3,直接开平方法新
专题2-2 用直接开平方法求解一元二次方程-重难点题型(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题2.2 用直接开平方法求解一元二次方程-重难点题型
【北师大版】
【题型1 直接开平方法解一元二次方程的条件】
【例1】（2020秋•环江县期末）若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0
【变式1-1】（2020秋•乐亭县期中）若方程（x﹣1）2＝m+1有解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣1 B．m≥﹣1
C．m为任意实数 D．m＞0
【变式1-2】（2020春•南岗区校级月考）若（4x﹣3）2＝m+3无实数解，则m的取值范围是 ．
【变式1-3】（2020秋•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根．
【题型2 解形如𝐱𝟐=𝐩(𝐩≥𝟎)的方程】
【例2】（2020秋•梁溪区校级期中）解方程：
（1）x2＝9；
（2）4x2﹣25＝0．
【变式2-1】（2020秋•江城区期中）解方程4x2﹣13＝12
【变式2-2】（2020秋•马山县期中）解方程：1﹣8x+16x2＝2﹣8x．
【变式2-3】（2020春•金山区期中）解关于x的方程：x2﹣1＝1﹣ax2（a≠﹣1）．
【题型3 解形如(𝐦𝐱+𝐧)𝟐=𝐩(𝐩≥𝟎,𝐦≠𝟎)的方程】
【例3】（2021•广州校级期中）解方程：4（2x﹣1）2﹣36＝0．
【变式3-1】（2020春•蜀山区期中）解方程：12（y+2）2﹣6＝0
【变式3-2】（2020秋•孟津县期末）解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．
【变式3-3】（2021秋•孝南区月考）解方程：4x2+12x+9＝81．
【题型4 已知方程的根求字母的值】
【例4】（2020秋•武昌区校级期中）如果x＝2是方程x2﹣c＝0的一个根，这个方程的另一个根为 ．
【变式4-1】（2020秋•龙湖区期末）若关于x的方程（ax﹣1）2﹣16＝0的一个根为2，则a的值为 ．
一元三次求根公式方法
一元三次求根公式方法
一、一元三次方程概述
1.定义及符号表示
一元三次方程是指只含有一个未知数、未知数的最高次数为三次的方程。通常用字母x表示未知数，方程一般形式为：ax+bx+cx+d=0。
2.基本性质
一元三次方程有以下几个基本性质：
（1）一元三次方程有三个解（实根或复根）；
（2）一元三次方程的解可能有两个实根，一个虚根；
（3）一元三次方程的解可能有一个实根，两个虚根；
（4）一元三次方程的解可能三个都是虚根。
二、一元三次求根公式推导
1.公式推导过程
一元三次方程的求根公式由意大利数学家卡尔丹（Cardano）于16世纪首次推导出来。求根公式为：
x1,2,3 = [-b ± √(b-3ac)] / (3a)
2.公式含义及适用范围
该公式适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0），通过该公式可以求得一元三次方程的三个解。
三、一元三次方程的解法
1.直接开平方法 直接开平方法适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0，且a、b、c、d为实数），通过直接开平可以求得一元三次方程的解。
2.公式法
利用一元三次方程的求根公式，可以求得一元三次方程的三个解。公式法适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0）。
3.图像法
通过绘制一元三次函数的图像，观察与x轴的交点个数，可以判断一元三次方程的解的个数。图像法适用于直观地了解一元三次方程的解的情况。
4.数值法
利用数值方法（如牛顿法、二分法等）求解一元三次方程，适用于需要求解实数解的情况。
四、一元三次方程实际应用案例
1.数学建模中的应用
在数学建模中，一元三次方程常用于构建复杂数学模型，如人口增长模型、经济模型等。
2.物理、工程领域的应用
一元三次方程在物理、工程领域中有广泛应用，如振动系统的动力方程、电磁场的麦克斯韦方程等。
五、一元三次方程求根公式的优缺点
1.优点
（1）公式具有普遍性，适用于各种一元三次方程；
直接开平方法 练习题
直接开平方法
要点：左边平方右边数的形式.
