数据通信纠错编码方式
纠错码原理与方法
纠错码原理与方法纠错码是一种通过特定算法和编码方式，可以在数据传输过程中检测和纠正错误的技术。
它广泛应用于通信、存储、数字电视和计算机存储介质等领域，在保证数据完整性和可靠性的同时，提高了数据传输的效率。
本文将重点介绍纠错码的原理和方法。
一、纠错码的原理在数据传输过程中，由于信号传输过程中会受到干扰和噪声的影响，从而导致数据出现错误。
为保证数据的完整性和可靠性，需要引入纠错码技术进行校验和纠正。
纠错码的原理主要是通过添加冗余信息，对原始数据进行编码，从而在数据传输过程中进行误差检测和纠正。
二、纠错码的方法目前，常用的纠错码方法主要包括海明码、码距、循环冗余检验码(CRC)和卷积码等。
不同的方法在实际应用中表现各异，根据具体需求和数据特征选择适合的纠错码方法。
1. 海明码海明码是最早被广泛应用的纠错码方法之一，它通过将原始数据进行重复编码，添加奇偶校验位，从而实现了数据的纠错和检测。
海明码的实现过程主要包括以下几个步骤：(1) 将原始数据进行二进制编码。
(2) 确定每个校验位控制的数据位，根据数据位反转次数的奇偶性确定校验位的值。
(3) 计算每个数据位和相应的校验位的奇偶性并组成一个编码。
(4) 将编码中出现错误的位置进行纠正。
2. 码距码距是另一种常用的纠错码方法，它通过在编码中保持相邻状态之间的距离，从而在数据传输过程中实现检测和纠正。
码距的实现过程主要包括以下几个步骤：(1) 将原始数据进行编码。
(2) 确定编码之间的距离，当两个编码之间的距离超过指定的阈值时，可以检测和纠正数据的错误。
3. CRCCRC是一种不可逆的编码方式，它通过采用多项式除法的方法，对数据进行编码和校验。
它的实现过程主要包括以下几个步骤：(1) 选择一个固定的生成多项式，对原始数据进行除法运算，得到余数。
(2) 将余数追加到原始数据之后，形成校验码。
(3) 在数据传输过程中，对校验码进行取模运算，如果余数为0，则数据没有错误，否则存在错误，需要进行纠正。
常用的纠错码
常用的纠错码纠错码（Error Correction Code）是一种用于检测和纠正数据传输过程中出现的错误的技术。
在数据传输、存储和处理中，由于噪声、干扰等原因，数据往往会发生错误。
纠错码通过在原始数据中添加冗余信息，使得接收方在接收到含有错误的数据时，能够通过冗余信息来检测和纠正这些错误，从而提高数据的可靠性和完整性。
常用的纠错码有海明码（Hamming Code）、RS码（Reed-Solomon Code）、BCH码（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem Code）等。
下面将分别对这些纠错码进行介绍。
海明码是一种最早被广泛应用的纠错码。
它通过在原始数据中添加冗余位，使得接收方能够检测并纠正单个比特的错误。
海明码的基本思想是将原始数据划分成若干个数据块，并为每个数据块添加冗余位。
接收方在接收到数据时，通过对数据块和冗余位进行异或运算，可以检测出错误的位置，并进行纠正。
海明码的纠错能力较强，能够纠正多个比特的错误。
RS码是一种广泛应用于数字通信和存储系统中的纠错码。
RS码采用了一种更加复杂的编码方式，能够在数据中添加更多的冗余信息，从而使得接收方能够纠正更多的错误。
RS码的基本原理是将原始数据看作一个多项式，并通过计算多项式的值来生成冗余信息。
接收方在接收到数据时，通过计算多项式的值，并使用一定的算法来解码，从而可以检测和纠正错误。
BCH码是一种开发于二十世纪六十年代的纠错码。
BCH码是一种能够纠正多个错误的纠错码，同时也是一种具有较低复杂度的纠错码。
BCH码的基本原理是将原始数据看作一个多项式，并通过计算多项式的值来生成冗余信息。
