沪科版初中数学九年级上册《21.4 二次函数的应用》课堂教学课件 (6)
• 通过对所得函数关系式进行配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润， 每件的销售价定为多少最为合适？最大利润为多少？
最值应用题——运动观点
• 在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出 发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从 点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q 两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
商品
每1万元营业额所 需人数
商品
每1万元营业额 所得利润
百货类
5
百货类
0.3万元
服装类
4
家电类
2
服装类 家电类
0.5万元 0.2万元
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• 知道顶点坐标或函数的最值时 • 比较顶点式和一般式的优劣 • 一般式：通用，但计算量大 • 顶点式：简单，但有条件限制 • 使用顶点式需要多少个条件？ • 顶点坐标再加上一个其它点的坐标； • 对称轴再加上两个其它点的坐标； • 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。
灵活方便：交点式
• 已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和（1，0）两点，又通过点（3， －5），
问此次跳水会不
会失误？并通过计算说明理
由。
解函数应用题的步骤:
• 设未知数(确定自变量和函数); • 找等量关系,列出函数关系式; • 化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等); • 求自变量取值范围； • 利用函数知识，求解（通常是最值问题）； • 写出结论。
某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共 有190名售货员，计划全商场日营业额(指每天卖出商品所收 到的总金额)为60万元，由于营业性质不同，分配到三个部 的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营 业额所需售货员人数如表（1），每1万元营业额所得利润情 况如表（2）。商场将计划日营业额分配给三个经营部，设 分配给百货部，服装部和家电部的营业额分别为x，y和z （单位：万元，x、y、z都是整数）。（1）请用含x的代数 式分别表示y和z；（2）若商场预计每日的总利润为C（万 元），且C满足19≤C≤19.7。问商场应如何分配营业额给三 个经营部？各应分别安排多少名售货员？
员在空中的最
高处距水面32/3米，
入水处距池边的距离
为4米，同
时，运动员在距水面高度为5米
以前，必须完成规定的翻腾动作，
并调整好入水姿势，否则就会出
现失误。（1）
求这条抛物线的解
析式；（2）在某次试跳
中，测
得运动员在空中的运动路线是（1）
中的抛物线，且运动员在空中调
整好
入水姿势时，距池边的水平
距离为18/5米，
如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂 直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心， OA=1.25米。由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流 在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状 较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到 距水面最大高度2.25米。 (1)如果不计其他因素，那 么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致 落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与（1）相同， 水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水 流的最大高度应达到多少米？（精确到0.1米）
简单的应用（学会画图）
• 已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（3，0）两 点，且函数有最大值2。
• 求二次函数的解析式； • 设此二次函数图象顶点为P，求△ABP的面积 • 在直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴
上，点C在x轴的正半轴上，AC＝5，BC＝4，cos∠ACB＝ 3/5。 • 求A、B、C三点坐标； • 若二次函数图象经过A、B、C三点，求其解析式； • 求二次函数的对称轴和顶点坐标
• 知道二次函数图象和x轴的两个交点的坐标时 • 使用交点式需要多少个条件？ • 两个交点坐标再加上一个其它条件 • 其实，交点式同样需要三个条件才能求 • 求函数最值点和最值的若干方法： • 直接代入顶点坐标公式 • 配方成顶点式 • 借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合和x轴两个交点坐标求。
二次函数的交点式
• （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ • （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
最值应用题——销售问题
• 某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服装每天的销售 量t（件）与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t＝－3x＋ 204。
• 写出商场卖这种服装每天销售利润y（元）与每件的销售价x（元）间的函数 关系式；
二次函数的应用
专题三： 二次函数的最值应用题
二次函数最值的理论
你能说明为什么当x b 时，函数的最值是 2a
y 4ac b2 呢？此时是最大值还是最小值呢？ 4a