一、(例题讲解)请你用直接开平方法解下列方程:
023252)1(xx）（
05022)4(042)3(xx
二、用直接开平方法解下列一元二次方程:
（1）2435x （2）(2)(2)21xx
（3）22(2)(12)x （4）2269(52)xxx
三、选择与填空
1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ）
A. 230x B. 2(1)40x
C. 220xx D. 22(1)(21)xx
2. 若2(1)10x，则x得值等于( )
A. 1 B. 2
C. 0或2 D. 0或－2
3. 方程22)1(x的根是（ ）
A.－1、3 B.1、－3
C.1－2、1＋2 D.2－1、2＋1
4. 用直接开平方法解方程khx2)(，满足的条件是（ ）
A. k≥0 B．h≥0
C．hk＞0 D．k＜0
5.已知0a，方程2229160axb的解是( ) A. 169bxa B.43bxa
C.43bxa D.2243bxa
6. 方程220(0)xmm的根( )
A.2m B.2m
C.22m D.2m
7．下列解方程的过程中，正确的是（ ）
A. 22x，解方程，得x＝±2
B. 42)2(x，解方程，得x－2＝2，x＝4
初三数学上册知识点总结(3篇)
第1页共10页 初三数学上册知识点总结
九年级数学学习方法
初三新学期数学知识点苏教版
1.代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式
没有加减运算的整式叫做单项式（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）。
几个单项式的和，叫做多项式。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如=x,=│x│等。
4.系数与指数
区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看;
5.同类项及其合并 第2页共10页 条件：①字母相同;②相同字母的指数相同
合并依据：乘法分配律
6.根式
表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：①从外形上判断;②区别：是根式，但不是无理式（是无理数）。
7.算术平方根
⑴正数a的正的'平方根（[a≥0—与“平方根”的区别]）;
⑵算术平方根与绝对值
①联系：都是非负数，=│a│
②区别：│a│中，a为一切实数;中，a为非负数。
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
9.指数
⑴（—幂，乘方运算）。
①a>0时，>0;②a<0时，>0（n是偶数），<0（n是奇数）。
⑵零指数：=1（a≠0）。
负整指数：=1/（a≠0,p是正整数）。
数学导入的十八种方法
数学导入的十八种方法
数学教学中新课的导入很重要，好的导入可以引着学生把接下来的新内容学习好，反之，就会影响到对新课的学习情绪，甚至影响到整个数学教学目标的完成。这里归纳出十八种方法，在实际教学中我们可以根据教学内容和学生的情况选择恰当的导入方法。
1.引史讲故法
讲授新课时，结合课题内容先适当引入一些数学史、数学家的故事，或者讲述一些生动的数学典故，往往能激发学生的学习兴趣。例如，在讲授“无理数的概念”时，可讲一讲无理数的产生及其发现者希伯斯为捍卫真理而不畏强暴地宣传自己观点的精神，以培养学生为真理而奋斗的品德。在讲“圆”时，可以讲述我国古代数学家刘徽、祖冲之为圆周率π所作的贡献，树立学生热爱祖国，造福民族的雄心。
2.直接导入法
授课开始就接触教学内容的主题，点明本课所论问题的重点及中心，尽可能使学生心中有数、一目了然的一种常见方法。例如在教学“一元二次程的解法”（第一课时）时，可以在复习一元二次方程的概念、一般式等基本知识后，直接提出问题：“对于形如的方程，如何求解？”引出一元二次方程的特殊情形“Ax2=B的解法”，然后导出新课题：“直接开平方法”。
3.温故引新法
讲授新课时，首先复习以前所学的知识，并在此基础上提出问题，这样既可以使旧知识得以巩固，又能调动学生进一步学习的积极性。
4.实例探求法
利用现实生活中的具体实例分析和揭示事物的一般规律，是探求知识的一个重要途径，也是引入课题的一种方法。例如，在讲解“三角形中位线定理”时，可先引入以下实例：为了测量一个池塘的宽度AB，有人在池外取一点C，连结AC、BC，及其中点D、E，量得DE的长度，便得到这个池塘的宽度。这个问题的提出，自然会引起学生的好奇心，激发探求知识的欲望。
5.实物直观法
教学中可通过引导学生观察一些实物，激发其直观思维，引出新课题。例如，在讲授“三角形三边之间的关系”时，可让学生在长度不等的若干根小棍中任意取出三根，看能否组成三角形。通过实际操作，学生会发现，任取三根木棍，有时能组成三角形，有时却不能，揭示三角形三边之间的关系，这个新课题自然而出。
一元二次方程知识点总结和例题——复习 3
知识点总结：一元二次方程
知识框架
知识点、概念总结
1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元)，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点：
(1)含有一个未知数；
(2）且未知数次数最高次数是2；
(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是,再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0)
3。 一元二次方程的一般形式：一般地,任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
4。一元二次方程的解法
（1)直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，,,当b〈0时,方程没有实数根.
（2）配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式,把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式;化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式；变形为（x+p）2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=—p±√q；如果q＜0，方程无实根．
（3）公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.
