初三专题构建y与x的函数关系式——圆.docx
中考数学总复习知识点总结：函数与圆
第六章一次函数与反比例函数1、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上=y = 0，x为任意实数点P(x,y)在y轴上二x = 0，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上=x，y同时为零，即点P坐标为(0，0)2、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上=*与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上=x与y互为相反数3、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
4、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p '关于x轴对称二横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p '关于y轴对称=纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p '关于原点对称=横、纵坐标均互为相反数5、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：(1 )点P(x,y)到x轴的距离等于y(2)点P(x,y)到y轴的距离等于x(3)点P(x,y)到原点的距离等于「厂屮考点四、正比例函数和一次函数（3〜10分）1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果八kx b （k, b是常数，k = 0），那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数八kx b中的b为0时，y = kx （k为常数，k = 0）。
这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数y二kx b的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数y=kx函数图像图像特征符号符号的图像是经过原点（0，0）的直线。
K<0 b>0图像经过一、二、 四象限，y 随x 的增大k>0b>0图像经过一、二、三象限，y 随x 的增大而增 大。
b<0图像经过一、三、四象限，y 随x 的增大而增 大。
yyy而减小图像经过二、三、 四象限，y 随x 的增大 而减小。
圆的关系定理PPT精品课件
（4）如果∠AOB=∠COD，那么⌒ ⌒ ___O_E_=_O__F_,_A__B_=_C_D__,_A_B__=_C_D___。
Q
A
．B
O
性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
∵AB是⊙O的直径
C
∴ ∠ACB=900
A
O
B
三.与圆有关的位置关系: 1.点和圆的位置关系
(1)点在圆内
(2)点在圆上
(3)点在圆外
如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则d与r的大小关系为:
．
C
点与圆的位置关系
．． A
点在圆内
点在圆上
． B
点在圆外
半径的直线是圆的切线。
∟
．
O A
∵OA是半径,OA⊥ l
∴直线l是⊙O的切线. l
切线的性质: (1)圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点. (3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
∟
．
O
．
A
∵直线l是⊙O的切线,切点为A
∴ OA⊥ l l
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等；这点与圆心的连线平 分这两条切线的夹角。
∴AF=BG
∴OF=OG
∴DC=EF
F
G
圆的对称性
圆的轴对称性（圆是轴对称图形）
2019年中考数学复习第五章圆5.1圆的性质及与圆有关的位置关系(讲解部分)素材
外接圆☉Ｏ 上的点．在以下判断中，不正确的是
（ ）
例 １ （２０１６ 安徽马鞍山当涂四模） 如图，☉Ｏ 的直径 ＢＤ ＝
４，∠Ａ ＝ ６０°，则 ＢＣ 的长度为
（ ）
Ａ． ３
Ｂ．２
Ｃ．２ ３
Ｄ．４ ３
解析 由圆周角定理可得∠Ｄ ＝ ∠Ａ ＝ ６０°，
又 ＢＤ 为☉Ｏ 的直径，所以∠ＢＣＤ ＝ ９０°，
答案 Ｃ 点评 本题主要考查等边三角形和圆的有关性质与计 算，同时考查分析问题的能力．
第五章 圆 ５ １
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变 式 训 练 如 图， ☉Ｏ 是 △ＡＢＣ 的 内 切 圆， ∠ＡＢＣ ＝ ７０°， ∠ＡＣＢ ＝ ４０°，则∠ＢＯＣ 的度数为 ．
所以∠ＤＢＣ ＝ ３０°，可得
ＣＤ ＝
2023年中考数学重难点专题练习-一次函数最大利润问题
2023年中考数学重难点专题练习-一次函数最大利润问题一、解答题1．某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y （件）与销售时间x （天）之间的关系式是203062403040x x y x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩，，，销售单价p （元/件）与销售时间x （天）之间的函数关系如图所示．(1)第15天的日销售量为_________件；(2)当030x <≤时，求日销售额的最大值；(3)在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？2．2022年北京承办了第24届冬季奥林匹克运动会，某商店为了抓住冬奥会的商机，决定购买A ，B 两种冬奥会纪念品，若购进A 种纪念品20件，B 种纪念品10件，需要2000元．若购进A 种纪念品10件，B 种纪念品8件，需要1150元．(1)求购进A ，B 两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店购进这两种纪念品共1000件，总费用不超过60000元，销售每件A 种纪念品可获利润30元，每件B 种纪念品可获利润20元．设购进A 种纪念品a 件，请求出总利润最高时的进货方案．3．2022年翻开序章，冬奥集结号已吹响，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受人民喜爱．2021年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元．十二月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元．(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；(2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个．进入2022年一月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共600个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，且购进总价不超过43200元．