2020年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 高二数学试卷
2020 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高二数学试卷
考试时间：2020 年 06 月 06 日上午 8:00—10:00
试卷满分：150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数z 满足()()i i -+=221z ，则z 的共轭复数=z （
）
A ．i
34-B ．3i
4+C ．i
43+D ．i
43-2．双曲线19
22
=-y x 的渐近线方程为（
）
A ．x y 9
1±
=B ．x y 3
1±
=C ．x y 3±=D ．x
y 9±=3．空间中，直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，则0=⋅b a 是α//l 的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．“献爱心，暖童心”，某企业从2013年开始每年向儿童福利院捐款和捐赠物资，下表记录了该企业第x
年（2013年是第一年）捐款金额为y （万元）．
x 3456y
2.5
3
m
4.5
若用最小二乘法求得y 和x 的回归直线方程为35.07.0ˆ+=x y
，则下列说法中，错误的是（）
A ．该企业每年捐款金额y 与x 成正相关
B ．该回归直线过点()
5.3,5.4C ．该企业2020年捐款金额一定为5.95万元D ．m 的值为4
5．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，11=AA ，则1BC 与11D B 所成角的正弦
值为（）
A ．
36
B ．
552C ．5
10D ．
5
15
6．已知函数()123
123
+++=
x ax ax x f 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围为（）
A ．[)
+∞,0B ．()
,20C ．[]2
,0D ．[
)2,07．某社区为了更好的开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表。
假设
居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟。
办理业务所需要的时间（分）
12345频率
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
则在某一天，第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务的概率为（）A ．0.04
B ．0.08
C ．0.17
D ．0.26
8．某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3
个连在一起，则不同的停放方法的种类为（）A ．240
B ．360
C ．480
D ．720
9．函数()x
e x
x x f 2322+=的大致图像是（
）
A
B
C
D
10．已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的左右焦点，分别为21F F 、，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离
心率为2e ，且两曲线在第二象限的公共点为点P ，且满足4:3:2::2211=PF F F PF ，则1
21
222e e e e -+的
值为（）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
x
y y
x
y
y
x
x
11．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，n 阶幻方(
)*
,3N
n n ∈≥是由前2
n
个
正整数组成的一个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15．现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“第一次取到的3个数和为15”为事件A ，“第二次取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件B ，则()
=A B P （）
A ．43
B ．32
C ．
3
1D ．
2
112．定义在()+∞,1上的函数()x f 满足()01'
2
>+x f x (()x f '
为函数()x f 的导函数)，()3
4
3=
f ，则关于x 的不等式()13lo
g log 3+<x x f 的解集为（）A ．()
27,3B ．()
1,27C ．()
+∞,9D ．()
+∞,27二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．13．()()6
121-+x x 的展开式中5
x 的系数为
．
14．据统计，2019年湖北省内某著名景点每天的游客人数近似服从正态分布(
)2
200
,5000N ，则在此期间
的某一天，该景点的游客人数超过5400的概率为
．
附：若()
2,~σμN X ，则()6826.0=+≤<-σμσμX P ，()9544
.022=+≤<-σμσμX P ()9974.033=+≤<-σμσμX P .
15．B A ,两动点在抛物线2
4
1x y =
上，且5=AB ，若线段AB 的中点M 在x 轴上的射影为'M ，则'MM 的最小值为
．
16．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD
的形状，它的下底AB 是圆O 的直径，上底C 、D 的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大为
．
三、解答题：本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）
已知函数()()ax x x x f +=ln ，()()x f x g '
=．
（1）若曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线与直线014=-+y x 平行，求实数a 的值；（2）当3
1
-
=a 时，求()x g 在[]2,1上的最大值．18．（本小题满分12分）
在新型冠状病毒的疫苗研发过程中，某科研所利用独立性检验的方法调查接种疫苗A 对预防新型冠状病毒是否有效，对200只动物进行试验。
一周后，发现接种疫苗A 且未患病的有64只，接种疫苗A 且患病的有36只，未接种疫苗A 且患病的有44只．（1）将下列22⨯列联表补全，并画在答题卡上．
患病
未患病总计
接种疫苗A 未接种疫苗A
总计
200
（2）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为接种疫苗A 对实验动物预防新型冠状病毒有效？
附：参考公式和参考数据：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d
=+++()
2k K P ≥0.500.400.250.150.100.050
k 0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
如图，在四棱锥ABCD P -中，底面是边长为2的正方形，且32==PD PB ，
22=PA ，N M 、分别为PD PB 、的中点．
（1）求证:MN PA ⊥；
（2）求二面角C MN A --的余弦值．
20．（本小题满分12分）
2019年《主持人大赛》火爆荧屏，某高校为此举办了一场主题为“练口才，展才能”的主持人风采大赛，从参赛的全体学生中抽出80人的成绩作为样本进行统计，并按
[40,50],[50,60],[60,70],[70,80],[80,90],[90,100]分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）若同一组数据用该组区间的中点值表示，估计参加这次大赛的学生平均成绩；
（2）若规定80分以上(含80分)为优秀，用频率估计概率，从全体参赛学生中随机抽取4名，记其中成绩
优秀的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．
已知椭圆C ：()0122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，)0,3(2F ，离心率为23．
（1）若P 为椭圆C 上任意一点，且横坐标为0x ，求证：022
3
2x PF -
=；（2）不经过1F 和2F 的直线()0,0:><+=m k m kx y l 与以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆相切，且
与椭圆C 交于N M ,两点，试判断N MF 2∆的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数2
ln )(ax x x x f -=．
（1）若)(x f 的图像恒在x 轴下方，求实数a 的取值范围；（2）若函数)(x f 有两个零点n m 、,且21≤<
n
m
,求mn 的最大值．。
2020-2021学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高二上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）命题“∀x＞0，使得x＞sin x”的否定是（）A．∃x0≤0，使得x0＜sin x0B．x0＞0，使得x0≤sin x0C．∀x＞0，使得x≤sin x D．∀x≤0，使得x＞sin x2．（5分）若点A（﹣1，1，2），B（0，3，0），C（1，0，﹣1），点D在z轴上，且，则||＝（）A．B．2C．3D．63．（5分）设等差数列{a n}的前n项和是S n，若﹣a m＜a1＜﹣a m+1（m∈N*，且m≥2），则必定有（）A．S m＞0，且S m+1＜0B．S m＜0，且S m+1＞0C．S m＞0，且S m+1＞0D．S m＜0，且S m+1＜04．（5分）若P是两相交平面α，β外的任意一点，则过点P（）A．有且仅有一条直线与α，β都平行B．有且仅有一条直线与α，β都垂直C．有且仅有一条直线与α，β都相交D．以上都不对5．（5分）已知椭圆＝1的右焦点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则过F作倾斜角为α的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，若＝3，则α的值为（）A．30°B．120°C．60°D．60°或120°6．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a2+a3+a4+a5+a6＝，a3a4＝﹣，则＝（）A．B．﹣C．D．﹣7．