多元函数微分学习题课精品PPT课件
(0, y) y
f
(0, 0)
lim
y0
0 y
0
可微性 在点(0, 0)处，
z fx(0, 0)x f y(0, 0)y
f
(x,yxx)(aarrcctta0xannarc(t(anxx))221x121((yyy)2)22,
2(xx, y) 2()x, y)
(0, 0) (0, 0)
1
3. 利用一阶微分形式不变性
例3 设 z x3 f ( xy, y ), ( f 具有二阶连续偏导数 )， x
求 z , 2z , 2z . y y2 xy
解
z y
x3 ( f1x
f
2
1 x
)
x4 f1
x2 f2,
2z y 2
x4 ( f11x
f12
1 x
)
x2
(
f
21
x
f
22
1 x
)
x5
f11
第七章 习题课
• 主要内容 • 典型例题
主要内容
平面点集 和区域
极限运算
多元连续函数 的性质
多元函数概念
多元函数 的极限
多元函数 连续的概念
方向导数
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性
全微分 概念
偏导数 概念
多元函数的极值
全微分 的应用
高阶偏导数
隐函数 求导法则 微分法在 几何上的应用
问题：1求极限，判断函数极限存在性 2、函数连续性、偏导数存在性、可微性的判别
x0
x0
y0
y0
x2 y2 0 f (0, 0)
所以函数f (x, y)在(0, 0)点连续.
偏导数
fx(0, 0)
lim x0
f
(x, 0) x
f
(0, 0)
lim 1 x0 x
(x arctan
1) x2
lim arctan 1
x0
x2 2
f y(0, 0)
lim y0
f
则 ( x, y) (0,0) 等价于 0.
0 ( y x)x 2 (sin cos )cos
x2 y2
(sin cos )cos 2 ,
故 lim ( y x)x 0.
x y x0
2
2
y0
注意: 在某些情况下可以利用极坐标求极限,
但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.
d x eu cos v d u eu sin v d v
(P92.2) 设 u f ( x, y, z), ( x2 ,e y , z) 0, y sin x,
( f , 具有一阶连续偏导数 )，且 0, 求 du .
z
dx
解 du f f dy f dz , 显然 dy cos x,
dx x 对 ( x2 ,e y , z) 0 两边求 x 的导数,得
例2.讨论
f
(
x,
y)
x
arctan
0
1, x2 y2
(x, y) (0, 0) (x, y) (0, 0)
在点 (0, 0) 处的连续性，偏导数的存在性及可微性.
解 由于当(x, y) (0, 0) 时，
| arctan 1 |
x2 y2 2
故
1
lim f (x, y) lim x arctan
2x3
f12
xf
22
,
2z 2z xy yx
x
(
x4
f1
x2
f2)
4 x3 f1
x4[ f11y
f12(
y x2
)]
2
xf
2
x
2[
f
21
y
f
22
(
y x2
)]
4x3
f1
2
xf
2
x4
yf11
yf
22
.
P92 例1-例9
(P92. 1) 设函数 z f (x, y) 在点 (1,1)处可微 , 且
dx
1
2x
2
e
y
dy dx
3
dz dx
0
,
于是可得,
dz dx
1
3
(
2
x
1
esin x
cos
x
2
),
故
du dx
f x
cos
x
f y
1
3
(2
x
1
e sin
x
cos
x
2
)
f z
.
（P93 4.） 如果函数关系式恒满足f (tx,ty,tz) tk f (x, y, z)则称此函
数为k次齐次函数，试证:k次齐次函数f (x, y, z)满足关系式 x f y f z f kf (x, y, z) x y z
f f (1,1) 1,
2, f
3,
x (1,1)
y (1,1)
( x)
f
(x,
f
(
x,
x))
,
求
d dx
3
(x)
x
1.