为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若一月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．4．某商场销售成本为每件40 元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10 件．设销售单价为x （50x ≥）元．(1)写出一周销售量y （件）与x （元）的函数关系式．(2)设一周销售获得毛利润w 元，写出w 与x 的函数关系式，并确定当x 在什么取值范围内变化时，毛利润w 随x 的增大而增大．(3)超市扣除销售额的20%作为该商品的经营费用，为使得一周内净利润（净利润=毛利润经营费用）最大，超市对该商品定价为______元，最大毛利润为______元．5．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y （件）与售价x （元件）（x 为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：（1）求y 与x 的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m 元()1060m ≤≤，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m 的取值范围．6．服装店经销甲种品牌的服装，受市场影响，现在每件降价50元销售，如果卖相同件数的服装，原价的销售额为9000元，现价销售额为8000元．(1)销售甲种品牌服装现价每件为多少元？服装店用不多于6600元且不少于6400元的资金购进这两种品牌的服装共20件．①问有几种进货方案？①乙种品牌的服装每件售价为370元，服装店决定每售出1件乙种品牌服装，返还顾客a元，要使①所有方案获利相同，求a的值．7．某厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似看成一次函数y＝－2x＋100．(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数解析式．(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？(3)根据相关部门的规定，这种电子产品的销售单价不得高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本是多少万元？8．某商场分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示购进数量/件购进所需费用/元次数A B第一次30403800第二次40303200(1)求A，B两种商品每件的进价分别是多少元；(2)商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A，B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．9．某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710且不超过6810元购进这两种商品共100件．(1)甲、乙两种商品的进价各是多少？(2)设其中甲商品的进货件数为x件，商店有几种进货方案？得最大利润，并求出最大利润是多少？10．二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．为保护环境，某市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需750万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车4辆，共需1040万元．(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？(2)预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1550万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次，则该公司有几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？11．为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和4瓶B型消毒液共需71元．(1)这两种消毒液的单价各是多少元？(2)学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且A型消毒液的数量不超过67瓶，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．12．疫情当前，口罩非常紧俏，某药店进货N95口罩和普通医疗口罩两种口罩共8000个惠民销售，已知15个普通医疗口罩与4个N95口罩的价格相同，3个N95口罩比5个普通医疗口罩贵2.5元．(1)求普通医疗口罩和N95口罩的单价分别是多少？(2)设进货N95口罩a个，两种型号口罩的销售总价为m元．①若两种型号口罩的销售总价不低于5400元，则至少进货N95口罩多少个？①请写出m与a之间的函数关系式；若根据实际需求，进货的普通医疗口罩不少于5000个，则该药店这一批口罩的销售总价最多是多少元？13．某体育用品店计划花7000元购进篮球和足球，已知足球比篮球进价贵20元．若花3000元购买篮球，4000元购买足球，则可以够买到相同数量的篮球和足球．(1)求篮球和足球的进价；(2)篮球的销售单价为100元，足球的销售单价为120元，求该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润w14．“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物．该吉祥物深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如下表所示：原料成本（元/件）生产提成（元/件）销售单价（元/件）“冰墩墩”36650“雪容融”28741设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)若该厂每天投入总成本不超过23800元，应怎样安排“冰墩墩”和“雪容融”制作量，可使该厂一天所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两个挂件的制作量．15．某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元．(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？(2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元；①求W关于x的函数关系式①该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．16．大学生小李和同学一起自主创业开办了一家公司，公司对经营的盈亏情况在每月的最后一天结算一次，在1～12月份中，该公司前x个月累计获得的总利闻y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系．(1)求y与x函数关系式；(2)求9月份一个月内所获得的利润；(3)在前12个月中，哪个月该公司所获得利润最大?最大利润为多少?参考答案：1．(1)30(2)2100元(3)9天2．