（5分）设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，＝λ，当∠APC为锐角时，λ的取值范围是（）A．[0，）B．[0，）C．（，1）D．（，1）8．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线y＝﹣x 的对称点Q在该双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、多项选择题（共4小题）9．（5分）已知双曲线﹣y2＝cos2θ（θ≠kπ+，k∈Z），则不因θ改变而变化的是（）A．焦距B．离心率C．顶点坐标D．渐近线方程10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是1，下列结论正确的有（）A．直线BC与平面ABC1D1所成的角为B．C到平面ABC1D1距离为长C．两条异面直线CD1和BC1所成的角为D．三棱锥D1﹣DAB中三个侧面与底面均为直角三角形11．（5分）已知曲线C：mx2﹣ny2＝1，下列说法正确的是（）A．若mn＞0，则C为双曲线B．若m＞0且m+n＜0，则C为焦点在x轴的椭圆C．若m＞0，n＜0，则C不可能表示圆D．若m＞0，n＝0，则C为两条直线12．（5分）已知P是左、右焦点分别为F1，F2的椭圆＝1上的动点，M（0，2）下列说法正确的有（）A．|PF1|+|PF2|＝4B．|PF1|﹣|PF2|的最大值为2C．存在点的P，使∠F1PF2＝120°D．|MP|的最大值为2+三、填空题（共4小题）13．（5分）双曲线x2﹣＝1的焦点到渐近线的距离等于．14．（5分）直线l与抛物线y2＝2x相交于点A，B且∠AOB＝90°，则△AOB面积的最小值为．15．（5分）若数列{a n}的前n项和S n，且a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n＝n2+2n，则a n＝，S n＝16．（5分）空间四边形ABCD中，AB＝AD＝BD＝，AC＝，BC＝DC，BC⊥DC，则其外接球表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知命题p：方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣m+2＝0表示圆；命题q：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，S3＝15，a n＞0，d＞1，且______从“①a2﹣1为a1﹣1与a3+1的等比中项”，“②等比数列{b n}的公比q＝，b1＝a2，b3＝a3”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{a n}存在并作答．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求T n．19．（12分）已知圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0．（1）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x0，y0）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD、底面ABCD为菱形，E为PD 的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设PA＝1，∠BAD＝120°，菱形ABCD的面积为2，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．21．（12分）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），过点A的直线l与C交于M、N（M在x轴上方）两点．（Ⅰ）当|MA|＝2|AN|时，求直线l的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点B，使得∠ABM＝∠ABN，若存在，求B点出坐标，若不存在，说明理由．22．（12分）若曲线Γ上任意一点P与点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为﹣，过原点的直线与曲线Γ交于M，N两点，其中点M在第二象限，过点M作x轴的垂线交AN于点C．（1）求曲线Γ的方程；（2）试比较|AM|2与|AC|•|AN|大小．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）命题“∀x＞0，使得x＞sin x”的否定是（）A．∃x0≤0，使得x0＜sin x0B．x0＞0，使得x0≤sin x0C．∀x＞0，使得x≤sin x D．∀x≤0，使得x＞sin x解：命题为全称命题，则命题的否定为x0＞0，使得x0≤sin x0，故选：B．2．（5分）若点A（﹣1，1，2），B（0，3，0），C（1，0，﹣1），点D在z轴上，且，则||＝（）A．B．2C．3D．6解：由点D在z轴上，设D（0，0，m），故＝（1，﹣1，m﹣2），而＝（1，﹣3，﹣1），∵，∴•＝1+3﹣（m﹣2）＝0，解得：m＝6，故||＝＝3，故选：C．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和是S n，若﹣a m＜a1＜﹣a m+1（m∈N*，且m≥2），则必定有（）A．S m＞0，且S m+1＜0B．S m＜0，且S m+1＞0C．S m＞0，且S m+1＞0D．S m＜0，且S m+1＜0解：∵﹣a m＜a1＜﹣a m+1，∴a1+a m＞0，a1+a m+1＜0∴＞0，＜0故选：A．4．（5分）若P是两相交平面α，β外的任意一点，则过点P（）A．有且仅有一条直线与α，β都平行B．有且仅有一条直线与α，β都垂直C．有且仅有一条直线与α，β都相交D．以上都不对解：如图，设α∩β＝l，P是两相交平面α，β外的任意一点，当过P的直线a与l平行时，a∥α，a∥β，∵过l外的一点P与l平行的直线唯一，∴过点P有且仅有一条直线与α，β都平行，故A正确；若过点P有一条直线与α，β都垂直，则α∥β，与α，β相交矛盾，故B错误；有无数条过点P的直线与α，β都相交，故C错误；∵A正确，∴D错误．故选：A．5．（5分）已知椭圆＝1的右焦点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则过F作倾斜角为α的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，若＝3，则α的值为（）A．30°B．120°C．60°D．60°或120°解：椭圆＝1的右焦点F（1，0）是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，所以P＝2，则过F作倾斜角为α的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，＝3，|AF|＝，|BF|＝，∴＝．∴cosα＝，所以α＝60°．故选：C．6．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a2+a3+a4+a5+a6＝，a3a4＝﹣，则＝（）A．B．﹣C．D．﹣解：由等比数列的性质可知：a3a4＝a1a6＝a2a5，又a1+a2+a3+a4+a5+a6＝，a3a4＝﹣，两式相除可得：+++++＝+++++＝×（﹣）＝﹣，故选：D．7．（5分）设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，＝λ，当∠APC为锐角时，λ的取值范围是（）A．[0，）B．[0，）C．（，1）D．（，1）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），由＝λ，可得P（λ，λ，1﹣λ），则＝（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1），＝（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1），因为∠APC为锐角，所以＝（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1）•（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1）＝（λ﹣1）（3λ﹣1）＞0，解得λ，或λ＞1，又因为动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，所以0，故λ的取值范围是[0，）．故选：A．8．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线y＝﹣x 的对称点Q在该双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：设左焦点关于bx+ay＝0的对称点为Q（x，y），由题意可得，解得：x＝，y＝，即Q（，），而Q在双曲线上，＝1，整理可得（c2﹣2a2）2﹣4a4﹣a2c2＝0，即c4＝5a2c2，整理可得：c2＝5a2，所以离心率e＝＝，故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知双曲线﹣y2＝cos2θ（θ≠kπ+，k∈Z），则不因θ改变而变化的是（）A．焦距B．离心率C．顶点坐标D．渐近线方程解：双曲线﹣y2＝cos2θ（θ≠kπ+，k∈Z），可得a＝|cosθ|，b＝|cosθ|，所以c＝2|cosθ|，所以顶点坐标，焦距是变量；所以AC不正确，离心率为：e＝＝，所以B正确；渐近线方程为：x y＝0，所以D正确；故选：BD．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是1，下列结论正确的有（）A．直线BC与平面ABC1D1所成的角为B．C到平面ABC1D1距离为长C．两条异面直线CD1和BC1所成的角为D．三棱锥D1﹣DAB中三个侧面与底面均为直角三角形解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接B1C，BC1，设B1C∩BC1＝O，则CO⊥BC1，∵AB⊥平面BB1C1C，AB⊂平面ABC1D1，∴平面BB1C1C⊥平面ABC1D1，∵平面BB1C1C∩平面ABC1D1＝BC1，CO⊥BC1，∴CO⊥平面ABC1D1，则∠CBO为直线BC与平面ABC1D1所成的角为，故A正确；CO为C到平面ABC1D1距离，长为＝，故B正确；由AB∥C1D1，AB＝C1D1，可得四边形ABC1D1为平行四边形，得BC1∥AD1，则∠AD1C为异面直线CD1和BC1所成的角，为，故C错误；∵DD1⊥底面ABCD，∴DD1⊥AD，DD1⊥DB，可得△D1DA，△D1DB为直角三角形，∵AB⊥平面AA1D1D，∴AB⊥AD，AB⊥AD1，可得△BAD，△BAD1为直角三角形，∴三棱锥D1﹣DAB中三个侧面与底面均为直角三角形，故D正确．故选：ABD．11．（5分）已知曲线C：mx2﹣ny2＝1，下列说法正确的是（）A．若mn＞0，则C为双曲线B．若m＞0且m+n＜0，则C为焦点在x轴的椭圆C．若m＞0，n＜0，则C不可能表示圆D．