解: 由题设 (1) f (1, f (1,1) ) f (1,1) 1
d dx
3
(
x)
x
1
3 2 (x) d
dx
x
1
3 f1(x, f (x, x))
f2 (x, f (x, x)) f1(x, x) f2(x, x) x 1 3 2 3 (2 3) 51
z fx(0, 0)x f y(0, 0)y x(arctan
) (x)2 (y)2 2
因此
z fx(0, 0)x f y(0, 0)y x (arctan 1 )
2
由于
lim(arctan 1 ) 0
0
2
故 lim z fx(0, 0)x f y(0, 0)y 0
0
一、 基本概念
1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应法则 •求极限及判断极限不存在的方法 • 函数的连续性及其性质
2. 几个基本概念的关系
连续性
偏导数存在
方向导数存在
可微性
例1 求极限 lim ( y x)x .
x y x0
2
2
y0
解 令 x cos , y sin ,
( 0)
因此函数f (x, y)在(0, 0)点可微.
问题：求偏导数、高阶偏导数
(多元复合函数、隐含数求导方法)
二、多元函数微分法
显示结构
1. 分析复合结构
(画变量关系图)
隐式结构
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数
自变量与因变量由所求对象判定
2. 正确使用求导法则 “链式法则” 注意正确使用求导符号
证 记u tx, v ty, w tz, 方程
f (tx,ty,tz) tk f (x, y, z)
两边对t求导得 两边同乘以t得
x f y f z f ktk1 f u v w
tx f ty f tz f ktk f kf (u, v, w) u v w
即
u f v f w f kf (u, v, w)
u v w
用x, y, z分别替换u, v, w，即得结论.
(P94.6)
设
x
eu
cos
v,
y
eu
sin
v,
z
uv,
求
z x
,
z y
解 由z uv, 得
z v u u v ①
x x x
z
z v u u v ② y y y 由 x eu cos v, y eu sin v , 得
uv x yx y
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《多元函数的全微分》课件
1 近似计算
2 可微性判断
3 优化求解
全微分可以用于近似计 算。
全微分可以用于判断多 元函数的可微性。
全微分可以用于优化问 题的求解。
总结
新的函数
全微分是一个新的函数，用于表示微小变化 量。
多种计算方法
计算方法包括偏导数法和向量法。
具有可加性和路径无关性
全微分具有可加性和路径无关性。
广泛应用
全微分在近似计算、可微性判断、优化求解 等方面有广泛应用。
《多元函数的全微分》 PPT课件
多元函数的全微分是指对多元函数进行微分得到的一个新的函数。
概念介绍
1 定义
2 表示方法
全微分是对多元函数进行微分得到的一个 新的函数。
全微分的常用表示方法为 $df = rac{partial f}{partial x}dx + rac{partial f}{partial y}dy + rac{partial f}{partial z}dz$。
Hale Waihona Puke 全微分的性质1 可加性
全微分具有可加性，即 $df = df_1 + df_2$。
2 路径无关性
全微分的微分形式与路径无关。
计算方法
偏导数法
通过对多元函数中每个变量分别求偏导数，得 到全微分的表达式。
向量法
在 $R^n$ 空间中，将全微分理解为函数在某一 点的切向量，用向量的内积表示全微分。
应用
多元函数微分法 PPT课件
x
y
z f [u( x, y), x, y]
z
x
y
z f u f , x u x x
两者的区别
变而对 x 的偏导数
z f u f . y u y y
把 z f (u, x, y) 中 的 u 及 y
把复合函数 z f [(x, y), x, y] 中的 y 看作不 看作不变而对 x 的
的偏导数都存在,函数在 z f (u, v) 对应点 (u, v) 可微，则 复合函数 z f [ ( x, y), ( x, y)] 在点 ( x, y ) 处存在对 x 、 y 的偏导数,且
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z z u z v v 1 v vu x u ln u 1 y u y v y
xy(1 xy)
y
y 1
(1 xy) ln(1 xy)
y
xy (1 xy) [ ln(1 xy)] 1 xy
医用高等数学
推论:
”
医用高等数学
医用高等数学
第三节
多元函数微分法
一、复合函数微分法
二、隐函数微分法
医用高等数学
一、复合函数微分法
我们知道 : 如果函数u ( x )在点 x处可导 , 而 y f ( u)在 x点对应u处可导 , 则复合函数 y f [ ( x )] 在点 x处可导, 且其导数为
u
z
v
x
医用高等数学
全导数
例4-24 设 z e
u 2v
3 u sin x v x , 而 ， ,求
则多元函数微分学习题课公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
x2 y2
(sin cos )cos 2 ,
故 lim ( y x)x 0.
