最新高三数学全面练习题-逻辑与推理 (含答案)

高三新数学第一轮复习单元测试（11）—逻辑与推理

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间150分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。 1．下列说法正确的是

（ ）

A ．由合情推理得出的结论一定是正确的.

B ．合情推理必须有前提

有结论.

C ．合情推理不能猜想.

D ．合情推理得出

的结论无法判定正误

2．关于x 的方程()01122

2=+---k x x ，给出下列四个命题：

①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；

其中假．命题的个数是

（）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．下面说法正确的有

（）

（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；

（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；

（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；

（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关；

A．1个 B．2个 C．3个D．4个

4．对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：

‖AB‖=︱x1－x2︱+︱y1－y2︱。给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;

②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖2；

③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.

其中真命题的个数为

（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

5．已知全集U ＝R ，A ?U ，如果命题p ：3∈A∪B，则命题“非

p”

是 （ ）

A ．非p ：3?A

B ．非p ：3∈

C U B

C ．非p ：

3?A∩B

D ．非p ：

3∈（C U A ）∩（C U B ）

6．y x

＞1的一个充分不必要条件是

（ ） A ．x ＞y

B ．x ＞y ＞0

C ．x ＜y

D ．y ＜x ＜0

7．下面几种推理过程是演绎推理的是

（ ）

A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和

B ∠是两条平行直线

的同旁内角，则180A B ∠+∠=?.

B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质.

C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有

52人，由此推测各班都超过50人.

D ．在数列{}n a 中，()111

111,22n n n a a a n a

--??==+≥ ??

?

，由此归纳出{}n a 的通项公式.

8．下面几种推理是合情推理的是 （ ）

（1）由圆的性质类比出球的有关性质；

（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180?，归纳出所有三角形的内角和都是180?；

（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；

（4）三角形内角和是180?，四边形内角和是360?，五边形内角和是540?，由此得凸多边形内角和是()2180

n-??

A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）

9．命题p：若a、b∈R，则|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分条件，命题q：函数y＝|x－1|－2的定义域是(－∞，－1)∪[3，＋∞]，则（）

A．p或q为假B．p且q为真C．p真q假D．p假q真10．已知命题p：|x－1|≥2，q：x∈z．若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为

（）

A．{x|x≥3或x≤－1，x?z} B．{x|－1≤x≤3，x?z}

C．{－1，0，1，2，3} D．{0，1，2}

11．已知条件p：a、b是方程x2＋cx＋d＝0的两实根，条件q：a ＋b＋c＝0，则p是q的（）

A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必条件

12．下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种

C 3H 8

C 2H 6

CH 4

H

H H H

H H

H

H H

H

H H

H H

C C C C C H

H H

H C 化合物的分子式．．．是（ ） A ．C 4H 9

B ．

C 4H 10 C ．C 4H 11

D ．C 6H 12

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．由图（1）有面积关系：PA B PAB S PA PB S PA PB

''??''

?=?，则由图（2）有体积关系：P A B C P ABC

V V '''

--＝ .

B

A

P

B ’

A ’

图1

B

A

P

B ’

A ’ C

C ’ 图2

14．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2,周长C(r)=2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则

(πr2)`＝2πr ○1，

①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子：。

②式可以用语言叙述为：。

15．用半径相同的小球，堆在一起，成一个“正三棱锥” 型，第一层1 个，第二层3 个，则第三层有______个，第n 层有_______个。（设n > 1 ，小球不滚动）

16．下列命题中_________为真命题．

① “A∩B＝A”成立的必要条件是“A B”，

②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题，

③“全等三角形是相似三角形”的逆命题，

④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。

17．（12分）观察下列算式： 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52

你能得出怎样的结论？

18．（12分）当时，求证：a b +>0log ()log ()log ()12

12

212

21

2112

1a b a b +≥+++。

19．（12分）是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12

)1(+n n (an 2+bn +c )。

20．（12分）定义在(－1，1)上的函数f(x)满足 （ⅰ）对任意x 、y ∈(－1，1)有f(x)+f(y)=f(xy

y

x ++1) （ⅱ）当x ∈(－1,0)时，有f(x)＞0，

试研究f(5

1

)+f(

111)+…+f(1

3n n 12++)与f(21)的关系. 21．（12分）已知p ：|1－x －1

3

|≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，

且┐p 是┐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围． 22．（14分）问题1：求三维空间至多被n 个平面分割的区域数()n F .

问题2：求一个平面至多被n 条直线分割的区域数()n G 。 问题3：求一直线至多被n 个点分成的段数()n S 。

参考答案

一、选择题

1．B ；2．A ；3．D ；4．A ；5．D ；6．B ；7．A ；8．C ；9．D ；10．D ；11．A ；12．C ； 二、填空题

13．PC

PB PA PC PB PA ????'''；

14．（3

4

πR 3）`＝4πR 2，球的体积函数的导数等于球的表面积函数； 15．9，13-n ；

16．②④。 三、解答题

17．解：2)12(..............531n n =-++++

数学归纳法：

（1）当n=1时，左=1=右；

（2）假设n=k （*N k ∈）是结论成立，即2)12(......31k k =-+++成立。

则n=k ＋1时，

左边=22)1(12]1)1(2[)12(......31+=++=-++-+++k k k k k =右边 所以n=k 是结论成立，则n=k ＋1时结论也成立；

（3）综上所述结论对于所有的自然数都成立。 18．证明：要证明log ()log ()log ()12

12

212

212112

1a b a b +≥+++成立

只要证明只要证21111012

12212

212

2

12

2

2

log ()log ()log ()

log ()log ()()

()

a b a b a b a b a b +≥++++≥+++>

由于函数在区间内是减函数

只要证即证即证y x a b a b a ab b a b a b ab =+∞∴+≤++++≤++-+≥log (,)()()()()()12

222222222011211210

即证()ab -≥102上式显然成立

∴原不等式成立。

19．解:假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，

这时令

n =1,2,3,有???