若m＞0，n＝0，则C为两条直线解：若mn＞0，则C为双曲线，所以A正确；若m＞0且m+n＜0，可得n＜0，|n|＞m＞0，所以则C为焦点在x轴的椭圆，所以B正确；若m＞0，n＜0，则C不可能表示圆，显然不正确，反例m＝1，n＝﹣1，是单位圆，所以C不正确；若m＞0，n＝0，则C为两条直线，所以D正确；故选：ABD．12．（5分）已知P是左、右焦点分别为F1，F2的椭圆＝1上的动点，M（0，2）下列说法正确的有（）A．|PF1|+|PF2|＝4B．|PF1|﹣|PF2|的最大值为2C．存在点的P，使∠F1PF2＝120°D．|MP|的最大值为2+解：由题设可得：a＝2，b＝＝c，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|＝2a＝4，故选项A正确；由椭圆的性质可知：|PF1|﹣|PF2|≤|F1F2|＝2c＝2（当P为椭圆的右顶点时取“＝“），故选项B正确；又由椭圆的性质可知：当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，∠F1PF2最大，此时tan＝＝＜，∴＜60°，即∠F1PF2＜120°，故选项C错误；设P（2cosθ，sinθ），则|MP|＝＝＝，当sinθ＝﹣1时，|MP|max＝2+，故选项D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）双曲线x2﹣＝1的焦点到渐近线的距离等于．解：双曲线的a＝1，b＝，c＝＝2，渐近线方程为y＝±x，可得焦点（2，0）到渐近线的距离为d＝＝．故答案为：．14．（5分）直线l与抛物线y2＝2x相交于点A，B且∠AOB＝90°，则△AOB面积的最小值为4．【解答】设OA：y＝kx，代入y2＝2x得x＝0，x＝，∴A（，），同理以﹣代k得B（2k2，﹣2k）．|OA|＝，|OB|＝，△AOB面积S＝|OA||OB|＝×＝2（）≥4，当且仅当k＝±1时，取等号．所以△AOB面积的最小值为4．故答案为：4．15．（5分）若数列{a n}的前n项和S n，且a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n＝n2+2n，则a n＝，S n＝10﹣解：且a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n＝n2+2n，①当n＝1时，a1＝3，当n≥2时，a1+2a2+22a3+…+2n﹣2a n﹣1＝（n﹣1）2+2（n﹣1）②，①﹣②得：2n﹣1a n＝2n+1，所以．所以③，④，故③﹣④得：＝，整理得．16．（5分）空间四边形ABCD中，AB＝AD＝BD＝，AC＝，BC＝DC，BC⊥DC，则其外接球表面积为3π．解：∵BD＝，BC＝DC，BC⊥DC，∴BC＝DC＝1，∵AB＝AD＝，AC＝，∴AB2+BC2＝AC2，AD2+DC2＝AC2，即AB⊥BC，AD⊥CD，取AC的中点M，则MA＝MC＝MB＝MD，∴点M即为外接球的球心，外接球的半径r＝MA＝AC＝，∴外接球的表面积为4πr2＝4π•＝3π．故答案为：3π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知命题p：方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣m+2＝0表示圆；命题q：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：命题P：方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣m+2＝0即（x﹣2）2+（y+m）2＝﹣m2+m+2表示圆，∴﹣m2+m+2＞0，解得﹣1＜m＜2，命题q：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆．∴5﹣a＞m﹣1＞0，解得1＜m＜6﹣a，（a＜5）．若p是q的必要不充分条件，则q⇒p，∴1＜6﹣a≤2，解得4≤a＜5．∴实数a的取值范围是4≤a＜5．18．（12分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，S3＝15，a n＞0，d＞1，且______从“①a2﹣1为a1﹣1与a3+1的等比中项”，“②等比数列{b n}的公比q＝，b1＝a2，b3＝a3”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{a n}存在并作答．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求T n．解：（1）若选①，a2﹣1为a1﹣1与a3+1的等比中项，则，由{a n}为等差数列，S3＝15，得3a2＝15，∴a2＝5，把a2＝5代入上式，可得（4﹣d）（6+d）＝16，解得d＝2或d＝﹣4（舍）．∴a1＝3，a n＝2n+1；若选②，等比数列{b n}的公比q＝，b1＝a2，b3＝a3，可得b3＝b1q2，即a3＝a2，即有（a1+2d）＝（a1+d），又S3＝15，可得3a1+×3×2d＝15，即a1+d＝5，解得d＝﹣＜1，不符题意，故选①，此时a n＝2n+1；（2）∵＝，∴T n＝（++…+）＝（﹣）＝．19．（12分）已知圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0．（1）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x0，y0）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．解：圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，圆心C（1，2），半径为1，因为切线在x轴，y轴上的截距相等，若切线的截距为0时，设切线方程为y＝kx，由＝1，解得k＝，切线方程为y ＝x，当切线的截距不为0时，设切线方程为x+y＝a，则＝1，解得a＝3±，即切线方程为x+y＝3±．综上，切线方程为y＝x，或x+y＝3±．（2）由条件知|PO|2+r2＝|PC|2，所以x02+y02+1＝（x0﹣1）2+（y0﹣2）2，即x0+2y0﹣2＝0，即点P在直线x+2y﹣2＝0上运动，要使|PM|最小，只要|PO|最小即可，即直线x+2y﹣2＝0上的点到原点的距离最小，最小值即为点O到直线x+2y﹣2＝0的距离为＝．所以|PM|的最小值为．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD、底面ABCD为菱形，E为PD 的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设PA＝1，∠BAD＝120°，菱形ABCD的面积为2，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．解：（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，则O为BD的中点，又E为PD的中点，所以PB∥OE，又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB∥平面ACE．（2）由菱形ABCD的面积为2，得菱形边长为2，取BC中点M，连接AM，以点A为原点，以AM为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示坐标系．D（0，2，0），A（0，0，0），E（0，1，），C（，1，0），＝（0，1，），＝（，1，0），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，令x＝，得＝（，﹣3，6），平面ADE的一个法向量＝（1，0，0），设二面角D﹣AE﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．21．（12分）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），过点A的直线l与C交于M、N（M在x轴上方）两点．（Ⅰ）当|MA|＝2|AN|时，求直线l的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点B，使得∠ABM＝∠ABN，若存在，求B点出坐标，若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）设，直线l：x＝ky+2（k＞0）A（2，0），|MA|＝2|AN|⇒y1＝﹣2y2，∵∴．∴直线l的方程为（或．（Ⅱ）若存在B（t，0），∠ABM＝∠ABN⇒k BM+k BN＝0．∴⇒（﹣2﹣t）•（2k）＝0⇒t＝﹣2∴在x轴上存在点B，使得∠ABM＝∠ABN，点B坐标为（﹣2，0）．22．（12分）若曲线Γ上任意一点P与点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为﹣，过原点的直线与曲线Γ交于M，N两点，其中点M在第二象限，过点M作x轴的垂线交AN于点C．（1）求曲线Γ的方程；（2）试比较|AM|2与|AC|•|AN|大小．解：（1）设P的坐标为（x，y），由题意知k PA•k PB＝﹣，即•＝﹣，即y2＝﹣（x2﹣4），所以曲线Γ的方程为+y2＝1（y≠0）；（2）设直线AM的方程为y＝k（x+2），k＞0，代入椭圆方程得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4＝0，设M（x1，y1），则有﹣2x1＝，解得x1＝，从而|AM|＝|x1﹣（﹣2）|＝，由椭圆对称性可得N（﹣x1，﹣y1），所以k•k AN＝•＝＝﹣，于是k AN＝﹣，故|AN|＝|（﹣x1）﹣（﹣2）|＝•，|AC|＝|x1﹣（﹣2）|＝•，|AC|•|AN|＝（1+）•＝，所以|AM|2﹣|AC|•|AN|＝，因为点M在第二象限，所以k＞，＜0，于是有|AM|2＜|AC|•|AN|．。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题答案
x0
3 y0 3
，
直线
A2C
的方程为
y
y0 x0
3
x
3
，令
x 0，∴
N
0,
x0
3
y0 3
，………（8
分）
∴直线 TN 的倾斜角为 ，斜率为 tan
x0
3 y0 3 1
x0
3
y0 3
，直线
TM
的倾斜角为
2
，斜率为
3 y0
ta
n
2
1 tan
x0 1
3 3 y0 x0 3
∴ QM PM ，∴ QM MC1 PM MC1 r 4 QC1 2 2 ，……（2 分）
2021 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高二数学参考答案（共 8 页）第 4页
由椭圆的定义知，点 M 的轨迹是以 C1, Q 为焦点的椭圆，其中 2a r 4 ， 2c QC1 2 2 ，
大致图象如图所示：
令
f
x
t
，则二次方程
2t 2
t
m
0
有两个实数根 t1, t2
，∴
1 8m
0
m
1 8
；
当m
1 8
时， t1
t2
1 4
，2
f
2
x
f
x m
0
仅有三个不等实根，不符题意，舍；
当
m
1 8
时，不妨设 t1
t2
，则 t1
t2
1 2
, t1
