第三章 变异程度的统计描述
医学统计学符号-公式-重点
在偏态分布时，易受极值影响；
1. 当观察例数 n 为奇数时，中位
算术均数
数是按顺序排列在第(n+1)/2 项
算数均数（均数）：线性尺度上的 n 为偶数时，中位
几何均数及应用
数是按顺序排列在第 n/2 和
几何均数：对数尺度上的平均水
(n/2)+1 项观察值的平均值；
几何均数
中位数
均数尺度 适用
线性 对称分布
对数
对数正态分布 （指数、等比分布）
顺序 偏态分布
单侧 95%=双侧 90%=1.645 μ±σ：68%
正态分布及应用
μ±1.96σ：95%
正态分布有两个参数 和 ， 分别表示均数和标准差
μ±2.58σ：99% 二、医学参考值范围的制定方法
页脚内容7
医学统计学总结
平；
百分位数
1. 几何均数的对数等于各观察 百分位数 Px：指在一组数据中找
值对数的算术均数；
到这样一个数值，全部观察值的
页脚内容5
x%小于 Px ，其余(100-x)%大于 Px。
算术均数
几何均数
中位数
均数尺度 适用
线性
对数
对称分布
对数正态分布 （指数、等比分布）
顺序 偏态分布
医学统计学总结
定量：频数表/图
异
不同类型变异程度指标的比较
当μ=0,σ=1 时，称为标准正态
特点
极差
四分位数间距 方差和标准差
变异系数
特点
简单，粗略；不 稳定，受极端值
影响大
相对稳定；未使 用所有观察值
使用全部信息， 应用广泛
比较无量纲或多 组均数相差较大
数据
统计描述的概念
统计描述的概念
统计描述是通过指标或图表对数据进行总结、概括和分析的过程，旨在从大量数据中提取出有意义的信息。
主要包括以下几个概念：
1. 中心趋势：描述数据的集中程度，常用的指标包括均值、中位数和众数。
2. 变异程度：描述数据的不同程度，常用的指标包括方差、标准差和极差。
3. 偏态和峰度：用来描述数据分布的非对称性和峰态，常用的指标包括偏度和峰度。
4. 相关性：用来描述数据之间的关联性，常用的指标包括相关系数。
5. 分布形态：用来描述数据的整体分布特征，常用的图表包括直方图、箱线图和散点图等。
6. 置信区间：用来描述抽样数据的可靠程度，常用的指标包括置信度和置信区间。
统计描述是数据分析的基础，有助于深入了解数据的特征、发现数据之间的规律和趋势，为后续的数据建模和决策提供依据。
应用统计学(第三章 数据的描述性分析)
累积频率 Cumulative P
0.02 0.09 0.28 0.63
0.84 0.95 1.00
a.自然值进行分组，最大值17，最小值11 b.数据主要集中在14，向两侧分布逐渐减少
(3)计量数据
100例健康男子血清总胆固醇(mol/L)测定结果
4.77 3.37 6.14 3.95 3.56 4.23 4.31 4.71 5.69 4.12 4.56 4.37 5.39 6.30 5.21 7.22 5.54 3.93 5.21 6.51 5.18 5.77 4.79 5.12 5.20 5.10 4.70 4.74 3.50 4.69 4.38 4.89 6.25 5.32 4.50 4.63 3.61 4.44 4.43 4.25 4.03 5.85 4.09 3.35 4.08 4.49 5.30 4.97 3.18 3.97 5.16 5.10 5.85 4.79 5.34 4.24 4.32 4.77 6.36 6.38 4.88 5.55 3.04 4.55 3.35 4.87 4.17 5.85 5.16 5.09 4.52 4.38 4.31 4.58 5.72 6.55 4.76 4.61 4.17 4.03 4.47 3.40 3.91 2.70 4.60 4.09 5.96 5.48 4.40 4.55 5.38 3.89 4.60 4.47 3.64 4.34 5.18 6.14 3.24 4.90
15
21
0.21
0.84
16
11
0.11
0.95
17
5
0.05
1.00
表 2-2 100只梅花鸡每月产蛋数次数分布表
每月产蛋数
11 12 13 14 15 16 17
第3章 平均数、标准差与变异系数
C V S 100 % x
（3—15）
变异系数的大小，同时受平均数和标准差两个统计 量的影响，因而在利用变异系数表示资料的变异程 度时，最好将平均数和标准差也列出。
用 途
统计学：比较不同样本资料的相对变异程度
食品科学：在空白试验时，可作为基础试验条件差
( xi x ) 0
i 1
n
或简写成
(x
x) 0
2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，
即离均差平方和为最小。
(x - x )2
i
i 1
n
(xi- a)2 （常数a≠ x ） 或简写为： ( x x ) < ( x )
<
i 1
2
n
2
对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限 总体的平均数为：
先将各个离均差平方，即(x x )2 ，再求 离均差平方和 ，
