方程简单变形-1
6.2.1.3方程的简单变形
【达标测试】
1．若 ，则 的值为（ ）．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．一个数的 加上 等于这个数的 倍减去 ，则这个数为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．若 和 是同类项，则 的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4.已知三个连续奇数的和是 ，这三个数分别是_____．
5．若 时，代数式 的值等于 ，则 时，代数式的值是______．
(2)解方程应解到什么形式为止？
(3)通过解方程，你能归纳出解方程的一般步骤吗？
2、仿照例3解下列方程，并能说出每一步的变形依据．
(1)3y－2 =y+ 1 + 6y(2)3x－7 + 4x= 6x－2；
(3)10y+ 5 = 11y－5 (4)
【交流展示】
【质疑精讲】
时间：主备：刘牡丹学科组长：刘三会包组领导：于小丰
课题：6.2.1（3）方程的简单变形
【目标导学】
1.运用方程的变形规律熟练解方程；
2.理解解方程的步骤，掌握移项变号规则．
【温故互查】
(1)3x+ 4 = 0；(2)7y+ 6 =－y；【源自主学习】自主学习例3，完成下列问题。
1、请同学们利用方程的变形，求方程2x+ 3 = 1的解．并讨论：
(1)解方程的每一步的依据是什么？
6．计算
（1） ；（2）
(3) (4)
【总结提升】
已知y1= 3x+ 2，y2= 4－x．
(1)当x取何值时，y1=y2？(2)当x取何值时，y1比y2大4?
七年级学科数学第8页
新华东师大版七年级数学下册《6章 一元一次方程 6.2 解一元一次方程 等式的性质与方程的简单变形》教案_1
1.等式的性质与方程的简单变形第1课时由等式的性质到方程简单变形归纳导入复习导入类比导入悬念激趣同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事．图6－2－1小时候的曹冲是多么聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的质量．最常见的方法是用天平测量一个物体的质量．现在认识一下天平，然后回答下列问题：问题1：天平有什么作用呢？它代表什么意义呢？问题2：要让天平平衡应该满足什么条件？问题3：如果天平在平衡的条件下，左盘放着重(3x＋4)克的物体，右盘放着重4x克的物体，你知道怎样列式吗？问题4：已知方程4x＝3x＋4，你能求出x吗？[说明与建议] 说明：通过对天平的认识让学生感受等式可以类比天平，利用天平称物的图示可以形象直观地展现等式的性质，还可以直观地展现方程的求解过程，从而激发学生的求知欲．建议：充分发挥学生的主动性，注重训练学生的合作交流意识，通过解决问题，回顾以前知识，提醒学生注意与新知识的对比．上节课我们将几个实际问题转化成了数学模型即方程，只列出了方程，并没有求出方程的解．其实，在小学我们利用逆运算能够去求形如ax＋b＝c的方程的解，比如：5x＋4＝9.对于这样的方程：23x＝13，比较复杂，怎么解呢？要想求出这些复杂的一元一次方程的解，我们必须研究等式的性质，才可以解决这个问题．[说明与建议] 说明：学生感受到自己原先具有的知识已不能够解决目前的问题，学生遇到了困难，从而激发学生的求知欲，产生了克服困难的决心和信心，更能积极投入到新课的学习情境中去．建议：可让学生去解一下这个复杂的方程，让他们亲身体会此方程的复杂，然后小组讨论，是否能够找到解决办法．——教材第6页例1、例2 例1 解下列方程： (1)x －5＝7；(2)4x ＝3x －4. 例2 解下列方程： (1)－5x ＝2；(2)32x ＝13.【模型建立】利用等式的基本性质解方程就是通过对方程进行简单变形，使含未知数的项在一边，不含未知数的项在另一边，合并同类项后，两边同时除以未知数的系数即可．【变式变形】1．如果5a 3b 5与a 3b 6m －7是同类项，那么m 的值为( B )A ．－4B ．2C ．－2D ．42．当x ＝___3___时，代数式3x －7的值是2. 3．当k ＝__－12__时，方程5x －k ＝3x ＋8的解是－2. 4．解方程：(1)2－3x ＝5.[答案：x ＝－1] (2)－2x ＝6＋3x.[答案：x ＝－65](3)－35x ＋2＝－4.[答案：x ＝10] (4)－14x ＋1＝－2x ＋4.[答案：x ＝127][命题角度1] 等式的基本性质的应用此种题型考查学生对等式的基本性质的理解，应用等式的基本性质对方程进行简单变形． 