t2
m 2
, t1
1, 0 ,t2
0,
1 e
，
当 m0时，即 m
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学(附解析版)
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题A ．5162a b+ B ．23a C ．5163a b+ D ．23a 3．已知直线1:20l x y -=，直线2:30l x ay --=，若A ．455B ．355C ．754．若圆221:2440C x x y y -+++=与圆22:(2)(C x ++A ．1B ．128．锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为角的面积1S =，则()(a c b +-二、多选题A ．PA PC ⋅为定值B ．OB OD ⋅的取值范围为[]25,7--C ．当AC BD ⊥时，如图以O 为原点，OP 为x 轴，则AB 中点M 22380x y x +--=D ．当AC BD ⊥时，四边形ABCD 面积的最大值为4012．已知四棱台1111ABCD A B C D -的下底面和上底面分别是边长为4和（ ）A．侧棱1CC上一点E，满足B．若E为1CC的中点，过A 三、填空题四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，90ABC ∠= ，1.AA AB =(1)D 为棱BC 上一点，证明：11AB A D⊥(2)在棱11B C 中是否存在一点E ，使得1AB //面1A EC ，若存在，指出E 点位置，并证明.若不存在，说明理由.18．（1）写出点()00,P x y 到直线:0l Ax By C ++=（,A B 不全为零）的距离公式;（2）当()00,P x y 不在直线l 上，证明()00,P x y 到直线():00l Ax By C AB ++=≠距离公式.（3）在空间解析几何中，若平面α的方程为：0Ax By Cz D +++=（,,A B C 不全为零），点()000,,P x y z ，试写出点P 到面α的距离公式（不要求证明）19．如图，等腰梯形ABCD 中，()40A -，，()40B ，，4CD =，//AB CD ，AB 与CD 的距离为6.(1)求等腰梯形ABCD 的外接圆E 的方程;(2)已知直线20x y m ++=与圆E 相交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，求实数m 的值.20．某电信运营公司为响应国家5G 网络建设政策，拟实行5G 网络流量阶梯定价，每人月用流量中不超过(kGB 一种流量计算单位)的部分按0.8元/GB 收费，超过kGB 的部分按2元/GB 收费，从用户群中随机调查了10000位用户，获得了他们某月的流量使用数据，整理得到如下的频率分布直方图.已知用户月使用流量的中位数为31.(1)求表中的;n (2)若k 为整数，依据本次调查为使85%以上用户在该月的流量价格为0.8元/GB ，则k 至少定为多少?(3)为了进一步了解用户使用5G 流量与年龄的相关关系，由频率分布直方图中流量在[)20,30和[)30,40两组用户中，按人数比例分配的分层抽样方法中抽取了100名用户，已知[)20,30组用户平均年龄为30，方差为36，流量在[)30,40组用户的平均年龄为20，方差为16，求抽取的100名用户年龄的方差.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//AD BC ，侧面PAB ⊥面ABCD ，2PA AB AD ===，4BC =，E 为PD 的中点.(1)求证：面PBC ⊥面PDC ；(2)若二面角P AD B --的大小为60︒，求BE 与面PBC 所成角的正弦值；(3)若平面PDC 与平面PAB 所成的锐二面角大小为60︒，求四棱锥P ABCD -的体积.22．如图，在平面直角坐标系中，P 为直线4y =上一动点，圆22:4O x y +=与x 轴的交点分别为,M N 点，圆O 与y 轴的交点分别为,S T 点.(1)若MTP △为等腰三角形，求P 点坐标;(2)若直线,PT PS 分别交圆O 于,A B 两点.①求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标;②求四边形ASBT 面积的最大值.。
2020 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学 答案
在犯错误的概率不超过 0.25 的前提下认为接种疫苗 A 对实验动物预防新型冠状病毒有效.
12 分
19.(1) 在 PAB、PAD 中，由 PB2 AB2 PA2 , PD2 AD2 PA2 ,
知 PA AB, PA AD, 又 AB AD A
PA 平面 ABCD ， PA BD PA AC A BD 平面 PAC 连接 BD ，在 PBD 中，由中位线性质，知 MN // BD . PA MN
ln x x
，
h( x)
1 ln x2
x
，
h(x)
在 (0, e) 上递增， (e,)
上递减， h(x)max
h(e)
1 e
a 1 e
2分 5分
鄂东南教改联盟学校期中联考 高二数学参考答案（共 4 页）第 3页
(2)由 x ln x ax2 0 知 ln x ax ， ln m am ， ln n an ，
0
1
2
3
4
81
27
27
3
1
P
256
64
128
64
256
E 4 1 1
4
12 分
21.（1） c 3, e c 3 a 2, b 1 ，椭圆 C： x2 y2 1
a2
4
设 Px0, y0 ，则 PF2
x0
3 2 y02
x02 2
3x0
3
1
x02 4
3 2
x0
2
2 x0 2
1 t
,
令 (t )
t
2 ln t 1 ，(t) t
1
2 t
1 t2
(t
1) 2 t2
2019-2020学年鄂东南省级示范高中高二(下)期中数学试卷(理科)(含答案解析)
2019-2020学年鄂东南省级示范高中高二(下)期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 7人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有( )种．A. 960种B. 840种C. 720种D. 600种2. 设f(x)为可导函数，且limℎ→0f(3)−f(3+ℎ)2ℎ=5，则f′(3)等于( )A. 5B. 10C. −5D. −103. (1+2x 2)(x −1x )6的展开式中，含x 2的项的系数是( )A. −40B. −25C. 25D. 554. 在对一种新药进行药效评估时，调查了20位开始使用这种药的人，结果有16人认为新药比常用药更有效，则( )A. 该新药的有效率为80%B. 该新药比常用药更有效C. 该新药为无效药D. 本试验需改进，故不能得出新药比常用药更有效的结论5. 已知直线的参数方程为(为参数)，则直线的普通方程为( )A.B.C.D.6. 已知离散型随机变量X 的分布列为P(X =1)=35，P(X =2)=310，P(X =3)=110，则X 的数学期望E(X)=( )A. 32B. 2C. 52D. 37. 已知随机变量X ～B(2,p)、Y ～N(2,σ2)，若P(X ≥1)=0.36，P(0<Y <2)=p ，则(Y >4)=( ) A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.48. 已知f(x)=lnx −ax +ex,g(x)=13x 3−x 2+2，若对∀x 1∈(0,1]，∀x 2∈[−1,1]，都有f(x 1)≥g(x 2)，则a 的取值范围为( )A. (−∞,2−e]B. (−2,2−e]C. (−∞．−2e )D. (−∞,−2e ]9. 从3男2女五人中选出3人组成一个工作小组，则至少含有1男1女的不同选法为( )A. 18B. 9C. 7D. 610.若∫(k2x+4)dx=12，则k=()A. 3B. 2C. 1D. 411.某事件的概率是万分之一，说明()A. 概率太小，该事件几乎不可能发生B. 10000次中一定发生1次C. 10000人中，9999人说不发生，1人说发生D. 10000次中不可能发生10000次12.设函数f(x)=+lnx，则()．A. x=为f(x)的极大值点B. x=为f(x)的极小值点C. x=2为f(x)的极大值点D. x=2为f(x)的极小值点二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在点(1,1)处的切线方程为________14.下列结论正确的是______ ．①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.35，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.7；②以模型y=ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=e4；③已知命题“若函数f(x)=e x−mx在(0,+∞)上是增函数，则m≤1”的逆否命题是“若m>1，则函数f(x)=e x−mx在(0,+∞)上是减函数”，是真命题；④设常数a、b∈R+，则不等式ax2−(a+b−1)x+b>0对∀x>1恒成立的充要条件是a≥b−1．15.一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有______种．16.直线y=1与曲线y=x 2−∖a∖vs4∖al∖co1(x)+a有四个交点，则a的取值范围为________________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求最大的自然数x，使得对每一个自然数y，x能整除7y+12y−1．18.3个女生和5个男生排成一排(1)女生必须全排在一起，有多少种排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种排法？19.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分期付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为150元；分2期或3期付款，其利润为200元；分A期或5期付款，其利润为250元设X表示经销一件该商品的利润．(1)记事件A为“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，求P(A)；(2)求X的分布列及期望EX．20.已知函数f(x)=x−1x+a+alnx(a∈R)．(1)当a<0时，试讨论f(x)的单调性；(2)令g(x)=−1x+(a+2)lnx−f(x)，若函数g(x)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2(x1≠x2)，求证：1x1+1x2>1．21.从某大学中随机抽取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示．