(1)购进A 种纪念品每件需要75元，B 种纪念品每件需要50元(2)当购进A 种纪念品400件，B 种纪念品600件时，获得的利润最大，最大利润是24000元3．(1)“冰墩墩”销售单价为120元，“雪容融”的销售单价为80元；(2)“冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元．4．(1)100010(50100)y x x -≤≤=(2)()210709000W x =--+，当5070≤≤x 时，毛利润w 随x 的增大而增大(3)75，50005．（1）5012000y x =-+；（2）这一周该商场的最大利润为540000元，售价为120元；（3）2960m <≤6．(1)400元(2)①5种；①207．(1)221361800z x x =-+-；(2)当销售单价为34元时，厂商每月能够获得最大利润，最大利润是512万元；(3)制造这种产品每月的最低制造成本是648万元．8．(1)A 种商品每件的进价为20元，B 种商品每件的进价为80元；(2)当购进A 种商品800件、B 种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元．9．(1)进价为40元，乙商品的进价为80元(2)有三种进货方案：方案1，甲种商品30件，乙商品70件；方案2，甲种商品31件，乙商品69件；方案3，甲种商品32件，乙商品68件(3)30m =时，W 最大，此时4700W =10．(1)购买A 型公交车每辆需120万元，购买B 型公交车每辆需170万元(2)该公司有五种购车方案，当采购A 型7辆，采购B 型3辆时，费用最低，最低费用为1350万元11．(1)A 型消毒液的单价为7元，B 型消毒液的单价为9元(2)最省钱的购买方案是购买A 型消毒液67瓶，购买B 型消毒液23瓶，最低费用为676元12．(1)普通医疗口罩每个0.4元，N95口罩每个1.5元(2)①2000个；①6500元13．(1)篮球进价为60元/只，足球的进价为80元/只(2)当114m =时，利润w 最大，对应的方案是购买篮球114只，足球2只14．(1)()36000600y x x =+<<(2)当每天生产“冰墩墩”400件，“雪容融”200件时，可使该厂一天所获得的利润最大，最大为4400元15．(1)普通练习本：3元；精装练习本：10元(2)21500w x =-+①；①普通练习本进375本，精装练习本进125本，利润最大，最大为750元16．(1)26y x x =-(2)11万元(3)该公司12月所获得利润最大，最大利润为17万元。
中考数学试卷4(含答案解析).docx
中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. （3 分）（2019・广州）| - 6|=（ ）A. - 6B. 6C.-丄D.丄6 62. （3分）（2019・广州）广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处.到今年底各区完成碧道试 点建设的长度分别为（单位：千米）：5, 5.2, 5, 5, 5, 6.4, 6, 5, 6.68, 48.4, 6.3,这 组数据的众数是（ ） 3. （3分）（2019•广州）如图，有一斜坡AB,坡顶B 离地面的高度BC 为30,”，斜坡的倾 斜角是"AC,若taS 送，则此斜坡的水平距离AC 为（的切线条数为（ ）6. （3分）（2019•广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120 个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的 是（A. 120 = 150B. 120 ==150Xx-8 x+8XC. 120= 150D. 120 ==150 x-8XXx+87. （3分）（2019・广州）如图，口ABCD 中，对角线AC, BD 相交于点O, 且E, F, G, H 分别是AO, BO, CO, DO 的中点，则下列说法正确的是（）A. 5B. 5.2C. 6D. 6.4B. 50mC. 30mD. 12m4. （3分）（2019•广州）下列运算正确的是（ A. - 3 - 2= - 1C. x 3*x 5=x 15B. 3X （-丄）2=-丄335. （3分）（2019・广州） 平面内，OO 的半径为1,点P 到O 的距离为2,过点P 可作OOA. 0条B. 1条C. 2条D.无数条A. 75mA.EH=HGB.四边形EFGH是平行四边形C.AC±BDD.AABO的面积是△EFO的面积的2倍& （3分）（2019•广州）若点A （ - 1, yi）, B（2,加，C（3,加在反比例函数■的x 图象上，则yi, y2,丁3的大小关系是（）A. y3<j2<yiB. yi<yi<y3C. yi<y3<j2D. yi<j2<j39.（3分）（2019•广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC, AD于点E, F,若BE=3, AF=5,则AC的长为（）10.（3分）（2019・广州）关于x的一元二次方程（^ - 1）x-k+2=0有两个实数根xi,XI,若（M1 - X2+2）（XI - X2 - 2）+2X1X2= - 3,则斤的值（）A. 0 或2B. - 2 或2C. - 2D. 2二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11.（3 分）（2019・广州）如图，点A, B, C 在直线/上，PBM, PA^6cm, PB=5cm, PC=7cm,则点P到直线/的距离是_________ cm.12.（3分）（2019・广州）代数式丿=有意义时，x应满足的条件是________ .13.（3 分）（2019・广州）分解因式：x2y+2xy+y= ____ .14.（3分）（2019•广州）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转a （0°B 重合），ZDAM=45°，点F 在射线AM 上，且CF 与AD 相交于点G, 连接EC, EF, EG,则下列结论：①ZECF=45° ； @/\AEG 的周长为（1+V2） a ；③BEZ+DG^EG 2；（4）A£AF 的面2 「 积的最大值丄#.8其中正确的结论是 _______ •（填写所有正确结论的序号）三、解答题（共9小题，满分102分）17. （9分）（2019・广州）解方程组：JxVFl .Ix+3y=918. （9 分）（2019・广州）如图，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E, DE=FE, FC//AB, 求证：/\ADE 竺 CFE.点E 在边AB ±运动（不与点A,角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为 _______ .（结果保留“）正方形ABCD 的边长为a,A（1）化简P;（2）若点（a, b）在一次函数的图象上，求P的值.20.（10分）（2019・广州）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查,由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图.