例 把方程12x ＝1变形为x ＝2，其依据是__等式的性质2__．[命题角度2] 移项的识别移项的依据是方程的变形规则1，这一变形过程不改变方程的解．注意：(1)移项的时候一定要变号；(2)移项不等于移动，在等号一边利用加法交换律移动的项不能改变符号；(3)移项不改变方程中项的数目，不要漏写任一项．例 解方程6x ＋1＝－4，移项正确的是( D ) A ．6x ＝4－1 B ．－6x ＝－4－1 C ．6x ＝1＋4 D ．6x ＝－4－1[命题角度3] 利用等式的基本性质解方程利用等式的基本性质可以把一个等式进行变形，变成ax ＝b 的形式，然后两边同时除以a 即可．例 [湖州中考] 方程2x －1＝0的解是x ＝__12__．[命题角度4] 与其他知识综合此类型试题检测学生的审题能力，并能根据题意准确列出式子，利用一元一次方程的解法求出有关字母的值．例 x 为何值时，代数式2x －3与－3x ＋7的值互为相反数？[答案：x ＝4] [命题角度5] 解决实际应用题列方程解决实际问题是本章的重点及难点，此类型考题注重考查学生的综合分析能力及解决问题的能力，要求学生能够读懂题意，找准等量关系，正确列出方程并求解．图6－2－2例 [金华中考] 一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图6－2－2方式进行拼接．(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可做多少人？ (2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？解：(1)4张餐桌：4×4＋2＝18(人)；8张餐桌：4×8＋2＝34(人)． (2)设这样的餐桌需要x 张，由题意得4x ＋2＝90，解得x ＝22. 答：这样的餐桌需要22张．练习1 P5 1．回答下列问题：(1)由a ＝b 能不能得到a －2＝b －2？为什么？ (2)由m ＝n 能不能得到－m 3＝－n3？为什么？(3)由2a ＝6b 能不能得到a ＝3b ？为什么？ (4)由x 2＝y3能不能得到3x ＝2y ？为什么？解：(1)能，根据等式的基本性质1，两边同时减去2. (2)能，根据等式的基本性质2，两边同时乘以－13.(3)能，根据等式的基本性质2，两边同时除以2. (4)能，根据等式的基本性质2，两边同时乘以6.2. 填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪一条等式性质得到的： (1)如果x －2＝5，那么x ＝5＋________； (2)如果3x ＝10－2x ，那么3x ＋________＝10； (3)如果2x ＝7，那么x ＝________； (4)如果x －12＝3，那么x －1＝________.解：(1)2，等式的基本性质1. (2)2x ，等式的基本性质1. (3)72，等式的基本性质2. (4)6，等式的基本性质2. 练习2 P71．下列方程的变形是否正确？为什么？ (1)由3＋x ＝5，得x ＝5＋3； (2)由7x ＝－4，得x ＝－74；(3)由12y ＝0，得y ＝2；(4)由3＝x －2，得x ＝－2－3.解：(1)错误，3由等号左边移项到等号右边没有改变符号． (2)错误，方程两边同时除以7，得x ＝－47.(3)错误，方程两边同时乘以2，得y ＝0.(4)错误，x 由等号右边移项到等号左边没有改变符号． 2．(口答)求下列方程的解： (1)x －6＝6； (2)7x ＝6x －4； (3)－5x ＝60； (4)14y ＝12. 解：(1)x ＝12. (2)x ＝－4. (3)x ＝－12. (4)y ＝2. 练习3 P8 1．解下列方程： (1)3x ＋4＝0； (2)7y ＋6＝－6y ； (3)5x ＋2＝7x ＋8； (4)3y －2＝y ＋1＋6y ； (5)25x －8＝14－0.2x ； (6)1－12x ＝x ＋13.解：(1)移项，得3x ＝－4. 两边同时除以3，得x ＝－43.(2)移项，得7y ＋6y ＝－6. 合并同类项，得13y ＝－6. 两边同时除以13，得y ＝－613. (3)移项，得5x －7x ＝8－2. 合并同类项，得－2x ＝6. 两边同时除以(－2)，得x ＝－3. (4)移项，得3y －y －6y ＝1＋2. 合并同类项，得－4y ＝3. 两边同时除以(－4)，得y ＝－34.(5)两边同时乘以20，得8x －160＝5－4x . 移项，得8x ＋4x ＝5＋160. 合并同类项，得12x ＝165.两边同时除以12，得x ＝554. (6)两边同时乘以6，得6－3x ＝6x ＋2. 