求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报身高为172cm的女大学生的体重．22.已知函数f(x)=e x−12x2−ax(a∈R)．(Ⅰ)若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；(Ⅱ)若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；(Ⅲ)如果函数g(x)=f(x)−(a −12)x 2有两个不同的极值点x 1，x 2，证明：a >√e2．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由题意，甲、乙两人必须相邻，有A66A22=1440种，甲、乙两人必须相邻，与丙相邻，有A55A22A22=480种，∴甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，不同的排法有1440−480=960种．故选：A．本题考查排列知识的运用，考查间接法，考查学生的计算能力，属于中档题．利用间接法，求出甲、乙两人必须相邻，有A66A22=1440种，甲、乙两人必须相邻，与丙相邻，有A55A22A22=480种，即可得出结论．2.答案：D解析：本题主要考查导数的运算，根据导数的定义是解决本题的关键，属于基础题．根据导数的定义进行求解即可．解析：解：∵limℎ→0f(3)−f(3+ℎ)2ℎ=limℎ→0f(3+ℎ)−f(3)−2ℎ=−12limℎ→0f(3+ℎ)−f(3)ℎ=−12f′(3)=5，∴f′(3)=−10，故选：D3.答案：B解析：解：二项式(x−1x)6的展开式中，通项公式为T r+1=C6r⋅x6−r⋅(−1x)r=C6r⋅(−1)r⋅x6−2r，令6−2r=0，解得r=3，此时为C63⋅(−1)3=−20；令6−2r=2，解得r=2，此时C62⋅(−1)2⋅x2=15x2；所以展开式中含x2的项的系数是1×15+2×(−20)=−25．故选：B．根据二项式展开式的通项公式求出(x−1x)6展开式中的常数项和含x2项，再求结果即可．本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．4.答案：A解析：解：由题意，该新药的有效率为80%，故选A．利用调查了20位开始使用这种药的人，结果有16人认为新药比常用药更有效，可得结论．本题考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．5.答案：A解析：试题分析：两式相减消去得故选：A．6.答案：A解析：解：由数学期望的计算公式即可得出：E(X)=1×35+2×310+3×110=32．故选：A．利用数学期望的计算公式即可得出．本题考查了离散型随机变量的期望与方差．熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键．7.答案：C解析：解：∵随机变量X～B(2,p)，Y～N(2,σ2)，P(X≥1)=0.64，∴P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2))=C21P(1−P)+C22P2=0.36，可得p=0.2，进而P(0<Y<2)=p=0.2，由此能求出P(Y>4)=P(Y<0)=0.3．故选：C．推导出P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=C21P(1−P)+C22P2=0.36，从而p=0.2，进而P(0<Y<2)=p =0.2，由此能求出P(Y >4)．本题考查概率的求法，考查二项分布、正态分布等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．8.答案：D解析：解：g′(x)=x(x −2)，∴−1<x <0时，g′(x)>0，0<x <1时，g′(x)<0，g(x)max =g(0)=2， ∴f(x)=lnx −ax +ex ≥2在(0,1]恒成立，即a ≤xlnx +ex 2−2x 在(0,1]恒成立，令ℎ(x)=xlnx +ex 2−2x(0<x ≤1)，ℎ′(x)=lnx +2ex −1，ℎ″=1x +2e ≥恒成立， ∴ℎ′(x)在x ∈(0,1]单调递增，又x →0时，ℎ(x)→−∞，ℎ(1)=e −2>0， 故存在x 0∈(0,1]，使得0<x <x 0，ℎ′(x)<0，x 0<x <1，ℎ′(x)>0， 即ℎ′(x 0)=lnx 0+2ex 0−1=0，解得x 0=1e ， ∴ℎ(x)min =ℎ(1e )=−1e +e ⋅(1e )2−2⋅1e =−2e ， ∴a ≤−2e ， 故选：D ．f(x)=lnx −ax +ex,g(x)=13x 3−x 2+2，若对∀x 1∈(0,1]，∀x 2∈[−1,1]，都有f(x 1)≥g(x 2)，只需求出g(x)在定义域内的最大值，然后分离参数a ，a ≤xlnx +ex 2−2x 在(0,1]恒成立，进而求解； 考查不等式的恒成立，函数的最值，一阶导函数，二阶导函数，二分法，属于较难题目；9.答案：B解析：解：从3男2女五人中选出3人组成一个工作小组，没有限制条件的选择有C 53=10种，其中全是男生的有1种，故至少含有1男1女的不同选法为10−1=9种， 故选：B ．利用间接法，先求出没有限制条件的选择种数，再排除全是男生的种数，问题得以解决． 本题考查了组合的问题，正难则反的原则，属于基础题．10.答案：B2x+4)dx=(x2+4x)|0k=k2+4k=12，解析：解：由∫(k得k2+4k−12=0，解得k=−6(舍)或k=2．故选：B．求出导函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限得答案．本题考查定积分，关键是求出导函数的原函数，是基础题．11.答案：A解析：解：某事件的概率是万分之一，说明概率太小，该事件几乎不可能发生，故选：A．根据概率的定义分别判断即可．本题考查了概率的定义，考查对应思想，是一道基础题．12.答案：D解析：∵f(x)=+lnx(x>0)，∴f′(x)=−+．由f′(x)=0解得x=2．当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．∴x=2为f(x)的极小值点．13.答案：解析：试题分析：因为，所以，所以，所以在点(1,1)处的切线方程为，考点：导数的几何意义。
2023 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考数学参考答案
2023年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学参考答案123456789101112ACBCCBDACDABDABDBC13.014.16或20-15.4516.(],4-∞8.【详解】已知函数()1e x x k kf x x +-=+，则()10e x f x k x x k +≤≤⇔-有且只有一个负整数解.令()1ex g x x +=，则()1(1)ex g x x +=+'，当1x <-时，()0g x '<，当1x >-时，()0g x '>，所以()g x 在(),1-∞-上递减，在()1,-+∞上递增，当1x =-时，()g x 取得最小值1-.设()()1h x kx k k x =-=-，则()h x 恒过点()1,0.在同一坐标系中分别作出()y g x =和()y h x =的简图，显然01x =-，依题意得()()11g h -≥-且()()22g h -<-即12a -≥-且23e a -≥-，解得213e 2a <≤.故选：A.10．【详解】因为1(2)3n n S a n =+，所以，111(3)3n n S a n ++=+，两式相减得：1111(3)(2)33n n n a a n a n ++=+-+，即12n n n a a n ++=，故1432(1)1221n n n a n n n n +=⋅⋅⋅=+-- ，1(1)(2)(1)22n n n b a a n n n n n +=-=++-+=+，故数列{}n a 为二阶等差数列，故A 正确；对数列{}n S ，它的一阶差数列为{}1n a +，为二阶等差数列，故{}n S 为三阶等差数列，故B 正确；1111(1)1n a n n n n ==-++，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1nn +，故C 错误；对数列{}n T ，它的一阶差数列为{}1n b +，为k 阶等差数列，故{}n T 为(k +1)阶等差数列，故D 正确．故选：ABD11.【详解】由于33()()32324f x f x x px q x px q q +-=++--+=，故对称中心为(0,2q)，A 选项正确；2()33f'x x p =+，当()0f'x =时，x p =±-，其中p -为极小值点，p --为极大值点，其中()22f p p p q -=-+，()22f p p p q --=--+，由于320p q +=，当0q >时()0f p -=，当0q <时()0f p --=，两种情况下均只有两个零点，B 选项正确；当0q >时04k q <<，当0q <时40q k -<<，C 选项错误；由于()f x k =的三个零点分别为x 1,x 2,x 3故123()()()()f x k x x x x x x -=---，即33212312233112332()()x px q k x x x x x x x x x x x x x x x ++-=-+++++-故1230x x x ++=因此33312312333363x x x px px px q k ++=----+，D 选项正确.故选：ABD 12．【详解】令()1ln f x x x =--，则()111x f x x x-'=-=，当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，故()1ln f x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()1ln f x x x =--在1x =处取得极小值，也是最小值，()min 0f x =，故ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时等号成立，A 选项：n=1时不等式左右两端相等，故A 错误；B 选项：将ln 1≤-x x 中的x 替换为1x -，可得()ln 111x x x -≤--=-，1x <，当且仅当0x =时等号成立，令10x n =≠，可得11ln 1n n ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以()1ln ln 1n n n-->，故()111ln 2ln1ln 3ln 2ln ln 123n n n-+-++-->+++ ，其中()ln 2ln1ln 3ln 2ln ln 1ln ln1ln n n n n -+-++--=-= ，所以111ln 23n n>+++ ，B 正确；C 选项：将ln 1≤-x x 中的x 替换为21i n +，显然211in +≠，则22ln 1i in n ⎛⎫+<⎪⎝⎭，故222212(1)ln 1ln 1ln 12n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2n ≥时，2(1)1132224n n n n +=+≤，故3422211121e n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立；当1n =时，1133444216(e )e <<=显然成立，故2234211e 211n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 正确；D 选项：将ln 1≤-x x 中的x 替换为1n n-，其中，*N n ∈且2n ≥，则ln 11n n n <--，则1ln 1n n n -<-，故11enn n -⎛⎫< ⎪⎝⎭，则2312231e 1n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ，又231211232e⎛⎫⎛⎫+>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误.