一元二次不等式及其解法课件

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人教版高中数学必修第一册第二章2.3.6一元二次不等式及其解法【课件】

a>0的解集．
【解】
（备选例题）(1) 设关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集为
{x|1<x<m},其中m>1,求m的值.
(2) 设关于x的不等式ax2-2x+1<0的解集为{x|m<x<n},其中m<n,
求3m+2n的最小值.
思路点拨利用一元二次不等式的解与相应一元二次方程的根及相应一
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
课时6
一元二次不等式及其解法
教学目标
1 . 通过日常生活中的实例,抽象出一元二次不等式的模型,提升数
学抽象素养 .
2 . 通过画二次函数图象、看二次函数图象、分析二次函数图象,探
究二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的关系,明
【问题10】通过列表写出一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集．
【问题11】怎样求出一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)和ax2＋
bx＋c<0(a<0)的解集？
典例精析
【例1】[教材改编题](1) 求不等式x2－x－6>0的解集；(2) 求不等式
结论.
【变式训练2】设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
【解】
【例3】
1
1
x x
3
2
思路点拨
1
1
x x
3
2
【解】
【方法规律】
1. 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程

【数学课件】一元二次不等式及其解法

2
对一切 x R 恒成立，则a的取值范围。
1.若函数 f ( x) kx 6kx (k 8) 的定义域为R,求实数k的取值范围.
2
解:要使函数f(x)有意义,则必有
kx 6kx (k 8) 0
2
因为函数f(x)的定义域为R,所以 2 kx 6kx (k 8) 0 对一切 x R 恒成立. ①当k=0,不等式8>0对一切 x R 恒成立.
易错题
1.函数 f ( x) log 1 ( x2 kx 2) 的定义域为R,
2
求实数k的取值范围.
2
(2 2, 2 2)
2.函数 f ( x) log 1 ( x kx 2) 的值域为R,
2
求实数k的取值范围.
(, 2 2] [2 2, )
例题选讲
例2.当m取什么实数时,方程 4x2 (m 2) x (m 5) 0
C {x | x 4ax 3a 0}, 若 A
2 2
B C ,求实数a
的取值范围.
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知

高一数学人必修课件一元二次不等式及其解法

常见错误类型及纠正方法
忽视不等式性质
在解一元二次不等式时，需要注意不等式的基本性质，如不等式的传递性、可加性等。忽视这些
性质可能导致错误的解集。
忽视定义域限制
在某些情况下，一元二次不等式的定义域可能受到限制。忽视这些限制可能导致错误的解集或无
解。
计算错误
在解一元二次不等式时，需要进行因式分解、配方等计算步骤。计算错误可能导致错误的解集或
确定解集
根据各区间内因式的符号，确定不等式的解集。
03 一元二次不等式在实际问题中应用
区间内根存在性判断
判别式法
通过计算判别式$Delta = b^2 - 4ac$，判断一元二次方程在指定区间内是否有实根。
中点法
利用区间中点函数值的符号，结合函数连续性，判断一元二次方程在指定区间内是否有实根。
例如，对于不等式 $x^2 - 2x - 3 < 0$，首先确定抛物线开口向上，然后找出交点 $x_1 = -1, x_2 = 3$，最后根据开口方向和交点位置得出解集为 $-1 < x < 3$。
05 一元二次不等式与其他知识点联系
一元二次方程、一元二次不等式和函数综合应用
一元二次方程与一元二次不等式的关系
一元二次函数与一元二次不等式关系
一元二次不等式的一般形式：$ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0$。
一元二次不等式的解集与对应的一元二次函数的图像密切相关。当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上，不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ 的解集为 $x < x_1$ 或 $x > x_2$；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下，不等式 $ax^2 + bx + c < 0$ 的解集为 $x_1 < x < x_2$。