移项，得－3x －6x ＝2－6. 合并同类项，得－9x ＝－4. 两边同时除以(－9)，得x ＝ 49.2．试解6.1节中问题1所列出的方程． 解：移项，得44x ＝328－64. 合并同类项，得44x ＝264. 两边同时除以44，得x ＝ 6. 习题6.2.1 P9 1．解下列方程： (1)18＝5－x ； (2)34x ＋2＝3－14x ； (3)3x －7＋4x ＝6x －2； (4)10y ＋5＝11y －5－2y ； (5)x －1＝5＋2x ；(6)0.3x ＋1.2－2x ＝1.2－2.7x . 解：(1)移项，得x ＝5－18. 合并同类项，得x ＝－13. (2)移项，得34x ＋14x ＝3－2.合并同类项，得x ＝1.(3)移项，得3x ＋4x －6x ＝7－2. 合并同类项，得x ＝5.(4)移项，得10y －11y ＋2y ＝－5－5. 合并同类项，得y ＝－10. (5)移项，得x －2x ＝5＋1. 合并同类项，得－x ＝6， 两边同时除以－1，得x ＝－6. (6)移项，得0.3x －2x ＋2.7x ＝1.2－1.2. 合并同类项，得x ＝0. 2．解下列方程： (1)2y ＋3＝11－6y ； (2)2x －1＝5x ＋7； (3)13x －1－2x ＝－1； (4)12x －3＝5x ＋14. 解：(1)移项，得2y ＋6y ＝11－3. 合并同类项，得8y ＝8. 两边同时除以8，得y ＝1.(2)移项，得2x －5x ＝7＋1. 合并同类项，得－3x ＝8. 两边同时除以－3，得x ＝－83.(3)移项，得13x －2x ＝－1＋1.合并同类项，得－53x ＝0.两边同时除以－53，得x ＝0.(4)移项，得12x －5x ＝14＋3.合并同类项，得－92x ＝134.两边同时除以－92，得x ＝－1318.3．已知A ＝3x ＋2，B ＝4－x ，解答下列问题： (1)当x 取何值时，A ＝B? (2)当x 取何值时，A 比B 大4?解：(1)根据题意，要求3x ＋2＝4－x 的解． 解这个方程得x ＝12.所以当x ＝12时，A ＝B .(2)根据题意，要求3x ＋2－(4－x )＝4的解． 解这个方程得x ＝ 32.所以当x ＝32时，A 比B 大4.专题一 一元一次方程1. 在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )A ．乘以同一个数．B ．乘以同一个整式．C ．加上同一个代数式．D ．都加上1． 2. 某种商品若按标价的八折出售，可获利20％，若按原标价出售，可获利( )．A ．25％B ．40％C ．50％D ．66.7％ 3. 下面判断中正确的是 [ ]A ．方程132=-x 与方程x x x =-)32(同解B ．方程132=-x 与方程x x x =-)32(没有相同的解C ．方程x x x =-)32(的解都是方程132=-x 的解D ．方程132=-x 的解都是方程x x x =-)32(的解专题二 探究题4. 对于数x ，符号[x ]表示不大于x 的最大整数.例如[3.14]＝3,[－7.59]＝－8,则满足关系式[377x +]＝4的x 的整数值有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个5. 现在弟弟的年龄恰是哥哥年龄的21，而九年前弟弟的年龄是哥哥年龄的51，则哥哥现在的年龄是___________岁．6.解方程：3x-1.10.4 －4x-0.20.3 ＝0.16-0.7x0.06状元笔记【知识要点】1.等式的基本性质：（1）等式的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；（2）等式的两边都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.2.方程的变形规则：（1）方程的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变；（2）方程的两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数，方程的解不变.3.方程的变形类型：（1）移项：依据方程的变形规则1，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形；（2）将未知数的系数化为1：依据方程的变形规则2，将方程的两边都除以未知数的系数的变形.4.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元一次方程.5.