• 求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值。其中m为常数且m≠－1。
最值应用题——面积最大
• 某工厂为了存放材料，需要围一个周长160米的矩形场地，问矩形 的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大。
• 求这个二次函数的解析式； • 求出A、B、C关于x轴对称的点的坐标并求出经过这三点的二次函数
解析式； • 求出A、B、C关于y轴对称的点的坐标并求出经过这三点的二次函数
解析式； • 在同一坐标系内画出这三个二次函数图象； • 分析这三条抛物线的对称关系，并观察它们的表达式的区别与联系，
你发现了什么？
求y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围。
将上面所求出的函数配方成顶点式，写出顶点坐标。 并指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一
点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的
一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规
定动作时，正常情况下，该运动
• 运动开始后第几秒时， △PBQ的面积等于8cm2
D
C
• 设运动开始后第t秒时，
五边形APQCD的面积为Scm2，
Q
写出S与t的函数关系式，
并指出自变量t的取值范围；
• t为何值时S最小？求出S的最小值。 A
P
B
最值应用题——运动观点
• 在△ABC中，BC＝2，BC边上的高AD＝1，P是BC上任一点，PE∥AB 交AC于E，PF∥AC交AB于F。
思维小憩x+c是绝对 通用的办法。
• 因为有三个待定系数，所以要求有三个已知点坐标。 • 一般地，函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图象的解析式是y=-f(x) • 一般地，函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图象的解析式是y=f(-x)
• 求这个二次函数的解析式。 • 当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
• 已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（3，0）两点，且函数有最 大值2。
• 求二次函数的解析式； • 设此二次函数图象顶点为P，求△ABP的面积
思维小憩：
• 用待定系数法求二次函数的解析式，什么时候使用顶点式y=a(x-x1) (xx2)比较方便？
• 设BP＝x，将S△PEF用x表示； • 当P在BC边上什么位置时，S值最大。
A
F
E
B
PD
C
在取值范围内的函数最值
设0 x 3，讨论函数y x2 4x 5 的最大值和最小值。
设1 x 3，讨论函数y 1 x2 4x 4 2
的最大值和最小值。
二次函数的应用
专题四： 二次函数综合应用题
A
O
某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千 克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单 价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查 发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降 低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要 支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计 算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。
快艇和轮船分别从A地和C地同时出发，各沿着所指方向航行（如图所 示），快艇和轮船的速度分别是每小时40km和每小时16km。已知AC＝ 145km，经过多少时间，快艇和轮船之间的距离最短？（图中AC⊥CD）
145km
C
A
D
最值应用题——销售问题
• 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩 大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调 查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
二次函数的三种式
• 一般式：y=ax2+bx+c • 顶点式：y=a(x-m)2+n • 交点式：y=a(x-x1) (x-x2)
• 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是 （8,0），顶点是（6,-12），求这个二次函数的解析式。（分别 用三种办法来求）
二次函数的应用
专题二： 数形结合法
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九年级上数学：23.5二次 函数的应用课件PPT
二次函数的应用
专题一： 待定系数法确定二次函数
无坚不摧：一般式
• 已知二次函数的图象经过A（－1，6），B（1，2），C（2，3）三 点，
• 窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的周长等于6cm，要使窗能透 过最多的光线，它的尺寸应该如何设计？
A
O
D
B
C
最值应用题——面积最大
• 用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横断面 为底角120º的等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的侧面AB应 该是多长？
最值应用题——运动观点
• 在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出 发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从 点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q 两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
