数学高考复习名师精品教案：第16课时：第二章函数-指数函数与对数函数

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新人教版第16章对数函数全章教案

新人教版第16章对数函数全章教案
一、教学目标
1. 理解对数函数的概念；
2. 掌握对数函数的定义和性质；
3. 学会利用对数函数解决实际问题。

二、教学重难点
1. 了解对数函数的本质；
2. 掌握对数函数的基本定义和性质；
3. 学会利用对数函数解决实际问题。

三、教学内容和方法
1. 教学内容
第16章对数函数
第一节对数函数的概念
- 了解对数函数的定义和本质；
- 熟悉以a（a>0且a不等于1）为底的对数函数和以e为底的
自然对数函数的图象；
- 掌握对数函数的性质：单调性、奇偶性、周期性和相关公式。

第二节应用讨论
- 学会利用对数函数解决实际问题；
- 熟练运用对数函数的性质和公式，计算相关数值。

2. 教学方法
通过讲解、举例、讨论、画图和实践操作等多种方式进行教学，使学生理论联系实际，强化对知识点的渗透和掌握。

四、课时安排
本章建议用时 6 课时，具体安排如下：
五、教学反思
本章教案通过充实的内容、清晰的思路、灵活的方法和丰富的案例，使学生更好地理解对数函数的概念、掌握对数函数的定义和性质、学会利用对数函数解决实际问题。

同时，本章课程还注重对数函数的与其他数学概念的联系和拓展，帮助学生形成系统的数学知识结构，并为后续数学学习打下坚实的基础。

高中数学难点解析教案指数函数、对数函数问题

高中数学难点解析教案——指数函数、对数函数问题一、教学目标1. 理解指数函数、对数函数的定义及性质。

2. 掌握指数函数、对数函数的图象和性质。

3. 学会运用指数函数、对数函数解决实际问题。

4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 指数函数的定义与性质2. 对数函数的定义与性质3. 指数函数、对数函数的图象4. 指数函数、对数函数的应用5. 难点解析与例题讲解三、教学重点与难点1. 教学重点：指数函数、对数函数的定义、性质、图象及应用。

2. 教学难点：指数函数、对数函数的图象特点，以及实际问题的解决方法。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究指数函数、对数函数的性质。

2. 利用数形结合法，让学生直观地理解指数函数、对数函数的图象。

3. 运用实例讲解法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

4. 组织小组讨论，提高学生的合作交流能力。

五、教学过程1. 导入：通过回顾初中阶段学习的指数函数、对数函数知识，引发学生对高中阶段深入学习这些内容的兴趣。

2. 新课讲解：（1）讲解指数函数的定义与性质，让学生通过实例理解指数函数的单调性、奇偶性等性质。

（2）讲解对数函数的定义与性质，让学生了解对数函数与指数函数的互化关系，以及对数函数的单调性、奇偶性等性质。

（3）结合图象，讲解指数函数、对数函数的图象特点，以及它们之间的关系。

3. 应用拓展：通过实例让学生学会运用指数函数、对数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。

4. 难点解析：针对学生在学习过程中遇到的难点，如指数函数、对数函数的图象特点，以及实际问题的解决方法，进行详细讲解和分析。

5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调指数函数、对数函数的性质和应用。

7. 课后作业：布置适量作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生对指数函数、对数函数概念和性质的理解程度。

人教B版高中数学必修一指数函数与对数函数的关系教案(2)

指数函数与对数函数的关系教学目标：知道指数函数与对数函数互为反函数
教学重点：知道指数函数与对数函数互为反函数
教学过程：
1、复习指数函数、对数函数的概念
2、反函数的概念：一般地，函数)(x f y =中x 是自变量，y 是x 的函数，设它的定义
域为A ，值域为C ，由)(x f y =可得)(y x ϕ=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么)(y x ϕ=就表示x 是自变量y 的函数。

这样的函数)(y x ϕ=C y ∈叫函数)(x f y =的反函数，记作：)(1y f
x -=。

习惯上，用x 表示自变量，y 表示函数，因此)(x f y =的反函数)(1y f x -=通常改写成：)(1x f y -=
注：①明确反函数存在的条件：当一个函数是一一映射时函数有反函数，否则如2x y =等均无反函数；
② 与互为反函数。

③的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域
3、奇函数若有反函数，则反函数仍是奇函数，偶函数若存在反函数，则其定义域为{0}；
若函数)(x f y =是增（减）函数，则其反函数)(1x f
y -=是增（减）函数。