频数分布表组别时间/小时频数/人数A组OWrvi2B组1£V2mC组2Wt<310D组3WfV412E组4WrV57F组总54请根据图表中的信息解答下列问题:（1）求频数分布表中m的值；（2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；（3）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率: 从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生.扇形统计图AS21.（12分）（2019・广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G 基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G 基站数量将达到17.34万座. （1） 计划到2020年底，全省5G 基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率.22. （12分）（2019・广州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的对角线AC 与 BD 交于点P （ - 1, 2）, AB Lx 轴于点E,正比例函数的图象与反比例函数丁=卫二1x的图象相交于A, P 两点. （1） 求m, n 的值与点A 的坐标； （2） 求证：△CPDsMEO ； （3）求 sinZCDB 的值.23. （12分）（2019・广州）如图，G ）O 的直径AB=10,弦AC=8,连接BC.（1）尺规作图：作弦CD,使CD=BC （点D 不与B 重合），连接AD ；（保留作图痕迹, 不写作法）24. （14分）（2019・广州）如图，等边△ABC 中，AB=6,点D 在BC 上，BD=4,点、E 为 边AC 上一动点（不与点C 重合），关于DE 的轴对称图形为 （1） 当点F 在AC 上时，求证：DF//AB ；（2）设的面积为Si, AABF 的面积为S2,记S=Si-S2, S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值；若不存在，请说明理由;求四边形ABCD 的周长.(3)当B, F, E三点共线时.求AE的长.25.(14分)(2019*广州)已知抛物线G：y-rm? -2mx-3有最低点.(1)求二次函数y—mx2 - 2mx - 3的最小值(用含，"的式子表示)；(2)将抛物线G向右平移加个单位得到抛物线G1.经过探究发现，随着加的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)记(2)所求的函数为H,抛物线G与函数H的图象交于点P,结合图象，求点P 的纵坐标的取值范围.中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. （3 分）（2019•广州）|-6|=（ 【考点】绝对值.【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答. 【解答】解：-6的绝对值是| - 6|=6. 故选：B.2. （3分）（2019・广州）广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处.到今年底各区完成碧道试 点建设的长度分别为（单位:千米）：5, 5.2, 5, 5, 5, 6.4, 6, 5, 6.68, 48.4, 6.3,这 组数据的众数是（ ） A. 5B. 5.2C. 6D. 6.4【考点】众数.【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个. 【解答】解：5出现的次数最多，是5次，所以这组数据的众数为5 故选：A. 3. （3分）（2019•广州）如图，有一斜坡坡顶B 离地面的高度为30加，斜坡的倾 斜角是ZBAC,若tanZB4C=Z,则此斜坡的水平距离AC 为（）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC 的长，本题得以解 决.A. - 6B. 50mC. 30mD. 12mA. 75m【解答】解：•.•ZBC4=90° , tanZBAC=兰，BC=30m,55 "AC "AC解得，AC=75,故选：A.4.（3分）（2019-r州）下列运算正确的是（）A.- 3 - 2= - 1B. 3X（-丄）2=-丄3 3C. ^•^—x15D. Va*Vab=a，Vb【考点】实数的运算；同底数幕的乘法.【分析】直接利用有理数混合运算法则、同底数幕的乘除运算法则分别化简得出答案.【解答】解：A、-3-2= -5,故此选项错误;B、3X （-丄）2=_,故此选项错误；3 3C、x i,x5—x s,故此选项错误；D、\/~a* V ab=fl Vb> 正确.故选：D.5.（3分）（2019・广州）平面内，OO的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作OO 的切线条数为（）A. 0条B. 1条C. 2条D.无数条【考点】切线的性质.【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案.【解答】解：•••O0的半径为1,点P到圆心0的距离为2,d>Y,.•.点P与OO的位置关系是：P在OO外，•.•过圆外一点可以作圆的2条切线，故选：C.6.（3分）（2019・广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A. 120 = 150B. 120 = 150C. 120 = 150D. 120=150x~8 x x x+8【考点】由实际问题抽象出分式方程.【分析】设甲每小时做乂个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可.【解答】解：设甲每小时做x个零件，可得：120丿50,x x+8故选：D.7.（3分）（2019・广州）如图，口ABCD中，AB=2, AD=4,对角线AC, BD相交于点O,且E, F, G, H分别是AO, BO, CO, DO的中点，则下列说法正确的是（）A.EH=HGB.四边形EFGH是平行四边形C.AC1BDD.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍【考点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质.【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决.【解答】解:•:E, F, G, H分别是AO, BO, CO, DO的中点，在°ABCD中，AB=2,AD=4,:.EH=1-AD^2,:.EH^HG,故选项A错误；•:E, F, G, H分别是AO, BO, CO, DO 的中点，•'•EH专AD 今BC=FG，•••四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；•••点E、F分别为OA和OB的中点，:.EF=L^, EF//AB,:,Z\OEF<^/\OAB,...S AAEF _ .-EF）2 4,^AOAB 壮4即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，故选：B.& （3分）（2019・广州）若点A （ - 1, yi）, B（2,以），C （3, %）在反比例函数的X 图象上，则yi, y2, y3的大小关系是（）A. y3<y2<yiB. y2<yi<y3C. yi<y3<y2D. yi<y2<y3【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出八％、为的值，比较后即可得出结论.