商品
每1万元营业额所 需人数
商品
每1万元营业额 所得利润
百货类
5
百货类
0.3万元
服装类
4
家电类
2
服装类 家电类
0.5万元 0.2万元
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• 知道顶点坐标或函数的最值时 • 比较顶点式和一般式的优劣 • 一般式：通用，但计算量大 • 顶点式：简单，但有条件限制 • 使用顶点式需要多少个条件？ • 顶点坐标再加上一个其它点的坐标； • 对称轴再加上两个其它点的坐标； • 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。
灵活方便：交点式
• 已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和（1，0）两点，又通过点（3， －5），
问此次跳水会不
会失误？并通过计算说明理
由。
解函数应用题的步骤:
• 设未知数(确定自变量和函数); • 找等量关系,列出函数关系式; • 化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等); • 求自变量取值范围； • 利用函数知识，求解（通常是最值问题）； • 写出结论。
某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共 有190名售货员，计划全商场日营业额(指每天卖出商品所收 到的总金额)为60万元，由于营业性质不同，分配到三个部 的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营 业额所需售货员人数如表（1），每1万元营业额所得利润情 况如表（2）。商场将计划日营业额分配给三个经营部，设 分配给百货部，服装部和家电部的营业额分别为x，y和z （单位：万元，x、y、z都是整数）。（1）请用含x的代数 式分别表示y和z；（2）若商场预计每日的总利润为C（万 元），且C满足19≤C≤19.7。问商场应如何分配营业额给三 个经营部？各应分别安排多少名售货员？
员在空中的最
高处距水面32/3米，
入水处距池边的距离
为4米，同
时，运动员在距水面高度为5米
以前，必须完成规定的翻腾动作，
并调整好入水姿势，否则就会出
现失误。（1）
求这条抛物线的解
析式；（2）在某次试跳
中，测
得运动员在空中的运动路线是（1）
中的抛物线，且运动员在空中调
整好
入水姿势时，距池边的水平
距离为18/5米，
如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂 直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心， OA=1.25米。由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流 在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状 较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到 距水面最大高度2.25米。 (1)如果不计其他因素，那 么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致 落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与（1）相同， 水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水 流的最大高度应达到多少米？（精确到0.1米）
简单的应用（学会画图）
• 已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（3，0）两 点，且函数有最大值2。
• 求二次函数的解析式； • 设此二次函数图象顶点为P，求△ABP的面积 • 在直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴
上，点C在x轴的正半轴上，AC＝5，BC＝4，cos∠ACB＝ 3/5。 • 求A、B、C三点坐标； • 若二次函数图象经过A、B、C三点，求其解析式； • 求二次函数的对称轴和顶点坐标
• 知道二次函数图象和x轴的两个交点的坐标时 • 使用交点式需要多少个条件？ • 两个交点坐标再加上一个其它条件 • 其实，交点式同样需要三个条件才能求 • 求函数最值点和最值的若干方法： • 直接代入顶点坐标公式 • 配方成顶点式 • 借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合和x轴两个交点坐标求。
二次函数的交点式
• （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ • （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
最值应用题——销售问题
• 某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服装每天的销售 量t（件）与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t＝－3x＋ 204。
• 写出商场卖这种服装每天销售利润y（元）与每件的销售价x（元）间的函数 关系式；
二次函数的应用
专题三： 二次函数的最值应用题
二次函数最值的理论
你能说明为什么当x b 时，函数的最值是 2a
y 4ac b2 呢？此时是最大值还是最小值呢？ 4a
• 求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值。其中m为常数且m≠－1。
最值应用题——面积最大
• 某工厂为了存放材料，需要围一个周长160米的矩形场地，问矩形 的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大。
• 求这个二次函数的解析式； • 求出A、B、C关于x轴对称的点的坐标并求出经过这三点的二次函数
解析式； • 求出A、B、C关于y轴对称的点的坐标并求出经过这三点的二次函数
解析式； • 在同一坐标系内画出这三个二次函数图象； • 分析这三条抛物线的对称关系，并观察它们的表达式的区别与联系，
你发现了什么？
求y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围。
