苏教版2017高中数学必修2 2.2.1圆的方程(1)课件PPT
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高中数学 2.2.1圆的方程(1)课件 苏教版必修2
ppt精选
6
数学应用
思考：1．方程x－1＝ 1－ y 2 表示的曲线是什么？
y
O
2．方程y＝ 1－(x 1)2表示的曲线是什么？
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x
7
数学应用
2．已知⊙C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，及点M1(5，－7)，M2(－5，－1)， M3(3，1)则过此三点是否存在圆的切线？若存在有几条？ 3．圆C过点A(1，2)，B(3，4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程．
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
特别地，x2＋y2＝r2 表示以原点为圆心， r为半径的圆；其中当r＝1，即x2＋y2＝1时， 称该方程表示的圆为单位圆．
y y
P(x，y)
r
O M(a，b)
x
O
x
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3
数学应用
例1．求圆心是C(2，－3)，且经过坐标原点和圆的标准方程．
(1)经过点(0，4)，(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上； (2)与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x－3y＋5＝0上； (3)经过点A(3，5)和B(－3，7)，且圆心在x轴上． (4)过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线y＝x－1被该圆所截得的 弦长为 2 2 ．
高中数学 必修2
2.2.1 圆的方程（1）
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1
问题情境
圆是最完美的曲线．它是平面内到定点的距离等于定长的点的集 合．定点就是圆心，定长就是半径 ．
r 如何建立圆的方程？ 如何利用圆的方程研究圆的性质？
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2
数学建构
圆的方程． x2＋y2＝r2
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 以(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程：
苏教版2017高中数学(必修二)第2章 2.2.1 第2课时 圆的一般方程PPT课件
阶 段 一
阶 段 三
第2课时
圆的一般方程
学 业 分 层 测 评
阶 段 二
1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(易错点) 2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问 题．(重点、难点)
[ 基础· 初探] 教材整理 圆的一般方程的定义
阅读教材P109，完成下列问题． 1．圆的一般方程的定义
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．( √ ) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．( × ) (3)方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( √ ) (4)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆应满足的条件是①A＝ C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4F>0.( √ )
2 a2－2a＋2 半径r＝ . |a|
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两 种方法： (1)由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方 程表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否 可以表示圆．
【精彩点拨】 根据二元二次方程表示圆的条件判断．
【自主解答】 (1)∵A≠B，∴不能表示圆．
(2)∵xy前的系数不等于0，∴不能表示圆． (3)∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10<0， ∴不能表示圆． (4)方程变形为x2＋y2－2y＝0. 配方得x2＋(y－1)2＝1， 故方程表示圆，其圆心为(0,1)，半径为1.
D2＋E2－4F>0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其 1 2 D E 2 D ＋ E －4F － ，－ 2 圆心为____________ 2 ，半径为____________. 2
阶 段 三
第2课时
圆的一般方程
学 业 分 层 测 评
阶 段 二
1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(易错点) 2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问 题．(重点、难点)
[ 基础· 初探] 教材整理 圆的一般方程的定义
阅读教材P109，完成下列问题． 1．圆的一般方程的定义
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．( √ ) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．( × ) (3)方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( √ ) (4)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆应满足的条件是①A＝ C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4F>0.( √ )
2 a2－2a＋2 半径r＝ . |a|
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两 种方法： (1)由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方 程表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否 可以表示圆．
【精彩点拨】 根据二元二次方程表示圆的条件判断．
【自主解答】 (1)∵A≠B，∴不能表示圆．
(2)∵xy前的系数不等于0，∴不能表示圆． (3)∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10<0， ∴不能表示圆． (4)方程变形为x2＋y2－2y＝0. 配方得x2＋(y－1)2＝1， 故方程表示圆，其圆心为(0,1)，半径为1.
D2＋E2－4F>0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其 1 2 D E 2 D ＋ E －4F － ，－ 2 圆心为____________ 2 ，半径为____________. 2
数学：第2章2.2.1圆的方程 课件(苏教版必修2)
备选例题
1.求圆心在直线5x－3y－8＝0上，且与两坐标
轴都相切的圆的标准方程．
解：法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2
＝r2， ∵圆与坐标轴相切，∴a＝±b，r＝|a|.