2 即 ( x x )，简称平方和，记为 SS； 由于离差平方和常随样 本
大小而改变 ，为了消除样本大小的影响，用平方和除以样本 大 小，即
( x x ) 2 / n，求出离均差平方和的平均数。
用观测值的个数除离均差平方和得到的平均平方和， 简称为均方（mean square, MS）或方差。 相应的总体参数叫 总体方差 ，记为σ2。对于有限总 体而言，σ2的计算公式为：
337.3
343.2 346.0 344.0
345.3
347.0 345.6 350.0
358.2
340.2 346.2 335.1
341.0
343.3 342.3 339.5
346.8
第3章 平均数、标准差与变异系数
复习题
试分别写出样本平均数、方差和标准差的统计量及参数 符号. 试写出平均数、方差、标准差、几何平均数、变异系数 的计算公式. 平方和的计算公式有-----、-------和-------。 已知∑xi2=45180，平均值=67，n=10，则其方差和标准 差分别为------和------ 。 已知样本平方和为360，样本容量为10，则其标准差等 于-------。
S
x ( x ) / n
2 2
n 1
2955000 5400 / 10
2
10 1
65.828
三、标准差的特性
1、各观测值间变异大，标准差也大，反之则小。 2、各观测值加或减一个常数，其标准差值不变。 3、每观测值乘或除一个常数a，则标准差是原来的
a倍或1/a倍。
Excel计算统计量
二、几何平均数
使用（适用）条件； 定义； 计算方法； 实例。
一、几何平均数适用条件
呈倍数关系或偏态分布的资料，描述
其集中性时可用几何平均数表示。
如畜禽 、水产养殖的增长率，抗体的滴度，药 物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，可用几何平均 数表示其平均水平。
2、几何平均数定义
n个观测值相乘之积开n次方所得的方根， 称为几何平均数，记为G。
S
x
2
(
x)
2
n
n 1
6、
测定北京肉鸭周龄(x)与体重(g , y)如下:
周龄：0 1 2 3 4 5 体重 48.5 206 535 969 1467 1975 相对数： 4.25 2.60 1.81 1.51 1.35
试求其周平均生长速度。
方积乾《卫生统计学》1绪论和统计描述
在解释统计分析的结果以及下结论时, 务必对“因果”二字慎之又慎。
5. 设计与分析 统计学方面的设计 (design)是医药卫生科研设计 不可或缺的部分。 设计不仅要符合统计学原则，运用统计学方法 和技术，而且，在设计的时候要明确日后用什 么统计方法处理数据。 只有明确了设计的样式和分析的方法才得以进 一步考虑数据应当如何收集、样本量应当多大。
第一节 频率分布表与频率分布图
频数分布表（frequency distribution table） 又称频数表
1. 离散型定量变量的频数分布 例2-1 1998年某山区96名孕妇产前检查次数资 料如下： 0， 3， 2， 0， 1， 5， 6， 3， 2， 4， 1， 0， 6， 5，1，3，3，…，4，7
G X 1 X 2 ... X n
n
G log
1
log X ( ) n
例2-5 7名慢性迁延性肝炎患者的HBsAg滴度资料 为1:16，1:32，1:32，1:64， 1:64，1:128，1:512。试 计算其几何均数。 G 7 16 32 32 64 64 128 512 64
学习目的与方法
（1）统计思维享用一生 （2）理解概念是首位 （3）重在理解和解释结果 （4）电脑实验 （5）考试 * 笔试：理论、方法 不记公式，无数学推导，无复杂计算 * 上机考试：已做过的电脑实验； 不编程序
第二章 定量变量的统计描述
统计描述
----从数据中获取知识最直观的方法
把握数据的基本特征 为统计分析打下基础 统计表、统计图 描述性统计量
1 * * M (X n X n ) 1 2 2 2
2
百分位数（percentile） PX
描述变异程度的统计学指标
描述变异程度的统计学指标《描述变异程度的统计学指标》概述：描述变异程度的统计学指标是用于衡量数据集内部差异的一组统计量。
这些指标帮助我们了解数据的分散程度，用以描述数据的变异程度及其稳定性。
本文将介绍几种常见的用于描述变异程度的统计学指标。
1. 平均数（Mean）：平均数是最常用的描述变异程度的指标之一。
计算方式是将所有数据值相加，然后除以数据的个数。
平均数能够提供数据集的集中趋势，但在面对异常值时容易受到干扰。
2. 方差（Variance）：方差是衡量数据集内部差异的另一个重要指标。
方差计算时首先求出每个数据值与平均数之差的平方，并将这些差值的平均数作为方差值。
方差值越大，表示数据集内部的差异程度越大。
3. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，它衡量数据集内部差异的一种常用指标。
标准差值越大，表示数据集内部的差异越大。