4、求反函数的步骤：由)(x f y =解出)(1y f
x -=，注意由原函数定义域确定单值对应；交换y x ,，得)(1x f y -=；根据)(x f y =的值域，写出)(1x f y -=的定义域。

5、例1、求下列函数的反函数：
①
②
③
④
解：略
课堂练习：教材第114页练习A、B
小结：本节课知道指数函数与对数函数互为反函数课后作业：略。

高中数学第二章指数函数、对数函数和幂函数 2.2.3 对数函数的图象和性质第1课时反函数及对

2.2.3 对数函数的图象和性质第1课时反函数及对数函数的图象和性质[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质．[知识]1．作函数图象的步骤为列表、描点、连线．另外也可以采取图象变换法．2．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象与性质.a＞10＜a＜1 图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1 单调性是R上的增函数是R上的减函数[预习导引]1．对数函数的概念把函数y＝log a x(x＞0，a＞0，a≠1)叫作(以a为底的)对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1 图象性质定义域(0，＋∞)值域R过点过点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数3.反函数(1)对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．(2)要寻找函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式，如果这种形式是唯一确定的，就得到f(x)的反函数g(x).要点一对数函数的概念例1 指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝log x3；(4)y＝log2x＋1.解(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.跟踪演练1 若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定答案 A解析设对数函数的解析式为y＝log a x(a＞0且a≠1)，由题意可知log a4＝2，∴a2＝4，∴a ＝2，∴该对数函数的解析式为y＝log2x.要点二对数函数的图象例2 如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35、110，则相应于c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为( )A.3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35 答案 A解析方法一先排c 1、c 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图低的底大，c 1、c 2对应的a 分别为3、43.然后考虑c 3、c 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时底大的图高，c 3、c 4对应的a 分别为35、110.综合以上分析，可得c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为3、43、35、110.故选A.方法二作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c 1、c 2、c 3、c 4对应的a 值分别为3、43、35、110，故选A.规律方法函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响．观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴，0＜a ＜1时a越小，图象向右越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．跟踪演练2 (1)函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(－2,1) D ．(－1,1)(2)如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1 答案 (1)D (2)B解析 (1)令x ＋2＝1，即x ＝－1，得y ＝log a 1＋1＝1，故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1)．(2)作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1. 要点三对数函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) (2)若f (x )＝121log (21)x +，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 答案 (1)C (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ≠0，解得x ＞－1且x ≠1.(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，2x ＋1≠1，解得x ＞－12且x ≠0.规律方法求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．跟踪演练3 (1)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] (2)函数y ＝lgx ＋1x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞) 答案 (1)B (2)C解析 (1)因为y ＝x ln(1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1.(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，解得x ＞－1且x ≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，故选C. 要点四反函数例4 求下列函数的反函数：(1)y ＝2x －5；(2)y ＝x1－x ；(3)y ＝1＋e 2x . 解 (1)从x ＝2y －5中解得y ＝x ＋52，即为所求；(2)从x ＝y 1－y 中解得y ＝xx ＋1，即为所求；(3)从x ＝1＋e 2y 移项得x －1＝e 2y .两端取自然对数得到ln(x －1)＝y2，解得y ＝2ln(x －1)，即为所求．规律方法要找寻函数y ＝f (x )的反函数，可以先把x 和y 换位，写成x ＝f (y )，再把y 解出来，表示成y ＝g (x )的形式．如果这种形式是唯一确定的，就得到了f (x )的反函数g (x )．既然y ＝g (x )是从x ＝f (y )解出来的，必有f (g (x ))＝x ，这个等式也可以作为反函数的定义．跟踪演练4 y ＝ln x 的反函数是________．答案 y ＝e x解析由y ＝ln x ，得x ＝e y ，所以反函数为y ＝e x.1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝log 22xC ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x 答案 D解析选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合． 2．函数f (x )＝11－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A ．(－13，＋∞) B．(－∞，－13)C ．(－13，13)D ．(－13，1)答案 D解析由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1.3．函数y ＝a x与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )答案 A解析函数y ＝－log a x 恒过定点(1,0)，排除B 项；当a ＞1时，y ＝a x是增函数，y ＝－log a x 是减函数，排除C 项，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数，y ＝－log a x 是增函数，排除D 项，A 项正确．4．若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________．答案 (2,1)解析函数图象过定点，则与a 无关，故log a (x －1)＝0，所以x －1＝1，x ＝2，y ＝1，所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2,1)． 5．函数y ＝lg x 的反函数是________．答案 y ＝10x解析由反函数的定义知x ＝10y，故反函数为y ＝10x.1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)这种形式．2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.一、基础达标1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则a 的值可以是( )A ．0.5B ．2C ．eD ．π 答案 A解析 ∵函数y ＝log a x 的图象单调递减，∴0＜a ＜1，只有选项A 符合题意． 2．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，解得1＜x ≤4.3．在同一坐标系中，函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案 B解析 ∵y ＝13log x ＝－log 3x ，∴函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象关于x 轴对称．4．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b 答案 D解析 y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log b x ，y ＝log c x 的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b ，c ∈(0,1)，又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x， x ≤0，log 2x ，x ＞0，那么f (f (18))的值为( )A ．27 B.127C ．－27 D ．－127答案 B解析 f (18)＝log 218＝log 22－3＝－3，f (f (18))＝f (－3)＝3－3＝127.6．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. 答案－32解析设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则－3＝log a 8，∴a ＝12.∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.7．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )．解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解之得x ＞2且x ≠3.∴函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解之得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．二、能力提升8．设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，且g (a )＝14，则a 等于( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 B解析 ∵函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝2x，即g (x )＝2x. 又∵g (a )＝14，∴2a＝14，∴a ＝－2.9．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致是( )答案 D解析由函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )在(－b ，＋∞)上是减函数．所以0＜a ＜1且0＜b ＜1.所以g (x )＝a x＋b 在R 上是减函数，故排除A ，B.由g (x )的值域为(b ，＋∞)．所以g (x )＝a x＋b 的图象应在直线y ＝b 的上方，故排除C. 10．若log 2a 1＋a21＋a<0，则a 的取值X 围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析当2a >1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a <1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1.当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a >1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 11．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )＜f (2)，利用图象求a 的取值X 围．解 (1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知：函数f (x )为单调增函数，当0＜a ＜2时，恒有f (a )＜f (2)．∴所求a 的取值X 围为(0,2)．三、探究与创新12．求y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．解因为2≤x ≤4，所以log 122≥log 12x ≥log 124，即－1≥log 12x ≥－2.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，所以y ＝t 2－12t ＋5，其图象的对称轴为直线t ＝14，所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－1时，y min ＝132.13．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的word 11 / 11 表达式，并画出大致图象．解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，－lg 1－x ，x ＜0，∴f (x )的大致图象如图所示：。