接收方在接收到数据时，通过计算多项式的值，并使用一定的算法来解码，从而可以检测和纠正错误。
除了海明码、RS码和BCH码，还有很多其他的纠错码，如卷积码、Turbo码等。
这些纠错码在不同的应用场景中具有不同的优势。
卷积码是一种连续时间码，适用于通信系统中的高速数据传输。
数据通信纠错编码方式
纠错编码方式简介2.1 奇偶监督码奇偶校验码也称奇偶监督码，它是一种最简单的线性分组检错编码方式。
其方法是首先把信源编码后的信息数据流分成等长码组，在每一信息码组之后加入一位(1比特)监督码元作为奇偶检验位，使得总码长n(包括信息位k和监督位1)中的码重为偶数(称为偶校验码)或为奇数(称为奇校验码)。
如果在传输过程中任何一个码组发生一位(或奇数位)错误，则收到的码组必然不再符合奇偶校验的规律，因此可以发现误码。
奇校验和偶校验两者具有完全相同的工作原理和检错能力，原则上采用任一种都是可以的。
由于每两个1的模2相加为0，故利用模2加法可以判断一个码组中码重是奇数或是偶数。
模2 加法等同于“异或”运算。
现以偶监督为例。
对于偶校验，应满足故监督位码元a 0可由下式求出：(2－2)不难理解，这种奇偶校验编码只能检出单个或奇数个误码，而无法检知偶数个误码，对于连续多位的突发性误码也不能检知，故检错能力有限，另外，该编码后码组的最小码距为 =2，故没有纠错码能力。
奇偶监督码常用于反馈纠错法。
2.2 行列监督码行列监督码是二维的奇偶监督码，又称为矩阵码，这种码可以克服奇偶监督码不能发现偶数个差错的缺点，并且是一种用以纠正突发差错的简单纠正编码。
其基本原理与简单的奇偶监督码相似，不同的是每个码元要受到纵和横的两次监督。
具体编码方法如下：将若干个所要传送的码组编成一个矩阵，矩阵中每一行为一码组，每行的最后加上一个监督码元，进行奇偶监督，矩阵中的每一列则由不同码组相同位置的码元组成，在每列最后也加上一个监督码元，进行奇偶监督。
如果用×表示信息位，用 表示监督位，由矩阵码的结构可如图6－5所示，这样，它的一致监督关系按行及列组成。
每一行每一列都是一个奇偶监督码，当某一行(或某一列)出现偶数个差错时，该行(或该列)虽不能发现，但只要差错所在的列(或行)，没有同时出现偶数个差错，则这种差错仍然可以被发现。
矩阵码不能发现的差错只有这样一类：差错数正好为4倍数，而且差错位置正好构成矩形的四个角，如图6－ 5中所示有的差错情况。
通信协议中的错误检测与纠错编码
通信协议中的错误检测与纠错编码引言：在现代社会中，通信协议的重要性日益凸显。
无论是在互联网领域还是移动通信领域，错误检测与纠错编码技术的应用都起到了至关重要的作用。
本文将从错误检测和纠错编码的概念入手，详细阐述它们在通信协议中的应用，并分析其步骤与原理。
一、错误检测的概念与应用1.1 错误检测的定义：错误检测是指通过对传输或处理过程中的数据进行校验，以确定是否存在数据传输中的错误。
1.2 错误检测的应用：错误检测在通信协议中起到了至关重要的作用，它可以确保发送和接收的数据在传输过程中没有被篡改或损坏。
二、常见的错误检测方法2.1 奇偶校验：奇偶校验是最简单且较常用的错误检测方法之一。
它通过向数据添加一个奇偶位来检查数据中的错误。
2.2 循环冗余检测（CRC）：CRC是一种广泛应用于通信协议中的错误检测方法。
它通过在数据末尾附加冗余位，检测数据传输中是否发生错误。
三、纠错编码的概念与应用3.1 纠错编码的定义：纠错编码是指通过增加冗余信息来纠正数据传输过程中的错误。
它可以在一定范围内自动检测和修复错误。
3.2 纠错编码的应用：纠错编码在通信协议中起到了重要的作用，可以提高数据传输的可靠性和数据完整性。
四、常见的纠错编码方法4.1 海明码：海明码是一种最基本的纠错编码方法。
通过向数据中添加冗余位，可以检测和纠正多个错误。
4.2 重复编码：重复编码是一种简单而有效的纠错编码方法。