与方差相比，标准差更易于理解，并且在数据分析中更常用。
4. 极差（Range）：极差是变异程度的一种简单度量，它是数据集中最大值与最小值之间的差异。
极差提供了数据集取值范围的信息，但它忽略了数据值的分布情况。
5. 百分位数（Percentiles）：百分位数是描述变异程度的有用工具，它将数据集分成100个等分。
例如，第50百分位数（中位数）将数据集划分为两个等分，分别包含50%的数据。
分析不同百分位数之间的差异可以提供关于数据分布的更详细信息。
6. 四分位数（Quartiles）：四分位数是将数据集划分为四等分的百分位数，其提供了数据集分布的更多信息。
第一四分位数将数据集划分为四个等分中的第一个，包含25%的数据，第三四分位数划分为四个等分中的第三个，包含75%的数据。
四分位数可以用来检测数据集中的异常值。
结论：描述变异程度的统计学指标提供了深入了解数据集内部差异程度的方法。
通过求取平均数、方差、标准差、极差、百分位数和四分位数等指标，我们可以更好地理解数据的变异程度及其稳定性。
第三章 统计学教案(分布的数字特征)
第三章统计分布的数值特征只知道什么是统计分布是不够的，还必须学会对其进行量化描述。
描述统计分布的重要的特征值有两个，一个是说明其集中趋势的平均指标，另一个是说明其离散程度的变异指标。
这一对矛盾的指标分别从不同角度反映了统计分布的分布特点，它们相辅相成，相互补充，缺一不可。
本章着重就这两个指标展开讨论，介绍了它们的理论、方法与应用，充分理解掌握本章的内容，对于以后各章节的学习尤为重要。
本章的目的与要求通过本章学习，要求学生在了解总体分布的两个重要特征值就是平均指标与变异指标的前提下，着重掌握这两个指标的计算方法及其数学性质；明确反映集中趋势的各种平均指标的计算特点与作用、反映离散程度的各种变异指标的计算特点与作用；还要学会利用这两个特征值得各自数学性质，采用简捷法计算算术平均数和标准差，以提高计算效率；此外，算术、调和与几何平均数三者之间的关系，算术平均数与众数、中位数之间的关系等也是学生应充分理解掌握的内容。
本章主要内容（计划学时7 ）一、分布的集中趋势（1）——数值平均数1、算术平均数2、调和平均数3、几何平均数二、分布的集中趋势（2）——位置平均数1、众数2、中位数3、其他分位数三、分布的离中趋势——变异指标1、变异全距2、平均差3、标准差4、变异系数学习重点一、重点掌握各种平均数的特点、应用条件、应用范围和计算方法，及其相互之间的关系；二、了解变异指标的意义和作用，熟练掌握各种变异指标的计算方法，尤其应重点掌握标准差的计算与应用；三、理解掌握算术平均数与标准差的数学性质，并且能利用其数学性质进行简捷计算；四、明确平均指标与变异指标的相互关系及其运用原则。
学习难点一、各种平均指标的应用条件、运用范围，尤其是加权算术权数的选择；二、根据所掌握的资料，应选择算术平均或调和平均方法;三、标准差的理论依据及其计算方法，尤其是成数标准差的计算更是初学者不易掌握的问题。
第一节 分布的集中趋势（1）——数值平均数一、统计平均数1、反映总体分布的集中趋势2、反映统计数列所达到的一般水平（静态、动态）3、与强度相对数的区别 二、算术平均数（用A x 表示） （一）算术平均数的基本内容： 算术平均数＝总体单位总量总体标志总量（二）简单算术平均数nxnx x x x ni inA ∑==+++=121可简写为：nx x A∑=式中： x i 为变量值 n 是总体单位数 Σ为总和符号例3－1.1 从某味精厂的生产线上随机抽取了10包味精，测得每包净重分别为（单位：克）499 497 501 499 502 503 500 499 498 500 将此十个数据相加除以十就是算术平均数（结果为499.8克）。
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图3-2 正态分布曲线下的面积
-4
-3
-2
-1
01
1
2 2
2
3
3 4
3
5
6
7
1
图3-3
三种不同均值的正态分布
1
2
医学统计学
第三章 变异程度的统计描述
衡量变异程度的指标 正态分布及应用 医学参考值范围
例3.1 对甲乙两名高血压患者连续观察5
天，测得的收缩压(mmHg)结果如下：
患者 甲患者 乙患者 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 162 164 145 160 178 163 142 159 186 166 均数 162.6 162.4
变异系数
一、极差和四分位数间距
1、极差（range）
又称全距，即观察值中最大值与最小值之差。 用符号R表示。 R越大，说明资料离散程度越大。 如前例甲乙两患者收缩压的极差分别为：
优点： 简单明了，容易使用。如用于说明传 染病、食物中毒等的最短、最长潜伏期等。
缺点：
没有利用观察值中的全部信息，不稳定。
正态分布的特征
均数处最高，以均数为中心，左右对称
曲线下面积集中在以均值为中心的中心部分
曲线下的面积有一定规律
正态分布完全由参数μ和决定
.58 -5 2 -4
