实变函数试题2

1．设 ϕ : A → B 是映射， An ⊂ A, n ∈ N ，则下述关系中( A. )是正确的。
ϕ (I An ) ⊂ Iϕ ( An ) ；
n =1 n =1 n
∞
∞
B.
ϕ (I An ) = Iϕ ( An ) ；
n =1 n =1
∞
∞
C.
ϕ (I An ) ⊃ Iϕ ( An ) ；
n =1 n =1
p n →∞ p
） ）
= 0 ，则 lim f n ( x) = f ( x), a.e. 于 E . （
n→∞
得
分
评卷人
三、辨析题(共 24 分，每小题 6 分) 要求：判断命题是否正确，对正确的命题予以简要证明，对不正确的命题举出反例。
1．设 E ⊂ R ，若 E ' 是可数集，则 E 是可数集。
n →∞
∫
E
f ( x)dx = lim ∫ f n ( x)dx
n →∞ E
班级：
姓名：
学号：
.
O…………O…………O…………O 装………O 订………O 线…………O…………O…………O…………
0, x ∈ Q; 1 1 2 c 4．设 f ( x) = x , x ∈ ( , 1] ∩ Q ; 证明： f ( x) 在 [0, 1] 上 Lebesgue 可积，并计算 ( L) ∫ f ( x ) dx 。 0 3 1 x 3 , x ∈ [0, ) ∩ Q c ; 3
1．设 Ω 是直线上闭集的全体所组成的集合，则 Ω = c 。(
n
) ）
2．设 F1 , F2 是 R 的非空闭集， F1 ∩ F2 = Φ ，则 ρ ( F1 , F2 ) > 0 。 （ （ 3．若 E 是非空完备集，则 mE > 0 。 ）
*
4． E 是可测集 ⇔ 存在开集 G ⊇ E ，使 m E = mG 。 （
1 3
0
1 3
x 3 , x ∈ E1 x , x ∈ E2
2
， g ( x) 以
1 为间断点，因而 R－可积， （3 分） 且 3
∫ g ( x)dx =∫
0
1
1/ 3
g ( x)dx + ∫ g ( x)dx =
1/ 3 1 0
1
35 ，又点集 {x ∈ [0, 1] : f ( x) ≠ g ( x)} 为零测集，故 f ( x) 在 [0, 1] L－可积， （6 分） 且 108
3
） ） ）
5．设 f ( x) 定义于可测集 E , 则 f ( x) 是可测函数 ⇔ f ( x) 是可测函数。 （ 6．若 f ( x, y ) 在可测集 A × B 非负可测，则
∫
A× B
f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy 。 （
A B
（ 7．存在 [a, b] 上的可微函数 f ( x) ， f ' ( x) 在 [a, b] 上不可积。 8．若 { f n ( x)} ⊂ L ( E ), p ≥ 1, lim f n − f
n
)是错误的。
B. inf { f n ( x)} 是可测函数；
n
C. 若 f n ( x) ⇒ f ( x) ，则 f n ( x) → f ( x) ；
D. 若 f n ( x) ⇒ f ( x) ，则 f ( x) 可测；
得
分
评卷人
二、判断题(共 16 分，每小题 2 分) 要求：在括号内对正确的命题打“√”号，对不正确的命题打“×”号。
5．设 mE < +∞, { f n ( x)} 是 E 上的可测函数列，证明： f n ( x) ⇒ 0 的充要条件是 lim
n→∞ E
∫ 1+
f n ( x) f n ( x)
dx = 0
6．设 mE < +∞, f ( x) 是 E 上的非负可测函数，证明： f ( x) 在 E 上可积的充分必要条件是
n =0 n =0 En
∞
∞
∫
E
f ( x)dx ≤ ∑ (n + 1) ⋅ mEn ， （6 分） 而 ∑ n ⋅ mEn = ∑ (∑ mEk ) = ∑ mE ( f ≥ n)
E − E ' 是至多可数集，从而 E 是可数集。(6 分)
2．错误 (2 分) f n ( x) = n , x ∈ (0, n ); f n ( x) = 0, x ∉ (0, n ) ，在 [0, 1] lim f n ( x) = 0 = f ( x) ， f n − f
2
−1
−1
n→∞
p
= n 2−1 / p → +∞ (6 分)
i =1
n
2．设 f n ( x) ⇒ f ( x), x ∈ E ，且 g ( x) 与 f ( x) 对等，证明： f n ( x) ⇒ g ( x), x ∈ E 。
3 ．设 mE < +∞, f n ( x) 在 E 上 L- 可积， n = 1,2, L , lim f n ( x) = f ( x) , 且 { f n ( x)} 在 E 上一致有界，则 f ( x) 在 E 上 L- 可积，且
n→∞
由
∫ 1+
E
f n ( x) f n ( x)
dx = ∫
f n ( x)
1 + f n ( x)
E ( f n ≥δ )
dx + ∫
f n ( x)
1 + f n ( x)
E ( f n <δ )
dx ≤ ∫
E ( f n ≥δ )
1dx + ∫
δ
1+ δ
E ( f n <δ )
dx ≤ mE ( f n ≥ δ ) + δ ⋅ mE 得必要性。
班级：
姓名：
学号：
.