将上面所求出的函数配方成顶点式，写出顶点坐标。 并指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一
点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的
一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规
定动作时，正常情况下，该运动
• 运动开始后第几秒时， △PBQ的面积等于8cm2
D
C
• 设运动开始后第t秒时，
五边形APQCD的面积为Scm2，
Q
写出S与t的函数关系式，
并指出自变量t的取值范围；
• t为何值时S最小？求出S的最小值。 A
P
B
最值应用题——运动观点
• 在△ABC中，BC＝2，BC边上的高AD＝1，P是BC上任一点，PE∥AB 交AC于E，PF∥AC交AB于F。
思维小憩x+c是绝对 通用的办法。
• 因为有三个待定系数，所以要求有三个已知点坐标。 • 一般地，函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图象的解析式是y=-f(x) • 一般地，函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图象的解析式是y=f(-x)
• 求这个二次函数的解析式。 • 当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
• 已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（3，0）两点，且函数有最 大值2。
• 求二次函数的解析式； • 设此二次函数图象顶点为P，求△ABP的面积
思维小憩：
• 用待定系数法求二次函数的解析式，什么时候使用顶点式y=a(x-x1) (xx2)比较方便？
• 设BP＝x，将S△PEF用x表示； • 当P在BC边上什么位置时，S值最大。
A
F
E
B
PD
C
在取值范围内的函数最值
设0 x 3，讨论函数y x2 4x 5 的最大值和最小值。
设1 x 3，讨论函数y 1 x2 4x 4 2
的最大值和最小值。
二次函数的应用
专题四： 二次函数综合应用题
A
O
某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千 克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单 价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查 发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降 低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要 支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计 算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。
快艇和轮船分别从A地和C地同时出发，各沿着所指方向航行（如图所 示），快艇和轮船的速度分别是每小时40km和每小时16km。已知AC＝ 145km，经过多少时间，快艇和轮船之间的距离最短？（图中AC⊥CD）
145km
C
A
D
最值应用题——销售问题
• 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩 大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调 查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
二次函数的三种式
• 一般式：y=ax2+bx+c • 顶点式：y=a(x-m)2+n • 交点式：y=a(x-x1) (x-x2)
• 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是 （8,0），顶点是（6,-12），求这个二次函数的解析式。（分别 用三种办法来求）
二次函数的应用
专题二： 数形结合法
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九年级上数学：23.5二次 函数的应用课件PPT
二次函数的应用
专题一： 待定系数法确定二次函数
无坚不摧：一般式
• 已知二次函数的图象经过A（－1，6），B（1，2），C（2，3）三 点，
• 窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的周长等于6cm，要使窗能透 过最多的光线，它的尺寸应该如何设计？
A
O
D
B
C
最值应用题——面积最大
• 用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横断面 为底角120º的等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的侧面AB应 该是多长？
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沪科版九年级数学上册教学课件21.4二次函数的应用 (共17张PPT)
.
小 值为 6 . 1.当x= 5 时, y=3（x-5） +6 有最___
2
大 2.当x= 2时,y=-2x2+8x-7有最_ _值为 1 . 方法一：(配方法)y= -2x +8x-7= -2（x-2）2+1
b 方法二 顶点法 将x 2代入函数式可得y=1 2a
2
学以致用：（面积问题）
例2：已知某商品的进价为每件45元，现在的售价为 每件80元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整 价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析， 当每件商品降价多少元时，可使每天的利润最大，最大 利润是多少?
解： 设每件商品降价x元，每天的利润为y元，得 y=(80-x-45)(50+2x) =-2x2+20x+1750 =-2(x-5)2+1800 ∵a=-2＜0 ∴当x=5时，y最大=1800，即当每件商品降 价5元时，可使每天的利润最大为1800元。
解：S=-3x2+24x=3(x-4)2+48, 因为 a=-3<0,所以当x=4 时，S最大值=48。 答：略.