高中数学备课教案指数函数与对数函数的运算与性质

高中数学备课教案指数函数与对数函数的运算与性质高中数学备课教案：指数函数与对数函数的运算与性质一、引言指数函数与对数函数是数学中重要的概念，在高中数学教学中占有重要的地位。

本文将详细介绍指数函数与对数函数的运算与性质，并给出相应的教案，以帮助教师更好地备课和教学。

二、指数函数与对数函数的定义1. 指数函数的定义指数函数是以正实数a（a ≠ 1）为底的幂运算构成的函数，一般表示为f(x) = a^x，其中a称为底数。

指数函数具有以下性质：- 当a > 1时，指数函数递增；- 当0 < a < 1时，指数函数递减。

2. 对数函数的定义对数函数是指数函数的反函数，一般表示为g(x) = logₐx，其中a称为底数。

对数函数具有以下性质：- 当0 < a < 1时，对数函数递增；- 当a > 1时，对数函数递减。

三、指数函数与对数函数的运算1. 指数函数的运算（1）指数函数乘法：对于两个指数函数f(x) = a^x和g(x) = a^x，其乘积为h(x) = a^x^+^x^=^2^x。

（2）指数函数除法：对于两个指数函数f(x) = a^x和g(x) = a^x，其商为h(x) = a^x^-^x^=^0^,^5^x。

（3）指数函数的幂运算：对于指数函数f(x) = a^x，其n次幂为h(x) = (a^x)^n。

2. 对数函数的运算（1）对数函数乘法：对于两个对数函数f(x) = logₐx和g(x) = logₐx，其乘积为h(x) = logₐ(x^+^1)^.（2）对数函数除法：对于两个对数函数f(x) = logₐx和g(x) = logₐx，其商为h(x) = logₐ(x^-^1)^.（3）对数函数的幂运算：对于对数函数f(x) = logₐx，其n次幂为h(x) = logₐ(x^n)^.四、指数函数与对数函数的性质1. 指数函数的性质（1）指数函数的基本性质：指数函数f(x) = a^x满足f(0) = 1，f(1)= a。

