第二讲 矩阵与线性方程组

矩阵与线性方程组

从历史上看, 矩阵正式作为数学中

的研究对象出现, 是在行列式的研究发

展起来之后. 英国数学家Arthur Cayley

(1821-1895)被公认为矩阵论的奠基人,

他提到矩阵概念“或是从行列式的概念

而来, 或是作为一个表达方程组的方便

的方法而来的”(莫里斯·克莱因《古今

数学思想》第33章).

矩阵在数学和物理学等其他科学分A. Cayley

支中，都有着广泛而重要的应用.

2.1 矩阵(matrix)与向量的乘积

例：

矩阵与向量的乘积等于矩阵的列向量的线性组合.

上述方程组

也可表示为

这诱导了矩阵乘向量的另一种定义：设则

通过的上述两种定义，我们对线性方程组可有两种新理解.

例：

理解一：求向量的线性组合，使之等于

理解二：求向量使之与系数矩阵行向量

的点积分别为

例：将平面上所有向量绕原点旋转角度则点在此旋

转变换下得像为

这可表示为

注：这节涉及到的矩阵都是行数与列数相同的矩阵，即方阵.

线性方程组解的情形比数量方程要复杂.

若对任意向量有唯一解，则是可逆的(invertible).

例：

任意给定方程组有唯一解

故系数矩阵是可逆矩阵.

对线性方程组若可逆，则可由常数项求得

矩阵称为的逆.

设若可逆，

则的全部线性组合是整个维空间.

此时写成的线性组合只有一种可能：

这时我们称向量线性无关(linearly independent). 相应

只有零解.

否则可以写成的多种线性组合.

如

这种情形下，称矩阵是奇异的(singular)，向量

是线性相关的(linearly dependent).

即存在不全为的数使

例（循环差分矩阵）

给定

若则为任意实数.（无穷多解）

若则方程组无解.

从几何上看，线性相关,

它们的全部线性组合是平面

总结：

若方阵的列向量线性无关，则可逆，只有零解.

若方阵的列向量线性相关，则奇异，有无穷多解.

给定一个线性方程组 ( 个方程, 个未知量)

(1)它可以写称矩阵形式

(2)从行(row)的角度看，每行代表一条直线，方程组的解为两直线的

交点.

方程组的行图(row picture)

(3)从列(column)的角度看，方程组可改写为

解方程组求关于系数矩阵列向量和的

线性组合.

可以看出

所以方程组的解为

方程组的列图(column picture)

(4)系数矩阵是可逆的.

考虑 , 求得（唯一解）.

一般地,设为矩阵,

方程组的每行表示一条直线或一张平面

或一张超平面

解方程组考察这些直线或平面或超平面是否有交点.

求满足

方程组对任意有唯一解可逆

此时（可表示为的列向量的线性组合）.

例

矩阵形式

行图

每行方程确定三维空间 中的一个平面,点 是三个平面的交点.

列图方程组

三个列向量

不共面，其线性组合可产生任意

三维列向量.

可逆：

有唯一解：

例：

系数矩阵的三个列向量与向量点积都为但常

数项故常数项不能表示为的列向

量的线性组合. 所以方程组无解.