解一元一次方程的步骤： ①去分母 ②去括号 ③移项④合并同类项⑤化未知项的系数为1⑥检验方程的解一般不需答出，但要养成检验的习惯 6.列一元一次方程解应用题的步骤：①弄清题意，设未知数：求什么？用字母表示适当的未知数；②分析条件，找等量关系：找出已给出的数量及未知数之间的等量关系；③组织方程，列方程：对等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系得到方程.④解所得的方程：求解所列出的一元一次方程，并检验所求的解是否原方程的解、是否符合实际意义.⑤写出答语.【温馨提示（针对易错）】1.判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像21=x，()1222+=+x x 等都不是一元一次方程.2.解方程时要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.【方法技巧】解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，将方程化为“x ＝常数”的形式，最后的“常数”就是方程的解. 答案1.【答案】D2.【答案】C ．【解析】设商品的进价为a 元，标价为b 元， 则80%b －a ＝20%a ，解得b ＝32 a ，原标价出售的利润率为b-aa ×100%＝50%3.【答案】D【解析】方程132=-x 的解是2=x；方程x x x =-)32(的解是0=x 和2=x ．因此，A .B ．C ．的判断都是错误的，只有D 判断正确． 4. 【答案】D 5. 【答案】12【解析】设弟弟年龄是x ，则哥哥年龄是2x ，则依题意有5（x －9）＝(2x －9)， ∴x ＝ 12.6. 【答案】解：原方程变形为 30x-114 －40x-23 ＝16-70x6去分母，得3×(30x －11)－4×(40x －2)＝2×(16－70x ) 去括号，得90x －33－160x ＋8＝32－140x 移项， 得90x －160x ＋140x ＝32＋33－8 合并， 得70x ＝57 系数化为1，得x ＝5770“方程的简单变形”学习点拨学习方程变形的依据及方程的两种简单变形，是为进一步学习解一元一次方程作铺垫。
初中数学 如何将一元二次方程进行变形
初中数学如何将一元二次方程进行变形一元二次方程的变形是指对方程进行代数变换，以便更好地理解和解决问题。
在本篇文章中，我将详细解释一元二次方程的变形形式，并提供相关的示例和解释。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是实数，且a不等于0。
一元二次方程的变形可以包括以下几种形式：1. 完全平方形式：一元二次方程可以通过配方法将其转化为完全平方的形式，即(x + a)^2 = 0。
配方法的步骤如下：a）将方程的首项系数a除以2，并将结果记为m。
b）将方程的常数项c除以a，并将结果记为n。
c）将方程的中间项系数b除以2a，并将结果记为k。
d）将方程的左侧写成一个完全平方的形式，即(x + k)^2。
e）将方程的右侧进行整理，即等于(m^2 - n)。
2. 标准形式：一元二次方程的标准形式是指将方程的首项系数变为1，即x^2 + bx + c = 0。
通过除以a，我们可以将一元二次方程转化为标准形式。
3. 因式分解形式：一元二次方程可以通过因式分解的方法进行变形。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以将其因式分解为(x - r)(x - s) = 0的形式，其中r和s是实数。
4. 齐次形式：一元二次方程的齐次形式是指将方程的常数项c变为0，即ax^2 + bx = 0。
通过除以c，我们可以将一元二次方程转化为齐次形式。
5. 完全平方差形式：一元二次方程的完全平方差形式是指将方程的中间项系数b进行变形，以形如(x + p)(x - q) = 0的形式表示，其中p和q是实数。
6. 整理形式：一元二次方程的整理形式是指将方程的项进行整理，以便更好地理解和求解。
例如，对于方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以将方程的各项按照次数的降序排列，即ax^2 + bx + c = 0。
让我们通过一个例子来演示一元二次方程的变形。
假设我们有一个一元二次方程：2x^2 + 4x + 2 = 0。
5.3.1 移项、去括号解一元一次方程 浙教版七年级数学上册素养提升卷(含解析)