它通过将每个比特重复多次来增加数据的冗余度，提高错误检测和纠正的能力。
五、错误检测与纠错编码的步骤与原理5.1 错误检测的步骤与原理：错误检测的步骤包括数据分组、校验计算和校验比较。
其原理是通过对发送和接收的数据进行计算，并比较校验值来确定是否存在错误。
5.2 纠错编码的步骤与原理：纠错编码的步骤包括数据编码、冗余位计算和恢复。
其原理是通过在发送数据中添加冗余位，并使用纠错算法来纠正接收数据中的错误。
结论：错误检测与纠错编码技术在通信协议中起着重要的作用，可以提高数据传输的可靠性和完整性。
了解通信技术中的信道编码方法
了解通信技术中的信道编码方法在通信技术中，信道编码方法起到了非常重要的作用，它们能够帮助我们在信道传输过程中提高数据的可靠性和传输效率。
本文将着重介绍几种常见的信道编码方法，包括前向纠错编码、自动重复请求编码和差错检测编码。
前向纠错编码是一种常见的、被广泛应用于数字通信中的编码方法。
它通过在发送端引入冗余的校验位来检测和纠正传输中可能出现的错误。
最常见的前向纠错编码方法是海明码，它通过对数据进行编码，使得在接收端即使出现了一定数量的错误比特，也可以通过相关的纠错算法恢复原始数据。
海明码具有较高的纠错能力，并且可以灵活地根据实际需要选择纠错级别。
另一种常见的信道编码方法是自动重复请求编码。
它是一种简单而有效的编码方式，可以通过多次重复发送同一数据来提高数据的传输可靠性。
在自动重复请求编码中，发送端会将原始数据进行多次复制，并且在每个复制的数据中插入校验序列，以便接收端可以进行数据的校验和恢复。
通过反复发送同一数据，即使在传输过程中发生了一些错误，接收端仍然可以通过多个副本进行数据恢复，从而提高了传输的可靠性。
差错检测编码是一种常用的、简单而有效的编码方法，用于检测传输中可能出现的错误。
在差错检测编码中，发送端通过引入一定数量的冗余信息来对原始数据进行编码，从而使得接收端可以通过对接收到的编码信息进行检验，判断数据是否受到了错误的影响。
最常见的差错检测编码方法包括奇偶校验码和循环冗余检验码。
奇偶校验码通过在每个数据块中添加一个奇偶校验位来检测错误，而循环冗余检验码则通过使用多项式除法来判断数据是否受到了错误的影响。
除了上述介绍的几种常见的信道编码方法之外，还存在许多其他的编码方法，它们在不同的通信场景中具有不同的应用。
例如，卷积码是一种常见的基于状态机的编码方法，它通过引入状态和状态转移来提高编码效率和纠错能力。
扩频码则是一种常见的用于抗干扰和提高安全性的编码方法，它通过在数据序列中添加冗余信息来增加数据的宽带。
通信技术中的错误纠正编码方法
通信技术中的错误纠正编码方法在现代通信技术中，信息的传输往往会受到各种干扰和噪声的影响，从而导致传输中发生错误。
为了保证数据的可靠传输，人们研发了一系列的错误纠正编码方法。
本文将介绍通信技术中常见的错误纠正编码方法，包括海明码、卷积码和LDPC码。
我们来介绍海明码。
海明码是一种最早被广泛应用的错误纠正编码方法。
它通过在数据中增加冗余信息来检测和纠正传输中的错误。
具体而言，海明码将原始数据分成若干个片段，并为每个片段添加额外的校验位。
接收端在接收到数据后，通过计算校验位来检测是否存在错误，并根据校验位的结果进行错误的纠正。
卷积码是一种常见的错误纠正编码方法。
与海明码不同，卷积码利用了移位寄存器和异或逻辑门来生成冗余码。
在发送端，原始数据被分成连续的码片，并经过卷积映射成冗余码。
接收端则通过反馈移位寄存器和Viterbi算法来对传输中的错误进行纠正。
卷积码具有良好的纠错性能，在无线通信和卫星通信等领域得到广泛应用。
我们来介绍LDPC码，即低密度奇偶校验码。
LDPC码是一种基于奇偶校验矩阵的错误纠正编码方法。
它的特点是在编码过程中使用了稀疏的校验矩阵，从而使得译码时的运算量大大减小。