故选：ABC15.【详解】设123,,a a a 对应个位到百位上的数字，则*3N a ∈，N(1,2)i a i ∈=且1239a a a ++=，相当于将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，即10个空用2个隔板将其分开，故共210C =45种.故答案为：45.16.【详解】函数()2ln(e 48)4xa f x a x =⋅-+-的值域是实数集R ，则()2e 484x a g x a x =⋅-+-能取遍(0,)+∞内所有的数. ()e 4xg'x a =⋅-，当0a ≤时，()0g'x <，函数值域恒为R ；当0a >时，令()e 40xg'x a =⋅-=，则4lnx a=，()g x 在4(,ln )a -∞上单调递减，在4(ln ,)a+∞上单调递增，∴()g x 的最小值为244ln 4l 44n ag a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴244ln 404a a --≤成立，令24()4ln 44a h a a =--，()h a 在(0,)+∞上单调递增且(4)0h =，故04a <≤.综上：4a ≤.17．(1)40(2)30240【详解】(1)八个人坐两台车，只需要考虑A 车坐的人，先选一位老师坐入A 车，共12C 种选法，再选三名学生坐入A 车，共36C 种选法，因此共有1326C C 40=种分配方式；…………5分(2)先让6名学生排队，共66A 种方法，然后两名老师插入7个空隙，共27A 种方法，因此共有6267A A 30240=种站法.……………10分18．【详解】（1）()()222'xxx x a x x a f x e e 2---++==，()f x 有一个极值点是1-.()()212103a a ∴--+⋅-+=∴=，即()23x x f x e -=又()()()21323'x xx x x x f x e e-+--++==，x (),1-∞-1-()13-，3()3,+∞()'f x -+0-()f x 单调递减()12f e -=-单调递增()363e f =单调递减()1x f x ∴=-当时，有极小值，极小值为()12f e -=-.当x =3时，()f x 有极大值，极大值为()363f e =.……………6分（2）由（1）知，()[]2f x -在，-1上递减，[-1，3]上递增，[3，4]上递减，又()()234613242f e f e e e-=>=>-，，()[]2,4f x ∴-在上的最大值为()22f e -=.()[]2,4f x ∴-在上的最小值为()12f e -=-.……………12分19．(1)21n a n =-(2)21162(41)(43)nT n n =-+++【详解】(1)1n =时显然11a =，2n ≥时221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-1n =时也满足该等式，故21n a n =-，……………5分(2)2(1)1(1)11(1)()(21)(23)42123n nn n n n b n n a a n n +--==-=--+-+，21111111111111(1)()455943414377114143n T n n n n =--+-++-+-+-++--+-+ ()()111111111114414343644143624143n n n n n n 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=-+⋅-=-+ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因此21162(41)(43)n T n n =-+++…………12分20.【详解】（1）1111k k k k n nnnD DD D+-++=++.……………6分（2）由题意，设()521090191032x x a x a x a x a --=++++ ，当01291010x a a a a a ==+++++ 时，①当501291012x a a a a a =-=-++-+ 时，②①-②得：()13579232a a a a a ++++=-，1357916a a a a a ∴++++=-，即()5232x x --展开式中x 的奇次项系数之和为-16.……………12分21.【详解】（1）()()2211110n n nn aa a a ++++-= ，22221110n n n n n na a a aaa +++∴++-=，()()()11110n n n n n n n n a a a a a a a a ++++∴+++-=，()()1110n n n n n n a a a a a a +++∴++-=，{}n a 为正项数列，110n n n n a a a a ++∴+-=，即111n n a a +1-=，()1111n n n a a ∴=+-=，1n a n∴=.……………6分（2）22nn nn a =⋅ ，()2323112223222 1222122nn n n n S n S n n +=⋅+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++-⋅+⋅ ()2311111212222212212222n n n n n n n S n n n ++++∴-=⋅+⋅+++-⋅-=-⋅-=--⋅ ，()1122n n S n +∴=-⋅+，()()1122221222n n n n np n p q pS q p qp n +⋅-++++∴==-+，又12n npS qn +=-恒成立，211,1202p p q p q =⎧∴==-⎨+=⎩解得：，1,1.2p q ∴==-存在满足条件……………12分22.【详解】（1）()()2432212ln 4ln 'x x x x x f x x x ⋅-+-==，当()()01ln 0,'0,x x f x f x <<<>时，单调递增，当()()1ln 0,'0,x x f x f x >><时，单调递减，()f x ∴的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）.……………4分（2）由（1）知，()()0,1f x 在上递增，()1+∞，上递减()f x k ∴=的两个零点1201x x <<<下面先证明122x x +>：要证122x x +>，只需证212x x >-，21121x x >-> ，()()212f x f x ∴<-只需证，即证()()112f x f x <-，设()()()()2,01g x f x f x x =--<<，∴()()()334ln 24ln '2x x g x x x ---=+-，当()0,102,4ln 0x x x x ∈<<-->时，，()()()()()()3334ln 24ln 24ln '222x x x xg x x x x --⎡⎤---⎣⎦>+=---，()()()22111ln 20x x x x x ∴-=--<∴-<⎡⎤⎣⎦，()'0g x ∴>，即()()0,1g x 在上递增，()()10g x g ∴<=，即()()()()1112222f x f x f x f x x x <-∴<-∴+>，成立，.……………8分下面证明12112x x +<：()2212ln 1112ln x f x x x x +⎛⎫==⋅- ⎪⎝⎭ ,1x∴是函数()()212ln F x x x =-的零点,设()F x m n 零点为、，要证：12112 2.m n x x +<+<即证又()()'4ln 0,1F x x x =-在上递增，()1,+∞上递减，则0112m n n m <<<<<-则.要证()()()()222m n F n F m F m F m +<>->-即证即，令()()()()201h x F x F x x =--<<，()()()'4ln 42ln 2h x x x x x =----，()()2''4ln 44ln 244ln xh x x x x-=--+-+=()2011''0xx h x x-<<∴>> 即，即()'h x 单调递增，又()'10h =，()()'0h x h x ∴<∴，单调递减，()10h =，()0h x ∴>，即()()()()22F x F x F m F m >->-，，2m n ∴+<成立,即12112x x +<成立，1212112.x x x x ∴+>>+综上所述：………12分。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期起点考试数学试卷