x y x0
2
2
y0
第12页
例2 已知 w f ( x y, y z,t z)
求
w w w w x y z t
解
w x
f1
w y
f1
f2
w
w
z f2 f3 t f3
w x
w y
w z
w t
即
x y z 3
第31页
切平面在三个坐标轴上截距分别为
3 3 , 3 3 , 3 3
故切平面与三个坐标面所围成四周体体积为
V 1 底面积 高 1[1 | 3 | | 3 | | 3 |]
3
32
9 | | 9 是一个常量
2
2
第32页
例13 设 y = f ( x ,t ) 而 t 是由 F (x ,y ,t) 拟定
0
例3 已知 z sin(ax by c) 求
mnz x m y n
第13页
解 z a cos(ax by c)
x a sin(ax by c )
2z
x2
a2
sin(ax
by
c
2
2 )
2
mz xm
am
sin(ax
by
c
m
2
)
m 1 z
xmy
a m b sin(ax
by
c
边所正确圆心角，则
x yz
三角形面积
A 1 R2(sin x sin y sin z) 2
第21页
问题就是求A在条件
x y z (0 x, y,z )
《多元函数的微积分》课件
最优化问题
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
THANKS
感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
THANKS
感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
多元函数全微分ppt课件-PPT精选文档
二 元 函 数 对 二 元 函 数 对 y y的 x和 和 对 的 偏 微 分 对 偏 改 变 量x
全改变量的概念
z f(x ,y )在 (x , y)的 如 果 函 数 点 某 邻 域 内 (x P x , y y)为 有 定 义 ， 并 设 这 邻 域 内 的 任 意 一 点 ， 则 称 这 两 点 的 函 数 值 之 差 f(x x , y y) f(x , y) x , y的 为 函 数 在 点 P对 应 于 自 变 量 改 变 量 全 z 改 变 量 （ 全 增 量 ） ， 记 为
0 0
0 , x 0 , y 0 . 即 lim z lim f ( x x , y y ) f ( x , y ) 0 , 0 0 0 0 0 x 0
x 0 y 0
y 0 lim f( x x ,y y )f(x ,y ) 0 0 0 0
( x , y ) z f ( x , y ) 故 函 数 在 点 处 连 续 . 0 0
定理 2 ：如果函数 z f (x , y)在点（ x ）可微 0, y 0 (x 则函数 z f (x , y) 的两个偏导数 fx 0, y 0), (x fy 存在，且 0, y 0) dz f ( x , y ) x f (x y x 0 0 y 0, y 0) (x , y )
0 0
即可微分定义中 z A x B y o ( ） A f ( x ,y ) ， B f ( x ,y ) x 0 0 y 0 0
P ( x , y ) 证： 如 0 0 z f ( x , y ) 果 函 数 在 点 可 微 分 ,
全改变量的概念
z f(x ,y )在 (x , y)的 如 果 函 数 点 某 邻 域 内 (x P x , y y)为 有 定 义 ， 并 设 这 邻 域 内 的 任 意 一 点 ， 则 称 这 两 点 的 函 数 值 之 差 f(x x , y y) f(x , y) x , y的 为 函 数 在 点 P对 应 于 自 变 量 改 变 量 全 z 改 变 量 （ 全 增 量 ） ， 记 为
0 0
0 , x 0 , y 0 . 即 lim z lim f ( x x , y y ) f ( x , y ) 0 , 0 0 0 0 0 x 0
x 0 y 0
y 0 lim f( x x ,y y )f(x ,y ) 0 0 0 0
