二面角大小求法的归类分析

二面角大小的求法的归类分析二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。

求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。

现将二面角大小的求法归类分析如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形， PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ， 求二面角B-PC —-D 的大小。

二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平 行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ， ∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。

三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求B-PC-D 的大小。

四、射影法：利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。

五、:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

例5、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ， 求平面PBA 与平面PDC 所成二面角 的大小。

（补形化为定义法）由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下：[基础练习]p ABD L HAD P HAD PH AB P1．二面角是指 （ ） A 两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有 （ ） A 1条或2条交线 B 2条或3条交线C 仅2条交线D 1条或2条或3条交线3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( )A 5B 20C 210D 2254．在直二面角α-l-β中，Rt ΔABC 在平面α内，斜边BC 在棱l 上，若AB 与面β所成的角为600，则AC 与平面β所成的角为 （ ） A 300 B 450 C 600 D 1200 5．如图，射线BD 、BA 、BC 两两互相垂直，AB=BC=1，BD=26， 则弧度数为3π的二面角是（ ）A D-AC-B B A-CD-BC A-BC-D D A-BD-C6．△ABC 在平面α的射影是△A 1B 1C 1，如果△ABC 所在平面和平面α成θ角，有 A S △A1B1C1=S △ABC ·sinθ B S △A1B1C1= S △ABC ·cosθ C S △ABC =S △A1B1C1·sinθ D S △ABC =S △A1B1C1·cosθ 7．如图，若P 为二面角M-l-N 的面N 内一点，PB ⊥l ，B 为垂足，A 为l 上一点，且∠PAB=α，PA 与平面M所成角为β，二面角M-l-N 的大小为γ，则有 （ ）A sin α=sin βsin γB sin β=sin αsin γC sin γ=sin αsin βD 以上都不对8．在600的二面角的棱上有两点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 。

9．已知△ABC 和平面α，∠A=300，∠B=600，AB=2，AB ⊂α，且平面ABC 与α所成角为300，则点C 到平面α的距离为 。

10．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面AA 1C 1C 和平面A 1BCD 1所成的二面角（锐角）为 。

11．已知菱形的一个内角是600，边长为a ，沿菱形较短的对角线折成大小为600的二面角，则菱形中含600角的两个顶点间的距离为 。

12．如图，△ABC 在平面α内的射影为△ABC 1，若∠ABC 1=θ，BC 1=a,且 平面ABC 与平面α所成的角为ψ，求点C 到平面α的距离13．在二面角α-AB-β的一个平面α内，有一直线AC AC与平面β成300角，求二面角α-AB-β的度数。

[深化练习] 14．若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a 和a 2，到棱的距离为2a ，则此二面角的度数是 。

15．把等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，若∠BAC=600，则此二面角的度数是 。

16．如图，已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在平面成600的二面角，求直线BD 与平面ABEF 所成角的正弦值。

17．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：（1）面A 1ABB 1与面ABCD 所成角的大小；（2）二面角C 1—BD —C 的正切值。

AB CDA B MNP l BC DAD C BN 二面角大小的求法答案1.、AB=AD=aPA ABPA AD PB PDAB AD a⊥⎫⎪⊥⇒=⎬⎪==⎭，PB PDBC D C PBD PD CPC PC=⎫⎪=⇒∆≅∆⎬⎪=⎭过B作BH⊥PC于H，连结DHDH⊥PC故∠BHD为二面角B-PC-D的平面角因PB=12PB·BC=S△PBC=12PC·BH则BH=3又BD=在△BHD中由余弦定理，得：cos∠BHD＝)2222223312233BH D H BDBH BD⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪+-==-又0＜∠BHD＜π 则∠BHD=23π，二面角B-PC-D的大小是23π。

2解：（三垂线法）如图PA⊥平面BD，过A作AH⊥BC于H，连结PH，则PH⊥BC又AH⊥BC，故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角，在Rt△ABH中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°=2a在Rt△PHA中，tan∠PHA=PA/AH=22aa=，则∠PHA=arctan2.3解（垂面法）如图PA⊥平面BD BD⊥ACBD⊥BC过BD作平面BDH⊥PC于HPC⊥DH、BH∠BHD为二面角B-PC-D的平面角，因PB=a,BC=a,PC=a,12PB·BC=S△PBC=12PC·BH则BH=3=DH，又BD=在△BHD中由余弦定理，得：cos∠BHD＝)2222223312233a aBH D H BDBH BD⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪+-==-又0＜∠BHD＜π 则∠BHD=23π，二面角B-PC-D的大小是23π。

4 解（面积法）如图AD PAAD AB AD PBA APA AB A⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪=⎭于同时，BC⊥平面BPA于B ，故△PBA是△PCD在平面PBA上的射影设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ，则cosθ=2P B AP C DsS∆∆=θ=45°5解（补形化为定义法）如图将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN，则PQ⊥PA、PD，于是∠APD是两面所成二面角的平面角。

在Rt△PAD中，PA=AD，则∠APD=45°。

即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°[参考答案]1—7 DDBA ABB 8. 7cm 9.4310.3π11.a2312.ϕθtga sin 13. 450 14. 700或1650 15. 90016.正弦值为4617.(1)900 (2)正切值为2APlABDP。