又∵圆心(a，b)在直线5x－3y－8＝0上，∴5a
－3b＝8.
a＝±b， a＝4， a＝1， 由5a－3b＝8，得b＝4，或b＝－1， r＝|a|， r＝4， r＝1. ∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16 或(x－ 1)2＋(y＋1)2＝1. 法二：圆与两坐标轴都相切，那么圆心必在直 线 y＝±x 上．
3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆 的标准方程．
【思路点拨】
解答本题可以先根据所给条
件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出 方程用待定系数法求解．
【解】
法一：设点C为圆心．
∵点C在直线l：x－2y－3＝0上， ∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．(2分)
名师微博
据定义，求圆心，定半径，方便快捷.
①当 D2＋E2－4F＞0 为圆心，
D E － ，－ 2 2 时， 表示以____________
1 2 D ＋E2－4F 2 ____________为半径的圆； ②当 D2＋E2－4F＝0 时，方程只有实数解 x＝ D E D E － ，－ － ， y＝－ ， 即只表示一个点____________； 2 2 2 2 ③当 D2＋E2－4F＜0 时，方程没有实数解，因 而它不表示任何图形．
名师微博
这里采用的是待定系数法，此法常用，勿必 掌握.
a＝－1 解得b＝－2，(10 分) 2 r ＝10 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. (14 分)
苏教版高中数学必修二课件2.2《圆与方程--圆的一般方程》
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
小结
1、
（1）当时，
表示圆，
（2）当时， （3）当时，
表示点 不表示任何图形
2、用待定系数法求圆的方程时，对容易求出圆心坐 标的，一般采用圆的标准方程，否则采用一般方程。 3、要画出圆，必须要知道圆心和半径，应会用配方 法求圆心和半径，还有公式求圆心和半径。
小结：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标（两条直 线的交点）（常用弦 的中垂线）
待定系数法
求半径（圆心到圆上一点的 距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
作业
P134A组T1、T2（2）（用两种方法） T6
圆的一般方程
展开得
任何一个圆的方程都是二元二次方程 反之是否成立？
圆的一般方程
配方得 以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆 配方得
不是圆
不一定是圆
练习
判断下列方程是不是表示圆
以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
表示点（2，3）
不表示任何图形
练习
P134练习2 （1）表示点（0，0） （ 2）
例：求过三点A(5,1),B(7,-3),C(2,8)的圆的 方程 y 方法一：
A(5,1)
几何方法
O E
x
B(两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
方法二：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
高中数学苏教版必修二第二章《圆和方程》综合应用课件(共13张PPT)
的距离之比为
1 2
,
那么点M的坐标应满足什么关系？
画出满足条件的点M所构成的曲线。
点拨1：MO 1 MA 2
点拨
2： (x
x2 3)2
y2
y
2
1 4
点拨3：（x 1)2 y2 4
变式 1：在平面直角坐标 xOy 中，已知点 A(1,0), B(4,0) ，若直线 x y m 0 上存在点 P 使
y
O
x
探究提高
（1）如何发现隐形圆(或圆的方程)是关键，常见的有以下五个策略： 策略一：利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆； 策略二：动点 P 对两定点 A，B 的张角是 90°(kPA·kPB＝－1 或P→A·P→B＝0)确定隐形 圆； 策略三：两定点 A，B，动点 P 满足 AP＝λBP(λ＞0，λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼 斯圆)； 策略四：两定点 A，B，动点 P 满足 PA2＋PB2 是定值确定隐形圆； 策略五：两定点 A，B，动点 P 满足P→A·P→B＝λ确定隐形圆。
点拨 1：设 M(x，y)，由 MA2＋MO2＝10，A(0，2)，得圆 D：x2＋(y－1)2＝4 点拨 2：:点 M 在圆 D 上。又在圆 C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1 上 点拨 3：故它们有公共点，则 1≤a2＋(a－3)2≤9
点拨 4：解得实数 a 的取值范围是[0，3]． 解析 (1)设点 M(x，y)，由 A(0，2)，O(0，0)及 MA2＋MO2＝10，得 x2＋(y－2)2＋x2＋ y2＝10，整理得 x2＋(y－1)2＝4，即点 M 在圆 E：x2＋(y－1)2＝4 上.若圆 C 上存在点 M 满足 MA2＋MO2＝10 也就等价于圆 E 与圆 C 有公共点，所以|2－1|≤CE≤2＋1，即|2 －1|≤ a2＋（a－3）2≤2＋1，整理得 1≤2a2－6a＋9≤9，解得 0≤a≤3，即实数 a 的 取值范围是[0，3].