LDPC码通过在原始数据中引入冗余信息，并通过概率图模型和迭代解码算法来进行错误的纠正。
LDPC码在通信系统中表现出较好的纠错性能和误码率性能。
在实际应用中，以上三种错误纠正编码方法常常会结合使用，以提高数据传输的可靠性和纠错能力。
例如，在无线通信中，海明码和卷积码通常被用于物理层的信号处理，而LDPC码则常应用于数据链路层的纠错编码。
通过不同级别的编码和纠错处理，可以有效地提高数据的可靠性和抗干扰能力。
还有其他一些错误纠正编码方法，如重复码、置换码和分组码等。
这些编码方法各有特点，适用于不同的通信场景和需求。
在实践中，我们需要根据具体的应用场景选择合适的错误纠正编码方法，以保证数据的可靠传输和完整性。
总结起来，通信技术中的错误纠正编码方法在不断的发展与突破中，海明码、卷积码和LDPC码都是其中常见且重要的代表。
数据通信中的误码率与纠错编码技术
数据通信中的误码率与纠错编码技术引言：- 说明数据通信中的误码率问题的重要性- 引出纠错编码技术的作用一、误码率的定义和影响因素：- 解释误码率的定义：指在数据传输过程中接收端出现错误比特的概率- 列举影响误码率的主要因素：信道噪声、传输距离、传输速率等二、误码率与纠错编码技术的关系：- 解释纠错编码技术的基本原理：通过在发送端引入冗余信息，接收端可以恢复原始数据- 强调纠错编码技术对误码率降低的作用三、常见的纠错编码技术：1. 奇偶校验码：- 解释奇偶校验码的基本原理：通过在数据最后添加一位校验位，使得数据中的1的个数为偶数或奇数- 介绍奇偶校验码的局限性：只能发现奇数位错误，无法进行纠错2. 海明码：- 解释海明码的基本原理：通过在数据中插入冗余位，并使用校验矩阵进行校验和纠错- 说明海明码的纠错能力：可以检测和纠正多位错误3. 重复编码：- 解释重复编码的基本原理：将每一位数据复制多次进行传输，接收端选择出现次数最多的数据位作为原始数据- 讨论重复编码的效率和纠错能力：虽然效率低下，但对于一定数量的错误能够进行纠正4. BCH码：- 说明BCH码的基本原理：通过多项式运算进行编码和解码，具有高纠错能力- 强调BCH码在数字通信和存储领域的广泛应用四、纠错编码技术的局限性和发展方向：- 提醒纠错编码技术并非完美，仍存在一定的误码率- 提出提高纠错编码技术性能的发展方向：新型编码算法、异构纠错编码等结论：- 总结数据通信中误码率与纠错编码技术的关系和作用- 强调纠错编码技术在实际应用中的重要性- 展望纠错编码技术的未来发展前景及其对数据通信的重要意义注：此为简化版本的范文提纲，实际写作过程中可根据需要适量扩充和调整。
数据通信中的错误检测与纠正方法
数据通信中的错误检测与纠正方法标题：数据通信中的错误检测与纠正方法引言：随着信息技术的快速发展和普及，数据通信在我们的日常生活中扮演着越来越重要的角色。
然而，由于多种原因，数据在传输过程中可能会出现错误。
为了确保数据的准确和完整性，错误检测和纠正方法变得至关重要。
本文将介绍常见的数据通信中的错误检测与纠正方法，并分步骤详细说明每种方法的原理和应用。
一、奇偶校验（Parity Check）1. 原理：奇偶校验是一种简单的错误检测方法。
通过在传输的数据中添加一个奇偶位，使得传输的数据中“1”的个数为奇数或偶数。
接收方在接收到数据后进行奇偶校验，如果奇偶位与接收到的数据中“1”的个数不一致，则认为数据传输出现错误。
2. 应用：常用于低速数据传输和简单通信协议，如串口通信和电子邮件。
二、循环冗余检验（Cyclic Redundancy Check，CRC）1. 原理：CRC是一种基于多项式除法的错误检测方法。
发送方需要选择一个生成多项式，并使用该多项式对待发送数据进行除法运算，得到余数后附加在数据后一起发送。
接收方将接收到的数据再次进行除法运算，如果余数为0，则认为数据传输正确。