【解答】解：•••点A （ - 1, yi）, B（2, 丁2）, C（3, y3）在反比例函数y=^-的图象上，X .-.ji=-^-= - 6, y2=—=3, j3=—=2,-1 2 3又T - 6<2<3,.'.yi<y3<y2.故选：C.9.（3分）（2019・广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC, AD于点E, F,若BE=3, AF=5,则AC的长为（）A. 4^5B. 4A/3C. 10D. 8【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质.【分析】连接AE,由线段垂直平分线的性质得出OA^OC, AE=CE,证明COE得出AF=CE=5,得出AE=CE=5, BC=BE+CE=8,由勾股定理求出AB =V A E2-BE2=4,再由勾股定理求出AC即可.【解答】解：连接AE,如图：TEF是AC的垂直平分线，・・・OA=OC, AE=CE,・・•四边形ABCD是矩形，:.ZB=90° , AD//BC,:.ZOAF=ZOCE f'ZAOF=ZCOE在ZvlOF和ACOE 中，OA=OCZOAF^ZOCE•••△AOF竺△COE (ASA),:.AF=CE=5f:.AE=CE=5f BC=BE+CE=3+5 = 8,/MB=V A E2-BE2=V52-32=4,A c=V A B2+BC2= V42 + 82=4^:10.(3分)(2019・广州)关于x的一元二次方程(^ - 1) x-k+2^0有两个实数根xi,Xi,若(xi - X2+2) (xi -池-2) +2x1x2= - 3,贝！］丘的值( )A. 0或2B. -2 或2C. - 2D. 2【考点】根的判别式；根与系数的关系.【分析】由根与系数的关系可得出X\+X2 — k - 1, X\X2— - k+2,结合(X1-X2+2)(XI - X2 -2) +2X1X2= - 3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△三0可得出关于k 的一元二次不等式，解之即可得出)1的取值范围，进而可确定丘的值，此题得解.【解答】解：•••关于x的一元二次方程(^- 1) x-k+2=0的两个实数根为血，池，・*.X1+X2 —- 1, X1X2= ~ k+2....(XI - X2+2) (XI - X2 - 2) +2X1X2= - 3,即(X1+X2)2 - 2X1X2 - 4= - 3,(k- 1) 2+2斤-4-4= - 3,解得：k=±2.•••关于x的一元二次方程Ck- 1) x _ k+2=0有实数根，- (E-1) F-4X1X (-好2)三0,解得：k^2y/2 - 1 或kW - 2A/2 - 1 >.'.k=2.故选：D.二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11.（3 分）（2019・广州）如图，点A, B, C在直线/上，PBM, PA^Gcm, PB=5cm, PC【考点】点到直线的距离.【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案.【解答】解：TPB丄/, PB=5cm,■-.P到I的距离是垂线段PB的长度5cm,故答案为：5.12.（3分）（2019・广州）代数式卓=有意义时，x应满足的条件是x>8x-8【考点】62：分式有意义的条件；72：二次根式有意义的条件.【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围.【解答】解：代数式有意义时,x-8x - 8>0,解得：x>8.故答案为：x>&13.（3 分）（2019・广州）分解因式：A+2xy+y= y （x+1）2.【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】首先提取公因式y,再利用完全平方进行二次分解即可.【解答】解：原式=y C+2x+l）=y（x+1）故答案为：y（x+1）2.14.（3分）（2019•广州）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转a （0°<a<90°）,使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则a的度数为15°或【考点】角的计算.【分析】分情况讨论：®DE±BC ； @ADLBC. 【解答】解：分情况讨论：① 当 DELBC 时，ZBAD= 180° - 60° - 45° =75° , .*.a=90° - ZBAD= 15° ； ② 当 AD1BC 时，a=90° - ZC=90° - 30° =60° . 故答案为：15°或60°15. （3分）（2019-r 州）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三 角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为—2近 兀（结果保留“）【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长=底面圆的周长即可解决问题. 【解答】解：•••某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形， •••斜边长为2迈， 则底面圆的周长为2屈T,•••该圆锥侧面展开扇形的弧长为2妨， 故答案为2屈T.16. （3分）（2019・广州）如图，正方形ABCD 的边长为a,点E 在边AB 上运动（不与点A, B 重合），ZDAM=45°，点F 在射线AM 上，且AF=^E, CF 与AD 相交于点G, 连接EC, EF, EG,则下列结论：①ZECF=45° ； @AAEG 的周长为（1+返）a ；（3）BE 2+DG 2^EG 2；④△E4F 的面 积的最大值L A8其中正确的结论是①④.(填写所有正确结论的序号)弧长的计算；圆锥的计算；简单几何体的三视图；由三视图判断几何体.【考点】二次根式的应用；勾股定理；相似三角形的判定与性质.【分析】①正确•如图1中，在BC上截取BH=BE,连接EH.证明△ FAE竺厶EHC(SAS), 即可解决问题.②③错误.如图2中，延长AD到H,使得DH=BE,则厶CBE丝HCDH (SAS),再证明厶GCE竺厶GCH (SAS),即可解决问题.④正确.设BE=x,则AE=a-x, AF=^,构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.【解答】解：如图1中，在BC上截取BH=BE,连接EH.•:BE=BH, ZEBH=90° ,:.EH=y[2PE, '：AF=^2^E,:.AF=EH,'：ZDAM=ZEHB=45° , ZBAD=90° ,:.ZFAE=ZEHC= 135° ,\'BA=BC, BE=BH,:.AE^HC,.•.△FAE竺AEHC (SAS),:.EF=EC, ZAEF^ZECH,V ZECH+ZCEB=9Q° ,A ZAEF+ZCEB^90° ,A ZF£C=90° ,:.ZECF=ZEFC=45° ,故①正确，如图2中，延长AD到H,使得DH=BE,则厶CBE竺“CDH (SAS),・•・ ZECB = ZDCH,:.ZECH=ZBCD=90° ,:.ZECG=ZGCH=45° ,•・・CG=CG, CE=CH,:.AGCE^AGCH (SAS),・・・EG=GH,•：GH=DG+DH, DH=BE,・・・EG=BE+DG,故③错误，AAEG 的周长=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD = 2a,故②错误，设BE=x,贝lj AE=a - x, AF=\[^c,・*.S/\AEF=—(a - x) Xx= -- —(x2 - ax+^-a1 - Az?)