高中数学第二章《对数函数》教案1 新人教A版必修1

教学任务：（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；（2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；（3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．教学重点：掌握对数函数的图象和性质．教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．教学过程：一、引入课题1．（知识方法准备）○1 学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质．○2 对数的定义及其对底数的限制．设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备．2．（引例）教材P 81引例处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：碳14的含量P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001 生物死亡年数t然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系P t 215730log=，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数” ．（进而引入对数函数的概念）二、新课教学（一）对数函数的概念1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数（logarithmic function ）其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5xy = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．巩固练习：（教材P 68例2、3）（二）对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．探索研究：○1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）（1） x y 2log = （2） x y 21log =（3） x y 3log = （4） x y 31log =2 图象特征函数性质1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<函数图象都在y 轴右侧函数的定义域为（0，＋∞）图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数向y 轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1，1） 11=α自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a 0log ,10><<x x a 第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于00log ,10<<<x x a0log ,1<>x x a○3 思考底数a 是如何影响函数x y a log =的．（学生独立思考，师生共同总结）规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．（三）典型例题例1．（教材P 83例7）．解：（略）说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对数函数的理解．巩固练习：（教材P 85练习2）．例2．（教材P 83例8）解：（略）说明：本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法，熟悉对数函数的性质，渗透应用函数的观点解决问题的思想方法．注意：本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法，规范解题格式．巩固练习：（教材P 85练习3）．例2．（教材P 83例9）解：（略）说明：本例主要考察学生对实际问题题意的理解，把具体的实际问题化归为数学问题．注意：本例在教学中，还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象．巩固练习：（教材P 86习题2．2 A 组第6题）．三、归纳小结，强化思想本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质．在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点．四、作业布置1．必做题：教材P86习题2．2（A组）第7、8、9、12题．2．选做题：教材P86习题2．2（B组）第5题．。

高中数学_指数函数与对数函数章末复习教学设计学情分析教材分析课后反思

《指数函数和对数函数单元》教学设计一、教学分析教材把指数函数、对数函数当作两种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图像的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题。

在复习必修一第二章《函数》后，学生对函数的概念及性质有了比较深入的认识，而本章的复习将进一步加深学生对函数的理解，丰富函数内涵，再次体会研究函数的一般思想方法。

理解函数模型在刻画研究自然界变量间关系的作用，进而学会用变量的眼光、函数的观点去观察世界、分析问题和解决问题，增强学生数学应用意识。

二、教学目标1、知识与技能（1）梳理知识网络，建构知识体系．（2）熟练掌握指数函数、对数函数的定义、图像与性质．（3）熟练运用指数函数、对数函数的图像和性质解答问题．2、过程与方法（1）让学生通过复习对指数函数和对数函数有一个总体认识，能够形成知识网络．（2）两种函数的图像和性质对比掌握,解决函数问题要做到数形结合．3、情感．态度与价值观使学生通过复习指数函数、对数函数的图像和性质，培养研究函数问题的思维方法,．三、重点难点[教学重点]: 指数函数、对数函数的图像与性质[教学难点]：指数函数与对数函数的性质．四、教学设想：（一）课题导入：名言名句，反馈试卷批阅情况，展示优秀试卷（二）合作探究：一对一讨论，组内交流，对错题进行分析研究，组内不会的题型和有疑问的题重点讨论。

（三）组内展示：根据答对率情况进行重点展示。

（四）学生点评：1、针对学生展示的答案各组进行讨论分析，准备讲评；2、总结规律方法以及解题技巧；3、下面同学及时整理、积累；4、教师针对学生所犯的错有目的，有针对性的讲评，进行精讲点拨。