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期起点考试数学试卷一、单选题1．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（ ）A ．1:1B ．3:2C ．π:3D ．4:π2．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A 表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B 表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C 表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（ ） A ．A 与B 互斥B ．B 与C 互为对立C ．A 与B 相互独立D ．A 与C 相互独立3．下列说法中正确的是（ ）A ．若两个平面都与第三个平面垂直，则这两个平面平行B ．已知a ，b ，c 为三条直线，若a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面C ．若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面4．已知M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且1324MN ON AP AN ==，，以,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 为基底，则OP u u u r 可以表示为（ ）A ．111244OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u rB ．111233OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u rC ．111433OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u rD ．111444OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r5．已知向量a r ，b r 不共线，满足a b a b +=-r r r r ，则a b -r r 在b r 方向上的投影向量为（ ）A ．a rB ．b rC ．12b -rD ．b -r6．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．270,75x s =< B ．270,75x s => C ．270,75s x ==D ．270,75x s <>7．在平面四边形ABCD 中，ABC V 为正三角形，AD CD ⊥，AD CD =1，将四边形沿AC 折起，得到如图2所示的四面体B ACD -，若四面体B ACD -外接球的球心为O ，当四面体B ACD -的体积最大时，点O 到平面ABD 的距离为（ ）A BC D 8．如图，边长为2的正方形ABCD 中，P ，Q 分别为边BC ，CD 上的点，2||AP AQ PQ ⋅=u u u r u u u r u u u r，则1AP 的最大值为（ ）A ．1BC D二、多选题9．衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分.得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（ ）A ．该次数学史知识测试及格率超过90%B ．该次数学史知识测试得满分的同学有15名C ．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D ．若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名10．已知O 是坐标原点，平面向量a OA =r u u u r ，b OB =r u u u r ，c OC =r u u u r，且a r 是单位向量，2a b ⋅=r r ，12a c ⋅=r r ，则下列结论正确的是（ ）A ．c a c =-r r r B ．若A ，B ，C 三点共线，则2133a b c =+r r rC ．若向量b a -r r 与c a -r r垂直，则2b c a +-r r r 的最小值为1D ．向量b a -r r 与b r11．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，,AC BD的交点为O ，顶点1,,A B C 到α，则（ ）A ．//BC 平面αB ．O 到平面α的距离为1C ．平面1A AC ⊥平面αD ．正方体的棱长为三、填空题12．已知向量()2,3,1a =-r ，()1,2,1b m =-r ，且a b ⊥r r，则m =．13．设钝角ABC V 三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若2a =，sin b A =3c =，则b =.14．甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为13，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为．四、解答题15．已知复数z 满足2z z +=，4i z z -=． (1)求3z +；(2)设复数zz ，2z z +，10z在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求cos ,AB BC u u u r u u u r ．16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，AB AC =，12AA AB =，点1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点O ，M 为11B C 的中点．(1)求证：1A M ⊥平面1A BC ；(2)求二面角11A BC B --的平面角的正弦值．17．在锐角ABC V 中，其内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22233b c a =-． (1)求tan tan BC的值； (2)若tan 3A =，3a =，求△ABC 的面积．18．辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[)[)[)[)[]50,6060,7070,8080,9090,100，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)若只有30%的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为 []80,100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有,,,,A A B C D +五个等级. 若两科笔试成绩均为A +，则直接参加；若一科笔试成绩为A +，另一科笔试成绩不低于B ，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响.甲在每科笔试中取得,,,,A A B C D +的概率分别为21113,,,,5612520；乙在每科笔试中取得,,,,A A B C D +的概率分别11211,,,,4551020；甲、乙在面试中通过的概率分别为15,516.求甲、乙能同时参加冬令营的概率.19．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理，如图1，由射线P A ，PB ，PC 构成的三面角P-ABC ，记APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，二面角A-PC-B 的大小为θ，则cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．如图2，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，11A A AC ==2AB =，且11A AD A AB ∠=∠．(1)在图2中，用三面角余弦定理求1cos A AB ∠的值；(2)在图2中，直线1AA 与平面ABCD 内任意一条直线的夹角为φ，证明：ππ32ϕ≤≤； (3)在图2中，过点B 作平面η，使平面//η平面11AC D ，且与直线1CC 相交于点P ，求11C PC C的值．。
2019-2020学年鄂东南省级示范高中高二(下)期中数学试卷(文科)(含答案解析)
2019-2020学年鄂东南省级示范高中高二(下)期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 复数z 满足z(1−i)=3+2i ，则复数z −=( ) A. 12+32i B. 12−32i C. 12−52i D. 12+52i 2. 已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则|QF|=( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 83. 如图，该茎叶图表示的是北方图书城某台自动售书机连续15天的售书数量(单位：本)，图中的数字7表示的意义是这台自动售书机在这15天中某天的售书数量为( )A. 7本B. 37本C. 27本D. 2337本4. 设θ∈R ，则“|θ−π6|<π6”是“cosθ>12”的( ) A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知函数y =cos(sinx)，则下列结论中正确的是( )A. 是奇函数B. 不是周期函数C. 定义域[−1,1]D. 值域是[cos1,1]6. 如图所示的程序图中输出的结果为( ) A. 2B. −2C. 12D. −127. 在棱长为3的正方体内任取一点P ，则点P 到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概率为( )A. 127B. π162C. 1−π162D. 26278.抛物线y=−x2的准线方程为()A. x=14B. x=−14C. y=14D. y=−149.若水以恒速(即单位时间内注入的体积相同)注入图的容器，则容器中水的高度h与时间t的函数关系的图象是()A.B.C.D.10.已知函数，则这个函数在点处的切线方程是()A. B. C. D.11.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，则的面积是()A. 7B.C.D.12.函数f(x)=2x2+4x+1在x∈[−2,4]的值域为()A. [−1,49]B. [1,49]C. [−1,1]D. [−49,1]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等差数列{a m}的公差d不为0，S n是其前n项和，给出下列命题：①若d>0，且S3=S8，则S5和S6都是{S m}中的最小项；②给定n，对于一切k∈N+(k<n)，都有a n−k+a n+k=2a m；③若d<0，则{S n}中一定有最大的项；④存在k∈N+，使a k−a k+1和a k−a k−1同号；⑤S2013>3(S1342−S671).其中正确命题的序号为______ ．14.下列四个命题：①“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0”，则a2+b2≠0”；②已知曲线C的方程是kx2+(4−k)y2=1(k∈R)，曲线C是椭圆的充要条件是0<k<4；③“m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m−2)x+(m+2)y−3=0相互垂直”的充分不必要条件；④已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率的值为√5．上述命题中真命题的序号为______．15.定义：对于映射f：A→B，如果A中的不同元素有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，则称f：A→B为一一映射．如果存在对应关系φ，使A到B成为一一映射，则称A和B具有相同的势．给出下列命题：①A={奇数}，B={偶数}，则A和B具有相同的势；②A是直角坐标系平面内所有点形成的集合，B是复数集，则A和B不具有相同的势；③若A={a⃗,b⃗ }，其中a⃗，b⃗ 是不共线向量，B={c⃗|c⃗与a⃗，b⃗ 共面的任意向量}，则A和B不可能具有相同的势；④若区间A=(−1,1)，B=(−∞,+∞)，则A和B具有相同的势．