2. 应用：常用于高速数据传输和网络通信，如以太网和无线通信。
三、海明码（Hamming Code）1. 原理：海明码是一种具有纠错能力的编码方式。
将待发送的数据按照一定规则进行编码，使得接收方能够检测并纠正一定数量的错误位。
海明码通过在数据中添加冗余位实现纠错功能。
2. 应用：常用于存储介质（如硬盘）和数字通信系统，如磁盘驱动器和无线传感器网络。
四、重复发送与确认应答1. 原理：重复发送与确认应答是一种简单有效的纠错方法。
发送方将数据分成多个块，并连续发送给接收方，接收方在接收到每个数据块后进行确认应答。
如果发送方未收到确认应答或者接收到错误的确认应答，将重新发送相同的数据块。
2. 应用：常用于无线通信和流媒体传输，如实时视频和音频传输。
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纠错编码方式简介2.1 奇偶监督码奇偶校验码也称奇偶监督码，它是一种最简单的线性分组检错编码方式。
其方法是首先把信源编码后的信息数据流分成等长码组，在每一信息码组之后加入一位(1比特)监督码元作为奇偶检验位，使得总码长n(包括信息位k和监督位1)中的码重为偶数(称为偶校验码)或为奇数(称为奇校验码)。
如果在传输过程中任何一个码组发生一位(或奇数位)错误，则收到的码组必然不再符合奇偶校验的规律，因此可以发现误码。
奇校验和偶校验两者具有完全相同的工作原理和检错能力，原则上采用任一种都是可以的。
由于每两个1的模2相加为0，故利用模2加法可以判断一个码组中码重是奇数或是偶数。
模2 加法等同于“异或”运算。
现以偶监督为例。
对于偶校验，应满足故监督位码元a 0可由下式求出：(2－2)不难理解，这种奇偶校验编码只能检出单个或奇数个误码，而无法检知偶数个误码，对于连续多位的突发性误码也不能检知，故检错能力有限，另外，该编码后码组的最小码距为 =2，故没有纠错码能力。
奇偶监督码常用于反馈纠错法。
2.2 行列监督码行列监督码是二维的奇偶监督码，又称为矩阵码，这种码可以克服奇偶监督码不能发现偶数个差错的缺点，并且是一种用以纠正突发差错的简单纠正编码。
其基本原理与简单的奇偶监督码相似，不同的是每个码元要受到纵和横的两次监督。
具体编码方法如下：将若干个所要传送的码组编成一个矩阵，矩阵中每一行为一码组，每行的最后加上一个监督码元，进行奇偶监督，矩阵中的每一列则由不同码组相同位置的码元组成，在每列最后也加上一个监督码元，进行奇偶监督。
如果用×表示信息位，用 表示监督位，由矩阵码的结构可如图6－5所示，这样，它的一致监督关系按行及列组成。
每一行每一列都是一个奇偶监督码，当某一行(或某一列)出现偶数个差错时，该行(或该列)虽不能发现，但只要差错所在的列(或行)，没有同时出现偶数个差错，则这种差错仍然可以被发现。
矩阵码不能发现的差错只有这样一类：差错数正好为4倍数，而且差错位置正好构成矩形的四个角，如图6－ 5中所示有的差错情况。
因此，矩阵码发现错码的能力是十分强的，它的编码效率当然比奇偶监督码要低。
2.3 恒比码恒比码又称为定比码。
在恒比码中，每个码组“1”和“0”都保持固定的比例，故得此名。
这种码在检测时，只要计算接收到的码组中“1”的数目是否对就知道有无错误。
在我国用电传机传输汉字时，只使用阿拉伯数字代表汉字。
这时采用的所谓“保护电码”就 是“3∶2”或称“5中取3”的恒比码，即每个码组的长度为5，其中“1”的个数总是3，而 “0”的个数总是2。
如表6－2所示。