（五）课堂小结学生进行总结（六）达标训练一、选择题1．若log m2<log n2<0，则实数m、n的大小关系是()A．1<n<m B．0<n<m<1C．1<m<n D．0<m<n<1答案B解析画图象可知．2．函数y＝(|x|)12的图象可能是下列四个图中的()答案 D解析由y ＝(|x |)12知函数为偶函数，且0<x <1时，y >x . 3．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 x ≥1时，log 2 x ≥0，∴y ≥2.二、填空题 4．设f (x )＝(]()⎩⎨⎧+∞∈∞-∈-,1log 1,381xx x x ，则满足f (x )＝41的x 值为________．答案 3,解析 ∵f (x )＝41，当3－x ＝41时，x ＝log 3 4∉(－∞，1]，,∴log 81 x ＝41，即x ＝4181＝()4143＝3∈(1，＋∞)，,综上可知，满足f (x )＝41的x 的值是3. 5.已知a >1,0<x <1且a log b (1－x )>1，那么b 的取值范围是______________．答案 (0,1),解析 ∵a log b (1－x )>a 0，且a >1.,∴log b (1－x )>0.,又∵0<x <1，∴0<1－x <1.∴0<b <1.,三、解答题,6、若f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．解 f (x )－g (x )＝log x 3x －log x 4＝log x43．,当0<x <1时，log x 43x >0，f (x )>g (x )；当x ＝34时，f (x )＝g (x )；,当1<x <34时，log x 43x <0，f (x )<g (x )．当x >34时，log x 43x >0，f (x )>g (x )．综上所述，当x ∈(0,1)∪（34，＋∞))时，f (x )>g (x )；,当x ＝34时，f (x )＝g (x )；,当x ∈（1，34)时，f (x )<g (x )．（六）作业整理满分卷《指数函数与对数函数章末复习》学情分析指数函数与对数函数的图象与性质是函数的基石，判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查，也有综合考查.函数的图象、图象的变换是高考热点，应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势.特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.复习函数时要注意：1.深刻理解指数函数、对数函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互转化.2.掌握函数图象的基本变换，如平移、翻转、对称等.3.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条理清楚、分类明确、不重不漏.4.利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视.《指数函数与对数函数章末复习》效果分析本节课由一句名人名言引入，从学生的试卷开始，使学生迅速进入角色，很快投入到指数函数与对数函数章末复习的探究中，提高了本节课的教学效率。

数学高考复习名师精品教案：第15课时：第二章函数-指数式与对数式

数学高考复习名师精品教案第15课时：第二章函数——指数式与对数式一．课题：指数式与对数式二．教学目标：1．理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质；2．理解对数的概念，掌握对数的运算性质．三．教学重点：运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明．四．教学过程：（一）主要知识：1．指数、对数的运算法则；2．指数式与对数式的互化：log b a a N N b =⇔=．（二）主要方法：1．重视指数式与对数式的互化；2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提．（三）例题分析：例1．计算：（1）121316324(12427162(8)--+-+-；（2）2(lg 2)lg 2lg50lg 25+⋅+；（3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+．解：（1）原式12133(1)246324(113228⨯-⨯-⨯⨯=-+-⨯21333211222118811⨯=+-⨯=-=．（2）原式22(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=．（3）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()(()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg352lg36lg 24=⋅=．例2．已知11223x x -+=，求22332223x x x x --+-+-的值．解：∵11223x x -+=，∴11222()9x x -+=，∴129x x -++=，∴17x x -+=，∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=，又∵331112222()(1)3(71)18x x x x x x ---+=+⋅-+=⋅-=， ∴223322247231833x x x x --+--==-+-．例3．已知35a b c ==，且112a b +=，求c 的值．解：由3a c =得：log 31a c =，即log 31c a =，∴1log 3c a =；同理可得1log 5c b =，∴由112a b += 得 log 3log 52c c +=， ∴log 152c =，∴215c =，∵0c >，∴c =例4．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值．解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >．由2log 2log 30x y y x -+=得2230t t -+=，∴22320t t +-=，∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1log 2x y =，∴12y x =， ∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--，∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-．例5．设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=．（1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b+-+++= （2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值．证明：（1）左边222log log log ()a b c a b c a b c a b c a b a b +++-+++-=+=⋅ 22222222222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab +-++-+-=====；解：（2）由4log (1)1b c a ++=得14b c a++=，∴30a b c -++=……………① 由82log ()3a b c +-=得2384a b c +-==………… ……………② 由①+②得2b a -=……………………………………………③ 由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=，∵0a >， ∴430a b -=……………………………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =．（四）巩固练习：12b =，则a 与b 的大小关系为；2．若2lg lg lg 2x y x y -=+的值．。