( x , y ) z f ( x , y ) 故 函 数 在 点 处 连 续 . 0 0
定理 2 ：如果函数 z f (x , y)在点（ x ）可微 0, y 0 (x 则函数 z f (x , y) 的两个偏导数 fx 0, y 0), (x fy 存在，且 0, y 0) dz f ( x , y ) x f (x y x 0 0 y 0, y 0) (x , y )
0 0
即可微分定义中 z A x B y o ( ） A f ( x ,y ) ， B f ( x ,y ) x 0 0 y 0 0
P ( x , y ) 证： 如 0 0 z f ( x , y ) 果 函 数 在 点 可 微 分 ,
第九章 多元函数微分法及其应用例题课件.ppt.-文档资料
例13．证明函数
f
x,
y
x2y2
若x2y20
0
若x2y20
分别对每个自变量 x 或 y （另一
个看作常数）都连续，但作为二元
函数在原点 0 ，0 不连续。
例14．求函数
f
x,ysinx2
1 y2
1
的间断点。
例15． 求
lim x y x, y 1,2 xy
例16．求
xy 11
lim
则方程 F x ,y ,z= 0 在 点 x 0 ,y 0 ,z 0 的某
一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有
连续偏导数的函数 z f x, y,它满足条
件 z0 f x0,y0,并有 z Fx , z Fy
x Fz y Fz
例2．设
x2+y2+z24z0
2z
求 x2
。
例3．设 Z zx, y 为由
x, y0,0
xy
§9-2偏导数
例1．求函数
x2y2 当x0 或y0
f
x,
y
1
当xy0
例2．求
Z x2sin2y
的偏导数。
例3．设
Zxyx0,x1
求证
x z 1 z 2z y x lnx y
例4．求
r x2 y2 z2
的偏导数。
例5．求
Zx23xyy2
在点 1 , 2 处的偏导数。
x,y 0,0
例10．求
x2y2
xyl im
xy x2 y2
例11．设 f x,ysinx ，
证明 f x, y 是 R 2 上的连续
函数。
例12．为了使函数在原点 0 , 0
第八章_则多元函数微分学_习题课知识课件
求z,
2z ,
2z
.
y y2 xy
解
yzx3(f1xf21x) x4f1 x2f2 ,
y 2z 2x 4(f1 x 1f1 1 x 2)x 2(f2 x 1f2 1 x 2)
x 5 f 1 1 2 x 3 f 1 2x f 2 ,2
x 5 f 1 1 2 x 3 f 1 2x f 2 ,2
x
2
x 2z2a2sia n x(b yc22)
x m m zam sia n xb ( ycm 2)
x m m 1zyam bsian xb ( ycm 2 2)
x m m n y znam bnsian x b ( y c(m 2n ))
例4 设z x3 f(xy, y),( f 具有二阶连续偏)，导数 x
例6 设 xyze (xy z) 求
2z 2z 2z x2 ,xy,y2
解一 记 F ( x ,y ,z ) x y z e ( x y z )
则 FxFyFz 1e(xyz)
z z 1 x y
x2z2 x2zyy2z2
0
解二 方程两边对 x 求偏导
1ze(xyz)(1z)
x
x
(1z)1 [e(xyz)]0 x
2z 2z xy yx
x(x4f1x2f2)
4x3 f1x4[f11y f12(xy2)]2xf2 x2[f21yf22(xy2)]
4 x 3 f 1 2 x f 2 x 4 y f 1 1 y f 2 .2
例5 设uf(x,y,z),(x2,ey,z)0,ysix n,
(f,具有一阶连 )， 且续 偏 0,求 导 du . 数
称为全导数.
v
设 zfu (x ),v(x ,y),y u x
6-7多元函数微分学的-PPT课件
例1
求曲线:x
t
0
eu
cosudu，y
2sint
cost,z 1e3t 在t 0处的切线和法平面方程.
