线上运动，且BE=BF ，连接DE,点P 为DE 的中点，连接FP 、CP

，那么第（2）问的结论成立吗若成立，求出PF

CP

的值；若不成立，请说明理由．

11.如图1，ABC 中，BE AC ⊥于点E ，AD ⊥于点D ，连接DE . （1）若AB BC =，1DE =，3BE =，求ABC ?的周长；

（2）如图2，若AB BC =，AD BD =，ADB

∠的角平分线DF 交BE 于点F ，求证：2BF DE =； （3）如图3，若AB BC ≠，AD BD =，将ADC ?沿着AC 翻折得到AGC ?，连接DG 、EG ，请猜想线段AE 、

BE 、DG 之间的数量关系，并证明你的结论。 12.如图，在等腰R t △ABC 中，O 为斜边AC 的中点，连接BO ，以AB 为斜边向三角形内部作R t △ABE, 且∠AEB=90°，连接EO.

求证：（1）∠OAE=∠OBE; （2）AE=BE+2OE.

13.张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点P 为边BC 上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ． 求证：PD+PE=CF ．

小军的证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD+PE=CF ． 小俊的证明思路是：如图2，过点P 作PG ⊥CF ，垂足为G ，可以证得：PD=GF ，PE=CG ，则PD+PE=CF ． 【变式探究】如图3，当点P 在BC 延长线上时，其余条件不变，求证：PD ﹣PE=CF ； 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

【结论运用】如图4，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；

图1 D

A B C A

D

C P

Q

图2

A

D

B

C

P

Q

图3 A

B C

D H P F G

第25题图1 A B C D

P

F 第25题图2

E G ’

A

E

O

C

B

M

H G

B F E

D

C

A

【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD 中，E 为AB 边上的一点，ED ⊥AD ，EC ⊥CB ，垂足分别为D 、C ，且AD?CE=DE?BC ，AB=213dm ，AD=3dm ，BD=37dm ．M 、N 分别为AE 、BE 的中点，连接DM 、CN ，求△DEM 与△CEN 的周长之和． 14.

15.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AB 上两点，且BE=BF ，过点B 作AE 的垂线交AC 于点G ，过点G 作CF

的垂线交BC 于点H ，延长线段AE 、GH 交于点M. （1）求证：∠BFC=∠BEA ； （2）求证：AM=BG+GM.

16.某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

（1）如图1所示，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ， 求证： ①AF ＝AG ＝

2

1

AB ；②MD ＝ME ； （2）在任意△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，试判断△MDE 的形状（直接写答案，不需要写过程）

（3）在任意△ABC 中，仍分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，则MD 与ME 有怎样的数量关系 17.

18.

19.如图，在等腰R t △ABC 中，O 为斜边AC 的中点，连接BO ，以AB 为斜边向三角形内部作R t △ABE, 且∠AEB=90°，连接EO.

求证：（1）∠OAE=∠OBE;（2）AE=BE+2OE.

2o.如图，已知，∠BAC ＝90o ，AB ＝AC ，B D 是∠ABC 的平分线，且CE ⊥BD 交BD 延长线于点E 。 （1），若AD ＝1，求DC ； （2）求证：BD ＝2CE

21.如图所示，△ABC 中，AB AC =,∠BAC =90°, AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，△CDE 沿直

I .

线BC 翻折到△CDF ，连结AF 交BE 、DE 、DC 分别于点G 、H 、（1）求证：AF ⊥BE ； （2）求证：3AD DI =.

22.已知平行四边形ABCD 中，G 为BC 中点，

点E 在AD 边上，且

21∠=∠．

(1)求证：E 是AD 中点；

足23∠=∠，求证：

(2)若F 为CD 延长线上一点，连接BF ，且满CD=BF+DF ． 23.

24.如图1，ABC ?中，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，连接DE .

I

H

G F

E

D

B

C

A

（1）若AB BC =，1DE =，3BE =，求ABC ?的周长；

（2）如图2，若AB BC =，AD BD =，ADB ∠的角平分线DF 交BE 于点F ，求证：2BF DE =

；

（3）如图3，若AB BC ≠，AD BD =，将ADC ?沿着AC 翻折得到AGC ?，连接DG 、EG ，请猜想线段AE 、BE 、DG 之间的数量关系，并证明你的结论。

25.我们知道平行四边形有很多性质。现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折。会发现这其

中还有更多的结论，如图，已知平行四边形ABCD 中，∠B ＝30o ，

AB BC ≠，将△ABC 沿AC 翻折至AB C '?，连接B D '。 【发现与证明】：如图1：求证：①△AGC 是等腰三角形；

②B D AC '∥（只选一个证明哟，4分）

【应用与解答】：如图2：如果AB ＝23，BC ＝1，AB '与CD 相交于点E ，求△AEC 的面积 【拓展与探索】如果AB ＝23，当BC 的长为多少时，△AB′D 是直角三角形（4分）

26.在菱形ABCD 和正三角形BGF 中，∠ABC=60°，P 是DF 的中点，连接PG 、PC ． （1）如图1，当点G 在BC 边上时，若AB=10，BF=4，求PG 的长；

（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段PC 、PG 有怎样的数量关系，写出你的猜想；并给予证明. （3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，(2)问中关系还成立吗写出你的猜想，并给予证明.

在菱形ABCD 中，A ∠=60°，以D 为顶点作等边三角形DEF ，连接EC ，点N P 、分别为EC 、BC 的中点，连接NP . （1）如图1，若点E 在DP 上，EF 与CD 交于点M ，连接MN ，3=CE ,求MN 的长； （2）如图2，若M 为EF 中点，求证：MN PN =；

（3）如图3，若四边形ABCD 为平行四边形,且A DBC ∠=∠≠60°,以D 为顶点作三角形DEF ，满足DE DF

=且EDF ABD ∠=∠,M N P 、、仍分别为EF 、EC 、BC 的中点，请探究ABD ∠与MNP ∠的和是否为一个定值，并证明你的结论.