一元二次不等式的解法省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

谢谢大家！再见！
请同学们完毕下表:
方程或不等式（a>0）
Δ>0
解
集
Δ=0
｛x|x=x1 或 ax2＋bx＋c=0、
x=x2｝
｛－ b ｝
2a
ax2＋bx＋c >0
Δ<0 ф
ax2＋bx＋c <0
一元二次方程、不等式旳解集
方程或不等式
解
集
（a>0）
Δ>0
Δ=0
｛x|x=x1 或 ax2＋bx＋c=0、
参照答案：
(1) {x | 1 x 2}
(2)
{x
3
|x
1
或
x
2}
2
3
(3)
(4) R
本课小节：
解一元二次不等式旳环节: (1)化成原则形式(a>0) (2)解方程ax2+bx+c=0 (3)由图象写解集
小节
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 (a>0) 旳环节是：
x=x2｝
ax2＋bx＋c >0
｛x|x<x1 或 x>x2｝
｛－ b ｝
2a
｛x|x≠－ b｝
2a
ax2＋bx＋c <0 ｛x|x 1 <x <x2｝
ф
Δ<0 ф R ф
⊿=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)
旳图象
⊿>0 x1 x2
⊿=0
⊿<0
x1(x2)
方程
ax2+bx+c=0 旳根

一元二次不等式及其解法课件2as只是课件

则 a·b的值为
()
A．－6
B．－5
C．6
D．5
解析：因x＝－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，
∴
又－1· ＝，
∴a＝－3，b＝－2，∴a·b＝6. 答案：C
4．不等式2≤x2－2x<8的解集是________．解析：原不等式等价于由x2－2x≥2，得x≥1＋或x≤1－，由x2－2x<8，得－2<x<4， ∴原不等式的解集为{x|－2<x≤1－，或1＋
[思路点拨]
[课堂笔记] 设税率调低后的税收总收入为y元，则y＝2 400m(1＋2x%)×(8－x)% ＝－ m(x2＋42x－400)．由题意知，0<x≤8，要使税收总收入不低于原计划的78%，须y≥2 400m×8%×78%，即－ m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2，又0<x≤8，∴0<x≤2，所以，x的取值范围是(0,2].
即
，则m无解．
综上可知不存在这样的m.
(2)从形式上看，这是一个关于x 的一元二次不等式，可以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为[－2,2]，求参数x的范围．设f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当－2≤m≤2时线段在x轴下方，
[自主体验]
已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，
对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]
时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是
()
A．－1＜b＜0

高中数学同步教学课件一元二次不等式及其解法

42 m2,你能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗?
内容索引
一、一元二次不等式的概念
二、一元二次不等式的解法
三、含参数的一元二次不等式的解法
随堂演练
课时对点练
一
一元二次不等式的概念
问题1
园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的
长度是24 m,围成的矩形区域的面积要大于20 m2,则这个矩形的
考虑
(1)不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.
(2)不等式对应的方程根的讨论:两不同实根(Δ>0),两相同实根
(Δ=0),无根(Δ<0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1<x2.
跟踪训练 3 解关于x的不等式(1)12x2-ax>a2.
原不等式可化为12x2-ax-a2>0,
用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集.
(3)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则应说解集
为空集.
(4)三个二次间的关系:ax2+bx+c=0(a≠0)的根⇔y=ax2+bx+c(a≠0)的
图象与 x 轴交点的横坐标 ;ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 ⇔y=ax2+bx+c
0(其中,x为未知数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次
不等式的解集 .
<<<
注
意
点
一元二次不等式中必须保证a≠0.
例 1 下列不等式是一元二次不等式的为

一元二次不等式及其解法教学课件自制

x2
大于在两边，小于在中间。
第16页，共24页。
（2）当△=0时，通过配方得，
ya(xb)24acb2a(xb)2
2a 4a
2a
由图可知，ax2+bx+c>0的
解集是 x 的b 全体实数，
2a
即
(,b) (b,)
2a 2a
ax2+bx+c<0的解集是空集，
即不等式无解。
y Ob
- 2a
x
第17页，共24页。
3.3 《一元二次不等式及其解法》
第2页，共24页。
教学目标
▪ 掌握一元二次不等式的解法
▪ 教学重点：
一元二次不等式的解法
第3页，共24页。
考察下面含未知数x的不等式： 15x2+30x －1>0 和 3x2+6x－1≤0.
这两个不等式有两个共同特点：
（1）含有一个未知数x；（2）未知数的最高次数为2.
第5页，共24页。
一元二次不等式f(x)>0，或f(x)<0 (a≠0)的解集，
就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值
时自变量x的取值的集合。
一元二次方程f(x)=0 (a≠0)的解集，就是使二次函数f(x)为零时自变量x的取值的集合。
因此二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间有非常密切的联系。
19、上天不会亏待努力的人，也不会同情假勤奋的人，你有多努力时光它知道。 20、成长这一路就是懂得闭嘴努力，知道低调谦逊，学会强大自己，在每一个值得珍惜的日子里，拼命去成为自己想成为的人。6.凡是内心能够想到.相信的，都是可以达到的。――[NapoleonHill]