(人教B版)必修一名师精品：3.2.3《指数函数与对数函数的关系》教案设计

示范教案整体设计教学分析教材通过函数y＝2x与y＝log2x引入反函数的概念，值得注意的是在课程标准中，对反函数的要求仅仅局限于了解即可，防止过多的求反函数等练习，以免加重学生的负担．三维目标了解反函数的概念，知道y＝a x与y＝log a x(a＞0，a≠1)互为反函数，树立普遍联系的思想．重点难点教学重点：y＝a x与y＝log a x(a＞0，a≠1)的关系和反函数的概念．教学难点：理解反函数的概念．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数y＝a x与函数y＝log a x到底还有什么关系呢？这就是本堂课我们要研究的新内容．思路2.在比较系统地学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题．因此，搞清y＝a x和函数y＝log a x的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．推进新课新知探究①用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y与y＝2x与y＝log2x的函数图象.①通过图象探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？①如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.①探索y＝2x与x＝log2y的图象间的关系.①探索y＝2x与y＝log2x的图象间的关系.①结合①与①推测函数y＝a x与函数y＝log a x的关系.讨论结果：①y＝2x与x＝log2y.y＝log2x.图象如下图所示．①在指数函数y ＝2x 中，x 是自变量，y 是x 的函数，而且其在R 上是单调递增函数．过y 轴的正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与y ＝2x 的图象有且只有一个交点，即对任意的y 都有唯一的x 相对应，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数．①由指数式与对数式关系，y ＝2x 得x ＝log 2y ，即对于每一个y ，在关系式x ＝log 2y 的作用之下，都有唯一的确定的值x 和它对应，所以，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，即x ＝log 2y.这时我们把函数x ＝log 2y 〔y①(0，＋∞)〕叫做函数y ＝2x (x①R )的反函数，但习惯上，通常以x 表示自变量，y 表示函数，对调x ＝log 2y 中的x 、y 写成y ＝log 2x ，这样y ＝log 2x 〔x①(0，＋∞)〕是指数函数y ＝2x (x①R )的反函数．由上述讨论可知，对数函数y ＝log 2x 〔x①(0，＋∞)〕是指数函数y ＝2x (x①R )的反函数；同时，指数函数y ＝2x (x①R )也是对数函数y ＝log 2x 〔x①(0，＋∞)〕的反函数．因此，指数函数y ＝2x (x①R )与对数函数y ＝log 2x 〔x①(0，＋∞)〕互为反函数．以后，我们所说的反函数是x 、y 对调后的函数．如y ＝log 3x ，x①(0，＋∞)与y ＝3x (x①R )互为反函数，y ＝log 0.5x 与y ＝0.5x (x①R )互为反函数．函数y ＝f(x)的反函数通常用y ＝f －1(x)表示．①从我们的列表中知道，y ＝2x 与x ＝log 2y 是同一个函数图象．①通过观察图象可知，y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称．①通过①与①类比，归纳知道，y ＝a x (a ＞0，且a≠1)的反函数是y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)，且它们的图象关于直线y ＝x 对称．由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．应用示例思路1例写出下列函数的反函数： (1)y ＝30x ；(2)y ＝log 0.7x.解：(1)f －1(x)＝log 30x ；(2)f －1(x)＝0.7x .点评：函数y ＝a x 与函数y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)互为反函数.思路2例求下列函数的反函数： (1)y ＝－2x ；(2)y ＝2x ＋1. 解：(1)x ＝－12y ，则f －1(x)＝－12x.(2)2x ＝y －1，则x ＝log 2(y －1)，①f －1(x)＝log 2(x －1)(x ＞1)．点评：求反函数的步骤：①将y ＝f(x)看成关于x 的方程，解方程得x ；①x 、y 互换得f －1知能训练1．函数y ＝lgx 的反函数是( )A ．y ＝lgxB ．y ＝10xC ．y ＝lnxD ．y ＝10x 答案：B2．函数y ＝－3x的图象关于( )A ．直线y ＝x 对称B ．直线y ＝2x 对称C ．x 轴对称D ．y 轴对称答案：A3．