第5章 一元一次方程5.3 一元一次方程的解法第1课时 移项、去括号解一元一次方程基础过关全练知识点1 移项1.下列方程变形正确的是()( )A.将方程3x-5=x+1移项,得3x-x=1-5B.将方程3x+5=x-1移项,得3x-x=-1-5C.将方程3x-5=-x-1移项,得3x+x=1+5D.将方程3x+5=x+1移项,得3x-x=1+52.若3a-1与1-2a互为相反数,则a的值为( )A.0B.-1C.1D.23.代数式2x+3与5x+6的值相等,则x等于 .()4.【教材变式·P121课内练习T1】解方程:(1)6y+2=3y-4;()(2)3x+4+x=7x-35.知识点2 去括号5.(2022浙江温州期末)解方程-2(2x+1)=x,以下去括号正确的是()( )A.-4x+1=-xB.-4x+2=-xC.-4x-1=xD.-4x-2=x6.方程3x-3-4x-6=1是下列含括号方程的去括号结果的是( )A.3(x-1)-2(2x+3)=1B.3(x-1)+2(2x+3)=1C.3(x-1)+2(2x+3)=6D.3(x-1)-2(2x+3)=67.方程2x-(x+1)=6的解是()( )A.x=-1B.x=3C.x=6D.x=78.代数式5(x-1)的值比2x的值大10,则x= .9.解方程:()(1)(2023浙江嵊州期末)5x-4=3(x-6);(2)x-(7-8x)=3(x-2).能力提升全练10.(2023浙江金华部分学校期末,7,★★☆)若x=-2是关于x的方程2x-a+2b=0的解,则代数式2a-4b+1的值为( ) A.-7 B.7 C.-9 D.911.(2022浙江金华武义期末,8,★★☆)小亮在解方程3a +x =7时,由于粗心,错把“+x ”看成了“-x ”,结果解得x =2,则a 的值为( )A.53B.3C.―3D.3512.【新定义试题】对于两个不相等的有理数m 、n ,规定min {m ,n }表示两个数中较小的数,如min {3,-2}=-2,则方程min {x ,-1}=2(1-x )的解是()( )A.x =23或x=32 B.x =32C.x =23D.x =23或x =-113.【分类讨论思想】(2022浙江宁波镇海期末,17,★★★)已知m 为非负整数,若关于x 的方程mx =2-x 的解为整数,则m 的值为 . 14.(2022浙江杭州萧山期末,15,★★★)定义一种新运算:a ⊕b =a 2-2ab +b 2,如1⊕2=12-2×1×2+22=1,若x ⊕(-1)=x ⊕3,则x = . 15.解方程:4x -2[x -5(x -1)-4]=1.()素养探究全练16.【推理能力】在1+12+122+123+124+…中,“…”代表按规律不断求和.设1+12+122+123+124+…=x,则有x=1+12x,解得x=2,故1+12+122+123+124+…=2.类似地,1+132+134+136+…的结果是什么?17.【新定义试题】【运算能力】定义:如果两个一元一次方程的解之和为1,我们就称这两个方程互为“美好方程”.例如:方程2x-1=3的解为x=2,x+1=0的解为x=-1,两个方程的解之和为1,所以这两个方程互为“美好方程”.(1)请判断方程4x-(x+5)=1与方程-2y-y=3是否互为“美好方程”;(2)若关于x的方程x2+m=0与方程3x=x+4互为“美好方程”,求m的值;(3)若关于x的方程12 023x―1=0与12 022x+3=2k互为“美好方程”,求关于y的方程-5(y+2)=3y-k的解.答案全解全析基础过关全练1.B 将方程3x-5=x+1移项,得3x-x=1+5,所以A错误;将方程3x+5=x-1移项,得3x-x=-1-5,所以B正确;将方程3x-5=-x-1移项,得3x+x=-1+5,所以C错误;将方程3x+5=x+1移项,得3x-x=1-5,所以D错误.故选B.2.A ∵3a-1与1-2a互为相反数,∴3a-1+1-2a=0,移项,得3a-2a=1-1,合并同类项,得a=0.故选A.3.-1解析 ∵代数式2x+3与5x+6的值相等,∴2x+3=5x+6,移项,得2x-5x=6-3,合并同类项,得-3x=3,方程两边同时除以-3,得x=-1.4.解析 (1)6y+2=3y-4,移项,得6y-3y=-4-2,合并同类项,得3y=-6,方程两边同时除以3,得y=-2.(2)3x+4+x=7x-35,移项,得3x+x-7x=-35-4,合并同类项,得-3x=-39,方程两边同时除以-3,得x=13.5.D 由分配律,得-(4x+2)=x,去括号,得-4x-2=x.故选D.6.A 3(x-1)-2(2x+3)=1,去括号,得3x-3-4x-6=1,所以A正确;3(x-1)+2(2x+3)=1,去括号,得3x-3+4x+6=1,所以B错误;3(x-1)+2(2x+3)=6,去括号,得3x-3+4x+6=6,所以C错误;3(x-1)-2(2x+3)=6,去括号,得3x-3-4x-6=6,所以D错误.