第二章考点一元二次不等式及其解法完整版课件

(x－1)·(3x－2)≥0⇒x≤
∴原不等式的解集为
x
|23x或 23x≥或x1，1
.
第19页，共54页
典例剖析例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5
(2)2x(x＋1)>3x2－3；解：2x(x＋1)>3x2－3⇒x2－2x－3<0⇒(x－3)(x＋1)<0⇒ －1<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－1<x<3}．
2．不等式x2－2 022x－2 023>0的解集为( D )
A．x |－2 023＜x＜1
B．x | x 1或x 2023
C．x | 1 x 2023
D．x | x 1或x 2023
【提示】 x2－2 022x－2 023>0⇒(x＋1)(x－2 023)>0⇒x<－1或 x>2 023.
(4)(x－2)(3－x)≥3－x. 解：原不等式可化为(x－3)(3－x)≥0，即(x－3)2≤0，解得x＝3， ∴原不等式的解集为{3}．
第22页，共54页
典例剖析例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5
例3 已知关于x的不等式ax2＋4x＋b＜0的解集为 (－∞，－2)∪(6，＋∞)，求实数a，b的值．【思路点拨】此类题一般通过“构造方程”或“构造不等式 ”来求解．
解：由题意得，方程ax2－bx＋3＝0的两个根为x1＝1，
x2＝
3 2
，根据韦达定理得
1
3 2
b a
,
1
3 2
3 a
,
解得
a 2, b 5.
第25页，共54页
典例剖析例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5

2024届新高考一轮复习人教A版第1章第5讲一元二次不等式及其解法课件(80张)

题组二走进教材
2．(必修1P53T1改编)不等式(x－1)2<x＋5的解集是( B )
A．{x|1<x<4}
B．{x|－1<x<4}
C．{x|－4<x<1}
D．{x|－1<x<3}
[解析] 原不等式可化为x2－3x－4<0，即(x＋1)(x－4)<0，故其解集
为{x|－1<x<4}．
3 ． ( 必修 1P55T3 改编 ) 已知集合 A ＝ {x|x2 － x － 6>0} ，则 ∁ RA 等于 ( B)
___∅___
___∅___
1 ． ax2 ＋ bx ＋ c>0(a≠0) 恒成立的充要条件是： a>0 且 b2 － 4ac<0(x∈R)．
2 ． ax2 ＋ bx ＋ c<0(a≠0) 恒成立的充要条件是： a<0 且 b2 － 4ac<0(x∈R)．
注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件．
实数根
判别式 Δ>0
Δ＝b2－4ac
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
_____{_x|_x_>_x_2或___x_<_x_1}_____
__{_x_|x_∈__R__且__x_≠__x1_}__
___R___
ax2＋bx＋c<0 ______{_x_|x_1_<_x_<_x_2_}______ (a>0)的解集
第一章集合、常用逻辑用语、不等式

人教版高中数学必修一《2.3 第一课时一元二次不等式及其解法》课件

2．3 二次函数与一元二次方程、不等式
明确目标
发展素养
1.掌握一元二次不等式的解法． 2．能根据“三个二次”之间的
关系解决简单问题． 3．掌握一元二次不等式的实际
应用． 4．会解一元二次不等式中的恒
成立问题.
1.通过解一元二次不等式，培养数学运算素养．
2．通过“三个二次”关系的应用，提高数学运算和逻辑推理素养．
3．通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养．
4．借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养.
第一课时一元二次不等式及其解法
(一)教材梳理填空 1．一元二次不等式：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__2_ 定义
的不等式，称为一元二次不等式一般 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常形式数，a≠0
[典例3] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
[解] 法一：由不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|2<x<3}可知 a<0，且 2 和 3 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ac＝6.
故不等式的解集为x12≤x≤2 .
(2)x2－a＋1ax＋1≤0⇔x－1a(x－a)≤0，
①当 0<a<1 时，a<1a，不等式的解集为xa≤x≤1a
；
②当 a＝1 时，a＝1a＝1，不等式的解集为{1}； ③当 a>1 时，a>1a，不等式的解集为x1a≤x≤a . 综上，当 0<a<1 时，不等式的解集为xa≤x≤1a ；当 a＝1 时，不等式的解集为{1}；当 a>1 时，不等式的解集为x1a≤x≤a .