表 6－2数字字符 普通的五单位码 恒比码1 2 3 4 5 11101 11001 10000 01010 00001 01011 11001 10110 11010 00111 6 7 8 9 010101 11100 01100 00011 0110110101 11100 01110 10011 01101本来以5位码元组成的码组总共可以有2 5=32种，而恒比码规定只有确切地含有3个“1”， 2个“0”的那些码组为准用码组，而有3个“1”，2个“0”的5位码组共有多少?这是“5中 取3”求组合的算法，组合数为，一般情况下， 从“n 中取m”(m＜n)恒比码的码组数为：由此可以看出，恒比码实际上是n 个码元传送比特信息，例如上述“3∶2”即 “5中取2”恒比码，用5位码只传10种信息。
每个码组的信息量为，有5-3.3=1.7bit 作为代价付出。
恒比码适用于传输字母和符号。
2.4 汉明码汉明码属于线性分组编码方式，大多数分组码属于线性编码，其基本原理是，使信息码元与监督码元通过线性方程式联系起来。
线性码建立在代数学群论的基础上，各许用码组的集合构成代数学中的群，故又称为群码。
(1)校验子和监督关系式我们先回顾一下按式(2－2)条件构成的偶数监督码。
由于我们使用了一位监督码C0，它就能和信息码一起构成一个代数式，在接收端解码时，我们实际上是在计算，若S=0，就认为无错码。
若S=1，就认为有错码。
上式就是一致监督关系式。
S称为“校验子”。
由于校验子S的取值只有这样两种，它就只能代表有错和无错两种信息，而不能指出错码的位置。
我们不难推想，如监督位增加一位，变成两位，则能增加一个类似于式(2－3)的监督关系式。
两个校验子的可能值有4种组合00，01，10，11。
故能表示4种不同的信息，其中一种表示无错，其余三种就有可能用来指示一位错码的3种不同位置。
同理，r个监督关系式能指示一位错码的()个可能位置。
一般说来，若码长为n，信息码为k，则监督码数r=n-k。
若希望用r个监督码构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能位置，则要求：下面通过一个例子来说明如何具体构造这些监督关系式。
设分组码(n、k)中k=4，为了能纠正一位错码，按式(2－4)可知，要求监督码数r≥3，现取r =3，则n=k+r=4+3=7，这是一种(7、4)分组码。
我们用表示这7个码元，，表示三个监督关系式中的校验子，则的值与错码位置的对应关系可以规定如表6－3，(当然也可以规定成另一种对应关系，这不影响讨论一般性 )。
按表6－3的规定，仅当有一个错码位置在时，校验子S1为1 ，否则S1为0，这就意味着四个码元构成偶数监督关系：错码位置错码位置001101010110100111011000无错码同理， 构成偶数监督关系：以及构成偶数监督关系：(2)监督码的确定在发送端编码时，信息码的值决定于输入信号，是随机的。
而监督码则应根据信息码的取值按监督关系式决定。
即监督码的取值应使上三式中的值为0，表示编成的码组中无错码：由上式移项解出监督码：(在模2加法中，移项后没有负号)已知信息码后，直接按上式可算出监督码，计算结果得出16个码组列于表6－4中。
信息码监督码信息码监督码00000001000111 00010111001100001010110100100011110101100101001101100001010110111010100110011111010001110001111111(3)解码过程接收端收到每个码组后，按下述顺序解码。
先按式(2-4)～(2－6)计算出再按表6－3判断错误情况。
例如，若接收码组为0000011，按式(2－4)～(2－6)计算得：， 由于，查表6－3可知有一错码为a 3。
(4)汉明码的效率 汉明码的编码效率 η=1-r/n 当n很大时，效率是很高的。
2.5 循环码(CRC)(1)循环码是一种重要的线性码，它有三个主要数学特征：①循环码具有循环性，即循环码中任一码组循环一位(将最右端的码移至左端)以后，仍为该码中的一个码组。