苏教版高中数学必修二第课时圆的方程1
听课随笔【解】（１）∵圆与x 轴相切∴该圆的半径即为圆心(1,2)A 到x 轴的距离2；所以圆的标准方程为：22(1)(2)4x y -+-=． （２）∵PQ 为直径，∴PQ 的中点M 为该圆的圆心即(5,6)M ，又因为22||(64)(39)436PQ =-+-=+210=，所以||102PQ r ==，∴圆的标准方程为：22(5)(6)10x y -+-=．点评:本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径．对圆的标准方程的有一个加深认识的作用． 例４：已知隧道的截面是半径为4m 的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为3m ，高为3.5m 的货车能不能驶入这个隧道？分析：建立直角坐标系，由图象可以分析， 关键 在于 写出半圆的方程， 对应求出当 3x =时的值， 比较得出结论．【解】以某一截面半圆的 圆心为原点，半圆的直径 AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：2216(0)x y y +=≥ 将3x =代入得2163793 3.5y =-=<=<，即离中心线3m 处，隧道的高度低于货车的高度，因此，该货车不能驶入这个隧道． 点评：本题的解题关键在于建立直角坐标系，用解析法研究问题．思考：假设货车的最大的宽度为am ，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？ 解：将x a =代入得216y a =-， 即限高为216a -m ．追踪训练一1.写出下列各圆的方程：（１）圆心在原点，半径为6；（２）经过点(6,3)P ，圆心为(2,2)C -． 【解】（１）2236x y +=；（２）22(2)(2)41x y -++=．２．求以点(1,5)C --为圆心，并且和y 轴相切的圆的方程．【解】由题意：半径1r =，所以圆的方程为：22(1)(5)1x y +++=． ３. 圆的内接正方形相对的两个顶点为(5,6)A ，(3,4)C -，求该圆的方程． 【解】由题意可得AC 为直径，所以AC 的中点M 为该圆的圆心即(4,1)M 又因为22||(53)(64)4100AC =-++=+226=∴||262AC r ==，∴圆的标准方程为：22(4)(1)26x y -+-=．４．求过两点(0,4)A ，(4,6)B ，且圆心在 直线220x y --=上的圆的标准方程． 【解】设圆心坐标为(,)a b ，圆半径为r ，则圆方程为222()()x a y b r -+-=， ∵圆心在直线220x y --=上， ∴220a b --= ①又∵圆过两点(0,4)A ，(4,6)B ， ∴222(0)(4)a b r -+-= ② 且222(4)(6)a b r -+-= ③ 由①、②、③得：4,1,5a b r ===， ∴圆方程为22(4)(1)25x y -+-=．思维点拔：由圆的标准方程即可写出由圆心坐标及圆的半径，反之，由圆心坐标及圆的半径即可写出圆的标准方程．在解具体的题目时，要灵活运用平面几何及前面所学直线的有关知识．听课随笔听课随笔。
苏教版数学必修二新素养同步课件：2.2.1 第2课时 圆的一般方程
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
设内切圆半径为 r，点 P 的坐标为(x，y)，则有 2r＋AB＝CA ＋CB，所以 r＝1. 故内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 化简得， x2＋y2－2x－2y＋1＝0，① 又因为 PA2＋PB2＋PC2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝ 3x2＋3y2－8x－6y＋25，②
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
3.已知两定点 A(－2，0)、B(8，0)，动点 P 在圆 C：(x－3)2＋y2＝1 上移动． (1)求证：AP2＋BP2 恒为定值； (2)据(1)猜测：对任意圆 C′，当两定点 A、B 与点 C′满足什么 关系时，AP2＋BP2 恒为定值．
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
半径长 r＝2
a2－2a＋2
|a|
.
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
判断二元二次方程是否是圆的方程时，一般先看这个方程是 否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征 时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看 D2＋E2－ 4F 是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为 大于零的常数．
解：(1)2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同，故原方程 不能表示圆． (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 项，故原方程不能表示圆． (3)因为 D2＋E2－4F＝1－8＝－7＜0，所以原方程不能表示 圆．
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
(4)法一：因为 a≠0，所以原方程可化为 x2＋y2－4（aa－1）x ＋4ay＝0， 即x－2（aa－1）2＋y＋2a2＝4[（a－a12）2＋1]＞0， 所以原方程表示圆，
第2章 平面解析几何初步
设内切圆半径为 r，点 P 的坐标为(x，y)，则有 2r＋AB＝CA ＋CB，所以 r＝1. 故内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 化简得， x2＋y2－2x－2y＋1＝0，① 又因为 PA2＋PB2＋PC2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝ 3x2＋3y2－8x－6y＋25，②
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
3.已知两定点 A(－2，0)、B(8，0)，动点 P 在圆 C：(x－3)2＋y2＝1 上移动． (1)求证：AP2＋BP2 恒为定值； (2)据(1)猜测：对任意圆 C′，当两定点 A、B 与点 C′满足什么 关系时，AP2＋BP2 恒为定值．
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第2章 平面解析几何初步
半径长 r＝2
a2－2a＋2
|a|
.