故选A.7.D 2x-(x+1)=6,去括号,得2x-x-1=6,移项,得2x-x=6+1,合并同类项,得x=7.8.5解析 根据题意,得5(x-1)-2x=10,去括号,得5x-5-2x=10,移项,得5x-2x=10+5,合并同类项,得3x=15,方程两边都除以3,得x=5.9.解析 (1)去括号,得5x-4=3x-18,移项,得5x-3x=-18+4,合并同类项,得2x=-14,方程两边同时除以2,得x=-7.(2)去括号,得x-7+8x=3x-6,移项,得x+8x-3x=-6+7,.合并同类项,得6x=1,解得x=16能力提升全练10.A ∵x=-2是关于x的方程2x-a+2b=0的解,∴-4-a+2b=0,∴a-2b=-4,∴2a-4b+1=2(a-2b)+1=2×(-4)+1=-7.11.B 把x=2代入方程3a-x=7,得3a-2=7,移项,得3a=7+2,合并同类项,得3a=9,方程两边同时除以3,得a=3.12.B 当x>-1时,方程变形得-1=2(1-x),;解得x=32当x<-1时,方程变形得x=2(1-x),,不符合题意,舍去.解得x=23.故选B.综上所述,方程的解为x=3213.0或1解析 原方程可化为(m+1)x=2,当m+1=0,即m=-1时,方程无解;,当m+1≠0,即m≠-1时,解得x=2m+1因为x为整数,所以m+1=±1或m+1=±2,解得m=0或m=-2或m=1或m=-3,因为m为非负整数,所以m的值为0或1.14.1解析 由题意得x2+2x+1=x2-6x+9,移项,得x2+2x-x2+6x=9-1,合并同类项,得8x=8,方程两边同时除以8,得x=1.15.解析 4x-2[x-5(x-1)-4]=1,去括号,得4x-2x+10x-10+8=1,移项,得4x-2x+10x=1+10-8,合并同类项,得12x=3,方程两边同时除以12,得x=14.素养探究全练16.解析 设1+132+134+136+ (x)则1+132+134+136+…=1+132×1+132+134+136+…,∴x=1+132x,∴x=1+19x,∴x=98,故1+132+134+136+…=98.17.解析 (1)方程4x-(x+5)=1的解为x=2,方程-2y-y=3的解为y=-1,∵x+y=2-1=1,∴方程4x-(x+5)=1与方程-2y-y=3互为“美好方程”.(2)关于x的方程x2+m=0的解为x=-2m,方程3x=x+4的解为x=2,∵关于x的方程x2+m=0与方程3x=x+4互为“美好方程”,∴-2m+2=1,解得m=12.(3)方程12 023x-1=0的解为x=2 023,关于x的方程12 022x+3=2k的解为x=2022(2k-3),∵关于x的方程12 023x―1=0与12 022x+3=2k互为“美好方程”,∴2 023+2 022(2k-3)=1,解得k=1,∴关于y的方程-5(y+2)=3y-k可变形为-5(y+2)=3y-1,解得y=-98,即关于y的方程-5(y+2)=3y-k的解为y=-98.。
初中数学 什么是一元一次方程的变形原理
初中数学什么是一元一次方程的变形原理一、引言在初中数学中，一元一次方程是一个重要的概念。
通过对一元一次方程进行变形，我们可以将其简化为更简洁的形式，从而更容易求解未知数。
本文将详细介绍一元一次方程的变形原理，并提供一些示例来帮助初学者更好地理解和应用这个概念。
二、一元一次方程的一般形式一元一次方程的一般形式为ax + b = c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的目标是求解未知数x。
三、一元一次方程的变形原理一元一次方程的变形原理是根据等式性质和运算性质对方程进行变形，从而简化方程的形式。
下面是一元一次方程的常见变形原理：1. 同侧合并同类项：方程中的同类项是指具有相同未知数的项。
我们可以将同类项合并为一个项，从而简化方程。
示例1：方程2x + 3x = 5x。
我们可以合并同类项2x和3x，得到方程5x = 5x。
这个方程说明x的值可以是任意实数，因此有无穷多个解。
2. 移项：方程中的未知数项和常数项可以在等式两侧进行移动，从而使方程更加简洁。
示例2：方程2x + 3 = 5。
我们可以将未知数项2x移动到等式的右侧，得到方程3 = 5 - 2x。
这个方程可以进一步简化为-2x = 2，即x = -1。
3. 消元：如果方程中存在两个未知数，我们可以通过消元的方法将其中一个未知数消去，从而得到只含一个未知数的方程。
示例3：方程2x + 3y = 7和3x - 4y = 2。