27.

28.如图1，正方菜ABCD 中，AC 是对角线，等腰Rt ΔCMN 中，∠CMN=900，CM=MN ，点M 在CD 边上；连接AN ，点E 是AN 的中点，连接BE 。

（1）若CM=2，AB=6，求AE 的值； （2）求证：2BE=AC+CN ；

（3）当等腰Rt ΔCMN 的点M 落在正方形ABCD 的BC 边上，如图2，连接AN ，点E 是AN 的中点，连接BE ，延长NM 交AC 于点F 。请探究线段BE 、AC 、CN 的数量关系，并证明你的结论。

29.如图，正方形ABCD 的边长为6, 点E 在边AB 上，过点D 作FD ⊥DE ，并与BC 的延长线相交于点F ，EF 与边CD

相交于点G 、与对角线BD 相交于点H ．

(1)若BF ＝BD ，求BE 的长；

(2)若∠ADE ＝2∠BFE ,求证：HF ＝HE ＋HD ．

30.如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，且AE=DF ，AF=CD ，连接线段CE 、EF 、CF ．点G 是线段CE

的中点，点M 是线段EF 上一点，过点G 作GN ⊥GM ，将CF 于点N ．

（1）求证：△AEF ≌△DFC ；

A

B C D G F P A A B B C C D D G G F F

P

P

图1 图2 图3 第25题图

24题图

A D

E G

H

（2）求证：ME=NF ．

31.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，点F 是CB 延长线上一点，连接EF 交AB 于点G ，且DE=BF ．AE 的垂直平分线MN 交AE 于点N 、交EF 于点M ．若∠AFG=2∠BFG=45°，AF=2． （1）求证：AF=CE ； （2）求△CEF 的面积． 32.

33.如图，△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90?，D 为△ABC 外一点，且AD ⊥BD ，BD 交AC 于E ，G 为BC 上一点，且∠BCG ＝∠

DCA ，过G 点作GH ⊥CG 交CB 于H ． （1）求证：CD ＝CG ；

（2）若AD ＝CG ，求证：AB ＝AC ＋BH ． 34.已知如图，在菱形ABCD 中，CO ⊥BD ，垂足为点O ，E 为BC 上一点，F 为AD 延长线上一点，EF 交CD 于点G ，EG ＝FG ＝DG ，连接OE 、OF 。

(1)若DG ＝5，OC ＝8，求BD 的长； (2)求证： 1

902

OFG BEF ∠=-

∠o

35.已知，如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=o

，点D 为AB 中点，连接CD 。点E 为边AC 上一点，过点E 作//EF AB ，交CD 于点F ，连接EB ，取EB 的中点G ，连接DG 、FG 。 （1）求证：EF CF =；（2）求证：FG DG ⊥。 36. 37. 38. 25.

26. 如图1，在正方形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，将ABE ?沿AE 翻折得AHE ?，延长EH 交边CD 于F ，连接AF 。

（1）求证：45EAF ∠=o ；

（2）若4,AB F CD =为的中点，求tan BAE ∠的值；

（3）如图2，射线AE 、AF 分别交正方形两个外角的平分线于M 、N ，连接MN ，若以BM 、DN 、MN 为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论。

25.27. 如图1，矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，把矩形沿直线AC 折叠，使 点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE ．

（1）求证：△ADF ≌ △CEF ； （2）求DF 的值；

（3）如图2，若P 为线段EC 上一动点，过点P 作△AEC 的内接矩形，使其定点Q 落在线段AE 上，定点

M 、N 落在线段AC 上，当线段PE 的长为何值时，矩形PQMN 的面积最大

26.如图，点E 为正方形ABCD 的边BC 所在直线上的一点，连接AE ，过点C 作CF ⊥AE 于F ．

连接BF. (1)如图l ，当点E 在CB 的延长线上，且AC=EC 时，求证：BF=

2

1

AE ； (2)如图2，当点E 在线段BC 上。且AE 平分BAC ∠时，求证：AB+BE=AC ；

(3)如图3，当点E 继续往右运动到BC 中点时，过点D 作DH ⊥AE 于H ，连接BH ， 求证：?=∠45BHF ．

27. 在ABC V 中，AB AC =，点D ，点E 在边BC 上不同的两点，且75ADE ∠=?。 （1）如图1，若90BAC ∠=?，2CD =

，求BC 的长。

E F G

O

A

D

C

B

（2）如图2，若90BAC ∠=?，45EAD ∠=?，求证：3DC BE =

（3）如图3，若120BAC ∠=?，60EAD ∠=?，请问（2）中的结论还成立吗若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.

图1 图2 图3

28. 如图1，△ABC 是等腰直角三角形，AC=BC ，∠ACB=90°，直线l 经过点C ，AF ⊥l 于点F ， AE ⊥l 于点E ，点D 是AB 的中点，连接ED ． (1) 求证：△ACF ≌△CBE (2) 求证：AF=BE+2DE

(3) 如图2，将直线l 旋转到△ABC 的外部，其他条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，如果成立请说明理由，如果不成立AF 、BE 、DE 又满足怎样的关系并说明理由．

已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点做EF ⊥BD 交BC 于F,连接DF,G 为DF 中点,连接EG,CG 。 (1)求证：EG=CG;

(2)将图(1)中△BEF 绕B 点逆时针旋转45°,如图2所示,取DF 中点G,连接EG,CG,问1中的结论是否仍然成立请证明；若不成立，请说明理由。 （3）.将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应线段，问1中结论是否成立EG 是否垂直于CG （不要证明）