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
判断二元二次方程是否是圆的方程时，一般先看这个方程是 否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征 时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看 D2＋E2－ 4F 是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为 大于零的常数．
解：(1)2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同，故原方程 不能表示圆． (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 项，故原方程不能表示圆． (3)因为 D2＋E2－4F＝1－8＝－7＜0，所以原方程不能表示 圆．
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
(4)法一：因为 a≠0，所以原方程可化为 x2＋y2－4（aa－1）x ＋4ay＝0， 即x－2（aa－1）2＋y＋2a2＝4[（a－a12）2＋1]＞0， 所以原方程表示圆，
苏教版高中数学必修二课件《解析几何初步》圆的标准方程教学.pptx
其中步骤(1)(3)(4)必不可少．
2020/4/23
重庆市涪陵实验中学
4
用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程：
解：设M(x,y)是圆上任意一点，
据圆的定义有|MC|=r
由距离公式，得
y
C
M
．r
两边平方，得
O
x
2020/4/23
重庆市涪陵实验中学
5
圆的标准方程
特点：
1、是关于x、y的二元二次方程,无xy项；
y
14.52-(-2)2-10.5 ≈14.36-10.5=3.86(m)
答20：20/支4/23柱A2P2的长度约重为庆市3涪.陵8实6验m中。学
x
19
例5已知隧道的截面是半径为4m的半圆 ，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一 辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶 入这个隧道?
2020/4/23
(2)经过两点A(－1,0)，B(3，2)，圆心在 直线x＋2y＝0上．
3、已知圆过点P(－4，3)，圆心在直线2x－y＋1 ＝0上，且半径为5，求这个圆的方程．
2020/4/23
重庆市涪陵实验中学
21
4.求圆心C在直线x+2y+4=0上，且过两定点 A(-1,1)、B(1,-1)的圆的方程。
4
4
2、明确给出了圆心坐标和半径。 3、确定圆的方程必须具备三个独立条件 ,即a、b、r.
4、若圆心在坐标原点，则圆方程为
x +y =r 20220/4/223 2
重庆市涪陵实验中学
6
练习1.写出下列各圆的方程： （1）圆心在圆点，半径是3；
（2）圆心在点C(3,4)，半径是；
（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)
2020/4/23
重庆市涪陵实验中学
4
用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程：
解：设M(x,y)是圆上任意一点，
据圆的定义有|MC|=r
由距离公式，得
y
C
M
．r
两边平方，得
O
x
2020/4/23
重庆市涪陵实验中学
5
圆的标准方程
特点：
1、是关于x、y的二元二次方程,无xy项；
y
14.52-(-2)2-10.5 ≈14.36-10.5=3.86(m)
答20：20/支4/23柱A2P2的长度约重为庆市3涪.陵8实6验m中。学
x
19
例5已知隧道的截面是半径为4m的半圆 ，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一 辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶 入这个隧道?
2020/4/23
(2)经过两点A(－1,0)，B(3，2)，圆心在 直线x＋2y＝0上．
3、已知圆过点P(－4，3)，圆心在直线2x－y＋1 ＝0上，且半径为5，求这个圆的方程．
2020/4/23
重庆市涪陵实验中学
21
4.求圆心C在直线x+2y+4=0上，且过两定点 A(-1,1)、B(1,-1)的圆的方程。
4
4
2、明确给出了圆心坐标和半径。 3、确定圆的方程必须具备三个独立条件 ,即a、b、r.