x
x 24-3x
x
反思感悟：
通过本节课的学习，我的收 获是……
课堂寄语： 课堂寄语：
二次函数是一类最优化问题 的数学模型，能指导我们解决生 活中的实际问题，同学们，认真 学习数学吧，因为数学来源于生 活，更能优化我们的生活。
»作业：
»1. P42页，习题第1②、3题 »2.完成练习册
x
2.如图,有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度 a为15m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的 宽AB为x m,面积为S m2． (1)求S与x的函数关系式； 解：S=x(24-3x)=-3x2+24x （3 ≤ x<8） (2)能围成面积比45 m2更大的花圃吗?如果能,请求出最大 面积,并说明围法；如果不能,请说明理由．
新沪科版九年级数学上册《二次函数》课件(共12张PPT)
18．(12分)为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快廉租房建设力度，2014年市政府共投资2亿元人民币建设廉租房8万平方米，若今后两年投资的增长率均为x，设到2016年底政府共累计投资y亿元人民币． (1)求y与x之间的函数关系式； 解：y＝2＋2(1＋x)＋2(1＋x)2＝2x2＋6x＋6 (2)若三年累计投资达到9.5亿元人民币，求投资的年增长率． 解：2x2＋6x＋6＝9.5，解得x1＝0.5＝50%，x2＝－3.5(舍去)，故每年市政府投资增长率是50%
21．1 二次函数
1．一般地，形如 ________________(a，b，c是常数，a____0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量． 2．二次函数自变量的取值范围一般都是__________，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题___________．
y＝ax2＋bx＋c
≠
全体实数
y＝100(1＋x)2
y＋1成正比例，且当x＝2时，y＝10. (1)求y与x之间的函数关系式，并指出它属于哪种类型的函数； 解：y＝2x2＋2，二次函数 (2)若点(m，20)在其函数图象上，求m的值． 解：m＝±3
17．(10分)某软件商店销售一种益智游戏软件，如果以每盘60元的售价卖出，一个月能售出800盘，现根据市场分析，若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盘，请你写出当每盘的售价涨x元时，该商店月销售额y(元)与x的关系式，并指出y是x的什么函数． 解：根据题意，得y＝(60＋x)(800－10x)，所以y＝－10x2＋200x＋48 000.y是x的二次函数
谢谢观赏 You made my day!
我们，还在路上……
有意义
C
D
0
A
21．1 二次函数
1．一般地，形如 ________________(a，b，c是常数，a____0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量． 2．二次函数自变量的取值范围一般都是__________，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题___________．
y＝ax2＋bx＋c
≠
全体实数
y＝100(1＋x)2
y＋1成正比例，且当x＝2时，y＝10. (1)求y与x之间的函数关系式，并指出它属于哪种类型的函数； 解：y＝2x2＋2，二次函数 (2)若点(m，20)在其函数图象上，求m的值． 解：m＝±3
17．(10分)某软件商店销售一种益智游戏软件，如果以每盘60元的售价卖出，一个月能售出800盘，现根据市场分析，若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盘，请你写出当每盘的售价涨x元时，该商店月销售额y(元)与x的关系式，并指出y是x的什么函数． 解：根据题意，得y＝(60＋x)(800－10x)，所以y＝－10x2＋200x＋48 000.y是x的二次函数
谢谢观赏 You made my day!
我们，还在路上……
有意义
C
D
0
A
沪科版数学九年级上册21.4第3课时二次函数的综合应用
（1）求y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）将上面所求出的函数配方成顶点式，写出顶点坐标， 并指 出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
灿若寒星
【分析】（1）日利润=每千克的利润×日销售量﹣杂支，根据 物价部门规定，x的取值范围是30≤x≤70； （2）用配方法变形，根据对称性画草图解答． 解：（1）y=（x﹣30）【60+2（70﹣x）】﹣500
灿若寒星
【分析】（1）根据抛物线在坐标系的位置，可设抛物线的表达
式为y=ax2，只需要一个条件可确定解析式，依题意点B（6，
﹣5.6）在抛物线的图象上，抛物线解析式可求；
（2）根据高度关系可确定C，D两点纵坐标，可求它们的横坐标
及CD的长度，解答本题问题．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
45
7
即k1≈5.07，k2≈﹣5.07（舍去）
∴CD=5.07×2≈10.14（m）
设最多可安装n扇窗户，
∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．
则最大的正整数为4．
答：最多可安装4扇窗户.
灿若寒星
2. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进 价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70 元，也不得低于30元.市场调查发现：单价定为70元时，日均销 售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克.在销售过程中， 每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）. 设销售单价为x元，日均获利为y元.