1 .96 -3 -2 -1
0
1 .96 2 1 3
4 2 .58 5
68 .3% 95 .0% 99 .0%
变异程度。 Q越大，说明资料变异程度越大。 第二章例2.4：
Q = P75 - P25 = 135.7–63.2 = 72.5mg/L
优点：与极差相比不易受极端值影响
缺点：仍然没有利用观察值中的全部信息，不稳定。
二、离均差平方和、方差、标准差和变异系数
平均偏差
离均差平方和 方差 标准差 变异系数
（一）平均偏差(Mean Difference)
1、概念： 将每个观察值与均数之差的绝对值相加，然后 取平均值称为平均偏差。 2、公式：
平均偏差越大，说明资料离散程度越大。
如对于例3.1： 甲患者：
乙患者：
缺点：由于使用绝对值，应用受到限制，实际
中很少用到。
（二）离均差平方和（Sum of Square，SS）
为了克服平均偏差的缺点，可以不通过取绝
为10.7mmHg；收缩压均数为122.9mmHg,标准差为 17.1mmHg。试比较舒张压和收缩压的变异程度。
第二节、正态分布及应用
正态分布 标准正态分布 正态分布应用
一、正态分布(Normal Distribution)
f ( X ) 1.2
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 3.8 4.2 4.6 5.0 5.4 5.8 X
对值，而是通过取平方来避 通常作为一个中间统计量使用。
（三）方差 (Variance) 方差是将离均差平方和再取平均，即
注意：对于样本资料，分母用的是n-1，称
为自由度(degree of freedom，df )。 方差的特点：便于数学上的处理，但由于 有平方，度量衡发生变化，不便于实际应用。
可以看出：
两患者收缩压的均数十分接近，
但甲患者血压波动较大，而乙患者相对稳定。
通常，描述一组观察值，除需要表示其平均
水平外，还要说明它的离散或变异的情况。
第一节、衡量变异程度的指标
第一类 按间距计算 第二类 按平均差距计算 级差 四分位间距 平均偏差 离均差平方和 方差
标准差
红细胞计数（x1012/L）
（1） 3.80~ 4.00~ 4.20~ 4.40~ 4.60~ 4.80~ 5.00~ 5.20~ 5.40~
组中值（x）
（2） 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50
频数（f）
（3） 2 6 11 25 32 27 17 13 4
fx
（4） 7.80 24.60 47.30 112.50 150.40 132.30 86.70 68.90 22.00
f x2
（5） 30.42 100.86 203.39 506.25 706.88 648.27 442.17 365.17 121.00
5.60~
5.80~5.95 合计
5.70
f ( X ) 1.2
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 3.8 4.2 4.6 5 5.4 5.8
f (X )1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
X
0 3.6
4
4.4
4.8
5.2
5.6
6
X
图3-1 某地成年男子红细胞数的分布逐渐接近正态分布示意图
正态分布有两个参数：
和
， 分别表示均数和标准差。
（四）标准差 (Standard Deviation)
将方差取平方根，还原成与原始观察值单位
相同的变异量度即为标准差：
例如对于例3.1经计算有 甲患者：
乙患者:
对于频数表资料
为各组段的组中值
f 为各组段的频数
例3.2 根据第二章表2-2频数表资料，计算成年 男子红细胞数的标准差。计算表如下：
表3-1 140名成年男子红细胞计数（×1012/L）的标准差计算表
2、四分位数间距（quartile）
将所用观察值排序后，分成四个数目相等的段
落，每个段落的观察值数目各占总例数的25%，去
掉两端的25%，取中间的50%观察值的数据范围即为
四分位数间距。 用Q表示。
上四分位数Qu（P75）与下四分位数Ql（P25）之
差，包含了全部观察值的一半。
四分位数间距主要用于衡量明显偏态分布资料的
系数、描述正态分布、估计正常值范围。
（五）变异系数 (Coefficient of Variation )
意义：标准差与均数之比用百分数表示。 符号: CV 计算: 无单位
S CV 100 % X
应用：单位不同的多组数据比较 均数相差悬殊的多组资料比较
例3.3
测得某地成年人舒张压均数为77.5mmHg,标准差
5.90
2
1 140
11.40
5.90 669.80
64.89
34.81 3224.20
根据公式计算：
标准差为：0.38×1012/L
标准差的意义：
全面反映了一组观察值的变异程度，越 大说明围绕均数越离散，反之说明较集中在 均数周围，均数代表性越好。 标准差的应用：
描述变异程度、计算标准误、计算变异