我们可以通过消元的方法来解这个方程组。
首先，将第一个方程乘以3，将第二个方程乘以2，得到6x + 9y = 21和6x - 8y = 4。
然后，将这两个方程相减，消去x，得到17y = 17，即y = 1。
将y的值代入第一个方程，可以求得x的值。
这个方程组有唯一解x = 2，y = 1。
4. 分配律：方程中的分配律可以用来展开括号，从而简化方程。
示例4：方程3(x + 2) = 2(x - 1) + 5。
我们可以使用分配律将括号展开，得到3x + 6 = 2x - 2 + 5。
解一元一次方程—方程的简单变形
用等式的性质解一元一次方程
例2 解下列方程： 2 解下列方程
(1) 4 x = –1 + 3 x (2)
x = –1
用等式的性质解一元一次方程
(举一例）解:(1)两边都减去3x，得 4x-3x=-1+3x-3x 合并同类项，得 x=-1
检验： 把x=-1代入方程4x=-1+3x中， 左边＝4×(-1)=-4，右边＝-1+3×(-1)=-4 因为左边＝右边，所以x=-1是方程的解。
1xx2623xx34xx312xx346xx221xx8xx3xx6xx13这节课我们利用天平原理得出了等式的这节课我们利用天平原理得出了等式的两个性质并初步学习了用等式的两个性质两个性质并初步学习了用等式的两个性质两个性质并初步学习了用等式的两个性质两个性质并初步学习了用等式的两个性质解一元一次方程
等式的基本性质2： 等式的基本性质 ： 等式两边都乘或除以同一 等式两边都乘 除以同一 个不等于0的数， 个不等于 的数，所得的结 的数 果仍是等式。 果仍是等式。
用等式的性质解一元一次方程
例1 解下列方程 1 解下列方程： (1) x + 5 = 2 (2) –2 x = 4
把求出的解代 入原方程，可 怎样检验 以检验解方程 解方程是 是否正确 否正确？
解 题 后 的 反 思
1.你是怎么解的？每一步的依据是什么？ 还有其他解法吗？ 2.怎样才叫做“方程解完了”？ 3.使用等式的两个性质对方程两边进行 “同加减”、“同乘除”的目的是什么？ 求方程的解就是将方程变形为x = a x a的形式
小 结：
问题一：能这样解方程吗？下面的解法错在 哪里？ 解方程 4x = 2x x x 解: 方程两边都除以x , 得 4＝2 x 问题二：你能利用等式性质把“－1＝ x”变形 为 “x ＝ －1 ”吗？ x
3.2解一元一次方程---移项
复习练习
（1） -3x-2x=10 （2）-3x+0.5x=5
问题：
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人 3本，还剩余20本；如果每人分4本，则还 缺25本，这个班有多少学生？
如果设这个班有学生x人， 每人分3本，共分出了_3_X__本，加上剩 余的20本，这批书共_(_3_X__+_2_0_)___本。 每人分4本，需要_4_X__本，减去缺少 的25本，这批书共__(_4_X_-_2_5__) ____本。
练习： (移项，再合并)
(1)5x=3x+2 (2) 7m+5=4m-4
(1)5x=3x+2
解：移项，得 5x-3x=2
合并，得
2x=2
系数化为1，得
x=1
(2)7m+5=4m-4
解：移项，得 7m-4m=-4-5 合并，得 3m=-9
系数化为1，得
m=-3
反思：
（1）什么时候需要“移项”？“移项”的 作用是什么？
这批书的总数有几种表示方法？
它们之间的有什么关系？
列方程的根据“表示同一个量的 两个式子相等”
解：设这个班有学生x人。
3x+20=4x-25Βιβλιοθήκη 3x+20=4x-25
这个方程怎么变形呢？ 利用等式性质：两边同时减20,同时减4x,得
3x+20= 4x-25
3x-4x= -25-20
移项：
把等式一边的某项变号后，移到另一边，
（2）“移项”的依据是什么？应注意什 么？
解方程 (1) -4y-1=3y-8
解：移项，得 -4y-3y= -8+1
合并，得 -7y= -7
§6.2.1 方程的简单变形(1)
§6.2.1 方程的简单变形(1) 科目：七年级数学 备课人：王淑轶【教学目标】1.了解等式的两条性质，理解并掌握“移项”和“将未知数的系数化为1”的意义和方法；2.能正确地应用等式的性质对方程进行简单的变形求出方程的解；3.初步体会数学建模的过程和思想，渗透化归的数学思想，培养观察、分析和概括能力。
【教学重点】理解和应用等式的性质。
【教学难点】应用等式的性质把简单的方程化为“x =a ”的形式。
【教学过程】一、复习回顾，导入新课1.解下列方程：(1)3+x=8 (2)17-2x=6 (3)3x-7=11 (4)-7x=212.观察以上各方程的解的书写形式，有什么共同点？二、自主探索自学课本4页～6页内容，完成下列问题：1、方程两边都加上或都减去 ，方程的解不变。