②循环码组中任两个码组之和(模2)必定为该码组集合中的一个码组。
③循环码每个码组中，各码元之间还存在一个循环依赖关系，b代表码元，则有(2)用多项式码作为检验码的编解码过程用多项式码作为检验码时，发送器和接收器必须具有相同的生成多项式(Generator Polynom ial)G(x)，其最高、最低项系数必须为1。
CRC编码过程是将要发送的二进制序列看作是多项式的系数，除以生成多项式，然后把余数挂在原多项式之后。
CRC译码过程是接收方用同一生成多项式除以接收到的CRC编码，若余数为零，则传输无错。
编码译码方法：①令r为生成多项式G(x)的阶，将r个“0”附加在信息(数据)元的低端，使其长度变为k+r位，相应于多项式；②，得余数；③与余数对应位异或，得编码信息T(x)。
例数据信息数据信息1101011011M(X)生成式10011G(X),R=4加4个“0”之后11010110110000/G(X)1110余数待发送的编码11010110111110T(X)④接收器收到发来的编码信息后，用同一个生成多项式G(x)除以编码信息，若余数为零，则表示接收到正确的编码信息，否则有错。
⑤把收到的正确编码信息T(x)去掉尾部r位，即得数据信息M(x)。
(3)多项式码检错能力及生成多项式G(x)的选择原则设接收到的信息不是发送的编码信息T(x)，而是T(x)+E(x)。
例有差错的编码信息为1001001011 T(x)-E(x)=T(x)+E(x)其中，1101011011 为T(x)010******* 为E(x)若接收到的有差错的编码信息为T(x)+E(x)，用G(x)除以T(x)+E(x)，则得余数为E(x)/G(x) 的余数，因为T(x)/G(x)余数为零，所以［T(x)+E(x)］/G(x) E(x)/G(x)这时应该有余数，若无余数则检不出错。
有r 位校验位的多项式码将能检测所有≤r 位的突发错，故只要k-1＜r ，就能检测出所有突发 错，这是一个很有用的结论。
生成多项式G(x)的国际标准有： CRC －12CRC －16 CRC －CCITTCRC －16和CRC －CCITT 两种生成多项式生成的CRC 码可以捕捉一位错、二位错、具有奇数个错 的全部错误，可以捕捉突发错长度小于16的全部错误、长度为17的突发错的99 99 8%、长度为18以上的突发错的99 997%。
CRC －16和CRC －CCITT 可以用硬件实现。
(4)CRC 编码硬件电路的实现 设 数据1010多项式生成多项式系数1011多项式系数1010000多项式余式系数011 多项式k(X)=X+1 CRC 编码1010001信息监督信息组从高位端输入的CRC 编码电路，如图6－6所示，其工作原理是：首先门1关闭，门2开 通，依次输入的信息元1010一面经或门H 直接输出，同时送往除法电路进行除法运算。
4次移位后除法电路完成了运算，得余式系数为“011”，即为监督元。
第5个移位脉冲开始门1 开通，门2关闭，断开了反馈，移位3次把移位寄存器中的3位余项作为监督元附在信息元后面，发出的码字就是1010011，最后门1关闭，门2开通，对下一信息组再行编码。
有关工作过程见表6－5表6－5 图6－6所示电路的工作过程移动脉冲输入输出注(初始状态)000}门1关闭11011门2打开2011031100}门1打开4001150110门2关闭60100700002.6 RS码(Reed－Solomon－里德－索罗门码)RS码是一种重要的线性分组编码方式。
它对突发性错误有较强的纠错能力，被DVB标准采用。
(1)在RS编码过程中，各符号不是直接出现，而是每个符号要乘以某个基本元素的幂次方后再模2加，如图6－7所示。
(2)在循环码中欲检查是否有错是用码字除一个多项式，而在RS码中，欲检出一系列误码则需要用码字除一定数量的一次多项式。