其中真命题为______ ．16.若关于x的方程√|1−x2|+kx=√2有3个不等实数根，则实数k的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设有两个命题，p：关于x的不等式a x>1(a>0且a≠1)的解集是{x|x<0}；q：不等式x2−x+a>0在R上恒成立．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18.已知复数z1=a−4i，z2=8+6i，z1为纯虚数，求实数a的值．z219.设函数f(x)=x．lnx(1)求f(x)的单调区间；(2)若对任意的x1，x2∈[2,3]都有|f(x1)−f(x2)|<m恒成立，求实数m的取值范围．20.在习总书记提出的“变害为利，造福人民”的木兰溪全流域治理系统过程中，莆田市环保局根据水文观测点的历史统计数据，得到木兰溪某段流域的每年最高水位X(单位：米)的频率分布直方图(如图).若将河流最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互独立．(1)求在未来3年里，至多有1年河流最高水位X∈[27,31)的概率(结果用分数表示)；(2)根据评估，该流域对沿河企业影响如下：当X∈[23,27)时，不会造成影响；当X∈[27,31)时，损失1000万元；当X ∈[31,35]时，损失6000万元．为减少损失，莆田市委在举行的一次治理听证会上产生了三种应对方案：方案一：布置能防御35米最高水位的工程，需要工程费用380万元；方案二：布置能防御31米最高水位的工程，需要工程费用200万元；方案三：不采取措施；试问哪种方案更好，请说明理由．21. 已知椭圆E 长轴的一个端点是抛物线y 2=12x 的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若A 、B 是椭圆E 的左右端点，O 为原点，P 是椭圆E 上异于A 、B 的任意一点，直线AP 、BP 分别交y 轴于M 、N ，问OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅0N ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值，说明理由．22.已知函数f(x)=x2+b图象上的点P(2,1)关于直线y=−x的对称点Q在函数g(x)=ln(−x)+a上．(Ⅰ)设ℎ(x)=g(x)−f(x)，求ℎ(x)的最大值；(Ⅱ)对任意x1∈[−e,−1]，x2∈[√e,e2]，不等式2k[g(x1)+2]+f(x1)−6<ln[f(x2)+3]恒成立，求实数k的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：由z(1−i)=3+2i，得z=3+2i1−i =(3+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=12+52i，∴z−=12−52i．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：本题考查了抛物线的定义，标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．过Q向准线l作垂线，垂足为Q′，根据已知条件，结合抛物线的定义得|FF′||QQ′|=|PF||PQ|=23，即可得出结论．解：如图，根据已知条件，结合抛物线的定义得|FF′||QQ′|=|PF||PQ|=23，∴|QQ′|=6，∴|QF|=6．故选：C．3.答案：C解析：解：根据茎叶图的干表示十位上的数字，叶表示个位上的数字，得图中的数字7在叶上，对应的十位数字是2，所以表示的意义是这台自动售书机的当天售书量为27本．故选：C ．茎叶图的干表示十位上的数字，叶表示个位上的数字，由此确定表示的意义．本题考查了茎叶图的认识应用问题，是基础题目．4.答案：A解析：解：由|θ−π6|<π6，得−π6<θ−π6<π6，则0<θ<π3，可得cosθ>cos π3=12． 反之，由cosθ>12，不一定有|θ−π6|<π6，如θ=2π．∴“|θ−π6|<π6”是“cosθ>12”的充分而不必要条件．故选：A ．由|θ−π6|<π6得0<θ<π3，可得cosθ>cos π3=12，举例说明由cosθ>12不一定有|θ−π6|<π6，则答案可求．本题考查充分必要条件的判定，考查余弦函数的单调性，是基础题． 5.答案：D解析：解：函数的定义域为(−∞,+∞)，故C 错误；f(−x)=cos(sin(−x))=cos(sinx)=f(x)，则函数f(x)是偶函数，故A 错误；∵−1≤sinx ≤1，∴cos1≤x ≤1，即函数的值域为[cos1,1]，故D 正确；∵f(x +2π)=cos(sin(x +2π))=cos(sinx)=f(x)，∴x =2π是函数f(x)的一个周期，故函数是周期函数，故B 错误．∴正确的结论是D ．故选：D ．根据三角函数奇偶性，单调性，周期性和值域的性质分别进行判断即可．本题考查命题的真假判断，涉及三角函数的奇偶性，定义域，值域，周期性的判断，利用相应的定义是解决本题的关键，是中档题．6.答案：A解析：解：程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：a i条件i≥4？循环前 2 1 否第1圈−1 2 否第2圈123 否第3圈 2 4 是可得，当i=4时，a=2.此时应该结束循环体并输出a的值为2．故选：A．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算a值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法，属于基础题．7.答案：D解析：解：由题意，符合点P到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的区域是以正方体的中心为中心棱长为1的正方体外部，根据几何概型公式可得点P到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概率为1−1333=2627；故选：D．由题意，符合点P到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的区域是以正方体的中心为中心棱长为1的正方体外部，根据几何概型公式可得．本题主要考查几何概型中的体积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即为概率．8.答案：C解析：本题考查抛物线的准线方程的求法，是基础题，先求出抛物线y=−x2的标准方程，再求抛物线y=−x2的准线方程．解：∵抛物线y=−x2的标准方程为x2=−y，∴抛物线y=−x2的准线方程为y=1．4故选：C．9.答案：C解析：解：此容器从下往上口径先由小、变大，再由大变小，故等速注入液体其高度增加先是越来越慢，再变快，只有C满足条件，故选C．考查容器的形状来确定其高度的变化规律，选择图形即可．本题主要考查函数的变化快慢问题，考查函数应用，属于中档题．10.答案：D解析：本题考查导数的几何意义，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．解：∵y=xlnx，∴y′=lnx+1∴x=1时，y′=1∴函数在点(1,0)处的切线方程是y−0=x−1，即y=x−1．故选D．11.答案：B解析：试题分析：由于椭圆方程，则可知因此可知其左焦点的坐标为()，AF1的直线方程为：y=，与椭圆方程联立，则可知交点的坐标为，则可知A的坐标，然后利用，故选B．考点：考查了椭圆的定义的运用。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷
湖北省2024年春季鄂东南期中联考高二数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f(x)在x=x0处的导数为6，则limΔx→0f(x0)−f(x0+Δx)3Δx=( )A. −2B. 2C. −6D. 62.在等差数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，a4+a13=6+a5，则S23=( )A. 118B. 128C. 138D. 1483.函数f(x)=cosx+xsinx在[0,π]上的最大值为( )A. 0B. π4C. π2D. π4.已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=1x+xln(−x)，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是( )A. 2x−y+1=0B. y=1C. 2x−y−1=0D. y=−15.式子C9−2n2n+C2n10−n的值为( )A. 27B. 127C. 5160D. 与n的取值有关6.2024年元旦期间，哈尔滨这座冰城火爆出圈，成为旅游城市中的顶流.某班级6位同学也准备趁着春节假期共赴一场冰雪之约.这6位同学准备在行程第一天去冰雪大世界、中央大街、防洪纪念塔三个景点中游玩.已知6位同学都会进行选择且只能选择其中一个景点，并且每个景点至少一位同学会选，则不同的选法总数为( )A. 240B. 360C. 420D. 5407.已知S n为数列{a n}的前n项和，数列{a n}满足：a1=1，(n−1)a n−n a n−1=1(n≥2)，记不超过x的最大整数为[x]，则[∑2024i=11S n]的值为( )A. 4B. 3C. 2D. 18.对任意的x∈[1e,+∞)，不等式2a e2ax−ex(2lnx+1)≥0恒成立，则正实数a的最小值为( )A. eB. 1C. 2eD.1e二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题
合，直线
MA、MB
的斜率分别为 k1、k2
，且 k1k2
=
-
1 2
，证明直线 l
过定点，并求出该定点；
(3)当点
P
在曲线
C
上运动时，求
3 2
|
PR
|
+
1 2
|
PQ
|
的最小值.
试卷第61 页，共33 页
参考答案：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 C
B
D
C
A
D
A
B
ACD ABC
题号 11
答案 ACD
1．C 【分析】根据复数的运算法则进行运算，再根据复数虚部的概念可得结果.
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2024-
2025 学年高二上学期期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
( ) 1．设复数 z = (1+ i) 1+ i2024
z ，则 的虚部为（
）
A．2i
出直线 l 的斜率的临界状态即可.
【详解】运用两点间的斜率公式， kAC
=
-1 - 1 1- 2
=
2 ， kBC
=
-1- 2
1- (-1)
=
-
3 2
，
过点 C 的直线 l 与线段 AB 有公共点时，如图所示，
直线
l
斜率的取值范围是
பைடு நூலகம்
(-¥,