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，∴﹣5.6=36a
a 7 . ∴抛物线的表达式45
灿若寒星
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标
（2）将上面所求出的函数配方成顶点式，写出顶点坐标， 并指 出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
灿若寒星
【分析】（1）日利润=每千克的利润×日销售量﹣杂支，根据 物价部门规定，x的取值范围是30≤x≤70； （2）用配方法变形，根据对称性画草图解答． 解：（1）y=（x﹣30）【60+2（70﹣x）】﹣500
灿若寒星
【分析】（1）根据抛物线在坐标系的位置，可设抛物线的表达
式为y=ax2，只需要一个条件可确定解析式，依题意点B（6，
﹣5.6）在抛物线的图象上，抛物线解析式可求；
（2）根据高度关系可确定C，D两点纵坐标，可求它们的横坐标
及CD的长度，解答本题问题．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
45
7
即k1≈5.07，k2≈﹣5.07（舍去）
∴CD=5.07×2≈10.14（m）
设最多可安装n扇窗户，
∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．
则最大的正整数为4．
答：最多可安装4扇窗户.
灿若寒星
2. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进 价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70 元，也不得低于30元.市场调查发现：单价定为70元时，日均销 售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克.在销售过程中， 每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）. 设销售单价为x元，日均获利为y元.
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，∴﹣5.6=36a
a 7 . ∴抛物线的表达式45
灿若寒星
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标
二次函数的的式及应用沪科版九年级上课件
A
O
D
第十三页，共36页。
B
C
最值应用题——面积最大
• 用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做
一个水槽，水槽的横断面为底角120º的等
腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的
侧面AB应该是多长？
D
A
B
第十四页，共36页。
C
最值应用题——路程问题
快艇和轮船分别从A地和C地同时出发，各沿 着所指方向航行（如图所示），快艇和轮船的 速度分别是每小时40km和每小时16km。已 知AC＝145km，经过多少时间，快艇和轮船 之间的距离最短？（图中AC⊥CD）
第二十四页，共36页。
某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）
在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物
线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正
常情况下，该运动
员在空中的最高处距
水面32/3米，
入水处距池边的距离
为4米，同
时，运动员在距水面高度为
5米
以前，必须完成规定的翻腾动作，
使用顶点式需要多少个条件？
顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 对称轴再加上两个其它点的坐标； 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。
第六页，共36页。
交点式
已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和 （1，0）两点，又通过点（3，－5）， 求这个二次函数的解析式。
当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
已知某二次函数当x＝1时，有最大值－6，且 图象经过点（2，－8），求此二次函数的解 析式。
第五页，共36页。
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，什么 时候使用顶点式y=a(x-m)2+n比较方便？
沪科版九年级上册21.4二次函数的应用课件
情景导入
1．利用配方法求函数y＝－4x2＋80x的最大值．
y＝－4(x2－20x＋102－102) ＝－4(x－10)2＋400 当x＝10时，y最大值＝400
2．实例引入：如图，用长20m的篱笆，一面靠墙 (墙长不限)围成一个长方形的园子，怎么围才能使 园子的面积最大？最大面积是多少？
解：设与墙垂直的一边为x米，园子面积为S平方米， 由题意得 S＝x(20－2x)＝－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50(0＜x＜ 10)．∵－2＜0， ∴当x＝5(在0＜x＜10的范围内)时，园子面积S的最 大值为50平方米．
450 x
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索 的长.