=-丄(兀-^)2+^2,2 2 2 2 4 4 2 2 8护时，△仙的面积的最大值为护故④正确,故答案为①④.\G三、解答题（共9小题，满分102分）17.（9分）（2019・广州）解方程组：（xVFl .Ix+3y=9【考点】解二元一次方程组.【分析】运用加减消元解答即可.【解答】解：$于I：,]x+3y=9②②-①得，4y=2,解得y=2,把y=2代入①得，x - 2=1,解得兀=3, 故原方程组的解为]x=3.1尸218.（9 分）（2019・广州）如图，D 是 AB 1.一点，DF 交AC 于点E, DE=FE, FC//AB,【考点】全等三角形的判定.【分析】利用AAS证明：△ ADE竺CFE.【解答】证明：TFC/AB,:.ZA=ZFCE, ZADE= ZF,在△ADE与△ CFE中：'ZA=ZFCF•二ZADE=ZF>卫E=EF.•.△ADE竺ACFE （AAS）.19.（10 分）（2019・广州）已知―至一--1（a^±b）a2-b2 a+b（1）化简P；（2）若点（a, b）在一次函数y=x-迈的图象上，求P的值.【考点】一次函数图象上点的坐标特征.【分析】（1）P=- 2a -丄= ____________ 2a ________ = 2a-a+b_=丄；2_^2 a+b （a+b）（a~b） a+b （a+b）（a~b） a~ba（2）将点（a, b）代入y=x-迈得到Q-Z?=伍，再将伍代入化简后的F,即可求解；【解答】解：(1) P= 2a -丄= _______________ 2a_ _=丄；a'-b? a+b (a+b) (a-b) a+b (a+b) (a-b) a~b(2) .点(a, b)在一次函数y—x - \[2的图象上，•• b=ci - ^2?.'.a - b—^f2,•p=.V20.(10分)(2019-r州)某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查,由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图.请根据图表中的信息解答下列问题：(1)求频数分布表中Ml的值；(2)求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；(3)已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率: 从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生.扇形统计图【考点】频数(率)分布表；扇形统计图；列表法与树状图法.【分析】(1)用抽取的40人减去其他5个组的人数即可得出加的值；(2)分别用360°乘以B组，C组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图;(3)画出树状图，即可得出结果.【解答】解：(1)加=40-2-10- 12-7-4=5；(2)B组的圆心角=360° X旦=45° ,40C组的圆心角= 360°或丄。
圆方程的课件ppt课件ppt
当$theta = 0$时，点为$(a, b)$ ；当$theta = frac{pi}{2}$时，点 为$(a - r, b)$；当$theta = pi$ 时，点为$(a - r, b + r)$。
03 圆的方程的求解
直接求解法
总结词
通过已知条件直接代入求解。
适用范围
适用于已知圆心和半径的情况。
工程设计
在工程设计中，圆的面积和周长公 式同样必不可少，如设计圆形机械 零件、计算圆形结构件的承载能力 等。
06 圆的对称性和极 坐标方程
圆的对称性
01
02
03
圆的对称性定义
圆关于其圆心具有对称性 ，即圆心是圆上任意两点 的中点。
圆的对称性质
圆关于其直径也具有对称 性，即直径将圆分成两个 相等的部分。
$frac{sqrt{D^2 + E^2 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程：$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$， 其中$(a, b)$是圆心坐标，$r$是 半径，$theta$是参数。
圆的参数方程通过参数$theta$描 述了一个圆上的点的坐标。
圆的基本性质
01
圆是中心对称图形，即圆心是圆上任何一对对称点 的对称中心。
02
圆是旋转对称图形，即旋转任意角度后与原图重合 。
03
圆的直径是半径的两倍，且直径平分半径。
圆的应用
圆在日常生活中的应用非常广 泛，如车轮、钟表、餐具等。
在工程和科学领域中，圆也常 用于建筑设计、机械制造和天 文观测等方面。
在数学领域中，圆是基础几何 图形之一，可用于研究圆的性 质和定理，以及解决相关的数 学问题。
初三数学圆的经典讲义之欧阳法创编
圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线, 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，∠AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
二次函数与圆知识点总结
初三数学二次函数和圆的知识点总结1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式开口方向 对称轴顶点坐标2ax y =当0>a 时 开口向上 当0<a 时开口向下0=x （y 轴） （0,0） k ax y +=20=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x =(h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-= (ab ac a b 4422--，) 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=4442221221221211.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理， 即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.几何表达式举例： ∵ CD 过圆心∵CD ⊥AB2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.几何表达式举例：3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”； “等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.几何表达式举例：(1) ∵∠AOB=∠COD∴ AB = CD(2) ∵ AB = CD∴∠AOB=∠COD4．圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”； （4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)（1） （2）（3） （4）几何表达式举例： （1） ∵∠ACB=21∠AOB ∴ …………… （2） ∵ AB 是直径∴ ∠ACB=90° （3） ∵ ∠ACB=90°∴ AB 是直径 （4） ∵ CD=AD=BD∴ ΔABC 是Rt Δ5．圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角. 几何表达式举例： ∵ ABCD 是圆内接四边形 ∴ ∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180° 6．切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”； 需记忆其中四个定理.（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.几何表达式举例： （1） ∵OC 是半径∵OC ⊥AB ∴AB 是切线 （2） ∵OC 是半径∵AB 是切线 ∴OC ⊥AB （3） ……………ABCD OABCDE O 平分优弧过圆心垂直于弦平分弦平分劣弧∴ AC BC AD BD==AE=BEABC DEFOABCOABCDEA B COABCD∵ ∴ ∥=AB CD ACBDA BCO是半径垂直是切线7．切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等；圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例：∵ PA 、PB 是切线 ∴ PA=PB∵PO 过圆心 ∴∠APO =∠BPO 8．弦切角定理及其推论:（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； （3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图） 几何表达式举例： （1）∵BD 是切线，BC 是弦∴∠CBD =∠CAB （2）∵ ED ，BC 是切线∴ ∠CBA =∠DEF9．相交弦定理及其推论:（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等； （2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.几何表达式举例：（1） ∵PA ·PB=PC ·PD∴……… （2） ∵AB 是直径∵PC ⊥AB∴PC 2=PA ·PB10．切割线定理及其推论:（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何表达式举例： （1） ∵PC 是切线，PB 是割线 ∴PC 2=PA ·PB （2） ∵PB 、PD 是割线∴PA·PB=PC ·PD11．关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦； （2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.（1） （2）几何表达式举例： （1） ∵O 1，O 2是圆心∴O 1O 2垂直平分AB （2） ∵⊙1 、⊙2相切∴O 1 、A 、O 2三点一线 12．正多边形的有关计算:（1）中心角αn ，半径R N ， 边心距r n ，边长a n ，内角βn ， 边数n ；（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行. 公式举例：(1) αn =n 360︒； (2) n1802n ︒=αABCDABCDEF PABOABCPABCDPAB O1O2AO1O2αnβnABCDEOa r n nnR ABCDP ABCPO ∵ EF AB=ABO几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高 三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外） 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正 多边形的中心角. 二 定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三 公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2. （4）扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）四 常识：1． 圆是轴对称和中心对称图形. 2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.3． 三角形的外心 ⇔ 两边中垂线的交点 ⇔ 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 ⇔ 两内角平分线的交点 ⇔ 三角形的内切圆的圆心.4． 直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 ⇔ d ＜r ； 直线与圆相切 ⇔ d=r ； 直线与圆相离 ⇔ d ＞r.5． 圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ）两圆外离 ⇔ d ＞R+r ； 两圆外切 ⇔ d=R+r ； 两圆相交 ⇔ R-r ＜d ＜R+r ； 两圆内切 ⇔ d=R-r ； 两圆内含 ⇔ d ＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.7．关于圆的常见辅助线：OCAB已知弦构造弦心距.OA BC已知弦构造Rt Δ.OABC已知直径构造直角.OAB已知切线连半径，出垂直.O BC AD P圆外角转化为圆周角.OACD BP圆内角转化为圆周角.ODC PAB构造垂径定理.OACDPB构造相似形.M01ANO2两圆内切，构造外公切线与垂直.01CN O2DEABM两圆内切，构造外公切线与平行.NAM02O1 两圆外切，构造内公切线与垂直.CBMNADEO 102两圆外切，构造内公切线与平行.CE A DB O两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB.A CBO102两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线. BAC OPPA 、PB 是切线，构造双垂图形和全等.OABCDE相交弦出相似.OP ABC一切一割出相似, 并且构造弦切角.OBCEADP两割出相似,并且构造圆周角.OABCP双垂出相似,并且构造直角.B ACD EF规则图形折叠出一对全等，一对相似.FEDBAC OGH圆的外切四边形对边和相等.ABOCD若AD ∥BC都是切线，连结OA、OB可证∠AOB=180°，即A、O、B三点一线.EACBOD等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心和切点,并构造相似形.EFCDBAORtΔABC的内切圆半径：r=2cba-+.O补全半圆.ABCo1o2AB=2221)rR(OO--.CABo1o2AB=2221)rR(OO+-.AC D PO BPC过圆心，PA是切线，构造双垂、RtΔ.BCDOAPO是圆心，等弧出平行和相似.D EMAB CFNG作AN⊥BC，可证出:ANAMBCGF=.。
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构建y与兀的函数关系式
3
点0为边上的动1.如图，梯形人BCD 中，AD//BC, CD丄BC,已知人B=5, BC=6, COsB = -
5
点，以0为圆心，为半径的OO交边于点P.