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大于0取两边，小于0取中间.
启发引导形成结论
△=b2- 4ac
0 0
二次函数
0
二次函数
y ax bx c
2
（a 0 ）的图象
图象
对应二次方程 b x1 , x2 ( x1 x2 ) x1 = x2 = 无实根的根 2a 一元二次方程的根一元二次不等式的解 2 ax bx c 0 x x x1或x x2 x x b 2a (a 0)的解集
§3.2 一元二次不等式及其解法
创设情景引入新课
学校要在长为8,宽为6 的一块长方形地面上进行绿化, 计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉带的宽度的取值范围是什么?
设:花卉带的宽为 x(0
x
x x
ax 2 bx c 0(a 0) 的解集有不等式
差异吗？
求解一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序框图:
△≥0
b x 2a
Байду номын сангаас
x< x1或x> x2
典例剖析规范步骤
例1 解不等式 2 x 2 3x 2 0 .
解：原不等式等价于2 x 1)(x 2) 0 (
2 2
互动探究发现规律
探究一元二次不等式 x2 7x 6 0 的解集 x2 7x 6 0 的根与二次（1）一元二次方程函数 y x2 7 x 6 的零点的关系：
二次方程有两个实数根：
y
x1 1, x2 6
二次函数有两个零点：
0 1
o o
6
x
x1 1, x2 6
x
x
x
x
x
x 3) ,则依题意有
整理得
1 (8 2x)(6 2x) 8 6 整理得 2
x2 7x 6 0
一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2 的不等式叫做一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式：
ax bx c 0 或 ax bx c （a 0) 0
当堂训练巩固深化
练习：解下列不等式：
(1)3x 5x 0
2
(2) 3x 5x 0
2
典例剖析规范步骤
例3 解不等式 4 x 4 x 1 0 .
2
解： 0 ，方程 4 x 4 x 1 0 1. 的解是 x1 x2 2 原不等式的解集是 x x 1 . 2
方程 2x 3x 2 0 的解是 x1 1 ，x2 2 . 2 原不等式的解集是
2
x
x 1 ，或 x 2 . 2

典例剖析规范步骤 2 例2 解不等式 3x 6x 2 .
解：整理，得 3x 6 x 2 0 .
2
0 ，方程 3x 6x 2 0 的解是
R
ax 2 bx c 0 x x1 x x 2 (a 0)的解集

思考
①对于一元二次不等式
ax bx c 0,(a 0)或 2 ax bx c 0,(a 0)
2
当二次项系数 a 0 时如何求解？
ax2 bx c 0(a 0) 的解集与 ②不等式
即：二次方程的根就是二次函数的零点
y
(2)当x取
y>0 y>0 0 1
o o o o
x=1 或 6
时，y=0？
x 6 y<0
当x取 x<1 或 x>6 时，y>0？当x取 1 < x <6 时，y<0?
(3)由图象得：不等式x2 ﹛x|x<1或x>6﹜ -x-6>0 的解集为。。
不等式x2 -x-6<0 的解集为 ﹛x| 1 <x <6﹜
2
不等式 x 2 x 3 0 的解集是 .
2
原不等式的解集是 .
当堂训练巩固深化
1、求函数 y 2 x 2 x 5 的定义域 2、自变量x在什么范围取值时，函数 2 y 3x x 2 的值小于0
小结
1.一元二次不等式的定义与一般形式. 2.三个“二次”的关系. 3.一元二次不等式的解法及其步骤.
4.数学思想：数形结合的思想. 5.认识方法：特殊到一般的辩证法．
2

当堂训练巩固深化
解下列不等式：
1 (1) x 4 x 0 4
2
(2) x 4 x 4 0
2
典例剖析规范步骤
例4 解不等式 x 2 x 3 0 .
2
解：整理，得 x 2 x 3 0
2
0 ，方程 x 2 x 3 0 无实数解，
2
3 ，x 1 3 x1 1 2 3 3
原不等式的解集是
3 x 1 3 . x 1 3 3
求一元二次不等式的的一般步骤：
一看：看二次项系数是否为正，若为负化为正。二算：算△及对应方程的根。三写：由对应方程的根，结合不等号的方向，根据函数图象写出不等式的解集。