2、方程两边都乘以或都除以 ，方程的解不变。
3、将方程中的某些项 后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
4、解方程的过程，实质上就是对方程进行适当的变形得到 的形式。
5、试用适当的数或整式填空：(1) 若3x=5-4x ，则3x+（ ）=5； (2) 若x 3+4=2x ，则2x-（ ）=4； (3) 若-y=2，则y=（ ）； (4) 若8-2x=4，则x=（ ）.三、合作探究1、解下列方程：(1)x-5＝7； (2)4x ＝3x-4；(3)-5x ＝2； (4)32 x=13。
2、试直接写出下列方程的解：(1)x-8＝5，（ ）； (2)9x ＝8x-5，（ ）；(3)-6x ＝-36 ，（ ）； (4)- 15 x=110，（ ）。
四、巩固练习1、解方程2x-4=3x+5，移项正确的是（ ）。
A.2x+3x=5-4；B.2x+3x=5+4；C.2x-3x=5-4；D.2x-3x=5+4.2、下列方程的变形中，移项正确的是（ ）。
A.由8+x=12，得x=12+8；B.由5x+8=4x ，得5x-4x=8；C.由10x-2=4-2x ，得10x+2x=4+2；D.由2x=3x-5，得3x+2x=5。
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知识回顾
上节课学习了“从实际问题到方程”，主要 步骤有：
（1）设未知数； （2）找等量关系； （3）列方程； （4）解方程。
天 平 与 等 式
把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平 两边的砝码，则等号成立就可看作是天平保持两边平衡。
等式左边
等号
通过对方程进行适当的变形，可以求得方程的解。
x 2 5
3x 2x 2
x 5 2
概括
3x 2x 2
将方程中的某些项改变符号后,从方程 的一边移到另一边的变形叫做移项. 1、移动的项的位置发生了变化，同时符 号也发生了改变。 2、移项是从“=”的一边移动到另一边。
注意:
3、移项要变号！
3 2
x
1 3
概 括： 以上例1和例2解方程的过程，都是对 方程进行适当的变形，得到x＝a的形式．
练习
1、下列方程的变形是否正确？为什么？ （1）由3＋x=5,得x=5+3; 7 （2）由7x=-4,得 x ; 4 1 （3）由 y 0 ,得y=2; 2 （4）由3=x-2,得x=-2-3.
等式右边
由天平联想到的方程的几种变形
x+2=5
x=5-2
3x=2x+2
3x-2x=2
x=6÷2 2x=6 思考：从这些方程的变形中，你发现什么一般的规则？
归纳： 我们可以看到，方程能够这
样变形：
（1）方程两边都加上或都减去同一个 数或同一个整式，方程的解不变．
（2）方程两边都乘以或都除以同一 个不为零的数，方程的解不变．
课堂小测
1、方程2x-1=3的解是： ； 2、2x与2互为相反数，则x= ; 3、已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=m,则 m= ; 4、下列方程中，解是x=2的是（ ） A.3x+1=2x-1 B.3x-2x+2=0 C.3x-1=3x+1 D.3x=2x+2 5、解方程：3x=5x-6
2、求2）7x=6x-4;
（3） 8x＝2x－7；（4） 6＝8＋2x；
3.
解方程:
44 x+64=328
解: 移项，得：44 x=328-64 合并同类项，得：44 x=264 将未知数的系数化为“1”得：x=6.
方程知识的应用
解方程：2x+1=3
什么叫方 程的解？
(变式一）方程2x+1=3与方程 2x+k=3的解相同，求k的值. □（变式二）关于x的方程2x+k=3 2 的解为1，求代数式k 3 k 4 的值。
本节课你的收获是什么？
这节课我们利用天平原理得出了等式的两个性 质，并初步学习了用等式的两个性质解简单方程。 所谓“方程解完了”，意味着经过对原方程 的一系列变形(两边同加减、乘除)，最终把方程化 为最简的形式： x=c 即方程左边只一个未知数项、右边只一个常 数项，且未知数项的系数是 1.
这两小题中方程的 变形有什么共同点？
例1 解下列方程： （1） x－5＝7；（2） 4x＝3x－4．
解方程
: 2x 6
(如何变形?)
2x 6
(两边都除以2)
2x 2 6 2
将未知数的 系数化为1
x 3.
例2
解下列方程：
这两小题中方程的 变形有什么共同点？
（1） －5x＝2；
(2)