一元二次方程的求根公式：
（4）因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法,这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
2024年人教版八年级数学上册标准课件
2024年人教版八年级数学上册标准课件
一、教学内容
本节课我们将要学习是2024年人教版八年级数学上册第三章《一元二次方程》3.1节“一元二次方程解法”。具体内容包括一元二次方程定义、求解一元二次方程几种常用方法，如直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法等。
二、教学目标
1. 让学生理解一元二次方程定义，掌握其一般形式。
2. 学会运用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法求解一元二次方程。
3. 培养学生逻辑思维能力和问题解决能力。
三、教学难点与重点
教学难点：一元二次方程求解方法，特别是配方法和公式法运用。
教学重点：一元二次方程定义及其求解方法。
四、教具与学具准备
1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、草稿纸、计算器。
五、教学过程
1. 实践情景引入
通过一个实际情景，如篮球投篮问题，引出一元二次方程。
2. 知识讲解
详细讲解一元二次方程定义、一般形式，以及求解一元二次方程四种方法。 3. 例题讲解
以PPT展示例题，逐步讲解求解过程，让学生跟随思路进行学习。
（1）直接开平方法求解：x^2 9 = 0
（2）配方法求解：x^2 + 4x + 3 = 0
（3）公式法求解：x^2 5x + 6 = 0
（4）因式分解法求解：x^2 2x 15 = 0
4. 随堂练习
让学生独立完成PPT上随堂练习题，并及时给予反馈。
5. 小结
六、板书设计
1. 定义：一元二次方程一般形式为ax^2 + bx + c = 0（a≠0）。
2. 求解方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
3. 例题：展示四种求解方法例题及解答过程。
七、作业设计
1. 作业题目
（1）求解下列一元二次方程：
a. x^2 16 = 0
b. x^2 + 6x + 9 = 0
c. 3x^2 12x + 9 = 0
(完整版)21.2.1直接开平方法解一元二次方程练习题1
21.2.1 直接开平方法解一元二次方程
要点感知1 对于方程x2=p.(1)当p>0时，方程有_______的实数根，_______；(2)当p=0时，方程有_______的实数根，_______0；(3)当p<0，方程_______.
预习练习1-1 下列方程可用直接开平方法求解的是( )
A.9x2=25 B.4x2-4x-3=0 C.x2-3x=0 D.x2-2x-1=9
1-2若x2-9=0，则x=_______.
要点感知2 解形如(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程，先根据_______的意义，把一元二次方程“_______”转化为两个_______元_______次方程，再求解.
预习练习2-1 方程(x-2)2=9的解是( )
A.x1=5，x2=-1 B.x1=-5，x2=1 C.x1=11，x2=-7 D.x1=-11，x2=7
知识点 用直接开平方法解一元二次方程
1.下列方程能用直接开平方法求解的是( )
A.5x2+2=0 B.4x2-2x+1=0 C.(x-2)2=4 D.3x2+4=2
2.方程100x2-1=0的解为( )
A.x1=101，x2=101 B.x1=10，x2=-10 C.x1=x2=101 D.x1=x2=101
3.(丽水中考)一元二次方程(x+6)2=16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是(
)
A.x-6=4 B.x-6=-4 C.x+6=4 D.x+6=-4
4.(鞍山中考)已知b＜0，关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个实数根
5.关于x的一元二次方程2x2-3x-a2+1=0的一个根为2，则a的值为( )
北师大版九年级(上)数学知识点归纳总结
- 99 - 第一章 特殊平行四边形
第1节 菱形的性质与判定
一、菱形的性质
1、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。
（1）菱形的对边平行且相等。
（2）菱形的对角相等，邻角互补。
（3）菱形的对角线互相平分。
2、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形不具有的特殊性质。
（1）菱形的四条边相等。
（2）菱形的对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角。
【说明】①菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴，所以菱形有两条对称轴。
②菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。
③菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的面积等于对角线乘积的一半。不仅如此，凡是对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来计算。
④菱形的面积有两种求法，第一种是等于对角线乘积的一半，第二种是底乘以高。
⑤菱形中如果有一个角为60°，则较短的对角线将其分成两个全等的等边三角形，从而较短的对角线等于边长，较长的对角线等于边长的3倍。
二、菱形的判定
1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（定义）
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3、四条边都相等的四边形是菱形。
第2节 矩形的性质与判定
一、矩形的性质
1、矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。
（1）矩形的对边平行且相等。
（2）矩形的对角相等，邻角互补。
（3）矩形的对角线互相平分。
2、矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形不具有的特殊性质。
（1）矩形的四个角都相等，都是直角。
（2）矩形的对角线相等。
【说明】①矩形是轴对称图形，经过每组对边中点的直线是它的两条对称轴。
②矩形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。 九年级上册 - 100 - ③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
④若一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形。
初三上册期末考试知识点总结(10篇)
初三上册期末考试知识点总结（10篇）
【导语】学会整合知识点。把需要学习的信息、掌握的知识分类，做成思维导图或知识点卡片，会让你的大脑、思维条理清醒，方便记忆、温习、掌握。同时，要学会把新知识和已学知识联系起来，不断糅合、完善你的知识体系。这样能够促进理解，加深记忆。下面是为您整理的《初三上册期末考试知识点总结（10篇）》，仅供大家参考。
1.初三上册期末考试知识点总结篇一
一、圆的定义
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。
(1)劣弧：小于半圆周的弧。
(2)优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质
1、圆的对称性(1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：
平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
2.初三上册期末考试知识点总结篇二
二元一次方程组
1、定义：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组的解法
(1)代入法
由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组通常用代入法来解，这是基本的消元降次方法。