解：当x=450－100=350（m）时，得
y 1 3502 0.5 49.5(m) 2500
当x=450－50=400（m）时，得
y 1 4002 0.5 64.5(m)
y
2500
-450 O 450 x
仿例
图1
图2
解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2＋6. 依题意，得B(10，0)，代入102a＋6＝0. 解得a＝－0.06，得y＝－0.06x2＋6. 当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5，解得x＝±5. ∴DF＝5.EF＝10，即水面宽度为10米．
图1
图2
自学互研
知识模块三 二次函数与高度问题
如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥．当水面宽为4米 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，水面下降1米时，水面 宽度为多少米？
解：设抛物线解析式为y＝ax2(a≠0)，由题意
知D坐标为(2，－2)，代入y＝ax2，得－2＝
坐标为
－3，当y＝－3时，－
沪科版九年级数学上册《二次函数》课件
分的面积是多少？
感悟新知
知1－讲
导引：(1)根据图形及题意可得出重叠部分是等腰直角三角形， 从而根据MA的长度可得出y与x之间的函数表达式；
(2)将x＝1代入函数表达式可得出重叠部分的面积．
感悟新知
解： (1)由题意知，开始时点A与点M重合，
然后让△ABC向右移动，
两图形重叠部分为等腰直角三角形，
感悟新知
例1
知1－讲
下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函
数的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1；
(2)y＝－5x2；
(3)y＝3a3＋2a2； (5)y＝3(x－2)(x－5)；
(4)y＝x－2＋x；
(6)y＝x2＋
1 x2
.
感悟新知
知1－讲
导引：判断一个函数是否是二次函数，要紧扣定义并将 其化简再判断．(1)是一次函数；(2)是二次函数，二次项 系数为－5，一次项系数和常数项为0；(3)中自变量的最 高次数是3，所以不是二次函数；(4)中x－2不是整式，所 以不是二次函数；把(5)整理得到y＝3x2－21x＋30，是二 次函数，二次项系数为3，一次项系数为－21，常数项为
课堂小结
二次函数的定义要理解三点： (1)函数关系式必须是整式，自变量的取值是全体
实数；而在实际应用中，自变量的取值必须符 合实际意义． (2)确定二次函数的各项系数及常数项时，要把函 数关系式化为一般形式． (3)二次项系数不为0.
第21章 二次函数与反比例函数
第21章 二次函数与反比例函数
21.1 二次函数
学习目标
1 课时讲解 二次函数的定义
用二次函数的表达式表示实际问题
2 课时流程
沪科版 九年级上 21.4二次函数的应用(共19张PPT)
一、新课引入
二次函数最值的理论
你能说明为什x么当 b 时，函数的最值是 2a
y4acb2 呢？此时是最大最 值小 还值 是呢？ 4a
求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值.其中m为常数且 m≠－1.
二、新课讲解
例1 在第21.1节的问题1中，要使围成的水面面积最大， 则它的边长应是多少米？它的最大面积是多少平方米？
二、新课讲解
在已知数据中任选三组，如取（0，0），（10，0.3）， （20，1.0），分别代入所设函数的表达式，得
c=0， 100a+10b+c=0.3，
400a+20b+c=1.0. 解方程组，得
a=0.002， b=0.01，
c=0. 即所求函数的表达式为y=0.002x2+0.01x（x≥0）. 把y=46.5m代入上式，得
A
D
B
C
四、强化训练
解: (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ∴ 花圃宽为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0<x<6）
(2)当x＝
b
b
2a2a
3 3时，S最大值＝
4ac b2 4a
＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
A
D
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
四、强化训练
1.已知直角三角形的两条直角边的和等于8，两条直角边各为多 少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？
解：设其中一条直角边的长为x，另一条直角边为（8-x）.
则直角三角形的面积: S 1 x.(8 x)
2
怎样
21.4 二次函数的应用(课件)沪科版数学九年级上册
知1－练
感悟新知
(1) 求点 P 的坐标和 a 的值；
知1－练
解题秘方：利用待定系数法可求得 a 的值；
解： 在一次函数 y=－0.4x+2.8 中， 令 x=0，得 y=2.8，∴ P(0， 2.8)． 将点 P(0， 2.8)的坐标代入 y=a( x－1) 2+3.2 中， 得 a+3.2=2.8，解得 a=－0.4．
感悟新知
如图②，当两辆消防车喷水口 A， B 的水平距离为 知1－练 80 m 时，两条水柱在抛物线的顶点 H 处相遇，此时相 遇点 H 距地面 20 m， 喷水口 A， B 距地面均为4 m. 若两辆消防车同时后退 10 m，两条水柱的形状及喷水 口 A′， B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱 相遇点 H′距地面 ___1_9_____m．
感悟新知
解： ∵ OA=3 m， CA=2 m，∴ OC=5 m．
若选择扣球，则令 － 0.4x+2.8=0，解得 x=7，
知1－练
即落地点到 O 点的距离为 7 m，
∴落地点到 C 点的距离为 7 － 5=2(m)；
若选择吊球，则令 － 0.4(x － 1) 2+3.2=0，
解得 x=±2 2 +1(负值舍去)，
∴落水点 C， D 之间的距离为 22 m.