??===∴????

??

???++=++=++=10

113 3970)24(2122)(614c b a c

b a

c b a c b a 于是，对n =1,2,3下面等式成立

1·22+2·32+…+n (n +1)2=)10113(12

)1(2+++n n n n

记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2

设n =k 时上式成立，即S k =12

)1(+k k (3k 2+11k +10) 那么

S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2

)1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2

=12

)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24)

=12

)2)(1(++k k ［3(k +1)2+11(k +1)+10］

也就是说，等式对n =k +1也成立。

综上所述，当a =3,b =11,c =10时，题设对一切自然数n 均成立。 20．简析：由(ⅰ)、(ⅱ)可知f(x)是(－1，1)上的奇函数且是减函数.

f(

1

3n n 1

2++)=f(1-2)1)(n (n 1++)

=f(211111)21

(11+-?+++-++n n n n ) =f(1n 1+)+f(－2n 1+)

=f(1n 1+)－f(2

n 1+)

∴f(5

1)+f(

111)+…+f(13n n 12++) =［f(21)－f(31)］+［f(31)－f(41)］+…+［f(1n 1+)－f(2n 1

+)］

=f(21)－f(2n 1+)＞f(2

1)

∵0＜2n 1

+＜1，

∴f(2

n 1+)＜0

21．解法一：由

p ：|1－31

-x |≤2，解得－2≤x≤10

∴“非p”：A ＝{x|x ＞10或x ＜－2＝．

由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，解得1－m≤x≤1＋m （m ＞0） ∴“非q”：B ＝{x|x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0＝ 由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：A ?B ．

???

??≤+-≥->101210m m m

解得0＜m≤3．

∴满足条件的m 的取值范围为{m|0＜m≤3＝．

解法二：本题也可以根据四种命题间的关系进行等价转换． 由“非p”是“非q”的必要而不充分条件． 即“非q”?“非p”，但“非p”“非q”，可以等价转换

为它的逆否命题：“p ?q ，但q

p”．

即p 是q 的充分而不必要条件．

由|1－31

-x |≤2，解得－2≤x≤10，

∴p＝{x|－2≤x≤10}

由x 2－2x ＋1－m 2＞0，解得1－m≤x≤1＋m （m ＞0） ∴q＝{x|1－m≤x≤1＋m ，m ＞0}

由p 是q 的充分而不必要条件可知：

q ?p ??

??

??≤+-≥->101210m m m

解得0＜m≤3．

∴满足条件的m 的取值范围为{m|0＜m≤3}． 22．

先考虑特殊情况：()21=F ，()42=F ()83=F ，但凭借几何直观难以想象4=n 的情况，于是转向考虑平面上类似问题。

先考虑特殊情况：()21=G ，()42=G ，()43=G ，()114=G ，但是随着直线数目的增多，情况越来越复杂，不能立即得出()n G 的一般表达式。于是，通过类比进一步考虑更简单的问题。

显然，这个问题易解决。()21=S ，()32=S ，…，()1+=n n S 。 将以上讨论的结果整理成下表：

观察上表，发现()()n S n G 和列中两列数之和，等于()n G 的下一列中的数字；

()n F 和()n G 列中的并列两数之和等于()n F 的下一行中的数字，于是

归纳出一般的结论 ：

()()()11-+-=n S n G n G ()()()11-+-=n G n F n F .

这个结论是否正确？如果正确，又应怎样进行证明呢？ 再从特殊情况进行分析：三条直线分成七个部分，第四 条直线l 与前三条直线均相交，三个交点为1A ,2A ,3A （图5－

12）。直线l 所穿过的区域均被l 分为两部分，于是增加的区域数 A 3 l

就电脑关于直线l 穿过的区域数，而直线l 穿过的区域数等于l 被点 A 1 A 2

1A ,2A ,3A 分成的段数()3S ，于是，()()()334S G G +=。

对4=n 的分析，可以一字不差地适用于一般情况 图5－12

()()()11-+-=n S n G n G 的证明。这样，

()()n n G n G +-=1，

()2

1022

2n n n C C C n n n G ++=++=。

关于平面()n G 的表达式的推导也可以类比到三维空间，于是，

()()()11-+-=n G n F n F ， ()()∑∑∑-=-=--+++=1

1

1

1

1

2

2101n i n i n i i i

i

C C C F n F

()3212n n C C n ++-+=

3210n n n n C C C C +++= ()3≥n

这样，刚开始提出的三个问题均得到圆满的解决。

当然，如果把()1+=n n S 记为()1

0n n C C n S += ，那么，由()n S ，()n G 、

()n F 的表达式可以归纳出更一般的结论；m 维空间最多能被n 个

1-m 维平面分割的区域数()m

n n n n m

C C C E ++=10 。