写出下列函数的反函数： (1)y ＝21log x ；(2)y ＝2x ＋1；(3)y ＝6x .解：(1)f －1(x)＝(12)x ；(2)f －1(x)＝12x －12；(3)f －1(x)＝log 6x.拓展提升若1＜x ＜2，比较(log 2x)2，log 2x 2，log 2(log 2x)的大小．活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，学生有困难，教师可以提示并及时评价．这是有条件的比较大小，几个对数式各不相同，应采取中间量法．很明显，log 2(log 2x)小于0，只要比较(log 2x)2与log 2x 2的大小即可．解：log 2(log 2x)＜(log 2x)2＜log 2x 2.解法一：因为log 2x 2－(log 2x)2＝log 2x·(2－log 2x)＝log 2x·log 24x ，又因为1＜x ＜2，所以1＜x ＜4x.所以log 24x＞0，log 2x ＞0.所以log 2x 2＞(log 2x)2＞0.又因为log 2x ＜1，log 2(log 2x)＜0，所以log 2(log 2x)＜(log 2x)2＜log 2x 2.解法二：因为(log 2x)2－log 2x 2＝(log 2x)2－2log 2x ＋1－1＝(log 2x －1)2－1，又1＜x ＜2，所以0＜log 2x ＜1，即0＜(log 2x)2＜1. 因此(log 2x －1)2－1＜0.又log 2(log 2x)＜0，故log 2(log 2x)＜(log 2x)2＜log 2x 2.点评：比较数的大小方法：①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．①作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小． ①计算出每个数的值，再比较大小．①若是两个以上的数，有时采用中间量比较． ①利用图象法．①利用函数的单调性．课堂小结1．互为反函数的概念及其图象间的关系． 2．对数函数图象的平移变换规律．3．本节课又复习了对数函数的图象与性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中总结规律．4．指、对数函数图象性质对比．课本本节练习B 1、2.设计感想学生已经比较系统地掌握了对数函数的定义、图象和性质，因此本堂课首先组织学生回顾函数的通性，以及有关指数型函数的图象的变化规律以及与指数式有关的复合函数的奇偶性、单调性的讨论方法与步骤，为学生用类比法学习作好方法上的准备．由于本节课是本单元的最后一节，内容比较综合，量也较大，所以应响应高考要求，抓住关键，强化细节，努力使学生掌握与高考相适应的知识与能力，做到与高考接轨．[备用习题]1．f(x 2－3)＝log a x 26－x 2(a ＞0，a≠1)，判断f(x)的奇偶性．活动：学生考虑，学生之间可以相互交流讨论．判断函数的奇偶性，一般用定义法；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；学生回忆判断函数奇偶性的方法，利用定义判断函数奇偶性的格式步骤．解：①f(x 2－3)＝logax 2－3＋33－(x 2－3)， ①f(x)＝log a 3＋x 3－x .由3＋x3－x ＞0，得f(x)的定义域为(－3,3)．又①f(－x)＝log a 3－x 3＋x ＝log a (3＋x 3－x )－1＝－log a (3＋x3－x )＝－f(x)，①f(x)是奇函数．点评：解指数不等式要注意底数的大小，必要时要分类讨论． 2．已知常数a 、b 满足a ＞1＞b ＞0，若f(x)＝lg(a x －b x )， (1)求y ＝f(x)的定义域；(2)证明y ＝f(x)在其定义域内是增函数；(3)若f(x)恰在(1，＋∞)上恒取正值，且f(2)＝lg2，求a 、b 的值． (1)解：由a x －b x ＞0，得(ab )x ＞1.因为a ＞b ＞0，所以ab＞1.所以y ＝(a b )x 是增函数．而且由(ab)x ＞1得x ＞0，即函数f(x)的定义域是(0，＋∞)．(2)证明：任取x 1，x 2①(0，＋∞)，且x 1＜x 2，因为a ＞1，所以g 1(x)＝a x 是增函数．所以ax 1－ax 2＜0， (ax 1－ax 2)－(bx 1－bx 2)＜0，即(ax 1－bx 1)－(ax 2－bx 2)＜0.因此0＜ax 1－bx 1＜ax 2－bx 2，于是lg(ax 1－bx 1)＜lg(ax 2－bx 2)，故f(x)＝lg(a x －b x )在(0，＋∞)内是增函数．(3)解：因为f(x)在(1，＋∞)内为增函数，所以对于x①(1，＋∞)内每一个x 值，都有f(x)＞f(1)．要使f(x)恰在(1，＋∞)上恒取正值，即f(x)＞0，只需f(1)＝0. 于是f(1)＝lg(a －b)＝0，得a －b ＝1.又f(2)＝lg2，所以lg(a 2－b 2)＝lg2.所以a 2－b 2＝2，即(a ＋b)(a －b)＝2. 而a －b ＝1，所以a ＋b ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12.经检验知a ＝32，b ＝12为所求．点评：解(3)要用到(1)与(2)的结果，是相互联系的，恒成立问题是高考的热点问题，要注意把握．(设计者：张新军)。