（1）设03=兀，BP=y,求y与兀的函数关系式，并写出函数定义域；
（2）当00与以点D为圆心，DC为半径OD外切时，求的半径；
（3）连接OD、AC,交于点E,当ZXCEO为等腰三和形时，求OO的半径.
2如图，在半径为5的OO中，点A、B在QO ±, ZAOB=90。
，点C是弧AB上的一个动点，AC与0B的延长线和交于点D,设AC=x, BD=y. (2011.静安区二模)
(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(2)如果00】与O0相交于点4、C, RQO｛与OO的圆心距为2,当BD = -OB时，求的
3
半径；
(3)是否存在点C,使得△ DCBs\DOC2如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由.
・3・
3 在梯形ABCD中，AD//BC, AB丄AD, 4B=4, AD=5, CD=5. E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画OE交线段DE于点F.
（1）如图，当点F在线段DE .L时，设BE=x, DF=y,试建立y关于x的函数关系式，并写出口变量x 的取值范围；
（2）当以CD为直径的与OE相切时，求x的值；
（3）连接AF、BF,当是以AF为腰的等腰三角形吋，求x的值.（201b徐汇区二模）
4.如图1,已知OO的半径长为1, PQ是00的直径，点M是PQ延长线上一点，以点M为圆心作圆, 与交于4、3两点，连接用并延长，交OM于另外一点C.
(1)若恰好是©0的直径，设0M=x, AC=y,试在图2中画出符合要求的大致图形，并求y关于x的断数解析式；
(2)连接04、MA. MC,若04丄M4,且△0M4与Z\PMC相似，求0M的长度和0M的半径长；
(3)是否存在OM,使得人3、4C恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求0M的长度和的
半径长；若不存在，试说明理由.(2011.嘉定区二模)
图
2
5如图，在Rt/\ABC中，ZACB=90°.半径为1的圆A与边佔相交于点D,与边AC相交于点E, 连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.
(1)当ZB=30°时，连接AP,若ZVIEP与△BDP相似，求CE的长；
(2)若CE=2, BD=BC,求ZBPD的正切值；
(3)若tan ZBPD =-,设CE=x, AABC的周长为)，，求y关于x的函数关系式.(2010•上海)
・7・
6.已知：的直径AB=S, OB与OO相交于点C、D,的直径CF与03相交于点E,设03 的半径为兀，0E的长
为y.
（1）如图，当点E在线段0C上时，求y关于兀的函数解析式，并写出定义域；
（2）当点E在直径CF上时，如果0E的长为3,求公共弦CD的长；
（3）设0B与AB相交于G,试问AOEG能否为等腰三角形？如果能够，请宜接写岀BC的长度（不必写过程）；如果不能，请简要说明理由.（2009.静安区二模）
二、巩固训练:
1、在半径为4的。
0中，点C是以AB为直径的半圆的中点，OD丄AC,垂足为D,点E是射线AB ± 的任意一点，DFIIAB, DF与CE相交于点F,设EF=x, DF=y.
(1)如图1,当点E在射线03上时，求y关于兀的函数解析式，并写出函数定义域；
(2)如图2,当点尸在上时，求线段DF的长.(2013.宁波模拟)
(SD (02)
2、已知：如图，ZVIBC为等边三角形，AB=4g , AH丄BC,垂足为点点D在线段HC上，且
HD = 2,点P为射线上任意一点，以点P为圆心，线段PD的长为半径作OP,设AP = x.
(1)当x = 3吋，求。
P的半径长；
(2)如图2,如果OP与线段AB相交于E、F两点，且EF = y,求y关于x的歯数解析式，并写出它的定义域.(2010.闵行区三模)
3、如图，已知在△ ABC中,AB=15, AC=20, cotA = 2, P是边AB ±的一个动点,OP的半径为定长•当点P 与点B重合时，OP恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且OP与边AC相交于点M和点N
时，设AP=x f MN=y.
（1）求OP的半径;
（2）求），关于x的函数解析式，并写出它的定义域.
4、如图，已知△ABC屮，AB二AC=4^ , BC=4，点。
在BC边上运动，以。
为圆心，0A 为半径的圆与边A3交于点Q （点A除外），设OB=x , AD=y.
（1）求sin ZABC的值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域.（2010.青浦区二模）
5、如图，已知线段A3=10,点C在线段AB上，04、的半径分别为AC、BC, D是OB ±一点, AD交04于E, EC的延长线交＜33于F.
（1）求证：BFHAD；
（2）若BD丄AD, AC=x, I）F= y ,求y^x的函数关系式，写出定义域.（2008.奉贤区模拟）
・11.。