解 当t 0时，x 0 ,y 1 ,z 2 ,
xetcots, y2co ts sit,n z3e3t,
x(0)1, y(0)2, z(0)3,
x (t0 x)0 y (ty0)0 z (tz00).
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T ( t 0 ) ( t , 0 ) ( t , 0 )
法平面：过M点且与切线垂直的平面. ( t 0 ) x x 0 ( ) ( t 0 ) y y 0 ( ) ( t 0 ) z z 0 ) ( 0
特殊地：1.空间曲面方程形为 zf(x,y)
令 F ( x ,y ,z ) f ( x ,y ) z , 曲面在M处的切平面方程为
f x ( x 0 , y 0 ) x x ( 0 ) f y ( x 0 , y 0 ) y ( y 0 ) z z 0 , 曲面在M处的法线方程为
解 1 直 接 利 用 公 式 ;
解 2 将 所 给 方 程 的 两 边 对 x 求 导 并 移 项 ， 得
y
dy dx
z dz dx
x
dy
dz
1
dx dx
dy z x , dx y z
dz x y , dx y z
dy
0,
dx (1,2, 1)
切线方程 x0y1z2,
1 23
法平面方程 x 2 ( y 1 ) 3 ( z 2 ) 0 ,
多元函数微分学(省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件
i1
i 1
❖几何上看，C0(S)是凸集，且表示包含集合S最小凸集或是包 含集合S全部凸集交集.
数理经济学（Mathematical Economics）, 刘树林, © 2005
16/311 6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Rn中凸集与凸集分离定理（续）
极点
定义4.1.11 设X Rn是凸集，称x X是X
极点，若对任意y，z X和
，定义
d(x, y)
n
(xi
yi )2
(x y) • (x y)
i1
则可验证映射d满足(M-1) (M-3)，故(R n，d)是一个度量空间．
数理经济学（Mathematical Economics）, 刘树林, © 2005
7/31 7
数学基础—几个空间
范数与赋范线性空间
设V是一个实线性空间，若V上实值函数‖.‖: x ‖x‖满足:
m
x
= (x1, x2, , xn)mlim xim
xi
i = 1，2，…，n．
❖定理 若
lim x m x lim y m y lim c m c
m
m
m
则
lim (c
m
m
x
m
ym)
cx
y
这里，m = 1，2，…，+ .
数理经济学（Mathematical Economics）, 刘树林, © 2005
易验证Rn满足(I-1) (I-3), 故是一个内积空间, 称作Euclidean 空间
数理经济学（Mathematical Economics）, 刘树林, © 2005
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数学基础—几个空间
高等数学 多元函数微分法及其应用ppt课件
其余类推
fxy( x,
y)
lim
y0
fx(x, y
y) y
fx(x, y)
(2) 同样可得：三阶、四阶、…、以及n 阶偏导数。
(3) 【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
【例
1】设 z
x3
y2
3 xy 3
xy
1，求二阶偏导数及
3z x 3
.
【解】 z 3x2 y2 3 y3 y, x
x2 y2 sin x2 y2 ( x2 y2 )3 2
y0
换元,化为一元 函数的极限
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【阅读与练习】 求下列极限
5/51
x2
(1)lim sin( xy) (a 0); (2) lim (1 1 )x2 y2 ;
x0 x
x
x
ya
ya
1
(3)lim(1 sin xy)xy; x0
(2) 【复合函数求导链式法则】
①z
u
v
t t
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
u
x z z u z v y x u x v x
②z
v
x z z u z v
y y u y v y
③ z f (u, x, y)
u x z f f u
y x x u x
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
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4. 【偏导数的几何意义】 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图