感悟新知
(3) 若需要在 OD 上的点 E 处竖立雕塑 EF， OE=10 m知，1－练
EF=1.8 m， EF ⊥ OD． 问： 顶部 F 是否会碰到
水柱？ 请通过计算说明 .
解：当
x=10
时，
y=
－
1 6
×(10
－
5)
2+6=
沪科九年级数学上册《二次函数的应用》课件(共6张PPT)
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获利最大利 润？最大利润是多少？
7、有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶0离水 面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是 矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系。
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超 过多少米，才能使船通过拱桥？
21.4 二次函的应用
１、如图所示,阳光中学教学楼前喷
水池喷出的抛物线形水柱，其解析
式 度为是（y）=。-x2+4x，+则2水柱的最大高
Ａ、２ Ｂ、４ Ｃ、６ Ｄ、２+
２、已知二次函数
的
6
图象如图所示，有下列y５a个2 结xb论x：c(a0)
①abc>0; ②b<a+c;③4a+2b;3b; ⑤ a+b>m(am+b),(m 1的实数)
（3）若设EF＝a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式 表示，并指出a的取值范围。
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
y
7、有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶0离水 面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是 矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系。
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超 过多少米，才能使船通过拱桥？
21.4 二次函的应用
１、如图所示,阳光中学教学楼前喷
水池喷出的抛物线形水柱，其解析
式 度为是（y）=。-x2+4x，+则2水柱的最大高
Ａ、２ Ｂ、４ Ｃ、６ Ｄ、２+
２、已知二次函数
的
6
图象如图所示，有下列y５a个2 结xb论x：c(a0)
①abc>0; ②b<a+c;③4a+2b;3b; ⑤ a+b>m(am+b),(m 1的实数)
（3）若设EF＝a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式 表示，并指出a的取值范围。
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
y
新沪科版九年级上册初中数学 21-4二次函数的应用 教学课件
当堂小练
1.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+ BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面
积最大？
解：设AC=x,四边形ABCD面积为y, 则BD=(10-x).
y 1 x(10 x) 1 ( x 5)2 25 .
2
2
2
当x＝5时, y有最大值 25 . 2
A．2
B．4
C．－4
D．16
2 已知x2＋y＝3，当1≤x≤2时，y的最小值是( D )
A．－1 B．2
C.
D．3
新课讲解
知识点2 几何面积的最值
例2 在第21.1节的问题1中，要使围成的水面面 积最大，则它的边长应是多少米？它的最 大面积是多少平方米？
解：在第21.1节中，得S＝x (20－x)．
y有最大值
225 2
.
即当矩形的长为15m、宽为 125
m时,菜园的面积最大,为
225 2
m2
.
拓展与延伸
3.已知矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，
D
矩形的长、宽各为多少时，圆柱的侧面积最大？
解：设矩形的长为xcm，圆柱的侧面积为ycm2， 则矩形的宽为(18-x)cm，绕矩形的长或宽旋转，圆柱的侧
是45 m.
新课讲解
例1 当-2≤x≤2时，求函数y=x2-2x-3的最大值和
最小值．
解：作出函数的图象,如图．
当x=1时，y最小值=12-2×1-3=-4， 当x=-2时，y最大值=(-2)2-2×(-2)-3=5.
新课讲解
练一练
1 二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值为( B )
即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.