幂函数指数函数和对数函数单元教学设计

活动意图说明：点评考察定义，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数．环节二：教师活动2知识点二五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)12y x ＝；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 12y x ＝y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞) 上增，在(－∞，0] 上减增增在(0，＋∞) 上减，在(－∞，0) 上减知识点三一般幂函数的图象特征一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称； (5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．学生活动学生把自己的作图结果展示并比较，讨论，校对。

教师最后可以用课件动态展示结果。

并得出正确的图像。

学生先相互讨论，如有不足老师再提醒或补充。

活动意图说明学生通过作图从熟悉的图像到陌生的图像进一步学会做图和看图，学会图像这个工具进一步研究性质。

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数学高考复习名师精品教案
第16课时：
第二章函数——指数函数与对数函数
一．课题：指数函数与对数函数
二．教学目标：1．掌握指数函数与对数函数的概念、图象和性质；
2．能利用指数函数与对数函数的性质解题．
三．教学重点：运用指数函数、对数函数的定义域、单调性解题．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．指数函数、对数函数的概念、图象和性质；
2．同底的指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数；
（二）主要方法：
1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；
2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；
3．比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差．
（三）例题分析：
例1．（1）若21a b a >>>，则log b b a
，log b a ，log a b 从小到大依次为；
（2）若235x y z ==，且x ，y ，z 都是正数，则2x ，3y ，5z 从小到大依次
为；
（3）设0x >，且1x x a b <<（0a >，0b >），则a 与b 的大小关系是（）（A ）1b a << （B ）1a b << （C ）1b a << （D ）1a b << 解：（1）由21a b a >>>得b a a <，故log b
b a <log b a 1<<log a b ．（2）令235x y z t ===，则1t >，lg lg 2t x =，lg lg 3t y =，lg lg5t z =， ∴2lg 3lg lg (lg9lg8)230lg 2lg3lg 2lg3t t t x y ⋅--=-=>⋅，∴23x y >；同理可得：250x z -<，∴25x z <，∴325y x z <<．（3）取1x =，知选（B ）．例2．已知函数2()1
x x f x a x -=++(1)a >，求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根．证明：（1）设121x x -<<，则1212
121222()()11
x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212*********()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++， ∵121x x -<<，∴110x +>，210x +>，120x x -<， ∴12123()0(1)(1)
x x x x -<++； ∵121x x -<<，且1a >，∴12x x a a <，∴120x x a a -<，
∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；
（2）假设0x 是方程()0f x =的负数根，且01x ≠-，则000201x x a x -+=+，即00000023(1)31111
x x x a x x x --+===-+++， ① 当010x -<<时,0011x <+<,∴0331x >+,∴03121
x ->+,而由1a >知01x a <. ∴①式
不成立；
当01x <-时，010x +<，∴0301x <+，∴03111
x -<-+，而00x a >. ∴①式不成立．
综上所述，方程()0f x =没有负数根．例3．已知函数()log (1)x a f x a =-（0a >且1a ≠）．（《高考A 计划》考点15，例
4）．
求证：（1）函数()f x 的图象在y 轴的一侧；
（2）函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．证明：（1）由10x a ->得：1x a >， ∴当1a >时，0x >，即函数()f x 的定义域为(0,)+∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧；
当01a <<时，0x <，即函数()f x 的定义域为(,0)-∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧．
∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧；
（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点，且12x x <，
则直线AB 的斜率1212y y k x x -=-，1122121log (1)log (1)log 1x x x a a a x a y y a a a --=---=-，当1a >时，由（1）知120x x <<，∴121x x a a <<，∴12
011x x a a <-<-， ∴121011
x x a a -<<-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >；当01a <<时，由（1）知120x x <<，∴121x x a a >>，∴12
110x x a a ->->， ∴12111
x x a a ->-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >． ∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．
（四）巩固练习：
1．已知函数()|lg |f x x =，若1
1a b c
>>>，则()f a 、()f b 、()f c 从小到大依次为()()()f b f a f c <<；（注：1()()f f c c
=） 2．若a 为方程20x x +=的解，b 为不等式2log 1x >的解，c 为方程12
log x x =的解，
则a 、b 、c 从小到大依次为a c b <<；
3．若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是01m <≤．。