4、若圆心在坐标原点，则圆方程为
x +y =r 20220/4/223 2
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6
练习1.写出下列各圆的方程： （1）圆心在圆点，半径是3；
（2）圆心在点C(3,4)，半径是；
（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)
高中数学 第二章 2.2.1圆的方程(一)配套课件 苏教版必修2
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
2.2.1(一)
探究点一 圆的标准方程 问题 1 在初中圆是如何定义的？
答 平面内到定点的距离等于定长的点的集合．定点就是 圆心，定长就是半径．
第五页，共24页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高效
2.2.1(一)
问题 2 如何求以坐标原点为圆心，r 为半径的圆的方程？ 答 设 P(x，y)是圆上的任意一点，依据圆的定义，则有 OP ＝r，
2.2.1(一)
例 1 求圆心是 C(2，－3)，且经过坐标原点的圆的方程． 解 因为圆 C 经过坐标原点， 所以圆 C 的半径是 r＝ 22＋－32＝ 13. 因此，所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
小结 求圆的标准方程就是将已知条件与圆心坐标及圆半径 建立联系，从而求出圆心坐标及圆半径．
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高 效
2.2.1(一)
当水面下降 1 米后， 可设点 A′的坐标为(x0，－3) (x0＞0)， 将 A′的坐标(x0，－3)代入方程②得 x0＝ 51， ∴水面下降 1 米后，水面宽为 2x0＝2 51米．
第十九页，共24页。
练一练·当堂(dānɡ tánɡ)检测、目标达成 落实处
第二十四页，共24页。
第八页，共24页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
2.2.1(一)
问题 5 点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的关系如何判 断？ 答 (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，点在圆外；
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上； (3)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2，点在圆内．
苏教版2017高中数学(必修二)第2章 2.2.1 第1课时 圆的标准方程PPT课件
【解析】 由题意可设圆的标准方程为x2＋y2＝r2，又(2,2)在圆上，故22＋22 ＝r2，即r2＝8. 故所求圆的标准方程为x2＋y2＝8.
【答案】 x2＋y2＝8
教材整理2 点与圆的位置关系 阅读教材P107～P108，完成下列问题． 设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
(3)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝5. 因为点A，B在圆上，所以可得到方程组：
2 2 1 － a ＋ 0 － b ＝5， 2 2 5 － a ＋ 0 － b ＝5，
a＝3， 解得 b＝1
a＝3， 或 b＝－1.
所以圆心C的坐标为(－3，－2)．
∴圆的半径r＝AC＝ 0＋32＋2＋22＝5， 所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
圆的方程的实际应用
如图2－2－1所示是一座圆拱桥，当水面距拱顶2 m，当水面下降1 m后，水面宽多少m？(结果保留两位小数) m时，水面宽12
图2－2－1
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d与r的大小关系 d＞r d＝r d＜r
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( × ) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( √ ) (3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.( × ) (4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．( × )
所以圆的标准方程是(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.
法二：由于A，B两点在圆上，所以线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知 识，知这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x＝3上，于是可以设圆心为C(3， b)，又由AC＝ 5，得 3－12＋b2＝ 5，解得b＝1或b＝－1，
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数学应用
思考：1．方程x－1＝ 1－ y 2 表示的曲线是什么？ y
O
x
2．方程y＝ 1－( x 1) 2表示的曲线是什么？
数学应用
2．已知⊙C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，及点M1(5，－7)，M2(－5，－1)， M3(3，1)则过此三点是否存在圆的切线？若存在有几条？ 3．圆C过点A(1，2)，B(3，4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程．
பைடு நூலகம்结
圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2
小结
课本111页习题2.2（1）1，2，3题.
称该方程表示的圆为单位圆．
数学应用
例1．求圆心是C(2，－3)，且经过坐标原点和圆的标准方程．
(1)经过点(0，4)，(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上；
(2)与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x－3y＋5＝0上； (3)经过点A(3，5)和B(－3，7)，且圆心在x轴上．
(4)过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线y＝x－1被该圆所截得的
高中数学 必修2
问题情境
圆是最完美的曲线．它是平面内到定点的距离等于定长的点的集 合．定点就是圆心，定长就是半径 ．
r
如何建立圆的方程？ 如何利用圆的方程研究圆的性质？
数学建构
圆的方程． x2＋y2＝r2 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 以(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程： (x－a)2＋(y－b)2＝r2 特别地，x2＋y2＝r2 表示以原点为圆心， r为半径的圆；其中当r＝1，即x2＋y2＝1时， O O M(a，b) x x y y P(x，y) r
弦长为 2 2 ．
数学应用
例2．已知两点A(6，9)和B(6，3)，求以AB为直径的圆的标准方程， 并且判断点M(9，6)，N(3，3)，Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在 圆外?
数学应用
例3．已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一 侧行驶，一辆宽为2. 7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？