O…………O…………O…………O 装………O 订………O 线…………O…………O…………O………… 绍兴文理学院 专业 数学 系
题号（型） 得 得 分 分 一 二 三 四 五 六
学年第一学期 级《实变函数》试卷二
七 八 九 十 总 分
核分人
评卷人
一、单项选择(共 12 分，每小题 3 分）
∑ 2 mE ( f
k k =0
+∞
≥ 2k ) < +∞ 。
《实变函数》试卷（二）解答参考与评分标准
一．单项选择： 1。A; 2。B; 3。C; 4。C; 二．判断题： 1。√；2。×；3。×；4。×；5。√；6。√；7。√；8。×； 三．简答题：1。正确。 （2 分） ∀x ∈ E − E ' , ∃δ > 0, U ( x, δ ) ∩ E = {x} ，据有理数的稠密性，存在有理坐标点 x'∈ U ( x, δ ) ，由此可知
∞
6．由 E ( f ≥ n) ⊂ E ( f ≥ n − 1) ，可知 {mE ( f ≥ n)} 是单调递减的正数列，故
∞ ∞
∑ 2k mE ( f ≥ 2k ) < +∞ ⇔ ∑ mE ( f ≥ n) < +∞
k =0 n=0 k =n
∞
（2 分） 记 En = E ( n ≤ f < n + 1) ，有 E =
n
∞
∞
∞
n
1 1 − f ≤ ) ，而 E ( f n − f ≤ ) 是可测集。 （6 分） k k
n n n
四．解答题：1。记 Bi = [0, 1] − Ai , i = 1,2, L , n ，则
n n n n
I Ai = [0, 1] − (U Bi ) （3 分） m(I Ai ) = 1 − m(U Bi ) （4 分）
I En ) < lim mEn ；
n =1 n →∞
∞
B. m(
U En ) ≤ lim mEn ；
n =1 n →∞
∞
C. m(
I E ) = lim mE ；
n n =1 n →∞ n
∞
D. 以上都不对
4．设 { f n ( x)} 是 E 上的 a. e. 有限的可测函数列，下述命题中( A. sup{ f n ( x)} 是可测函数；
mE ( f n − g ≥ σ ) ≤ mE ( f ≠ g ) + mE ( f n − f ≥ σ ) = mE ( f n − f ≥ σ ) ， （4 分） 已知 lim mE ( f n − f ≥ σ ) = 0 （6 分）
n→∞
所以 lim mE ( f n − g ≥ σ ) = 0 ，即 f n ( x) ⇒ g ( x), x ∈ E 。 （8 分）
（8 分）
f n ( x) − f ( x) dx ≤ 2M ⋅ mE ( f n ( x) − f ( x) ≥ δ ) +
ε ⋅ mE
2mE + 1
<ε
即
∫
E
f ( x)dx = lim ∫ f n ( x)dx
n →∞ E
4．设 E1 = [0, ], E 2 = [ , 1] ，定义 [0, 1] 上的函数 g ( x) =
ε
2mE + 1
, ∃N , ∀n > N , mE ( f n − f ≥ δ ) <
E ( f n − f <δ )
ε
4M
, f n ( x) − f ( x) < ε ， （5 分） 于是
∫
E
f n ( x)dx − ∫ f ( x)dx ≤ ∫